> 1. La direction de l’entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux.

Affirmation 1 : « Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans. »

> 2. La production mensuelle varie entre 0 et 10 000 clés.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, peut être modélisé par la fonction définie sur l’intervalle [0  10] par :

où représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.

Affirmation 2a : « Lorsque l’entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, le bénéfice est positif. »

Affirmation 2b : « Lorsque l’entreprise produit et vend 5 000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal. »

Affirmation 2c : « Lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros. »

> 3. Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de 4 000 clés. Parmi ces clés, 210 sont défectueuses.

Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.

Affirmation 3 : « À l’issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication. »

> 1.a) Montrer que, pour tout réel  :

b) En déduire le sens de variation de f sur . (0,5 point)

> 2.a) Montrer que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle [– 1  0]. (0,75 point)

b) Donner un encadrement de à près. (0,5 point)

> 3. Montrer que l’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse 0 est :

> 4. L’objectif de cette question est de déterminer la position relative de par rapport à T.

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l’expression et le signe de , où désigne la dérivée seconde de f.

a) Déterminer le sens de variation de la dérivée de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Déterminer l’intervalle de sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. (0,75 point)

c) En déduire la position relative de par rapport à T sur l’intervalle   2]. (0,5 point)

> 5. On a tracé ci-dessous la courbe et la tangente T dans un repère orthonormé.

a) On considère la fonction F définie sur par :

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine colorié compris entre la courbe , la tangente T et les droites d’équations et , puis donner le résultat arrondi à près. (1 point)

> 1.a) Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : (0,5 point)

b) Montrer que . (0,5 point)

Pour la suite de l’exercice, on donne et on note, pour tout entier naturel n, l’événement « la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable » et sa probabilité.

On admet de plus, que, pour tout entier naturel n,

> 2. On considère l’algorithme suivant :

a) Écrire ce qu’affiche cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur N = 1. (0,5 point)

b) Donner le rôle de cet algorithme. (0,5 point)

> 3. On considère la suite définie pour tout entier naturel n par :

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme . (0,75 point)

b) En déduire l’expression de en fonction de n, puis l’expression de en fonction de n. (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

> 4.a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

b) Interpréter le résultat trouvé. (0,5 point)

> 1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets S et . (0,5 point)

> 2.a) Donner la matrice de transition de ce graphe probabiliste. (0,25 point)

b) Calculer . (0,5 point)

c) Déterminer l’état probabiliste . (0,5 point)

> 3. Montrer que, pour tout entier naturel , on a (0,5 point)

> 4. On considère l’algorithme suivant :

Recopier et compléter la ligne ➅ de cet algorithme afin d’obtenir la probabilité . (0,5 point)

>1. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de . (0,5 point)

> 2. En déduire l’expression de en fonction de n, puis l’expression de en fonction de n. (0,5 point)

> 3. Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

> 1. Dans le cadre d’une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.

On note la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année.

a) Justifier que la loi de probabilité de est la loi binomiale de paramètres :

b) Calculer P(X 1). (0,5 point)

> 2. Un expert indépendant interroge un échantillon de 100 clients choisis au hasard dans l’ensemble des clients du cabinet d’assurance.

a) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année. (0,75 point)

b) L’expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

Déterminer, en justifiant, si l’affirmation du cabinet d’assurance : « 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année » peut être validée par l’expert. (1 point)

> 1. Calculer la probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 €. (0,5 point)

> 2. Calculer la probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 €. (0,5 point)