Sujet complet de France métropolitaine 2014

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet de France métropolitaine 2014

France métropolitaine • Juin 2014

matT_1406_07_00C

SUJETS COMPLETS

1

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
QCM sur les probabilités et les fonctions : 5 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquez sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

>1. L’arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où A et B sont deux événements, dont les événements contraires sont respectivement notés et .


Alors :

a)

b)

c)

d)

>2. Avec le même arbre, la probabilité de l’événement B est égale à :

a) 0,5

b) 0,18

c) 0,26

d) 0,38

>3. On considère une fonction définie et continue sur l’intervalle [1 ; 15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous.


Soit une primitive de la fonction sur l’intervalle [1 ; 15]. On peut être certain que :

a) La fonction est négative sur l’intervalle [3 ; 4].

b) La fonction est positive sur l’intervalle [4 ; 12].

c) La fonction est décroissante sur l’intervalle [4 ; 12].

d) La fonction est décroissante sur l’intervalle [1 ; 3].

>4. Pour tout réel de l’intervalle , l’équation est équivalente à l’équation :

a)

b)

c)

d)

>5. est la fonction définie sur l’intervalle par .

On note 𝒞 sa courbe représentative.

L’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe 𝒞, l’axe des abscisses, et les droites d’équations et , est égale à :  

a)

b)

c)

d)

Exercice 2 (5 points)
Étude de l’évolution d’une surface engazonnée envahie par de la mousse

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d’un terrain de 1 500 m² entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m² et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel , on note la surface en m² de terrain engazonné au bout de  années, c’est-à-dire à l’automne . On a donc .

>1. Calculer . (0,25 point)

>2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel , . (0,5 point)

>3. On considère la suite définie pour tout nombre entier naturel par .

a) Démontrer que la suite est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. (0,75 point)

b) Exprimer en fonction de .

En déduire que, pour tout nombre entier naturel  :

. (0,75 point)

c) Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ? (0,5 point)

>4.a) Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel telle que

Interpréter le résultat obtenu. (0,75 point)

b) Compléter l’algorithme fourni en annexe pour qu’il affiche la solution obtenue à la question précédente. (0,75 point)

>5. Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison ? Justifier la réponse. (0,75 point)

Annexe


Initialisation

prend la valeur 1 500

prend la valeur 0

Traitement

Tant que …. …. …. …. faire

prend la valeur …. …. …. ….

prend la valeur …. …. …. ….

Fin Tant que

Sortie

Afficher

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Notez bien

B et constituent une partition de l’univers, donc .

>1. Interpréter les probabilités figurant sur un arbre pondéré

D’après l’arbre, (probabilité portée par la branche « issue de A »), donc :

.

D’après l’arbre, .

Pour le calcul de , voir la question suivante.

La bonne réponse estc).

>2. Déduire d’un arbre pondéré la probabilité d’un événement

D’après l’arbre, .

La bonne réponse estc).

>3. Utiliser le lien entre le signe et les variations d’une fonction et de l’une de ses primitives

Attention

Il ne faut pas confondre le signe et le sens de variation d’une fonction. Par exemple, sur l’intervalle [4 ; 12], la fonction est négative et croissante.

est une primitive de sur [1 ; 15], donc, pour tout appartenant à [1 ; 15], et, sur tout intervalle contenu dans [1 ; 15], le sens de variation de dépend du signe de .

Or est négative sur [4 ; 12] (elle prend des valeurs comprises entre et ), donc est décroissante sur cet intervalle.

Sur l’intervalle [1 ; 3], est positive (valeurs comprises entre 0 et 3), donc est croissante.

Le tableau indiqué ne donne aucune information sur le signe de .

La bonne réponse estc).

>4. Transformer une équation comportant un logarithme

Notez bien

La résolution de l’équation n’était pas demandée dans cette question.

L’équation est une équation du second degré qui possède deux solutions dont une seule positive ; l’équation possède donc une seule solution.

D’après la propriété fondamentale de la fonction ln :

  • pour tous réels et strictement positifs,  ;
  • pour tout réel strictement positif et tout entier relatif , .

Si , l’équation est donc équivalente à l’équation :

.

On sait de plus que, pour tous réels et strictement positifs :

équivaut à .

Donc l’équation donnée équivaut à , soit .

La bonne réponse estd).

>5. Calculer l’aire sous la courbe d’une fonction

La fonction est continue et strictement positive sur , donc l’aire (en unités d’aire) du domaine délimité par la courbe 𝒞, l’axe des abscisses, et les droites d’équations et , est égale à :

Notez bien

est la valeur moyenne de sur l’intervalle [2 ; 6].

Or la fonction est une primitive de sur . Donc :

La bonne réponse esta).

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. Calculer un terme d’une suite

représente la surface engazonnée (en m²) au bout d’un an, c’est-à-dire en 2011. Cette surface est égale à 80 % de la surface engazonnée en 2010, auxquels on ajoute 50 m² (surface sur laquelle Claude arrache la mousse et la remplace par du gazon).

Donc , soit :

Au bout d’un an, la surface engazonnée est de 1 250 m².

>2. Établir une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d’une suite

Par le même raisonnement que précédemment, on établit que, pour tout entier naturel , vaut 80 % de et qu’on y ajoute 50, soit :

>3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Or , donc , d’où :

.

On a donc , soit .

Donc la suiteest géométrique de raison 0,8.

Son premier terme est .

b) Donner l’expression du terme général de deux suites

D’après le résultat du cours, pour tout entier naturel  :

.

d’où :

c) Calculer numériquement un terme d’une suite

La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est .

D’après la question précédente :

.

Au bout de 4 années, la surface de terrain engazonné est 762 m².

>4. a) Résoudre une inéquation où l’inconnue est un entier figurant en exposant

équivaut successivement à :

 ;

 ;

car la fonction ln est strictement croissante sur .

D’après une propriété de la fonction ln, cette dernière inégalité équivaut à :

On divise les deux membres de cette inégalité par  ( car )

On en déduit que l’inégalité équivaut à .

Or et est entier, donc la plus petite valeur de telle que :

Info

On peut vérifier le résultat en calculant les premiers termes de la suite :

et .

est :

Cela signifie que la surface engazonnée devient pour la première fois inférieure à 500 m² au bout de 8 années.

b) Compléter un algorithme

Attention

Si l’on complète la deuxième ligne de la partie Traitement par , l’algorithme affiche en sortie 9, à cause de l’instruction suivante «  prend la valeur  ».

L’algorithme suivant affiche en sortie la solution () obtenue à la question précédente :


Initialisation

prend la valeur 1 500

prend la valeur 0

Traitement

Tant que faire

prend la valeur

prend la valeur

Fin Tant que

Sortie

Afficher