Sujet complet d’Amérique du Sud 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Amérique du Sud
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet d’Amérique du Sud 2013
 
 

Amérique du Sud • Novembre 2013

matT_1311_03_00C

Sujets complets

5

CORRIGE

 

Amérique du Sud • Novembre 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Étude de la production et de la vente de clés USB et contrôle de qualité

Commun à tous les candidats

Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l’entreprise.

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)

>1. La direction de l’entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux.

Affirmation 1 : « Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans. »

>2. La production mensuelle varie entre 0 et 10 000 clés.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, peut être modélisé par la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :

représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.

Affirmation 2a : « Lorsque l’entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, le bénéfice est positif. »

Affirmation 2b : « Lorsque l’entreprise produit et vend 5 000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal. »

Affirmation 2c : « Lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros. »

>3. Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de 4 000 clés. Parmi ces clés, 210 sont défectueuses.

Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.

Affirmation 3 : « À l’issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication. »

Exercice 2 (6 points)
Étude d’une fonction comportant une exponentielle ; représentation graphique et calcul d’une aire

Commun à tous les candidats

On considère f la fonction définie sur par :

On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et la fonction dérivée de f.

>1.a) Montrer que, pour tout réel  :

(0,5 point)

b) En déduire le sens de variation de f sur . (0,5 point)

>2.a) Montrer que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle [– 1 ; 0]. (0,75 point)

b) Donner un encadrement de à près. (0,5 point)

>3. Montrer que l’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse 0 est :

. (0,5 point)

>4. L’objectif de cette question est de déterminer la position relative de par rapport à T.

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l’expression et le signe de , où désigne la dérivée seconde de f.

 

Instruction

Réponse

1

 

 

2

dérivée seconde

 

 

3

résoudre

 

 

 

a) Déterminer le sens de variation de la dérivée de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Déterminer l’intervalle de sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. (0,75 point)

c) En déduire la position relative de par rapport à T sur l’intervalle  ; 2]. (0,5 point)

>5. On a tracé ci-dessous la courbe et la tangente T dans un repère orthonormé.


 

a) On considère la fonction F définie sur par :

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine colorié compris entre la courbe , la tangente T et les droites d’équations et , puis donner le résultat arrondi à près. (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude d’une cote de popularité (probabilités conditionnelles, suites)

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c’est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l’action qu’il mène). Ce sondage résulte d’une enquête réalisée auprès d’un échantillon de la population du pays.

Les enquêtes réalisées révèlent que, d’un mois à l’autre :

  • 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ;
  • 4 % des personnes qui n’étaient pas favorables le deviennent.
  • On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :
  • l’événement « la personne interrogée a une opinion favorable dès l’élection du président » de probabilité et son événement contraire ;
  • l’événement « la personne interrogée le 1er mois a une opinion favorable » de probabilité et son événement contraire.

>1.a) Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : (0,5 point)


 

b) Montrer que . (0,5 point)

Pour la suite de l’exercice, on donne et on note, pour tout entier naturel n, l’événement « la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable » et sa probabilité.

On admet de plus, que, pour tout entier naturel n,

>2. On considère l’algorithme suivant :

 

Variables :

Entrée :

Initialisation :

Traitement :

Sortie :

J et N sont des entiers naturels

P est un nombre réel

Saisir N

P prend la valeur 0,55

Pour J allant de 1 à N

P prend la valeur 0,9 P + 0,04

Fin Pour

Afficher P

 

a) Écrire ce qu’affiche cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur N = 1. (0,5 point)

b) Donner le rôle de cet algorithme. (0,5 point)

>3. On considère la suite définie pour tout entier naturel n par :

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme . (0,75 point)

b) En déduire l’expression de en fonction de n, puis l’expression de en fonction de n. (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

>4.a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

(0,5 point)

b) Interpréter le résultat trouvé. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude à l’aide de graphes de l’évolution des préférences des skieurs et d’une distance minimale dans un domaine skiable

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.

L’étude révèle que :

  • Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu’elle pratique le snowboard l’hiver suivant est égale à 0,2.
  • Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu’elle pratique le ski de piste l’hiver suivant est égale à 0,3.

On note S l’état « la personne pratique le ski de piste » et l’état « la personne pratique le snowboard ».

On note également pour tout entier naturel  :

  • la probabilité qu’une personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ;
  • la probabilité qu’une personne pratique le snowboard lors du n-ième hiver ;
  • la matrice ligne donnant l’état probabiliste du système lors du n-ième hiver.

On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc .

Partie A

>1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets S et . (0,5 point)

>2.a) Donner la matrice de transition de ce graphe probabiliste. (0,25 point)

b) Calculer . (0,5 point)

c) Déterminer l’état probabiliste . (0,5 point)

>3. Montrer que, pour tout entier naturel , on a (0,5 point)

>4. On considère l’algorithme suivant :

 

Variables :

Entrée :

Initialisation :

Traitement :

Sortie :

J et N sont des entiers naturels

p est un nombre réel

Saisir N

p prend la valeur 1

Pour J allant de 1 à N

p prend la valeur

Fin Pour

Afficher p

 

Recopier et compléter la ligne ➅ de cet algorithme afin d’obtenir la probabilité . (0,5 point)

Partie B

On considère, pour tout entier naturel , l’événement  : « la personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ».

La probabilité de l’événement est notée . On a donc .

On sait d’après la partie A que, pour tout entier naturel  :

Soit la suite définie pour tout entier naturel par .

>1. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de . (0,5 point)

>2. En déduire l’expression de en fonction de n, puis l’expression de en fonction de n. (0,5 point)

>3. Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

Partie C

Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-après.

Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.

Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passage.

Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.


 

Déterminer, à l’aide de l’algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. (1 point)

Exercice 4 (4 points)
Étude des sinistres déclarés à un cabinet d’assurance

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à près.

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans un cabinet d’assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.

Partie A

Une enquête affirme que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

>1. Dans le cadre d’une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.

On note la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année.

a) Justifier que la loi de probabilité de est la loi binomiale de paramètres :

et . (0,75 point)

b) Calculer P(X 1). (0,5 point)

>2. Un expert indépendant interroge un échantillon de 100 clients choisis au hasard dans l’ensemble des clients du cabinet d’assurance.

a) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année. (0,75 point)

b) L’expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

Déterminer, en justifiant, si l’affirmation du cabinet d’assurance : « 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année » peut être validée par l’expert. (1 point)

Partie B

Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégories.

On s’intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l’année.

On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres.

On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

>1. Calculer la probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 €. (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 €. (0,5 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Variations d’une fonction • Valeur moyenne d’une fonction • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

>1. Les pourcentages ne peuvent pas être additionnés. Utilisez les coefficients multiplicateurs, déterminez le coefficient multiplicateur global correspondant à la diminution du budget sur 5 ans.

>2. c) Utilisez la définition de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

Exercice 2. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

>2. a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

>4. c) Si une fonction dérivable est convexe sur un intervalle, alors sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes ; si la fonction est concave, alors sa courbe représentative est en-dessous de ses tangentes.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>1. a) Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même « nœud » est égale à 1.

>3. c) Utilisez le résultat sur la limite d’une suite géométrique de raison telle que pour déterminer la limite de la suite et déduisez-en la limite de la suite .

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Graphe probabiliste • Matrice • Boucle « Pour » • Suite géométrique • Plus court chemin.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>2. a) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe ; la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

Partie B

>3. Utilisez le résultat sur la limite d’une suite géométrique de raison telle que pour déterminer la limite de la suite et déduisez-en la limite de la suite .

Exercice 4. Durée conseillée : 40 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Variable aléatoire • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. a) Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence dans un échantillon de taille est :

,

est la proportion supposée dans la population (ici ).

>2. b) L’affirmation peut être validée si la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre observée sur l’échantillon appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % déterminé à la question précédente.

Partie B

>1. Utilisez la calculatrice.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Étudier des diminutions successives d’un budget

, donc diminuer une quantité de 6 % revient à la multiplier par 0,94.

(0,94 est le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 6 %.)

 

Notez bien

Dans le cas de plusieurs évolutions successives en pourcentage, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs.

Puisque le budget diminue de 6 % par an pendant 5 ans, il est globalement multiplié par 0,945.

Or et  ; suite à la diminution de 6 % par an pendant 5 ans, le budget diminue globalement d’environ 26,6 %.

L’affirmation1.est fausse.

>2. Étudier le bénéfice d’une entreprise produisant des clés USB

Pour milliers de clés produites et vendues, le bénéfice, en milliers d’euros, est :

On détermine les solutions de l’équation Le discriminant est . Les solutions sont et .

Si l’entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, alors .

D’après les résultats sur le signe d’un trinôme vus en première, si un trinôme possède deux racines et si est compris entre ces deux racines, alors est du signe de , où est le coefficient de . Ici , donc est positif si est compris entre 1 et 9.

L’affirmation2. a)est vraie.

 

Info

L’étude des variations de la fonction permet de retrouver la réponse à la question 2. a) :

, est croissante sur [1 ; 5] et décroissante sur [5 ; 9], donc si est compris entre 1 et 9, alors est positif.

Si l’entreprise produit et vend 5 000 clés USB, alors .

On étudie les variations de la fonction sur l’intervalle [0 ; 10].

.

Donc , sur [0 ; 5[, sur ]5 ; 10].

Sur [0 ; 10], la fonction atteint donc son maximum en .

L’affirmation2. b)est vraie.

Le bénéfice mensuel moyen (en milliers d’euros) lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés est la valeur moyenne de la fonction B entre 2 et 8, c’est-à-dire :

La fonction a pour primitive la fonction définie par :

.

D’où :

Lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est donc égal à 13 000 euros.

L’affirmation2. c)est vraie.

> 3. Déterminer et utiliser un intervalle de confiance dans le cadre d’un contrôle de qualité

Si est la taille de l’échantillon, et la fréquence de clés défectueuses dans cet échantillon, alors l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % est approximativement .

Ici, et , donc l’intervalle de confiance est approximativement [0,0367 ; 0,0684].

La borne supérieure de cet intervalle de confiance est approximativement 0,0684, ce qui correspond à 6,84 %. Elle ne dépasse pas 7 %, et le directeur des ventes ne devra pas stopper la chaîne de fabrication.

L’affirmation3.est fausse.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1. a) Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

D’après la formule de dérivation du produit de deux fonctions, pour tout réel

b) Étudier le sens de variation d’une fonction comportant une exponentielle

 

Notez bien

admet un maximum en  ; ce maximum est

Pour tout réel , , donc est du signe de .

Sur , doncest strictement croissante sur ]–; 1[.

Sur , doncest strictement décroissante sur ]1 ; +[.

>2. a) Montrer qu’une équation a une solution unique

 

Notez bien

.

D’après la question précédente, la fonction est continue et strictement croissante sur l’intervalle [–1 ; 0].

et , donc .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationa une unique solutiondans l’intervalle [–1 ; 0].

b) Donner un encadrement d’une solution d’une équation

D’après la calculatrice, et , donc

, donc :

>3. Déterminer l’équation réduite d’une tangente

L’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse est :

.

Ici  ; et .

Donc a pour équation , soit :

>4. a) Étudier le sens de variation de la dérivée d’une fonction

Pour étudier le sens de variation de , on calcule sa dérivée

D’après le tableau donné, pour tout réel , (ce résultat peut être obtenu en calculant la dérivée de la fonction déterminée au début de l’exercice).

Pour tout réel , , donc est du signe de .

Sur l’intervalle , , donc , et donc est strictement décroissante sur.

Sur l’intervalle , donc , et donc est strictement croissante sur.

(Ces résultats correspondent à ceux obtenus par le logiciel de calcul formel.)

b) Étudier la convexité d’une fonction

De la question précédente, on déduit queest convexe suretconcave sur.

c) Étudier la position de la courbe représentative d’une fonction par rapport à l’une de ses tangentes

 

Notez bien

Cette conclusion est confirmée par la représentation graphique donnée à la question suivante.

et est concave sur , donc sur cet intervalle, est entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes.

Doncest en-dessous de T sur l’intervalle; 2].

>5. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Soit F la fonction définie sur par

Pour tout réel ,

est donc une primitive desur.

b) Calculer l’aire d’un domaine plan

D’après la question précédente, est en-dessous de T sur l’intervalle [0 ; 1].

Donc l’aire, en unités d’aire, du domaine hachuré est :

Exercice 3

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. a) Compléter un arbre pondéré

.

car, d’un mois à l’autre, 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus, donc 94 % le sont toujours.

car 4 % des personnes qui n’étaient pas favorables le deviennent et donc 96 % des personnes qui n’étaient pas favorables le restent.

D’où l’arbre pondéré :


 

b) Établir une relation entre deux probabilités

constituent une partition de l’univers, d’où :

D’après l’arbre :

>2. a) Donner le résultat affiché en sortie par un algorithme

Lorsque l’utilisateur entre la valeur N = 1, la boucle Pour (partie Traitement) comporte une seule étape.

P prend la valeur .

La valeur affichée en sortie est donc 0,535.

b) Donner le rôle d’un algorithme

 

Notez bien

est la probabilité que la personne interrogée le N-ième mois ait une opinion favorable.

Cet algorithme calcule les valeurs de pour variant de 1 à N et affiche la valeur calculée de, oùN est l’entier saisi par l’utilisateur.

>3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

soit .

Donc la suiteest une suite géométrique de raison 0,9.

Son premier terme est :

b) Donner l’expression du terme général de deux suites

est la suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme 0,15 donc, pour tout entier naturel n :

.

, donc :

c) Déterminer la limite d’une suite et en donner une interprétation

, donc :

Quand le nombre de mois augmente, la probabilité qu’une personne choisie au hasard ait une opinion favorable tend vers 0,4.

On peut considérer que le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable tend vers 40 %.

>4. a) Résoudre une inéquation où l’inconnue est un entier naturel en exposant

équivaut à :

.

  • Première méthode

On peut calculer les puissances successives de 0,9 et noter l’exposant de la première puissance inférieure à .

et , donc équivaut à :

  • Deuxième méthode
 

Attention

, donc  ; on divise l’inégalité par qui est négatif, donc l’inégalité change de sens.

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur , équivaut à :

, soit .

, donc . n est un entier naturel d’où :

.

b) Interpréter les solutions d’une inéquation

L’inéquation résolue à la question précédente équivaut à

À partir du 11emois, le pourcentage de personnes favorables devient inférieur à 45 %.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

>1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation de l’énoncé peut être représentée par le graphe suivant :


 

>2. a) Donner la matrice de transition d’un graphe probabiliste

Par définition, la matrice de transition d’un graphe probabiliste est la matrice M telle que, pour tout entier naturel  :

.

D’après l’énoncé :

.

Donc la matrice de transition du graphe précédent est :

b) Calculer une puissance d’une matrice

 

Notez bien

On peut interpréter ces résultats de la manière suivante :

« Le deuxième hiver, la probabilité qu’une personne pratique le ski de piste est égale à 0,7, la probabilité qu’elle pratique le snowboard est 0,3. »

c) Déterminer un état probabiliste

>3. Établir une relation de récurrence entre les termes d’une suite

 

Notez bien

sont les probabilités de deux événements contraires, donc .

Pour tout entier naturel  :

car

Donc :

>4. Compléter un algorithme

Pour que l’algorithme donné calcule et affiche , on complète la ligne ➅ :

p prend la valeur 0,5p + 0,3.

Partie B

>1. Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Donc la suiteest une suite géométrique de raison 0,5.

Son premier terme est :

>2. Donner l’expression du terme général de deux suites

Puisque est la suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 0,5, pour tout entier naturel n :

, donc , d’où :

>3. Déterminer la limite d’une suite et en donner une interprétation

, donc

La probabilité qu’une personne choisie au hasard pratique le ski de piste tend vers 0,6.

On peut considérer que le pourcentage de personnes pratiquant le ski de piste tend vers 60 %.

Partie C

Déterminer la distance minimale entre deux sommets d’un graphe pondéré

Pour déterminer la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I, on utilise l’algorithme de Dijkstra qui peut être résumé par le tableau ci-après :

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

0

7 (A)

16 (A)

21 (A)

16 (A)

25 (B)

21 (A)

15 (B)

16 (A)

25 (B)

20 (F)

22 (F)

25 (B)

20 (F)

22 (F)

25 (B)

22 (F)

38 (E)

25 (B)

35 (H)

38 (E)

30 (D)

38 (E)

37 (G)

 
 

Notez bien

Il existe d’autres chemins de A à I comportant moins d’étapes, mais ces chemins sont plus longs.

Par exemple, le chemin A – E – I ne comporte que deux étapes, mais sa longueur totale est 39, soit 3 900 mètres.

Le plus court chemin de A à I est,


Sa longueur totale est 37 centaines de mètres, soit 3 700 mètres.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. a) Justifier la loi de probabilité d’une variable aléatoire

On considère qu’on répète de manière indépendante 15 épreuves de Bernoulli identiques (choix d’un client) ; le succès est « le client a déclaré un sinistre au cours de l’année », la probabilité de succès est , car on admet que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

DoncX suit la loi binomiale de paramètreset.

b) Calculer une probabilité à partir de la loi binomiale

P(X 1)

>2. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation

a) On suppose que la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année est  ; on considère un échantillon de taille .

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre dans un échantillon de taille n est :

b) L’expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année, donc, sur l’échantillon considéré, la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre est :

.

.

Donc, au risque d’erreur 5 %, l’affirmation du cabinet d’assurance ne peut pas être validée par l’expert.

Partie B

>1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 € est .

D’après la calculatrice :

>2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 € est .

Le coût d’un sinistre ne peut pas être négatif, donc :

.

D’après la calculatrice :