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Sujet complet d'Amérique du Sud 2017

Amérique du Sud • Novembre 2017

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet d'Amérique du Sud 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Tangente • Variable aléatoire.

Exercice 2 – Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Exercice 2 (spécialité) – Graphe probabiliste • Plus court chemin.

Exercice 3 – Intervalle de confiance • Loi à densité, loi normale.

Exercice 4 – Point d'inflexion • Intégrale, calculs d'aire.

 

Exercice 1 (4 points) 35 min
QCM sur la fonction ln et les probabilités : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 +[ par :

f(x)=11+5ln(x).

Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est :

a) y = 5x + 11

b) y = 5x + 6

c) y = 11x – 6

d) y = 5x + 16

2. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 +[ par :

f(x)=11+5ln(x).

L'équation f(x= 0 d'inconnue x a pour solution :

a) e115

b) ln(115)

c) e115

d) e115

3. On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de 6 qu'on obtient.

La probabilité p(= 1) d'obtenir exactement un 6, arrondie à 102, est :

a) 0,08

b) 0,17

c) 0,40

d) 0,80

4. On considère une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [2  7]. La fonction de densité de T est représentée ci-après.

matT_1711_03_00C_01

La probabilité conditionnelle p(T3)(T5) est égale à :

a) 12

b) 35

c) 25

d) 34

Exercice 2 (5 points) 45 min
Comparaison de deux contrats d'épargne

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

Mathieu dispose d'un capital de 20 000 euros qu'il veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux contrats d'épargne.

Contrat A : le capital augmente chaque année de 4 %.

Contrat B : le capital augmente chaque année de 2,5 % et une prime annuelle fixe de 330 euros est versée à la fin de chaque année et s'ajoute au capital.

On note an le capital, en euro, acquis au bout de n années si Mathieu choisit le contrat A et bn le capital, en euro, acquis au bout de années si Mathieu choisit le contrat B.

On a donc a0 = b0 = 20 000 et, pour tout entier naturel :

an+1 = 1,04 an et bn+1 = 1,025bn + 330.

1. Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat A.

a) Calculer la valeur, arrondie à l'euro, du capital disponible au bout de 10 ans. (0,5 point)

b) Déterminer le pourcentage d'augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de 10 ans. Arrondir le résultat à 1 %. (0,75 point)

2. Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat B.

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

un = 13 200 + bn.

a) Montrer que la suite (un) est géométrique de raison 1,025 et calculer son premier terme u0. (0,75 point)

b) Donner l'expression de un en fonction de n. (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

bn=33 200×1,025n13 200. (0,5 point)

d) Déterminer au bout de combien d'années le capital disponible devient supérieur à 40 000 euros. (0,75 point)

3. On considère l'algorithme suivant :

005_matT_1711_03_00C_algo_001

a) Le tableau ci-dessous traduit l'exécution pas à pas de l'algorithme.

Valeur de A

20 000

……

……

Valeur de B

20 000

……

……

Valeur de N

0

……

……

Condition A B

vraie

……

……

Recopier et compléter ce tableau en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de A et de B seront arrondies à l'unité. (0,75 point)

b) Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. (0,5 point)

Exercice 2 (5 points) 45 min
Répartition entre deux types d'abonnement et plus court trajet

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Pour les déplacements entre les principales villes d'une région, les habitants peuvent acquérir soit la carte d'abonnement bus (PassBus), soit la carte d'abonnement train (PassTrain), toutes les deux étant valables un an.

Une étude récente montre que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que, chaque année, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

10 % des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain 

15 % des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus.

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et T, où le sommet B représente l'état « abonné PassBus » et T l'état « abonné PassTrain ». (1 point)

2. Déterminer la matrice de transition de ce graphe en respectant l'ordre B, T des sommets. (0,5 point)

3. En 2016, les abonnements PassBus représentaient 25 % de l'ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient 75 %.

Quelle sera la part, en 2019, des abonnements PassBus dans l'ensemble des abonnements ?

Donner le résultat en pourcentage arrondi à 0,1 %. (1 point)

4. Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice. (1 point)

partie B

Le réseau ferroviaire de la région est schématisé par le graphe ci-dessous.

matT_1711_03_00C_02

Les sommets représentent les villes et les arêtes représentent les voies ­ferrées. Sur les arêtes du graphe sont indiquées les distances exprimées en kilomètre entre les villes de la région.

Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet le plus court pour aller de la ville A à la ville H. Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet. (1,5 point)

Exercice 3 (5 points) 50 min
Proportion de poissons infectés par une bactérie et temps de guérison

Commun à tous les candidats

Une entreprise d'élevage de poissons en bassin a constaté qu'une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie. Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l'un au mois de janvier et l'autre au mois de juin, afin d'étudier l'évolution de l'infection.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Au mois de janvier, lors du premier test, le laboratoire a prélevé au hasard 1 000 poissons parmi l'ensemble des poissons du bassin. La fréquence de poissons infectés par la bactérie dans cet échantillon est f1 = 5 %.

Au mois de juin, le laboratoire a prélevé de nouveau 1 000 poissons. Pour ce second test, la fréquence de poissons infectés est f2 = 10 %.

La fréquence de poissons infectés dans les deux échantillons ayant doublé en cinq mois, le laboratoire préconise d'arrêter la vente des poissons de l'entreprise.

On note p1 la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier et p2 la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin.

1. Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion p1, puis de la proportion p2. On arrondira les bornes des intervalles à 103. (1 point)

2. Quel argument pourrait donner l'entreprise pour éviter l'arrêt de la vente ? (0,5 point)

partie B

Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, le laboratoire dispose d'un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :

sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans 60 % des cas 

sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans 10 % des cas.

Pour un poisson prélevé au hasard, on note :

B l'événement « le poisson est infecté par la bactérie » 

T l'événement « le test du poisson est positif » 

B¯ et T¯ les événements contraires de B et T.

On note x la probabilité qu'un poisson soit infecté par la bactérie.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)

matT_1711_03_00C_03

2. a) Démontrer que p(T) = 0,5x + 0,1. (1 point)

b) Le laboratoire a constaté que 12,5 % des poissons d'un prélèvement ont eu un test positif. Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer pour ce prélèvement ? (0,75 point)

partie C

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.

Le temps de guérison d'un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne μ = 21 et d'écart-type σ = 5.

Les résultats seront arrondis au millième.

1. Déterminer la probabilité p(14 X 28). (0,5 point)

2. Déterminer la probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique. (0,75 point)

Exercice 4 (6 points) 50 min
Étude graphique et numérique d'une fonction et calcul d'une aire

Commun à tous les candidats

Le graphique ci-dessous représente dans un repère orthonormal la courbe représentative Cf d'une fonction f définie sur l'intervalle [0  2].

matT_1711_03_00C_04

On suppose que f est deux fois dérivable et on note f la fonction dérivée de f.

On sait que :

le point A(0 1) appartient à la courbe Cf 

la tangente à Cf au point B d'abscisse 0,25 est parallèle à l'axe des abscisses.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

On suppose que la fonction f est définie sur l'intervalle [0  2] par :

f(x)=(ax+b)e2x.

a et b sont deux réels à déterminer.

1. En utilisant le graphique et les données de l'énoncé, déterminer f(0) et f(0,25). (0,5 point)

2. Déterminer l'expression de f(x) en fonction de a et b. (0,75 point)

3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs des réels a et b. (1 point)

partie B

On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle [0  2] par :

f(x)=(4x+1)e2x.

On admet par ailleurs que :

f(x) = (28x)e2x et f(x)=(16x12)e2x

où f désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l'intervalle [0  2].

1. Étudier le signe de f sur [0  2], puis en déduire les variations de f sur [0  2]. (1 point)

2. Montrer que la courbe Cf admet, sur l'intervalle [0  2], un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. (0,75 point)

3. Soit F la fonction définie sur l'intervalle [0  2] par :

F(x)=(2x1,5)e2x.

a) Montrer que F est une primitive de la fonction f sur [0  2]. (0,5 point)

b) En déduire l'aire exacte A, en unité d'aire, du domaine D du plan situé entre Cf, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 2. (0,75 point)

c) Déterminer la valeur moyenne, arrondie à 101, de la fonction f sur l'intervalle [0  2]. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

 3. Déterminez, en justifiant, la loi de X et ses paramètres.

 4. Utilisez la définition d'une probabilité conditionnelle.

Exercice 2 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)

 2. a) La suite (vn) est géométrique de raison 1,025 si et seulement si, pour tout entier naturel n, vn+1 = 1,025 vn.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

 1. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.

 4. L'état probabiliste stable est représenté par une matrice ligne P telle que P × M = P, où M est la matrice de transition du graphe.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie B

 1. Complétez l'arbre par des probabilités conditionnelles.

 2. a) Utilisez une partition de l'univers.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie B

 3. b) et c) Utilisez la fonction F.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

 1. Déterminer une équation d'une tangente à une courbe

Pour tout x dans ]0 +[ , f(x)=5x, donc f(1)=5

La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 5, ce qui élimine la réponse c).

f(1)=11, donc la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 passe par le point d'ordonnée 11, le couple (1   11) vérifie toute équation de cette droite.

La bonne réponse est b).

attention !

La fonction f est définie sur l'intervalle ]0 +[, donc toute solution de l'équation f(x= 0 appartient à cet intervalle. Cela élimine les réponses a) et b) qui sont des nombres négatifs.

 2. Résoudre une équation comportant un logarithme

L'équation f(x= 0 équivaut à

ln(x)=115, donc à x=e115.

La bonne réponse est c).

 3. Déterminer une probabilité associée à une loi binomiale

L'expérience est la répétition de cinq épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où le « succès » est « on obtient 6 », la probabilité de succès étant 16 car le dé est supposé équilibré.

La variable aléatoire X prend pour valeurs le nombre de succès, donc elle suit la loi binomiale de paramètres 5 et 16.

D'après la calculatrice, en arrondissant à 102 :

p(X=1)0,40.

La bonne réponse est c).

 4. Déterminer une probabilité conditionnelle associée à une loi uniforme

Par définition d'une probabilité conditionnelle :

p(T3)(T5)=p(3T)p(T3)

p(3T5)=p(T[35])=25 et p(T3)=p(T[37])=45.

Donc p(T3)(T5)=25×54=12.

La bonne réponse est a).

Exercice 2

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et ­candidats de série L

 1. a) Calculer un terme d'une suite

Pour tout entier naturel n, an+1 = 1,04 an, donc la suite (an) est une suite géométrique de raison 1,04. Le capital disponible au bout de 10 ans est v10 (en euros) :

v10=v0×1,0410=20000×1,041029605 à l'unité près.

La valeur, arrondie à l'euro, du capital disponible au bout de 10 ans est donc 29605euros.

b) Déterminer un pourcentage d'augmentation

On détermine le pourcentage d'augmentation du capital, qui passe de 20 000 euros à 29 605 euros.

2960520000200000,48.

Pendant les 10 premières années, le capital augmente d'environ 48 %.

2. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

un+1 = 13 200 + bn+1 = 13 200 + 1,025bn + 330

un+1=1,025bn+13530=1,025(un13200)+13530

un+1 = 1,025un - 1,025 × 13 200 + 13 530 = 1,025un

Donc la suite (un) est une suite géométrique de raison 1,025.

Son premier terme est u0 = 13 200 + b0 = 33 200.

Le premier terme de la suite (un) est u0=33200.

b) Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n :

un=33200×1,025n

c) Donner l'expression du terme général d'une suite

Pour tout entier naturel n, un = 13 200 + bn, donc bn = un - 13 200, donc :

bn=33200×1,025n 13200

d) Déterminer l'indice du premier terme d'une suite supérieur à un nombre donné

Pour déterminer au bout de combien d'années le capital disponible devient supérieur à 40 000 euros, on résout l'inéquation bn > 40 000.

bn>4000033200×1,025n13200>400001,025n>5320033200nln1,025>ln(532332)n>ln(532332)ln1,025.

Or ln(532332)ln1,02519,095 et n est entier, donc le plus petit entier n solution de l'inéquation bn > 40 000 est n = 20.

Le capital devient supérieur à 40 000 euros au bout de 20 ans.

3. a) Construire un tableau décrivant le fonctionnement d'un algorithme

Valeur de A

20 000

20 800

21 632

22 497

23 397

24 333

25 306

Valeur de B

20 000

20 830

21 681

22 553

23 447

24 363

25 302

Valeur de N

0

1

2

3

4

5

6

Condition A B

vraie

vraie

vraie

vraie

vraie

vraie

fausse

b) Donner et interpréter une valeur affichée par un algorithme

La valeur affichée en sortie par cet algorithme est :

N=6

Pour une durée de placement inférieure à 6 ans, le contrat B est plus avantageux, au-delà, c'est le contrat A.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

Le graphe suivant représente la situation :

matT_1711_03_00C_05

En effet, si 10 % des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain, 90 % des abonnés PassBus renouvellent leur abonnement  si 15 % des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus, 85 % des abonnés PassTrain renouvellent leur abonnement.

 2. Déterminer la matrice de transition d'un graphe

La matrice de transition de ce graphe est :

M=(0,90,10,150,85)

3. Déterminer un état probabiliste

En 2016, les abonnements PassBus représentaient 25 % de l'ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient 75 %. Donc l'état probabiliste en 2016 peut être représenté par la matrice-ligne (0,25 0,75). Soit, pour tout entier naturel n, Pn la matrice-ligne représentant l'état probabiliste en 2016 + n, on a alors P0 = (0,25 0,75).

2019 = 2016 + 3, donc l'état probabiliste en 2019 est :

P3=P0×M3P3=(0,25  0,75) (0,90,10,150,85)3P3=(0,452343750,54765625).

En arrondissant à 0,1 %, en 2019, les abonnements PassBus représenteront environ 45,2 % de l'ensemble des abonnements, les abonnements Passtrain représenteront environ 54,8 %.

4. Déterminer l'état stable d'un graphe probabiliste

L'état stable est représenté par la matrice ligne P = (b t) telle que :

b + t = 1 et P × M = P.

P×M=P{0,9b+0,15t=b0,1b+0,85t=t0,1b=0,15tb=1,5t.

On résout le système {b+t=1b=1,5 t

Ce système équivaut à :

{b=0,6t=0,4

L'état stable du graphe probabiliste est donc (0,60,4).

Donc à long terme :

60 % des abonnés choisiront le PassBus 

40 % choisiront le PassTrain.

partie B

Déterminer le plus court chemin sur un graphe

On utilise l'algorithme de Dijkstra, résumé par le tableau suivant :

A

B

C

D

E

F

G

H

retenu

0

A (0)

20 (A)

28 (A)

80 (A)

B (20)

28 (A)

102 (B)

98 (B)

74 (B)

C (28)

102 (B)

98 (B)

74 (B)

F (74)

102 (B)

94 (F)

114 (F)

E (94)

102 (B)

110 (E)

D (102)

110 (E)

138 (D)

G (110)

134 (G)

H (134)

Le trajet le plus court de A à H est :

ABFEGH.

Sa longueur est 134 km.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie a

 1. Déterminer des intervalles de confiance de deux proportions

Si f est la fréquence d'individus possédant un certain caractère dans un échantillon de taille n et si n30, n×f5 et n×(1f)5, alors l'intervalle [f1n  f+1n] est un intervalle confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion d'individus possédant le caractère dans l'ensemble de la population.

Si f1 = 0,05 et =1 000, alors :

n30, n×f1=505 et n×(1f1)=9505.

En arrondissant les bornes à 103, l'intervalle I1=[0,018  0,082] est un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de p1.

Si f2 = 0,1 et =1 000, alors :

n30, n×f2=100et n×(1f2)=9005.

En arrondissant les bornes à 103, l'intervalle I2=[0,068  0,132] est un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de p2.

2. Argumenter à partir d'intervalles de confiance

I1 I2 0, donc on n'a pas nécessairement p2 > p1.

Pour éviter l'arrêt de la vente, l'entreprise peut avancer que la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin n'a pas nécessairement augmenté entre janvier et juin.

partie B

matT_1711_03_00C_06

 1. Compléter un arbre pondéré

D'après les données de l'énoncé, l'arbre pondéré ci-contre traduit cette situation.

2. a) Déterminer l'expression de la probabilité d'un événement

B et B¯ forment une partition de l'univers, donc :

p(T)=p(BT)+p( B¯T).

D'après l'arbre :

p(T)=0,6x+0,1(1x),

p(T)=0,5x+0,1

b) Estimer une proportion

attention !

Dans cette question, on assimile les probabilités et les proportions par rapport à l'ensemble des poissons du bassin.

Puisque 12,5 % des poissons d'un prélèvement ont eu un test positif, on va estimer que :

p(T)=0,125.

Donc 0,5x + 0,1 = 0,125, d'où x = 0,05 c'est-à-dire p(B)=0,05.

Le laboratoire va estimer que 5 % des poissons du bassin sont infectés.

partie C

 1. Déterminer une probabilité associée à une loi normale

D'après la calculatrice :

p(14X28)0,838

2. Déterminer une autre probabilité associée à une loi normale

5 semaines = 35 jours, donc la probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement est p(X > 35).

p(X>35)=p(X21)p(21X35)p(X>35)=0,5p(21X35).

D'après la calculatrice :

p(X>35)0,003

La probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique est environ 0,003.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

 1. Déterminer graphiquement une image et un nombre dérivé

Le point A(0 1) appartient à la courbe Cf, donc :

f(0)=1

La tangente en B, point d'abscisse 0,25, à la courbe Cf est parallèle à l'axe des abscisses, donc a pour coefficient directeur 0, d'où :

f(0,25)=0

 2. Déterminer l'expression de la dérivée d'une fonction

Pour tout réel x :

f(x)=a e2x2(ax+b)e2x

f(x)=(2ax+a2b) e2x

 3. Déterminer les valeurs de deux coefficients dans l'expression d'une fonction

f(0)=1, donc b = 1, donc f(x)=(ax+1)e2x.

f(x)=(2ax+a2)e2x, d'où :

f(0,25)=00,5a+a2=0a=4.

On en déduit que, pour tout x dans l'intervalle [0  2] :

f(x)=(4x+1)e2x

partie B

 1. Étudier les variations d'une fonction

conseil

La fonction f est celle dont l'expression a été déterminée à la fin de la partie A. On vérifie que les variations obtenues sont conformes à la courbe donnée.

e2x>0 pour tout x dans [0  2], donc f(x) a le signe de (2 - 8x).

28x=0x=14 

28x>00x14 

28x014x2.

D'où le tableau :

005_matT_1711_03_00C_tab1

 2. Montrer qu'une courbe admet un unique point d'inflexion

conseil

Comme à la question précédente, le résultat peut être vérifié par lecture graphique.

Pour tout x dans [0  2], f(x)=(16x12)e2x.

f(x)=0x=34  f′′ s'annule et change de signe en x=34, donc la courbe Cf admet, sur l'intervalle [0  2], un unique point d'inflexion d'abscisse 34.

3. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

Pour tout x dans [0  2] :

F(x)=2e2x2(2x1,5)e2x=(4x+1)e2x=f(x).

Donc F est une primitive de la fonction f sur [0  2].

b) Calculer une aire

D'après le tableau de variations dressé à la question 1., f est continue et positive sur [0  2], donc, en unités d'aire :

A=02f(x)dx=F(2)F(0)=5,5 e4+1,5

A=1,55,5 e4

c) Déterminer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de f sur [0  2] est :

μ=1202f(x)dx=12A=0,752,75 e4.

En arrondissant à 101, la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0  2] est :

μ0,7

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