Sujet complet de France métropolitaine 2015 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

 

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France métropolitaine • Septembre 2015

Sujet complet • 20 points

Sujet complet de France métropolitaine 2015 (session de remplacement)

Exercice 1 (7 points)
 Étude d’une population d’acheteurs de téléviseurs

Commun à tous les candidats

Lors d’une opération promotionnelle, un magasin d’électroménager propose deux modèles de téléviseurs : un modèle A et un modèle B.

On s’intéresse aux acheteurs qui profitent de cette promotion.

70 % des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A.

Pour ces deux téléviseurs, le magasin propose une extension de garantie de 5 ans.

40 % des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l’extension de garantie et 50 % des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension.

On interroge au hasard un acheteur à la sortie du magasin.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

On note :

333632-Eqn1 l’événement « un acheteur choisit le téléviseur de modèle A » ;

333632-Eqn2 l’événement « un acheteur choisit le téléviseur de modèle B » ;

333632-Eqn3 l’événement « un acheteur choisit l’extension de garantie ».

On note 333632-Eqn4 la probabilité de l’événement 333632-Eqn5.

partie A

 1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation. (1 point)

 2. Calculer la probabilité qu’un acheteur choisisse le modèle A avec l’extension de garantie. (1 point)

 3. Montrer que 333632-Eqn6. (1 point)

 4. Un acheteur n’a pas pris l’extension de garantie, calculer la probabilité qu’il ait acheté le modèle A. (1 point)

partie B

Le directeur du magasin souhaite estimer, parmi tous ses clients, le pourcentage de personnes qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante.

Pour cela, il interroge au hasard 210 clients et note que 123 la trouvent intéressante.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % pour la proportion de clients qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante. (1,5 point)

partie C

Pour sa prochaine promotion, le directeur s’intéresse à l’âge de ses clients. On modélise l’âge des clients en années par une variable aléatoire 333632-Eqn7 qui suit une loi normale de moyenne 333632-Eqn8 et d’écart-type 333632-Eqn9.

▶ 1. Calculer la probabilité qu’un client ait plus de 60 ans. (0,75 point)

▶ 2. Calculer la probabilité qu’un client ait un âge compris entre 30 et 50 ans. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points) 
Étude graphique d’une fonction et calcul d’une aire

Commun à tous les candidats

On considère une fonction 333632-Eqn10 définie sur l’intervalle [0 ; 5].

partie A À l’aide d’un graphique

On a représenté ci-après la courbe 333632-Eqn11 de la fonction dérivée 333632-Eqn12, ainsi que la courbe 333632-Eqn13 de la fonction dérivée seconde 333632-Eqn14 sur l’intervalle [0 ; 5].

Le point A de coordonnées (1 ; 0) appartient à 333632-Eqn15 et le point B de coordonnées (2 ; 0) appartient à la courbe 333632-Eqn16.

matT_1509_07_00C_01

▶ 1. Déterminer le sens de variation de la fonction 333632-Eqn17. Justifier. (1 point)

▶ 2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction 333632-Eqn18 est convexe. Justifier. (1 point)

▶ 3. La courbe de 333632-Eqn19 admet-elle des points d’inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s). (1 point)

partie B Étude de la fonction

La fonction 333632-Eqn20 est définie sur [0 ; 5] par 333632-Eqn21.

▶ 1. Justifier que la fonction 333632-Eqn22 est positive sur l’intervalle [0 ; 5]. (0,5 point)

▶ 2. Montrer que la fonction 333632-Eqn23 définie sur [0 ; 5] par :

333632-Eqn24

est une primitive de 333632-Eqn25 sur [0 ; 5]. (0,5 point)

▶ 3. Déterminer alors la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe de 333632-Eqn26, l’axe des abscisses, et les droites d’équation 333632-Eqn27 et 333632-Eqn28 (1 point)

Exercice 3 (5 points)
 Évolution du nombre d’abonnés aux spectacles d’un opéra

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel pour ses spectacles.

L’évolution du nombre d’abonnés d’une année à la suivante est modélisée par le directeur de l’opéra qui prévoit que 75 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l’année suivante et qu’il y aura chaque année 300 nouveaux abonnés.

Ainsi, pour tout entier naturel 333632-Eqn29, 333632-Eqn30 modélise le nombre d’abonnés pour l’année 333632-Eqn31

Pour l’année 2014, il y a 500 abonnés, autrement dit 333632-Eqn32.

▶ 1. Calculer 333632-Eqn33 et 333632-Eqn34. Arrondir à l’entier. (0,5 point)

▶ 2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel 333632-Eqn35 :

333632-Eqn36. (0,75 point)

▶ 3. On définit la suite 333632-Eqn37 par, pour tout entier naturel 333632-Eqn38 :

333632-Eqn39.

a) Montrer que la suite 333632-Eqn40 est géométrique de raison 0,75 et préciser 333632-Eqn41. (1 point)

b) En déduire alors que pour tout entier naturel 333632-Eqn42 :

333632-Eqn43. (1 point)

c) Calculer 333632-Eqn44 (arrondir à l’entier). Donner une interprétation concrète de la valeur trouvée. (0,5 point)

▶ 4. On souhaite écrire un algorithme qui permette d’afficher l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnements sera supérieur à 1 190.

On propose trois algorithmes :

Algorithme 1

Affecter à 333632-Eqn45 la valeur 0

Affecter à 333632-Eqn46 la valeur 500

Tant que 333632-Eqn47

Affecter à 333632-Eqn48 la valeur 333632-Eqn49

Affecter à 333632-Eqn50 la valeur

333632-Eqn51

Fin Tant que

Affecter à 333632-Eqn52 la valeur 333632-Eqn53

Afficher 333632-Eqn54

Algorithme 2

Affecter à 333632-Eqn55 la valeur 0

Affecter à 333632-Eqn56 la valeur 500

Tant que 333632-Eqn57

Affecter à 333632-Eqn58 la valeur

333632-Eqn59

Affecter à 333632-Eqn60 la valeur 333632-Eqn61

Fin Tant que

Affecter à 333632-Eqn62 la valeur 333632-Eqn63

Afficher 333632-Eqn64

Algorithme 3

Affecter à 333632-Eqn65 la valeur 0

Affecter à 333632-Eqn66 la valeur 500

Tant que 333632-Eqn67

Affecter à 333632-Eqn68 la valeur 333632-Eqn69

Affecter à 333632-Eqn70 la valeur

333632-Eqn71

Affecter à 333632-Eqn72 la valeur 333632-Eqn73

Fin Tant que

Afficher 333632-Eqn74

Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas. (1,25 point)

Exercice 3 (5 points)
 Répartition des clients d’une société d’assurance entre deux modes de paiement

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une société d’assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 30 % de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l’année suivante, alors que 85 % de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l’année suivante.

En 2014, 60 % des clients paient en une fois et 40 % paient mensuellement.

Dans toute la suite de l’exercice, 333632-Eqn75 désigne un nombre entier naturel.

On note :

333632-Eqn76 la probabilité qu’un client choisi au hasard paie en une fois pour l’année 333632-Eqn77 ;

333632-Eqn78 la probabilité qu’un client choisi au hasard paie mensuellement pour l’année 333632-Eqn79.

On a 333632-Eqn80 et 333632-Eqn81 et on note 333632-Eqn82 l’état probabiliste pour l’année 333632-Eqn83.

Ainsi 333632-Eqn84.

On note :

A l’état « le client paie en une fois » ;

B l’état « le client paie mensuellement ».

▶ 1. Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,75 point)

▶ 2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. (0,5 point)

▶ 3. Déterminer la probabilité qu’un client paie en une fois durant l’année 2018 (arrondir les résultats au millième). (0,5 point)

▶ 4. Déterminer l’état stable et en donner une interprétation. (1 point)

▶ 5. Pour tout entier naturel 333632-Eqn85, justifier que 333632-Eqn86. (0,5 point)

▶ 6. On cherche à déterminer le plus petit entier 333632-Eqn87 tel que 333632-Eqn88.

a) Écrire un algorithme permettant de déterminer cet entier 333632-Eqn89. (1 point)

b) On admet que, pour tout entier naturel 333632-Eqn90:

333632-Eqn91

Déterminer par le calcul le plus petit entier 333632-Eqn92 tel que 333632-Eqn93. (0,75 point)

Exercice 4 (3 points)
 Étude des tangentes à la courbe représentative d’une fonction

Commun à tous les candidats

On considère la fonction 333632-Eqn94 définie par 333632-Eqn95 sur [0,2 ; 10] et on note 333632-Eqn96 sa courbe représentative dans un repère du plan.

Le but de cet exercice est de prouver que la courbe 333632-Eqn97 admet sur [0,2 ; 10] une seule tangente passant par l’origine du repère.

On note 333632-Eqn98 la fonction dérivée de la fonction 333632-Eqn99.

▶ 1. Montrer que pour 333632-Eqn100, 333632-Eqn101. (0,75 point)

▶ 2. Soit 333632-Eqn102 un réel de 333632-Eqn103, montrer que la tangente à la courbe 333632-Eqn104 au point d’abscisse 333632-Eqn105 a pour équation :

333632-Eqn106. (0,75 point)

▶ 3. Répondre alors au problème posé. (1,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

 2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

 3. Utilisez une partition de l’univers.

 4. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Partie C

Utilisez la calculatrice.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Convexité • Point d’inflexion • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calculs d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

 2. et 3. Déterminez d’après le graphique le sens de variation de 333632-Eqn107 et/ou le signe de 333632-Eqn108.

Partie B

 2. 333632-Eqn109 est une primitive de 333632-Eqn110 si et seulement si 333632-Eqn111 est la dérivée de 333632-Eqn112.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 3. a) La suite 333632-Eqn113 est géométrique de raison 0,75 si et seulement si, pour tout entier naturel 333632-Eqn114, 333632-Eqn115.

c) Déterminez l’année associée à 333632-Eqn116.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

▶ 3. 333632-Eqn117, donc l’année 2018 correspond à 333632-Eqn118.

 4. L’état stable est associé à l’unique matrice ligne 333632-Eqn119 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 333632-Eqn120.

 5. N’oubliez pas que, pour tout entier naturel 333632-Eqn121, 333632-Eqn122.

 6. a) Utilisez une boucle « Tant que ».

b) Utilisez la fonction ln.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 25 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

 3. Une droite passe par l’origine du repère si et seulement si son ordonnée à l’origine est nulle, c’est-à-dire si et seulement si elle a une équation de la forme 333632-Eqn123.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

> 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé, 70 % des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A, donc :

333632-Eqn124.

333632-Eqn125 et 333632-Eqn126 sont deux événements contraires, donc :

333632-Eqn127.

D’autre part, 40 % des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l’extension de garantie et 50 % des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension, donc :

333632-Eqn128 et 333632-Eqn129.

D’où l’arbre :

matT_1509_07_00C_02

 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

L’événement « l’acheteur choisit le modèle A avec l’extension de garantie » est 333632-Eqn130.

333632-Eqn131 = 0,28.

La probabilité qu’un acheteur choisisse le modèle A avec l’extension de garantie est égale à 0,28.

 3. Calculer la probabilité d’un événement

333632-Eqn132 et 333632-Eqn133 forment une partition de l’univers, donc :

333632-Eqn134.

D’après l’arbre :

333632-Eqn135

333632-Eqn136

La probabilité qu’un acheteur choisisse l’extension de garantie est égale à 0,43.

 4. Calculer une probabilité conditionnelle

Notez bien

333632-Eqn137, d’où : 333632-Eqn138.

On cherche 333632-Eqn139

Par définition, 333632-Eqn140 étant non nulle :

333632-Eqn141.

La probabilité qu’un acheteur qui n’a pas pris l’extension de garantie ait acheté le modèle A est égale à 0,737 à 333632-Eqn142 près.

partie B

Déterminer un intervalle de confiance au seuil de 95 % pour une proportion

Puisque, sur les 210 clients interrogés, 123 trouvent l’opération promotionnelle intéressante, la fréquence de clients trouvant l’opération promotionnelle intéressante dans cet échantillon de taille 210 est :

333632-Eqn143.

La taille de l’échantillon est 333632-Eqn144.

333632-Eqn145.

Les conditions précédentes étant remplies, si 333632-Eqn146 est la fréquence observée d’individus trouvant l’opération promotionnelle intéressante dans un échantillon de taille 210, alors un intervalle de confiance au seuil de 95 % pour la proportion de clients qui trouvent l’opération ­promotionnelle intéressante est :

333632-Eqn147.

L’intervalle de confiance au seuil de 95 % pour la proportion de clients qui trouvent l’opération promotionnelle intéressante est :

333632-Eqn148

333632-Eqn148bis

partie C

 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

On cherche 333632-Eqn149. À la calculatrice :

333632-Eqn150 à 333632-Eqn151 près.

La probabilité qu’un client ait plus de 60 ans est environ 0,006.

 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Info

333632-Eqn152 car 333632-Eqn153 suit une loi normale de moyenne 40.

On cherche 333632-Eqn154. À la calculatrice :

333632-Eqn155 à 333632-Eqn156 près.

La probabilité qu’un client ait un âge compris entre 30 et 50 ans est environ 0,789.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie A À l’aide d’un graphique

▶ 1. Déterminer le sens de variation d’une fonction

Le sens de variation de la fonction 333632-Eqn157 dépend du signe de sa dérivée 333632-Eqn158. Pour déterminer le signe de 333632-Eqn159, on étudie la position relative de sa courbe représentative et de l’axe des abscisses.

Par lecture graphique :

333632-Eqn160 si 333632-Eqn161, 333632-Eqn162 et 333632-Eqn163 si 333632-Eqn164.

Donc 333632-Eqn165 est strictement croissante sur [0 ; 1], strictement décroissante sur 333632-Eqn166 et elle a un maximum en 333632-Eqn167.

 2. Étudier la convexité d’une fonction

Notez bien

333632-Eqn168 est positive sur I si et seulement si 333632-Eqn169 est croissante sur I ; on peut donc également exploiter la courbe représentative de 333632-Eqn170.

La fonction 333632-Eqn171 est convexe sur l’intervalle I si et seulement si 333632-Eqn172 pour tout 333632-Eqn173I, concave sur l’intervalle I si et seulement si 333632-Eqn174 pour tout 333632-Eqn175I.

À partir de la courbe représentative de 333632-Eqn176, on peut donc établir que 333632-Eqn177est concave sur [0 ; 2] et f est convexe sur [2 ; 5].

 3. Étudier l’existence et déterminer les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction

D’après le graphique donné, 333632-Eqn178 s’annule et change de signe en 333632-Eqn179.

La courbe représentative de 333632-Eqn180 admet donc un point d’inflexion d’abscisse 2.

partie B Étude de la fonction

La fonction 333632-Eqn181 est définie sur [0 ; 5] par 333632-Eqn182.

 1. Justifier le signe d’une fonction

Pour tout réel 333632-Eqn183, 333632-Eqn184. Pour tout 333632-Eqn185 appartenant à [0 ; 5], 333632-Eqn186.

Donc, pour tout 333632-Eqn187 dans [0 ; 5], 333632-Eqn188.

La fonction 333632-Eqn189 est positive sur l’intervalle [0 ; 5].

 2. Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Pour tout 333632-Eqn190 dans [0 ; 5] :

333632-Eqn191.

333632-Eqn192.

Donc 333632-Eqn193 est une primitive de 333632-Eqn194 sur [0 ; 5].

 3. Calculer l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

D’après la question 1., la fonction 333632-Eqn195 est positive sur [0 ; 5], donc l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe de 333632-Eqn196, les droites d’équation 333632-Eqn197 et 333632-Eqn198 et l’axe des abscisses, est :

333632-Eqn199

car 333632-Eqn200 est une primitive de 333632-Eqn201 sur [0 ; 5].

D’où, en unités d’aire :

333632-Eqn202

333632-Eqn203

333632-Eqn204

Exercice 3

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

 1. Calculer deux termes d’une suite

333632-Eqn205 représente le nombre d’abonnés en 2015.

333632-Eqn206, donc 375 des 500 abonnés de 2014 se réabonnent en 2015 ; s’y ajoutent 300 nouveaux abonnés, donc :

333632-Eqn207

333632-Eqn208

333632-Eqn209 est le nombre d’abonnés en 2016.

De manière analogue, 333632-Eqn210.

333632-Eqn211 En arrondissant à l’entier :

333632-Eqn212

 2. Justifier une relation de récurrence entre deux termes successifs d’une suite

Soit 333632-Eqn213 un entier naturel.

Parmi les 333632-Eqn214 abonnés de l’année 333632-Eqn215, les trois quarts, soit 333632-Eqn216, se réabonnent l’année suivante, et il y a 300 nouveaux abonnés, d’où :

333632-Eqn217

 3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Soit 333632-Eqn218 un entier naturel :

333632-Eqn219

333632-Eqn220, donc 333632-Eqn221, d’où :

333632-Eqn222

333632-Eqn223

333632-Eqn224.

La suite 333632-Eqn225 est donc une suite géométrique de raison 0,75.

Son premier terme est 333632-Eqn226333632-Eqn227

b) Donner l’expression du terme général d’une suite

De la question précédente on déduit, d’après le cours, que, pour tout entier naturel 333632-Eqn228 :

333632-Eqn229.

333632-Eqn230, d’où :

333632-Eqn231

c) Calculer et donner une interprétation concrète d’un terme d’une suite

D’après la question précédente, 333632-Eqn232, soit, en arrondissant à l’entier :

333632-Eqn233

Cela signifie qu’en 333632-Eqn234, c’est-à-dire en 2024, il devrait y avoir environ 1 161 abonnés à l’opéra, si l’évolution se poursuit de la même manière.

 4. Choisir l’algorithme convenable parmi trois algorithmes proposés

L’algorithme qui permet d’afficher l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnements sera supérieur à 1 190 est l’algorithme 1.

L’algorithme 2 ne convient pas, car on affecte 333632-Eqn235 à 333632-Eqn236 après le calcul de 333632-Eqn237, ce qui entraîne un décalage dans les indices ; par exemple, le premier passage dans la boucle affecte à 333632-Eqn238 la valeur 333632-Eqn239 et à 333632-Eqn240 la valeur 1.

L’algorithme 3 ne convient pas non plus, car l’instruction « Affecter à 333632-Eqn241 la valeur 333632-Eqn242 » est à l’intérieur de la boucle, dans cette boucle il y a deux instructions modifiant la valeur de 333632-Eqn243. Lorsqu’on fait fonctionner l’algorithme, les valeurs successives de 333632-Eqn244, après l’initialisation à 333632-Eqn245, sont 1, 2015, 2016, 4030 (fin du deuxième passage dans la boucle) ; on sort alors de la boucle et l’algorithme affiche 4030.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

 1. Représenter un graphe probabiliste

matT_1509_07_00C_03

 2. Écrire la matrice de transition associée à un graphe

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel 333632-Eqn246 :

333632-Eqn247

333632-Eqn248.

La matrice de transition associée au graphe précédent est donc :

333632-Eqn249

 3. Déterminer une probabilité

333632-Eqn250, donc la probabilité qu’un client paie en une fois durant l’année 2018 est 333632-Eqn251.

333632-Eqn252.

À la calculatrice on obtient, en arrondissant au millième :

333632-Eqn253

Donc la probabilité qu’un client paie en une fois en 2018 est 0,358 en arrondissant au millième.

 4. Déterminer l’état stable associé à un graphe probabiliste

Notez bien

L’état stable existe car la matrice de transition ne comporte aucun coefficient nul. Il est indépendant de l’état initial.

L’état stable 333632-Eqn254 vérifie 333632-Eqn255 et 333632-Eqn256.

333632-Eqn257

333632-Eqn258

333632-Eqn259

333632-Eqn260.

On obtient 333632-Eqn261 et 333632-Eqn262 en résolvant le système 333632-Eqn263.

Ce système équivaut à 333632-Eqn264

Donc 333632-Eqn265 et 333632-Eqn266.

L’état stable est donc :

333632-Eqn267

Au bout d’un certain nombre d’années, 333632-Eqn268 des clients paieront leur cotisation annuelle en une fois, 333632-Eqn269 des clients paieront mensuellement.

 5. Justifier une relation entre deux termes successifs d’une suite

D’après la question 2., pour tout entier naturel 333632-Eqn270 :

333632-Eqn271.

Or 333632-Eqn272, donc 333632-Eqn273, donc :

333632-Eqn274

333632-Eqn275

333632-Eqn276

 6. a) Écrire un algorithme pour déterminer le rang du premier terme d’une suite inférieur à un nombre donné

Un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier 333632-Eqn277 tel que 333632-Eqn278 est :

Variables

N est un entier

A est un réel

Initialisation

N prend la valeur 0

A prend la valeur 0,6

Traitement

Tant que 333632-Eqn279

N prend la valeur 333632-Eqn280

A prend la valeur 333632-Eqn281

Fin Tant que

Sortie

Afficher N

b) Déterminer par le calcul le rang du premier terme d’une suite inférieur à un nombre donné

Notez bien

La fonction ln est strictement croissante sur 333632-Eqn282 donc, si 333632-Eqn283 et 333632-Eqn284 sont deux réels strictement positifs, 333632-Eqn285 équivaut à 333632-Eqn286

Attention

333632-Eqn289, donc 333632-Eqn290.

333632-Eqn287

Or :

333632-Eqn294

Info

On obtient le même résultat en utilisant l’algorithme écrit à la question 6.a).

Donc le plus petit entier 333632-Eqn295 tel que 333632-Eqn296 est :

333632-Eqn297

Exercice 4

Commun à tous les candidats

 1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel 333632-Eqn298 appartenant à 333632-Eqn299 :

333632-Eqn300

333632-Eqn301.

333632-Eqn302

 2. Déterminer une équation d’une tangente à la courbe représentative d’une fonction

La tangente à la courbe 333632-Eqn303 au point d’abscisse 333632-Eqn304 a pour équation :

333632-Eqn305

333632-Eqn306

333632-Eqn307

333632-Eqn308

 3. Déterminer les éventuelles tangentes à une courbe passant par l’origine du repère

La droite d’équation 333632-Eqn309 passe par l’origine du repère si et seulement si le couple 333632-Eqn310 vérifie son équation, c’est-à-dire si et seulement si 333632-Eqn311.

333632-Eqn312.

Or 333632-Eqn313, donc 333632-Eqn314. La seule solution est 333632-Eqn315.

La courbe 333632-Eqn316 admet donc sur [0,2 ; 10] une seule tangente passant par l’origine du repère : la tangente au point d’abscisse 333632-Eqn317.