Amérique du Sud • Novembre 2013
matT_1311_03_00C
Sujets complets
5
CORRIGE
Amérique du Sud • Novembre 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
Étude de la production et de la vente de clés USB et contrôle de qualité
Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l’entreprise.
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)
Affirmation 1 : « Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans. »
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, peut être modélisé par la fonction 
définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :
où 
représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.
Affirmation 2a : « Lorsque l’entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, le bénéfice est positif. »
Affirmation 2b : « Lorsque l’entreprise produit et vend 5 000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal. »
Affirmation 2c : « Lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros. »
Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.
Affirmation 3 : « À l’issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication. »
Exercice 2 (6 points)
Étude d’une fonction comportant une exponentielle ; représentation graphique et calcul d’une aire
Commun à tous les candidats
On considère f la fonction définie sur 
par :
On note 
la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et 
la fonction dérivée de f.
:
(0,5 point)
. (0,5 point)
admet une unique solution 
sur l’intervalle [– 1 ; 0]. (0,75 point)
à 
près. (0,5 point)
à 
au point d’abscisse 0 est :
. (0,5 point)
par rapport à T.
À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l’expression et le signe de 
, où 
désigne la dérivée seconde de f.
|
|
Instruction |
Réponse |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
résoudre
|
|
de la fonction f sur 
. (0,5 point)
sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. (0,75 point)
par rapport à T sur l’intervalle 
; 2]. (0,5 point)
et la tangente T dans un repère orthonormé.
par :
Montrer que F est une primitive de la fonction f sur 
. (0,5 point)
, la tangente T et les droites d’équations 
et 
, puis donner le résultat arrondi à 
près. (1 point)
Exercice 3 (5 points)
Étude d’une cote de popularité (probabilités conditionnelles, suites)
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c’est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l’action qu’il mène). Ce sondage résulte d’une enquête réalisée auprès d’un échantillon de la population du pays.
Les enquêtes réalisées révèlent que, d’un mois à l’autre :
- 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ;
- 4 % des personnes qui n’étaient pas favorables le deviennent.
- On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :
l’événement « la personne interrogée a une opinion favorable dès l’élection du président » de probabilité 
et 
son événement contraire ;
l’événement « la personne interrogée le 1er mois a une opinion favorable » de probabilité 
et 
son événement contraire.
. (0,5 point)
Pour la suite de l’exercice, on donne 
et on note, pour tout entier naturel n, 
l’événement « la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable » et 
sa probabilité.
On admet de plus, que, pour tout entier naturel n, 
|
Variables : Entrée : Initialisation : Traitement : Sortie : |
J et N sont des entiers naturels P est un nombre réel Saisir N P prend la valeur 0,55 Pour J allant de 1 à N P prend la valeur 0,9 P + 0,04 Fin Pour Afficher P |
définie pour tout entier naturel n par :
est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme 
. (0,75 point)
en fonction de n, puis l’expression de 
en fonction de n. (0,75 point)
et interpréter le résultat. (0,5 point)
(0,5 point)
Exercice 3 (5 points)
Étude à l’aide de graphes de l’évolution des préférences des skieurs et d’une distance minimale dans un domaine skiable
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.
L’étude révèle que :
- Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu’elle pratique le snowboard l’hiver suivant est égale à 0,2.
- Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu’elle pratique le ski de piste l’hiver suivant est égale à 0,3.
On note S l’état « la personne pratique le ski de piste » et 
l’état « la personne pratique le snowboard ».
On note également pour tout entier naturel 
:
la probabilité qu’une personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ;
la probabilité qu’une personne pratique le snowboard lors du n-ième hiver ;
la matrice ligne donnant l’état probabiliste du système lors du n-ième hiver.
On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc 
.
Partie A
. (0,5 point)
de ce graphe probabiliste. (0,25 point)
. (0,5 point)
. (0,5 point)
, on a 
(0,5 point)
|
Variables : ➀ ➁ Entrée : ➂ Initialisation : ➃ Traitement : ➄ ➅ ➆ Sortie : ➇ |
J et N sont des entiers naturels p est un nombre réel Saisir N p prend la valeur 1 Pour J allant de 1 à N p prend la valeur Fin Pour Afficher p |
Recopier et compléter la ligne ➅ de cet algorithme afin d’obtenir la probabilité 
. (0,5 point)
Partie B
On considère, pour tout entier naturel 
, l’événement 
: « la personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ».
La probabilité de l’événement 
est notée 
. On a donc 
.
On sait d’après la partie A que, pour tout entier naturel 
:
Soit la suite 
définie pour tout entier naturel 
par 
.
est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de 
. (0,5 point)
en fonction de n, puis l’expression de 
en fonction de n. (0,5 point)
et interpréter le résultat. (0,5 point)
Partie C
Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-après.
Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.
Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passage.
Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.
Déterminer, à l’aide de l’algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. (1 point)
Exercice 4 (4 points)
Étude des sinistres déclarés à un cabinet d’assurance
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 
près.
Les parties A et B sont indépendantes.
Dans un cabinet d’assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.
Partie A
Une enquête affirme que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.
On note 
la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année.
est la loi binomiale de paramètres :
et 
. (0,75 point)
1). (0,5 point)
Déterminer, en justifiant, si l’affirmation du cabinet d’assurance : « 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année » peut être validée par l’expert. (1 point)
Partie B
Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégories.
On s’intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l’année.
On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
.
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Variations d’une fonction • Valeur moyenne d’une fonction • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
Exercice 2. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires • Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.
Les conseils du correcteur
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Boucle « Pour » • Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
telle que 
pour déterminer la limite de la suite 
et déduisez-en la limite de la suite 
.
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Probabilité conditionnelle • Graphe probabiliste • Matrice • Boucle « Pour » • Suite géométrique • Plus court chemin.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
telle que 
pour déterminer la limite de la suite 
et déduisez-en la limite de la suite 
.
Exercice 4. Durée conseillée : 40 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Variable aléatoire • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
est :
,
où 
est la proportion supposée dans la population (ici 
).
de clients ayant déclaré un sinistre observée sur l’échantillon appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % déterminé à la question précédente.
Partie B
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. Étudier des diminutions successives d’un budget
, donc diminuer une quantité de 6 % revient à la multiplier par 0,94.
(0,94 est le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 6 %.)
Notez bien
Dans le cas de plusieurs évolutions successives en pourcentage, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs.
Puisque le budget diminue de 6 % par an pendant 5 ans, il est globalement multiplié par 0,945.
Or 
et 
; suite à la diminution de 6 % par an pendant 5 ans, le budget diminue globalement d’environ 26,6 %.
> 2. Étudier le bénéfice d’une entreprise produisant des clés USB
Pour 
milliers de clés produites et vendues, le bénéfice, en milliers d’euros, est :
On détermine les solutions de l’équation 
Le discriminant est 
. Les solutions sont 
et 
.
Si l’entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, alors 
.
D’après les résultats sur le signe d’un trinôme vus en première, si un trinôme 
possède deux racines et si 
est compris entre ces deux racines, alors 
est du signe de 
, où 
est le coefficient de 
. Ici 
, donc 
est positif si 
est compris entre 1 et 9.
Info
L’étude des variations de la fonction 
permet de retrouver la réponse à la question 2. a) :
, 
est croissante sur [1 ; 5] et décroissante sur [5 ; 9], donc si 
est compris entre 1 et 9, alors 
est positif.
Si l’entreprise produit et vend 5 000 clés USB, alors 
.
On étudie les variations de la fonction 
sur l’intervalle [0 ; 10].
.
Donc 
, 
sur [0 ; 5[, 
sur ]5 ; 10].
Sur [0 ; 10], la fonction 
atteint donc son maximum en 
.
Le bénéfice mensuel moyen (en milliers d’euros) lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés est la valeur moyenne de la fonction B entre 2 et 8, c’est-à-dire :
La fonction 
a pour primitive la fonction 
définie par :
.
D’où :
Lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est donc égal à 13 000 euros.
> 3. Déterminer et utiliser un intervalle de confiance dans le cadre d’un contrôle de qualité
Si 
est la taille de l’échantillon, et 
la fréquence de clés défectueuses dans cet échantillon, alors l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % est approximativement 
.
Ici, 
et 
, donc l’intervalle de confiance 
est approximativement [0,0367 ; 0,0684].
La borne supérieure de cet intervalle de confiance est approximativement 0,0684, ce qui correspond à 6,84 %. Elle ne dépasse pas 7 %, et le directeur des ventes ne devra pas stopper la chaîne de fabrication.
Exercice 2
Commun à tous les candidats
> 1. a) Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle
D’après la formule de dérivation du produit de deux fonctions, pour tout réel 
b) Étudier le sens de variation d’une fonction comportant une exponentielle
Notez bien
admet un maximum en 
; ce maximum est 
Pour tout réel 
, 
, donc 
est du signe de 
.
Sur 
, 
Sur 
, 
> 2. a) Montrer qu’une équation a une solution unique
Notez bien
.
D’après la question précédente, la fonction 
est continue et strictement croissante sur l’intervalle [–1 ; 0].
et 
, donc 
.
b) Donner un encadrement d’une solution d’une équation
D’après la calculatrice, 
et 
, donc
, donc :
> 3. Déterminer l’équation réduite d’une tangente
L’équation réduite de la tangente à 
au point d’abscisse 
est :
.
Ici 
; 
et 
.
Donc 
a pour équation 
, soit :
> 4. a) Étudier le sens de variation de la dérivée d’une fonction
Pour étudier le sens de variation de 
, on calcule sa dérivée 
D’après le tableau donné, pour tout réel 
, 
(ce résultat peut être obtenu en calculant la dérivée de la fonction 
déterminée au début de l’exercice).
Pour tout réel 
, 
, donc 
est du signe de 
.
Sur l’intervalle 
, 
, donc 
, et donc 
.
Sur l’intervalle 
, donc 
, et donc 
.
(Ces résultats correspondent à ceux obtenus par le logiciel de calcul formel.)
b) Étudier la convexité d’une fonction
De la question précédente, on déduit 
.
c) Étudier la position de la courbe représentative d’une fonction par rapport à l’une de ses tangentes
Notez bien
Cette conclusion est confirmée par la représentation graphique donnée à la question suivante.
et 
est concave sur 
, donc sur cet intervalle, 
est entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes.
> 5. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée
Soit F la fonction définie sur 
par 
Pour tout réel 
, 
b) Calculer l’aire d’un domaine plan
D’après la question précédente, 
est en-dessous de T sur l’intervalle [0 ; 1].
Donc l’aire, en unités d’aire, du domaine hachuré est :
Exercice 3
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. a) Compléter un arbre pondéré
.
car, d’un mois à l’autre, 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus, donc 94 % le sont toujours.
car 4 % des personnes qui n’étaient pas favorables le deviennent et donc 96 % des personnes qui n’étaient pas favorables le restent.
D’où l’arbre pondéré :
b) Établir une relation entre deux probabilités
constituent une partition de l’univers, d’où :
D’après l’arbre :
> 2. a) Donner le résultat affiché en sortie par un algorithme
Lorsque l’utilisateur entre la valeur N
P prend la valeur 
.
b) Donner le rôle d’un algorithme
Notez bien
est la probabilité que la personne interrogée le N-ième mois ait une opinion favorable.
Cet algorithme calcule les valeurs de 
pour 
variant de 1 à N 
> 3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
soit 
.
Son premier terme est :
b) Donner l’expression du terme général de deux suites
est la suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme 0,15 donc, pour tout entier naturel n :
.
, donc :
c) Déterminer la limite d’une suite et en donner une interprétation
, donc :
Quand le nombre de mois augmente, la probabilité qu’une personne choisie au hasard ait une opinion favorable tend vers 0,4.
> 4. a) Résoudre une inéquation où l’inconnue est un entier naturel en exposant
équivaut à :
.
- Première méthode
On peut calculer les puissances successives de 0,9 et noter l’exposant de la première puissance inférieure à 
.
et 
, donc 
équivaut à :
- Deuxième méthode
Attention
, donc 
; on divise l’inégalité par 
qui est négatif, donc l’inégalité change de sens.
Puisque la fonction ln est strictement croissante sur 
, 
équivaut à :
, soit 
.
, donc 
. n est un entier naturel d’où :
.
b) Interpréter les solutions d’une inéquation
L’inéquation résolue à la question précédente équivaut à 
Exercice 3
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
> 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste
La situation de l’énoncé peut être représentée par le graphe suivant :
> 2. a) Donner la matrice de transition d’un graphe probabiliste
Par définition, la matrice de transition d’un graphe probabiliste est la matrice M telle que, pour tout entier naturel 
:
.
D’après l’énoncé :
.
Donc la matrice de transition du graphe précédent est :
b) Calculer une puissance d’une matrice
Notez bien
On peut interpréter ces résultats de la manière suivante :
« Le deuxième hiver, la probabilité qu’une personne pratique le ski de piste est égale à 0,7, la probabilité qu’elle pratique le snowboard est 0,3. »
c) Déterminer un état probabiliste
> 3. Établir une relation de récurrence entre les termes d’une suite
Notez bien
sont les probabilités de deux événements contraires, donc 
.
Pour tout entier naturel 
:
car 
Donc :
> 4. Compléter un algorithme
Pour que l’algorithme donné calcule et affiche 
, on complète la ligne ➅ :
Partie B
> 1. Montrer qu’une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
Son premier terme est :
> 2. Donner l’expression du terme général de deux suites
Puisque 
est la suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 0,5, pour tout entier naturel n :
, donc 
, d’où :
> 3. Déterminer la limite d’une suite et en donner une interprétation
, donc 
La probabilité qu’une personne choisie au hasard pratique le ski de piste tend vers 0,6.
Partie C
Déterminer la distance minimale entre deux sommets d’un graphe pondéré
Pour déterminer la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I, on utilise l’algorithme de Dijkstra qui peut être résumé par le tableau ci-après :
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
|
0 |
7 (A) |
16 (A) |
∞ |
21 (A) |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
|
|
|
16 (A) |
25 (B) |
21 (A) |
15 (B) |
∞ |
∞ |
∞ |
|
|
|
16 (A) |
25 (B) |
20 (F) |
|
∞ |
22 (F) |
∞ |
|
|
|
|
25 (B) |
20 (F) |
|
∞ |
22 (F) |
∞ |
|
|
|
|
25 (B) |
|
|
∞ |
22 (F) |
38 (E) |
|
|
|
|
25 (B) |
|
|
35 (H) |
|
38 (E) |
|
|
|
|
|
|
|
30 (D) |
|
38 (E) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 (G) |
Notez bien
Il existe d’autres chemins de A à I comportant moins d’étapes, mais ces chemins sont plus longs.
Par exemple, le chemin A – E – I ne comporte que deux étapes, mais sa longueur totale est 39, soit 3 900 mètres.
Le plus court chemin de A à I est,
Exercice 4
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. a) Justifier la loi de probabilité d’une variable aléatoire
On considère qu’on répète de manière indépendante 15 épreuves de Bernoulli identiques (choix d’un client) ; le succès est « le client a déclaré un sinistre au cours de l’année », la probabilité de succès est 
, car on admet que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.
b) Calculer une probabilité à partir de la loi binomiale
P(X 
1) 
> 2. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation
; on considère un échantillon de taille 
.
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre dans un échantillon de taille n est :
.
.
Partie B
> 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
La probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 € est 
.
D’après la calculatrice :
> 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
La probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 € est 
.
Le coût d’un sinistre ne peut pas être négatif, donc :
.
D’après la calculatrice :
Commun à tous les candidats