Sujet complet de France métropolitaine 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Sujet complet de France métropolitaine 2015

France métropolitaine • Juin 2015

matT_1506_07_01C

Sujets complets

1

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points)
Étude de la clientèle d’un magasin de téléphonie

Commun à tous les candidats

Le service marketing d’un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est ­composée de 42 % de femmes.

35 % des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes.

Une personne entre dans le magasin. On note :

l’événement : « La personne est une femme » ;

l’événement : « La personne repart sans rien acheter »

Pour tout événement , on note son événement contraire et  sa probabilité.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

partie a

>1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation. (0,75 point)

>2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu’elle reparte sans rien acheter. (0,75 point)

>3. Montrer que . (1 point)

partie b

Un client du magasin s’inquiète de la durée de vie du téléphone de type T1 qu’il vient de s’offrir.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type T1 prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.

On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

>1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type T1 prélevé fonctionne plus de 3 ans, c’est-à-dire 36 mois, est d’environ 0,885. (0,75 point)

>2. On sait que le téléphone de type T1 prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne moins de 5 ans ? (1 point)

partie c

Le gérant du magasin émet l’hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur…).

Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

>1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1 500. (1 point)

>2. Le service marketing interroge un échantillon de 1 500 personnes. L’étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires.

Doit-on rejeter au seuil de 5 % l’hypothèse formulée par le gérant ? (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Coût du forage d’un puits

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite définie pour tout entier naturel non nul par :

représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres.

On a ainsi et , c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2 000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2 016 euros.

Dans tout l’exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

>1. Calculer , puis le coût total de forage des 30 premiers mètres. (0,75 point)

>2. Pour tout entier naturel non nul :

a) Exprimer en fonction de et préciser la nature de la suite . (0,75 point)

b) En déduire le pourcentage d’augmentation du coût du forage de la (n+ 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres. (0,5 point)

>3. On considère l’algorithme ci-dessous :

 

Initialisation

prend la valeur 2 000

prend la valeur 2 000

Traitement

Saisir

Pour allant de 2 à

prend la valeur

prend la valeur

Fin Pour

Sortie

Afficher

 

La valeur de saisie est 5.

a) Faire fonctionner l’algorithme précédent pour cette valeur de .

Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire). (1 point)

 

Valeur de

2

Valeur de

2 000

Valeur de

2 000

 

b) Quelle est la valeur de affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. (0,75 point)

>4. On note la somme des premiers termes de la suite , étant un entier naturel non nul. On admet que :

Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l’on peut espérer avec ce budget.

a) Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d’une inéquation…). (0,75 point)

b) Modifier l’algorithme précédent afin qu’il permette de répondre au problème posé. (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)
Graphes et itinéraires de randonnée

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

On considère le graphe ci-dessous :


 

>1. Déterminer en justifiant si ce graphe :

a) est connexe ; (0,5 point)

b) admet une chaîne eulérienne. (0,5 point)

>2. On note la matrice d’adjacence associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. On donne :

Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B. (0,5 point)

partie b

Un club alpin souhaite proposer à ses membres des randonnées de plusieurs jours dans les Alpes. À cet effet, huit refuges notés A, B, C, D, E, F, G et H ont été sélectionnés.

Le graphe de la partie A permet de visualiser les différents itinéraires possibles, les sommets représentant les refuges et les arêtes schématisant tous les sentiers de randonnée balisés les reliant.

>1. D’après l’étude effectuée dans la partie A, le club alpin est-il en mesure de proposer :

a) un itinéraire au départ du refuge A qui passerait par tous les refuges en empruntant une fois et une seule fois chacun des sentiers ? Si oui, proposer un tel itinéraire ; (1 point)

b) des itinéraires de trois jours (un jour correspondant à une liaison entre deux refuges) reliant le refuge E au refuge B ? Si oui, combien peut-il en proposer ? (1 point)

>2. Le graphe est complété ci-dessous par la longueur en kilomètres de chacun des sentiers.


 

Le club alpin désire aussi proposer à ses membres l’itinéraire le plus court reliant A à H.

Déterminer cet itinéraire et en préciser la longueur en kilomètres. (1,5 point)

Exercice 3 (6 points)
Étude d’une fonction comportant une exponentielle et calcul d’une aire

Commun à tous les candidats

La courbe ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction définie et dérivable sur l’intervalle . Les points A d’abscisse et B sont sur la courbe .

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note la fonction dérivée de .


 

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

>1. Par lecture graphique, déterminer :

a) ; (0,25 point)

b). (0,75 point)

>2. La fonction est définie sur par , où sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

a) Calculer pour tout réel de . (0,75 point)

b) À l’aide des questions 1. b) et 2. a), montrer que les nombres vérifient le système suivant :

(0,75 point)

c) Déterminer alors les valeurs des nombres . (0,25 point)

partie b

On admet que la fonction est définie sur par :

.

>1. Justifier que, pour tout réel de , et en déduire le tableau de variation de sur . (1 point)

>2. Montrer que l’équation admet une unique solution sur , puis donner une valeur approchée de à 0,01 près par défaut. (1 point)

>3. On souhaite calculer l’aire , en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .

a) Exprimer, en justifiant, cette aire à l’aide d’une intégrale. (0,25 point)

b) Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

 

1

F(x) : = –2x + (–x – 5) * exp(–x)

// Interprète F

// Succès lors de la compilation F

–2 *  + (– – 5) * exp(–)

2

derive (F(x))

exp(–) – exp(–) * (– – 5) – 2

3

simplifier (–exp(–x) – exp(–x) * (–x – 5) – 2)

 * exp(–) + 4 * exp(–) – 2

 

À l’aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l’aire , puis sa valeur arrondie au centième. (1 point)

Exercice 4 (3 points)
Position relative d’une courbe par rapport à l’une de ses tangentes

Commun à tous les candidats

On considère la fonction définie sur par :

On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à au point d’abscisse 1.

Quelle est la position relative de par rapport à T ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

>2. L’événement dont on demande la probabilité est l’intersection de deux événements.

Partie B

>1.X représente la durée de vie d’un téléphone en mois.

>2. La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle (l’événement « le téléphone a fonctionné plus de trois ans » est supposé réalisé) ; utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie C

>2. Calculez la fréquence, dans l’échantillon considéré, de personnes ayant acheté uniquement des accessoires, puis regardez si cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation déterminé à la question précédente.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle « Pour » • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

>1. Le coût total de forage des 30 premiers mètres est la somme des coûts de forage des trois premières dizaines de mètres.

>4. b) Utilisez une boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Graphe pondéré • Chaîne de longueur donnée • Chaîne eulérienne • Plus court chemin.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. b) Une chaîne eulérienne est une chaîne qui contient une fois et une seule chacune des arêtes ; utilisez le théorème d’Euler.

>2. Le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B est l’un des coefficients de la matrice .

Partie B

>2. Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. et sont les coefficients directeurs des deux tangentes à représentées.

>2. a) Déterminez l’expression de en fonction de et .

Partie B

>2. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, après avoir vérifié les conditions d’application.

>3. a) Donnez le signe de sur l’intervalle .

b) Utilisez les résultats donnés par le logiciel pour déterminer une primitive de .

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Tangente • Convexité • Variations d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Une représentation graphique (par exemple avec la calculatrice) peut permettre de formuler une conjecture, qu’il faut ensuite valider par une démonstration rigoureuse.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

>1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé :

  • car la clientèle est constituée de 42 % de femmes ;
  • car 35 % des femmes entrant dans le magasin y effectuent un achat ;
  • car 55 % des hommes entrant dans le magasin font un achat.

Info

L’événement « la personne effectue un achat » est l’événement

La situation décrite peut être représentée par l’arbre ci-dessous :


 

>2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité cherchée est .

D’après l’arbre :

>3. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant une partition de l’univers

Notez bien

Ce résultat peut être interprété de la manière suivante : 53,4 % des personnes entrant dans le magasin repartent sans rien acheter.

et sont deux événements contraires, ils forment une partition de l’univers, donc :

d’où :

.

partie b

>1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

88,5 % environ des téléphones de type T1 fonctionnent plus de trois ans.

On cherche .

Or .

(d’après la calculatrice) en arrondissant au millième ;

car X suit une loi normale d’espérance 48.

D’où, en arrondissant au millième :

>2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que le téléphone fonctionne moins de 5 ans sachant qu’il a fonctionné plus de 3 ans est .

Attention !

Ne pas oublier de convertir les durées en mois !

Par définition d’une probabilité conditionnelle :

.

d’après la calculatrice

d’après la question précédente.

D’où, en arrondissant au millième :

partie c

>1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %

D’après l’hypothèse émise par le gérant, la proportion de personnes achetant uniquement des accessoires est .

La taille de l’échantillon est n= 1 500. Les conditions de validité :

= 450  ; n(1–p) = 1 050 

sont vérifiées, donc un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes achetant uniquement des accessoires dans un échantillon de taille 1 500 est :

.

Après calcul, en arrondissant de manière à obtenir un intervalle contenant le précédent, on en déduit que cet intervalle est :

>2. Prendre une décision à partir d’un intervalle de fluctuation

Info

La valeur de obtenue dans l’échantillon est compatible, au seuil de 95 %, avec la valeur avancée par le gérant.

Dans l’échantillon de taille 1 500 considéré, la fréquence de personnes achetant uniquement des accessoires est :

donc , I étant l’intervalle de fluctuation déterminé à la question 1.

On ne doit donc pas rejeter l’hypothèse formulée par le gérant du magasin.

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. Calculer un terme et une somme de termes d’une suite

D’après l’énoncé, en arrondissant au centième :

Le coût total du forage des 30 premiers mètres, c’est-à-dire des trois premières dizaines de mètres, est (en euros) .

, donc, en arrondissant au centième :

.

Le coût total de forage des 30 premiers mètres est égal à environ 6 048,13 euros.

>2. a) Déterminer la nature d’une suite

Notez bien

et le premier terme est positif, donc la suite est croissante.

Le coût du forage d’une dizaine de mètres est donc supérieur à celui de la dizaine précédente. Le coût augmente avec la profondeur.

Pour tout entier naturel  non nul :

La suiteest donc une suite géométrique de raison 1,008.

b) Déterminer un pourcentage d’évolution

Notez bien

1,008 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 0,8 %.

.

Le coût du forage augmente donc de 0,8 % entre la n-ième dizaine de mètres et la (n + 1)-ième dizaine de mètres.

>3. a) Faire fonctionner un algorithme

Le fonctionnement de l’algorithme avec est résumé dans le tableau suivant :

 

Valeur de

2

3

4

5

Valeur de

2 000

2 016

2 032,13

2 048,39

2 064,77

Valeur de

2 000

4 016

6 048,13

8 096,52

10 161,29

 

b) Déterminer et interpréter la valeur obtenue en sortie d’un algorithme

La valeur de affichée en sortie de cet algorithme est 10 161,29 environ.

Elle représente le coût, en euros, du forage des cinq premières dizaines de mètres.

On peut donc dire que le forage des 50 premiers mètres coûte environ 10 161,29 euros.

>4. a) Déterminer les termes d’une suite inférieurs ou égaux à un nombre donné

 ; représente donc la somme des coûts du forage des premières dizaines de mètres, c’est-à-dire le coût total d’un forage de dizaines de mètres.

Le budget consenti est 125 000 euros, donc on cherche donc la plus grande valeur de telle que :

.

  • Avec la calculatrice :
  • on peut calculer les puissances successives de , jusqu’à en obtenir une supérieure à 1,5 ;

on trouve et , donc  ;

on en déduit que équivaut à .

  • on peut établir un tableau donnant une valeur approchée de pour variant jusqu’à la valeur souhaitée ; on arrive à la même conclusion que précédemment.
  • En résolvant une inéquation :

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur , équivaut à :

.

Or et est un entier naturel, donc équivaut à .

La profondeur maximale du forage réalisable avec le budget consenti est donc 50 dizaines de mètres, c’est-à-dire 500 mètres.

b) Adapter un algorithme pour résoudre un problème

Notez bien

est en dizaines de mètres, et on sort de la boucle pour la première valeur de telle que . C’est pourquoi, pour que l’algorithme donne la profondeur maximale en mètres que l’on peut espérer avec le budget consenti, on doit demander l’affichage de .

On peut répondre au problème posé en modifiant de la manière suivante l’algorithme de la question 3. :

 

Initialisation

prend la valeur 2 000

prend la valeur 2 000

prend la valeur 1

Traitement

Tant que

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

Fin Tant que

Sortie

Afficher

 

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

>1. a) Déterminer si un graphe est connexe

Entre deux sommets quelconques, il existe toujours au moins une chaîne, aucun sommet n’est isolé, donc le grapheGest connexe.

b) Étudier sur un graphe donné l’existence d’une chaîne eulérienne

D’après le théorème d’Euler, le graphe connexe G admet une chaîne eulérienne si et seulement s’il possède exactement 0 ou 2 sommets de degré impair, les autres sommets étant de degré pair.

On peut résumer dans un tableau les degrés des différents sommets :

 

Sommet

A

B

C

D

E

F

G

H

Degré

2

4

2

2

4

4

2

4

 

Tous les sommets sont de degré pair, donc le graphe G admet une chaîne eulérienne.

On peut même en déduire que G possède (au moins) un cycle eulérien, c’est-à-dire une chaîne eulérienne dont l’origine et l’extrémité sont confondues.

>2. Déterminer le nombre de chemins de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe

Notez bien

Il n’est pas demandé de donner ces chemins. Le graphe G n’étant pas orienté, les matrices et sont symétriques, donc le coefficient situé à l’intersection de la 5e ligne et de la 2e colonne est égal au coefficient situé à l’intersection de la 2e ligne et de la 5e colonne.

Les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique, E est le sommet 5 et B le sommet 2. Le nombre de chemins de longueur 3 (c’est-à-dire comportant 3 arêtes) reliant E à B est donc le coefficient de situé à l’intersection de la 5e ligne et de la 2e colonne, c’est-à-dire 5. Il y a donc 5 chemins formés de 3 arêtes et reliant E à B.

partie b

>1. a) Étudier l’existence d’un itinéraire empruntant tous les sentiers

Un itinéraire au départ du refuge A, passant par tous les refuges et empruntant une fois et une seule chacun des sentiers est un cycle eulérien (on suppose que cet itinéraire se termine également au refuge A).

Or d’après la partie A, le graphe G possède un cycle eulérien, donc un tel itinéraire existe, par exemple :

b) Étudier l’existence d’un itinéraire de longueur donnée

D’après la question 2. a) de la partie A, il existe 5 itinéraires de trois jours reliant le refuge E au refuge B.

>2. Déterminer un itinéraire de longueur minimale

Pour déterminer l’itinéraire le plus court (en kilomètres) du refuge A au refuge H, on utilise l’algorithme de Dijkstra, dont les étapes successives sont résumées dans le tableau suivant :

 

A

B

C

D

E

F

G

H

0

12 (A)

14 (A)

14 (A)

21 (B)

28 (B)

33 (B)

24 (D)

21 (B)

28 (B)

33 (B)

31 (F)

24 (D)

28 (B)

33 (B)

31 (F)

28 (B)

32 (F)

31 (F)

32 (F)

32 (F)

 

On en déduit que l’itinéraire le plus court de A à H est :

Sa longueur est 32 kilomètres.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie a

>1. a) Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique

est le coefficient directeur de la tangente à en son point d’abscisse , c’est-à-dire au point A. D’après le graphique et l’énoncé, cette tangente est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses), donc son coefficient directeur est nul :

b) Lire graphiquement l’image d’un nombre par une fonction et par sa dérivée

est l’ordonnée du point de d’abscisse 0, c’est-à-dire du point B, donc :

est le coefficient directeur de la tangente à en B. Or cette tangente passe par le point C, donc son coefficient directeur est :

d’où :

>2. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Notez bien

On applique la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions, et le fait que la fonction définie par est du type , donc elle a pour dérivée .

Pour tout réel appartenant à l’intervalle , , donc :

b) Traduire par un système d’équations des conditions sur une fonction

Gagnez des points !

Avec le résultat de la question 1. a), on établit : , soit .

équivaut à ,

équivaut à  ;

Donc a et b vérifient le système :

c) Résoudre un système d’équations

équivaut à , donc le système équivaut à :

, soit

On en déduit que la fonction est définie sur par :

partie b

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour calculer , on peut utiliser le résultat de la question 2. a) de la partie A, ou bien calculer directement à partir de :

.

Pour tout réel appartenant à  :

pour tout réel appartenant à , donc a le signe de .

;

.

Conseil

On vérifie que le tableau construit est compatible avec la courbe donnée dans l’énoncé.

On en déduit le tableau de variations de sur  :


 

>2. Montrer qu’une équation admet une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution

La fonction est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle .

à près et à près, d’où :

.

Notez bien

car la fonction est décroissante sur .

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution sur .

D’après la calculatrice :

et ,

donc .

Notez bien

On observe sur le graphique donné que la courbe coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse légèrement inférieure à 1.

De même :

et ,

donc .

Donc 0,89 est une valeur approchée deà 0,01 près par défaut.

>3. a) Exprimer une aire à l’aide d’une intégrale

D’après les questions précédentes, la fonction est continue et strictement positive sur l’intervalle , donc l’aire , en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et est :

b) Calculer une intégrale

D’après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, la fonction définie par  est une primitive de , d’où :

Notez bien

On peut vérifier ce résultat en calculant .

En arrondissant au centième :

Exercice 4

Commun à tous les candidats

> Étudier la position relative de la courbe représentative d’une fonction et de l’une de ses tangentes

Pour tout réel appartenant à l’intervalle  :

Donc et , et T a pour équation .

Notez bien

T est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses).

En traçant et T à l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que :

  • est concave sur  ;
  • le maximum de sur est égal à 3 ;
  • T est au-dessus de .

Méthode 1

Pour tout réel appartenant à l’intervalle ,

donc pour tout appartenant à .

Donc est strictement décroissante et est concave sur .

est donc en dessous de chacune de ses tangentes ; en particulier, est en dessous deT.

Méthode 2

, donc si et si .

est donc strictement croissante sur , strictement décroissante sur .

Le tableau de variations de sur est :


 

Le maximum de sur est égal à 3, donc, pour tout appartenant à , .

est en dessous deT.