Sujet complet de France métropolitaine 2013 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet de France métropolitaine 2013 (session de remplacement)
 
 

France métropolitaine • Septembre 2013

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Sujets complets

7

CORRIGE

 

France métropolitaine • Septembre 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Démarchage pour des forfaits de téléphonie mobile

Commun à tous les candidats

Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d’hommes.

Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications.

On admet que ces proportions restent stables.

Partie A

On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d’être choisie.

On note l’événement « la personne choisie est un homme », l’événement « la personne choisie est une femme », l’événement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et l’événement contraire de E.

Rappel des notations :

Si et sont deux événements donnés, désigne la probabilité que l’événement se réalise et désigne la probabilité de l’événement sachant que l’événement est réalisé.

>1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité proposé ci-dessous. (1 point)


 

>2.a) Traduire par une phrase l’événement et calculer sa probabilité. (0,75 point)

b) Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405. (0,75 point)

c) Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? (0,75 point)

On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B

Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.

Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour.

On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.

On note la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.

>1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. (0,5 point)

>2. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. (0,5 point)

On arrondira le résultat au centième.

>3. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné. (0,75 point)

On donnera une valeur arrondie au dix millième.

Exercice 2 (5 points)
QCM sur les fonctions (dérivées et primitives, intégrales, fonctions convexes) : 5 questions

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

On considère une fonction définie sur l’intervalle [1  3], deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation dans un repère orthonormé est proposée ci-dessous.

On désigne par la fonction dérivée de , par la fonction dérivée seconde de , par une primitive de (On admet l’existence de ).

La droite D est tangente à au point A d’abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.

L’axe des abscisses est tangent à au point d’abscisse 2.

La tangente à au point d’abscisse 0 est la droite d’équation .


 

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.

Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.

>1.a) est convexe sur l’intervalle [  0].

b) est concave sur l’intervalle ]1  2[.

c) est convexe sur l’intervalle ]1   3[.

d) est au -dessus de sa tangente au point d’abscisse .

>2.a)

b)

c)

d) La tangente à au point d’abscisse 1 a pour équation :

>3.a) pour tout de l’intervalle

b) est croissante sur l’intervalle ]1  2[.

c) si et seulement si ou

d) pour tout de l’intervalle

>4.a)

b)

c)

d) La valeur moyenne de sur l’intervalle [0  2] est égale à 1.

>5.a) est croissante sur l’intervalle

b) est croissante sur l’intervalle

c) est croissante sur l’intervalle

d)

Exercice 2 (5 points)
Étude à l’aide d’un graphe de la mobilité d’étudiants et recherche d’un trajet minimal

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Un lycée d’une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d’orientation post-bac.

PARTIE A

Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion 2008 en ce qui concerne les choix de carrière.

Elle a relevé qu’en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l’étranger, alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France.

On a observé ensuite qu’à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l’étranger reviennent sur un poste en France, alors que 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l’étranger. On considère que cette situation perdure.

On note la matrice correspondant à l’état probabiliste en , avec la probabilité que la personne travaille à l’étranger, celle qu’elle travaille en France.

Ainsi .

>1. Proposer le graphe probabiliste associé à cette situation. On désignera par E (étranger) et F (France) les deux sommets. (0,5 point)

>2. Donner la matrice de transition M associée en prenant les sommets dans l’ordre E puis F. (0,5 point)

>3. Montrer qu’en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l’étranger est de 30,475 %. (0,75 point)

>4. Déterminer l’état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu. (1,25 point)

PARTIE B

Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d’organiser un concert.

Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée.

Les membres du groupe ont établi le graphe ci-dessous. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.


 

>1. Existe-t-il un trajet d’un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule ? Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi. (1 point)

>2. Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée G. Quel trajet peut-il prendre ? Quelle est alors la durée du parcours ? (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Modélisation du développement de l’activité d’un styliste

Commun à tous les candidats

PARTIE A

Soit la fonction définie sur l’intervalle [&ndash  10  30] par :

On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.

>1. Soit la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout réel de l’intervalle [&ndash  10  30] :

. (0,5 point)

>2. En déduire le sens de variation de sur l’intervalle [&ndash  10  30]. (0,5 point)

>3. Justifier que l’équation admet une solution unique dans l’intervalle [0  20] et donner un encadrement de à 0,1 près. (0,75 point)

>4. Soit la fonction définie sur [&ndash  10  30] par :

On admet que est une primitive de dans l’intervalle [&ndash  10  30].

a) Calculer la valeur exacte de (0,5 point)

b) En déduire la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [5   10]. (0,5 point)

On donnera une valeur arrondie au centième.

PARTIE B

En 2010, un styliste a décidé d’ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d’abord dans son pays d’origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.

Il a utilisé la fonction définie dans la partie A, mais seulement sur l’intervalle [0  20] pour modéliser son développement et a désigné par le nombre de magasins de son enseigne existant en .

>1. Calculer et interpréter le résultat. (0,5 point)

>2. En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possèdera 80 boutiques. (0,75 point)

>3. Chaque magasin a un chiffre d’affaires journalier moyen de 2 500 euros.

Si on considère qu’un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer, à la centaine d’euros près, le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. (1 point)

Exercice 4 (5 points)
Évolution annuelle du nombre d’exposants d’une brocante

Commun à tous les candidats

Le responsable du foyer des jeunes d’un village a décidé d’organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.

D’après les renseignements pris auprès d’autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d’une année sur l’autre, 90 % des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.

On désigne par le nombre d’exposants en avec un entier naturel.

Ainsi est le nombre d’exposants en 2012, soit .

>1. Quel est le nombre d’exposants attendu pour 2013 ? (0,5 point)

>2. Justifier que, pour tout entier naturel  :

. (0,5 point)

>3. Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d’exposants ne peut pas excéder 220.

Recopier et compléter l’algorithme proposé ci-dessous afin qu’il permette de déterminer l’année à partir de laquelle l’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d’inscription : (1 point)

 

Variables :

u est un nombre réel

n est un nombre entier naturel

Initialisation :

Affecter à u la valeur ….

Affecter à n la valeur 2012

Traitement :

Tant que ….

Affecter à u la valeur ….

Affecter à n la valeur n + 1

Sortie :

Afficher …

 

>4. Pour tout entier naturel n, on pose .

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9. (0,75 point)

b) En déduire que, pour tout entier naturel n :

. (0,5 point)

c) Déterminer le résultat recherché par l’algorithme de la question 3. en résolvant une inéquation. (0,75 point)

>5. L’organisateur décide d’effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d’inscriptions. Il affirme au maire qu’il suffit de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ? (1 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

Partie A

Chaque personne a la même probabilité d’être choisie, donc la probabilité de l’événement est égale à la proportion d’hommes dans la population.

Les événements et sont deux événements contraires, donc la somme de leurs probabilités est égale à 1.

>2. c) Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie B

>1. L’expérience peut être considérée comme la répétition de 60 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

>2. Utilisez les résultats du cours sur la loi binomiale.

>3. L’événement contraire de « l’employé obtient au moins une souscription » est « l’employé n’obtient aucune souscription ».

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

>2. Déterminez graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la tangente à au point d’abscisse 1.

>4. Si la fonction est positive sur l’intervalle (avec ), alors est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d’équations et .

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Matrice • Graphe pondéré • Chaîne eulérienne • Plus court chemin.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>2. Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe  la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

Partie B

>2. Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Dérivée • Tangente • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Pour calculer la dérivée de , utilisez la formule sur tout intervalle où la fonction est dérivable.

>4. a) Pour le calcul de l’intégrale I, utilisez la primitive de donnée dans l’énoncé.

Partie B

Utilisez les résultats de la partie A.

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Les conseils du correcteur

>3. L’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes si leur nombre est supérieur à 220.