Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.

La production journalière de l'unité A est de 600 pièces, celle de l'unité B est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d'une journée.

La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à 0,014.

La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à 0,024.

On note :

l'événement : « le composant présente un défaut de soudure ».

l'événement : « le composant est produit par l'unité A ».

l'événement : « le composant est produit par l'unité B ».

On note la probabilité de l'événement et la probabilité de l'événement sachant que l'événement est réalisé.

> 1. a) D'après les données de l'énoncé, préciser et . (0,5 point)

b) Calculer et . (0,5 point)

> 2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

(0,5 point)

> 3. a) Calculer et . (1 point)

b) En déduire . (0,5 point)

> 4. On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'unité A ? (0,75 point)

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne et d'écart-type .

On prélève un composant dans la production.

> 1. Calculer la probabilité de l'événement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ». (0,5 point)

> 2. Calculer la probabilité de l'événement : « La résistance du composant est comprise dans l'intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé ». (0,75 point)

> 3. On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l'un de l'autre et que la probabilité qu'un composant soit accepté est égale à 0,84.

Déterminer la probabilité qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés. (1 point)

Extrait de la table de la loi normale pour et

> 1. Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d'un capital de 2 500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital sur un compte rapportant 0,2 % d'intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple, le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra : euros.

L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juillet 2014.

On admet que la suite des capitaux est décrite par les relations :

Pour tout entier naturel , .

Proposition : Sans apport supplémentaire, l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

> 2. Sur , on définit la fonction par

Proposition : est une fonction convexe sur .

> 3. On définit sur l'intervalle , On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

Proposition : est une primitive de la fonction définie sur par

> 4. est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance et d'écart-type .

Proposition : .

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.

L'entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ( varie donc dans l'intervalle ).

Le bénéfice hebdomadaire est noté , il est exprimé en milliers d'euros.

L'objet de cet exercice est d'étudier cette fonction .

On a représenté, en annexe, la fonction dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

> 1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros. (0,5 point)

> 2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise ?

Pour quel nombre de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? (0,5 point)

Le bénéfice hebdomadaire, noté , exprimé en milliers d'euros, vaut :

.

> 1. a) On note la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que pour tout réel de l'intervalle , on a :

. (0,75 point)

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l'intervalle .

(0,5 point)

c) Dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle . On indiquera les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle. (0,75 point)

> 2. a) Justifier que l'équation admet deux solutions , l'une dans l'intervalle [0 3], l'autre dans l'intervalle [3 3,6]. (1 point)

b) À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. (1 point)

Dans cet exercice, on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinéma, vidéos…).

On note la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année .

Soit la fonction définie, pour tout nombre réel , par :

.

Pour tout entier vérifiant , on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année par le nombre .

> 1. Calculer . (0,5 point)

> 2. Déterminer le pourcentage de l'erreur commise en remplaçant par .

(Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul :

et le résultat sera donné à 0,1 % près). (1 point)

> 3. En utilisant la fonction , quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? (1,25 point)

(On arrondira le résultat au centième de milliard d'euros).

> 4. On veut utiliser la fonction pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1^er janvier 1995 et le 1^er janvier 2015.

On calcule pour cela

a) Déterminer une primitive de la fonction sur l'intervalle [0 20]. (1 point)

b) Calculer (1,25 point)

Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d'Aoste.

Quatre fois par mois, son employeur l'envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.

Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d'un budget mensuel de 2 200 euros pour son carburant. Ce qu'il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.

Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.

Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes d'Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

> 1. Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l'ordre de parcours). (1,25 point)

> 2. Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l'euro près).

En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l'euro près. (0,75 point)

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu'il est rouge, il s'arrête.

L'expérience lui a permis d'établir que, s'il se présente à un feu, il se produit les événements suivants :

Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,85.

Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30.

> 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste. (0,75 point)

> 2. Indiquer la matrice de transition du graphe, en considérant les sommets dans l'ordre (V, R) en ligne comme en colonne. (0,5 point)

> 3. Le premier feu rencontré est vert. La matrice donnant l'état initial est donc (1 0).

a) Déterminer les matrices et . (Le détail des calculs n'est pas demandé.) (1 point)

b) Conclure quant à la probabilité de l'événement « le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu ». (0,75 point)