Sujet complet de France métropolitaine 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

 

1

France métropolitaine • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
 QCM sur les probabilités et les fonctions (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.

Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013 est :

a) 5613074-Eqn1

b) 5613074-Eqn2

c) 5613074-Eqn3

d) 5613074-Eqn4

2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [4 ; 11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :

a) 5613074-Eqn5

b) 5613074-Eqn6

c) 5613074-Eqn7

d) 5613074-Eqn8

3. On considère la fonction 5613074-Eqn9 définie sur ℝ par 5613074-Eqn11. La fonction 5613074-Eqn12 est dérivable sur ℝ et sa fonction dérivée 5613074-Eqn14 est donnée par :

a)5613074-Eqn15

b)5613074-Eqn16

c)5613074-Eqn17

d)5613074-Eqn18

matT_1606_07_01C_01

4. On considère une fonction 5613074-Eqn19 définie et dérivable sur ℝ telle que sa fonction dérivée 5613074-Eqn21 soit aussi dérivable sur ℝ.

La courbe ci-contre représente la fonction 5613074-Eqn23.

On peut alors affirmer que :

a) 5613074-Eqn24 est convexe sur 5613074-Eqn25.

b) 5613074-Eqn26 est concave sur 5613074-Eqn27.

c) La courbe représentative de 5613074-Eqn28 sur 5613074-Eqn29 admet un point d’inflexion.

d) 5613074-Eqn30 est croissante sur 5613074-Eqn31.

Exercice 2 (5 points)
 Évolution du parc automobile d’un loueur de voitures

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d’un total de 10 000 voitures pour l’Europe.

Afin d’entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25 % de son parc et d’acheter 3 000 voitures neuves.

On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite.

Pour tout entier naturel 5613074-Eqn32, on note 5613074-Eqn33 le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l’année 5613074-Eqn34.

On a donc 5613074-Eqn35.

1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel 5613074-Eqn36 :

5613074-Eqn37. (0,5 point)

2. Pour tout entier naturel 5613074-Eqn38, on considère la suite 5613074-Eqn39 définie par :

5613074-Eqn40.

a) Montrer que la suite 5613074-Eqn41 est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser le premier terme. (1 point)

b) Exprimer 5613074-Eqn42 en fonction de 5613074-Eqn43. (0,5 point)

Déterminer la limite de la suite 5613074-Eqn44. (0,5 point)

c) Justifier que, pour tout entier naturel 5613074-Eqn45, 5613074-Eqn46. (0,5 point)

d) En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d’un grand nombre d’années ? (0,5 point)

3. On admet dans cette question que la suite 5613074-Eqn47 est croissante.

On aimerait déterminer l’année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.

a) Recopier l’algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu’il permette de répondre au problème posé. (0,5 point)

Initialisation

U prend la valeur 10 000

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que ………….

   

N prend la valeur ………….

U prend la valeur ………….

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher ………….

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année recherchée. (0,5 point)

c) Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation :

5613074-Eqn48 (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)
 Évolution de la probabilité de courir un jour donné

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.

On admet que :

si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;

s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,4.

On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».

Pour tout entier naturel 5613074-Eqn49, on note :

5613074-Eqn50 la probabilité de l’événement « Hugo court le 5613074-Eqn51-ième jour » ;

5613074-Eqn52 la probabilité de l’événement « Hugo ne court pas le 5613074-Eqn53-ième jour » ;

5613074-Eqn54 la matrice 5613074-Eqn55 correspondant à l’état probabiliste le 5613074-Eqn56-ième jour.

Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

On a donc 5613074-Eqn57.

1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R. (0,5 point)

2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets. (0,5 point)

3. On donne 5613074-Eqn58.

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité 5613074-Eqn59 qu’Hugo coure le 7e jour ? (0,5 point)

Déterminer une valeur approchée à 5613074-Eqn60 près de 5613074-Eqn61. (0,25 point)

4. a) Exprimer 5613074-Eqn62 en fonction de 5613074-Eqn63. (0,25 point)

b) Montrer que, pour tout entier naturel 5613074-Eqn64 :

5613074-Eqn65. (0,5 point)

5. Pour tout entier naturel 5613074-Eqn66, on considère la suite 5613074-Eqn67 définie par :

5613074-Eqn68.

a) Montrer que la suite 5613074-Eqn69 est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme. (0,5 point)

b) Exprimer 5613074-Eqn70 en fonction de 5613074-Eqn71. (0,25 point)

Déterminer la limite de la suite 5613074-Eqn72. (0,25 point)

c) Justifier que, pour tout entier naturel 5613074-Eqn73 :

5613074-Eqn74. (0,5 point)

d) Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 ? (0,5 point)

e) Conjecturer alors l’état stable de ce graphe. (0,25 point)

Comment valider votre conjecture ? (0,25 point)

Exercice 3 (5 points)
 Catégories de chansons en mémoire et durée d’écoute

Commun à tous les candidats

Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae… dont certaines sont interprétées en français.

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.

Une des fonctionnalités du téléphone permet d’écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l’ensemble du répertoire.

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.

On note :

R l’événement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock » ;

F l’événement : « la chanson écoutée est interprétée en français ».

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

1. Calculer P(R), la probabilité de l’événement R. (0,75 point)

2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les événements R et F. (0,5 point)

3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français. (0,75 point)

4. Parmi toutes les chansons enregistrées, 38,5 % sont interprétées en français.

Montrer que 5613074-Eqn75. (0,75 point)

5. En déduire 5613074-Eqn76 et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat. (0,75 point)

partie B

Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.

Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l’aide de son téléphone portable.

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante ; on admet que X suit la loi normale d’espérance 5613074-Eqn77 et d’écart-type 5613074-Eqn78.

Le propriétaire écoute de la musique.

1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ? (0,5 point)

2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d’une heure ? (1 point)

Exercice 4 (6 points)
 Étude graphique et analytique d’une fonction comportant un logarithme

Commun à tous les candidats

La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction 5613074-Eqn79 définie et dérivable sur 5613074-Eqn80. Les points A (1 ; 3) et B d’abscisse 1,5 sont sur la courbe C.

Les tangentes à la courbe C aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.

On note 5613074-Eqn81 la fonction dérivée de 5613074-Eqn82.

matT_1606_07_01C_02

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A étude graphique

1. Déterminer 5613074-Eqn83. (0,25 point)

2. La tangente à la courbe C au point A passe par le point de coordonnées (0 ; 2).

Déterminer une équation de cette tangente. (0,5 point)

3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation 5613074-Eqn84 et 5613074-Eqn85. (0,5 point)

4. Déterminer la convexité de la fonction 5613074-Eqn86 sur 5613074-Eqn87. Argumenter la réponse. (0,75 point)

partie B étude analytique

On admet que la fonction 5613074-Eqn88 est définie sur 5613074-Eqn89 par :

5613074-Eqn90

1. Pour tout réel 5613074-Eqn91 de 5613074-Eqn92, calculer 5613074-Eqn93 et montrer que :

5613074-Eqn95. (0,5 point)

2. Étudier le signe de 5613074-Eqn96 sur 5613074-Eqn97, puis dresser le tableau de variations de 5613074-Eqn98 sur 5613074-Eqn99. (0,75 point)

3. Montrer que l’équation5613074-Eqn100 admet exactement une solution 5613074-Eqn101 sur 5613074-Eqn102.

Donner une valeur approchée de 5613074-Eqn103 à 5613074-Eqn104 près. (1 point)

4. En déduire le tableau de signes de 5613074-Eqn105 sur 5613074-Eqn106. (0,5 point)

5. On considère la fonction 5613074-Eqn107 définie sur 5613074-Eqn108 par :

5613074-Eqn109.

a) Montrer que 5613074-Eqn110 est une primitive de 5613074-Eqn111 sur 5613074-Eqn112. (0,5 point)

b) En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation 5613074-Eqn113 et 5613074-Eqn114. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Intervalle de confiance • Loi à densité, loi normale • Dérivée • Fonction exponentielle • Convexité • Point d’inflexion.

Les conseils du correcteur

1. N’oubliez pas que le centre d’un intervalle de confiance est la fréquence 5613074-Eqn115 observée dans l’échantillon interrogé.

2. Déterminez et utilisez l’intervalle I tel que « le nombre choisi est inférieur à 10 » soit équivalent à « le nombre choisi appartient à I ».

3. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

4. Attention, la courbe donnée représente la fonction 5613074-Eqn116. Déduisez du graphique le signe de 5613074-Eqn117.

Exercice 2 (Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. a) Si 5613074-Eqn118, alors 5613074-Eqn119.

d) Le nombre de voitures possédées par le loueur au bout d’un grand nombre d’années est proche de la limite de la suite 5613074-Eqn120.

3. b) Programmez l’algorithme ou construisez un tableau donnant une valeur approchée des termes de la suite 5613074-Eqn121.

c) Utilisez la fonction logarithme népérien.

Exercice 2 (Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

La matrice de transition d’un graphe probabiliste à deux sommets est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

4. b) N’oubliez pas que, pour tout entier naturel 5613074-Eqn122, 5613074-Eqn123.

5. a) Si 5613074-Eqn124, alors 5613074-Eqn125.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. La probabilité cherchée est la probabilité de l’intersection de deux événements.

5. b) N’oubliez pas qu’une probabilité conditionnelle correspond à une restriction de l’univers.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calculs d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

2. L’ordonnée à l’origine d’une droite est l’ordonnée de son point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

4. Observez la position relative de la courbe représentative de 5613074-Eqn126 et de ses tangentes.

Partie B

3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

4. Ne confondez pas signe et sens de variation.

5. a) Calculez la dérivée de 5613074-Eqn127.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

1. Déterminer un intervalle de confiance

Notez bien

• La réponse c) pouvait être écartée d’emblée car l’intervalle [0,754 ; 0,813] ne contient pas 5613074-Eqn136.

• On pouvait aussi utiliser le fait qu’un échantillon de taille 5613074-Eqn137 permet d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 d’amplitude 5613074-Eqn138.

Si 5613074-Eqn128 est la fréquence de stagiaires satisfaits dans un échantillon de taille 5613074-Eqn129, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion 5613074-Eqn130 de stagiaires satisfaits dans l’ensemble de la population est :

5613074-Eqn131.

Ici 5613074-Eqn132 et 5613074-Eqn133.

5613074-Eqn134 (par défaut) ;

5613074-Eqn135 (par excès).

La bonne réponse est b).

2. Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme

Info

La probabilité qu’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle I prenne une valeur appartenant à un intervalle donné (contenu dans I) est uniquement proportionnelle à l’amplitude de cet intervalle.

La variable aléatoire 5613074-Eqn139 représentant un nombre choisi au hasard dans l’intervalle [4 ; 11] suit la loi uniforme sur [4 ; 11].

Le nombre choisi est inférieur (ou inférieur ou égal) à 10 si et seulement si il appartient à l’intervalle [4 ; 10].

5613074-Eqn140

La bonne réponse est d).

3. Calculer la dérivée d’une fonction

D’après la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions, pour tout réel 5613074-Eqn141 :

5613074-Eqn142

La bonne réponse est d).

4. Étudier graphiquement la convexité d’une fonction et l’existence d’un point d’inflexion de sa courbe représentative

D’après le graphique, 5613074-Eqn145 s’annule et change de signe en 5613074-Eqn146. La courbe représentative de 5613074-Eqn147 présente donc un point d’inflexion d’abscisse 1.

5613074-Eqn148 n’est ni convexe sur 5613074-Eqn149, ni concave sur 5613074-Eqn150 car sa dérivée seconde n’a pas un signe constant sur cet intervalle. De même, 5613074-Eqn151 n’est pas croissante sur 5613074-Eqn152 car 5613074-Eqn153 n’est pas positive sur tout l’intervalle 5613074-Eqn154.

La bonne réponse est c).

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

1. Justifier une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel 5613074-Eqn155 :

5613074-Eqn156

5613074-Eqn157

2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel 5613074-Eqn158 :

5613074-Eqn159

5613074-Eqn160

5613074-Eqn161.

La suite 5613074-Eqn162 est donc une suite géométrique de raison 0,75.

5613074-Eqn163.

Le premier terme de la suite 5613074-Eqn164 est 5613074-Eqn165.

b) Donner l’expression du terme général et la limite d’une suite géométrique

D’après le cours, pour tout entier naturel 5613074-Eqn166 :

5613074-Eqn167

5613074-Eqn168 est une suite géométrique de raison 0,75 et 5613074-Eqn169, donc :

5613074-Eqn170

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

5613074-Eqn171, donc 5613074-Eqn172, donc :

5613074-Eqn173

d) Donner une interprétation de la limite d’une suite

D’après les questions précédentes :

5613074-Eqn174

On peut conjecturer qu’au bout d’un grand nombre d’années, le nombre de voitures du loueur sera voisin de 12 000 voitures.

3. a) Compléter un algorithme

Notez bien

La suite 5613074-Eqn175 a pour limite 12 000, donc pour 5613074-Eqn176 suffisamment grand, 5613074-Eqn177 est supérieur ou égal à 11 950.

Notez bien

La dernière instruction de l’algorithme peut aussi être Afficher N. Dans ce cas, pour obtenir l’année cherchée, il faut ajouter 2015.

Pour que l’algorithme donné permette de déterminer l’année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures, on peut le compléter de la manière suivante :

Initialisation

U prend la valeur 10 000

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que U < 11 950

   

N prend la valeur N + 1

U prend la valeur 0,75 U + 300

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher 2015 + N

b) Déterminer à l’aide de la calculatrice le rang d’un terme d’une suite vérifiant une condition donnée

On peut programmer l’algorithme précédent ou bien dresser un tableau donnant une valeur approchée des premiers termes de la suite 5613074-Eqn180.

5613074-Eqn181 et 5613074-Eqn182, donc :

5613074-Eqn183 et 5613074-Eqn184.

Le parc automobile comptera pour la première fois au moins 11 950 voitures 13 ans après 2015, c’est-à-dire en 2028.

c) Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

On cherche 5613074-Eqn185 tel que 5613074-Eqn186

5613074-Eqn187

5613074-Eqn189, donc :

5613074-Eqn190

On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur 5613074-Eqn191 ; l’ordre est conservé, on obtient :

5613074-Eqn192.

5613074-Eqn193 car 5613074-Eqn194, donc l’inéquation équivaut à :

5613074-Eqn195.

Or 5613074-Eqn196, donc, puisque 5613074-Eqn197 est un entier naturel, l’inéquation équivaut à 5613074-Eqn198.

Au bout de 13 ans, c’est-à-dire le 1er mars 2028, le parc automobile du loueur comptera au moins 11 950 voitures.

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe ci-dessous :

matT_1606_07_01C_03

Notez bien

Les coefficients de la première ligne de la matrice 5613074-Eqn199 sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet C du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de R.

2. Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

La matrice de transition associée au graphe ci-dessus est la matrice :

5613074-Eqn200

3. Utiliser un calcul matriciel pour déterminer une probabilité

5613074-Eqn201 et 5613074-Eqn202.

Le calcul matriciel permettant de déterminer la probabilité 5613074-Eqn203 est :

5613074-Eqn204.

Notez bien

5613074-Eqn205car 5613074-Eqn206.

À 5613074-Eqn207 près :

5613074-Eqn209

4. a) Donner une relation entre les états probabilistes correspondant à deux jours successifs

Pour tout entier naturel 5613074-Eqn210 :

5613074-Eqn211

b) Justifier une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

D’après la question précédente, pour tout entier naturel 5613074-Eqn212 :

5613074-Eqn213, donc :

5613074-Eqn214.

Info

On a également 5613074-Eqn215.

Or 5613074-Eqn216 donc 5613074-Eqn217, donc :

5613074-Eqn218

5613074-Eqn219

5613074-Eqn220

5. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel 5613074-Eqn221 :

5613074-Eqn222

5613074-Eqn225.

Donc pour tout entier naturel 5613074-Eqn226 :

5613074-Eqn227

La suite 5613074-Eqn228 est géométrique de raison 0,2 ; son premier terme est :

5613074-Eqn229

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique et déterminer sa limite

Puisque 5613074-Eqn230 est la suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme 0,25, pour tout entier naturel 5613074-Eqn231 :

5613074-Eqn232

Or 5613074-Eqn233, donc :

5613074-Eqn234

c) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel, 5613074-Eqn235, donc :

5613074-Eqn236

5613074-Eqn237

d) Émettre une conjecture sur une probabilité

Le 29 décembre 2014 est le 363e jour ; la probabilité qu’Hugo coure ce jour-là est 5613074-Eqn238.

On peut conjecturer que 5613074-Eqn239 est approximativement égal à la limite de la suite 5613074-Eqn240.

Or d’après ce qui précède, 5613074-Eqn241.

On peut conjecturer que la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 est environ 0,75.

e) Conjecturer l’état stable d’un graphe probabiliste

D’après ce qui précède, on peut conjecturer que l’état stable du graphe est représenté par la matrice ligne 5613074-Eqn242 telle que :

5613074-Eqn243.

La somme des deux coefficients de la matrice 5613074-Eqn244 est égale à 1, donc pour valider la conjecture, il suffit de vérifier que :

5613074-Eqn245

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie A

1. Calculer la probabilité d’un événement

Puisqu’en mode « lecture aléatoire », les chansons sont choisies de façon équiprobable, et qu’il y a 960 chansons classées dans la catégorie rock sur un total de 3 200 chansons :

5613074-Eqn246

2. Traduire une donnée par une probabilité

Le pourcentage de chansons interprétées en français parmi celles classées dans la catégorie rock donne la probabilité qu’une chanson choisie au hasard soit interprétée en français sachant qu’elle est classée dans la catégorie rock. Donc :

5613074-Eqn247

3. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français est la probabilité que les événements R et F soient simultanément réalisés, c’est-à-dire la probabilité de leur intersection.

5613074-Eqn248

5613074-Eqn249

4. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’énoncé, 38,5 % des chansons enregistrées sont interprétées en français, donc :

5613074-Eqn250.

Info

On peut dire que 28 % des chansons enregistrées sont interprétées en français et ne sont pas classées dans la catégorie rock.

Les événements R et 5613074-Eqn251 forment une partition de l’univers, donc :

5613074-Eqn252

5613074-Eqn253

5613074-Eqn254

5613074-Eqn255

5. Calculer et interpréter une probabilité conditionnelle

5613074-Eqn256 étant non nulle :

5613074-Eqn257.

Attention !

Il ne faut pas confondre ce résultat avec celui de la question précédente. Il s’agit ici d’une probabilité conditionnelle, on ne considère que les chansons qui ne sont pas classées dans la catégorie rock.

Or 5613074-Eqn258, donc :

5613074-Eqn259

Donc 40 % des chansons qui ne sont pas classées dans la catégorie rock sont interprétées en français.

partie B

1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que la durée de l’écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes est :

5613074-Eqn260

D’après la calculatrice, en arrondissant au millième :

5613074-Eqn261

2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que l’écoute dure plus d’une heure est 5613074-Eqn262.

Puisque la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 30 :

5613074-Eqn263

Arrondie au millième, la probabilité que l’écoute dure plus d’une heure est égale à 0,001.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie A étude graphique

1. Lire graphiquement un nombre dérivé

5613074-Eqn264 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point B d’abscisse 1,5. Or, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est égal à 0.

5613074-Eqn265

2. Déterminer graphiquement une équation d’une droite

Soit (T) la tangente en A à la courbe C. Puisque (T) passe par le point de coordonnées 5613074-Eqn266, elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 2, donc son ordonnée à l’origine est égale à 2.

Notez bien

Si 5613074-Eqn267 et 5613074-Eqn268 sont deux points tels que 5613074-Eqn269, alors la droite (MN) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et son coefficient directeur est :

5613074-Eqn270.

La droite (T) passe par le point A et par le point de coordonnées (0 ; 2), donc son coefficient directeur est 5613074-Eqn271.

La tangente en A à la courbe C a pour équation :

5613074-Eqn272

3. Donner par lecture graphique un encadrement d’une aire

L’unité d’aire étant donnée par le quadrillage, l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation 5613074-Eqn273 et 5613074-Eqn274 est telle que :

5613074-Eqn274b

4. Étudier par lecture graphique la convexité d’une fonction

Sur l’intervalle 5613074-Eqn275, la courbe C est située en dessous de chacune de ses tangentes. Donc la fonction 5613074-Eqn276 est concave sur 5613074-Eqn277

partie B étude analytique

1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel 5613074-Eqn278 de 5613074-Eqn279 :

5613074-Eqn280

5613074-Eqn281

2. Étudier le signe de la dérivée et les variations d’une fonction

5613074-Eqn282

Pour tout 5613074-Eqn283 dans 5613074-Eqn284, 5613074-Eqn285, donc 5613074-Eqn286 est du signe de 5613074-Eqn287, donc :

si 5613074-Eqn288, alors 5613074-Eqn289, donc 5613074-Eqn290

5613074-Eqn291

si 5613074-Eqn292, alors 5613074-Eqn293, donc 5613074-Eqn294.

Donc 5613074-Eqn295 est strictement croissante sur 5613074-Eqn296, strictement décroissante sur 5613074-Eqn297. On peut dresser son tableau de variation :

matT_1606_07_01C_tab1

À 5613074-Eqn304 près :

5613074-Eqn305

3. Montrer qu’une équation admet une unique solution

La fonction 5613074-Eqn306 est strictement croissante sur 5613074-Eqn307, donc pour tout 5613074-Eqn308 dans cet intervalle :

5613074-Eqn309

Donc 5613074-Eqn310. L’équation5613074-Eqn311 n’a donc pas de solution sur l’intervalle 5613074-Eqn312.

Sur l’intervalle 5613074-Eqn313, 5613074-Eqn314 est continue et strictement décroissante.

D’autre part, 5613074-Eqn315, donc 5613074-Eqn316.

5613074-Eqn317, donc 5613074-Eqn318.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation5613074-Eqn319 a une unique solution 5613074-Eqn320 sur 5613074-Eqn321.

D’après la calculatrice :

5613074-Eqn322 et 5613074-Eqn323,

donc 5613074-Eqn324, donc 5613074-Eqn325.

Sur l’intervalle 5613074-Eqn326, l’équation5613074-Eqn327 a une seule solution 5613074-Eqn328, dont une valeur approchée à 5613074-Eqn329 près est 4,88.

Notez bien

5613074-Eqn330 est l’abscisse du point d’intersection de la courbe C et de l’axe des abscisses.

4. Dresser le tableau de signes d’une fonction

Des questions précédentes, on peut déduire que 5613074-Eqn331 pour tout 5613074-Eqn332 dans 5613074-Eqn333 et 5613074-Eqn334 pour tout 5613074-Eqn335 dans 5613074-Eqn336. Le tableau de signes de 5613074-Eqn337 sur 5613074-Eqn338 est :

5613074-Eqn339

0,5

 

5613074-Eqn340

 

6

Signe de 5613074-Eqn341

 

+

0

5613074-Eqn342

 

5. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Pour tout 5613074-Eqn343 dans l’intervalle 5613074-Eqn344 :

5613074-Eqn345

5613074-Eqn346

5613074-Eqn347

5613074-Eqn348.

Donc 5613074-Eqn349 est une primitive de 5613074-Eqn350 sur l’intervalle 5613074-Eqn351.

b) Calculer une aire

Conseil

N’oubliez pas de vérifier que ce résultat, ainsi que tous les résultats de la partie B, est cohérent avec la courbe donnée et les réponses aux questions de la partie A.

La fonction 5613074-Eqn352 est continue et positive sur l’intervalle 5613074-Eqn353, donc l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation 5613074-Eqn354 et 5613074-Eqn355 est :

5613074-Eqn356

5613074-Eqn358

5613074-Eqn359