Amérique du Sud &bull Novembre 2013
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Sujets complets
5
CORRIGE
Amérique du Sud &bull Novembre 2013
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (5 points)
Étude de la production et de la vente de clés USB et contrôle de qualité
Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l&rsquo entreprise.
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)
Affirmation 1 : « Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans. »
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d&rsquo euros, peut être modélisé par la fonction définie sur l&rsquo intervalle [0 10] par :
où représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.
Affirmation 2a : « Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, le bénéfice est positif. »
Affirmation 2b : « Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend 5 000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal. »
Affirmation 2c : « Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros. »
Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l&rsquo intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.
Affirmation 3 : « À l&rsquo issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication. »
Exercice 2 (6 points)
Étude d&rsquo une fonction comportant une exponentielle représentation graphique et calcul d&rsquo une aire
Commun à tous les candidats
On considère f la fonction définie sur par :
On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et
la fonction dérivée de f.
. (0,5 point)
admet une unique solution
sur l&rsquo intervalle [&ndash 1 0]. (0,75 point)
à
près. (0,5 point)
à
au point d&rsquo abscisse 0 est :
par rapport à T.
À l&rsquo aide d&rsquo un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l&rsquo expression et le signe de , où
désigne la dérivée seconde de f.
de la fonction f sur
. (0,5 point)
sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. (0,75 point)
par rapport à T sur l&rsquo intervalle
2]. (0,5 point)
et la tangente T dans un repère orthonormé.

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)
, la tangente T et les droites d&rsquo équations
et
, puis donner le résultat arrondi à
près. (1 point)
Exercice 3 (5 points)
Étude d&rsquo une cote de popularité (probabilités conditionnelles, suites)
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c&rsquo est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l&rsquo action qu&rsquo il mène). Ce sondage résulte d&rsquo une enquête réalisée auprès d&rsquo un échantillon de la population du pays.
Les enquêtes réalisées révèlent que, d&rsquo un mois à l&rsquo autre :
- 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus
- 4 % des personnes qui n&rsquo étaient pas favorables le deviennent.
- On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :
l&rsquo événement « la personne interrogée a une opinion favorable dès l&rsquo élection du président » de probabilité
et
son événement contraire
l&rsquo événement « la personne interrogée le 1er mois a une opinion favorable » de probabilité
et
son événement contraire.

Pour la suite de l&rsquo exercice, on donne et on note, pour tout entier naturel n,
l&rsquo événement « la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable » et
sa probabilité.
On admet de plus, que, pour tout entier naturel n,
Variables : Entrée : Initialisation : Traitement : Sortie : |
J et N sont des entiers naturels P est un nombre réel Saisir N P prend la valeur 0,55 Pour J allant de 1 à N P prend la valeur 0,9 P + 0,04 Fin Pour Afficher P |
définie pour tout entier naturel n par :
est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme
. (0,75 point)
en fonction de n, puis l&rsquo expression de
en fonction de n. (0,75 point)
et interpréter le résultat. (0,5 point)
Exercice 3 (5 points)
Étude à l&rsquo aide de graphes de l&rsquo évolution des préférences des skieurs et d&rsquo une distance minimale dans un domaine skiable
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.
L&rsquo étude révèle que :
- Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu&rsquo elle pratique le snowboard l&rsquo hiver suivant est égale à 0,2.
- Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu&rsquo elle pratique le ski de piste l&rsquo hiver suivant est égale à 0,3.
On note S l&rsquo état « la personne pratique le ski de piste » et l&rsquo état « la personne pratique le snowboard » .
On note également pour tout entier naturel :
la probabilité qu&rsquo une personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver
la probabilité qu&rsquo une personne pratique le snowboard lors du n-ième hiver
la matrice ligne donnant l&rsquo état probabiliste du système lors du n-ième hiver.
On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc .
Partie A
. (0,5 point)
de ce graphe probabiliste. (0,25 point)
. (0,5 point)
, on a
(0,5 point)
Variables : ➀ ➁ Entrée : ➂ Initialisation : ➃ Traitement : ➄ ➅ ➆ Sortie : ➇ |
J et N sont des entiers naturels p est un nombre réel Saisir N p prend la valeur 1 Pour J allant de 1 à N p prend la valeur Fin Pour Afficher p |
Recopier et compléter la ligne ➅ de cet algorithme afin d&rsquo obtenir la probabilité . (0,5 point)
Partie B
On considère, pour tout entier naturel , l&rsquo événement
: « la personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver » .
La probabilité de l&rsquo événement est notée
. On a donc
.
On sait d&rsquo après la partie A que, pour tout entier naturel :
est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de
. (0,5 point)
en fonction de n, puis l&rsquo expression de
en fonction de n. (0,5 point)
et interpréter le résultat. (0,5 point)
Partie C
Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-après.
Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.
Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passage.
Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.

Déterminer, à l&rsquo aide de l&rsquo algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. (1 point)
Exercice 4 (4 points)
Étude des sinistres déclarés à un cabinet d&rsquo assurance
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à près.
Les parties A et B sont indépendantes.
Dans un cabinet d&rsquo assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.
Partie A
Une enquête affirme que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année.
On note la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année.
est la loi binomiale de paramètres :
1). (0,5 point)
Déterminer, en justifiant, si l&rsquo affirmation du cabinet d&rsquo assurance : « 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année » peut être validée par l&rsquo expert. (1 point)
Partie B
Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégories.
On s&rsquo intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l&rsquo année.
On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type
.
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
Exercice 2. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonction exponentielle &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Dérivée &bull Tangente &bull Convexité &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire.
Les conseils du correcteur
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Boucle « Pour » &bull Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
telle que
pour déterminer la limite de la suite
et déduisez-en la limite de la suite
.
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Probabilité conditionnelle &bull Graphe probabiliste &bull Matrice &bull Boucle « Pour » &bull Suite géométrique &bull Plus court chemin.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
telle que
pour déterminer la limite de la suite
et déduisez-en la limite de la suite
.
Exercice 4. Durée conseillée : 40 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Variable aléatoire &bull Loi binomiale &bull Intervalle de fluctuation &bull Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
est :
où est la proportion supposée dans la population (ici
).
de clients ayant déclaré un sinistre observée sur l&rsquo échantillon appartient à l&rsquo intervalle de fluctuation au seuil de 95 % déterminé à la question précédente.
Partie B
Commun à tous les candidats