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France métropolitaine • Juin 2016
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (6 points) Fabrication d'un composant électronique
Commun à tous les candidats
Partie A
Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.
En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :
A l'événement : « le composant provient de la chaîne A »
B l'événement : « le composant provient de la chaîne B »
S l'événement : « le composant est sans défaut »
▶ 1. Montrer que la probabilité de l'événement S est P(S) = 0,89.
▶ 2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10–2 près.
Partie B
Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion p de composants sans défaut.
Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.
Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.
▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.
▶ 2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?
Partie C
La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif).
On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T.
On rappelle que :
pour tout nombre réel x ≥ 0, f(x) = λe–λx
pour tout nombre réel a ≥ 0, P(T ≤ a) = 
.
▶ 1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.
a) Interpréter graphiquement P(T ≤ a) où a > 0.
b) Montrer que pour tout nombre réel t ≥ 0, P(T ≤ t) = 1 − e–λt.
c) En déduire que 
.
▶ 2. On suppose que P(T ≤ 7) = 0,5 . Déterminer λ à 10–3 près.
▶ 3. Dans cette question, on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.
Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
c) Donner l'espérance mathématique E(T) de la variable aléatoire T à l'unité près. Interpréter ce résultat.
Exercice 2 (4 points) Voyageons dans l'espace
Commun à tous les candidats
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé 
, on donne les points :
A(1 2 3), B(3 0 1), C(– 1 0 1), D(2 1 – 1), E(– 1 – 2 3) et F(– 2 – 3 4).
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
▶ 1. Affirmation 1. Les trois points A, B et C sont alignés.
▶ 2. Affirmation 2. Le vecteur 
est un vecteur normal au plan (ABC).
▶ 3. Affirmation 3. La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC].
▶ 4. Affirmation 4. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
Exercice 3 (5 points) Une fonction et une suite associée
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x – ln(x2 + 1).
▶ 1. Résoudre dans ℝ l'équation f(x) = x.
▶ 2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-après à l'exception de la limite de la fonction f en + ∞ que l'on admet.
▶ 3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 1], f(x) appartient à [0 1].
▶ 4. On considère l'algorithme suivant :
| Variables | N et A des entiers naturels | |
| Entrée | Saisir la valeur de A | |
| Traitement | N prend la valeur 0 Tant que N − ln(N 2 + 1) A | |
| N prend la valeur N + 1 | ||
| Fin tant que | ||
| Sortie | Afficher N | |
a) Que fait cet algorithme ?
b) Déterminer la valeur N fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.
Partie B
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, 
.
▶ 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0 1].
▶ 2. Étudier les variations de la suite (un).
▶ 3. Montrer que la suite (un) est convergente.
▶ 4. On note l sa limite, et on admet que l vérifie l'égalité f (l) = l.
En déduire la valeur de l.
Exercice 3 (5 points) Droite rationnelle
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls (a, b), on note pgcd(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.
Le plan est muni d'un repère 
.
▶ 1. Exemple. Soit Δ1 la droite d'équation 
.
a) Montrer que si (x, y) est un couple d'entiers relatifs alors l'entier 15x – 12y est divisible par 3.
b) Existe-t-il au moins un point de la droite Δ1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
Généralisation. On considère désormais une droite Δ d'équation (E) : 
où m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, n) = pgcd(p, q) = 1.
Ainsi, les coefficients de l'équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.
Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu'une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
▶ 2. On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x0, y0) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.
a) En remarquant que le nombre ny0 – mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.
b) En déduire que q divise n.
▶ 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que 
.
a) On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru – mv = 1.
b) En déduire qu'il existe un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que 
.
▶ 4. Soit Δ la droite d'équation 
. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
▶ 5. On donne l'algorithme suivant :
| Variables | M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q) = 1 X : entier naturel | ||
| Entrées | Saisir les valeurs de M, N, P et Q | ||
| Traitement et sorties | Si Q divise N alors | ||
| X prend la valeur 0 | |||
| Tant que ( | |||
| X prend la valeur X + 1 | |||
| Fin tant que | |||
| Si | |||
| Afficher X | |||
| Sinon | |||
| Afficher – X | |||
| Fin Si | |||
| Sinon | |||
| Afficher « Pas de solution » | |||
| Fin Si | |||
n'est pas entier) et (
n'est pas entier) faire
est entier alors
a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P et Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q) = 1.
b) Que permet-il d'obtenir ?
Exercice 4 (5 points) Transformons l'essai !
Commun à tous les candidats
Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l'extérieur du segment [AB].
La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle 
le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle 
est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu'on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m , EA = 25 m et AB = 5,6 m .
On note α la mesure en radians de l'angle 
, β la mesure en radians de l'angle 
et γ la mesure en radians de l'angle 
.
▶ 1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.
La fonction tangente est définie sur l'intervalle 
par 
.
▶ 2. Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur l'intervalle 
.
▶ 3. L'angle 
admet une mesure γ appartenant à l'intervalle 
, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure.
On admet que, pour tous réels a et b de l'intervalle 
, a > b,
.
Montrer que 
.
▶ 4. L'angle 
est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0 50] de la fonction f définie par : 
.
Montrer qu'il existe une unique valeur de x pour laquelle l'angle 
est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle 
à 0,01 radian près.
Remarque. Sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d'une telle précision.
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Probabilités • Intervalle de confiance • Loi exponentielle.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Arbre pondéré E37 → Partie A, 1.
Probabilités E34 • E35 → Partie A, 1. et 2. Partie C, 3. a)
Intervalle de confiance E44 → Partie B
Loi exponentielle E40a • E40c • E41c • E42 → Partie C
Intégration E11a • E11d • E13 • E14 → Partie C, 1. a) et 1. b)
Fonction exponentielle E8a • E8c • E9a → Partie C, 1. c) et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Remarquez que la probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle.
Partie B
▶ 1. Identifiez la taille de l'échantillon n et la fréquence f du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et f sont vérifiées pour définir l'intervalle de confiance correspondant.
Partie C
▶ 3. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Vecteurs colinéaires E27 → Affirmations 1 et 3
Orthogonalité E32c → Affirmation 2
Produit scalaire E31b • E32 → Affirmation 2
Vecteur normal à un plan E33a → Affirmation 2
Représentation paramétrique d'une droite E30 → Affirmation 4
Équation cartésienne d'un plan E33c → Affirmations 3 et 4
Nos coups de pouce
▶ Affirmation 3. Déterminez les coordonnées du milieu M de 
une représentation paramétrique de la droite 
et une équation cartésienne du plan 
Concluez en résolvant un système d'équations.
▶ Affirmation 4. Déterminez une représentation paramétrique pour chacune des droites 
et 
puis déterminez à l'aide d'un système d'équations si elles sont sécantes ou non.
Exercice 3 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 70 minutes.
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Suites • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Raisonnement par récurrence E1 → Partie B, 1.
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie A, 2.
Fonction logarithme népérien E9a • E9c • E9d → Partie A, 1., 2. et 3. Partie B, 2.
Limites de fonctions E5a • E5b • E9c → Partie A, 2.
Limites de suites E2e → Partie B, 3.
Algorithmique A4 → Partie A, 4. a)
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. N'oubliez pas qu'une fonction strictement croissante sur un intervalle conserve l'ordre.
Partie B
▶ 1. Pensez à un raisonnement par récurrence.
Exercice 3 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 70 minutes.
Les thèmes clés
Arithmétique • Algorithmique.
Nos coups de pouce
▶ 3. a) Pensez au théorème de Bézout.
▶ 5. a) Pensez à exploiter la question 3. b) pour justifier l'arrêt de l'algorithme dans le premier cas envisagé.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 70 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie plane • Dérivation et variations • Fonctions trigonométriques.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Fonctions sinus et cosinus E10a • E10b → 2.
Dérivation E6e • E6f → 2. et 4.
Variations d'une fonction E6c → 2. et 4.
Nos coups de pouce
▶ 1. Identifiez dans chaque triangle rectangle considéré le côté opposé et le côté adjacent à l'angle 
Concluez à l'aide des longueurs fournies dans l'énoncé.
▶ 3. Justifiez que 
Remplacez 
par 
et 
par 
dans l'égalité admise dans l'énoncé de cette question, puis utilisez les résultats établis à la première question. Simplifiez enfin pour conclure.
▶ 4. Étudiez les variations de la fonction 
sur l'intervalle 
Utilisez votre calculatrice pour conclure.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. Calculer la probabilité d'un événement à l'aide d'un arbre
Traduisons la situation décrite dans l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
La chaîne A produit 40 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l'événement A se réalise est alors 
La chaîne B produit donc 60 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l'événement B se réalise est ainsi 
20 % des composants, en sortie de la chaîne A, présentent le défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.
Notez bien
La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
La probabilité que l'événement 
(événement contraire de l'événement 
se réalise sachant que l'événement A est réalisé, est alors 
Similairement, comme 5 % des composants, en sortie de la chaîne B, présentent le défaut, nous avons 
Nous pouvons ainsi représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant :
Par la formule des probabilités totales, il en découle que :
La probabilité de l'événement S est égale à 0,89.
▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité demandée, probabilité conditionnelle, se note 
Comme, d'après la question précédente, 
il s'ensuit, par définition, que :
Sachant que le composant ne présente pas de défaut, la probabilité qu'il provienne de la chaîne A est environ 0,36.
partie B
▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance
400 composants ont été prélevés de manière aléatoire parmi ceux fabriqués dans la chaîne A. La taille de l'échantillon considéré est alors 
Parmi les 400 composants prélevés, la fréquence observée de composants sans défaut est 
Comme 
et 
les conditions sur 
et 
sont vérifiées et l'intervalle de confiance est défini par :
Remarque
Au niveau de confiance 0,95, la proportion de composants sans défaut fabriqués par la chaîne A se situerait entre 87 % et 97 %.
Un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95 est 
▶ 2. Déterminer la taille d'un échantillon sous contrainte
Dans cette question, la taille de l'échantillon 
n'est pas nécessairement égale à 400 contrairement à la fréquence 
qui est encore égale à 
Sous l'hypothèse que les conditions sur 
et 
sont vérifiées, l'intervalle de confiance est défini par :
L'amplitude de cet intervalle de confiance est alors :
La contrainte « un tel intervalle de confiance a une amplitude maximum de 0,02 » se traduit, par suite, par l'inéquation 
Or, par équivalence, nous avons :
La taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 est 10 000.
partie C
▶ 1. a) Interpréter graphiquement une probabilité
Soit 
un réel strictement positif. Par le rappel, nous avons 
où 
est la densité associée à la variable aléatoire 
suivant la loi exponentielle de paramètre 
fonction continue et positive sur l'intervalle 
donc sur l'intervalle 
La probabilité 
est alors l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 
, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = a.
b) Établir une égalité
Notez bien
Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre 
est : 
.
Soit 
un nombre réel positif. Par les rappels, nous avons :
Or, une primitive de la fonction 
sur ℝ, donc sur 
, étant 
nous en déduisons que :
Pour tout nombre réel 
c) Calculer une limite
Quand 
tend vers 
tend vers 
étant un nombre réel strictement positif. Par suite, 
Il en découle par différence et à l'aide de l'égalité établie à la question précédente que 
▶ 2. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle
Notez bien
Pour tout réel x, pour tout réel 
L'énoncé donne 
. Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant 
cette égalité s'écrit de la manière suivante : 
Or, par équivalence, nous avons :
La valeur du paramètre 
arrondie au millième est 0,099.
▶ 3. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
La probabilité demandée se note 
Les événements 
et 
étant contraires, nous avons : 
Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant 
nous en déduisons que 
La probabilité qu'un composant choisi au hasard dans la production de cette usine fonctionne au moins cinq ans est environ 0,61.
b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le composant choisi au hasard ait une durée de vie supérieure à 7 ans sachant que ce composant a déjà fonctionné deux ans. Elle se note 
Comme la variable aléatoire 
suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons :
Or, d'après la question précédente, 
La probabilité qu'un composant, choisi au hasard parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de deux ans, ait une durée de vie supérieure à sept ans, est environ 0,61.
c) Calculer une espérance dans le cadre d'une loi exponentielle
Nous avons 
L'espérance de la variable T est 10 (valeur arrondie à l'unité près). Par suite, si nous considérons un grand nombre de composants électroniques, la durée de vie moyenne d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est de 10 années.
Exercice 2
Commun à tous les candidats
▶ 1. Étudier l'alignement de 3 points
On a 
et 
.
Les coordonnées des vecteurs 
et 
n'étant pas proportionnelles, les vecteurs 
et 
ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
L'affirmation 1 est fausse.
▶ 2. Déterminer si un vecteur est normal à un plan
D'après ce qui précède, les vecteurs 
et 
sont deux vecteurs non colinéaires du plan 
donc 
donc 
Le vecteur 
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan 
Donc 
est normal au plan 
L'affirmation 2 est vraie.
▶ 3. Étudier la position relative d'une droite et d'un plan
Le milieu K du segment 
a pour coordonnées 
:
.
On a aussi 
La droite 
qui passe par le point 
et a pour vecteur directeur 
admet pour représentation paramétrique :
est normal au plan 
(voir affirmation 2) donc une équation cartésienne du plan 
est 
où 
est un réel à déterminer. Or 
donc :
Le plan 
a pour équation cartésienne 
Finalement, la droite 
et le plan 
sont sécants et leur point d'intersection est le milieu K du segment 
.
L'affirmation 3 est vraie.
▶ 4. Étudier la position relative de deux droites
On a 
(voir affirmation 1) et 
.
La droite 
qui passe par le point 
et a pour vecteur directeur 
admet pour représentation paramétrique :
La droite 
qui passe par le point 
et a pour vecteur directeur 
admet pour représentation paramétrique :
Supposons que les droites 
et 
soient sécantes. On résout alors le système d'équations suivant pour trouver les coordonnées du point d'intersection : 
.
Ce système équivaut à 
puis à 
.
Ce résultat est absurde. Par conséquent, les droites 
et 
ne sont pas sécantes et l'affirmation 4 est fausse.
Autre méthode
Le plan 
a pour équation cartésienne 
(voir affirmation 3) et 
donc le point 
n'appartient pas au plan 
.
Comme les points A, B et C ne sont pas alignés (voir affirmation 1), les droites 
et 
ne sont donc pas coplanaires et ne peuvent ainsi être sécantes. Par conséquent, l'affirmation 4 est fausse.
Exercice 3
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
partie A
▶ 1. Résoudre une équation
Pour tout nombre réel 
:
Notez bien
Pour tous nombres réels 
, 
.
L'unique solution dans ℝ de l'équation 
est 
▶ 2. Justifier les éléments figurant dans un tableau de variations
On a 
et 
donc, par composition, 
Comme 
par différence, 
.
La fonction 
est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur ℝ. On remarque aussi que cette fonction est strictement positive sur ℝ. Par conséquent, la fonction 
est dérivable sur ℝ. Finalement, la fonction 
est dérivable sur ℝ comme différence de fonctions dérivables sur ℝ.
Notez bien
Si 
est une fonction dérivable sur un intervalle I et si 
est strictement positive sur I alors la fonction 
est dérivable sur I et 
.
Pour tous réels 
, 
.
Pour tout nombre réel 
:
.
On a alors immédiatement les résultats suivants :
pour tout réel 
, 
donc, pour tout réel 
.
La fonction 
est strictement positive sur ℝ sauf en 1 où elle s'annule, donc f est strictement croissante sur ℝ.
▶ 3. Justifier un encadrement
La fonction 
est strictement croissante sur ℝ, donc elle conserve l'ordre. En particulier, pour tout réel 
, 
et
.
Puisque 
et que 
, nous en déduisons que 
. Ainsi, pour tout réel 
, 
.
▶ 4. a) Identifier le rôle d'un algorithme
Dans cet algorithme, l'expression 
n'est rien d'autre que 
. Cet algorithme calcule donc les valeurs 
, pour les valeurs successives de l'entier 
, cet entier étant initialisé à 0, ceci tant que 
reste inférieur à l'entier naturel 
.
Cet algorithme permet donc d'afficher la plus petite valeur de l'entier naturel N telle que 
.
b) Déterminer l'affichage en sortie d'un algorithme
est continue sur ℝ (car dérivable sur ℝ d'après la question 2. de cette partie) et strictement croissante sur ℝ. Comme 100 appartient à
, l'équation
admet, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, une unique solution 
sur ℝ.
À l'aide de la calculatrice, on obtient 
.
Comme 
est strictement croissante sur ℝ, la plus petite valeur de l'entier naturel N telle que 
est 
.
partie B
▶ 1. Démontrer un encadrement par récurrence
On considère la propriété 
.
Initialisation : 
donc 
et la propriété est initialisée.
Hérédité : on suppose que la propriété 
est vraie pour un entier naturel 
: 
(hypothèse de récurrence). On démontre alors que 
est vraie : 
.
Comme 
, d'après la question A 3., on a 
soit 
. La propriété est donc héréditaire.
La propriété étant initialisée et héréditaire, pour tout entier naturel n, 
.
▶ 2. Étudier les variations d'une suite
Pour tout entier naturel 
, 
.
D'après la question B 1., pour tout entier naturel 
, 
.
Notez bien
et, pour tout réel 
, 
.
Par conséquent, 
Finalement, pour tout entier naturel 
, 
.
La suite 
est donc décroissante.
▶ 3. Montrer qu'une suite est convergente
D'après la question B 1., la suite 
est minorée par 0.
D'après la question B 2. , la suite 
est décroissante.
D'après le théorème de la limite monotone, la suite 
est convergente.
▶ 4. Déterminer la limite d'une suite
On a 
d'après l'énoncé. Or, d'après la question A 1., l'unique solution dans ℝ de l'équation 
est 
. Par conséquent, 
.
Exercice 3
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Notez bien
Si 
et 
sont deux entiers relatifs, 
divise 
s'il existe un entier relatif 
tel que 
.
▶ 1. a) Justifier qu'un entier relatif est divisible par 3
Soit 
un couple d'entiers relatifs. On a 
où 
est un entier relatif.
Par définition, 3 divise 
.
b) Identifier un éventuel point sur une droite
Supposons qu'il y ait sur la droite 
au moins un point 
dont les coordonnées 
sont des entiers relatifs. Dans ce cas, on a 
qui équivaut à 
.
Or, d'après la question précédente, 3 divise 
. Mais, puisque 
, cela implique que 3 divise 8 ce qui est absurde.
Par conséquent, il n'existe pas de point de 
dont les coordonnées soient deux entiers relatifs.
▶ 2. a) Justifier qu'un entier divise un produit
On sait d'après l'énoncé que 
sont des entiers relatifs non nuls. Soit 
des entiers relatifs tels que le point 
soit sur la droite 
. On a dans ce cas :
Notez bien
ℤ est l'ensemble des entiers relatifs.
Puisque 
, la relation précédente nous dit que, par définition, 
divise 
et donc q divise np.
b) Justifier qu'un entier en divise un autre
Notez bien
Théorème de Gauss : soit 
des entiers relatifs, si 
divise 
et si 
est premier avec 
, alors 
divise 
.
D'après la question précédente, 
divise 
.
Or, d'après l'énoncé, 
. D'après le théorème de Gauss, on en déduit que q divise n.
▶ 3. a) Déterminer des entiers relatifs vérifiant une égalité
On sait d'après l'énoncé que 
sont des entiers relatifs non nuls et que 
.
D'après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs 
et 
tels que 
. En considérant les entiers relatifs 
et 
, on obtient 
ce qui, puisque 
, nous donne 
.
On peut donc trouver des entiers relatifs u et v tels que 
.
b) Justifier l'existence d'un point à coordonnées entières appartenant à une droite
D'après la question précédente, il existe des entiers relatifs 
et 
tels que 
.
Cette dernière égalité nous donne, sachant que 
:
.
En multipliant les deux membres par 
dans la dernière égalité, on obtient :
soit encore 
.
Il existe donc un couple d'entiers relatifs 
avec 
tels que 
.
▶ 4. Étudier un cas particulier
L'équation 
est de la forme 
avec 
. On constate alors que 
divise 
, que 
et 
. D'après la question 3. b), il existe un couple d'entiers relatifs 
tels que 
.
Par conséquent, la droite Δ possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
▶ 5. a) Justifier l'arrêt d'un algorithme
Si 
, alors l'algorithme cherche des coordonnées entières 
ou 
qui vérifient l'équation réduite de droite 
en partant de 
. 
est incrémenté de 1 tant qu'une valeur de 
n'est pas trouvée.
D'après la question 3. b), on sait que de telles coordonnées existent.
Si 
, alors l'algorithme affiche le message « Pas de solution ».
Dans tous les cas, cet algorithme se termine pour tout entrée de 
entiers relatifs non nuls tels que 
.
b) Identifier le rôle d'un algorithme
Cet algorithme permet d'obtenir, si elles existent, des coordonnées entières 
d'un point sur la droite d'équation 
.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
▶ 1. Exprimer la tangente d'un angle
Notez bien
Dans un triangle ABC rectangle en B, 
D'après l'énoncé, le joueur peut taper le ballon depuis n'importe quel point T sur le segment 
sauf au point 
Par suite, la distance 
ne peut pas être nulle. Autrement dit, 
En utilisant les longueurs données dans l'énoncé et exprimées en mètres (EA 
et ET 
), nous avons, dans le triangle ETA rectangle en E : 
En utilisant les longueurs données dans l'énoncé et exprimées en mètres (EB 
EA + AB 
et ET 
nous avons, dans le triangle ETB rectangle en E :
Ainsi, 
et 
▶ 2. Étudier le sens de variations d'une fonction
Notons 
l'intervalle 
Comme la fonction cosinus ne s'annule pas sur 
et que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et donc sur l'intervalle 
la fonction tangente définie dans l'énoncé est dérivable sur 
Notez bien
Pour toutes fonctions 
et 
dérivables sur 
ne s'annulant pas sur 
le quotient 
est dérivable sur 
et 
En notant 
et 
et 
leurs dérivées respectives, nous avons :
Notez bien
Pour tout réel 
Comme pour tout réel 
de 
il en est de même pour 
La dérivée de la fonction tangente étant strictement positive sur l'intervalle 
la fonction tangente est strictement croissante sur l'intervalle I.
▶ 3. Établir une égalité
Les points E, A et B étant alignés dans cet ordre, nous avons : 
équivalent à 
En rappelant que 
sont respectivement les mesures en radians des angles 
nous en déduisons que 
En prenant 
et 
dans l'égalité admise dans l'énoncé de cette question, nous avons :
En utilisant les expressions de 
et 
établies à la première question, nous en déduisons que :
Ainsi, 
▶ 4. Déterminer des valeurs sous contrainte
Notons 
une éventuelle position du point T sur le segment 
à l'exception du point E pour laquelle l'angle 
serait maximum, autrement dit pour laquelle sa mesure 
serait maximale. Désignons par 
la mesure associée à cette position optimale du point T.
Par suite, quelle que soit la mesure 
de l'angle 
T appartenant à 
à l'exception du point E, nous avons naturellement 
Comme toutes ces mesures appartiennent à l'intervalle 
et que la fonction tangente est strictement croissante sur cet intervalle (question 2.), il s'ensuit que :
Notons 
la longueur 
En se remémorant que ET
et en utilisant le résultat démontré à la question 3., nous avons : 
Comme 
est dans l'intervalle 
(pour rappel, T décrit le segment [EM] à l'exception du point E) et que la fonction inverse est décroissante sur 
il en découle que :
Rechercher une mesure maximale 
de l'angle 
est ainsi équivalent à rechercher un minimum sur l'intervalle 
de la fonction f définie par 
Étudions les variations de la fonction 
sur l'intervalle 
La fonction affine 
est dérivable sur ℝ et la fonction inverse 
est dérivable sur 
La fonction 
est alors dérivable sur 
comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Sa dérivée est donnée par :
Notez bien
Pour tous réels 
et 
Comme 
et que sur 
le signe de 
dépend uniquement du signe de 
Mais, 
et 
Il en découle le tableau de signes suivant :
La dérivée 
étant strictement négative sur 
et strictement positive sur 
la fonction 
est strictement décroissante sur 
et strictement croissante sur 
La fonction 
admet alors un minimum sur l'intervalle 
atteint en 
Il existe ainsi une unique valeur de 
dont une valeur approchée au mètre près est 28 pour laquelle l'angle 
est maximum.
Gagnez des points !
N'oubliez pas de sélectionner le mode Radian dans votre calculatrice.
Pour cette valeur de 
à l'aide de la question précédente, nous avons :
et à l'aide d'une calculatrice, 
Une mesure de l'angle 
à 0,01 radian près est 0,10.