Sujet complet de France métropolitaine 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Sujet complet de France métropolitaine 2015

France métropolitaine • Juin 2015

matT_1506_07_01C

Sujets complets

1

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points)
Étude de la clientèle d’un magasin de téléphonie

Commun à tous les candidats

Le service marketing d’un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est ­composée de 42 % de femmes.

35 % des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes.

Une personne entre dans le magasin. On note :

l’événement : « La personne est une femme » ;

l’événement : « La personne repart sans rien acheter »

Pour tout événement , on note son événement contraire et  sa probabilité.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

partie a

>1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation. (0,75 point)

>2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu’elle reparte sans rien acheter. (0,75 point)

>3. Montrer que . (1 point)

partie b

Un client du magasin s’inquiète de la durée de vie du téléphone de type T1 qu’il vient de s’offrir.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type T1 prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.

On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

>1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type T1 prélevé fonctionne plus de 3 ans, c’est-à-dire 36 mois, est d’environ 0,885. (0,75 point)

>2. On sait que le téléphone de type T1 prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne moins de 5 ans ? (1 point)

partie c

Le gérant du magasin émet l’hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur…).

Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

>1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1 500. (1 point)

>2. Le service marketing interroge un échantillon de 1 500 personnes. L’étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires.

Doit-on rejeter au seuil de 5 % l’hypothèse formulée par le gérant ? (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Coût du forage d’un puits

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite définie pour tout entier naturel non nul par :

représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres.

On a ainsi et , c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2 000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2 016 euros.

Dans tout l’exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

>1. Calculer , puis le coût total de forage des 30 premiers mètres. (0,75 point)

>2. Pour tout entier naturel non nul :

a) Exprimer en fonction de et préciser la nature de la suite . (0,75 point)

b) En déduire le pourcentage d’augmentation du coût du forage de la (n+ 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres. (0,5 point)

>3. On considère l’algorithme ci-dessous :

 

Initialisation

prend la valeur 2 000

prend la valeur 2 000

Traitement

Saisir

Pour allant de 2 à

prend la valeur

prend la valeur

Fin Pour

Sortie

Afficher

 

La valeur de saisie est 5.

a) Faire fonctionner l’algorithme précédent pour cette valeur de .

Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire). (1 point)

 

Valeur de

2

Valeur de

2 000

Valeur de

2 000

 

b) Quelle est la valeur de affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. (0,75 point)

>4. On note la somme des premiers termes de la suite , étant un entier naturel non nul. On admet que :

Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l’on peut espérer avec ce budget.

a) Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d’une inéquation…). (0,75 point)

b) Modifier l’algorithme précédent afin qu’il permette de répondre au problème posé. (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)
Graphes et itinéraires de randonnée

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

On considère le graphe ci-dessous :


 

>1. Déterminer en justifiant si ce graphe :

a) est connexe ; (0,5 point)

b) admet une chaîne eulérienne. (0,5 point)

>2. On note la matrice d’adjacence associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. On donne :

Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B. (0,5 point)

partie b

Un club alpin souhaite proposer à ses membres des randonnées de plusieurs jours dans les Alpes. À cet effet, huit refuges notés A, B, C, D, E, F, G et H ont été sélectionnés.

Le graphe de la partie A permet de visualiser les différents itinéraires possibles, les sommets représentant les refuges et les arêtes schématisant tous les sentiers de randonnée balisés les reliant.

>1. D’après l’étude effectuée dans la partie A, le club alpin est-il en mesure de proposer :

a) un itinéraire au départ du refuge A qui passerait par tous les refuges en empruntant une fois et une seule fois chacun des sentiers ? Si oui, proposer un tel itinéraire ; (1 point)

b) des itinéraires de trois jours (un jour correspondant à une liaison entre deux refuges) reliant le refuge E au refuge B ? Si oui, combien peut-il en proposer ? (1 point)

>2. Le graphe est complété ci-dessous par la longueur en kilomètres de chacun des sentiers.


 

Le club alpin désire aussi proposer à ses membres l’itinéraire le plus court reliant A à H.

Déterminer cet itinéraire et en préciser la longueur en kilomètres. (1,5 point)

Exercice 3 (6 points)
Étude d’une fonction comportant une exponentielle et calcul d’une aire

Commun à tous les candidats

La courbe ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction définie et dérivable sur l’intervalle . Les points A d’abscisse et B sont sur la courbe .

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note la fonction dérivée de .


 

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

>1. Par lecture graphique, déterminer :

a) ; (0,25 point)

b). (0,75 point)

>2. La fonction est définie sur par , où sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

a) Calculer pour tout réel de . (0,75 point)

b) À l’aide des questions 1. b) et 2. a), montrer que les nombres vérifient le système suivant :

(0,75 point)

c) Déterminer alors les valeurs des nombres . (0,25 point)

partie b

On admet que la fonction est définie sur par :

.

>1. Justifier que, pour tout réel de , et en déduire le tableau de variation de sur . (1 point)

>2. Montrer que l’équation admet une unique solution sur , puis donner une valeur approchée de à 0,01 près par défaut. (1 point)

>3. On souhaite calculer l’aire , en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .

a) Exprimer, en justifiant, cette aire à l’aide d’une intégrale. (0,25 point)

b) Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

 

1

F(x) : = –2x + (–x – 5) * exp(–x)

// Interprète F

// Succès lors de la compilation F

–2 *  + (– – 5) * exp(–)

2

derive (F(x))

exp(–) – exp(–) * (– – 5) – 2

3

simplifier (–exp(–x) – exp(–x) * (–x – 5) – 2)

 * exp(–) + 4 * exp(–) – 2

 

À l’aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l’aire , puis sa valeur arrondie au centième. (1 point)

Exercice 4 (3 points)
Position relative d’une courbe par rapport à l’une de ses tangentes

Commun à tous les candidats

On considère la fonction définie sur par :

On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à au point d’abscisse 1.

Quelle est la position relative de par rapport à T ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

>2. L’événement dont on demande la probabilité est l’intersection de deux événements.

Partie B

>1.X représente la durée de vie d’un téléphone en mois.

>2. La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle (l’événement « le téléphone a fonctionné plus de trois ans » est supposé réalisé) ; utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie C

>2. Calculez la fréquence, dans l’échantillon considéré, de personnes ayant acheté uniquement des accessoires, puis regardez si cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation déterminé à la question précédente.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle « Pour » • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

>1. Le coût total de forage des 30 premiers mètres est la somme des coûts de forage des trois premières dizaines de mètres.

>4. b) Utilisez une boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Graphe pondéré • Chaîne de longueur donnée • Chaîne eulérienne • Plus court chemin.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. b) Une chaîne eulérienne est une chaîne qui contient une fois et une seule chacune des arêtes ; utilisez le théorème d’Euler.

>2. Le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B est l’un des coefficients de la matrice .

Partie B

>2. Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. et sont les coefficients directeurs des deux tangentes à représentées.

>2. a) Déterminez l’expression de en fonction de et .

Partie B

>2. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, après avoir vérifié les conditions d’application.

>3. a) Donnez le signe de sur l’intervalle .

b) Utilisez les résultats donnés par le logiciel pour déterminer une primitive de .

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Tangente • Convexité • Variations d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Une représentation graphique (par exemple avec la calculatrice) peut permettre de formuler une conjecture, qu’il faut ensuite valider par une démonstration rigoureuse.