France métropolitaine &bull Septembre 2013
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Sujets complets
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CORRIGE
France métropolitaine &bull Septembre 2013
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (5 points)
Démarchage pour des forfaits de téléphonie mobile
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d&rsquo un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d&rsquo hommes.
Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications.
On admet que ces proportions restent stables.
Partie A
On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d&rsquo être choisie.
On note 
l&rsquo événement « la personne choisie est un homme » , 
l&rsquo événement « la personne choisie est une femme » , 
l&rsquo événement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et 
l&rsquo événement contraire de E.
Rappel des notations :
Si 
et 
sont deux événements donnés, 
désigne la probabilité que l&rsquo événement 
se réalise et 
désigne la probabilité de l&rsquo événement 
sachant que l&rsquo événement 
est réalisé.
et calculer sa probabilité. (0,75 point)
On donnera le résultat arrondi au centième.
Partie B
Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.
Chaque employé de l&rsquo opérateur effectue 60 appels par jour.
On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.
On note 
la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. (0,5 point)
On arrondira le résultat au centième.
On donnera une valeur arrondie au dix millième.
Exercice 2 (5 points)
QCM sur les fonctions (dérivées et primitives, intégrales, fonctions convexes) : 5 questions
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
On considère une fonction 
définie sur l&rsquo intervalle [1 3], deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation 
dans un repère orthonormé est proposée ci-dessous.
On désigne par 
la fonction dérivée de 
, par 
la fonction dérivée seconde de 
, par 
une primitive de 
(On admet l&rsquo existence de 
).
La droite D est tangente à 
au point A d&rsquo abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.
L&rsquo axe des abscisses est tangent à 
au point d&rsquo abscisse 2.
La tangente à 
au point d&rsquo abscisse 0 est la droite d&rsquo équation 
.
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.
Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l&rsquo absence de réponse ne rapportent ni n&rsquo enlèvent aucun point.
est convexe sur l&rsquo intervalle [
0].
est concave sur l&rsquo intervalle ]1 2[.
est convexe sur l&rsquo intervalle ]1 3[.
est au -dessus de sa tangente au point d&rsquo abscisse 
.
au point d&rsquo abscisse 1 a pour équation :
pour tout 
de l&rsquo intervalle 
est croissante sur l&rsquo intervalle ]1 2[.
si et seulement si 
ou 
pour tout 
de l&rsquo intervalle 
sur l&rsquo intervalle [0 2] est égale à 1.
est croissante sur l&rsquo intervalle 
est croissante sur l&rsquo intervalle 
est croissante sur l&rsquo intervalle 
Exercice 2 (5 points)
Étude à l&rsquo aide d&rsquo un graphe de la mobilité d&rsquo étudiants et recherche d&rsquo un trajet minimal
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Un lycée d&rsquo une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d&rsquo orientation post-bac.
PARTIE A
Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion 2008 en ce qui concerne les choix de carrière.
Elle a relevé qu&rsquo en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l&rsquo étranger, alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France.
On a observé ensuite qu&rsquo à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l&rsquo étranger reviennent sur un poste en France, alors que 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l&rsquo étranger. On considère que cette situation perdure.
On note 
la matrice correspondant à l&rsquo état probabiliste en 
, avec 
la probabilité que la personne travaille à l&rsquo étranger, 
celle qu&rsquo elle travaille en France.
Ainsi 
.
PARTIE B
Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d&rsquo organiser un concert.
Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée.
Les membres du groupe ont établi le graphe ci-dessous. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.
Exercice 3 (5 points)
Modélisation du développement de l&rsquo activité d&rsquo un styliste
Commun à tous les candidats
PARTIE A
Soit 
la fonction définie sur l&rsquo intervalle [&ndash 10 30] par :
On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.
la fonction dérivée de la fonction 
.
Montrer que, pour tout réel 
de l&rsquo intervalle [&ndash 10 30] :
. (0,5 point)
sur l&rsquo intervalle [&ndash 10 30]. (0,5 point)
admet une solution unique 
dans l&rsquo intervalle [0 20] et donner un encadrement de 
à 0,1 près. (0,75 point)
la fonction définie sur [&ndash 10 30] par :
On admet que 
est une primitive de 
dans l&rsquo intervalle [&ndash 10 30].
(0,5 point)
sur l&rsquo intervalle [5 10]. (0,5 point)
On donnera une valeur arrondie au centième.
PARTIE B
En 2010, un styliste a décidé d&rsquo ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d&rsquo abord dans son pays d&rsquo origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.
Il a utilisé la fonction 
définie dans la partie 
le nombre de magasins de son enseigne existant en 
.
et interpréter le résultat. (0,5 point)
Si on considère qu&rsquo un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer, à la centaine d&rsquo euros près, le chiffre d&rsquo affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l&rsquo ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. (1 point)
Exercice 4 (5 points)
Évolution annuelle du nombre d&rsquo exposants d&rsquo une brocante
Commun à tous les candidats
Le responsable du foyer des jeunes d&rsquo un village a décidé d&rsquo organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.
D&rsquo après les renseignements pris auprès d&rsquo autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d&rsquo une année sur l&rsquo autre, 90 % des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.
On désigne par 
le nombre d&rsquo exposants en 
avec 
un entier naturel.
Ainsi 
est le nombre d&rsquo exposants en 2012, soit 
.
:
. (0,5 point)
Recopier et compléter l&rsquo algorithme proposé ci-dessous afin qu&rsquo il permette de déterminer l&rsquo année à partir de laquelle l&rsquo organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d&rsquo inscription : (1 point)
|
Variables : |
u est un nombre réel n est un nombre entier naturel |
|
Initialisation : |
Affecter à u la valeur &hellip . Affecter à n la valeur 2012 |
|
Traitement : |
Tant que &hellip . Affecter à u la valeur &hellip . Affecter à n la valeur n + 1 |
|
Sortie : |
Afficher &hellip |
.
est une suite géométrique de raison 0,9. (0,75 point)
. (0,5 point)
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi binomiale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Chaque personne a la même probabilité d&rsquo être choisie, donc la probabilité de l&rsquo événement 
est égale à la proportion d&rsquo hommes dans la population.
Les événements 
et 
sont deux événements contraires, donc la somme de leurs probabilités est égale à 1.
Partie B
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Dérivée &bull Tangente &bull Convexité &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire.
Les conseils du correcteur
au point d&rsquo abscisse 1.
est positive sur l&rsquo intervalle 
(avec 
), alors 
est l&rsquo aire, en unités d&rsquo aire, du domaine délimité par l&rsquo axe des abscisses, la courbe représentative de 
et les droites d&rsquo équations 
et 
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphe probabiliste &bull Matrice &bull Graphe pondéré &bull Chaîne eulérienne &bull Plus court chemin.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonction exponentielle &bull Dérivée &bull Tangente &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
, utilisez la formule 
sur tout intervalle où la fonction 
est dérivable.
de 
donnée dans l&rsquo énoncé.
Partie B
Utilisez les résultats de la partie A.
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » .
Commun à tous les candidats