Sujet complet de France métropolitaine 2015 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

 

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France métropolitaine • Septembre 2015

Sujet complet • 20 points

Sujet complet de France métropolitaine 2015 (session de remplacement)

Exercice 1 (7 points)
 Étude d’une population d’acheteurs de téléviseurs

Commun à tous les candidats

Lors d’une opération promotionnelle, un magasin d’électroménager propose deux modèles de téléviseurs : un modèle A et un modèle B.

On s’intéresse aux acheteurs qui profitent de cette promotion.

70 % des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A.

Pour ces deux téléviseurs, le magasin propose une extension de garantie de 5 ans.

40 % des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l’extension de garantie et 50 % des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension.

On interroge au hasard un acheteur à la sortie du magasin.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

On note :

333632-Eqn1 l’événement « un acheteur choisit le téléviseur de modèle A » ;

333632-Eqn2 l’événement « un acheteur choisit le téléviseur de modèle B » ;

333632-Eqn3 l’événement « un acheteur choisit l’extension de garantie ».

On note 333632-Eqn4 la probabilité de l’événement 333632-Eqn5.

partie A

 1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation. (1 point)

 2. Calculer la probabilité qu’un acheteur choisisse le modèle A avec l’extension de garantie. (1 point)

 3. Montrer que 333632-Eqn6. (1 point)

 4. Un acheteur n’a pas pris l’extension de garantie, calculer la probabilité qu’il ait acheté le modèle A. (1 point)

partie B

Le directeur du magasin souhaite estimer, parmi tous ses clients, le pourcentage de personnes qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante.

Pour cela, il interroge au hasard 210 clients et note que 123 la trouvent intéressante.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % pour la proportion de clients qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante. (1,5 point)

partie C

Pour sa prochaine promotion, le directeur s’intéresse à l’âge de ses clients. On modélise l’âge des clients en années par une variable aléatoire 333632-Eqn7 qui suit une loi normale de moyenne 333632-Eqn8 et d’écart-type 333632-Eqn9.

▶ 1. Calculer la probabilité qu’un client ait plus de 60 ans. (0,75 point)

▶ 2. Calculer la probabilité qu’un client ait un âge compris entre 30 et 50 ans. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points) 
Étude graphique d’une fonction et calcul d’une aire

Commun à tous les candidats

On considère une fonction 333632-Eqn10 définie sur l’intervalle [0 ; 5].

partie A À l’aide d’un graphique

On a représenté ci-après la courbe 333632-Eqn11 de la fonction dérivée 333632-Eqn12, ainsi que la courbe 333632-Eqn13 de la fonction dérivée seconde 333632-Eqn14 sur l’intervalle [0 ; 5].

Le point A de coordonnées (1 ; 0) appartient à 333632-Eqn15 et le point B de coordonnées (2 ; 0) appartient à la courbe 333632-Eqn16.

matT_1509_07_00C_01

▶ 1. Déterminer le sens de variation de la fonction 333632-Eqn17. Justifier. (1 point)

▶ 2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction 333632-Eqn18 est convexe. Justifier. (1 point)

▶ 3. La courbe de 333632-Eqn19 admet-elle des points d’inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s). (1 point)

partie B Étude de la fonction

La fonction 333632-Eqn20 est définie sur [0 ; 5] par 333632-Eqn21.

▶ 1. Justifier que la fonction 333632-Eqn22 est positive sur l’intervalle [0 ; 5]. (0,5 point)

▶ 2. Montrer que la fonction 333632-Eqn23 définie sur [0 ; 5] par :

333632-Eqn24

est une primitive de 333632-Eqn25 sur [0 ; 5]. (0,5 point)

▶ 3. Déterminer alors la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe de 333632-Eqn26, l’axe des abscisses, et les droites d’équation 333632-Eqn27 et 333632-Eqn28 (1 point)

Exercice 3 (5 points)
 Évolution du nombre d’abonnés aux spectacles d’un opéra

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel pour ses spectacles.

L’évolution du nombre d’abonnés d’une année à la suivante est modélisée par le directeur de l’opéra qui prévoit que 75 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l’année suivante et qu’il y aura chaque année 300 nouveaux abonnés.

Ainsi, pour tout entier naturel 333632-Eqn29, 333632-Eqn30 modélise le nombre d’abonnés pour l’année 333632-Eqn31

Pour l’année 2014, il y a 500 abonnés, autrement dit 333632-Eqn32.

▶ 1. Calculer 333632-Eqn33 et 333632-Eqn34. Arrondir à l’entier. (0,5 point)

▶ 2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel 333632-Eqn35 :

333632-Eqn36. (0,75 point)

▶ 3. On définit la suite 333632-Eqn37 par, pour tout entier naturel 333632-Eqn38 :

333632-Eqn39.

a) Montrer que la suite 333632-Eqn40 est géométrique de raison 0,75 et préciser 333632-Eqn41. (1 point)

b) En déduire alors que pour tout entier naturel 333632-Eqn42 :

333632-Eqn43. (1 point)

c) Calculer 333632-Eqn44 (arrondir à l’entier). Donner une interprétation concrète de la valeur trouvée. (0,5 point)

▶ 4. On souhaite écrire un algorithme qui permette d’afficher l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnements sera supérieur à 1 190.

On propose trois algorithmes :

Algorithme 1

Affecter à 333632-Eqn45 la valeur 0

Affecter à 333632-Eqn46 la valeur 500

Tant que 333632-Eqn47

Affecter à 333632-Eqn48 la valeur 333632-Eqn49

Affecter à 333632-Eqn50 la valeur

333632-Eqn51

Fin Tant que

Affecter à 333632-Eqn52 la valeur 333632-Eqn53

Afficher 333632-Eqn54

Algorithme 2

Affecter à 333632-Eqn55 la valeur 0

Affecter à 333632-Eqn56 la valeur 500

Tant que 333632-Eqn57

Affecter à 333632-Eqn58 la valeur

333632-Eqn59

Affecter à 333632-Eqn60 la valeur 333632-Eqn61

Fin Tant que

Affecter à 333632-Eqn62 la valeur 333632-Eqn63

Afficher 333632-Eqn64

Algorithme 3

Affecter à 333632-Eqn65 la valeur 0

Affecter à 333632-Eqn66 la valeur 500

Tant que 333632-Eqn67

Affecter à 333632-Eqn68 la valeur 333632-Eqn69

Affecter à 333632-Eqn70 la valeur

333632-Eqn71

Affecter à 333632-Eqn72 la valeur 333632-Eqn73

Fin Tant que

Afficher 333632-Eqn74

Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas. (1,25 point)

Exercice 3 (5 points)
 Répartition des clients d’une société d’assurance entre deux modes de paiement

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une société d’assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 30 % de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l’année suivante, alors que 85 % de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l’année suivante.

En 2014, 60 % des clients paient en une fois et 40 % paient mensuellement.

Dans toute la suite de l’exercice, 333632-Eqn75 désigne un nombre entier naturel.

On note :

333632-Eqn76 la probabilité qu’un client choisi au hasard paie en une fois pour l’année 333632-Eqn77 ;

333632-Eqn78 la probabilité qu’un client choisi au hasard paie mensuellement pour l’année 333632-Eqn79.

On a 333632-Eqn80 et 333632-Eqn81 et on note 333632-Eqn82 l’état probabiliste pour l’année 333632-Eqn83.

Ainsi 333632-Eqn84.

On note :

A l’état « le client paie en une fois » ;

B l’état « le client paie mensuellement ».

▶ 1. Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,75 point)

▶ 2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. (0,5 point)

▶ 3. Déterminer la probabilité qu’un client paie en une fois durant l’année 2018 (arrondir les résultats au millième). (0,5 point)

▶ 4. Déterminer l’état stable et en donner une interprétation. (1 point)

▶ 5. Pour tout entier naturel 333632-Eqn85, justifier que 333632-Eqn86. (0,5 point)

▶ 6. On cherche à déterminer le plus petit entier 333632-Eqn87 tel que 333632-Eqn88.

a) Écrire un algorithme permettant de déterminer cet entier 333632-Eqn89. (1 point)

b) On admet que, pour tout entier naturel 333632-Eqn90:

333632-Eqn91

Déterminer par le calcul le plus petit entier 333632-Eqn92 tel que 333632-Eqn93. (0,75 point)

Exercice 4 (3 points)
 Étude des tangentes à la courbe représentative d’une fonction

Commun à tous les candidats

On considère la fonction 333632-Eqn94 définie par 333632-Eqn95 sur [0,2 ; 10] et on note 333632-Eqn96 sa courbe représentative dans un repère du plan.

Le but de cet exercice est de prouver que la courbe 333632-Eqn97 admet sur [0,2 ; 10] une seule tangente passant par l’origine du repère.

On note 333632-Eqn98 la fonction dérivée de la fonction 333632-Eqn99.

▶ 1. Montrer que pour 333632-Eqn100, 333632-Eqn101. (0,75 point)

▶ 2. Soit 333632-Eqn102 un réel de 333632-Eqn103, montrer que la tangente à la courbe 333632-Eqn104 au point d’abscisse 333632-Eqn105 a pour équation :

333632-Eqn106. (0,75 point)

▶ 3. Répondre alors au problème posé. (1,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

 2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

 3. Utilisez une partition de l’univers.

 4. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Partie C

Utilisez la calculatrice.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Convexité • Point d’inflexion • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calculs d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

 2. et 3. Déterminez d’après le graphique le sens de variation de 333632-Eqn107 et/ou le signe de 333632-Eqn108.

Partie B

 2. 333632-Eqn109 est une primitive de 333632-Eqn110 si et seulement si 333632-Eqn111 est la dérivée de 333632-Eqn112.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 3. a) La suite 333632-Eqn113 est géométrique de raison 0,75 si et seulement si, pour tout entier naturel 333632-Eqn114, 333632-Eqn115.

c) Déterminez l’année associée à 333632-Eqn116.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

▶ 3. 333632-Eqn117, donc l’année 2018 correspond à 333632-Eqn118.

 4. L’état stable est associé à l’unique matrice ligne 333632-Eqn119 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 333632-Eqn120.

 5. N’oubliez pas que, pour tout entier naturel 333632-Eqn121, 333632-Eqn122.

 6. a) Utilisez une boucle « Tant que ».

b) Utilisez la fonction ln.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 25 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

 3. Une droite passe par l’origine du repère si et seulement si son ordonnée à l’origine est nulle, c’est-à-dire si et seulement si elle a une équation de la forme 333632-Eqn123.