Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

▶ 1. Calculer la probabilité d’un événement à l’aide d’un arbre

Traduisons la situation décrite dans l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

La chaîne A produit 40 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l’événement A se réalise est alors

La chaîne B produit donc 60 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l’événement B se réalise est ainsi

20 % des composants, en sortie de la chaîne A, présentent le défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

La probabilité que l’événement  (événement contraire de l’événement  se réalise sachant que l’événement A est réalisé, est alors Similairement, comme 5 % des composants, en sortie de la chaîne B, présentent le défaut, nous avons

Nous pouvons ainsi représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

Par la formule des probabilités totales, il en découle que :

La probabilité de l’événement S est égale à 0,89.

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité demandée, probabilité conditionnelle, se note Comme, d’après la question précédente, il s’ensuit, par définition, que :

Sachant que le composant ne présente pas de défaut, la probabilité qu’il provienne de la chaîne A est environ 0,36.

partie B

▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance

400 composants ont été prélevés de manière aléatoire parmi ceux fabriqués dans la chaîne A. La taille de l’échantillon considéré est alors Parmi les 400 composants prélevés, la fréquence observée de composants sans défaut est Comme et les conditions sur et sont vérifiées et l’intervalle de confiance est défini par :

Un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95 est

▶ 2. Déterminer la taille d’un échantillon sous contrainte

Dans cette question, la taille de l’échantillon n’est pas nécessairement égale à 400 contrairement à la fréquence qui est encore égale à Sous l’hypothèse que les conditions sur et sont vérifiées, l’intervalle de confiance est défini par :

L’amplitude de cet intervalle de confiance est alors :

La contrainte « un tel intervalle de confiance a une amplitude maximum de 0,02 » se traduit, par suite, par l’inéquation

Or, par équivalence, nous avons :

La taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 est 10 000.

partie C

▶ 1. a) Interpréter graphiquement une probabilité

Soit un réel strictement positif. Par le rappel, nous avons où est la densité associée à la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre fonction continue et positive sur l’intervalle donc sur l’intervalle

La probabilité est alors l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = a.

b) Établir une égalité

Soit un nombre réel positif. Par les rappels, nous avons :

Or, une primitive de la fonction sur ℝ, donc sur , étant nous en déduisons que :

Pour tout nombre réel

c) Calculer une limite

Quand tend vers tend vers étant un nombre réel strictement positif. Par suite, Il en découle par différence et à l’aide de l’égalité établie à la question précédente que

▶ 2. Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle

L’énoncé donne . Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant cette égalité s’écrit de la manière suivante :

Or, par équivalence, nous avons :

La valeur du paramètre arrondie au millième est 0,099.

▶ 3. a) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité demandée se note  Les événements et étant contraires, nous avons : Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant nous en déduisons que

La probabilité qu’un composant choisi au hasard dans la production de cette usine fonctionne au moins cinq ans est environ 0,61.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le composant choisi au hasard ait une durée de vie supérieure à 7 ans sachant que ce composant a déjà fonctionné deux ans. Elle se note Comme la variable aléatoire suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons :

Or, d’après la question précédente,

La probabilité qu’un composant, choisi au hasard parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de deux ans, ait une durée de vie supérieure à sept ans, est environ 0,61.

c) Calculer une espérance dans le cadre d’une loi exponentielle

Nous avons

L’espérance de la variable T est 10 (valeur arrondie à l’unité près). Par suite, si nous considérons un grand nombre de composants électroniques, la durée de vie moyenne d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est de 10 années.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

▶ 1. Étudier l’alignement de 3 points

On a et .

Les coordonnées des vecteurs et n’étant pas proportionnelles, les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

L’affirmation 1 est fausse.

▶ 2. Déterminer si un vecteur est normal à un plan

D’après ce qui précède, les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires du plan

donc

donc

Le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan Donc est normal au plan L’affirmation 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

Le milieu K du segment a pour coordonnées  :

.

On a aussi

La droite qui passe par le point et a pour vecteur directeur admet pour représentation paramétrique :

est normal au plan (voir affirmation 2) donc une équation cartésienne du plan est où est un réel à déterminer. Or donc :

Le plan a pour équation cartésienne 

Finalement, la droite et le plan sont sécants et leur point d’intersection est le milieu K du segment .

L’affirmation 3 est vraie.

▶ 4. Étudier la position relative de deux droites

On a (voir affirmation 1) et .

La droite qui passe par le point et a pour vecteur directeur admet pour représentation paramétrique :

La droite qui passe par le point et a pour vecteur directeur admet pour représentation paramétrique :

Supposons que les droites et soient sécantes. On résout alors le système d’équations suivant pour trouver les coordonnées du point d’intersection : .

Ce système équivaut à puis à .

Ce résultat est absurde. Par conséquent, les droites et ne sont pas sécantes et l’affirmation 4 est fausse.

Autre méthode

Le plan a pour équation cartésienne (voir affirmation 3) et donc le point n’appartient pas au plan .

Comme les points A, B et C ne sont pas alignés (voir affirmation 1), les droites et ne sont donc pas coplanaires et ne peuvent ainsi être sécantes. Par conséquent, l’affirmation 4 est fausse.

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

partie A

▶ 1. Résoudre une équation

Pour tout nombre réel  :

L’unique solution dans ℝ de l’équation est

▶ 2. Justifier les éléments figurant dans un tableau de variations

On a et donc, par composition, Comme par différence, .

La fonction est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur ℝ. On remarque aussi que cette fonction est strictement positive sur ℝ. Par conséquent, la fonction est dérivable sur ℝ. Finalement, la fonction est dérivable sur ℝ comme différence de fonctions dérivables sur ℝ.

Pour tout nombre réel  :.

On a alors immédiatement les résultats suivants :

 ;

pour tout réel , donc, pour tout réel .

La fonction est strictement positive sur ℝ sauf en 1 où elle s’annule, donc f est strictement croissante sur ℝ.

▶ 3. Justifier un encadrement

La fonction est strictement croissante sur ℝ, donc elle conserve l’ordre. En particulier, pour tout réel , et.

Puisque et que , nous en déduisons que . Ainsi, pour tout réel , .

▶ 4. a) Identifier le rôle d’un algorithme

Dans cet algorithme, l’expression n’est rien d’autre que . Cet algorithme calcule donc les valeurs , pour les valeurs successives de l’entier , cet entier étant initialisé à 0, ceci tant que reste inférieur à l’entier naturel .

Cet algorithme permet donc d’afficher la plus petite valeur de l’entier naturel N telle que .

b) Déterminer l’affichage en sortie d’un algorithme

est continue sur ℝ (car dérivable sur ℝ d’après la question 2. de cette partie) et strictement croissante sur ℝ. Comme 100 appartient à, l’équation admet, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, une unique solution sur ℝ.

À l’aide de la calculatrice, on obtient .

Comme est strictement croissante sur ℝ, la plus petite valeur de l’entier naturel N telle que est .

partie B

▶ 1. Démontrer un encadrement par récurrence

On considère la propriété .

Initialisation : donc et la propriété est initialisée.

Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel  : (hypothèse de récurrence). On démontre alors que est vraie : .

Comme , d’après la question A 3., on a soit . La propriété est donc héréditaire.

La propriété étant initialisée et héréditaire, pour tout entier naturel n, .

▶ 2. Étudier les variations d’une suite

Pour tout entier naturel , .

D’après la question B 1., pour tout entier naturel , .

Par conséquent,

Finalement, pour tout entier naturel , .

La suite est donc décroissante.

▶ 3. Montrer qu’une suite est convergente

D’après la question B 1., la suite est minorée par 0.

D’après la question B 2. , la suite est décroissante.

D’après le théorème de la limite monotone, la suite est convergente.

▶ 4. Déterminer la limite d’une suite

On a d’après l’énoncé. Or, d’après la question A 1., l’unique solution dans ℝ de l’équation est . Par conséquent, .

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

▶ 1. a) Justifier qu’un entier relatif est divisible par 3

Soit un couple d’entiers relatifs. On a où est un entier relatif.

Par définition, 3 divise .

b) Identifier un éventuel point sur une droite

Supposons qu’il y ait sur la droite au moins un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs. Dans ce cas, on a qui équivaut à .

Or, d’après la question précédente, 3 divise . Mais, puisque , cela implique que 3 divise 8 ce qui est absurde.

Par conséquent, il n’existe pas de point de dont les coordonnées soient deux entiers relatifs.

▶ 2. a) Justifier qu’un entier divise un produit

On sait d’après l’énoncé que sont des entiers relatifs non nuls. Soit des entiers relatifs tels que le point soit sur la droite . On a dans ce cas :

Puisque , la relation précédente nous dit que, par définition, divise et donc q divise np.

b) Justifier qu’un entier en divise un autre

D’après la question précédente, divise .

Or, d’après l’énoncé, . D’après le théorème de Gauss, on en déduit que q divise n.

▶ 3. a) Déterminer des entiers relatifs vérifiant une égalité

On sait d’après l’énoncé que sont des entiers relatifs non nuls et que .

D’après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs et tels que . En considérant les entiers relatifs et , on obtient ce qui, puisque , nous donne .

On peut donc trouver des entiers relatifs u et v tels que .

b) Justifier l’existence d’un point à coordonnées entières appartenant à une droite

D’après la question précédente, il existe des entiers relatifs et tels que .

Cette dernière égalité nous donne, sachant que  :

.

En multipliant les deux membres par dans la dernière égalité, on obtient :

soit encore .

Il existe donc un couple d’entiers relatifs avec tels que .

▶ 4. Étudier un cas particulier

L’équation est de la forme avec . On constate alors que divise , que et . D’après la question 3. b), il existe un couple d’entiers relatifs tels que .

Par conséquent, la droite Δ possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

▶ 5. a) Justifier l’arrêt d’un algorithme

Si , alors l’algorithme cherche des coordonnées entières ou qui vérifient l’équation réduite de droite en partant de . est incrémenté de 1 tant qu’une valeur de n’est pas trouvée.

D’après la question 3. b), on sait que de telles coordonnées existent.

Si , alors l’algorithme affiche le message « Pas de solution ».

Dans tous les cas, cet algorithme se termine pour tout entrée de entiers relatifs non nuls tels que .

b) Identifier le rôle d’un algorithme

Cet algorithme permet d’obtenir, si elles existent, des coordonnées entières d’un point sur la droite d’équation .

Exercice 4

Commun à tous les candidats

▶ 1. Exprimer la tangente d’un angle

D’après l’énoncé, le joueur peut taper le ballon depuis n’importe quel point T sur le segment sauf au point Par suite, la distance ne peut pas être nulle. Autrement dit,

En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et exprimées en mètres (EA  et ET ), nous avons, dans le triangle ETA rectangle en E :

En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et exprimées en mètres (EB  EA + AB  et ET  nous avons, dans le triangle ETB rectangle en E : 


Ainsi, et

▶ 2. Étudier le sens de variations d’une fonction

Notons l’intervalle

Comme la fonction cosinus ne s’annule pas sur et que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et donc sur l’intervalle la fonction tangente définie dans l’énoncé est dérivable sur

En notant et et leurs dérivées respectives, nous avons :

Comme pour tout réel de il en est de même pour La dérivée de la fonction tangente étant strictement positive sur l’intervalle la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle I.

▶ 3. Établir une égalité

Les points E, A et B étant alignés dans cet ordre, nous avons : équivalent à En rappelant que sont respectivement les mesures en radians des angles nous en déduisons que En prenant et dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, nous avons :

En utilisant les expressions de et établies à la première question, nous en déduisons que :

Ainsi,

▶ 4. Déterminer des valeurs sous contrainte

Notons une éventuelle position du point T sur le segment à l’exception du point E pour laquelle l’angle serait maximum, autrement dit pour laquelle sa mesure serait maximale. Désignons par la mesure associée à cette position optimale du point T.

Par suite, quelle que soit la mesure de l’angle T appartenant à à l’exception du point E, nous avons naturellement

Comme toutes ces mesures appartiennent à l’intervalle et que la fonction tangente est strictement croissante sur cet intervalle (question 2.), il s’ensuit que :

Notons la longueur En se remémorant que ET et en utilisant le résultat démontré à la question 3., nous avons :

Comme est dans l’intervalle (pour rappel, T décrit le segment [EM] à l’exception du point E) et que la fonction inverse est décroissante sur il en découle que :

Rechercher une mesure maximale de l’angle est ainsi équivalent à rechercher un minimum sur l’intervalle de la fonction f définie par

Étudions les variations de la fonction sur l’intervalle

La fonction affine est dérivable sur ℝ et la fonction inverse est dérivable sur La fonction est alors dérivable sur comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Sa dérivée est donnée par :

Comme et que sur le signe de dépend uniquement du signe de

Mais, et

Il en découle le tableau de signes suivant :

La dérivée étant strictement négative sur et strictement positive sur la fonction est strictement décroissante sur et strictement croissante sur

La fonction admet alors un minimum sur l’intervalle atteint en

Il existe ainsi une unique valeur de dont une valeur approchée au mètre près est 28 pour laquelle l’angle est maximum.

Pour cette valeur de à l’aide de la question précédente, nous avons : et à l’aide d’une calculatrice,

Une mesure de l’angle à 0,01 radian près est 0,10.