Sujet complet d'Amérique du Sud 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud

 

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Amérique du Sud • Novembre 2015

Sujet complet • 20 points

Sujet complet d’Amérique du Sud 2015

Exercice 1 (5 points)
 Comportement de conducteurs à un feu tricolore et étude du trafic

Commun à tous les candidats

Les deux parties de l’exercice sont indépendantes.

Les probabilités demandées seront données à 0,001 près.

Une étude est menée par une association de lutte contre la violence routière. Des observateurs, sur un boulevard d’une grande ville, se sont intéressés au comportement des conducteurs d’automobile au moment de franchir un feu tricolore.

partie A

Dans cette partie, on s’intéresse au respect de la signalisation par les automobilistes.

Sur un cycle de deux minutes (120 secondes), le feu est à la couleur « rouge » pendant 42 secondes, « orange » pendant 6 secondes et « vert » pendant 72 secondes.

Par ailleurs, les observateurs notent que les comportements diffèrent selon la couleur du feu :

lorsque le feu est rouge, 10 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s’arrêtent ;

lorsque le feu est orange, 86 % des conducteurs continuent de rouler et les autres s’arrêtent ;

lorsque le feu est vert, tous les conducteurs continuent de rouler.

On s’intéresse à un conducteur pris au hasard, et on observe son comportement selon la couleur du feu. On note :

R l’événement « le feu est au rouge » ;

O l’événement « le feu est à l’orange » ;

V l’événement « le feu est au vert » ;

C l’événement « le conducteur continue de rouler ».

Pour tout événement A, on note p(A) sa probabilité, 5512153-Eqn1 la probabilité de A sachant que B est réalisé et 5512153-Eqn2 l’événement contraire de A.

1. Modéliser cette situation par un arbre pondéré. (1 point)

2. Montrer que la probabilité que le conducteur continue de rouler au feu est 0,678. (1 point)

3. Sachant qu’un conducteur continue de rouler au feu, quelle est la probabilité que le feu soit vert ? (1 point)

partie B

Dans cette partie, on s’intéresse au trafic aux heures de pointe.

On désigne par 5512153-Eqn3 la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures par heure à proximité du feu évoqué dans la partie A.

On admet que 5512153-Eqn4 suit la loi normale de moyenne 3 000 et d’écart-type 150.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer la probabilité de compter entre 2 800 et 3 200 voitures par heure à cet endroit. (0,5 point)

2. À l’aide de la calculatrice, déterminer la probabilité de compter plus de 3 100 voitures par heure à cet endroit. (0,5 point)

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

3. À un autre endroit du boulevard, à proximité d’un pont, la variable aléatoire 5512153-Eqn5 qui compte le nombre de voitures par heure suit la loi normale de moyenne 3 000 et d’écart type 5512153-Eqn6 strictement supérieur à 150.

Sur le graphique ci-après, la courbe correspondant à 5512153-Eqn7 est en vert et la courbe correspondant à 5512153-Eqn8 est en rouge.

Déterminer à quel endroit du boulevard, à proximité du feu ou du pont, la probabilité qu’il passe en une heure, entre 2 800 et 3 200 voitures, est la plus grande. Justifier à l’aide du graphique. (1 point)

matT_1511_03_00C_01

Exercice 2 (6 points)
 Étude d’une fonction ; application aux coûts de production d’une entreprise

Commun à tous les candidats

Les deux parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

partie A

La fonction 5512153-Eqn9 est définie pour tout réel 5512153-Eqn10 élément de l’intervalle [1 ; 7] par :

5512153-Eqn11

On note 5512153-Eqn12 la fonction dérivée de la fonction 5512153-Eqn13 et 5512153-Eqn14 sa dérivée seconde sur [1 ; 7].

1. Pour tout réel 5512153-Eqn15 de l’intervalle [1 ; 7] :

a) Calculer 5512153-Eqn16. (0,5 point)

b) Calculer 5512153-Eqn17. (0,5 point)

2. Déterminer sur quel intervalle la fonction 5512153-Eqn18 est convexe. (1 point)

partie B

Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre 1 000 et 7 000 articles par semaine.

On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d’euros, par la fonction 5512153-Eqn19 définie dans la partie A, où 5512153-Eqn20 désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués.

On note 5512153-Eqn21 la fonction définie sur [1 ; 7] représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout 5512153-Eqn22 de [1 ; 7] :

5512153-Eqn23

On admet que la fonction 5512153-Eqn24 est dérivable sur [1 ; 7]. On note 5512153-Eqn25 sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour tout 5512153-Eqn26 de l’intervalle [1 ; 7], on a :

5512153-Eqn27. (1 point)

2. a) Étudier les variations de la fonction 5512153-Eqn28 sur l’intervalle [1 ; 7]. (1 point)

b) Déterminer, en milliers, le nombre d’articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal. (0,5 point)

3. On considère la fonction 5512153-Eqn29 définie sur l’intervalle [1 ; 7] par :

5512153-Eqn30

a) Montrer que 5512153-Eqn31 est une primitive de 5512153-Eqn32 sur l’intervalle [1 ; 7]. (0,5 point)

b) Calculer la valeur moyenne 5512153-Eqn33 de 5512153-Eqn34 sur l’intervalle [1 ; 7]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 5512153-Eqn35. (1 point)

Exercice 3 (5 points)
 Probabilité de demander un avis sur une lecture proposée : étude à l’aide de suites

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l’hebdomadaire littéraire « La Lecture ». Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et elle demande ou non l’avis du bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l’hebdomadaire « La Lecture ». Son souhait de demander un avis change d’une semaine sur l’autre selon le plaisir qu’elle a eu à lire le livre et selon la pertinence du conseil donné par le bibliothécaire la semaine précédente.

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut 0,1.

Pour tout nombre entier naturel 5512153-Eqn36 strictement positif, on note 5512153-Eqn37 la probabilité que Claudine demande un avis la 5512153-Eqn38-ième semaine. On a ainsi 5512153-Eqn39.

On admet que, pour tout nombre entier naturel 5512153-Eqn40 strictement positif, on a :

5512153-Eqn41

1. Calculer la probabilité 5512153-Eqn42 que Claudine demande un avis la deuxième semaine. (0,5 point)

2. Pour tout nombre entier naturel 5512153-Eqn43 strictement positif, on définit la suite 5512153-Eqn44 par :

5512153-Eqn45

a) Montrer que la suite 5512153-Eqn46 est une suite géométrique de raison 0,5.

Préciser son premier terme 5512153-Eqn47. (1 point)

b) Montrer que, pour tout nombre entier naturel 5512153-Eqn48 strictement positif, on a :

5512153-Eqn49. (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite 5512153-Eqn50. (0,25 point)

d) En déduire la limite de la suite 5512153-Eqn51. Interpréter ce résultat. (0,5 point)

3. On considère l’algorithme suivant :

VARIABLES :

A est un réel

N est un entier naturel

L est un réel strictement compris entre 0,1 et 0,8

INITIALISATION :

A prend la valeur 0,1

N prend la valeur 1

TRAITEMENT :

Tant que 5512153-Eqn52

N prend la valeur N + 1

A prend la valeur 5512153-Eqn53

Fin du Tant que

SORTIE :

Afficher N

a) Pour la valeur L = 0,7, recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant. (0,5 point)

Valeur de N

1

2

 

Valeur de A

0,1

 

 

Condition 5512153-Eqn54

vraie

 

 

b) En déduire l’affichage de N obtenu en sortie d’algorithme quand la valeur de L est 0,7. (0,5 point)

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment on peut interpréter le nombre N obtenu en sortie de l’algorithme quand le nombre L est compris strictement entre 0,1 et 0,8. (0,5 point)

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

4. Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à 0,799. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
 Probabilité de demander un avis sur une lecture proposée : étude à l’aide d’un graphe probabiliste

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l’hebdomadaire littéraire « La Lecture ». Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et demande ou non l’avis de la bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l’hebdomadaire « La Lecture ».

Lorsque Claudine demande à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu’elle le demande de nouveau la semaine suivante est 0,9.

Lorsque Claudine ne demande pas à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu’elle ne le demande pas non plus la semaine suivante est 0,6.

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut 0,1.

Pour tout nombre entier naturel 5512153-Eqn55 strictement positif, on note :

5512153-Eqn56 la probabilité que Claudine demande un avis à la bibliothécaire la 5512153-Eqn57-ième semaine ;

5512153-Eqn58 la probabilité que Claudine ne demande pas d’avis à la bibliothécaire la 5512153-Eqn59-ième semaine ;

5512153-Eqn60 la matrice ligne traduisant l’état probabiliste la 5512153-Eqn61-ième semaine.

On a ainsi 5512153-Eqn62 et 5512153-Eqn63.

1. a) Illustrer la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B :

A représente l’état « Claudine demande un avis à la bibliothécaire » ;

B représente l’état « Claudine ne demande pas d’avis à la bibliothécaire ». (1 point)

b) Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l’ordre (A, B). (0,5 point)

2. Montrer que l’on a 5512153-Eqn64. (0,5 point)

3. a) Montrer que l’état stable de la répartition du choix de la demande d’avis est 5512153-Eqn65. (1 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

4. On admet que, pour tout nombre entier naturel 5512153-Eqn66 strictement positif, on a :

5512153-Eqn67

On considère l’algorithme suivant :

VARIABLES :

A est un réel et N est un entier naturel

INITIALISATION :

A prend la valeur 0,1

N prend la valeur 1

TRAITEMENT :

Tant que 5512153-Eqn68

N prend la valeur N + 1

A prend la valeur 5512153-Eqn69

Fin du Tant que

SORTIE :

Afficher N

Préciser ce que cet algorithme permet d’obtenir. (On ne demande pas de donner la valeur de N affichée en sortie d’algorithme.) (1 point)

5. On admet que, pour tout nombre entier naturel 5512153-Eqn70 strictement positif, on a :

5512153-Eqn71

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à 0,799. (0,5 point)

Exercice 4 (4 points)
 QCM sur les probabilités : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Les probabilités sont données à 0,001 près.

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.

Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent 400 enfants à cette fête ; ils indiquent aussi que 32 % des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.

1. Le nombre d’enfants issus des villages voisins est :

a) 128

b) 272

c) 303

d) 368

Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif. On admet que le nombre d’enfants est suffisamment grand pour que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.

On appelle 5512153-Eqn72 la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d’enfants de l’équipe habitant le village de Boisjoli.

2. La variable aléatoire 5512153-Eqn73 suit la loi binomiale de paramètres :

a) 5512153-Eqn74 et 5512153-Eqn75

b) 5512153-Eqn76 et 5512153-Eqn77

c) 5512153-Eqn78 et 5512153-Eqn79

d) 5512153-Eqn80 et 5512153-Eqn81

3. La probabilité que dans l’équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :

a) 0,125

b) 0,875

c) 0,954

d) 1

4. L’espérance mathématique de 5512153-Eqn82 est :

a) 1,7408

b) 2,56

c) 87,04

d) 128

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité • Loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les durées et les pourcentages donnés dans l’énoncé.

2. Utilisez une partition de l’univers.

3. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Partie B

1. et 2. Utilisez la calculatrice.

3. Les courbes données représentent les fonctions de densité des variables aléatoires 5512153-Eqn83 et 5512153-Eqn84. Les probabilités qu’il s’agit de comparer sont égales aux aires de deux domaines délimités par ces courbes.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Convexité • Point d’inflexion • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calculs d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

2. Étudiez le signe de 5512153-Eqn85.

Partie B

1. Calculez la dérivée en utilisant les formules du cours, réduisez au même dénominateur et factorisez le numérateur du quotient obtenu.

3. a) 5512153-Eqn86 est une primitive de 5512153-Eqn87 si et seulement si 5512153-Eqn88 est la dérivée de 5512153-Eqn89.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. a) La suite 5512153-Eqn90 est géométrique de raison 0,5 si et seulement si, pour tout entier naturel 5512153-Eqn91 strictement positif, 5512153-Eqn92.

b) Tenez compte du fait que le premier terme de la suite 5512153-Eqn93 est 5512153-Eqn94.

4. Utilisez la fonction ln.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

1. a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

3. a) L’état stable est associé à l’unique matrice ligne 5512153-Eqn95 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 5512153-Eqn96.

4. N’oubliez pas que, pour tout entier naturel 5512153-Eqn97, 5512153-Eqn98.

5. Utilisez la fonction ln.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Variable aléatoire • Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

1. Déterminez d’abord le nombre d’enfants qui habitent Boisjoli, ou bien le pourcentage, parmi les enfants présents à la fête, d’enfants issus des villages voisins.

3. Il est préférable de considérer l’événement contraire de celui dont la probabilité est demandée.

4. Utilisez un résultat du cours.