SUJETS COMPLETS

Amérique du Nord • Mai 2018

matT_1805_02_00C

Amérique du Nord • Mai 2018

Sujet complet • 20 points • ⏱ 3 h

Sujet complet d'Amérique du Nord 2018

Les thèmes clés

Exercice 1 – Loi binomiale • Intégrale, calcul d'aire.

Exercice 2 – Intervalle de fluctuation • Probabilité conditionnelle.

Exercice 3 – Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 3 (spécialité) – Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Convexité.

Exercice 1 (4 points) • ⏱ 40 min
QCM sur les probabilités et les fonctions : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

▶ 1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu'un bulbe germe, c'est-à-dire qu'il donne naissance à une plante qui fleurit, est de 0,85.

Il prélève au hasard 20 bulbes du lot. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 bulbes.

On peut affirmer que :

a) La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de 0,103.

b) La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de 0,067.

c) La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de 0,830.

d) La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de 0,933.

▶ 2. On considère une fonction f définie sur [0 8], dont $C$ f est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

matT_1805_02_00C_01

a) $8 \leq \int_{2}^{4} f (x) d x \leq 9$

c) $\int_{2}^{4} f (x) d x = f (4) - f (2)$

b) $9 \leq \int_{2}^{4} f (x) d x \leq 10$

d) $\int_{2}^{4} f (x) d x = 9$

▶ 3. On considère la fonction g définie sur ]0 +∞ [ par $g (x) = \ln x$ .

Une primitive de g sur ]0 + ∞ [ est la fonction G définie par :

a) $G (x) = \ln x$

c) $G (x) = x \ln x - x$

b) $G (x) = x \ln x$

d) $G (x) = \frac{1}{x}$

▶ 4. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x >$ 0 est :

a) ]0 + ∞[

c) ]1 + ∞[

b) ]0 1[

d) ]e + ∞[

Exercice 2 (5 points) • ⏱ 45 min
Vente de rubans LED et produits défectueux

Commun à tous les candidats

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Le site internet « ledislight.com » spécialisé dans la vente de matériel lumineux vend deux sortes de rubans LED flexibles : un premier modèle dit d'« intérieur » et un deuxième modèle dit d'« extérieur ». Le site internet dispose d'un grand stock de ces rubans LED.

partie a

▶ 1. Le fournisseur affirme que, parmi les rubans LED d'extérieur expédiés au site internet, 5 % sont défectueux. Le responsable internet désire vérifier la validité de cette affirmation. Dans son stock, il prélève au hasard 400 rubans LED d'extérieur, parmi lesquels 25 sont défectueux.

Ce contrôle remet-il en cause l'affirmation du fournisseur ? (1 point)

Rappel : lorsque la proportion p d'un caractère dans la population est connue, l'intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % d'une fréquence d'apparition de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille n est donné par :

$I = [p - 1,96 \sqrt[]{\frac{p (1 - p)}{n}} p + 1,96 \sqrt[]{\frac{p (1 - p)}{n}}] .$

▶ 2. Le fournisseur n'a donné aucune information concernant la fiabilité des rubans LED d'intérieur. Le directeur du site souhaite estimer la proportion de rubans LED d'intérieur défectueux. Pour cela, il prélève un échantillon aléatoire de 400 rubans d'intérieur, parmi lesquels 38 sont défectueux.

Donner un intervalle de confiance de cette proportion au seuil de confiance de 95 %. (0,75 point)

partie b

À partir d'une étude statistique réalisée sur de nombreux mois, on peut modéliser le nombre de rubans LED d'intérieur vendus chaque mois par le site à l'aide d'une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne μ = 2 500 et d'écart-type σ = 400.

▶ 1. Quelle est la probabilité que le site internet vende entre 2 100 et 2 900 rubans LED d'intérieur en un mois ? (0,5 point)

▶ 2. a) Trouver, arrondie à l'entier, la valeur de a telle que :

$P (X \leq a) = 0,95$ . (0,5 point)

b) Interpréter la valeur de a obtenue ci-dessus en termes de probabilité de rupture de stock. (0,5 point)

partie c

On admet maintenant que :

20 % des rubans LED proposés à la vente sont d'extérieur

5 % des rubans LED d'extérieur sont défectueux.

On prélève au hasard un ruban LED dans le stock.

On appelle :

E l'événement « le ruban LED est d'extérieur »

D l'événement « le ruban LED est défectueux ».

▶ 1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, que l'on complètera au fur et à mesure. (0,5 point)

▶ 2. Déterminer la probabilité que le ruban LED soit d'extérieur et défectueux. (0,5 point)

▶ 3. D'autre part, on sait que 6 % de tous les rubans LED sont défectueux.

Calculer, puis interpréter PE–(D). (0,75 point)

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 45 min
Contrats d'entretien de photocopieurs

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

Une société propose des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Le directeur de cette société remarque que, chaque année, 14 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 7 contrats sont résiliés.

En 2017, l'entreprise dénombrait 120 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $(u_{n}),$ où un est le nombre de contrats souscrits l'année 2017 + n. Ainsi on a u0 = 120.

▶ 1. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 1,14 un - 7. (0,5 point)

b) Estimer le nombre de contrats en 2018. (0,5 point)

▶ 2. Compte tenu de ses capacités structurelles actuelles, l'entreprise ne peut prendre en charge qu'un maximum de 190 contrats. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.

On cherche donc à savoir en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :

002_matT_1805_02_00C_algo_001

a) Recopier et compléter l'algorithme ci-avant. (0,5 point)

b) Quelle est l'année affichée en sortie de l'algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. (0,75 point)

▶ 3. On définit la suite (vn) par vn = un - 50 pour tout entier naturel n.

a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v0. (0,75 point)

b) Exprimer vn en fonction de n, puis démontrer que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 70 \times {1,14}^{n} + 50$ . (1 point)

c) Résoudre par le calcul l'inéquation un > 190.

Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (1 point)

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 45 min
Répartition de contrats d'entretien entre deux entreprises

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Deux entreprises concurrentes « Alphacopy » et « Bêtacopy » proposent des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d'entretien sur un secteur donné.

Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année :

15 % des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Bêtacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy.

25 % des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Bêtacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Bêtacopy.

On définit les événements suivants :

A : « le client est sous contrat avec l'entreprise Alphacopy ».

B : « le client est sous contrat avec l'entreprise Bêtacopy ».

À partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d'entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel n :

an la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Alphacopy l'année 2017 + n

bn la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Bêtacopy l'année 2017 + n.

On note $P_{n} = (a_{n} b_{n})$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année 2017 + n.

L'objectif de l'entreprise Alphacopy est d'obtenir au moins 62 % des contrats d'entretien des photocopieurs.

partie a

▶ 1. Représenter le graphe probabiliste de cette situation et donner la matrice de transition M associée à ce graphe, dont les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique. (0,5 point)

▶ 2. Montrer que $P = (0,625 0,375)$ est un état stable de la matrice. (0,5 point)

▶ 3. À votre avis, l'entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif ? (0,5 point)

partie B

En 2017, on sait que 46 % des clients ayant un contrat d'entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l'entreprise Alphacopy.

On a ainsi $P_{0} = (0,46 0,54)$ .

▶ 1. On rappelle que pour tout entier naturel n, Pn+1 = Pn × M.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,85 an + 0,25 bn puis que an+1 = 0,60 an + 0,25. (0,5 point)

▶ 2. À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on cherche à déterminer en quelle année l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif.

002_matT_1805_02_00C_algo_002

a) Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus. (0,5 point)

b) Quelle est l'année affichée en sortie de l'algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. (0,5 point)

▶ 3. On définit la suite (un) par un = an - 0,625 pour tout entier naturel n.

a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme u0. (0,75 point)

b) Exprimer un en fonction de n puis démontrer que, pour tout entier n :

$a_{n} = - 0,165 \times {0,60}^{n} + 0,625 .$ (0,75 point)

c) Résoudre par le calcul l'inéquation an ≥ 0,62.

Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (0,5 point)

Exercice 4 (6 points) • ⏱ 50 min
Fonction « satisfaction » fonction « envie »

Commun à tous les candidats

On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur 100, on dit qu'il y a « saturation ».

On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira qu'il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu'il y a « rejet » lorsque la fonction « envie » est strictement négative.

Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

partie a

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction « satisfaction » f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous (x est exprimé en heure).

matT_1805_02_00C_02

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

▶ 1. Lire la durée de travail quotidien menant à « saturation ». (0,5 point)

▶ 2. Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ». (0,5 point)

partie B

Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » g est définie sur l'intervalle [0 30] par :

$g (x) = 12,5 x e^{- 0,125 x + 1}$ (x est exprimé en jour).

▶ 1. Démontrer que, pour tout x de l'intervalle [0 30] :

$g^{'} (x) = (12,5 - 1,5625 x) e^{- 0,125 x + 1} .$ (0,5 point)

▶ 2. Étudier le signe de g′(x) sur l'intervalle $[0 30],$ puis dresser le tableau des variations de g sur cet intervalle. (0,75 point)

▶ 3. Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet de « saturation » ? (0,5 point)

partie C

La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » h est définie sur l'intervalle [10 50] par :

$h (x) = \frac{90}{1 + e^{- 0,25 x + 6}}$ (x est exprimé en millier d'euros).

La courbe $C$ h de la fonction h est représentée ci-dessous :

matT_1805_02_00C_03

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

Dériver (90/(1 + exp(-0.25 * x + 6)))

$\frac{{22,5 e}^{- 0,25 x + 6}}{{(1 + e^{- 0,25 x + 6})}^{2}}$

Dériver(22.5 * exp(-0,25 * x + 6)/(1 + exp(-0,25 * x + 6))²)

$\frac{{5,625 e}^{- 0,25 x + 6} (e^{- 0,25 x + 6} - 1)}{{(1 + e^{- 0,25 x + 6})}^{3}}$

▶ 1. Donner sans justification une expression de h″(x). (0,5 point)

▶ 2. Résoudre, dans l'intervalle [10 50], l'inéquation :

$e^{- 0,25 x + 6} - 1 > 0 .$ (0,75 point)

▶ 3. Étudier la convexité de la fonction h sur l'intervalle [10 50]. (1 point)

▶ 4. À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier. (0,5 point)

▶ 5. Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint 80. Arrondir au millier d'euros. (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

> 1. Déterminez et utilisez la loi de la variable aléatoire égale au nombre de bulbes qui germent parmi les 20 prélevés.

> 2. Déterminez graphiquement un encadrement de l'aire sous la courbe de f entre 2 et 4 en « comptant les carreaux ».

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Exercice 3 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)

> 3. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q indépendant de n tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

> 1. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.

> 2. Vérifiez que P × M = P, où M est la matrice de transition associée au graphe.

Partie B

> 3. a) La suite (un) est géométrique si et seulement si il existe un réel q indépendant de n tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = q un.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie C

> 1. Utilisez le résultat fourni par le logiciel de calcul formel.

> 3. Étudiez le signe de $h^{″} (x)$ .

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

> 1. Déterminer une probabilité associée à une loi binomiale

info

La variable aléatoire X suit une loi binomiale, donc elle ne prend que des valeurs entières.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de bulbes qui germent parmi les 20 bulbes prélevés.

L'expérience est la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « le bulbe germe » la probabilité de succès est égale à 0,85 d'après l'énoncé.

X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,85.

D'après la calculatrice, $P (X \leq 15) \approx 0,17$ , ce qui exclut les réponses a) et b).

Les questions c) et d) portent sur P(X ≥ 15).

Or $P (X \geq 15) = 1 - P (X \leq 14)$

d'après la calculatrice, $P (X \leq 14) \approx 0,067$ , donc :

$P (X \geq 15) \approx 0,933 .$

La bonne réponse est d).

> 2. Déterminer un encadrement de l'aire d'un domaine plan

La fonction f est positive sur [0 8], donc sur [2 4].

$\int_{2}^{4} f (x) d x$ est donc l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C$ f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 2 et x = 4 représenté en violet sur le graphique suivant :

matT_1805_02_00C_04

Cette aire est comprise entre les aires des deux polygones hachurés en rouge et en vert sur le graphique, d'aires respectives 9 et 10. Donc :

$9 \leq \int_{2}^{4} f (x) d x \leq 10$ .

La bonne réponse est b).

> 3. Déterminer une primitive d'une fonction

Soit $G (x) = x \ln x - x$ .

G est dérivable sur ]0 + ∞[ et, pour tout x dans cet intervalle :

$G^{'} (x) = \ln x + x \times \frac{1}{x} - 1$

$G^{'} (x) = \ln x + 1 - 1$

$G^{'} (x) = \ln x$

$G^{'} (x) = g (x)$

La bonne réponse est c).

> 4. Déterminer l'ensemble des solutions d'une inéquation

D'après le cours, la fonction ln est strictement croissante sur ]0 + ∞[ et $\ln 1 = 0$ , donc :

$\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1 .$

La bonne réponse est c).

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie a

> 1. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique

La taille de l'échantillon considéré est n = 400. la proportion de rubans défectueux annoncée par le fournisseur est p = 0,05, d'où :

$n \geq 30 n \times p = 20 \geq 5 n (1 - p) = 380 \geq 5$ .

Ces conditions étant remplies, on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de rubans défectueux sur un échantillon de taille 400 :

$I = [0,05 - 1,96 \sqrt[]{\frac{0,05 \times 0,95}{400}} 0,05 + 1,96 \sqrt[]{\frac{0,05 \times 0,95}{400}}] .$

En arrondissant par défaut la borne inférieure, par excès la borne supérieure, on obtient que l'intervalle $I = [0,028 0,072]$ est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, de la fréquence de rubans défectueux sur un échantillon de taille 400.

Dans l'échantillon considéré, la fréquence de rubans défectueux est :

$f = \frac{25}{400} = 0,0625$ .

Or, 0,0625 ∈ I.

Donc le contrôle ne remet pas en cause l'affirmation du fournisseur.

> 2. Déterminer un intervalle de confiance

La fréquence de rubans d'intérieur défectueux sur l'échantillon considéré est :

$f = \frac{38}{400} = 0,095$ .

La taille de l'échantillon est n = 400.

$n \geq 30 n \times f = 38 \geq 5 n (1 - f) = 248 \geq 5$ . Les conditions sont remplies, donc l'intervalle $I^{'} = [f - \frac{1}{\sqrt[]{n}} f + \frac{1}{\sqrt[]{n}}]$ est un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95 % de la proportion de rubans d'intérieur défectueux.

Après calcul, un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95 % de la proportion de rubans d'intérieur défectueux est :

$I^{'} = [0,045 0,145]$

partie B

> 1. Déterminer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité que le site internet vende entre 2 100 et 2 900 rubans LED d'intérieur en un mois est P(2 100 ≤ X ≤ 2 900).

Or 2 100 = μ - σ et 2 900 = μ + σ, donc d'après le cours :

$P (2 100 \leq X \leq 2 900) \approx 0,683 .$

> 2. a) Déterminer un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

D'après la calculatrice (fonction InvNorm ou FracNormale), la valeur arrondie à l'entier de a tel que $P (X \leq a) = 0,95$ est :

$a = 3 158 .$

b) Interpréter un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

Le résultat précédent signifie que la probabilité que le site vende au maximum 3 158 rubans LED d'intérieur en un mois est égale à 0,95.

Donc si le site possède en stock 3 158 rubans LED d'intérieur, la probabilité qu'il ne se trouve pas en rupture de stock est égale à 0,95.

partie C

> 1. Représenter une situation probabiliste à l'aide d'un arbre pondéré

La situation peut être représentée à l'aide de l'arbre ci-dessous :

matT_1805_02_00C_05

Les probabilités indiquées en vert sont calculées à la question 3.

> 2. Déterminer la probabilité de l'intersection de deux événements

La probabilité que le ruban LED soit d'extérieur et défectueux est :

$P (E \cap D) = P (E) \times P_{E} (D)$

$P (E \cap D) = 0,2 \times 0,05$

$P (E \cap D) = 0,01$

La probabilité que le ruban LED soit d'extérieur et défectueux est égale à 0,01.

> 3. Calculer et interpréter une probabilité conditionnelle

E et $\bar{E}$ forment une partition de l'univers, d'où :

$P (D) = P (E \cap D) + P (\bar{E} \cap D)$

$P (D) = 0,01 + P (\bar{E}) \times P_{\bar{E}} (D)$

$P (D) = 0,01 + 0,8 P_{\bar{E}} (D)$ .

$P (D) = 0,06$ , donc :

$P_{\bar{E}} (D) = \frac{0,06 - 0,01}{0,8} = 0,0625$ .

6,25 % des rubans LED d'intérieur sont défectueux.

Exercice 3

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

> 1. a) Justifier une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

info

1,14 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 14 % une quantité qui augmente de 14 % est multipliée par 1,14.

Chaque année, 14 % de contrats supplémentaires sont souscrits, donc le nombre de contrats est multiplié par 1,14 de plus, 7 contrats sont résiliés, donc on retranche 7.

On en déduit que, pour tout entier naturel n :

$u_{n + 1} = 1,14 u_{n} - 7 .$

b) Calculer un terme d'une suite

2018 = 2017 + 1, donc le nombre de contrats en 2018 est u1.

u1 = 1,14 × 120 - 7 ≈ 130.

On peut estimer qu'en 2018, environ 130 contrats seront souscrits auprès de la société.

> 2. a) Compléter un algorithme

Pour que l'algorithme détermine l'année où l'entreprise devra embaucher, on peut le compléter de la manière suivante :

002_matT_1805_02_00C_algo_003

b) Déterminer la valeur affichée en sortie d'un algorithme

En exécutant l'algorithme précédent, on obtient u5 ≈ 185 190 et u6 ≈ 204 > 190. La dernière valeur prise par la variable n, représentant le rang de l'année à partir de laquelle le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise dépasse 190, est n = 6.

En sortie, l'algorithme affiche donc l'année 2017 + 6, c'est-à-dire l'année 2023.

Cela signifie qu'en 2023, le nombre de contrats souscrits dépassera pour la première fois 190 l'entreprise devra embaucher en 2023.

> 3. a) Démontrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 50

vn+1 = 1,14 un - 7 - 50

$v_{n + 1} = 1,14 (v_{n} + 50) - 57$

vn+1 = 1,14 vn + 50 × 1,14 - 57

vn+1 = 1,14 vn + 57 - 57

vn+1 = 1,14 vn.

On en déduit que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,14.

Son premier terme est v0 = u0 - 50.

$v_{0} = 70 .$

b) Déterminer l'expression du terme général de deux suites

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n :

$v_{n} = 70 \times {1,14}^{n} .$

un = vn + 50, d'ou :

$u_{n} = 70 \times {1,14}^{n} + 50 .$

c) Résoudre une inéquation et interpréter la solution

un > 190 équivaut successivement à :

$70 \times {1,14}^{n} + 50 > 190$

$70 \times {1,14}^{n} > 140$

${1,14}^{n} > 2$

$n \ln 1,14 > \ln 2$

$n > \frac{\ln 2}{\ln 1,14}$ .

Or $\frac{\ln 2}{\ln 1,14} \approx 5,3$ et n est entier, donc $u_{n} > 190$ équivaut à $n \geq 6$ .

On retrouve le résultat obtenu à la question 2. b) : c'est au bout de 6 années, c'est-à-dire en 2023, que le nombre de contrats souscrits dépassera 190 et que la société devra embaucher.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

> 1. Représenter le graphe probabiliste d'une situation et donner sa matrice de transition

La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :

matT_1805_02_00C_06

La matrice de transition associée est :

$M = (\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{matrix}) .$

> 2. Montrer qu'une matrice ligne représente un état stable d'une matrice de transition connue

0,625 + 0,375 = 1 de plus :

$P M = (0,625 0,375) (\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{matrix})$

$P M = (0,625 0,375)$

PM = P.

Puisque 0,625 + 0,375 = 1 et PM = P, $P$ est un état stable de la matrice $M$ .

> 3. Déterminer à l'aide d'un état stable si une entreprise atteint son objectif

D'après la question précédente, la proportion de contrats souscrits auprès de l'entreprise Alphacopy tend vers 0,625.

Il existe donc une année où cette proportion dépasse 0,62, c'est-à-dire où le pourcentage de contrats souscrits auprès d'Alphacopy dépasse 62 %.

L'entreprise Alphacopy peut donc espérer atteindre son objectif.

partie b

> 1. Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

Pour tout entier naturel n :

Pn+1 = Pn × M

$\begin{matrix} (a_{n + 1} b_{n + 1}) = (a_{n} b_{n}) (\begin{matrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{matrix}) \\ a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 0,25 b_{n} . \end{matrix}$

bn = 1 - an, d'où :

an+1 = 0,85 an + 0,25 (1 - an)

an+1 = 0,85 an + 0,25 - 0,25 an

$a_{n + 1} = 0,60 a_{n} + 0,25 .$

> 2. a) Compléter un algorithme

Pour que l'algorithme détermine l'année où l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif, on peut le compléter de la manière suivante :

002_matT_1805_02_00C_algo_004

b) Déterminer la valeur affichée en sortie d'un algorithme

En exécutant l'algorithme précédent, on obtient :

a6 ≈ 0,6173 0,62 et a7 ≈ 0,6203 > 0,62.

La dernière valeur prise par la variable n, représentant le rang de l'année à partir de laquelle le pourcentage de contrats souscrits auprès de l'entreprise Alphacopy dépasse 62 %, est n = 7.

En sortie, l'algorithme affiche donc l'année 2017 + 7, c'est-à-dire l'année 2024.

Cela signifie qu'en 2024, le pourcentage de contrats souscrits auprès de l'entreprise Alphacopy dépassera pour la première fois 62 % l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif en 2024.

> 3. a) Démontrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

un+1 = an+1 - 0,625

un+1 = 0,6 an + 0,25 - 0,625

$u_{n + 1} = 0,6 (u_{n} + 0,625) - 0,375$

un+1 = 0,6 un + 0,6 × 0,625 - 0,375

un+1 = 0,6 un + 0,375 - 0,375

un+1 = 0,6 un.

Donc la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6.

Son premier terme est :

$u_{0} = a_{0} - 0,625 = - 0,165 .$

b) Déterminer l'expression du terme général de deux suites

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n :

$u_{n} = - 0,165 \times {0,6}^{n}$

an = un + 0,625

$a_{n} = - 0,165 \times {0,6}^{n} + 0,625 .$

c) Résoudre une inéquation et interpréter la solution

an ≥ 0,62 équivaut successivement à :

$- 0,165 \times {0,6}^{n} + 0,625 \geq 0,62$

$- 0,165 \times {0,6}^{n} \geq - 0,005$

${0,6}^{n} \leq \frac{1}{33}$

$n \ln 0,6 \leq \ln (\frac{1}{33})$

$n \geq \frac{- \ln (33)}{\ln 0,6}$ .

Or $\frac{- \ln (33)}{\ln 0,6} \approx 6,8$ et n est entier, donc $a_{n} \geq 0,62$ équivaut à $n \geq 7$ .

On retrouve le résultat obtenu à la question 2. b) : c'est au bout de 7 années, c'est-à-dire en 2024, que l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif de 62 % de contrats souscrits pour l'entretien des photocopieurs.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

> 1. Déterminer par lecture graphique le nombre pour lequel une fonction atteint une valeur donnée

Par lecture graphique, le point de la courbe $C$ f d'ordonnée 100 a pour abscisse 3 c'est donc au bout de 3 heures de travail quotidien qu'il y a « saturation ».

> 2. Déterminer par lecture graphique les nombres pour lesquels la dérivée d'une fonction a un signe donné

Il y a « rejet » lorsque la fonction « envie », c'est-à-dire la dérivée de la fonction « satisfaction », est strictement négative.

Or, on observe graphiquement que la fonction « satisfaction » f est strictement décroissante sur l'intervalle [3 6]. Sur l'intervalle ]3 6], sa dérivée, c'est-à-dire la fonction « envie », est donc strictement négative.

On en déduit qu'il y a « rejet » lorsque x appartient à l'intervalle ]3 6], autrement dit lorsque l'étudiant travaille quotidiennement plus de 3 heures.

partie b

> 1. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout x de l'intervalle [0 30] :

$\begin{array}{l} g^{'} (x) = {12,5 e}^{- 0,125 x + 1} + 12,5 x \times (- 0,125) \times e^{- 0,125 x + 1} \\ g^{'} (x) = e^{- 0,125 x + 1} (12,5 - 12,5 x \times 0,125) \\ g^{'} (x) = (12,5 - 1,5625 x) e^{- 0,125 x + 1} . \end{array}$

> 2. Étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle

$e^{- 0,125 x + 1} > 0$ pour tout réel x, donc $g^{'} (x)$ a le signe de 12,5 - 1,5625x.

$\begin{array}{l} 12,5 - 1,5625 x > 0 \Leftrightarrow x \frac{12,5}{1,5625} \\ 12,5 - 1,5625 x > 0 \Leftrightarrow x 8. \end{array}$

D'où le tableau :

matT_1805_02_00C_tab_01

> 3. Déterminer le nombre pour lequel une fonction atteint une valeur donnée

D'après le tableau précédent, la fonction g atteint son maximum en x = 8 et ce maximum est égal à 100.

Il y a donc « saturation » au bout de 8 jours de séjour.

partie c

> 1. Donner l'expression de la dérivée seconde d'une fonction

D'après le résultat donné par le logiciel de calcul formel, pour tout x appartenant à l'intervalle [10 50] :

$h^{″} (x) = \frac{{5,625 e}^{- 0,25 x + 6} (e^{- 0,25 x + 6} - 1)}{{(1 + e^{- 0,25 x + 6})}^{3}} .$

> 2. Résoudre une inéquation

$e^{- 0,25 x + 6} - 1 > 0$ équivaut successivement à :

$e^{- 0,25 x + 6} > 1$

- 0,25 x + 6 > 0

$x \frac{6}{0,25}$

x 24.

L'ensemble des solutions dans [10 50] de l'inéquation :

$e^{- 0,25 x + 6} - 1 > 0$

est donc :

$[10 24 [$

> 3. Étudier la convexité d'une fonction

info

Pour tout réel x, ${5,625 e}^{- 0,25 x + 6} > 0$ et ${(1 + e^{- 0,25 x + 6})}^{3} > 0$ , donc $h^{″} (x)$ a le signe de $e^{- 0,25 x + 6} - 1$ .

D'après la question précédente :

$h^{″} (x) > 0 \Leftrightarrow x 24.$

Donc :

$h^{″} (x) 0\Leftrightarrowx>24.$

$h^{″} (x)$ s'annule et change de signe en 24 donc la fonction $h$ est convexe sur l'intervalle $[10 24]$ , concave sur l'intervalle $[24 50]$ et sa courbe représentative a un point d'inflexion d'abscisse 24.

> 4. Déterminer le nombre à partir duquel une fonction décroît

La fonction « envie » h′ décroît sur tout intervalle où sa dérivée h″ est négative, c'est-à-dire, d'après la question précédente, sur l'intervalle [24 50].

On peut donc estimer que la fonction « envie » décroît à partir d'un salaire annuel de 24 000 €.

> 5. Déterminer le nombre en lequel une fonction atteint une valeur donnée

Pour déterminer le salaire annuel pour lequel la fonction « satisfaction » atteint 80, on résout l'équation $h (x) = 80 .$

Cette équation équivaut successivement à :

$\begin{matrix} \frac{90}{1 + e^{- 0,25 x + 6}} = 80 \\ 1 + e^{- 0,25 x + 6} = \frac{9}{8} \\ e^{- 0,25 x + 6} = \frac{1}{8} \\ - 0,25 x + 6 = - \ln 8 \\ x = \frac{6 + \ln 8}{0,25} . \end{matrix}$

Or $\frac{6 + \ln 8}{0,25} \approx 32,3$ , donc la fonction « satisfaction » atteint 80 pour un salaire annuel d'environ 32 000 €.

Sujet complet d'Amérique du Nord 2018

Exercice 1 (4 points) • ⏱ 40 minQCM sur les probabilités et les fonctions : 4 questions

Exercice 2 (5 points) • ⏱ 45 minVente de rubans LED et produits défectueux

partie a

partie b

partie c

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 45 minContrats d'entretien de photocopieurs

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 45 minRépartition de contrats d'entretien entre deux entreprises

partie a

partie B

Exercice 4 (6 points) • ⏱ 50 minFonction « satisfaction » fonction « envie »

partie a

partie B

partie C

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

Exercice 3 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

Partie B

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie C

Exercice 1

> 1. Déterminer une probabilité associée à une loi binomiale

> 2. Déterminer un encadrement de l'aire d'un domaine plan

> 3. Déterminer une primitive d'une fonction

> 4. Déterminer l'ensemble des solutions d'une inéquation

Exercice 2

partie a

> 1. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique

> 2. Déterminer un intervalle de confiance

partie B

> 1. Déterminer une probabilité associée à une loi normale

> 2. a) Déterminer un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

b) Interpréter un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

partie C

> 1. Représenter une situation probabiliste à l'aide d'un arbre pondéré

> 2. Déterminer la probabilité de l'intersection de deux événements

> 3. Calculer et interpréter une probabilité conditionnelle

Exercice 3

> 1. a) Justifier une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

b) Calculer un terme d'une suite

> 2. a) Compléter un algorithme

b) Déterminer la valeur affichée en sortie d'un algorithme

> 3. a) Démontrer qu'une suite est une suite géométrique

b) Déterminer l'expression du terme général de deux suites

c) Résoudre une inéquation et interpréter la solution

Exercice 3

partie a

> 1. Représenter le graphe probabiliste d'une situation et donner sa matrice de transition

> 2. Montrer qu'une matrice ligne représente un état stable d'une matrice de transition connue

> 3. Déterminer à l'aide d'un état stable si une entreprise atteint son objectif

partie b

> 1. Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

> 2. a) Compléter un algorithme

b) Déterminer la valeur affichée en sortie d'un algorithme

> 3. a) Démontrer qu'une suite est une suite géométrique

b) Déterminer l'expression du terme général de deux suites

c) Résoudre une inéquation et interpréter la solution

Exercice 4

partie a

> 1. Déterminer par lecture graphique le nombre pour lequel une fonction atteint une valeur donnée

> 2. Déterminer par lecture graphique les nombres pour lesquels la dérivée d'une fonction a un signe donné

partie b

> 1. Calculer la dérivée d'une fonction

> 2. Étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle

> 3. Déterminer le nombre pour lequel une fonction atteint une valeur donnée

partie c

> 1. Donner l'expression de la dérivée seconde d'une fonction

> 2. Résoudre une inéquation

> 3. Étudier la convexité d'une fonction

> 4. Déterminer le nombre à partir duquel une fonction décroît

> 5. Déterminer le nombre en lequel une fonction atteint une valeur donnée

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Répartition de contrats d'entretien entre deux entreprises

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Fonction « satisfaction » fonction « envie »

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