Sujet complet de France métropolitaine 2014 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Sujet complet de France métropolitaine 2014 (session de remplacement)

France métropolitaine • Septembre 2014

matT_1409_07_00C

Sujets complets

6

Corrigé

France métropolitaine • Septembre 2014

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points)
Type de piscine installée et existence d’un système de chauffage

Commun à tous les candidats

Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines fait une étude dans son fichier client. Il s’intéresse à deux caractéristiques :

  • le type de piscine déjà installée (piscine traditionnelle, piscine en bois, coque en résine) ;
  • l’existence d’un système de chauffage.

Il obtient les résultats suivants :

  • 50 % des clients choisissent une piscine traditionnelle, et parmi eux, 80 % ont fait installer un système de chauffage ;
  • 40 % des clients choisissent une piscine avec coque en résine, dont 60 % seront chauffées ;
  • les autres clients ont préféré une piscine en bois.

On choisit au hasard la fiche d’un client dans le fichier informatique du revendeur de piscine, chaque fiche ayant la même probabilité d’être tirée. On note les événements suivants :

T : « le client choisit une piscine traditionnelle » ;

R : « le client choisit une piscine avec coque en résine » ;

B : « le client choisit une piscine en bois » ;

C : « le client fait installer un chauffage ».

On note la probabilité de l’événement T et la probabilité de l’événement C sachant que l’événement T est réalisé.

Pour tout événement A, on note l’événement contraire de l’événement .

Lorsque ce sera nécessaire, les résultats demandés seront arrondis au millième.

PARTIE A

>1. Construire un arbre pondéré représentant cette situation. L’arbre pourra être complété tout au long de cet exercice. (1 point)

>2. Montrer que la probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est 0,4. (0,5 point)

>3. On sait aussi que 70 % des clients ont choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine.

a) Calculer la probabilité . (0,5 point)

b) En déduire et compléter l’arbre pondéré précédent. (0,5 point)

>4. Sachant que la piscine du client dont la fiche a été tirée est chauffée, calculer la probabilité que ce soit une piscine traditionnelle. (1 point)

PARTIE B

On prélève un lot de 120 fiches dans le fichier client du revendeur.

On s’intéresse, dans un tel lot, au nombre de clients ayant choisi d’installer un chauffage pour leur piscine. On modélise ce nombre par la variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d’écart-type

>1. Calculer la probabilité qu’il y ait entre 74 et 94 piscines chauffées. (1 point)

>2. Calculer la probabilité qu’au moins deux tiers des clients du lot aient choisi d’installer un chauffage pour leur piscine. (1,5 point)

Exercice 2 (5 points)
Évolution de l’effectif d’un lycée

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

On comptait 700 élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012.

À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l’établissement, le lycée conserve 70 % de son effectif pour l’année suivante.

Il reçoit 240 nouveaux élèves à chaque rentrée.

>1. Calculer le nombre d’élèves dans le lycée aux rentrées 2013 et 2014. (1 point)

>2. On définit la suite par et, pour tout entier naturel  :

.

Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,7.

Préciser son premier terme. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire l’expression de en fonction de . (0,5 point)

>3. On choisit de modéliser le nombre d’élèves du lycée par les termes de la suite .

Il faudra agrandir le lycée dès que l’effectif sera supérieur ou égal à 780 élèves.

a) Montrer que résoudre l’inéquation revient à résoudre l’inéquation . (1 point)

b) En quelle année faudra-t-il agrandir le lycée ? (1 point)

Exercice 2 (5 points)
Étude à l’aide d’un graphe de la répartition par niveau des adhérents d’un club de sport

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour satisfaire ses adhérents, un club de sport a instauré trois niveaux d’apprentissage :

DÉBUTANT (D), CONFIRMÉ (C) et EXPERT (E).

Au 1er septembre 2012, lors de l’inscription, le club comptait :

  • 30 % de débutants ;
  • 50 % de confirmés ;
  • 20 % d’experts.

D’une année sur l’autre, on constate que :

  • parmi les adhérents de niveau débutant, 40 % restent à ce niveau et 60 % passent au niveau confirmé ;
  • parmi les adhérents de niveau confirmé, 60 % restent à ce niveau et 40 % passent au niveau expert ;
  • parmi les adhérents de niveau expert, 80 % restent à ce niveau, 10 % redescendent au niveau confirmé et les autres 10 % préfèrent reprendre les bases au niveau débutant.

On considère qu’il n’y a pas de nouveaux venus ni de départs dans le club.

Soit la matrice ligne décrivant l’état probabiliste de la répartition parmi les trois niveaux d’apprentissage D, C et E au 1er septembre de l’année pour tout entier naturel .

>1. a) Donner sans justification la matrice . (0,5 point)

b) Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets D, C et E. (1 point)

On donne la matrice carrée de transition en respectant l’ordre D, C, E des sommets :

.

Dans la suite de l’exercice, on pourra utiliser les résultats suivants (résultats arrondis au millième) :

>2. Dans cette matrice on lit 0,6 et 0,8 en gras.

a) Préciser, à l’aide d’une phrase, à quoi correspondent ces deux valeurs en lien avec la situation étudiée. (0,5 point)

b) Calculer . (0,5 point)

c) Déterminer la répartition prévisible, en pourcentages, des adhérents dans ce club de sport au 1er septembre 2017. Les résultats seront donnés à 0,1 % près. (0,5 point)

>3. a) En calculant , émettre une conjecture sur la matrice correspondant à l’état probabiliste stable. (0,75 point)

b) Vérifier cette conjecture. (0,75 point)

c) Quelle conclusion peut-on en tirer pour la répartition des adhérents ? (0,5 point)

Exercice 3 (3 points)
Étude de la convexité d’une fonction et des points d’inflexion de sa courbe représentative

Commun à tous les candidats

On considère une fonction définie sur et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction , dérivée seconde de la fonction , dans un repère orthonormé.

Les points suivants appartiennent à la courbe :

A  ; B et C .


 

Courbe représentative de la fonction

Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d’arguments graphiques.

>1. La courbe représentative de admet-elle des points d’inflexion ? (1 point)

>2. Sur , la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ? (1 point)

>3. Parmi les deux courbes données ci-après, une seule est la représentation graphique de la fonction  : laquelle ? Justifier la réponse. (1 point)


 

Exercice 4 (6 points)
Étude d’une fonction comportant un logarithme et calcul d’une intégrale

Commun à tous les candidats

On considère la fonction définie sur par :

On note la fonction dérivée de la fonction .

>1. Vérifier que . (0,75 point)

>2. Étudier le signe de la fonction sur , en déduire le tableau de variations de sur . (1 point)

>3. Montrer que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle . (1 point)

Donner une valeur approchée de à par défaut. (0,5 point)

>4. On considère la fonction définie et dérivable sur telle que :

Montrer que est une primitive de sur . (0,75 point)

>5. Calculer . En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième. (1,25 point)

>6. En déduire la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle  et en donner une valeur approchée au millième. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. L’événement « le client choisit une piscine traditionnelle chauffée » est l’intersection de deux des événements définis dans l’énoncé.

>3.a) Utilisez une partition de l’univers, suivant le type de piscine installée.

b) Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie B

>2. On a prélevé les fiches de 120 clients, donc « au moins deux tiers des clients du lot » signifie « au moins 80 clients » (sur les 120 dont les fiches ont été prélevées).

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Fonction logarithme népérien

Les conseils du correcteur

>2.a) Utilisez la définition d’une suite géométrique.

b) Utilisez le résultat du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

>3.b) Commencez par déterminer le plus petit entier naturel tel que .

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Graphe probabiliste

Les conseils du correcteur

>1.b) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>2. c) D’après le cours, pour tout entier naturel non nul , .

>3. b) L’état probabiliste stable est associé à l’unique matrice ligne dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que .

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Convexité • Point d’inflexion

Les conseils du correcteur

Pensez à justifier toutes les réponses par des arguments graphiques.

La première courbe donnée est celle de .

>1. Le point d’abscisse est un point d’inflexion de la courbe représentative de si et seulement si s’annule et change de signe en . Le signe de peut être déterminé à partir de la position de sa courbe représentative par rapport à l’axe des abscisses.

>2. La fonction est convexe sur l’intervalle I si et seulement si est positive sur I, elle est concave sur l’intervalle I si et seulement si est négative sur I.

>3. Déterminez les points d’inflexion des courbes 1 et 2.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction

Les conseils du correcteur

>3. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant les conditions d’application.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

PARTIE A

>1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

Info

Les probabilités portées par les branches « de deuxième niveau » de l’arbre (celles qui « aboutissent » aux événements et ) sont des probabilités conditionnelles.

La situation peut être représentée par l’arbre ci-dessous :


 

>2. Calculer la probabilité d’un événement

La probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est .

D’après l’arbre :

>3.a) Calculer la probabilité d’un événement

est la probabilité que le client choisisse une piscine en bois chauffée.

Or T, R et B constituent une partition de l’univers (chaque client choisit une piscine traditionnelle, ou bien une piscine avec coque en résine, ou bien une piscine en bois), donc :

.

D’où :

.

Notez bien

car 70 % des clients ont choisi de faire installer un système de chauffage.

, d’où :

b) Calculer une probabilité conditionnelle

Par définition d’une probabilité conditionnelle, p(B) étant non nulle :

D’où , soit :

Ces deux probabilités sont indiquées en vert sur l’arbre précédent.

>4. Calculez une probabilité conditionnelle

Sachant que la piscine du client dont la fiche a été tirée est chauffée, la probabilité que ce soit une piscine traditionnelle est :

PARTIE B

>1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Info

 ; en moyenne, 70 % des 120 clients choisis, soit 84 clients, ont fait installer un système de chauffage.

est la variable aléatoire égale au nombre de personnes, sur les 120 dont les fiches ont été prélevées, qui ont fait installer un système de chauffage pour leur piscine. D’après l’énoncé, suit la loi normale de moyenne et d’écart-type .

Remarque

On peut aussi utiliser la calculatrice, qui affiche

d’après le cours.

Donc :

>2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Attention !

. La variable aléatoire modélise le nombre de clients qui ont choisi d’installer un chauffage, pas la proportion de clients qui ont choisi d’installer un chauffage.

Puisque le lot est constitué de 120 fiches, la probabilité qu’au moins deux tiers des clients aient choisi d’installer un chauffage est la probabilité qu’au moins 80 clients, sur les 120 dont les fiches ont été prélevées, aient choisi d’installer un chauffage.

.

Notez bien

La calculatrice ne permet de calculer que des probabilités du type , où et sont deux nombres réels.

car la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne 84.

Avec la calculatrice, on obtient :

.

On en déduit :

.

La probabilité qu’au moins deux tiers des clients du lot aient choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine est égale à environ 0,788.

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. Calculer l’effectif d’un lycée deux années successives

• À la rentrée 2013, le lycée a conservé 70 % des 700 élèves de la rentrée 2012, soit 490 élèves, auxquels se sont ajoutés 240 nouveaux élèves.

.

Donc à la rentrée 2013, il y avait 730 élèves dans le lycée.

• 70 % de ces 730 élèves, soit 511 élèves, étaient encore inscrits au lycée à la rentrée 2014, 240 nouveaux élèves ont été accueillis.

.

Donc à la rentrée 2014, le nombre d’élèves du lycée était 751 élèves.

>2.a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

.

Donc , soit .

La suiteest donc une suite géométrique de raison 0,7.

Son premier terme est.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, si est la suite géométrique de raison et de premier terme , alors, pour tout entier naturel , , d’où :

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

, donc , soit :

>3.a) Montrer l’équivalence de deux inéquations

équivaut à :

b) Déterminer le rang des termes d’une suite supérieurs ou égaux à un nombre donné

D’après l’énoncé, il faudra agrandir le lycée lorsque l’effectif sera supérieur ou égal à 780 élèves. Puisque le nombre d’élèves du lycée est modélisé par les termes de la suite , la condition équivaut à ,

c’est-à-dire .

D’après la question précédente, cette inéquation équivaut à .

Notez bien

La fonction ln étant strictement croissante sur , elle « conserve l’ordre » : si et sont deux réels strictement positifs tels que , alors

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur , cette inéquation équivaut à

Attention !

On divise les deux membres de l’inégalité par . Or , donc et l’ordre est inversé.

équivaut à :

 ; puisque est entier, équivaut à .

Il faudra donc agrandir le lycée 5 ans après 2012, c’est-à-dire en 2017.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1.a) Donner une matrice ligne décrivant un état initial

Gagnez des points !

On ne demande pas de justification, mais les coefficients de traduisent les données de l’énoncé : en 2012, le club comptait 30 % de débutants, 50 % de confirmés et 20 % d’experts.

b) Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe suivant :


 

>2. a) Donner une interprétation de deux coefficients d’une matrice de transition

Le nombre 0,6 est situé à l’intersection de la première ligne et de la deuxième colonne de la matrice M.

Le nombre 0,6 correspond donc aux 60 % des adhérents du niveau débutant qui, d’une année sur l’autre, passent au niveau confirmé.

Le nombre 0,8 est situé à l’intersection de la troisième ligne et de la troisième colonne de la matrice M.

Le nombre 0,8 correspond donc aux 80 % des adhérents du niveau expert qui, d’une année sur l’autre, restent à ce niveau.

b) Déterminer une matrice ligne décrivant un état probabiliste

, donc :

c) Déterminer une répartition en pourcentages correspondant à un état probabiliste

, donc la répartition des adhérents en 2017 est donnée par la matrice .

, donc :

.

En 2017, il devrait y avoir environ 9,5 % de débutants, 30,5 % de confirmés et 60 % d’experts.

>3.a) Émettre une conjecture sur l’état probabiliste stable

, donc :

.

On conjecture que la matrice correspondant à l’état probabiliste stable est :

b) Vérifier une conjecture

 ; la somme des coefficients est égale à 1.

La matrice ligne donnée correspond donc à un état probabiliste.

Elle correspond à l’état probabiliste stable si et seulement si .

.

Donc l’état probabiliste stable est bien donné par la matrice :

.

c) Interpréter un état probabiliste stable

D’après la question précédente, à long terme, la répartition des adhérents du club tendra vers 10 % de débutants, 30 % de confirmés et 60 % d’experts.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

>1. Déterminer les points d’inflexion éventuels de la courbe représentative d’une fonction

La fonction est deux fois dérivable sur , donc le point d’abscisse de sa courbe représentative est un point d’inflexion si et seulement si s’annule et change de signe en .

La courbe représentative de « traverse » l’axe des abscisses aux points A et C, donc s’annule et change de signe en et en 3.

Donc la courbe représentative deadmet deux points d’inflexion d’abscisseset 3.

>2. Étudier la convexité d’une fonction sur un intervalle

Notez bien

est négative ou nulle sur car les points de sa courbe représentative dont l’abscisse appartient à l’intervalle sont sur l’axe des abscisses ou en-dessous de cet axe.

La fonction est deux fois dérivable sur  ; d’après la courbe donnée, est négative ou nulle sur .

Doncest concave sur.

>3. Déterminer, entre deux courbes données, celle qui représente une fonction f

On a vu précédemment que la courbe représentative de admet deux points d’inflexion d’abscisses et 3.

Or la courbe 1 ne traverse pas sa tangente au point d’abscisse , elle est entièrement située au-dessus de cette tangente ; le point d’abscisse n’est pas un point d’inflexion de la courbe 1. On peut même préciser que la courbe 1 représente une fonction qui admet un minimum en .

Les points d’abscisses et 3 sont des points d’inflexion de la courbe 2.

Parmi les deux courbes données, celle qui représente la fonctionest la courbe 2.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction est dérivable sur et pour tout dans cet intervalle :

>2. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

appartient à , donc , et a le signe de qui est un trinôme du second degré dont le discriminant est :

.

Le trinôme a deux racines dans  :

Le trinôme est donc strictement négatif si ou , strictement positif si . D’où le tableau :


 

>3. Montrer qu’une équation admet une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution

  • Pour tout ,  ; l’équation n’a pas de solution dans l’intervalle .
  • Sur l’intervalle , la fonction est continue et strictement décroissante, et , donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution dans l’intervalle .

Finalement, l’équationa une unique solutionsur l’intervalle.

D’après la calculatrice :

et , donc .

, donc .

et , donc .

3,07 est une valeur approchée deàprès par défaut.

>4. Démontrer qu’une fonction donnée est une primitive d’une fonction connue

Pour tout dans l’intervalle  :

soit

La fonctionest donc une primitive desur.

>5. Calculer une intégrale

est une primitive de sur , donc :

>6. Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de sur l’intervalle est défini par :