Sujet complet de France métropolitaine 2015

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Sujet complet de France métropolitaine 2015

France métropolitaine • Juin 2015

matT_1506_07_00C

Sujets complets

1

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points)
Des probabilités à la pelle

Commun à tous les candidats

Les résultats des probabilités seront arrondis à 10−3 près.

Partie A

>1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif donné.

On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = λeλx.

a) Soit c et d deux réels tels que 0 c <d.

Démontrer que la probabilité P(c X d) vérifie :

P(cXd) = eλc − eλd.

b) Déterminer une valeur de λ à 10−3 près de telle sorte que la probabilité P(X > 20) soit égale à 0,05.

c) Donner l’espérance de la variable aléatoire X.

Dans la suite de l’exercice on prend λ = 0,15.

d) Calculer P(10 X  20).

e) Calculer la probabilité de l’événement (X > 18).

>2. Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 16 et d’écart type 1,95.

a) Calculer la probabilité de l’événement (20 Y  21).

b) Calculer la probabilité de l’événement (Y < 11) ∪ (Y > 21).

Partie B

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.

Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

>1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.

>2. Montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.

Pour la question suivante, on utilise cette valeur.

>3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 €.

Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.

Ses doutes sont-ils justifiés ?

Exercice 2 (3 points)
Distance minimale

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé (O ; I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points A(0 ; −1 ; 5), B(2 ; −1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1) et D(11 ; 4 ; 4).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. À l’instant t= 0 le point M est en A et le point N est en C.

On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.

On admet que Mt et Nt ont pour coordonnées : Mt (t ; −1 ; 5) et Nt (11 ; 0,8 t ; 1+0,6 t).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

>1. a) La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?

b) La droite (CD) se trouve dans un plan P parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan P.

c) Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan P, coupe ce plan au point E (11 ; − 1 ; 5).

d) Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

>2.a) Montrer que .

b) À quel instant t la longueur Mt Nt est-elle minimale ?

Exercice 3 (5 points)
Vous avez dit complexes ?

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

>1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue z :

z2 − 8z + 64 = 0.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct .

>2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives .

a) Calculer le module et un argument du nombre a.

b) Donner la forme exponentielle des nombres a et b.

c) Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle C de centre O dont on déterminera le rayon.

d) Placer les points A, B et C dans le repère .

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d) complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.

>3. On considère les points A′, B′ et C′ d’affixes respectives , et .

a) Montrer que b′ = 8.

b) Calculer le module et un argument du nombre a′.

Pour la suite on admet que .

>4. On admet que si M et N sont deux points du plan d’affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe et la longueur MN est égale à .

a) On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A′B], [B′C] et [C′A].

Calculer r et s. On admet que .

b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.

Exercice 3 (5 points)
Oh mon sommet !

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. On considère l’équation (E) à résoudre dans  : 7x − 5y= 1.

a) Vérifier que le couple (3 ; 4) est solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers (x ; y) est solution de (E) si et seulement si 7(x − 3) = 5(y − 4).

c) Montrer que les solutions entières de l’équation (E) sont exactement les couples (x ; y) d’entiers relatifs tels que :

k.

>2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons, il y a x jetons rouges et y jetons verts. Sachant que 7x − 5y= 1, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?

Dans la suite, on supposera qu’il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.

>3. On considère la marche aléatoire suivante d’un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.

  • Lorsqu’on est en A : si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A.
  • Lorsqu’on est en B : si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B.
  • Lorsqu’on est en C : si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel n, on note an, bn et cn les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l’étape n.

On note Xn la matrice ligne (anbncn) et T la matrice :

.

Donner la matrice ligne X0 et montrer que pour tout entier naturel n, Xn+1=XnT.

>4. On admet que T=PDP−1 et .

a) À l’aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P. On pourra remarquer qu’ils sont entiers.

b) Montrer que Tn=PDnP−1.

c) Donner sans justification les coefficients de la matrice Dn.

>5. On note les coefficients de la première ligne de la matrice Tn ainsi :

.

On admet que et .

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.

On rappelle que, pour tout entier naturel n, Xn=X0Tn.

a) Déterminer les nombres an, bn à l’aide des coefficients αn et βn. En déduire cn.

b) Déterminer les limites des suites (an), (bn) et (cn).

c) Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire ?

Exercice 4 (6 points)
Le module de skateboard

Commun à tous les candidats


Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C et OAB′B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).

L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :

f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x +7.

On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O ; I, J).


Partie A

>1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f′(x) = ln(x + 1) − 2.

>2. En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variations.

>3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.

>4. On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par a pour dérivée la fonction g′ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g′(x) = (x + 1) ln(x + 1).

Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].

Partie B

Les trois questions de cette partie sont indépendantes.

>1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

Proposition 1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.

Proposition 2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.

>2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

>3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.


Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O ; I, J) du plan de face, les points Bk (k ; f(k)) pour k variant de 0 à 20. Ainsi, B0= B.

On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de Bk à Bk+1 par le segment [BkBk+1]. Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type Bk Bk+1 B′k+1 B′k (voir figure).

a) Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19, .

b) Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.


Variables


S réel

K entier


Fonction


f définie par f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x + 7


Traitement


S prend pour valeur 0

Pour K variant de …… à ……




S prend pour valeur …………………..



Fin Pour


Sortie


Afficher …..

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Lois continues • Probabilités conditionnelles • Fluctuation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Loi exponentielle E40a• E40c• E41cPartie A, 1.
  • Loi normale E40dPartie A, 2.
  • Fonction logarithme népérien E9aPartie A, 1. b)
  • Arbre pondéré E37Partie B, 2.
  • Intervalle de fluctuation asymptotique E43Partie B, 3.

Calculatrice

  • Probabilités avec la loi normale C3Partie A, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>2. Pensez à construire un arbre pondéré traduisant la situation en ayant au préalable défini les événements adéquats et déterminé leurs probabilités respectives. Concluez en utilisant les propriétés d’un arbre pondéré.

>3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Étude de fonctions.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Coordonnées de vecteurs E291.
  • Produit scalaire E31c1. b)
  • Vecteur normal E33a1. b)
  • Vecteurs colinéaires E271. a)
  • Équation cartésienne d’un plan E33c1. b) et c)
  • Représentation paramétrique d’une droite E301. b), c) et d)

Nos coups de pouce

>1. b) Calculez le produit scalaire du vecteur avec un autre vecteur bien choisi pour conclure.

c) Écrivez une représentation paramétrique pour chacune des droites et résolvez un système d’équations pour déterminer les coordonnées d’un éventuel point d’intersection.

>2. b) Déterminez les variations du trinôme de la question précédente et exploitez ces variations pour en déduire celles de MtNt lorsque .

Exercice 3 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Équation du second degré E231.
  • Module d’un nombre complexe E182. a), b), c) et 3. b)
  • Argument d’un nombre complexe E192. a), b) et 3. b)
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe E212. b), 3. a) et b)
  • Forme algébrique d’un nombre complexe E162. a), d) et 4. a)
  • Conjugué d’un nombre complexe E171. et 2. b)
  • Nombres complexes et géométrie E222. c), 4. a) et b)

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes C42. a), c), 4. a) et b)

Nos coups de pouce

>4. b) Complétez la figure de la question 2. d) en plaçant les points A′, B′, C′, R, S et T. Conjecturez à partir de cette figure la nature du triangle RST. Validez ou corrigez cette conjecture en calculant les distances RS, RT et ST.

Exercice 3 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence E14. b)
  • Arbre pondéré E373.
  • Suites et limites E2c• E4d5. b)

Calculatrice

Calcul matriciel C54. a)

Nos coups de pouce

>1. c) Pensez à utiliser le théorème de Gauss.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Intégration • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Primitives E7b• E11a• E11b• E11cPartie A, 4.
  • Dérivation E6b• E6c• E6e• E6fPartie A, 1., 2. et 3.
  • Fonction logarithme népérien E9a• E9d• E9ePartie A, 1., 2. et 3.
  • Intégrales et aires E13 • E14Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Inspirez-vous du travail fait partie A, question 3. pour déterminer l’inclinaison de la piste au point C. Concluez.

>2. Calculez les aires de deux rectangles auxquelles vous ajouterez les deux aires restantes, aires à déterminer à l’aide d’un calcul d’intégrale.