France métropolitaine • Septembre 2013
matT_1309_07_00C
Sujets complets
7
CORRIGE
France métropolitaine • Septembre 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
Démarchage pour des forfaits de téléphonie mobile
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d'un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d'hommes.
Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications.
On admet que ces proportions restent stables.
Partie A
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie.
On note 
l'événement « la personne choisie est un homme », 
l'événement « la personne choisie est une femme », 
l'événement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et 
l'événement contraire de E.
Rappel des notations :
Si 
et 
sont deux événements donnés, 
désigne la probabilité que l'événement 
se réalise et 
désigne la probabilité de l'événement 
sachant que l'événement 
est réalisé.
et calculer sa probabilité. (0,75 point)
On donnera le résultat arrondi au centième.
Partie B
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l'opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
On note 
la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. (0,5 point)
On arrondira le résultat au centième.
On donnera une valeur arrondie au dix millième.
Exercice 2 (5 points)
QCM sur les fonctions (dérivées et primitives, intégrales, fonctions convexes) : 5 questions
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
On considère une fonction 
définie sur l'intervalle [1 3], deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation 
dans un repère orthonormé est proposée ci-dessous.
On désigne par 
la fonction dérivée de 
, par 
la fonction dérivée seconde de 
, par 
une primitive de 
(On admet l'existence de 
).
La droite D est tangente à 
au point A d'abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.
L'axe des abscisses est tangent à 
au point d'abscisse 2.
La tangente à 
au point d'abscisse 0 est la droite d'équation 
.
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.
Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
est convexe sur l'intervalle [
0].
est concave sur l'intervalle ]1 2[.
est convexe sur l'intervalle ]1 3[.
est au -dessus de sa tangente au point d'abscisse 
.
au point d'abscisse 1 a pour équation :
pour tout 
de l'intervalle 
est croissante sur l'intervalle ]1 2[.
si et seulement si 
ou 
pour tout 
de l'intervalle 
sur l'intervalle [0 2] est égale à 1.
est croissante sur l'intervalle 
est croissante sur l'intervalle 
est croissante sur l'intervalle 
Exercice 2 (5 points)
Étude à l'aide d'un graphe de la mobilité d'étudiants et recherche d'un trajet minimal
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Un lycée d'une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d'orientation post-bac.
PARTIE A
Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion 2008 en ce qui concerne les choix de carrière.
Elle a relevé qu'en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l'étranger, alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France.
On a observé ensuite qu'à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l'étranger reviennent sur un poste en France, alors que 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l'étranger. On considère que cette situation perdure.
On note 
la matrice correspondant à l'état probabiliste en 
, avec 
la probabilité que la personne travaille à l'étranger, 
celle qu'elle travaille en France.
Ainsi 
.
PARTIE B
Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d'organiser un concert.
Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée.
Les membres du groupe ont établi le graphe ci-dessous. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.
Exercice 3 (5 points)
Modélisation du développement de l'activité d'un styliste
Commun à tous les candidats
PARTIE A
Soit 
la fonction définie sur l'intervalle [– 10 30] par :
On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.
la fonction dérivée de la fonction 
.
Montrer que, pour tout réel 
de l'intervalle [– 10 30] :
. (0,5 point)
sur l'intervalle [– 10 30]. (0,5 point)
admet une solution unique 
dans l'intervalle [0 20] et donner un encadrement de 
à 0,1 près. (0,75 point)
la fonction définie sur [– 10 30] par :
On admet que 
est une primitive de 
dans l'intervalle [– 10 30].
(0,5 point)
sur l'intervalle [5 10]. (0,5 point)
On donnera une valeur arrondie au centième.
PARTIE B
En 2010, un styliste a décidé d'ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d'abord dans son pays d'origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.
Il a utilisé la fonction 
définie dans la partie 
le nombre de magasins de son enseigne existant en 
.
et interpréter le résultat. (0,5 point)
Si on considère qu'un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer, à la centaine d'euros près, le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. (1 point)
Exercice 4 (5 points)
Évolution annuelle du nombre d'exposants d'une brocante
Commun à tous les candidats
Le responsable du foyer des jeunes d'un village a décidé d'organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.
D'après les renseignements pris auprès d'autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d'une année sur l'autre, 90 % des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.
On désigne par 
le nombre d'exposants en 
avec 
un entier naturel.
Ainsi 
est le nombre d'exposants en 2012, soit 
.
:
. (0,5 point)
Recopier et compléter l'algorithme proposé ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle l'organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d'inscription : (1 point)
| Variables : | u est un nombre réel n est un nombre entier naturel |
| Initialisation : | Affecter à u la valeur …. Affecter à n la valeur 2012 |
| Traitement : | Tant que …. Affecter à u la valeur …. Affecter à n la valeur n + 1 |
| Sortie : | Afficher … |
.
est une suite géométrique de raison 0,9. (0,75 point)
. (0,5 point)
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Chaque personne a la même probabilité d'être choisie, donc la probabilité de l'événement 
est égale à la proportion d'hommes dans la population.
Les événements 
et 
sont deux événements contraires, donc la somme de leurs probabilités est égale à 1.
Partie B
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Intégrale, calcul d'aire.
Les conseils du correcteur
au point d'abscisse 1.
est positive sur l'intervalle 
(avec 
), alors 
est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de 
et les droites d'équations 
et 
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphe probabiliste • Matrice • Graphe pondéré • Chaîne eulérienne • Plus court chemin.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonction exponentielle • Dérivée • Tangente • Variations d'une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d'aire • Valeur moyenne d'une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
, utilisez la formule 
sur tout intervalle où la fonction 
est dérivable.
de 
donnée dans l'énoncé.
Partie B
Utilisez les résultats de la partie A.
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».
Les conseils du correcteur
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré
La clientèle est composée de 65 % d'hommes et donc 35 % de femmes 30 % des hommes écoutent les explications, donc 70 % ne les écoutent pas 60 % des femmes écoutent les explications, donc 40 % ne les écoutent pas.
La situation peut être alors représentée par l'arbre ci-dessous :
Notez bien
Les probabilités portées par les branches « de deuxième niveau » de l'arbre (celles qui aboutissent aux événements 
et 
) sont des probabilités conditionnelles.
> 2. a) Interpréter concrètement un événement et calculer sa probabilité
L'événement 
est « la personne contactée est une femme qui écoute les explications ». D'après l'arbre précédent :
b) Calculer la probabilité d'un événement
On cherche 
.
, car 
et 
sont deux événements contraires, ils forment une partition de l'univers.
D'après l'arbre :
c) Calculer une probabilité conditionnelle
On cherche 
.
Notez bien
Il s'agit d'une probabilité conditionnelle « sachant 
» car on suppose que le démarcheur s'adresse à une personne qui l'écoute, c'est-à-dire que l'événement 
est réalisé.
Par définition d'une probabilité conditionnelle :
Partie B
> 1. Justifier la loi d'une variable aléatoire
Notez bien
car 12 % des personnes interrogées souscrivent au nouveau forfait.
comptabilise le nombre de succès (la personne contactée souscrit au nouveau forfait) dans la répétition de 60 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès 
.
> 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale
La probabilité que l'employé obtienne 5 souscriptions un jour donné est 
.
D'après les résultats du cours sur la loi binomiale :
Attention
Si le démarcheur obtient 5 souscriptions sur 60 appels, alors 55 personnes appelées ne souscrivent pas au nouveau forfait (« échec ») la probabilité d'échec est 
, soit 
.
> 3. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale
La probabilité que l'employé obtienne au moins une souscription un jour donné est 
.
Cette probabilité est égale à 
, car les événements 
(l'employé obtient au moins une souscription) et 
(l'employé n'obtient aucune souscription) sont deux événements contraires.
donc :
Exercice 2
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. Étudier la convexité d'une fonction
Sur l'intervalle ]1 3[, la courbe 
est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Cela exclut la réponse
La réponse 
0], la courbe 
est en-dessous de ses tangentes, donc la fonction 
est concave.
> 2. Déterminer des nombres dérivés et l'équation réduite d'une tangente
La tangente à 
au point d'abscisse 1 a pour équation 
.
Par lecture graphique, cette tangente a un coefficient directeur égal à 
et une ordonnée à l'origine égale à 5. Donc 
, ce qui exclut la réponse
est l'ordonnée du point A, donc 
, la réponse
car le point A est un point d'inflexion de la courbe, la réponse
> 3. Étudier le signe de la dérivée et le sens de variation d'une fonction
D'après le graphique, la fonction 
est convexe sur l'intervalle 
, donc 
est croissante sur cet intervalle.
La réponse 
n'est pas croissante sur l'intervalle 
.
La réponse 
ne coupe pas l'axe des abscisses aux points d'abscisses 0 et 2.
La réponse 
n'est pas décroissante sur l'intervalle 
(elle n'est pas définie, et donc à plus forte raison pas dérivable, sur cet intervalle).
> 4. Vérifier une propriété d'une intégrale
est positive sur l'intervalle [0 2], donc 
est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisse, la courbe représentative de 
et les droites d'équations 
et 
.
(réponse 
est positive sur l'intervalle [
0]
(réponse 
et les droites d'équations 
et 
, et l'autre est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de 
et les droites d'équations 
et 
d'après le graphique, les aires de ces deux domaines sont différentes.
La réponse 
et les droites d'équations 
et 
n'est pas égale à 2.
> 5. Étudier le sens de variation d'une fonction, de sa dérivée, d'une de ses primitives
est croissante sur l'intervalle 
car 
et 
est positive sur l'intervalle 
.
La réponse 
est croissante sur l'intervalle 
) est fausse car d'après le graphique, 
n'est pas convexe sur l'intervalle 
.
La réponse 
) est fausse, d'après le graphique 
n'est pas monotone sur l'intervalle 
.
La réponse 
) est fausse car 
est croissante (
est positive) sur 
.
Exercice 2
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
PARTIE A
> 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste
La situation décrite peut être représentée par le graphe suivant :
> 2. Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste
Par définition, la matrice de transition d'un graphe probabiliste est la matrice M telle que, pour tout entier naturel 
:
.
D'après l'énoncé :
Donc la matrice de transition du graphe précédent est :
> 3. Utiliser la matrice de transition d'un graphe probabiliste
on cherche donc 
.
> 4. Déterminer et interpréter l'état stable d'un graphe probabiliste
Un état stable 
est défini par 
, soit :
, qui équivaut à 
, c'est-à-dire :
.
De plus 
, donc 
.
PARTIE B
> 1. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne
Un trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule est une chaîne eulérienne du graphe. Or, un graphe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.
Le graphe proposé a 4 sommets de degré impair : B, C et G de degré 3, D de degré 5. Il n'admet donc pas de chaîne eulérienne.
> 2. Déterminer un plus court chemin sur un graphe
Pour trouver le chemin le plus rapide du sommet A au sommet G, on utilise l'algorithme de Dijkstra, qui peut se résumer par le tableau ci-dessous :
| A | B | C | D | E | F | G |
| 0 | 16 (A) | ∞ | 30 (A) | ∞ | ∞ | ∞ |
|
|
| ∞ | 30 (A) | ∞ | 56 (B) | ∞ |
|
|
| 62 (D) |
| 59 (D) | 56 (B) | 90 (D) |
|
|
| 62 (D) |
| 59 (D) |
| 84 (F) |
|
|
| 62 (D) |
|
|
| 84 (F) |
|
|
|
|
|
|
| 84 (F) |
Exercice 3
Commun à tous les candidats
PARTIE A
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout réel 
de l'intervalle [– 10 30] :
> 2. Étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle
pour tout 
appartenant à [– 10 30] , donc le signe de 
est celui de 
.
.
- Si
, alors 
et 
. - Si
, alors 
et 
.
> 3. Montrer qu'une équation possède une unique solution dans un intervalle donné
La fonction 
est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 20].
et 
, donc 
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l'équation 
admet une solution unique 
dans l'intervalle [0 20].
D'après la calculatrice :
et 
.
, donc :
la fonction définie sur [– 10 30] par :
On admet que 
est une primitive de 
dans l'intervalle [– 10 30].
a) Calculer une intégrale
Puisque 
est une primitive de 
dans l'intervalle [– 10 30], alors :
.
Or 
et 
, d'où :
b) Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle donné
La valeur moyenne de 
sur l'intervalle [5 10] est :
PARTIE B
> 1. Calculer et interpréter l'image d'un nombre par une fonction
, c'est-à-dire qu'en 2010+0, c'est-à-dire
> 2. Donner une utilisation concrète de la solution d'une équation
D'après la partie 
est strictement croissante sur [0 20] et 
, avec :
.
Donc le plus petit entier 
tel que 
est 
.
> 3. Donner une estimation d'un chiffre d'affaires annuel moyen
Les années 2015 et 2020 correspondent à 
et 
.
Chaque magasin a un chiffre d'affaires journalier moyen de 2 500 euros et est ouvert 300 jours par an.
Donc le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020 est, en euros :
où 
est la valeur moyenne de 
sur l'intervalle [5 10].
On a vu dans la partie 
.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
> 1. Calculer un terme d'une suite
90 % des 110 exposants inscrits en 2012 se réinscrivent en 2013, et il s'y ajoute 30 nouvelles demandes, donc le nombre d'exposants attendu pour 2013 est :
.
> 2. Démontrer une relation de récurrence entre deux termes successifs d'une suite
Par un raisonnement analogue à celui de la question précédente :
> 3. Compléter un algorithme
Notez bien
La boucle qui figure dans la partie « Traitement » de cet algorithme est une boucle « avec arrêt conditionnel » elle s'exécute tant que la condition u
L'algorithme complété suivant permet de déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de demandes sera supérieur à 220 :
| Variables : | u est un nombre réel n est un nombre entier naturel |
| Initialisation : | Affecter à u la valeur Affecter à n la valeur 2012 |
| Traitement : | Tant que Affecter à u la valeur Affecter à n la valeur n + 1 |
| Sortie : | Afficher |
.
a) Démontrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel n :
.
b) Donner l'expression du terme général d'une suite
En utilisant l'expression du terme général d'une suite géométrique, pour tout entier naturel 
:
.
Or 
, donc 
et :
c) Résoudre une inéquation
Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de demandes sera supérieur à 220 revient à résoudre l'inéquation 
, soit :
.
Cette inéquation équivaut à 
, c'est-à-dire à :
.
Puisque la fonction ln est strictement croissante sur son intervalle de définition, cette inéquation équivaut à :
.
Or 
car 
, donc l'inéquation est équivalente à 
, soit 
car 
.
> 5. Montrer que tous les termes d'une suite sont inférieurs à un nombre donné
Pour tout entier naturel, 
, donc 
.
Si 300 emplacements sont disponibles et si l'évolution du nombre de demandes se poursuit de la même manière, toutes les demandes pourront être satisfaites.
Commun à tous les candidats