Sujet complet de France métropolitaine 2013 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Sujet complet de France métropolitaine 2013 (session de remplacement)
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France métropolitaine &bull Septembre 2013

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Sujets complets

7

CORRIGE

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France métropolitaine &bull Septembre 2013

Sujet complet &bull 20 points

Exercice 1 (5 points)
Démarchage pour des forfaits de téléphonie mobile

Commun à tous les candidats

Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d&rsquo un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d&rsquo hommes.

Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications.

On admet que ces proportions restent stables.

Partie A

On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d&rsquo être choisie.

On note l&rsquo événement &laquo la personne choisie est un homme &raquo , l&rsquo événement &laquo  la personne choisie est une femme &raquo , l&rsquo événement &laquo  la personne choisie écoute les explications du démarcheur &raquo et l&rsquo événement contraire de E.

Rappel des notations :

Si et sont deux événements donnés, désigne la probabilité que l&rsquo événement se réalise et désigne la probabilité de l&rsquo événement sachant que l&rsquo événement est réalisé.

&gt 1. Recopier et compléter l&rsquo arbre de probabilité proposé ci-dessous. (1 point)


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&gt 2.a) Traduire par une phrase l&rsquo événement et calculer sa probabilité. (0,75 point)

b) Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405. (0,75 point)

c) Le démarcheur s&rsquo adresse à une personne qui l&rsquo écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? (0,75 point)

On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B

Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait.

Chaque employé de l&rsquo opérateur effectue 60 appels par jour.

On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.

On note la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.

&gt 1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. (0,5 point)

&gt 2. Déterminer la probabilité que l&rsquo employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. (0,5 point)

On arrondira le résultat au centième.

&gt 3. Déterminer la probabilité que l&rsquo employé obtienne au moins une souscription un jour donné. (0,75 point)

On donnera une valeur arrondie au dix millième.

Exercice 2 (5 points)
QCM sur les fonctions (dérivées et primitives, intégrales, fonctions convexes) : 5 questions

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L

On considère une fonction définie sur l&rsquo intervalle [1  3], deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation dans un repère orthonormé est proposée ci-dessous.

On désigne par la fonction dérivée de , par la fonction dérivée seconde de , par une primitive de (On admet l&rsquo existence de ).

La droite D est tangente à au point A d&rsquo abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.

L&rsquo axe des abscisses est tangent à au point d&rsquo abscisse 2.

La tangente à au point d&rsquo abscisse 0 est la droite d&rsquo équation .


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Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.

Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l&rsquo absence de réponse ne rapportent ni n&rsquo enlèvent aucun point.

&gt 1.a) est convexe sur l&rsquo intervalle [  0].

b) est concave sur l&rsquo intervalle ]1  2[.

c) est convexe sur l&rsquo intervalle ]1   3[.

d) est au -dessus de sa tangente au point d&rsquo abscisse .

&gt 2.a)

b)

c)

d) La tangente à au point d&rsquo abscisse 1 a pour équation :

&gt 3.a) pour tout de l&rsquo intervalle

b) est croissante sur l&rsquo intervalle ]1  2[.

c) si et seulement si ou

d) pour tout de l&rsquo intervalle

&gt 4.a)

b)

c)

d) La valeur moyenne de sur l&rsquo intervalle [0  2] est égale à 1.

&gt 5.a) est croissante sur l&rsquo intervalle

b) est croissante sur l&rsquo intervalle

c) est croissante sur l&rsquo intervalle

d)

Exercice 2 (5 points)
Étude à l&rsquo aide d&rsquo un graphe de la mobilité d&rsquo étudiants et recherche d&rsquo un trajet minimal

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Un lycée d&rsquo une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d&rsquo orientation post-bac.

PARTIE A

Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion 2008 en ce qui concerne les choix de carrière.

Elle a relevé qu&rsquo en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l&rsquo étranger, alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France.

On a observé ensuite qu&rsquo à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l&rsquo étranger reviennent sur un poste en France, alors que 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l&rsquo étranger. On considère que cette situation perdure.

On note la matrice correspondant à l&rsquo état probabiliste en , avec la probabilité que la personne travaille à l&rsquo étranger, celle qu&rsquo elle travaille en France.

Ainsi .

&gt 1. Proposer le graphe probabiliste associé à cette situation. On désignera par E (étranger) et F (France) les deux sommets. (0,5 point)

&gt 2. Donner la matrice de transition M associée en prenant les sommets dans l&rsquo ordre E puis F. (0,5 point)

&gt 3. Montrer qu&rsquo en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l&rsquo étranger est de 30,475 %. (0,75 point)

&gt 4. Déterminer l&rsquo état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu. (1,25 point)

PARTIE B

Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d&rsquo organiser un concert.

Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée.

Les membres du groupe ont établi le graphe ci-dessous. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.


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&gt 1. Existe-t-il un trajet d&rsquo un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule ? Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi. (1 point)

&gt 2. Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée G. Quel trajet peut-il prendre ? Quelle est alors la durée du parcours ? (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Modélisation du développement de l&rsquo activité d&rsquo un styliste

Commun à tous les candidats

PARTIE A

Soit la fonction définie sur l&rsquo intervalle [&ndash  10  30] par :

On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.

&gt 1. Soit la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout réel de l&rsquo intervalle [&ndash  10  30] :

. (0,5 point)

&gt 2. En déduire le sens de variation de sur l&rsquo intervalle [&ndash  10  30]. (0,5 point)

&gt 3. Justifier que l&rsquo équation admet une solution unique dans l&rsquo intervalle [0  20] et donner un encadrement de à 0,1 près. (0,75 point)

&gt 4. Soit la fonction définie sur [&ndash  10  30] par :

On admet que est une primitive de dans l&rsquo intervalle [&ndash  10  30].

a) Calculer la valeur exacte de (0,5 point)

b) En déduire la valeur moyenne de la fonction sur l&rsquo intervalle [5   10]. (0,5 point)

On donnera une valeur arrondie au centième.

PARTIE B

En 2010, un styliste a décidé d&rsquo ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d&rsquo abord dans son pays d&rsquo origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.

Il a utilisé la fonction définie dans la partie A, mais seulement sur l&rsquo intervalle [0  20] pour modéliser son développement et a désigné par le nombre de magasins de son enseigne existant en .

&gt 1. Calculer et interpréter le résultat. (0,5 point)

&gt 2. En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possèdera 80 boutiques. (0,75 point)

&gt 3. Chaque magasin a un chiffre d&rsquo affaires journalier moyen de 2 500 euros.

Si on considère qu&rsquo un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer, à la centaine d&rsquo euros près, le chiffre d&rsquo affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l&rsquo ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. (1 point)

Exercice 4 (5 points)
Évolution annuelle du nombre d&rsquo exposants d&rsquo une brocante

Commun à tous les candidats

Le responsable du foyer des jeunes d&rsquo un village a décidé d&rsquo organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.

D&rsquo après les renseignements pris auprès d&rsquo autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d&rsquo une année sur l&rsquo autre, 90 % des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.

On désigne par le nombre d&rsquo exposants en avec un entier naturel.

Ainsi est le nombre d&rsquo exposants en 2012, soit .

&gt 1. Quel est le nombre d&rsquo exposants attendu pour 2013 ? (0,5 point)

&gt 2. Justifier que, pour tout entier naturel  :

. (0,5 point)

&gt 3. Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d&rsquo exposants ne peut pas excéder 220.

Recopier et compléter l&rsquo algorithme proposé ci-dessous afin qu&rsquo il permette de déterminer l&rsquo année à partir de laquelle l&rsquo organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d&rsquo inscription : (1 point)

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Variables :

u est un nombre réel

n est un nombre entier naturel

Initialisation :

Affecter à u la valeur &hellip .

Affecter à n la valeur 2012

Traitement :

Tant que &hellip .

Affecter à u la valeur &hellip .

Affecter à n la valeur n + 1

Sortie :

Afficher &hellip

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&gt 4. Pour tout entier naturel n, on pose .

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9. (0,75 point)

b) En déduire que, pour tout entier naturel n :

. (0,5 point)

c) Déterminer le résultat recherché par l&rsquo algorithme de la question 3. en résolvant une inéquation. (0,75 point)

&gt 5. L&rsquo organisateur décide d&rsquo effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d&rsquo inscriptions. Il affirme au maire qu&rsquo il suffit de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ? (1 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

Partie A

Chaque personne a la même probabilité d&rsquo être choisie, donc la probabilité de l&rsquo événement est égale à la proportion d&rsquo hommes dans la population.

Les événements et sont deux événements contraires, donc la somme de leurs probabilités est égale à 1.

&gt 2. c) Utilisez la définition d&rsquo une probabilité conditionnelle.

Partie B

&gt 1. L&rsquo expérience peut être considérée comme la répétition de 60 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

&gt 2. Utilisez les résultats du cours sur la loi binomiale.

&gt 3. L&rsquo événement contraire de &laquo  l&rsquo employé obtient au moins une souscription &raquo est &laquo  l&rsquo employé n&rsquo obtient aucune souscription &raquo .

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Tangente &bull Convexité &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire.

Les conseils du correcteur

&gt 2. Déterminez graphiquement le coefficient directeur et l&rsquo ordonnée à l&rsquo origine de la tangente à au point d&rsquo abscisse 1.

&gt 4. Si la fonction est positive sur l&rsquo intervalle (avec ), alors est l&rsquo aire, en unités d&rsquo aire, du domaine délimité par l&rsquo axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d&rsquo équations et .

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste &bull Matrice &bull Graphe pondéré &bull Chaîne eulérienne &bull Plus court chemin.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

&gt 2. Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe  la somme des coefficients d&rsquo une ligne est égale à 1.

Partie B

&gt 2. Utilisez l&rsquo algorithme de Dijkstra.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle &bull Dérivée &bull Tangente &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. Pour calculer la dérivée de , utilisez la formule sur tout intervalle où la fonction est dérivable.

&gt 4. a) Pour le calcul de l&rsquo intégrale I, utilisez la primitive de donnée dans l&rsquo énoncé.

Partie B

Utilisez les résultats de la partie A.

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel &laquo  Tant que &raquo .

Les conseils du correcteur

&gt 3. L&rsquo organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes si leur nombre est supérieur à 220.