1
France métropolitaine • Juin 2016
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (4 points) QCM sur les probabilités et les fonctions (4 questions)
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
▶ 1. Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.
Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013 est :
a) 
b) 
c) 
d) 
▶ 2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [4 11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :
a) 
b) 
c) 
d) 
▶ 3. On considère la fonction 
définie sur ℝ par 
. La fonction 
est dérivable sur ℝ et sa fonction dérivée 
est donnée par :
a)
b)
c)
d)
▶ 4. On considère une fonction 
définie et dérivable sur ℝ telle que sa fonction dérivée 
soit aussi dérivable sur ℝ.
La courbe ci-contre représente la fonction 
.
On peut alors affirmer que :
a) 
est convexe sur 
.
b) 
est concave sur 
.
c) La courbe représentative de 
sur 
admet un point d'inflexion.
d) 
est croissante sur 
.
Exercice 2 (5 points) Évolution du parc automobile d'un loueur de voitures
Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L
Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d'un total de 10 000 voitures pour l'Europe.
Afin d'entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25 % de son parc et d'acheter 3 000 voitures neuves.
On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite.
Pour tout entier naturel 
, on note 
le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l'année 
.
On a donc 
.
▶ 1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel 
:
. (0,5 point)
▶ 2. Pour tout entier naturel 
, on considère la suite 
définie par :
.
a) Montrer que la suite 
est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser le premier terme. (1 point)
b) Exprimer 
en fonction de 
. (0,5 point)
Déterminer la limite de la suite 
. (0,5 point)
c) Justifier que, pour tout entier naturel 
, 
. (0,5 point)
d) En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années ? (0,5 point)
▶ 3. On admet dans cette question que la suite 
est croissante.
On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.
a) Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé. (0,5 point)
| Initialisation | U prend la valeur 10 000 N prend la valeur 0 | |
| Traitement | Tant que …………. | |
| N prend la valeur …………. U prend la valeur …………. | ||
| Fin Tant que | ||
| Sortie | Afficher …………. | |
b) À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée. (0,5 point)
c) Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation :
(0,5 point)
Exercice 2 (5 points) Évolution de la probabilité de courir un jour donné
Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.
On admet que :
si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,2
s'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,4.
On note C l'état « Hugo court » et R l'état « Hugo ne court pas ».
Pour tout entier naturel 
, on note :
la probabilité de l'événement « Hugo court le 
-ième jour »
la probabilité de l'événement « Hugo ne court pas le 
-ième jour »
la matrice 
correspondant à l'état probabiliste le 
-ième jour.
Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.
On a donc 
.
▶ 1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R. (0,5 point)
▶ 2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets. (0,5 point)
▶ 3. On donne 
.
Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité 
qu'Hugo coure le 7e jour ? (0,5 point)
Déterminer une valeur approchée à 
près de 
. (0,25 point)
▶ 4. a) Exprimer 
en fonction de 
. (0,25 point)
b) Montrer que, pour tout entier naturel 
:
. (0,5 point)
▶ 5. Pour tout entier naturel 
, on considère la suite 
définie par :
.
a) Montrer que la suite 
est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme. (0,5 point)
b) Exprimer 
en fonction de 
. (0,25 point)
Déterminer la limite de la suite 
. (0,25 point)
c) Justifier que, pour tout entier naturel 
:
. (0,5 point)
d) Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 ? (0,5 point)
e) Conjecturer alors l'état stable de ce graphe. (0,25 point)
Comment valider votre conjecture ? (0,25 point)
Exercice 3 (5 points) Catégories de chansons en mémoire et durée d'écoute
Commun à tous les candidats
Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae… dont certaines sont interprétées en français.
Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.
Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire.
Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.
On note :
R l'événement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock »
F l'événement : « la chanson écoutée est interprétée en français ».
Les parties A et B sont indépendantes.
partie A
▶ 1. Calculer P(R), la probabilité de l'événement R. (0,75 point)
▶ 2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français traduire cette donnée en utilisant les événements R et F. (0,5 point)
▶ 3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français. (0,75 point)
▶ 4. Parmi toutes les chansons enregistrées, 38,5 % sont interprétées en français.
Montrer que 
. (0,75 point)
▶ 5. En déduire 
et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat. (0,75 point)
partie B
Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.
Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l'aide de son téléphone portable.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante on admet que X suit la loi normale d'espérance 
et d'écart-type 
.
Le propriétaire écoute de la musique.
▶ 1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ? (0,5 point)
▶ 2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d'une heure ? (1 point)
Exercice 4 (6 points) Étude graphique et analytique d'une fonction comportant un logarithme
Commun à tous les candidats
La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction 
définie et dérivable sur 
. Les points A (1 3) et B d'abscisse 1,5 sont sur la courbe C.
Les tangentes à la courbe C aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.
On note 
la fonction dérivée de 
.
Les parties A et B sont indépendantes.
partie A étude graphique
▶ 1. Déterminer 
. (0,25 point)
▶ 2. La tangente à la courbe C au point A passe par le point de coordonnées (0 2).
Déterminer une équation de cette tangente. (0,5 point)
▶ 3. Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
. (0,5 point)
▶ 4. Déterminer la convexité de la fonction 
sur 
. Argumenter la réponse. (0,75 point)
partie B étude analytique
On admet que la fonction 
est définie sur 
par :
▶ 1. Pour tout réel 
de 
, calculer 
et montrer que :
. (0,5 point)
▶ 2. Étudier le signe de 
sur 
, puis dresser le tableau de variations de 
sur 
. (0,75 point)
▶ 3. Montrer que l'équation
admet exactement une solution 
sur 
.
Donner une valeur approchée de 
à 
près. (1 point)
▶ 4. En déduire le tableau de signes de 
sur 
. (0,5 point)
▶ 5. On considère la fonction 
définie sur 
par :
.
a) Montrer que 
est une primitive de 
sur 
. (0,5 point)
b) En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. (0,75 point)
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Intervalle de confiance • Loi à densité, loi normale • Dérivée • Fonction exponentielle • Convexité • Point d'inflexion.
Les conseils du correcteur
▶ 1. N'oubliez pas que le centre d'un intervalle de confiance est la fréquence 
observée dans l'échantillon interrogé.
▶ 2. Déterminez et utilisez l'intervalle I tel que « le nombre choisi est inférieur à 10 » soit équivalent à « le nombre choisi appartient à I ».
▶ 3. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.
▶ 4. Attention, la courbe donnée représente la fonction 
. Déduisez du graphique le signe de 
.
Exercice 2 (Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
▶ 2. a) Si 
, alors 
.
d) Le nombre de voitures possédées par le loueur au bout d'un grand nombre d'années est proche de la limite de la suite 
.
▶ 3. b) Programmez l'algorithme ou construisez un tableau donnant une valeur approchée des termes de la suite 
.
c) Utilisez la fonction logarithme népérien.
Exercice 2 (Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Suite géométrique • Graphe probabiliste • Matrice.
Les conseils du correcteur
▶ 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d'un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.
La matrice de transition d'un graphe probabiliste à deux sommets est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d'une même ligne est égale à 1.
▶ 4. b) N'oubliez pas que, pour tout entier naturel 
, 
.
▶ 5. a) Si 
, alors 
.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 3. La probabilité cherchée est la probabilité de l'intersection de deux événements.
▶ 5. b) N'oubliez pas qu'une probabilité conditionnelle correspond à une restriction de l'univers.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 55 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Variations d'une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calculs d'aire.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 2. L'ordonnée à l'origine d'une droite est l'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
▶ 4. Observez la position relative de la courbe représentative de 
et de ses tangentes.
Partie B
▶ 3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
▶ 4. Ne confondez pas signe et sens de variation.
▶ 5. a) Calculez la dérivée de 
.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats
▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance
Notez bien
• La réponse c) pouvait être écartée d'emblée car l'intervalle [0,754 0,813] ne contient pas 
.
• On pouvait aussi utiliser le fait qu'un échantillon de taille 
permet d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 d'amplitude 
.
Si 
est la fréquence de stagiaires satisfaits dans un échantillon de taille 
, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion 
de stagiaires satisfaits dans l'ensemble de la population est :
.
Ici 
et 
.
(par défaut)
(par excès).
La bonne réponse est b).
▶ 2. Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme
Info
La probabilité qu'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle I prenne une valeur appartenant à un intervalle donné (contenu dans I) est uniquement proportionnelle à l'amplitude de cet intervalle.
La variable aléatoire 
représentant un nombre choisi au hasard dans l'intervalle [4 11] suit la loi uniforme sur [4 11].
Le nombre choisi est inférieur (ou inférieur ou égal) à 10 si et seulement si il appartient à l'intervalle [4 10].
La bonne réponse est d).
▶ 3. Calculer la dérivée d'une fonction
D'après la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions, pour tout réel 
:
La bonne réponse est d).
▶ 4. Étudier graphiquement la convexité d'une fonction et l'existence d'un point d'inflexion de sa courbe représentative
D'après le graphique, 
s'annule et change de signe en 
. La courbe représentative de 
présente donc un point d'inflexion d'abscisse 1.
n'est ni convexe sur 
, ni concave sur 
car sa dérivée seconde n'a pas un signe constant sur cet intervalle. De même, 
n'est pas croissante sur 
car 
n'est pas positive sur tout l'intervalle 
.
La bonne réponse est c).
Exercice 2
Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L
▶ 1. Justifier une relation entre deux termes consécutifs d'une suite
Pour tout entier naturel 
:
▶ 2. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
.
La suite 
est donc une suite géométrique de raison 0,75.
.
Le premier terme de la suite 
est 
.
b) Donner l'expression du terme général et la limite d'une suite géométrique
D'après le cours, pour tout entier naturel 
:
est une suite géométrique de raison 0,75 et 
, donc :
c) Donner l'expression du terme général d'une suite associée à une suite géométrique
, donc 
, donc :
d) Donner une interprétation de la limite d'une suite
D'après les questions précédentes :
On peut conjecturer qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre de voitures du loueur sera voisin de 12 000 voitures.
▶ 3. a) Compléter un algorithme
Notez bien
La suite 
a pour limite 12 000, donc pour 
suffisamment grand, 
est supérieur ou égal à 11 950.
Notez bien
La dernière instruction de l'algorithme peut aussi être Afficher N. Dans ce cas, pour obtenir l'année cherchée, il faut ajouter 2015.
Pour que l'algorithme donné permette de déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures, on peut le compléter de la manière suivante :
| Initialisation | U prend la valeur 10 000 N prend la valeur 0 | |
| Traitement | Tant que U 11 950 | |
| N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 0,75 U + 300 | ||
| Fin Tant que | ||
| Sortie | Afficher 2015 + N | |
b) Déterminer à l'aide de la calculatrice le rang d'un terme d'une suite vérifiant une condition donnée
On peut programmer l'algorithme précédent ou bien dresser un tableau donnant une valeur approchée des premiers termes de la suite 
.
et 
, donc :
et 
.
Le parc automobile comptera pour la première fois au moins 11 950 voitures 13 ans après 2015, c'est-à-dire en 2028.
c) Résoudre une inéquation dans l'ensemble des entiers naturels
On cherche 
tel que 
, donc :
On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur 
l'ordre est conservé, on obtient :
.
car 
, donc l'inéquation équivaut à :
.
Or 
, donc, puisque 
est un entier naturel, l'inéquation équivaut à 
.
Au bout de 13 ans, c'est-à-dire le 1er mars 2028, le parc automobile du loueur comptera au moins 11 950 voitures.
Exercice 2
Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
▶ 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste
La situation peut être représentée par le graphe ci-dessous :
Notez bien
Les coefficients de la première ligne de la matrice 
sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet C du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de R.
▶ 2. Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste
La matrice de transition associée au graphe ci-dessus est la matrice :
▶ 3. Utiliser un calcul matriciel pour déterminer une probabilité
et 
.
Le calcul matriciel permettant de déterminer la probabilité 
est :
.
Notez bien
car 
.
À 
près :
▶ 4. a) Donner une relation entre les états probabilistes correspondant à deux jours successifs
Pour tout entier naturel 
:
b) Justifier une relation entre deux termes consécutifs d'une suite
D'après la question précédente, pour tout entier naturel 
:
, donc :
.
Info
On a également 
.
Or 
donc 
, donc :
▶ 5. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
.
Donc pour tout entier naturel 
:
La suite 
est géométrique de raison 0,2 son premier terme est :
b) Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique et déterminer sa limite
Puisque 
est la suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme 0,25, pour tout entier naturel 
:
Or 
, donc :
c) Donner l'expression du terme général d'une suite
Pour tout entier naturel, 
, donc :
d) Émettre une conjecture sur une probabilité
Le 29 décembre 2014 est le 363e jour la probabilité qu'Hugo coure ce jour-là est 
.
On peut conjecturer que 
est approximativement égal à la limite de la suite 
.
Or d'après ce qui précède, 
.
On peut conjecturer que la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 est environ 0,75.
e) Conjecturer l'état stable d'un graphe probabiliste
D'après ce qui précède, on peut conjecturer que l'état stable du graphe est représenté par la matrice ligne 
telle que :
.
La somme des deux coefficients de la matrice 
est égale à 1, donc pour valider la conjecture, il suffit de vérifier que :
Exercice 3
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. Calculer la probabilité d'un événement
Puisqu'en mode « lecture aléatoire », les chansons sont choisies de façon équiprobable, et qu'il y a 960 chansons classées dans la catégorie rock sur un total de 3 200 chansons :
▶ 2. Traduire une donnée par une probabilité
Le pourcentage de chansons interprétées en français parmi celles classées dans la catégorie rock donne la probabilité qu'une chanson choisie au hasard soit interprétée en français sachant qu'elle est classée dans la catégorie rock. Donc :
▶ 3. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
La probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français est la probabilité que les événements R et F soient simultanément réalisés, c'est-à-dire la probabilité de leur intersection.
▶ 4. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
D'après l'énoncé, 38,5 % des chansons enregistrées sont interprétées en français, donc :
.
Info
On peut dire que 28 % des chansons enregistrées sont interprétées en français et ne sont pas classées dans la catégorie rock.
Les événements R et 
forment une partition de l'univers, donc :
▶ 5. Calculer et interpréter une probabilité conditionnelle
étant non nulle :
.
Attention !
Il ne faut pas confondre ce résultat avec celui de la question précédente. Il s'agit ici d'une probabilité conditionnelle, on ne considère que les chansons qui ne sont pas classées dans la catégorie rock.
Or 
, donc :
Donc 40 % des chansons qui ne sont pas classées dans la catégorie rock sont interprétées en français.
partie B
▶ 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
La probabilité que la durée de l'écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes est :
D'après la calculatrice, en arrondissant au millième :
▶ 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
La probabilité que l'écoute dure plus d'une heure est 
.
Puisque la variable aléatoire X suit une loi normale d'espérance 30 :
Arrondie au millième, la probabilité que l'écoute dure plus d'une heure est égale à 0,001.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
partie A étude graphique
▶ 1. Lire graphiquement un nombre dérivé
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point B d'abscisse 1,5. Or, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est égal à 0.
▶ 2. Déterminer graphiquement une équation d'une droite
Soit (T) la tangente en A à la courbe C. Puisque (T) passe par le point de coordonnées 
, elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2, donc son ordonnée à l'origine est égale à 2.
Notez bien
Si 
et 
sont deux points tels que 
, alors la droite (MN) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et son coefficient directeur est :
.
La droite (T) passe par le point A et par le point de coordonnées (0 2), donc son coefficient directeur est 
.
La tangente en A à la courbe C a pour équation :
▶ 3. Donner par lecture graphique un encadrement d'une aire
L'unité d'aire étant donnée par le quadrillage, l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
est telle que :
▶ 4. Étudier par lecture graphique la convexité d'une fonction
Sur l'intervalle 
, la courbe C est située en dessous de chacune de ses tangentes. Donc la fonction 
est concave sur 
partie B étude analytique
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout réel 
de 
:
▶ 2. Étudier le signe de la dérivée et les variations d'une fonction
Pour tout 
dans 
, 
, donc 
est du signe de 
, donc :
si 
, alors 
, donc 
si 
, alors 
, donc 
.
Donc 
est strictement croissante sur 
, strictement décroissante sur 
. On peut dresser son tableau de variation :
À 
près :
▶ 3. Montrer qu'une équation admet une unique solution
La fonction 
est strictement croissante sur 
, donc pour tout 
dans cet intervalle :
Donc 
. L'équation
n'a donc pas de solution sur l'intervalle 
.
Sur l'intervalle 
, 
est continue et strictement décroissante.
D'autre part, 
, donc 
.
, donc 
.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
a une unique solution 
sur 
.
D'après la calculatrice :
et 
,
donc 
, donc 
.
Sur l'intervalle 
, l'équation
a une seule solution 
, dont une valeur approchée à 
près est 4,88.
Notez bien
est l'abscisse du point d'intersection de la courbe C et de l'axe des abscisses.
▶ 4. Dresser le tableau de signes d'une fonction
Des questions précédentes, on peut déduire que 
pour tout 
dans 
et 
pour tout 
dans 
. Le tableau de signes de 
sur 
est :
|
| 0,5 |
| 6 | ||
| Signe de | + | 0 |
|
▶ 5. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
Pour tout 
dans l'intervalle 
:
.
Donc 
est une primitive de 
sur l'intervalle 
.
b) Calculer une aire
Conseil
N'oubliez pas de vérifier que ce résultat, ainsi que tous les résultats de la partie B, est cohérent avec la courbe donnée et les réponses aux questions de la partie A.
La fonction 
est continue et positive sur l'intervalle 
, donc l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
est :
