France métropolitaine • Septembre 2013
matT_1309_07_00C
Sujets complets
7
CORRIGE
France métropolitaine • Septembre 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
Démarchage pour des forfaits de téléphonie mobile
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d’hommes.
Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications.
On admet que ces proportions restent stables.
Partie A
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d’être choisie.
On note 
l’événement « la personne choisie est un homme », 
l’événement « la personne choisie est une femme », 
l’événement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et 
l’événement contraire de E.
Rappel des notations :
Si 
et 
sont deux événements donnés, 
désigne la probabilité que l’événement 
se réalise et 
désigne la probabilité de l’événement 
sachant que l’événement 
est réalisé.
et calculer sa probabilité. (0,75 point)
On donnera le résultat arrondi au centième.
Partie B
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
On note 
la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. (0,5 point)
On arrondira le résultat au centième.
On donnera une valeur arrondie au dix millième.
Exercice 2 (5 points)
QCM sur les fonctions (dérivées et primitives, intégrales, fonctions convexes) : 5 questions
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
On considère une fonction 
définie sur l’intervalle [1 3], deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation 
dans un repère orthonormé est proposée ci-dessous.
On désigne par 
la fonction dérivée de 
, par 
la fonction dérivée seconde de 
, par 
une primitive de 
(On admet l’existence de 
).
La droite D est tangente à 
au point A d’abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.
L’axe des abscisses est tangent à 
au point d’abscisse 2.
La tangente à 
au point d’abscisse 0 est la droite d’équation 
.
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.
Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.
est convexe sur l’intervalle [
0].
est concave sur l’intervalle ]1 2[.
est convexe sur l’intervalle ]1 3[.
est au -dessus de sa tangente au point d’abscisse 
.
au point d’abscisse 1 a pour équation :
pour tout 
de l’intervalle 
est croissante sur l’intervalle ]1 2[.
si et seulement si 
ou 
pour tout 
de l’intervalle 
sur l’intervalle [0 2] est égale à 1.
est croissante sur l’intervalle 
est croissante sur l’intervalle 
est croissante sur l’intervalle 
Exercice 2 (5 points)
Étude à l’aide d’un graphe de la mobilité d’étudiants et recherche d’un trajet minimal
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Un lycée d’une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d’orientation post-bac.
PARTIE A
Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion 2008 en ce qui concerne les choix de carrière.
Elle a relevé qu’en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l’étranger, alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France.
On a observé ensuite qu’à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l’étranger reviennent sur un poste en France, alors que 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l’étranger. On considère que cette situation perdure.
On note 
la matrice correspondant à l’état probabiliste en 
, avec 
la probabilité que la personne travaille à l’étranger, 
celle qu’elle travaille en France.
Ainsi 
.
PARTIE B
Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d’organiser un concert.
Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée.
Les membres du groupe ont établi le graphe ci-dessous. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.
Exercice 3 (5 points)
Modélisation du développement de l’activité d’un styliste
Commun à tous les candidats
PARTIE A
Soit 
la fonction définie sur l’intervalle [– 10 30] par :
On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.
la fonction dérivée de la fonction 
.
Montrer que, pour tout réel 
de l’intervalle [– 10 30] :
. (0,5 point)
sur l’intervalle [– 10 30]. (0,5 point)
admet une solution unique 
dans l’intervalle [0 20] et donner un encadrement de 
à 0,1 près. (0,75 point)
la fonction définie sur [– 10 30] par :
On admet que 
est une primitive de 
dans l’intervalle [– 10 30].
(0,5 point)
sur l’intervalle [5 10]. (0,5 point)
On donnera une valeur arrondie au centième.
PARTIE B
En 2010, un styliste a décidé d’ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d’abord dans son pays d’origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.
Il a utilisé la fonction 
définie dans la partie 
le nombre de magasins de son enseigne existant en 
.
et interpréter le résultat. (0,5 point)
Si on considère qu’un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer, à la centaine d’euros près, le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. (1 point)
Exercice 4 (5 points)
Évolution annuelle du nombre d’exposants d’une brocante
Commun à tous les candidats
Le responsable du foyer des jeunes d’un village a décidé d’organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.
D’après les renseignements pris auprès d’autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d’une année sur l’autre, 90 % des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.
On désigne par 
le nombre d’exposants en 
avec 
un entier naturel.
Ainsi 
est le nombre d’exposants en 2012, soit 
.
:
. (0,5 point)
Recopier et compléter l’algorithme proposé ci-dessous afin qu’il permette de déterminer l’année à partir de laquelle l’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d’inscription : (1 point)
|
Variables : |
u est un nombre réel n est un nombre entier naturel |
|
Initialisation : |
Affecter à u la valeur …. Affecter à n la valeur 2012 |
|
Traitement : |
Tant que …. Affecter à u la valeur …. Affecter à n la valeur n + 1 |
|
Sortie : |
Afficher … |
.
est une suite géométrique de raison 0,9. (0,75 point)
. (0,5 point)
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Chaque personne a la même probabilité d’être choisie, donc la probabilité de l’événement 
est égale à la proportion d’hommes dans la population.
Les événements 
et 
sont deux événements contraires, donc la somme de leurs probabilités est égale à 1.
Partie B
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.
Les conseils du correcteur
au point d’abscisse 1.
est positive sur l’intervalle 
(avec 
), alors 
est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de 
et les droites d’équations 
et 
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphe probabiliste • Matrice • Graphe pondéré • Chaîne eulérienne • Plus court chemin.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonction exponentielle • Dérivée • Tangente • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
, utilisez la formule 
sur tout intervalle où la fonction 
est dérivable.
de 
donnée dans l’énoncé.
Partie B
Utilisez les résultats de la partie A.
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».
Commun à tous les candidats