&gt  1. La direction de l&rsquo entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux.

Affirmation 1 : &laquo  Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans. &raquo

&gt  2. La production mensuelle varie entre 0 et 10 000 clés.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d&rsquo euros, peut être modélisé par la fonction définie sur l&rsquo intervalle [0  10] par :

où représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.

Affirmation 2a : &laquo  Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, le bénéfice est positif. &raquo

Affirmation 2b : &laquo  Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend 5 000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal. &raquo

Affirmation 2c : &laquo  Lorsque l&rsquo entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros. &raquo

&gt  3. Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de 4 000 clés. Parmi ces clés, 210 sont défectueuses.

Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l&rsquo intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.

Affirmation 3 : &laquo  À l&rsquo issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication. &raquo

&gt  1.a) Montrer que, pour tout réel  :

b) En déduire le sens de variation de f sur . (0,5 point)

&gt  2.a) Montrer que l&rsquo équation admet une unique solution sur l&rsquo intervalle [&ndash  1  0]. (0,75 point)

b) Donner un encadrement de à près. (0,5 point)

&gt  3. Montrer que l&rsquo équation réduite de la tangente à au point d&rsquo abscisse 0 est :

&gt  4. L&rsquo objectif de cette question est de déterminer la position relative de par rapport à T.

À l&rsquo aide d&rsquo un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l&rsquo expression et le signe de , où désigne la dérivée seconde de f.

a) Déterminer le sens de variation de la dérivée de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Déterminer l&rsquo intervalle de sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. (0,75 point)

c) En déduire la position relative de par rapport à T sur l&rsquo intervalle   2]. (0,5 point)

&gt  5. On a tracé ci-dessous la courbe et la tangente T dans un repère orthonormé.

a) On considère la fonction F définie sur par :

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Calculer, en unités d&rsquo aire, l&rsquo aire du domaine colorié compris entre la courbe , la tangente T et les droites d&rsquo équations et , puis donner le résultat arrondi à près. (1 point)

&gt  1.a) Recopier et compléter l&rsquo arbre pondéré suivant : (0,5 point)

b) Montrer que . (0,5 point)

Pour la suite de l&rsquo exercice, on donne et on note, pour tout entier naturel n, l&rsquo événement &laquo  la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable &raquo et sa probabilité.

On admet de plus, que, pour tout entier naturel n,

&gt  2. On considère l&rsquo algorithme suivant :

a) Écrire ce qu&rsquo affiche cet algorithme lorsque l&rsquo utilisateur entre la valeur N = 1. (0,5 point)

b) Donner le rôle de cet algorithme. (0,5 point)

&gt  3. On considère la suite définie pour tout entier naturel n par :

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme . (0,75 point)

b) En déduire l&rsquo expression de en fonction de n, puis l&rsquo expression de en fonction de n. (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

&gt  4.a) Résoudre dans l&rsquo ensemble des entiers naturels l&rsquo inéquation :

b) Interpréter le résultat trouvé. (0,5 point)

&gt  1. Représenter la situation à l&rsquo aide d&rsquo un graphe probabiliste de sommets S et . (0,5 point)

&gt  2.a) Donner la matrice de transition de ce graphe probabiliste. (0,25 point)

b) Calculer . (0,5 point)

c) Déterminer l&rsquo état probabiliste . (0,5 point)

&gt  3. Montrer que, pour tout entier naturel , on a (0,5 point)

&gt  4. On considère l&rsquo algorithme suivant :

Recopier et compléter la ligne ➅ de cet algorithme afin d&rsquo obtenir la probabilité . (0,5 point)

&gt 1. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de . (0,5 point)

&gt  2. En déduire l&rsquo expression de en fonction de n, puis l&rsquo expression de en fonction de n. (0,5 point)

&gt  3. Déterminer la limite de la suite et interpréter le résultat. (0,5 point)

&gt  1. Dans le cadre d&rsquo une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.

On note la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année.

a) Justifier que la loi de probabilité de est la loi binomiale de paramètres :

b) Calculer P(X 1). (0,5 point)

&gt  2. Un expert indépendant interroge un échantillon de 100 clients choisis au hasard dans l&rsquo ensemble des clients du cabinet d&rsquo assurance.

a) Déterminer l&rsquo intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année. (0,75 point)

b) L&rsquo expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année.

Déterminer, en justifiant, si l&rsquo affirmation du cabinet d&rsquo assurance : &laquo  30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l&rsquo année &raquo peut être validée par l&rsquo expert. (1 point)

&gt  1. Calculer la probabilité qu&rsquo un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 &euro et 1 500 &euro . (0,5 point)

&gt  2. Calculer la probabilité qu&rsquo un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 &euro . (0,5 point)