France métropolitaine 2013
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matT_1306_07_01C
France métropolitaine • Juin 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (6 points)
Production de composants électriques, défauts de soudure et résistance
Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.
La production journalière de l'unité A est de 600 pièces, celle de l'unité B est de 900 pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d'une journée.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à 0,014.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à 0,024.
On note :
l'événement : « le composant présente un défaut de soudure ».
l'événement : « le composant est produit par l'unité A ».
l'événement : « le composant est produit par l'unité B ».
On note la probabilité de l'événement
et
la probabilité de l'événement
sachant que l'événement
est réalisé.
Partie A
Généralités
et
. (0,5 point)

(0,5 point)
et
. (1 point)
Partie B
Contrôle de qualité
On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne et d'écart-type
.
On prélève un composant dans la production.
Les résultats seront arrondis à 0,0001 près, ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe.
de l'événement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ». (0,5 point)
de l'événement : « La résistance du composant est comprise dans l'intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé ». (0,75 point)
Déterminer la probabilité qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés. (1 point)
Annexe
186 | 0,0000 | 196 | 0,0993 | 206 | 0,9420 |
187 | 0,0001 | 197 | 0,1587 | 207 | 0,9684 |
188 | 0,0002 | 198 | 0,2375 | 208 | 0,9839 |
189 | 0,0005 | 199 | 0,3341 | 209 | 0,9924 |
190 | 0,0013 | 200 | 0,4432 | 210 | 0,9967 |
191 | 0,0033 | 201 | 0,5568 | 211 | 0,9987 |
192 | 0,0076 | 202 | 0,6659 | 212 | 0,9995 |
193 | 0,0161 | 203 | 0,7625 | 213 | 0,9998 |
194 | 0,0316 | 204 | 0,8413 | 214 | 0,9999 |
195 | 0,0580 | 205 | 0,9007 | 215 | 1,0000 |
Exercice 2 (4 points)
Vrai/faux suites, fonctions, loi normale : 4 questions
Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.
À partir du premier septembre 2013, il place son capital sur un compte rapportant 0,2 % d'intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.
On note le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple, le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra :
euros.
L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juillet 2014.
On admet que la suite des capitaux est décrite par les relations :
Proposition : Sans apport supplémentaire, l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.
, on définit la fonction
par
Proposition : est une fonction convexe sur
.
,
On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :
Proposition : est une primitive de la fonction
définie sur
par
est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance
et d'écart-type
.
Exercice 3 (5 points)
Étude graphique et théorique d'une production de poulies
Commun à tous les candidats
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.
L'entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (
varie donc dans l'intervalle
).
Le bénéfice hebdomadaire est noté , il est exprimé en milliers d'euros.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Partie A
Étude graphique
On a représenté, en annexe, la fonction dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.
Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.
Pour quel nombre de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? (0,5 point)
Partie B
Étude théorique
Le bénéfice hebdomadaire, noté , exprimé en milliers d'euros, vaut :
la fonction dérivée de la fonction
.
Montrer que pour tout réel de l'intervalle
, on a :
sur l'intervalle
.
(0,5 point)
sur l'intervalle
. On indiquera les valeurs de la fonction
aux bornes de l'intervalle. (0,75 point)
admet deux solutions
, l'une dans l'intervalle [0 3], l'autre dans l'intervalle [3 3,6]. (1 point)
Annexe

Exercice 4 (5 points)
Étude de la dépense des ménages en programmes audiovisuels
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
Dans cet exercice, on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinéma, vidéos…).
On note la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année
.
Soit la fonction définie, pour tout nombre réel
, par :
Pour tout entier vérifiant
, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année
par le nombre
.
de l'erreur commise en remplaçant
par
.
(Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul :
et le résultat sera donné à 0,1 % près). (1 point)
, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? (1,25 point)
(On arrondira le résultat au centième de milliard d'euros).
pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.
de la fonction
sur l'intervalle [0 20]. (1 point)
Exercice 4 (5 points)
Trajet minimal et feux tricolores
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d'Aoste.
Quatre fois par mois, son employeur l'envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.
Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d'un budget mensuel de 2 200 euros pour son carburant. Ce qu'il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.
Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.
Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes d'Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

Les deux parties sont indépendantes.
Partie A
Étude du trajet
En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l'euro près. (0,75 point)
Partie B
Traversée de Parme
Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu'il est rouge, il s'arrête.
L'expérience lui a permis d'établir que, s'il se présente à un feu, il se produit les événements suivants :
Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,85.
Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30.
du graphe, en considérant les sommets dans l'ordre (V, R) en ligne comme en colonne. (0,5 point)
donnant l'état initial est donc (1 0).
et
. (Le détail des calculs n'est pas demandé.) (1 point)
de l'événement « le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu ». (0,75 point)
Exercice 1. Durée conseillée : 55 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés • Loi de probabilité • Probabilités conditionnelles • Loi à densité.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Exercice 2. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Suites arithmétiques ou géométriques • Dérivées usuelles • Fonction logarithme népérien • Convexité • Primitives usuelles.
Les conseils du correcteur
(en euros).
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonctions exponentielles • Théorème des valeurs intermédiaires.
Les conseils du correcteur
Partie A
et déterminez les points d'intersection de cette droite avec la courbe.
Partie B
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Évolution d'un taux • Primitives usuelles • Valeur moyenne d'une fonction.
Les conseils du correcteur
, donc la dépense totale pour l'année 2013 peut être estimée, en milliards d'euros, par
.
déterminée à la question précédente.
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés • Graphes probabilistes • Matrice associée à un graphe.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
de l'événement « Le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu » est la probabilité que le troisième feu soit orange ou rouge c'est l'un des coefficients de la matrice
.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. a) Traduire en termes de probabilités conditionnelles les données d'un énoncé
Notez bien
Ces résultats peuvent être interprétés de la manière suivante : 1,4 % des composants produits par l'unité A sont défectueux, 2,4 % des composants produits par l'unité B sont défectueux.
D'après l'énoncé, la probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à 0,014, donc :
D'après l'énoncé, la probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à 0,024, donc :
b) Calculer la probabilité de deux événements
> 2. Construire un arbre pondéré représentant une situation probabiliste
Notez bien
Pour compléter l'arbre, on utilise la propriété suivante : « la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud est égale à 1 ».

> 3. a) Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
b) Calculer la probabilité d'un événement
Notez bien
Ce résultat signifie que 2 % des composants produits sont défectueux.
> 4. Calculer une probabilité conditionnelle
Notez bien
Parmi les composants défectueux, 28 % proviennent de l'unité A.
La probabilité qu'un composant présentant un défaut de soudure provienne de l'unité A est et, par définition d'une probabilité conditionnelle :
partie b
> 1. Calculer une probabilité associée à une loi normale
> 2. Calculer une probabilité associée à une loi normale
> 3. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale
Soit la variable aléatoire qui à chaque série de trois composants prélevés associe le nombre de composants acceptés.
Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli dans laquelle le succès est « le composant est accepté ».
compte le nombre de succès lors de la répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes,
suit donc la loi binomiale de paramètres 3 et 0,84.
La probabilité qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est et, d'après les résultats du cours sur la loi binomiale :
D'où :
Exercice 2
Commun à tous les candidats
> 1. Calculer les termes successifs d'une suite
Or est le capital (en euros) de l'étudiant au début du mois de mars 2014 ce capital est négatif, donc sans apport supplémentaire, l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.
> 2. Étudier la convexité d'une fonction
> 3. Calculer la dérivée d'une fonction comportant un logarithme
D'après le logiciel, pour tout :
Or, d'après les propriétés de la fonction logarithme népérien :
> 4. Calculer une probabilité associée à une loi normale
D'après le cours, si est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance
et d'écart-type
, alors
.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Résoudre graphiquement une inéquation
Un bénéfice hebdomadaire égal à 13 000 euros correspond à . On trace la droite d'équation
, on détermine les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de cette droite.
Graphiquement, on observe qu'un point de la courbe est au-dessus de la droite d'équation si et seulement si son abscisse
est telle que
(voir figure ci-après).
> 2. Déterminer graphiquement le maximum d'une fonction
Notez bien
Le point de la courbe d'ordonnée maximale a pour coordonnées (approximativement) (3 15,1).
D'après la courbe,

Partie B
> 1. a) Calculer la dérivée d'une fonction
b) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction
c) Dresser le tableau de variation d'une fonction

> 2. a) Montrer qu'une équation possède exactement deux solutions
La fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 3]
. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
a une solution unique
dans l'intervalle [0 3] .
La fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [3 3,6]
. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
a une solution unique
dans l'intervalle [3 3,6] .
b) Déterminer une valeur approchée des deux solutions d'une équation
Notez bien
Ces résultats sont cohérents avec ceux obtenus par lecture graphique dans la partie A.
Exercice 4
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. Calculer l'image d'un nombre par une fonction
> 2. Calculer le pourcentage de l'erreur commise lors d'une approximation
Le pourcentage de l'erreur commise en remplaçant par
est :
> 3. Faire une estimation à l'aide d'une modélisation par une fonction
, donc la dépense totale pour l'année 2013 peut être estimée par
> 4. a) Déterminer une primitive d'une fonction polynôme
, donc une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 20] est la fonction
définie sur [0 20] par :
b) Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Exercice 4
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
> 1. Déterminer un trajet minimal sur un graphe
Pour déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence, on utilise l'algorithme de Dijkstra qui peut être résumé par le tableau suivant :
A | M | P | T | G | LS | B | F |
0 (A) | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| 174 (A) | ∞ | 120 (A) | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| 174 (A) | 366 (T) |
| 288 (T) | ∞ | ∞ | ∞ |
|
| 300 (M) |
| 288 (T) | ∞ | ∞ | ∞ |
|
| 300 (M) |
|
| 396 (G) | ∞ | ∞ |
|
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| 396 (G) | 398 (P) | ∞ |
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| 398 (P) | 541 (LS) |
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| 502 (B) |
Notez bien
Il existe d'autres trajets en 4 étapes d'Aoste à Florence, mais ils sont plus longs par exemple : Aoste – Turin – Gênes – La Spezia – Florence (541 km) ou Aoste – Turin - Parme – Bologne – Florence (568 km).
Le trajet le plus court d'Aoste à Florence est donc :
Aoste – Milan – Parme – Bologne – Florence.
Ce trajet comporte 4 étapes.
> 2. Calculer le prix de revient d'un déplacement
Si le chauffeur fait 4 voyages aller-retour Aoste-Florence (soit 8 trajets) par le chemin le plus court, il parcourt 8 fois 502 km, soit 4 016 km.
Partie B
> 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste
La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :

> 2. Déterminer la matrice de transition d'un graphe probabiliste
> 3. a) Déterminer deux états probabilistes associés à un graphe
b) Déterminer une probabilité associée à un graphe probabiliste
D'après le calcul de la matrice P3, la probabilité p de l'événement « le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu », c'est-à-dire
Commun à tous les candidats