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France métropolitaine • Juin 2016
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (6 points) Fabrication d'un composant électronique
Commun à tous les candidats
Partie A
Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.
En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :
A l'événement : « le composant provient de la chaîne A »
B l'événement : « le composant provient de la chaîne B »
S l'événement : « le composant est sans défaut »
▶ 1. Montrer que la probabilité de l'événement S est P(S) = 0,89.
▶ 2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10–2 près.
Partie B
Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion p de composants sans défaut.
Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.
Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.
▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.
▶ 2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?
Partie C
La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif).
On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T.
On rappelle que :
pour tout nombre réel x ≥ 0, f(x) = λe–λx
pour tout nombre réel a ≥ 0, P(T ≤ a) = .
▶ 1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.
a) Interpréter graphiquement P(T ≤ a) où a > 0.
b) Montrer que pour tout nombre réel t ≥ 0, P(T ≤ t) = 1 − e–λt.
c) En déduire que .
▶ 2. On suppose que P(T ≤ 7) = 0,5 . Déterminer λ à 10–3 près.
▶ 3. Dans cette question, on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.
Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
c) Donner l'espérance mathématique E(T) de la variable aléatoire T à l'unité près. Interpréter ce résultat.
Exercice 2 (4 points) Voyageons dans l'espace
Commun à tous les candidats
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé , on donne les points :
A(1 2 3), B(3 0 1), C(– 1 0 1), D(2 1 – 1), E(– 1 – 2 3) et F(– 2 – 3 4).
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
▶ 1. Affirmation 1. Les trois points A, B et C sont alignés.
▶ 2. Affirmation 2. Le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).
▶ 3. Affirmation 3. La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC].
▶ 4. Affirmation 4. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
Exercice 3 (5 points) Une fonction et une suite associée
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x – ln(x2 + 1).
▶ 1. Résoudre dans ℝ l'équation f(x) = x.
▶ 2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-après à l'exception de la limite de la fonction f en + ∞ que l'on admet.
▶ 3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 1], f(x) appartient à [0 1].
▶ 4. On considère l'algorithme suivant :
Variables | N et A des entiers naturels | |
Entrée | Saisir la valeur de A | |
Traitement | N prend la valeur 0 Tant que N − ln(N 2 + 1) A | |
N prend la valeur N + 1 | ||
Fin tant que | ||
Sortie | Afficher N |
a) Que fait cet algorithme ?
b) Déterminer la valeur N fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.
Partie B
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, .
▶ 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0 1].
▶ 2. Étudier les variations de la suite (un).
▶ 3. Montrer que la suite (un) est convergente.
▶ 4. On note l sa limite, et on admet que l vérifie l'égalité f (l) = l.
En déduire la valeur de l.
Exercice 3 (5 points) Droite rationnelle
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls (a, b), on note pgcd(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.
Le plan est muni d'un repère .
▶ 1. Exemple. Soit Δ1 la droite d'équation .
a) Montrer que si (x, y) est un couple d'entiers relatifs alors l'entier 15x – 12y est divisible par 3.
b) Existe-t-il au moins un point de la droite Δ1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
Généralisation. On considère désormais une droite Δ d'équation (E) : où m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, n) = pgcd(p, q) = 1.
Ainsi, les coefficients de l'équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.
Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu'une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
▶ 2. On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x0, y0) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.
a) En remarquant que le nombre ny0 – mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.
b) En déduire que q divise n.
▶ 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que .
a) On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru – mv = 1.
b) En déduire qu'il existe un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que .
▶ 4. Soit Δ la droite d'équation . Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
▶ 5. On donne l'algorithme suivant :
Variables | M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q) = 1 X : entier naturel | ||
Entrées | Saisir les valeurs de M, N, P et Q | ||
Traitement et sorties | Si Q divise N alors | ||
X prend la valeur 0 | |||
Tant que ( | |||
X prend la valeur X + 1 | |||
Fin tant que | |||
Si | |||
Afficher X | |||
Sinon | |||
Afficher – X | |||
Fin Si | |||
Sinon | |||
Afficher « Pas de solution » | |||
Fin Si |
a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P et Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q) = 1.
b) Que permet-il d'obtenir ?
Exercice 4 (5 points) Transformons l'essai !
Commun à tous les candidats
Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l'extérieur du segment [AB].
La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu'on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m , EA = 25 m et AB = 5,6 m .
On note α la mesure en radians de l'angle , β la mesure en radians de l'angle
et γ la mesure en radians de l'angle
.
▶ 1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.
La fonction tangente est définie sur l'intervalle par
.
▶ 2. Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur l'intervalle .
▶ 3. L'angle admet une mesure γ appartenant à l'intervalle
, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure.
On admet que, pour tous réels a et b de l'intervalle , a > b,
.
Montrer que .
▶ 4. L'angle est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0 50] de la fonction f définie par :
.
Montrer qu'il existe une unique valeur de x pour laquelle l'angle est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle
à 0,01 radian près.
Remarque. Sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d'une telle précision.
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Probabilités • Intervalle de confiance • Loi exponentielle.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Arbre pondéré E37 → Partie A, 1.
Probabilités E34 • E35 → Partie A, 1. et 2. Partie C, 3. a)
Intervalle de confiance E44 → Partie B
Loi exponentielle E40a • E40c • E41c • E42 → Partie C
Intégration E11a • E11d • E13 • E14 → Partie C, 1. a) et 1. b)
Fonction exponentielle E8a • E8c • E9a → Partie C, 1. c) et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Remarquez que la probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle.
Partie B
▶ 1. Identifiez la taille de l'échantillon n et la fréquence f du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et f sont vérifiées pour définir l'intervalle de confiance correspondant.
Partie C
▶ 3. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Vecteurs colinéaires E27 → Affirmations 1 et 3
Orthogonalité E32c → Affirmation 2
Produit scalaire E31b • E32 → Affirmation 2
Vecteur normal à un plan E33a → Affirmation 2
Représentation paramétrique d'une droite E30 → Affirmation 4
Équation cartésienne d'un plan E33c → Affirmations 3 et 4
Nos coups de pouce
▶ Affirmation 3. Déterminez les coordonnées du milieu M de une représentation paramétrique de la droite
et une équation cartésienne du plan
Concluez en résolvant un système d'équations.
▶ Affirmation 4. Déterminez une représentation paramétrique pour chacune des droites et
puis déterminez à l'aide d'un système d'équations si elles sont sécantes ou non.
Exercice 3 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 70 minutes.
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Suites • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Raisonnement par récurrence E1 → Partie B, 1.
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie A, 2.
Fonction logarithme népérien E9a • E9c • E9d → Partie A, 1., 2. et 3. Partie B, 2.
Limites de fonctions E5a • E5b • E9c → Partie A, 2.
Limites de suites E2e → Partie B, 3.
Algorithmique A4 → Partie A, 4. a)
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. N'oubliez pas qu'une fonction strictement croissante sur un intervalle conserve l'ordre.
Partie B
▶ 1. Pensez à un raisonnement par récurrence.
Exercice 3 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 70 minutes.
Les thèmes clés
Arithmétique • Algorithmique.
Nos coups de pouce
▶ 3. a) Pensez au théorème de Bézout.
▶ 5. a) Pensez à exploiter la question 3. b) pour justifier l'arrêt de l'algorithme dans le premier cas envisagé.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 70 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie plane • Dérivation et variations • Fonctions trigonométriques.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Fonctions sinus et cosinus E10a • E10b → 2.
Dérivation E6e • E6f → 2. et 4.
Variations d'une fonction E6c → 2. et 4.
Nos coups de pouce
▶ 1. Identifiez dans chaque triangle rectangle considéré le côté opposé et le côté adjacent à l'angle Concluez à l'aide des longueurs fournies dans l'énoncé.
▶ 3. Justifiez que Remplacez
par
et
par
dans l'égalité admise dans l'énoncé de cette question, puis utilisez les résultats établis à la première question. Simplifiez enfin pour conclure.
▶ 4. Étudiez les variations de la fonction sur l'intervalle
Utilisez votre calculatrice pour conclure.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. Calculer la probabilité d'un événement à l'aide d'un arbre
Traduisons la situation décrite dans l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
La chaîne A produit 40 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l'événement A se réalise est alors
La chaîne B produit donc 60 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l'événement B se réalise est ainsi
20 % des composants, en sortie de la chaîne A, présentent le défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.
Notez bien
La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
La probabilité que l'événement (événement contraire de l'événement
se réalise sachant que l'événement A est réalisé, est alors
Similairement, comme 5 % des composants, en sortie de la chaîne B, présentent le défaut, nous avons
Nous pouvons ainsi représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant :
Par la formule des probabilités totales, il en découle que :
La probabilité de l'événement S est égale à 0,89.
▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité demandée, probabilité conditionnelle, se note Comme, d'après la question précédente,
il s'ensuit, par définition, que :
Sachant que le composant ne présente pas de défaut, la probabilité qu'il provienne de la chaîne A est environ 0,36.
partie B
▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance
400 composants ont été prélevés de manière aléatoire parmi ceux fabriqués dans la chaîne A. La taille de l'échantillon considéré est alors Parmi les 400 composants prélevés, la fréquence observée de composants sans défaut est
Comme
et
les conditions sur
et
sont vérifiées et l'intervalle de confiance est défini par :
Remarque
Au niveau de confiance 0,95, la proportion de composants sans défaut fabriqués par la chaîne A se situerait entre 87 % et 97 %.
Un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95 est
▶ 2. Déterminer la taille d'un échantillon sous contrainte
Dans cette question, la taille de l'échantillon n'est pas nécessairement égale à 400 contrairement à la fréquence
qui est encore égale à
Sous l'hypothèse que les conditions sur
et
sont vérifiées, l'intervalle de confiance est défini par :
L'amplitude de cet intervalle de confiance est alors :
La contrainte « un tel intervalle de confiance a une amplitude maximum de 0,02 » se traduit, par suite, par l'inéquation
Or, par équivalence, nous avons :
La taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 est 10 000.
partie C
▶ 1. a) Interpréter graphiquement une probabilité
Soit un réel strictement positif. Par le rappel, nous avons
où
est la densité associée à la variable aléatoire
suivant la loi exponentielle de paramètre
fonction continue et positive sur l'intervalle
donc sur l'intervalle
La probabilité est alors l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre
, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = a.
b) Établir une égalité
Notez bien
Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre est :
.
Soit un nombre réel positif. Par les rappels, nous avons :
Or, une primitive de la fonction sur ℝ, donc sur
, étant
nous en déduisons que :
Pour tout nombre réel
c) Calculer une limite
Quand tend vers
tend vers
étant un nombre réel strictement positif. Par suite,
Il en découle par différence et à l'aide de l'égalité établie à la question précédente que
▶ 2. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle
Notez bien
Pour tout réel x, pour tout réel
L'énoncé donne . Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant
cette égalité s'écrit de la manière suivante :
Or, par équivalence, nous avons :
La valeur du paramètre arrondie au millième est 0,099.
▶ 3. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
La probabilité demandée se note Les événements
et
étant contraires, nous avons :
Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant
nous en déduisons que
La probabilité qu'un composant choisi au hasard dans la production de cette usine fonctionne au moins cinq ans est environ 0,61.
b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le composant choisi au hasard ait une durée de vie supérieure à 7 ans sachant que ce composant a déjà fonctionné deux ans. Elle se note Comme la variable aléatoire
suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons :
Or, d'après la question précédente,
La probabilité qu'un composant, choisi au hasard parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de deux ans, ait une durée de vie supérieure à sept ans, est environ 0,61.
c) Calculer une espérance dans le cadre d'une loi exponentielle
Nous avons
L'espérance de la variable T est 10 (valeur arrondie à l'unité près). Par suite, si nous considérons un grand nombre de composants électroniques, la durée de vie moyenne d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est de 10 années.
Exercice 2
Commun à tous les candidats
▶ 1. Étudier l'alignement de 3 points
On a et
.
Les coordonnées des vecteurs et
n'étant pas proportionnelles, les vecteurs
et
ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
L'affirmation 1 est fausse.
▶ 2. Déterminer si un vecteur est normal à un plan
D'après ce qui précède, les vecteurs et
sont deux vecteurs non colinéaires du plan
donc
donc
Le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan
Donc
est normal au plan
L'affirmation 2 est vraie.
▶ 3. Étudier la position relative d'une droite et d'un plan
Le milieu K du segment a pour coordonnées
:
.
On a aussi
La droite qui passe par le point
et a pour vecteur directeur
admet pour représentation paramétrique :
est normal au plan
(voir affirmation 2) donc une équation cartésienne du plan
est
où
est un réel à déterminer. Or
donc :
Le plan a pour équation cartésienne
Finalement, la droite et le plan
sont sécants et leur point d'intersection est le milieu K du segment
.
L'affirmation 3 est vraie.
▶ 4. Étudier la position relative de deux droites
On a (voir affirmation 1) et
.
La droite qui passe par le point
et a pour vecteur directeur
admet pour représentation paramétrique :
La droite qui passe par le point
et a pour vecteur directeur
admet pour représentation paramétrique :
Supposons que les droites et
soient sécantes. On résout alors le système d'équations suivant pour trouver les coordonnées du point d'intersection :
.
Ce système équivaut à puis à
.
Ce résultat est absurde. Par conséquent, les droites et
ne sont pas sécantes et l'affirmation 4 est fausse.
Autre méthode
Le plan a pour équation cartésienne
(voir affirmation 3) et
donc le point
n'appartient pas au plan
.
Comme les points A, B et C ne sont pas alignés (voir affirmation 1), les droites et
ne sont donc pas coplanaires et ne peuvent ainsi être sécantes. Par conséquent, l'affirmation 4 est fausse.
Exercice 3
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
partie A
▶ 1. Résoudre une équation
Pour tout nombre réel :
Notez bien
Pour tous nombres réels ,
.
L'unique solution dans ℝ de l'équation est
▶ 2. Justifier les éléments figurant dans un tableau de variations
On a et
donc, par composition,
Comme
par différence,
.
La fonction est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur ℝ. On remarque aussi que cette fonction est strictement positive sur ℝ. Par conséquent, la fonction
est dérivable sur ℝ. Finalement, la fonction
est dérivable sur ℝ comme différence de fonctions dérivables sur ℝ.
Notez bien
Si est une fonction dérivable sur un intervalle I et si
est strictement positive sur I alors la fonction
est dérivable sur I et
.
Pour tous réels ,
.
Pour tout nombre réel :
.
On a alors immédiatement les résultats suivants :
pour tout réel ,
donc, pour tout réel
.
La fonction est strictement positive sur ℝ sauf en 1 où elle s'annule, donc f est strictement croissante sur ℝ.
▶ 3. Justifier un encadrement
La fonction est strictement croissante sur ℝ, donc elle conserve l'ordre. En particulier, pour tout réel
,
et
.
Puisque et que
, nous en déduisons que
. Ainsi, pour tout réel
,
.
▶ 4. a) Identifier le rôle d'un algorithme
Dans cet algorithme, l'expression n'est rien d'autre que
. Cet algorithme calcule donc les valeurs
, pour les valeurs successives de l'entier
, cet entier étant initialisé à 0, ceci tant que
reste inférieur à l'entier naturel
.
Cet algorithme permet donc d'afficher la plus petite valeur de l'entier naturel N telle que .
b) Déterminer l'affichage en sortie d'un algorithme
est continue sur ℝ (car dérivable sur ℝ d'après la question 2. de cette partie) et strictement croissante sur ℝ. Comme 100 appartient à
, l'équation
admet, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, une unique solution
sur ℝ.
À l'aide de la calculatrice, on obtient .
Comme est strictement croissante sur ℝ, la plus petite valeur de l'entier naturel N telle que
est
.
partie B
▶ 1. Démontrer un encadrement par récurrence
On considère la propriété .
Initialisation : donc
et la propriété est initialisée.
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel
:
(hypothèse de récurrence). On démontre alors que
est vraie :
.
Comme , d'après la question A 3., on a
soit
. La propriété est donc héréditaire.
La propriété étant initialisée et héréditaire, pour tout entier naturel n, .
▶ 2. Étudier les variations d'une suite
Pour tout entier naturel ,
.
D'après la question B 1., pour tout entier naturel ,
.
Notez bien
et, pour tout réel
,
.
Par conséquent,
Finalement, pour tout entier naturel ,
.
La suite est donc décroissante.
▶ 3. Montrer qu'une suite est convergente
D'après la question B 1., la suite est minorée par 0.
D'après la question B 2. , la suite est décroissante.
D'après le théorème de la limite monotone, la suite est convergente.
▶ 4. Déterminer la limite d'une suite
On a d'après l'énoncé. Or, d'après la question A 1., l'unique solution dans ℝ de l'équation
est
. Par conséquent,
.
Exercice 3
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Notez bien
Si et
sont deux entiers relatifs,
divise
s'il existe un entier relatif
tel que
.
▶ 1. a) Justifier qu'un entier relatif est divisible par 3
Soit un couple d'entiers relatifs. On a
où
est un entier relatif.
Par définition, 3 divise .
b) Identifier un éventuel point sur une droite
Supposons qu'il y ait sur la droite au moins un point
dont les coordonnées
sont des entiers relatifs. Dans ce cas, on a
qui équivaut à
.
Or, d'après la question précédente, 3 divise . Mais, puisque
, cela implique que 3 divise 8 ce qui est absurde.
Par conséquent, il n'existe pas de point de dont les coordonnées soient deux entiers relatifs.
▶ 2. a) Justifier qu'un entier divise un produit
On sait d'après l'énoncé que sont des entiers relatifs non nuls. Soit
des entiers relatifs tels que le point
soit sur la droite
. On a dans ce cas :
Notez bien
ℤ est l'ensemble des entiers relatifs.
Puisque , la relation précédente nous dit que, par définition,
divise
et donc q divise np.
b) Justifier qu'un entier en divise un autre
Notez bien
Théorème de Gauss : soit des entiers relatifs, si
divise
et si
est premier avec
, alors
divise
.
D'après la question précédente, divise
.
Or, d'après l'énoncé, . D'après le théorème de Gauss, on en déduit que q divise n.
▶ 3. a) Déterminer des entiers relatifs vérifiant une égalité
On sait d'après l'énoncé que sont des entiers relatifs non nuls et que
.
D'après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs et
tels que
. En considérant les entiers relatifs
et
, on obtient
ce qui, puisque
, nous donne
.
On peut donc trouver des entiers relatifs u et v tels que .
b) Justifier l'existence d'un point à coordonnées entières appartenant à une droite
D'après la question précédente, il existe des entiers relatifs et
tels que
.
Cette dernière égalité nous donne, sachant que :
.
En multipliant les deux membres par dans la dernière égalité, on obtient :
soit encore
.
Il existe donc un couple d'entiers relatifs avec
tels que
.
▶ 4. Étudier un cas particulier
L'équation est de la forme
avec
. On constate alors que
divise
, que
et
. D'après la question 3. b), il existe un couple d'entiers relatifs
tels que
.
Par conséquent, la droite Δ possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
▶ 5. a) Justifier l'arrêt d'un algorithme
Si , alors l'algorithme cherche des coordonnées entières
ou
qui vérifient l'équation réduite de droite
en partant de
.
est incrémenté de 1 tant qu'une valeur de
n'est pas trouvée.
D'après la question 3. b), on sait que de telles coordonnées existent.
Si , alors l'algorithme affiche le message « Pas de solution ».
Dans tous les cas, cet algorithme se termine pour tout entrée de entiers relatifs non nuls tels que
.
b) Identifier le rôle d'un algorithme
Cet algorithme permet d'obtenir, si elles existent, des coordonnées entières d'un point sur la droite d'équation
.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
▶ 1. Exprimer la tangente d'un angle
Notez bien
Dans un triangle ABC rectangle en B,
D'après l'énoncé, le joueur peut taper le ballon depuis n'importe quel point T sur le segment sauf au point
Par suite, la distance
ne peut pas être nulle. Autrement dit,
En utilisant les longueurs données dans l'énoncé et exprimées en mètres (EA et ET
), nous avons, dans le triangle ETA rectangle en E :
En utilisant les longueurs données dans l'énoncé et exprimées en mètres (EB EA + AB
et ET
nous avons, dans le triangle ETB rectangle en E :
Ainsi, et
▶ 2. Étudier le sens de variations d'une fonction
Notons l'intervalle
Comme la fonction cosinus ne s'annule pas sur et que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et donc sur l'intervalle
la fonction tangente définie dans l'énoncé est dérivable sur
Notez bien
Pour toutes fonctions et
dérivables sur
ne s'annulant pas sur
le quotient
est dérivable sur
et
En notant et
et
leurs dérivées respectives, nous avons :
Notez bien
Pour tout réel
Comme pour tout réel de
il en est de même pour
La dérivée de la fonction tangente étant strictement positive sur l'intervalle
la fonction tangente est strictement croissante sur l'intervalle I.
▶ 3. Établir une égalité
Les points E, A et B étant alignés dans cet ordre, nous avons : équivalent à
En rappelant que
sont respectivement les mesures en radians des angles
nous en déduisons que
En prenant
et
dans l'égalité admise dans l'énoncé de cette question, nous avons :
En utilisant les expressions de et
établies à la première question, nous en déduisons que :
Ainsi,
▶ 4. Déterminer des valeurs sous contrainte
Notons une éventuelle position du point T sur le segment
à l'exception du point E pour laquelle l'angle
serait maximum, autrement dit pour laquelle sa mesure
serait maximale. Désignons par
la mesure associée à cette position optimale du point T.
Par suite, quelle que soit la mesure de l'angle
T appartenant à
à l'exception du point E, nous avons naturellement
Comme toutes ces mesures appartiennent à l'intervalle et que la fonction tangente est strictement croissante sur cet intervalle (question 2.), il s'ensuit que :
Notons la longueur
En se remémorant que ET
et en utilisant le résultat démontré à la question 3., nous avons :
Comme est dans l'intervalle
(pour rappel, T décrit le segment [EM] à l'exception du point E) et que la fonction inverse est décroissante sur
il en découle que :
Rechercher une mesure maximale de l'angle
est ainsi équivalent à rechercher un minimum sur l'intervalle
de la fonction f définie par
Étudions les variations de la fonction sur l'intervalle
La fonction affine est dérivable sur ℝ et la fonction inverse
est dérivable sur
La fonction
est alors dérivable sur
comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Sa dérivée est donnée par :
Notez bien
Pour tous réels et
Comme et que sur
le signe de
dépend uniquement du signe de
Mais, et
Il en découle le tableau de signes suivant :
La dérivée étant strictement négative sur
et strictement positive sur
la fonction
est strictement décroissante sur
et strictement croissante sur
La fonction admet alors un minimum sur l'intervalle
atteint en
Il existe ainsi une unique valeur de dont une valeur approchée au mètre près est 28 pour laquelle l'angle
est maximum.
Gagnez des points !
N'oubliez pas de sélectionner le mode Radian dans votre calculatrice.
Pour cette valeur de à l'aide de la question précédente, nous avons :
et à l'aide d'une calculatrice,
Une mesure de l'angle à 0,01 radian près est 0,10.