Sujet complet de France métropolitaine 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

 

1

France métropolitaine • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points) 
Fabrication d’un composant électronique

Commun à tous les candidats

Partie A

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.

Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.

On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

A l’événement : « le composant provient de la chaîne A » ;

B l’événement : « le composant provient de la chaîne B » ;

S l’événement : « le composant est sans défaut »

▶ 1. Montrer que la probabilité de l’événement S est P(S) = 0,89.

2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10–2 près.

Partie B

Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion p de composants sans défaut.

Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.

▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.

▶ 2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?

Partie C

La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif).

On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T.

On rappelle que :

pour tout nombre réel x  0, f(x= λeλx ;

pour tout nombre réel a  0, P(T  a= 329471-Eqn1.

1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.

 

matT_1606_07_00C_01

a) Interpréter graphiquement P( a) où a > 0.

b) Montrer que pour tout nombre réel  0, P( t= 1 − eλt.

c) En déduire que 329471-Eqn2.

▶ 2. On suppose que P( 7) = 0,5 . Déterminer λ à 10–3 près.

▶ 3. Dans cette question, on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.

a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.

b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.

c) Donner l’espérance mathématique E(T) de la variable aléatoire T à l’unité près. Interpréter ce résultat.

Exercice 2 (4 points) 
Voyageons dans l’espace

Commun à tous les candidats

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé 329471-Eqn3, on donne les points :

A(1 ; 2 ; 3), B(3 ; 0 ; 1), C(– 1 ; 0 ; 1), D(2 ; 1 ; – 1), E(– 1 ; – 2 ; 3) et F(– 2 ; – 3 ; 4).

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

▶ 1. Affirmation 1. Les trois points A, B et C sont alignés.

▶ 2. Affirmation 2. Le vecteur 329471-Eqn4 est un vecteur normal au plan (ABC).

▶ 3. Affirmation 3. La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [BC].

▶ 4. Affirmation 4. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

Exercice 3 (5 points)
 Une fonction et une suite associée

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x= x – ln(x2 + 1).

1. Résoudre dans ℝ l’équation f(x= x.

2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-après à l’exception de la limite de la fonction f en + ∞ que l’on admet.

▶ 3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], f(x) appartient à [0 ; 1].

4. On considère l’algorithme suivant :

Variables

N et A des entiers naturels

Entrée

Saisir la valeur de A

Traitement

N prend la valeur 0

Tant que N − ln(N 2 + 1) < A

   

N prend la valeur N + 1

 

Fin tant que

Sortie

Afficher N

a) Que fait cet algorithme ?

b) Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.

Partie B

Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, 329471-Eqn5.

▶ 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0 ; 1].

2. Étudier les variations de la suite (un).

▶ 3. Montrer que la suite (un) est convergente.

▶ 4. On note l sa limite, et on admet que l vérifie l’égalité f (l= l.

En déduire la valeur de l.

Exercice 3 (5 points)
 Droite rationnelle

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (ab), on note pgcd(ab) le plus grand diviseur commun de a et b.

Le plan est muni d’un repère 329471-Eqn6.

▶ 1. Exemple. Soit Δ1 la droite d’équation 329471-Eqn7.

a) Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 15– 12y est divisible par 3.

b) Existe-t-il au moins un point de la droite Δ1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.

Généralisation. On considère désormais une droite Δ d’équation (E) : 329471-Eqn8 m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, n= pgcd(p, q= 1.

Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.

Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu’une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

▶ 2. On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x0, y0) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.

a) En remarquant que le nombre ny0 – mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.

b) En déduire que q divise n.

▶ 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que 329471-Eqn9.

a) On pose = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru mv = 1.

b) En déduire qu’il existe un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que 329471-Eqn10.

▶ 4. Soit Δ la droite d’équation 329471-Eqn11. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.

▶ 5. On donne l’algorithme suivant :

Variables

M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls,

tels que pgcd(M, N= pgcd(P, Q= 1

X : entier naturel

Entrées

Saisir les valeurs de M, N, P et Q

Traitement et sorties

Si Q divise N alors

   

X prend la valeur 0

   

Tant que (329471-Eqn12 n’est pas entier) et (329471-Eqn13 n’est pas entier) faire

     

X prend la valeur X + 1

   

Fin tant que

   

Si 329471-Eqn14 est entier alors

     

Afficher X ; 329471-Eqn15

   

Sinon

     

Afficher – X ; 329471-Eqn16

   

Fin Si

 

Sinon

   

Afficher « Pas de solution »

 

Fin Si

a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P et Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N= pgcd(P, Q= 1.

b) Que permet-il d’obtenir ?

Exercice 4 (5 points)
 Transformons l’essai !

Commun à tous les candidats

matT_1606_07_00C_02

Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle 329471-Eqn17 le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l’angle 329471-Eqn18 est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m , EA = 25 m et AB = 5,6 m .

On note α la mesure en radians de l’angle 329471-Eqn19, β la mesure en radians de l’angle 329471-Eqn20 et γ la mesure en radians de l’angle 329471-Eqn21.

▶ 1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.

La fonction tangente est définie sur l’intervalle 329471-Eqn22 par 329471-Eqn23.

▶ 2. Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle 329471-Eqn24.

▶ 3. L’angle 329471-Eqn25 admet une mesure γ appartenant à l’intervalle 329471-Eqn26, résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle 329471-Eqn27, a > b,329471-Eqn28.

Montrer que 329471-Eqn29.

▶ 4. L’angle 329471-Eqn30 est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] de la fonction f définie par : 329471-Eqn31.

Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle 329471-Eqn32 est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle 329471-Eqn33 à 0,01 radian près.

Remarque. Sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Intervalle de confiance • Loi exponentielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Arbre pondéré  E37 Partie A, 1.

Probabilités  E34 • E35 Partie A, 1. et 2. ; Partie C, 3. a)

Intervalle de confiance  E44 Partie B

Loi exponentielle  E40a • E40c • E41c • E42 Partie C

Intégration  E11a • E11d • E13 • E14 Partie C, 1. a) et 1. b)

Fonction exponentielle  E8a • E8c • E9a Partie C, 1. c) et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. Remarquez que la probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle.

Partie B

 1. Identifiez la taille de l’échantillon n et la fréquence f du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et f sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant.

Partie C

 3. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Vecteurs colinéaires  E27 Affirmations 1 et 3

Orthogonalité  E32c Affirmation 2

Produit scalaire  E31b • E32 Affirmation 2

Vecteur normal à un plan  E33a Affirmation 2

Représentation paramétrique d’une droite  E30 Affirmation 4

Équation cartésienne d’un plan  E33c Affirmations 3 et 4

Nos coups de pouce

 Affirmation 3. Déterminez les coordonnées du milieu M de 329471-Eqn37 une représentation paramétrique de la droite 329471-Eqn38 et une équation cartésienne du plan 329471-Eqn39 Concluez en résolvant un système d’équations.

 Affirmation 4. Déterminez une représentation paramétrique pour chacune des droites 329471-Eqn40 et 329471-Eqn41 puis déterminez à l’aide d’un système d’équations si elles sont sécantes ou non.

Exercice 3 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Suites • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Raisonnement par récurrence  E1 Partie B, 1.

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie A, 2.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9c • E9d Partie A, 1., 2. et 3. ; Partie B, 2.

Limites de fonctions  E5a • E5b • E9c Partie A, 2.

Limites de suites  E2e Partie B, 3.

Algorithmique  A4 Partie A, 4. a)

Nos coups de pouce

Partie A

 3. N’oubliez pas qu’une fonction strictement croissante sur un intervalle conserve l’ordre.

Partie B

 1. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Exercice 3 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Arithmétique • Algorithmique.

Nos coups de pouce

 3. a) Pensez au théorème de Bézout.

 5. a) Pensez à exploiter la question 3. b) pour justifier l’arrêt de l’algorithme dans le premier cas envisagé.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie plane • Dérivation et variations • Fonctions trigonométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Fonctions sinus et cosinus  E10a • E10b 2.

Dérivation  E6e • E6f 2. et 4.

Variations d’une fonction  E6c  2. et 4.

Nos coups de pouce

 1. Identifiez dans chaque triangle rectangle considéré le côté opposé et le côté adjacent à l’angle 329471-Eqn42 Concluez à l’aide des longueurs fournies dans l’énoncé.

 3. Justifiez que 329471-Eqn43 Remplacez 329471-Eqn44 par 329471-Eqn45 et 329471-Eqn46 par 329471-Eqn47 dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, puis utilisez les résultats établis à la première question. Simplifiez enfin pour conclure.

 4. Étudiez les variations de la fonction 329471-Eqn48 sur l’intervalle 329471-Eqn49 Utilisez votre calculatrice pour conclure.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

 1. Calculer la probabilité d’un événement à l’aide d’un arbre

Traduisons la situation décrite dans l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

La chaîne A produit 40 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l’événement A se réalise est alors 329471-Eqn50

La chaîne B produit donc 60 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l’événement B se réalise est ainsi 329471-Eqn51

20 % des composants, en sortie de la chaîne A, présentent le défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

Notez bien

La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

La probabilité que l’événement 329471-Eqn52 (événement contraire de l’événement 329471-Eqn53 se réalise sachant que l’événement A est réalisé, est alors 329471-Eqn54 Similairement, comme 5 % des composants, en sortie de la chaîne B, présentent le défaut, nous avons 329471-Eqn55

Nous pouvons ainsi représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

matT_1606_07_00C_03

Par la formule des probabilités totales, il en découle que :

329471-Eqn56

La probabilité de l’événement S est égale à 0,89.

 2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité demandée, probabilité conditionnelle, se note 329471-Eqn57 Comme, d’après la question précédente, 329471-Eqn58 il s’ensuit, par définition, que :

329471-Eqn59

Sachant que le composant ne présente pas de défaut, la probabilité qu’il provienne de la chaîne A est environ 0,36.

partie B

 1. Déterminer un intervalle de confiance

400 composants ont été prélevés de manière aléatoire parmi ceux fabriqués dans la chaîne A. La taille de l’échantillon considéré est alors 329471-Eqn60 Parmi les 400 composants prélevés, la fréquence observée de composants sans défaut est 329471-Eqn61 Comme 329471-Eqn62329471-Eqn63 et 329471-Eqn64 les conditions sur 329471-Eqn65 et 329471-Eqn66 sont vérifiées et l’intervalle de confiance est défini par :

329471-Eqn67

Remarque

Au niveau de confiance 0,95, la proportion de composants sans défaut fabriqués par la chaîne A se situerait entre 87 % et 97 %.

Un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95 est 329471-Eqn68

 2. Déterminer la taille d’un échantillon sous contrainte

Dans cette question, la taille de l’échantillon 329471-Eqn69 n’est pas nécessairement égale à 400 contrairement à la fréquence 329471-Eqn70 qui est encore égale à 329471-Eqn71 Sous l’hypothèse que les conditions sur 329471-Eqn72 et 329471-Eqn73 sont vérifiées, l’intervalle de confiance est défini par :

329471-Eqn74

L’amplitude de cet intervalle de confiance est alors :

329471-Eqn75

La contrainte « un tel intervalle de confiance a une amplitude maximum de 0,02 » se traduit, par suite, par l’inéquation 329471-Eqn76

Or, par équivalence, nous avons :

329471-Eqn77

La taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 est 10 000.

partie C

 1. a) Interpréter graphiquement une probabilité

Soit 329471-Eqn78 un réel strictement positif. Par le rappel, nous avons 329471-Eqn79329471-Eqn80 est la densité associée à la variable aléatoire 329471-Eqn81 suivant la loi exponentielle de paramètre 329471-Eqn82 fonction continue et positive sur l’intervalle 329471-Eqn83 donc sur l’intervalle 329471-Eqn84

La probabilité 329471-Eqn85 est alors l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 329471-Eqn86, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = a.

b) Établir une égalité

Notez bien

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre 329471-Eqn87 est : 329471-Eqn88

329471-Eqn94.

Soit 329471-Eqn89 un nombre réel positif. Par les rappels, nous avons :

329471-Eqn90

Or, une primitive de la fonction 329471-Eqn91 sur , donc sur 329471-Eqn92, étant 329471-Eqn93 nous en déduisons que :

329471-Eqn95

Pour tout nombre réel 329471-Eqn96 329471-Eqn97

c) Calculer une limite

Quand 329471-Eqn98 tend vers 329471-Eqn99329471-Eqn100 tend vers 329471-Eqn101329471-Eqn102 étant un nombre réel strictement positif. Par suite, 329471-Eqn103 Il en découle par différence et à l’aide de l’égalité établie à la question précédente que 329471-Eqn104

 2. Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle

Notez bien

Pour tout réel x, pour tout réel 329471-Eqn106329471-Eqn107

L’énoncé donne 329471-Eqn108. Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant 329471-Eqn109 cette égalité s’écrit de la manière suivante : 329471-Eqn110

Or, par équivalence, nous avons :

329471-Eqn111

La valeur du paramètre 329471-Eqn112 arrondie au millième est 0,099.

 3. a) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité demandée se note 329471-Eqn113 Les événements 329471-Eqn114 et 329471-Eqn115 étant contraires, nous avons : 329471-Eqn116 Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant 329471-Eqn117 nous en déduisons que 329471-Eqn118

La probabilité qu’un composant choisi au hasard dans la production de cette usine fonctionne au moins cinq ans est environ 0,61.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le composant choisi au hasard ait une durée de vie supérieure à 7 ans sachant que ce composant a déjà fonctionné deux ans. Elle se note 329471-Eqn119 Comme la variable aléatoire 329471-Eqn120 suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons :

329471-Eqn121

Or, d’après la question précédente, 329471-Eqn122

La probabilité qu’un composant, choisi au hasard parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de deux ans, ait une durée de vie supérieure à sept ans, est environ 0,61.

c) Calculer une espérance dans le cadre d’une loi exponentielle

Nous avons 329471-Eqn123

L’espérance de la variable T est 10 (valeur arrondie à l’unité près). Par suite, si nous considérons un grand nombre de composants électroniques, la durée de vie moyenne d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est de 10 années.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

 1. Étudier l’alignement de 3 points

On a 329471-Eqn124 et 329471-Eqn125.

Les coordonnées des vecteurs 329471-Eqn126 et 329471-Eqn127 n’étant pas proportionnelles, les vecteurs 329471-Eqn128 et 329471-Eqn129 ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

L’affirmation 1 est fausse.

 2. Déterminer si un vecteur est normal à un plan

D’après ce qui précède, les vecteurs 329471-Eqn130 et 329471-Eqn131 sont deux vecteurs non colinéaires du plan 329471-Eqn132

329471-Eqn133 donc 329471-Eqn134

329471-Eqn135 donc 329471-Eqn136

Le vecteur 329471-Eqn137 est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan 329471-Eqn138 Donc 329471-Eqn139 est normal au plan 329471-Eqn140L’affirmation 2 est vraie.

 3. Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

Le milieu K du segment 329471-Eqn141 a pour coordonnées 329471-Eqn142 :

329471-Eqn143

329471-Eqn144

329471-Eqn145.

On a aussi 329471-Eqn146

La droite 329471-Eqn147 qui passe par le point 329471-Eqn148 et a pour vecteur directeur 329471-Eqn149 admet pour représentation paramétrique :

329471-Eqn150

329471-Eqn151 est normal au plan 329471-Eqn152 (voir affirmation 2) donc une équation cartésienne du plan 329471-Eqn153 est 329471-Eqn154329471-Eqn155 est un réel à déterminer. Or 329471-Eqn156 donc :329471-Eqn157

Le plan 329471-Eqn158 a pour équation cartésienne 329471-Eqn159

329471-Eqn160

Finalement, la droite 329471-Eqn161 et le plan 329471-Eqn162 sont sécants et leur point d’intersection est le milieu K du segment 329471-Eqn163.

L’affirmation 3 est vraie.

 4. Étudier la position relative de deux droites

On a 329471-Eqn164(voir affirmation 1) et 329471-Eqn165.

La droite 329471-Eqn166 qui passe par le point 329471-Eqn167 et a pour vecteur directeur 329471-Eqn168 admet pour représentation paramétrique :

329471-Eqn169

La droite 329471-Eqn170 qui passe par le point 329471-Eqn171 et a pour vecteur directeur 329471-Eqn172 admet pour représentation paramétrique :

329471-Eqn173

Supposons que les droites 329471-Eqn174 et 329471-Eqn175 soient sécantes. On résout alors le système d’équations suivant pour trouver les coordonnées du point d’intersection : 329471-Eqn176.

Ce système équivaut à 329471-Eqn177 puis à 329471-Eqn178.

Ce résultat est absurde. Par conséquent, les droites 329471-Eqn179 et 329471-Eqn180 ne sont pas sécantes et l’affirmation 4 est fausse.

Autre méthode

Le plan 329471-Eqn181 a pour équation cartésienne 329471-Eqn182 (voir affirmation 3) et 329471-Eqn183 donc le point 329471-Eqn184 n’appartient pas au plan 329471-Eqn185.

Comme les points A, B et C ne sont pas alignés (voir affirmation 1), les droites 329471-Eqn187 et 329471-Eqn188 ne sont donc pas coplanaires et ne peuvent ainsi être sécantes. Par conséquent, l’affirmation 4 est fausse.

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

partie A

 1. Résoudre une équation

Pour tout nombre réel 329471-Eqn189 :

Notez bien

Pour tous nombres réels 329471-Eqn190, 329471-Eqn191.

329471-Eqn192

L’unique solution dans de l’équation 329471-Eqn194est 329471-Eqn195

 2. Justifier les éléments figurant dans un tableau de variations

On a 329471-Eqn196 et 329471-Eqn197 donc, par composition, 329471-Eqn198 Comme 329471-Eqn199 par différence, 329471-Eqn200.

La fonction 329471-Eqn201 est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur . On remarque aussi que cette fonction est strictement positive sur ℝ. Par conséquent, la fonction 329471-Eqn202 est dérivable sur ℝ. Finalement, la fonction 329471-Eqn203 est dérivable sur ℝ comme différence de fonctions dérivables sur ℝ.

Notez bien

Si 329471-Eqn204 est une fonction dérivable sur un intervalle I et si 329471-Eqn205 est strictement positive sur I alors la fonction 329471-Eqn206 est dérivable sur I et 329471-Eqn207.

Pour tous réels 329471-Eqn208, 329471-Eqn209.

Pour tout nombre réel 329471-Eqn210 :329471-Eqn211.

On a alors immédiatement les résultats suivants :

329471-Eqn212 ;

pour tout réel 329471-Eqn213, 329471-Eqn214 donc, pour tout réel 329471-Eqn215 329471-Eqn216.

La fonction 329471-Eqn217 est strictement positive sur ℝ sauf en 1 où elle s’annule, donc f est strictement croissante sur .

 3. Justifier un encadrement

La fonction 329471-Eqn218 est strictement croissante sur ℝ, donc elle conserve l’ordre. En particulier, pour tout réel 329471-Eqn219, 329471-Eqn220 et329471-Eqn221.

Puisque 329471-Eqn222 et que 329471-Eqn223, nous en déduisons que 329471-Eqn224. Ainsi, pour tout réel 329471-Eqn225, 329471-Eqn226.

 4. a) Identifier le rôle d’un algorithme

Dans cet algorithme, l’expression 329471-Eqn227 n’est rien d’autre que 329471-Eqn228. Cet algorithme calcule donc les valeurs 329471-Eqn229, pour les valeurs successives de l’entier 329471-Eqn230, cet entier étant initialisé à 0, ceci tant que 329471-Eqn231 reste inférieur à l’entier naturel 329471-Eqn232.

Cet algorithme permet donc d’afficher la plus petite valeur de l’entier naturel N telle que 329471-Eqn233.

b) Déterminer l’affichage en sortie d’un algorithme

329471-Eqn234 est continue sur ℝ (car dérivable sur ℝ d’après la question 2. de cette partie) et strictement croissante sur ℝ. Comme 100 appartient à329471-Eqn235, l’équation329471-Eqn236 admet, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, une unique solution 329471-Eqn237 sur ℝ.

À l’aide de la calculatrice, on obtient 329471-Eqn238.

Comme 329471-Eqn239 est strictement croissante sur ℝ, la plus petite valeur de l’entier naturel N telle que 329471-Eqn241est 329471-Eqn242.

partie B

 1. Démontrer un encadrement par récurrence

On considère la propriété 329471-Eqn243.

Initialisation : 329471-Eqn244 donc 329471-Eqn245 et la propriété est initialisée.

Hérédité : on suppose que la propriété 329471-Eqn246 est vraie pour un entier naturel 329471-Eqn247 : 329471-Eqn248 (hypothèse de récurrence). On démontre alors que 329471-Eqn249 est vraie : 329471-Eqn250.

Comme 329471-Eqn251, d’après la question A 3., on a 329471-Eqn252 soit 329471-Eqn253. La propriété est donc héréditaire.

La propriété étant initialisée et héréditaire, pour tout entier naturel n, 329471-Eqn254.

 2. Étudier les variations d’une suite

Pour tout entier naturel 329471-Eqn255, 329471-Eqn256.

D’après la question B 1., pour tout entier naturel 329471-Eqn257, 329471-Eqn258.

Notez bien

329471-Eqn259 et, pour tout réel 329471-Eqn260, 329471-Eqn261.

Par conséquent, 329471-Eqn262

Finalement, pour tout entier naturel 329471-Eqn263, 329471-Eqn264.

La suite 329471-Eqn265est donc décroissante.

 3. Montrer qu’une suite est convergente

D’après la question B 1., la suite 329471-Eqn266 est minorée par 0.

D’après la question B 2. , la suite 329471-Eqn267 est décroissante.

D’après le théorème de la limite monotone, la suite 329471-Eqn268 est convergente.

 4. Déterminer la limite d’une suite

On a 329471-Eqn269 d’après l’énoncé. Or, d’après la question A 1., l’unique solution dans ℝ de l’équation 329471-Eqn270 est 329471-Eqn271. Par conséquent, 329471-Eqn272.

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Notez bien

Si 329471-Eqn276 et 329471-Eqn277 sont deux entiers relatifs, 329471-Eqn278 divise 329471-Eqn279 s’il existe un entier relatif 329471-Eqn280 tel que 329471-Eqn281.

 1. a) Justifier qu’un entier relatif est divisible par 3

Soit 329471-Eqn273 un couple d’entiers relatifs. On a 329471-Eqn274329471-Eqn275 est un entier relatif.

Par définition, 3 divise 329471-Eqn282.

b) Identifier un éventuel point sur une droite

Supposons qu’il y ait sur la droite 329471-Eqn283 au moins un point 329471-Eqn284 dont les coordonnées 329471-Eqn285sont des entiers relatifs. Dans ce cas, on a 329471-Eqn286 qui équivaut à 329471-Eqn287.

Or, d’après la question précédente, 3 divise 329471-Eqn288. Mais, puisque 329471-Eqn289, cela implique que 3 divise 8 ce qui est absurde.

Par conséquent, il n’existe pas de point de 329471-Eqn290dont les coordonnées soient deux entiers relatifs.

 2. a) Justifier qu’un entier divise un produit

On sait d’après l’énoncé que 329471-Eqn291 sont des entiers relatifs non nuls. Soit 329471-Eqn292 des entiers relatifs tels que le point 329471-Eqn293 soit sur la droite 329471-Eqn294. On a dans ce cas :

Notez bien

ℤ est l’ensemble des entiers relatifs.

329471-Eqn295

Puisque 329471-Eqn297, la relation précédente nous dit que, par définition, 329471-Eqn298 divise 329471-Eqn299 et donc q divise np.

b) Justifier qu’un entier en divise un autre

Notez bien

Théorème de Gauss : soit 329471-Eqn302 des entiers relatifs, si 329471-Eqn303 divise 329471-Eqn304 et si 329471-Eqn305 est premier avec 329471-Eqn306, alors 329471-Eqn307 divise 329471-Eqn308.

D’après la question précédente, 329471-Eqn309 divise 329471-Eqn310.

Or, d’après l’énoncé, 329471-Eqn311. D’après le théorème de Gauss, on en déduit que q divise n.

 3. a) Déterminer des entiers relatifs vérifiant une égalité

On sait d’après l’énoncé que 329471-Eqn314 sont des entiers relatifs non nuls et que 329471-Eqn315.

D’après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs 329471-Eqn316 et 329471-Eqn317 tels que 329471-Eqn318. En considérant les entiers relatifs 329471-Eqn319 et 329471-Eqn320, on obtient 329471-Eqn321 ce qui, puisque 329471-Eqn322, nous donne 329471-Eqn323.

On peut donc trouver des entiers relatifs u et v tels que 329471-Eqn326.

b) Justifier l’existence d’un point à coordonnées entières appartenant à une droite

D’après la question précédente, il existe des entiers relatifs 329471-Eqn327 et 329471-Eqn328 tels que 329471-Eqn329.

Cette dernière égalité nous donne, sachant que 329471-Eqn330 :

329471-Eqn331.

En multipliant les deux membres par 329471-Eqn332 dans la dernière égalité, on obtient :

329471-Eqn333 soit encore 329471-Eqn334.

Il existe donc un couple d’entiers relatifs 329471-Eqn335avec 329471-Eqn336 tels que 329471-Eqn337.

 4. Étudier un cas particulier

L’équation 329471-Eqn338 est de la forme 329471-Eqn339 avec 329471-Eqn340. On constate alors que 329471-Eqn341 divise 329471-Eqn342, que 329471-Eqn343 et 329471-Eqn344. D’après la question 3. b), il existe un couple d’entiers relatifs 329471-Eqn345 tels que 329471-Eqn346.

Par conséquent, la droite Δ possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

 5. a) Justifier l’arrêt d’un algorithme

Si 329471-Eqn348, alors l’algorithme cherche des coordonnées entières 329471-Eqn349 ou 329471-Eqn350 qui vérifient l’équation réduite de droite 329471-Eqn351 en partant de 329471-Eqn352. 329471-Eqn353 est incrémenté de 1 tant qu’une valeur de 329471-Eqn354 n’est pas trouvée.

D’après la question 3. b), on sait que de telles coordonnées existent.

Si 329471-Eqn355, alors l’algorithme affiche le message « Pas de solution ».

Dans tous les cas, cet algorithme se termine pour tout entrée de 329471-Eqn356entiers relatifs non nuls tels que 329471-Eqn357.

b) Identifier le rôle d’un algorithme

Cet algorithme permet d’obtenir, si elles existent, des coordonnées entières 329471-Eqn358 d’un point sur la droite d’équation 329471-Eqn359.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

 1. Exprimer la tangente d’un angle

Notez bien

Dans un triangle ABC rectangle en B, 329471-Eqn360

D’après l’énoncé, le joueur peut taper le ballon depuis n’importe quel point T sur le segment 329471-Eqn361 sauf au point 329471-Eqn362 Par suite, la distance 329471-Eqn363 ne peut pas être nulle. Autrement dit, 329471-Eqn364

matT_1606_07_00C_04

En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et exprimées en mètres (EA 329471-Eqn365 et ET 329471-Eqn366), nous avons, dans le triangle ETA rectangle en E : 329471-Eqn368

matT_1606_07_00C_05

En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et exprimées en mètres (EB 329471-Eqn369 EA + AB 329471-Eqn370 et ET 329471-Eqn371329471-Eqn372 nous avons, dans le triangle ETB rectangle en E : 
329471-Eqn373

Ainsi, 329471-Eqn374et 329471-Eqn375

 2. Étudier le sens de variations d’une fonction

Notons 329471-Eqn376 l’intervalle 329471-Eqn377

Comme la fonction cosinus ne s’annule pas sur 329471-Eqn378 et que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et donc sur l’intervalle 329471-Eqn379 la fonction tangente définie dans l’énoncé est dérivable sur 329471-Eqn380

Notez bien

Pour toutes fonctions 329471-Eqn385 et 329471-Eqn386 dérivables sur 329471-Eqn387329471-Eqn388 ne s’annulant pas sur 329471-Eqn389 le quotient 329471-Eqn390 est dérivable sur 329471-Eqn391 et 329471-Eqn392

En notant 329471-Eqn381 et 329471-Eqn382329471-Eqn383 et 329471-Eqn384 leurs dérivées respectives, nous avons :

329471-Eqn393

Notez bien

Pour tout réel 329471-Eqn395329471-Eqn396

Comme pour tout réel 329471-Eqn397 de 329471-Eqn398329471-Eqn399 il en est de même pour 329471-Eqn400 La dérivée de la fonction tangente étant strictement positive sur l’intervalle 329471-Eqn401la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle I.

 3. Établir une égalité

Les points E, A et B étant alignés dans cet ordre, nous avons : 329471-Eqn403 équivalent à 329471-Eqn404 En rappelant que 329471-Eqn405 sont respectivement les mesures en radians des angles 329471-Eqn406 nous en déduisons que 329471-Eqn407 En prenant 329471-Eqn408 et 329471-Eqn409 dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, nous avons :

329471-Eqn410

En utilisant les expressions de 329471-Eqn411 et 329471-Eqn412 établies à la première question, nous en déduisons que :

329471-Eqn413

Ainsi, 329471-Eqn414

 4. Déterminer des valeurs sous contrainte

Notons 329471-Eqn415 une éventuelle position du point T sur le segment 329471-Eqn416 à l’exception du point E pour laquelle l’angle 329471-Eqn417 serait maximum, autrement dit pour laquelle sa mesure 329471-Eqn418 serait maximale. Désignons par 329471-Eqn419 la mesure associée à cette position optimale du point T.

Par suite, quelle que soit la mesure 329471-Eqn420 de l’angle 329471-Eqn421 T appartenant à 329471-Eqn422 à l’exception du point E, nous avons naturellement 329471-Eqn423

Comme toutes ces mesures appartiennent à l’intervalle 329471-Eqn424 et que la fonction tangente est strictement croissante sur cet intervalle (question 2.), il s’ensuit que :

329471-Eqn425

Notons 329471-Eqn426 la longueur 329471-Eqn427 En se remémorant que ET329471-Eqn428 et en utilisant le résultat démontré à la question 3., nous avons : 329471-Eqn429

Comme 329471-Eqn430 est dans l’intervalle 329471-Eqn431 (pour rappel, T décrit le segment [EM] à l’exception du point E) et que la fonction inverse est décroissante sur 329471-Eqn432 il en découle que :

329471-Eqn433

Rechercher une mesure maximale 329471-Eqn434 de l’angle 329471-Eqn435est ainsi équivalent à rechercher un minimum sur l’intervalle 329471-Eqn436 de la fonction f définie par 329471-Eqn437

Étudions les variations de la fonction 329471-Eqn438 sur l’intervalle 329471-Eqn439

La fonction affine 329471-Eqn440 est dérivable sur ℝ et la fonction inverse 329471-Eqn441 est dérivable sur 329471-Eqn442 La fonction 329471-Eqn443 est alors dérivable sur 329471-Eqn444 comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Sa dérivée est donnée par :

Notez bien

Pour tous réels 329471-Eqn445 et 329471-Eqn446329471-Eqn447

329471-Eqn448

Comme 329471-Eqn449 et que sur 329471-Eqn450329471-Eqn451 le signe de 329471-Eqn452 dépend uniquement du signe de 329471-Eqn453

Mais, 329471-Eqn454 et 329471-Eqn455

Il en découle le tableau de signes suivant :

La dérivée 329471-Eqn464 étant strictement négative sur 329471-Eqn465 et strictement positive sur 329471-Eqn466 la fonction 329471-Eqn467 est strictement décroissante sur 329471-Eqn468 et strictement croissante sur 329471-Eqn469

La fonction 329471-Eqn470 admet alors un minimum sur l’intervalle 329471-Eqn471 atteint en 329471-Eqn472

Il existe ainsi une unique valeur de 329471-Eqn473 dont une valeur approchée au mètre près est 28 pour laquelle l’angle 329471-Eqn474 est maximum.

Gagnez des points !

N’oubliez pas de sélectionner le mode Radian dans votre calculatrice.

Pour cette valeur de 329471-Eqn475 à l’aide de la question précédente, nous avons :329471-Eqn476 et à l’aide d’une calculatrice, 329471-Eqn477

Une mesure de l’angle 329471-Eqn478à 0,01 radian près est 0,10.