Sujet complet de France métropolitaine 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet de France métropolitaine 2013
 
 

France métropolitaine 2013

Corrigé

1

Sujets complets

matT_1306_07_01C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points)
Production de composants électriques, défauts de soudure et résistance

Commun à tous les candidats

Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.

La production journalière de l’unité A est de 600 pièces, celle de l’unité B est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.

La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité A est égale à 0,014.

La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité B est égale à 0,024.

On note :

l’événement : « le composant présente un défaut de soudure ».

l’événement : « le composant est produit par l’unité A ».

l’événement : « le composant est produit par l’unité B ».

On note la probabilité de l’événement et la probabilité de l’événement sachant que l’événement  est réalisé.

Partie A

Généralités

>1.a) D’après les données de l’énoncé, préciser et . (0,5 point)

b) Calculer et . (0,5 point)

>2. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :


 

(0,5 point)

>3.a) Calculer et . (1 point)

b) En déduire . (0,5 point)

>4. On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’unité A ? (0,75 point)

Partie B

Contrôle de qualité

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne et d’écart-type .

On prélève un composant dans la production.

Les résultats seront arrondis à 0,0001 près, ils pourront être obtenus à l’aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe.

>1. Calculer la probabilité de l’événement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ». (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité de l’événement : « La résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l’énoncé ». (0,75 point)

>3. On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un de l’autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à 0,84.

Déterminer la probabilité  qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés. (1 point)

Annexe

Extrait de la table de la loi normale pour et

 

186

0,0000

196

0,0993

206

0,9420

187

0,0001

197

0,1587

207

0,9684

188

0,0002

198

0,2375

208

0,9839

189

0,0005

199

0,3341

209

0,9924

190

0,0013

200

0,4432

210

0,9967

191

0,0033

201

0,5568

211

0,9987

192

0,0076

202

0,6659

212

0,9995

193

0,0161

203

0,7625

213

0,9998

194

0,0316

204

0,8413

214

0,9999

195

0,0580

205

0,9007

215

1,0000

 

Exercice 2 (4 points)
Vrai/faux suites, fonctions, loi normale : 4 ­questions

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

>1. Un étudiant a travaillé durant l’été et dispose d’un capital de 2 500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital sur un compte rapportant 0,2 % d’intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple, le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra :  euros.

L’année universitaire s’achève à la fin du mois de juillet 2014.

On admet que la suite des capitaux est décrite par les relations :

 ;

Pour tout entier naturel , .

Proposition : Sans apport supplémentaire, l’étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

>2. Sur , on définit la fonction par

Proposition : est une fonction convexe sur .

>3. On définit sur l’intervalle , On a effectué à l’aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

 

1

dériver ((2x)*ln(x) – 2x +5)

2

simplifier

ln(x²)

 

Proposition : est une primitive de la fonction  définie sur  par

>4. est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance et d’écart-type .

Proposition : .

Exercice 3 (5 points)
Étude graphique et théorique d’une production de poulies

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ( varie donc dans l’intervalle ).

Le bénéfice hebdomadaire est noté , il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction .

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A

Étude graphique

On a représenté, en annexe, la fonction  dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

>1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros. (0,5 point)

>2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? (0,5 point)

Partie B

Étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire, noté , exprimé en milliers d’euros, vaut :

.

>1.a) On note la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que pour tout réel de l’intervalle , on a :

. (0,75 point)

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l’intervalle .

(0,5 point)

c) Dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle . On indiquera les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle. (0,75 point)

>2.a) Justifier que l’équation admet deux solutions , l’une dans l’intervalle [0 ; 3], l’autre dans l’intervalle [3 ; 3,6]. (1 point)

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. (1 point)

Annexe


 

Exercice 4 (5 points)
Étude de la dépense des ménages en programmes audiovisuels

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Dans cet exercice, on étudie l’évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinéma, vidéos…).

On note  la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d’euros, au cours de l’année .

 

Année

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

0

1

2

3

4

5

6

7

4,95

5,15

5,25

5,4

5,7

6,3

6,55

6,9

 
 

Année

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

8

9

10

11

12

13

14

15

7,3

7,75

7,65

7,79

7,64

7,82

7,89

8,08

 

Soit la fonction définie, pour tout nombre réel , par :

.

Pour tout entier  vérifiant , on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d’euros, au cours de l’année  par le nombre .

>1. Calculer . (0,5 point)

>2. Déterminer le pourcentage  de l’erreur commise en remplaçant  par .

(Le pourcentage d’erreur est obtenu par le calcul :

et le résultat sera donné à 0,1 % près). (1 point)

>3. En utilisant la fonction , quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l’année 2013 ? (1,25 point)

(On arrondira le résultat au centième de milliard d’euros).

>4. On veut utiliser la fonction  pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.

On calcule pour cela

a) Déterminer une primitive  de la fonction  sur l’intervalle [0 ; 20]. (1 point)

b) Calculer (1,25 point)

Exercice 4 (5 points)
Trajet minimal et feux tricolores

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d’Aoste.

Quatre fois par mois, son employeur l’envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.

Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d’un budget mensuel de 2 200 euros pour son carburant. Ce qu’il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.

Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.

Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes d’Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.


 

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Étude du trajet

>1. Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l’ordre de parcours). (1,25 point)

>2. Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l’euro près).

En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l’euro près. (0,75 point)

Partie B

Traversée de Parme

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu’il est rouge, il s’arrête.

L’expérience lui a permis d’établir que, s’il se présente à un feu, il se produit les événements suivants :

Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,85.

Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30.

>1. Représenter la situation par un graphe probabiliste. (0,75 point)

>2. Indiquer la matrice de transition du graphe, en considérant les sommets dans l’ordre (V, R) en ligne comme en colonne. (0,5 point)

>3. Le premier feu rencontré est vert. La matrice donnant l’état initial est donc (1 0).

a) Déterminer les matrices et . (Le détail des calculs n’est pas demandé.) (1 point)

b) Conclure quant à la probabilité  de l’événement « le chauffeur doit s’arrêter au troisième feu ». (0,75 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 55 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Loi de probabilité • Probabilités conditionnelles • Loi à densité.

Les conseils du correcteur

Partie A

>3.b) Utilisez les résultats de la question précédente.

>4. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle (probabilité de A sachant que D est réalisé).

Partie B

>3. Utilisez les résultats concernant la loi binomiale.

Exercice 2. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Suites arithmétiques ou géométriques • Dérivées usuelles • Fonction logarithme népérien • Convexité • Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

>1. Le capital disponible début mars 2014 est  (en euros).

>2. Calculez la dérivée seconde de  et étudiez son signe.

>4. équivaut à .

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonctions exponentielles • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Tracez la droite d’équation et déterminez les points d’intersection de cette droite avec la courbe.

>2. Déterminez le point de la courbe d’ordonnée maximale.

Partie B

>1.a) Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

>1.b) La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.

>2.a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Évolution d’un taux • Primitives usuelles • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

>3., donc la dépense totale pour l’année 2013 peut être estimée, en milliards d’euros, par .

>4.b) Utilisez la primitive de  déterminée à la question précédente.

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés • Graphes probabilistes • Matrice associée à un graphe.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Le trajet le plus court ne comporte pas nécessairement un nombre minimal d’arêtes. Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

Partie B

>2. Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe ; la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

>3.b) La probabilité  de l’événement « Le chauffeur doit s’arrêter au troisième feu » est la probabilité que le troisième feu soit orange ou rouge ; c’est l’un des coefficients de la matrice .

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

>1.a) Traduire en termes de probabilités conditionnelles les données d’un énoncé

 

Notez bien

Ces résultats peuvent être interprétés de la manière suivante : 1,4 % des composants produits par l’unité A sont défectueux, 2,4 % des composants produits par l’unité B sont défectueux.

D’après l’énoncé, la probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité A est égale à 0,014, donc :

D’après l’énoncé, la probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité B est égale à 0,024, donc :

b) Calculer la probabilité de deux événements

1 500 pièces sont produites chaque jour, 600 par l’unité A, 900 par l’unité B, donc :

>2. Construire un arbre pondéré représentant une situation probabiliste

 

Notez bien

Pour compléter l’arbre, on utilise la propriété suivante : « la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1 ».


 

>3.a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’arbre construit à la question précédente :

b) Calculer la probabilité d’un événement

 

Notez bien

Ce résultat signifie que 2 % des composants produits sont défectueux.

A et B forment une partition de l’univers, donc :

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

 

Notez bien

Parmi les composants défectueux, 28 % proviennent de l’unité A.

La probabilité qu’un composant présentant un défaut de soudure provienne de l’unité A est et, par définition d’une probabilité conditionnelle :

.

partie b

>1. Calculer une probabilité associée à une loi normale

>2. Calculer une probabilité associée à une loi normale

 

Notez bien

Puisque R suit une loi normale, donc

>3. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Soit la variable aléatoire qui à chaque série de trois composants prélevés associe le nombre de composants acceptés.

Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli dans laquelle le succès est « le composant est accepté ».

 

Notez bien

Les paramètres d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale sont le nombre de répétitions de l’épreuve ( entier naturel non nul) et la probabilité  de succès lors d’une épreuve .

compte le nombre de succès lors de la répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, suit donc la loi binomiale de paramètres 3 et 0,84.

La probabilité qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est et, d’après les résultats du cours sur la loi binomiale :

D’où :

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1. Calculer les termes successifs d’une suite

 ;

 ;  ;

 ;  ;

 ;

Or est le capital (en euros) de l’étudiant au début du mois de mars 2014 ; ce capital est négatif, donc sans apport supplémentaire, l’étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

La proposition est vraie.

>2. Étudier la convexité d’une fonction

Pour tout , , . Donc pour tout  ; est donc convexe sur .

La proposition est vraie.

>3. Calculer la dérivée d’une fonction comportant un logarithme

D’après le logiciel, pour tout  :

Or, d’après les propriétés de la fonction logarithme népérien :

La proposition est vraie.

>4. Calculer une probabilité associée à une loi normale

 

Notez bien

On peut aussi obtenir une valeur approchée de avec la calculatrice.

D’après le cours, si est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance et d’écart-type , alors .

Or si et , alors et .

La proposition est vraie.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Résoudre graphiquement une inéquation

Un bénéfice hebdomadaire égal à 13 000 euros correspond à . On trace la droite d’équation , on détermine les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de cette droite.

Graphiquement, on observe qu’un point de la courbe est au-dessus de la droite d’équation si et seulement si son abscisse est telle que (voir figure ci-après).

Le bénéfice est donc supérieur ou égal à 13 000 euros si et seulement si l’entreprise fabrique entre 2460 et 3400 poulies.

>2. Déterminer graphiquement le maximum d’une fonction

 

Notez bien

Le point de la courbe d’ordonnée maximale a pour coordonnées (approximativement) (3 ; 15,1).

D’après la courbe, le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise est environ 15 100 € ; il est réalisé pour 3 000 poulies fabriquées et vendues.


 

Partie B

>1. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel de l’intervalle  :

.

Donc :

b) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

pour tout réel , donc est du signe de Donc :

c) Dresser le tableau de variation d’une fonction

De la question précédente on peut déduire le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle  :


 

 ;

>2. a) Montrer qu’une équation possède exactement deux solutions

La fonction  est continue et strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 3] ;  ; . Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation a une solution unique  dans l’intervalle [0 ; 3] .

La fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [3 ; 3,6] ;  ; . Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation a une solution unique  dans l’intervalle [3 ; 3,6] .

Donc l’équation admet exactement deux solutions dans l’intervalle [0 ; 3,6].

b) Déterminer une valeur approchée des deux solutions d’une équation

 

Notez bien

Ces résultats sont cohérents avec ceux obtenus par lecture graphique dans la partie A.

À l’aide de la calculatrice :

donc .

donc .

Exercice 4

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. Calculer l’image d’un nombre par une fonction

Pour tout nombre réel , , donc :

>2. Calculer le pourcentage de l’erreur commise lors d’une approximation

Le pourcentage de l’erreur commise en remplaçant par est :

Donc l’erreur commise en remplaçant D5 par f(5) est environ 3,2 %.

>3. Faire une estimation à l’aide d’une modélisation par une fonction

, donc la dépense totale pour l’année 2013 peut être estimée par

au centième près.

Donc la dépense totale en 2013 peut être estimée, au centième de milliard d’euros près, à 5,78 milliards d’euros.

>4.a) Déterminer une primitive d’une fonction polynôme

, donc une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20] est la fonction définie sur [0 ; 20] par :

b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

 

Notez bien

est la valeur moyenne de  sur l’intervalle [0 ; 20].

 

Notez bien

, donc l’année 2015 correspond à .

La dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015 est donc égale à 6,6 milliards d’euros.

Exercice 4

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

>1. Déterminer un trajet minimal sur un graphe

Pour déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence, on utilise l’algorithme de Dijkstra qui peut être résumé par le tableau suivant :

 

A

M

P

T

G

LS

B

F

0 (A)

174 (A)

120 (A)

174 (A)

366 (T)

288 (T)

300 (M)

288 (T)

300 (M)

396 (G)

396 (G)

398 (P)

398 (P)

541 (LS)

502 (B)

 
 

Notez bien

Il existe d’autres trajets en 4 étapes d’Aoste à Florence, mais ils sont plus longs ; par exemple : Aoste – Turin – Gênes – La Spezia – Florence (541 km) ou Aoste – Turin - Parme – Bologne – Florence (568 km).

Le trajet le plus court d’Aoste à Florence est donc :

Aoste – Milan – Parme – Bologne – Florence.

Ce trajet comporte 4 étapes.

Sa longueur totale est 502 km.

>2. Calculer le prix de revient d’un déplacement

Si le chauffeur fait 4 voyages aller-retour Aoste-Florence (soit 8 trajets) par le chemin le plus court, il parcourt 8 fois 502 km, soit 4 016 km.

.

Le budget carburant est donc 2 048 € à l’euro près.

.

Le chauffeur touche donc en fin de mois une prime de 152 € à l’euro près.

Partie B

>1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :


 

>2. Déterminer la matrice de transition d’un graphe probabiliste

La matrice de transition du graphe est : 

>3. a) Déterminer deux états probabilistes associés à un graphe

b) Déterminer une probabilité associée à un graphe probabiliste

D’après le calcul de la matrice P3, la probabilité p de l’événement « le chauffeur doit s’arrêter au troisième feu », c’est-à-dire la probabilité que le troisième feu soit orange ou rouge est 0,2325.