Sujet complet de France métropolitaine 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

 

1

France métropolitaine • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
 QCM sur les probabilités et les fonctions (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.

Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013 est :

a) 5613074-Eqn1

b) 5613074-Eqn2

c) 5613074-Eqn3

d) 5613074-Eqn4

2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [4 ; 11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :

a) 5613074-Eqn5

b) 5613074-Eqn6

c) 5613074-Eqn7

d) 5613074-Eqn8

3. On considère la fonction 5613074-Eqn9 définie sur ℝ par 5613074-Eqn11. La fonction 5613074-Eqn12 est dérivable sur ℝ et sa fonction dérivée 5613074-Eqn14 est donnée par :

a)5613074-Eqn15

b)5613074-Eqn16

c)5613074-Eqn17

d)5613074-Eqn18

matT_1606_07_01C_01

4. On considère une fonction 5613074-Eqn19 définie et dérivable sur ℝ telle que sa fonction dérivée 5613074-Eqn21 soit aussi dérivable sur ℝ.

La courbe ci-contre représente la fonction 5613074-Eqn23.

On peut alors affirmer que :

a) 5613074-Eqn24 est convexe sur 5613074-Eqn25.

b) 5613074-Eqn26 est concave sur 5613074-Eqn27.

c) La courbe représentative de 5613074-Eqn28 sur 5613074-Eqn29 admet un point d’inflexion.

d) 5613074-Eqn30 est croissante sur 5613074-Eqn31.

Exercice 2 (5 points)
 Évolution du parc automobile d’un loueur de voitures

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d’un total de 10 000 voitures pour l’Europe.

Afin d’entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25 % de son parc et d’acheter 3 000 voitures neuves.

On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite.

Pour tout entier naturel 5613074-Eqn32, on note 5613074-Eqn33 le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l’année 5613074-Eqn34.

On a donc 5613074-Eqn35.

1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel 5613074-Eqn36 :

5613074-Eqn37. (0,5 point)

2. Pour tout entier naturel 5613074-Eqn38, on considère la suite 5613074-Eqn39 définie par :

5613074-Eqn40.

a) Montrer que la suite 5613074-Eqn41 est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser le premier terme. (1 point)

b) Exprimer 5613074-Eqn42 en fonction de 5613074-Eqn43. (0,5 point)

Déterminer la limite de la suite 5613074-Eqn44. (0,5 point)

c) Justifier que, pour tout entier naturel 5613074-Eqn45, 5613074-Eqn46. (0,5 point)

d) En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d’un grand nombre d’années ? (0,5 point)

3. On admet dans cette question que la suite 5613074-Eqn47 est croissante.

On aimerait déterminer l’année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.

a) Recopier l’algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu’il permette de répondre au problème posé. (0,5 point)

Initialisation

U prend la valeur 10 000

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que ………….

   

N prend la valeur ………….

U prend la valeur ………….

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher ………….

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année recherchée. (0,5 point)

c) Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation :

5613074-Eqn48 (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)
 Évolution de la probabilité de courir un jour donné

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.

On admet que :

si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;

s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,4.

On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».

Pour tout entier naturel 5613074-Eqn49, on note :

5613074-Eqn50 la probabilité de l’événement « Hugo court le 5613074-Eqn51-ième jour » ;

5613074-Eqn52 la probabilité de l’événement « Hugo ne court pas le 5613074-Eqn53-ième jour » ;

5613074-Eqn54 la matrice 5613074-Eqn55 correspondant à l’état probabiliste le 5613074-Eqn56-ième jour.

Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

On a donc 5613074-Eqn57.

1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R. (0,5 point)

2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets. (0,5 point)

3. On donne 5613074-Eqn58.

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité 5613074-Eqn59 qu’Hugo coure le 7e jour ? (0,5 point)

Déterminer une valeur approchée à 5613074-Eqn60 près de 5613074-Eqn61. (0,25 point)

4. a) Exprimer 5613074-Eqn62 en fonction de 5613074-Eqn63. (0,25 point)

b) Montrer que, pour tout entier naturel 5613074-Eqn64 :

5613074-Eqn65. (0,5 point)

5. Pour tout entier naturel 5613074-Eqn66, on considère la suite 5613074-Eqn67 définie par :

5613074-Eqn68.

a) Montrer que la suite 5613074-Eqn69 est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme. (0,5 point)

b) Exprimer 5613074-Eqn70 en fonction de 5613074-Eqn71. (0,25 point)

Déterminer la limite de la suite 5613074-Eqn72. (0,25 point)

c) Justifier que, pour tout entier naturel 5613074-Eqn73 :

5613074-Eqn74. (0,5 point)

d) Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 ? (0,5 point)

e) Conjecturer alors l’état stable de ce graphe. (0,25 point)

Comment valider votre conjecture ? (0,25 point)

Exercice 3 (5 points)
 Catégories de chansons en mémoire et durée d’écoute

Commun à tous les candidats

Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae… dont certaines sont interprétées en français.

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.

Une des fonctionnalités du téléphone permet d’écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l’ensemble du répertoire.

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.

On note :

R l’événement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock » ;

F l’événement : « la chanson écoutée est interprétée en français ».

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

1. Calculer P(R), la probabilité de l’événement R. (0,75 point)

2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les événements R et F. (0,5 point)

3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français. (0,75 point)

4. Parmi toutes les chansons enregistrées, 38,5 % sont interprétées en français.

Montrer que 5613074-Eqn75. (0,75 point)

5. En déduire 5613074-Eqn76 et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat. (0,75 point)

partie B

Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.

Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l’aide de son téléphone portable.

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante ; on admet que X suit la loi normale d’espérance 5613074-Eqn77 et d’écart-type 5613074-Eqn78.

Le propriétaire écoute de la musique.

1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ? (0,5 point)

2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d’une heure ? (1 point)

Exercice 4 (6 points)
 Étude graphique et analytique d’une fonction comportant un logarithme

Commun à tous les candidats

La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction 5613074-Eqn79 définie et dérivable sur 5613074-Eqn80. Les points A (1 ; 3) et B d’abscisse 1,5 sont sur la courbe C.

Les tangentes à la courbe C aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.

On note 5613074-Eqn81 la fonction dérivée de 5613074-Eqn82.

matT_1606_07_01C_02

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A étude graphique

1. Déterminer 5613074-Eqn83. (0,25 point)

2. La tangente à la courbe C au point A passe par le point de coordonnées (0 ; 2).

Déterminer une équation de cette tangente. (0,5 point)

3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation 5613074-Eqn84 et 5613074-Eqn85. (0,5 point)

4. Déterminer la convexité de la fonction 5613074-Eqn86 sur 5613074-Eqn87. Argumenter la réponse. (0,75 point)

partie B étude analytique

On admet que la fonction 5613074-Eqn88 est définie sur 5613074-Eqn89 par :

5613074-Eqn90

1. Pour tout réel 5613074-Eqn91 de 5613074-Eqn92, calculer 5613074-Eqn93 et montrer que :

5613074-Eqn95. (0,5 point)

2. Étudier le signe de 5613074-Eqn96 sur 5613074-Eqn97, puis dresser le tableau de variations de 5613074-Eqn98 sur 5613074-Eqn99. (0,75 point)

3. Montrer que l’équation5613074-Eqn100 admet exactement une solution 5613074-Eqn101 sur 5613074-Eqn102.

Donner une valeur approchée de 5613074-Eqn103 à 5613074-Eqn104 près. (1 point)

4. En déduire le tableau de signes de 5613074-Eqn105 sur 5613074-Eqn106. (0,5 point)

5. On considère la fonction 5613074-Eqn107 définie sur 5613074-Eqn108 par :

5613074-Eqn109.

a) Montrer que 5613074-Eqn110 est une primitive de 5613074-Eqn111 sur 5613074-Eqn112. (0,5 point)

b) En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation 5613074-Eqn113 et 5613074-Eqn114. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Intervalle de confiance • Loi à densité, loi normale • Dérivée • Fonction exponentielle • Convexité • Point d’inflexion.

Les conseils du correcteur

1. N’oubliez pas que le centre d’un intervalle de confiance est la fréquence 5613074-Eqn115 observée dans l’échantillon interrogé.

2. Déterminez et utilisez l’intervalle I tel que « le nombre choisi est inférieur à 10 » soit équivalent à « le nombre choisi appartient à I ».

3. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

4. Attention, la courbe donnée représente la fonction 5613074-Eqn116. Déduisez du graphique le signe de 5613074-Eqn117.

Exercice 2 (Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. a) Si 5613074-Eqn118, alors 5613074-Eqn119.

d) Le nombre de voitures possédées par le loueur au bout d’un grand nombre d’années est proche de la limite de la suite 5613074-Eqn120.

3. b) Programmez l’algorithme ou construisez un tableau donnant une valeur approchée des termes de la suite 5613074-Eqn121.

c) Utilisez la fonction logarithme népérien.

Exercice 2 (Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

La matrice de transition d’un graphe probabiliste à deux sommets est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

4. b) N’oubliez pas que, pour tout entier naturel 5613074-Eqn122, 5613074-Eqn123.

5. a) Si 5613074-Eqn124, alors 5613074-Eqn125.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. La probabilité cherchée est la probabilité de l’intersection de deux événements.

5. b) N’oubliez pas qu’une probabilité conditionnelle correspond à une restriction de l’univers.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calculs d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

2. L’ordonnée à l’origine d’une droite est l’ordonnée de son point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

4. Observez la position relative de la courbe représentative de 5613074-Eqn126 et de ses tangentes.

Partie B

3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

4. Ne confondez pas signe et sens de variation.

5. a) Calculez la dérivée de 5613074-Eqn127.