Sujet complet de France métropolitaine 2015

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Sujet complet de France métropolitaine 2015

France métropolitaine • Juin 2015

matT_1506_07_00C

Sujets complets

1

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points)
Des probabilités à la pelle

Commun à tous les candidats

Les résultats des probabilités seront arrondis à 10−3 près.

Partie A

>1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif donné.

On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = λeλx.

a) Soit c et d deux réels tels que 0 c <d.

Démontrer que la probabilité P(c X d) vérifie :

P(cXd) = eλc − eλd.

b) Déterminer une valeur de λ à 10−3 près de telle sorte que la probabilité P(X > 20) soit égale à 0,05.

c) Donner l’espérance de la variable aléatoire X.

Dans la suite de l’exercice on prend λ = 0,15.

d) Calculer P(10 X  20).

e) Calculer la probabilité de l’événement (X > 18).

>2. Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 16 et d’écart type 1,95.

a) Calculer la probabilité de l’événement (20 Y  21).

b) Calculer la probabilité de l’événement (Y < 11) ∪ (Y > 21).

Partie B

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.

Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

>1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.

>2. Montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.

Pour la question suivante, on utilise cette valeur.

>3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 €.

Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.

Ses doutes sont-ils justifiés ?

Exercice 2 (3 points)
Distance minimale

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé (O ; I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points A(0 ; −1 ; 5), B(2 ; −1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1) et D(11 ; 4 ; 4).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. À l’instant t= 0 le point M est en A et le point N est en C.

On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.

On admet que Mt et Nt ont pour coordonnées : Mt (t ; −1 ; 5) et Nt (11 ; 0,8 t ; 1+0,6 t).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

>1. a) La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?

b) La droite (CD) se trouve dans un plan P parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan P.

c) Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan P, coupe ce plan au point E (11 ; − 1 ; 5).

d) Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

>2.a) Montrer que .

b) À quel instant t la longueur Mt Nt est-elle minimale ?

Exercice 3 (5 points)
Vous avez dit complexes ?

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

>1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue z :

z2 − 8z + 64 = 0.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct .

>2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives .

a) Calculer le module et un argument du nombre a.

b) Donner la forme exponentielle des nombres a et b.

c) Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle C de centre O dont on déterminera le rayon.

d) Placer les points A, B et C dans le repère .

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d) complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.

>3. On considère les points A′, B′ et C′ d’affixes respectives , et .

a) Montrer que b′ = 8.

b) Calculer le module et un argument du nombre a′.

Pour la suite on admet que .

>4. On admet que si M et N sont deux points du plan d’affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe et la longueur MN est égale à .

a) On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A′B], [B′C] et [C′A].

Calculer r et s. On admet que .

b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.

Exercice 3 (5 points)
Oh mon sommet !

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. On considère l’équation (E) à résoudre dans  : 7x − 5y= 1.

a) Vérifier que le couple (3 ; 4) est solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers (x ; y) est solution de (E) si et seulement si 7(x − 3) = 5(y − 4).

c) Montrer que les solutions entières de l’équation (E) sont exactement les couples (x ; y) d’entiers relatifs tels que :

k.

>2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons, il y a x jetons rouges et y jetons verts. Sachant que 7x − 5y= 1, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?

Dans la suite, on supposera qu’il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.

>3. On considère la marche aléatoire suivante d’un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.

  • Lorsqu’on est en A : si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.
  • Lorsqu’on est en B : si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.
  • Lorsqu’on est en C : si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel n, on note an, bn et cn les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l’étape n.

On note Xn la matrice ligne (anbncn) et T la matrice :

.

Donner la matrice ligne X0 et montrer que pour tout entier naturel n, Xn+1=XnT.

>4. On admet que T=PDP−1 et .

a) À l’aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P. On pourra remarquer qu’ils sont entiers.

b) Montrer que Tn=PDnP−1.

c) Donner sans justification les coefficients de la matrice Dn.

>5. On note les coefficients de la première ligne de la matrice Tn ainsi :

.

On admet que et .

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.

On rappelle que, pour tout entier naturel n, Xn=X0Tn.

a) Déterminer les nombres an, bn à l’aide des coefficients αn et βn. En déduire cn.

b) Déterminer les limites des suites (an), (bn) et (cn).

c) Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire ?

Exercice 4 (6 points)
Le module de skateboard

Commun à tous les candidats


Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C et OAB′B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).

L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :

f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x +7.

On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O ; I, J).


Partie A

>1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f′(x) = ln(x + 1) − 2.

>2. En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variations.

>3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.

>4. On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par a pour dérivée la fonction g′ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g′(x) = (x + 1) ln(x + 1).

Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].

Partie B

Les trois questions de cette partie sont indépendantes.

>1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

Proposition 1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.

Proposition 2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.

>2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

>3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.


Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O ; I, J) du plan de face, les points Bk (k ; f(k)) pour k variant de 0 à 20. Ainsi, B0= B.

On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de Bk à Bk+1 par le segment [BkBk+1]. Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type Bk Bk+1 B′k+1 B′k (voir figure).

a) Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19, .

b) Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.


Variables


S réel

K entier


Fonction


f définie par f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x + 7


Traitement


S prend pour valeur 0

Pour K variant de …… à ……




S prend pour valeur …………………..



Fin Pour


Sortie


Afficher …..

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Lois continues • Probabilités conditionnelles • Fluctuation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Loi exponentielle E40a• E40c• E41cPartie A, 1.
  • Loi normale E40dPartie A, 2.
  • Fonction logarithme népérien E9aPartie A, 1. b)
  • Arbre pondéré E37Partie B, 2.
  • Intervalle de fluctuation asymptotique E43Partie B, 3.

Calculatrice

  • Probabilités avec la loi normale C3Partie A, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>2. Pensez à construire un arbre pondéré traduisant la situation en ayant au préalable défini les événements adéquats et déterminé leurs probabilités respectives. Concluez en utilisant les propriétés d’un arbre pondéré.

>3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Étude de fonctions.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Coordonnées de vecteurs E291.
  • Produit scalaire E31c1. b)
  • Vecteur normal E33a1. b)
  • Vecteurs colinéaires E271. a)
  • Équation cartésienne d’un plan E33c1. b) et c)
  • Représentation paramétrique d’une droite E301. b), c) et d)

Nos coups de pouce

>1. b) Calculez le produit scalaire du vecteur avec un autre vecteur bien choisi pour conclure.

c) Écrivez une représentation paramétrique pour chacune des droites et résolvez un système d’équations pour déterminer les coordonnées d’un éventuel point d’intersection.

>2. b) Déterminez les variations du trinôme de la question précédente et exploitez ces variations pour en déduire celles de MtNt lorsque .

Exercice 3 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Équation du second degré E231.
  • Module d’un nombre complexe E182. a), b), c) et 3. b)
  • Argument d’un nombre complexe E192. a), b) et 3. b)
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe E212. b), 3. a) et b)
  • Forme algébrique d’un nombre complexe E162. a), d) et 4. a)
  • Conjugué d’un nombre complexe E171. et 2. b)
  • Nombres complexes et géométrie E222. c), 4. a) et b)

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes C42. a), c), 4. a) et b)

Nos coups de pouce

>4. b) Complétez la figure de la question 2. d) en plaçant les points A′, B′, C′, R, S et T. Conjecturez à partir de cette figure la nature du triangle RST. Validez ou corrigez cette conjecture en calculant les distances RS, RT et ST.

Exercice 3 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence E14. b)
  • Arbre pondéré E373.
  • Suites et limites E2c• E4d5. b)

Calculatrice

Calcul matriciel C54. a)

Nos coups de pouce

>1. c) Pensez à utiliser le théorème de Gauss.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Intégration • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Primitives E7b• E11a• E11b• E11cPartie A, 4.
  • Dérivation E6b• E6c• E6e• E6fPartie A, 1., 2. et 3.
  • Fonction logarithme népérien E9a• E9d• E9ePartie A, 1., 2. et 3.
  • Intégrales et aires E13 • E14Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Inspirez-vous du travail fait partie A, question 3. pour déterminer l’inclinaison de la piste au point C. Concluez.

>2. Calculez les aires de deux rectangles auxquelles vous ajouterez les deux aires restantes, aires à déterminer à l’aide d’un calcul d’intégrale.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

>1. a) Démontrer un résultat de cours

La fonction est la densité associée à la variable aléatoire X.

Nous avons, pour tous réels et tels que  :

b) Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle

Nous avons, puisque X suit une loi exponentielle :

Notez bien

Pour tout réel x : .

La condition imposée est . Cela donne :

Par conséquent, nous avons, à l’aide de la calculatrice, (valeur arrondie au millième).

c) Calculer une espérance

Nous avons . L’espérance de la variableX est 6,676 (valeur arrondie au millième).

d) Calculer la probabilité d’un événement avec une loi exponentielle

Grâce à la question 1. a), nous pouvons écrire :

La probabilité queX prenne ses valeurs dans l’intervalle [10 ; 20] est 0,173 (valeur arrondie au millième).

e) Calculer la probabilité d’un événement avec une loi exponentielle

En suivant le même raisonnement qu’à la question 1. b), nous pouvons écrire :

.

La probabilité queX prenne des valeurs strictement supérieures à 18 est 0,067 (valeur arrondie au millième).

>2. a) Calculer la probabilité d’un événement avec une loi normale

À la calculatrice, nous avons :


TI 83 Plus.fr


CASIO GRAPH 75



Par conséquent, .

b) Calculer la probabilité d’un événement avec une loi normale

Les événements et sont disjoints. Par conséquent :

À la calculatrice, nous avons :


TI 83 Plus.fr


CASIO GRAPH 75



Par conséquent, .

partie b

>1. Calculer une probabilité conditionnelle

Nous savons que le bon d’achat est rouge. Dans ce cas, il prend la valeur 30 euros avec une probabilité égale à 0,015 et la valeur 100 euros avec une probabilité égale à 0,010.

La probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge est donc .

>2. Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré

Considérons les événements suivants :

R : « le bon d’achat est rouge » ;

V : « le bon d’achat est vert » ;

S : « le bon d’achat est d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros ».

D’après la question précédente, nous avons .

Maintenant, si le bon d’achat est vert, alors il prend la valeur 30 euros avec une probabilité égale à 0,067.

La probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est vert est .

Comme les bons d’achat sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts, nous avons aussi et .

Notez bien

La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Résumons la situation à l’aide d’un arbre pondéré :


À l’aide de l’arbre pondéré, nous pouvons écrire :

La probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros est d’environ 0,057.

>3. Utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique

La proportion de bons d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros est .

Nous considérons ici 200 clients : la taille de notre échantillon est donc .

Nous avons alors :

 ;

 ;

.

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de bons d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros dans un échantillon de taille 200 est ainsi défini et donné par :

La fréquence de bons d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros dans notre échantillon de taille 200 est égale à : .

Comme f appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique I, nous pouvons en déduire que les doutes du directeur du magasin ne sont pas fondés.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1. a) Étudier le parallélisme de deux droites

Nous avons, dans le repère  :

Nous constatons alors que donc les vecteurs et sont colinéaires et la droite (AB) est parallèle à l’axe (OI).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

  • Nous avons, dans le repère orthonormé  :

.

Ensuite : donc est orthogonal à .

Comme est normal au plan (OJK), la droite (CD) est par conséquent incluse dans un planPparallèle au plan (OJK).

  • Le plan P est parallèle au plan (OJK) de vecteur normal  ; une équation cartésienne de P est donc d est un réel à déterminer.

Comme (CD) est incluse dans le plan P, le point C par exemple appartient au plan P.

Par conséquent : .

Le planPa donc pour équation cartésienne.

c) Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

Remarquons tout d’abord que, d’après la question 1. a), (AB) est parallèle à (OI). Comme (OI) est orthogonale à P, (AB) est donc orthogonale à P.

Déterminons une représentation paramétrique de la droite (AB). Nous avons qui est un point de (AB) et (question 1. a)) qui est un vecteur directeur de (AB).

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc donnée par :

ce qui nous donne .

Enfin

La droite (AB), orthogonale àP, coupe ce plan au point.

d) Étudier la position relative de deux droites

La droite (CD) étant incluse dans le plan P, si les droites (AB) et (CD) sont sécantes, alors leur point d’intersection est dans P. Le seul point commun à P et (AB) est leur point E.

Regardons si E ∈ (CD).

Les vecteurs (0 ; 4 ; 3) et (0 ; – 1 ; 4) ne sont pas colinéaires donc E ∉ (CD).

Par conséquent, les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.

>2.a) Calculer le carré d’une distance

Dans le repère orthonormé , nous avons :

b) Déterminer l’abscisse d’un extremum

Soit la fonction définie sur par .

  • est une fonction polynôme de degré 2 : avec .
  • On calcule : .

Comme , la fonction est strictement décroissante sur et strictement croissante sur . Elle atteint son minimum en .

est donc strictement positive sur , par conséquent, les fonctions et ont les mêmes sens de variations sur et donc sur .

La fonction atteint donc son minimum en .

Notez bien

Si est une fonction définie et positive sur un intervalle I, alors les fonctions et ont les mêmes sens de variations sur I.

En remarquant pour finir que, si , , nous pouvons donc dire que la longueurest minimale quands.

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

>1. Résoudre une équation du second degré

L’équation d’inconnue est de la forme avec et Pour résoudre cette équation du second degré, calculons son discriminant :

Comme cette équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :

et

L’équationadmet donc deux solutions complexes qui sontet

>2. a) Calculer un module et un argument d’un nombre complexe

Gagnez des points !

Vérifiez vos résultats à l’aide de la calculatrice  C4 .

Le module du nombre complexe est :

Le nombre complexe étant non nul, un argument de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que : D’après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que est un argument de

Le module du nombre complexeestet un argument du nombre complexeest

b) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle

  • D’après la question précédente, étant le module du nombre complexe et un argument de a, il en découle que :
  • En remarquant que le nombre complexe est le conjugué du nombre complexe nous avons et Par suite,

L’écriture du nombresous forme exponentielle estet celle du nombreest

c) Démontrer que des points sont cocycliques

La distance d’un point du plan à l’origine du repère orthonormé est le module de l’affixe de ce point.

Le module du nombre étant 8, la distance OA est de 8 unités. De même, le module du nombre étant 8, la distance OB est également de 8 unités. La distance OC étant égale au module du nombre (imaginaire pur), nous avons : OC

Comme OA = OB = OC = 8 (unités), les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 8.

d) Placer des points d’un repère

Pour placer de manière précise les points A et B, nous traçons d’abord le cercle de centre O et de rayon 8 (unités), puis la droite d’équation Le point d’intersection d’ordonnée positive de cette droite et de ce cercle est le point A, l’autre point d’intersection, le point B.


>3. a) Calculer un produit de deux nombres complexes

Notez bien

D’après la question 2. b), l’écriture du nombre sous forme exponentielle est Par suite, nous avons :

Le nombreest un réel et

Remarque. Le point  appartient à l’axe des abscisses et au cercle de centre O de rayon 8.

b) Calculer le module et un argument d’un nombre complexe

Notez bien

Pour tous réels et

.

L’écriture du nombre sous forme exponentielle est Il en découle que :

L’écriture desous forme exponentielle étantle module deest 8 et un argument deest

Remarque. Le point A′ appartient au cercle de centre O et de rayon 8.

>4. a) Calculer l’affixe associée au milieu d’un segment

Nous avons :

L’affixe du milieu du segmentest 0.

Remarque. L’origine du repère, le point O, est le milieu du segment .

De même, nous avons :

L’affixe du milieu du segmentest

Remarque. Le point de coordonnées est le milieu du segment .

b) Émettre une conjecture et la valider

  • La figure de la question 2. d) complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions est :

Par lecture graphique, nous conjecturons que le triangle RST (ou OST) est équilatéral.

  • Validons notre conjecture. Pour ce faire, calculons les distances RS, RT et ST.

Notez bien

Pour tous réels et

.

Commele triangle RST est équilatéral.

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. a) Vérifier qu’un couple est solution d’une équation

Nous avons : Le coupleest donc solution de (E).

b) Établir une équivalence

Raisonnons par équivalence.

Le couple d’entiers

Le couple d’entiersest solution desi, et seulement si,

c) Déterminer les solutions d’une équation

Notez bien

Théorème de Gauss :

Pour tous entiers relatifs non nuls  ; si divise et si sont premiers entre eux, alors divise

  • Considérons un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E). D’après la question 1. b), ce couple vérifie l’égalité suivante : Comme et sont des entiers, divise Or, sont premiers entre eux. Par conséquent, d’après le théorème de Gauss, divise Autrement dit, il existe un entier relatif tel que équivalent à Il en découle que : ce qui est équivalent à ou encore
  • Réciproquement, considérons un couple d’entiers relatifs tel que et est un entier relatif. Nous avons :

Le couple est solution de (E).

Nous en concluons que les solutions entières de l’équation (E) sont exactement les couplesd’entiers relatifs tels quex = 5k + 3 et().

>2. Analyser et répondre à une problématique

  • Notons le nombre de jetons blancs. La boîte contenant 25 jetons, nous avons la relation suivante :
  • Comme il en découle que le couple d’entiers (nombre de jetons rouges, nombre de jetons verts), est solution de l’équation (E). D’après la question 1. c), nous avons et étant un entier relatif.

Ainsi,

  • Le nombre de jetons dans la boîte étant de 25, les contraintes suivantes doivent naturellement être vérifiées :

étant un entier relatif, peut prendre, en respectant ces contraintes, les valeurs 0 ou 1.

Pour et donc

Pour et donc

La boîte peut contenir : 3 jetons rouges, 4 jetons verts et 18 jetons blancs ou 8 jetons rouges, 11 jetons verts et 6 jetons blancs.

>3. Établir une relation matricielle

  • Au départ, le pion est sur le sommet A. L’événement « le pion est sur le sommet A » est ainsi un événement certain, et Les deux événements « au départ, le pion est sur le sommet B » et « au départ, le pion est sur le sommet C » sont des événements impossibles donc La matrice ligneest alors donnée par :
  • Le passage de la n-ième étape à la suivante peut se représenter à l’aide de l’arbre pondéré suivant en prenant en compte que :
  • la probabilité de tirer un jeton de couleur rouge est de  ;
  • la probabilité de tirer un jeton de couleur verte est de  ;
  • la probabilité de tirer un jeton de couleur blanche est de

Par lecture de l’arbre pondéré, nous avons :

Ce qui s’écrit,

ou encore

>4. a) Calculer l’inverse d’une matrice à la calculatrice

À l’aide de la calculatrice, nous avons directement :

b) Démontrer une égalité matricielle à l’aide d’un raisonnement par récurrence

Soit la propriété :

Initialisation

Notez bien

est la matrice identité d’ordre 3.

Pour toute matrice inversible A, .

D’une part, par convention et d’autre part,

Ainsi, et la propriété est vraie.

Hérédité

Nous supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel Démontrons alors que la propriété est vraie.

La propriété est donc vraie.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, nous en déduisons que pour tout entier naturel

c) Donner les coefficients d’une matrice

La matrice étant diagonale, nous avons pour tout entier naturel :

>5. a) Déterminer des coefficients d’une matrice

Soit un entier naturel.

D’une part, et d’autre part, (question 3.),

Il en découle que

Comme (somme des probabilités) alors

Ainsi, pour tout entier naturel

b) Déterminer la limite d’une suite

Comme alors Par produit et somme, nous avons alors :

De plus, comme alors Par produit, somme, différence et quotient, nous avons alors :

Enfin, comme alors

c) Interpréter la limite d’une suite

Comme d’après la question 5. b), on a, après un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire, plus de chance de se retrouver au sommet C.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

>1. Déterminer la dérivée d’une fonction

Notez bien

Pour toutes fonctions dérivables sur un intervalle le produit est dérivable sur et

La fonction est dérivable sur comme composée, produit et somme de fonctions usuelles dérivables. La dérivée de la fonction est donc définie sur et donnée par :

>2. Dresser le tableau de variations d’une fonction

Notez bien

Pour tous réels et

Pour tout réel de l’intervalle nous avons :

À noter que (arrondi au centième).

  • Pour tout réel est strictement négatif.

La fonctionest alors strictement décroissante sur l’intervalle

  • Pour tout réel est strictement positif.

La fonctionest alors strictement croissante sur l’intervalle

Notez bien

.

Comme ,

et

nous avons par conséquent le tableau de variations complet suivant :


>3. Calculer le coefficient directeur d’une tangente

Notez bien

.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction au point d’abscisse 0 est le nombre dérivé de en 0. Or, d’après partie A, question 1., nous avons :

Le coefficient directeur de la tangente àCau point B est ainsi

>4. Déterminer une primitive d’une fonction

  • La fonction étant dérivable sur l’intervalle elle est continue sur cet intervalle et elle y admet ainsi des primitives. Notons une primitive de sur cet intervalle.
  • D’après l’énoncé, la fonction a pour dérivée sur la fonction Autrement dit, la fonction est sur une primitive de la fonction
  • Une primitive de la fonction affine sur est la fonction polynôme de degré 2 :

Ainsi, la fonctiondéfinie parest une primitive de la fonctionsur

partie b

>1. Étudier l’exactitude de deux propositions

  • D’après le tableau de variations de la question 2. de la partie A, la hauteur associée au point le plus haut de la piste est :

m

et la hauteur associée au point le plus bas de la piste est

 m.

Par conséquent la différence de hauteur entre le point le plus haut de la piste et le point le plus bas de la piste est :

 m.

Cette différence est donc au moins égale à 8 m. La proposition 1 est donc exacte.

  • D’après la question 3. de la partie A, l’inclinaison du module de skateboard au point B est égale à 2.

Déterminons l’inclinaison du module de skateboard au point C. Pour cela, calculons .

Nous avons : .

Par conséquent, l’inclinaison de la piste est presque deux fois plus importante en B qu’en C.

La proposition 2 est donc exacte.

>2. Déterminer un minimum

  • La face est un rectangle donc :

.

  • La face est un rectangle donc :

.

  • La fonction est dérivable donc continue sur [0 ; 20]. Son minimum sur [0 ; 20] est positif (partie A, 2.) donc est positive sur [0 ; 20].

L’aire A du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d’équations et est donc donnée en unités d’aire par :

.

Nous avons :

.

Par conséquent : .

L’aire des quatre faces latérales est donc égale à :

La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 par litre.

Or et .

Il faudra donc au minimumlitres de peinture pour peindre les quatre surfaces latérales du module.

>3. a) Calculer une distance

Dans le repère orthonormé (O ; I, J), nous avons, pour tout variant de 0 à 19 :

b) Compléter un algorithme

Pour déterminer une estimation de l’aire de la partie roulante, il faut calculer les aires des rectangles et les ajouter les unes aux autres lorsque varie de 0 à 19.

L’aire d’un rectangle du type est donnée par :

Les parties Traitement et Sortie se complètent donc comme suit :


Traitement


S prend la valeur 0

Pour K variant de 0 à 19

S prend la valeur

Fin Pour


Sortie


Afficher S