Sujet complet d’Amérique du Sud 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Amérique du Sud
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Sujet complet d&rsquo Amérique du Sud 2013
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Amérique du Sud &bull Novembre 2013

matT_1311_03_00C

Sujets complets

5

CORRIGE

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Amérique du Sud &bull Novembre 2013

Sujet complet &bull 20 points

Exercice 1 (5 points)
Étude de la production et de la vente de clés USB et contrôle de qualité

Commun à tous les candidats

Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l&rsquo entreprise.

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)

&gt 1. La direction de l&rsquo entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux.

Affirmation 1 : &laquo  Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans. &raquo

&gt 2. La production mensuelle varie entre 0 et 10 000 clés.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d&rsquo euros, peut être modélisé par la fonction définie sur l&rsquo intervalle [0  10] par :

représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.

Affirmation 2a : &laquo  Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, le bénéfice est positif. &raquo

Affirmation 2b : &laquo  Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend 5 000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal. &raquo

Affirmation 2c : &laquo  Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros. &raquo

&gt 3. Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de 4 000 clés. Parmi ces clés, 210 sont défectueuses.

Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l&rsquo intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.

Affirmation 3 : &laquo  À l&rsquo issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication. &raquo

Exercice 2 (6 points)
Étude d&rsquo une fonction comportant une exponentielle  représentation graphique et calcul d&rsquo une aire

Commun à tous les candidats

On considère f la fonction définie sur par :

On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et la fonction dérivée de f.

&gt 1.a) Montrer que, pour tout réel  :

(0,5 point)

b) En déduire le sens de variation de f sur . (0,5 point)

&gt 2.a) Montrer que l&rsquo équation admet une unique solution sur l&rsquo intervalle [&ndash  1  0]. (0,75 point)

b) Donner un encadrement de à près. (0,5 point)

&gt 3. Montrer que l&rsquo équation réduite de la tangente à au point d&rsquo abscisse 0 est :

. (0,5 point)

&gt 4. L&rsquo objectif de cette question est de déterminer la position relative de par rapport à T.

À l&rsquo aide d&rsquo un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l&rsquo expression et le signe de , où désigne la dérivée seconde de f.

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Instruction

Réponse

1

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2

dérivée seconde

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3

résoudre

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a) Déterminer le sens de variation de la dérivée de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Déterminer l&rsquo intervalle de sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. (0,75 point)

c) En déduire la position relative de par rapport à T sur l&rsquo intervalle   2]. (0,5 point)

&gt 5. On a tracé ci-dessous la courbe et la tangente T dans un repère orthonormé.


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a) On considère la fonction F définie sur par :

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Calculer, en unités d&rsquo aire, l&rsquo aire du domaine colorié compris entre la courbe , la tangente T et les droites d&rsquo équations et , puis donner le résultat arrondi à près. (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude d&rsquo une cote de popularité (probabilités conditionnelles, suites)

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L

Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c&rsquo est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l&rsquo action qu&rsquo il mène). Ce sondage résulte d&rsquo une enquête réalisée auprès d&rsquo un échantillon de la population du pays.

Les enquêtes réalisées révèlent que, d&rsquo un mois à l&rsquo autre :

  • 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus 
  • 4 % des personnes qui n&rsquo étaient pas favorables le deviennent.
  • On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :
  • l&rsquo événement &laquo  la personne interrogée a une opinion favorable dès l&rsquo élection du président &raquo de probabilité et son événement contraire 
  • l&rsquo événement &laquo  la personne interrogée le 1er mois a une opinion favorable &raquo de probabilité et son événement contraire.

&gt 1.a) Recopier et compléter l&rsquo arbre pondéré suivant : (0,5 point)


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b) Montrer que . (0,5 point)

Pour la suite de l&rsquo exercice, on donne et on note, pour tout entier naturel n, l&rsquo événement &laquo  la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable &raquo et sa probabilité.

On admet de plus, que, pour tout entier naturel n,

&gt 2. On considère l&rsquo algorithme suivant :

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Variables :

Entrée :

Initialisation :

Traitement :

Sortie :

J et N sont des entiers naturels

P est un nombre réel

Saisir N

P prend la valeur 0,55

Pour J allant de 1 à N

P prend la valeur 0,9 P + 0,04

Fin Pour

Afficher P

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a) Écrire ce qu&rsquo affiche cet algorithme lorsque l&rsquo utilisateur entre la valeur N = 1. (0,5 point)

b) Donner le rôle de cet algorithme. (0,5 point)

&gt 3. On considère la suite définie pour tout entier naturel n par :

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme . (0,75 point)

b) En déduire l&rsquo expression de en fonction de n, puis l&rsquo expression de en fonction de n. (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

&gt 4.a) Résoudre dans l&rsquo ensemble des entiers naturels l&rsquo inéquation :

(0,5 point)

b) Interpréter le résultat trouvé. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude à l&rsquo aide de graphes de l&rsquo évolution des préférences des skieurs et d&rsquo une distance minimale dans un domaine skiable

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.

L&rsquo étude révèle que :

  • Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu&rsquo elle pratique le snowboard l&rsquo hiver suivant est égale à 0,2.
  • Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu&rsquo elle pratique le ski de piste l&rsquo hiver suivant est égale à 0,3.

On note S l&rsquo état &laquo  la personne pratique le ski de piste &raquo et l&rsquo état &laquo  la personne pratique le snowboard &raquo .

On note également pour tout entier naturel  :

  • la probabilité qu&rsquo une personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver 
  • la probabilité qu&rsquo une personne pratique le snowboard lors du n-ième hiver 
  • la matrice ligne donnant l&rsquo état probabiliste du système lors du n-ième hiver.

On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc .

Partie A

&gt 1. Représenter la situation à l&rsquo aide d&rsquo un graphe probabiliste de sommets S et . (0,5 point)

&gt 2.a) Donner la matrice de transition de ce graphe probabiliste. (0,25 point)

b) Calculer . (0,5 point)

c) Déterminer l&rsquo état probabiliste . (0,5 point)

&gt 3. Montrer que, pour tout entier naturel , on a (0,5 point)

&gt 4. On considère l&rsquo algorithme suivant :

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Variables :

Entrée :

Initialisation :

Traitement :

Sortie :

J et N sont des entiers naturels

p est un nombre réel

Saisir N

p prend la valeur 1

Pour J allant de 1 à N

p prend la valeur

Fin Pour

Afficher p

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Recopier et compléter la ligne ➅ de cet algorithme afin d&rsquo obtenir la probabilité . (0,5 point)

Partie B

On considère, pour tout entier naturel , l&rsquo événement  : &laquo  la personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver &raquo .

La probabilité de l&rsquo événement est notée . On a donc .

On sait d&rsquo après la partie A que, pour tout entier naturel  :

Soit la suite définie pour tout entier naturel par .

&gt 1. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de . (0,5 point)

&gt 2. En déduire l&rsquo expression de en fonction de n, puis l&rsquo expression de en fonction de n. (0,5 point)

&gt 3. Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

Partie C

Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-après.

Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.

Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passage.

Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.


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Déterminer, à l&rsquo aide de l&rsquo algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. (1 point)

Exercice 4 (4 points)
Étude des sinistres déclarés à un cabinet d&rsquo assurance

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à près.

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans un cabinet d&rsquo assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.

Partie A

Une enquête affirme que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année.

&gt 1. Dans le cadre d&rsquo une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.

On note la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année.

a) Justifier que la loi de probabilité de est la loi binomiale de paramètres :

et . (0,75 point)

b) Calculer P(X 1). (0,5 point)

&gt 2. Un expert indépendant interroge un échantillon de 100 clients choisis au hasard dans l&rsquo ensemble des clients du cabinet d&rsquo assurance.

a) Déterminer l&rsquo intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année. (0,75 point)

b) L&rsquo expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année.

Déterminer, en justifiant, si l&rsquo affirmation du cabinet d&rsquo assurance : &laquo  30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année &raquo peut être validée par l&rsquo expert. (1 point)

Partie B

Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégories.

On s&rsquo intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l&rsquo année.

On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres.

On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type .

&gt 1. Calculer la probabilité qu&rsquo un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 &euro et 1 500 &euro . (0,5 point)

&gt 2. Calculer la probabilité qu&rsquo un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 &euro . (0,5 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

&gt 1. Les pourcentages ne peuvent pas être additionnés. Utilisez les coefficients multiplicateurs, déterminez le coefficient multiplicateur global correspondant à la diminution du budget sur 5 ans.

&gt 2. c) Utilisez la définition de la valeur moyenne d&rsquo une fonction sur un intervalle.

Exercice 2. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Dérivée &bull Tangente &bull Convexité &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire.

Les conseils du correcteur

&gt 2. a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

&gt 4. c) Si une fonction dérivable est convexe sur un intervalle, alors sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes  si la fonction est concave, alors sa courbe représentative est en-dessous de ses tangentes.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Boucle &laquo  Pour &raquo &bull Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

&gt 1. a) Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités portées par les branches issues d&rsquo un même &laquo  nœud &raquo est égale à 1.

&gt 3. c) Utilisez le résultat sur la limite d&rsquo une suite géométrique de raison telle que pour déterminer la limite de la suite et déduisez-en la limite de la suite .

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle &bull Graphe probabiliste &bull Matrice &bull Boucle &laquo  Pour &raquo &bull Suite géométrique &bull Plus court chemin.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

&gt 2. a) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe  la somme des coefficients d&rsquo une ligne est égale à 1.

Partie B

&gt 3. Utilisez le résultat sur la limite d&rsquo une suite géométrique de raison telle que pour déterminer la limite de la suite et déduisez-en la limite de la suite .

Exercice 4. Durée conseillée : 40 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Variable aléatoire &bull Loi binomiale &bull Intervalle de fluctuation &bull Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 2. a) Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence dans un échantillon de taille est :

,

est la proportion supposée dans la population (ici ).

&gt 2. b) L&rsquo affirmation peut être validée si la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre observée sur l&rsquo échantillon appartient à l&rsquo intervalle de fluctuation au seuil de 95 % déterminé à la question précédente.

Partie B

&gt 1. Utilisez la calculatrice.