Sujet complet de France métropolitaine 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

 

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France métropolitaine • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points) 
Fabrication d’un composant électronique

Commun à tous les candidats

Partie A

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.

Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.

On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

A l’événement : « le composant provient de la chaîne A » ;

B l’événement : « le composant provient de la chaîne B » ;

S l’événement : « le composant est sans défaut »

▶ 1. Montrer que la probabilité de l’événement S est P(S) = 0,89.

2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10–2 près.

Partie B

Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion p de composants sans défaut.

Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.

▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.

▶ 2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?

Partie C

La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif).

On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T.

On rappelle que :

pour tout nombre réel x  0, f(x= λeλx ;

pour tout nombre réel a  0, P(T  a= 329471-Eqn1.

1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.

 

matT_1606_07_00C_01

a) Interpréter graphiquement P( a) où a > 0.

b) Montrer que pour tout nombre réel  0, P( t= 1 − eλt.

c) En déduire que 329471-Eqn2.

▶ 2. On suppose que P( 7) = 0,5 . Déterminer λ à 10–3 près.

▶ 3. Dans cette question, on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.

a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.

b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.

c) Donner l’espérance mathématique E(T) de la variable aléatoire T à l’unité près. Interpréter ce résultat.

Exercice 2 (4 points) 
Voyageons dans l’espace

Commun à tous les candidats

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé 329471-Eqn3, on donne les points :

A(1 ; 2 ; 3), B(3 ; 0 ; 1), C(– 1 ; 0 ; 1), D(2 ; 1 ; – 1), E(– 1 ; – 2 ; 3) et F(– 2 ; – 3 ; 4).

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

▶ 1. Affirmation 1. Les trois points A, B et C sont alignés.

▶ 2. Affirmation 2. Le vecteur 329471-Eqn4 est un vecteur normal au plan (ABC).

▶ 3. Affirmation 3. La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [BC].

▶ 4. Affirmation 4. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

Exercice 3 (5 points)
 Une fonction et une suite associée

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x= x – ln(x2 + 1).

1. Résoudre dans ℝ l’équation f(x= x.

2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-après à l’exception de la limite de la fonction f en + ∞ que l’on admet.

▶ 3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], f(x) appartient à [0 ; 1].

4. On considère l’algorithme suivant :

Variables

N et A des entiers naturels

Entrée

Saisir la valeur de A

Traitement

N prend la valeur 0

Tant que N − ln(N 2 + 1) < A

   

N prend la valeur N + 1

 

Fin tant que

Sortie

Afficher N

a) Que fait cet algorithme ?

b) Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.

Partie B

Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, 329471-Eqn5.

▶ 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0 ; 1].

2. Étudier les variations de la suite (un).

▶ 3. Montrer que la suite (un) est convergente.

▶ 4. On note l sa limite, et on admet que l vérifie l’égalité f (l= l.

En déduire la valeur de l.

Exercice 3 (5 points)
 Droite rationnelle

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (ab), on note pgcd(ab) le plus grand diviseur commun de a et b.

Le plan est muni d’un repère 329471-Eqn6.

▶ 1. Exemple. Soit Δ1 la droite d’équation 329471-Eqn7.

a) Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 15– 12y est divisible par 3.

b) Existe-t-il au moins un point de la droite Δ1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.

Généralisation. On considère désormais une droite Δ d’équation (E) : 329471-Eqn8 m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, n= pgcd(p, q= 1.

Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.

Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu’une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

▶ 2. On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x0, y0) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.

a) En remarquant que le nombre ny0 – mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.

b) En déduire que q divise n.

▶ 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que 329471-Eqn9.

a) On pose = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru mv = 1.

b) En déduire qu’il existe un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que 329471-Eqn10.

▶ 4. Soit Δ la droite d’équation 329471-Eqn11. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.

▶ 5. On donne l’algorithme suivant :

Variables

M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls,

tels que pgcd(M, N= pgcd(P, Q= 1

X : entier naturel

Entrées

Saisir les valeurs de M, N, P et Q

Traitement et sorties

Si Q divise N alors

   

X prend la valeur 0

   

Tant que (329471-Eqn12 n’est pas entier) et (329471-Eqn13 n’est pas entier) faire

     

X prend la valeur X + 1

   

Fin tant que

   

Si 329471-Eqn14 est entier alors

     

Afficher X ; 329471-Eqn15

   

Sinon

     

Afficher – X ; 329471-Eqn16

   

Fin Si

 

Sinon

   

Afficher « Pas de solution »

 

Fin Si

a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P et Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N= pgcd(P, Q= 1.

b) Que permet-il d’obtenir ?

Exercice 4 (5 points)
 Transformons l’essai !

Commun à tous les candidats

matT_1606_07_00C_02

Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle 329471-Eqn17 le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l’angle 329471-Eqn18 est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m , EA = 25 m et AB = 5,6 m .

On note α la mesure en radians de l’angle 329471-Eqn19, β la mesure en radians de l’angle 329471-Eqn20 et γ la mesure en radians de l’angle 329471-Eqn21.

▶ 1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.

La fonction tangente est définie sur l’intervalle 329471-Eqn22 par 329471-Eqn23.

▶ 2. Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle 329471-Eqn24.

▶ 3. L’angle 329471-Eqn25 admet une mesure γ appartenant à l’intervalle 329471-Eqn26, résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle 329471-Eqn27, a > b,329471-Eqn28.

Montrer que 329471-Eqn29.

▶ 4. L’angle 329471-Eqn30 est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] de la fonction f définie par : 329471-Eqn31.

Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle 329471-Eqn32 est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle 329471-Eqn33 à 0,01 radian près.

Remarque. Sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Intervalle de confiance • Loi exponentielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Arbre pondéré  E37 Partie A, 1.

Probabilités  E34 • E35 Partie A, 1. et 2. ; Partie C, 3. a)

Intervalle de confiance  E44 Partie B

Loi exponentielle  E40a • E40c • E41c • E42 Partie C

Intégration  E11a • E11d • E13 • E14 Partie C, 1. a) et 1. b)

Fonction exponentielle  E8a • E8c • E9a Partie C, 1. c) et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. Remarquez que la probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle.

Partie B

 1. Identifiez la taille de l’échantillon n et la fréquence f du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et f sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant.

Partie C

 3. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Vecteurs colinéaires  E27 Affirmations 1 et 3

Orthogonalité  E32c Affirmation 2

Produit scalaire  E31b • E32 Affirmation 2

Vecteur normal à un plan  E33a Affirmation 2

Représentation paramétrique d’une droite  E30 Affirmation 4

Équation cartésienne d’un plan  E33c Affirmations 3 et 4

Nos coups de pouce

 Affirmation 3. Déterminez les coordonnées du milieu M de 329471-Eqn37 une représentation paramétrique de la droite 329471-Eqn38 et une équation cartésienne du plan 329471-Eqn39 Concluez en résolvant un système d’équations.

 Affirmation 4. Déterminez une représentation paramétrique pour chacune des droites 329471-Eqn40 et 329471-Eqn41 puis déterminez à l’aide d’un système d’équations si elles sont sécantes ou non.

Exercice 3 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Suites • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Raisonnement par récurrence  E1 Partie B, 1.

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie A, 2.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9c • E9d Partie A, 1., 2. et 3. ; Partie B, 2.

Limites de fonctions  E5a • E5b • E9c Partie A, 2.

Limites de suites  E2e Partie B, 3.

Algorithmique  A4 Partie A, 4. a)

Nos coups de pouce

Partie A

 3. N’oubliez pas qu’une fonction strictement croissante sur un intervalle conserve l’ordre.

Partie B

 1. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Exercice 3 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Arithmétique • Algorithmique.

Nos coups de pouce

 3. a) Pensez au théorème de Bézout.

 5. a) Pensez à exploiter la question 3. b) pour justifier l’arrêt de l’algorithme dans le premier cas envisagé.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie plane • Dérivation et variations • Fonctions trigonométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Fonctions sinus et cosinus  E10a • E10b 2.

Dérivation  E6e • E6f 2. et 4.

Variations d’une fonction  E6c  2. et 4.

Nos coups de pouce

 1. Identifiez dans chaque triangle rectangle considéré le côté opposé et le côté adjacent à l’angle 329471-Eqn42 Concluez à l’aide des longueurs fournies dans l’énoncé.

 3. Justifiez que 329471-Eqn43 Remplacez 329471-Eqn44 par 329471-Eqn45 et 329471-Eqn46 par 329471-Eqn47 dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, puis utilisez les résultats établis à la première question. Simplifiez enfin pour conclure.

 4. Étudiez les variations de la fonction 329471-Eqn48 sur l’intervalle 329471-Eqn49 Utilisez votre calculatrice pour conclure.