Exercice 1 (6 points) 
Fabrication d’un composant électronique

Commun à tous les candidats

Partie A

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.

Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.

On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

A l’événement : « le composant provient de la chaîne A » 

B l’événement : « le composant provient de la chaîne B » 

S l’événement : « le composant est sans défaut »

▶ 1. Montrer que la probabilité de l’événement S est P(S) = 0,89.

▶ 2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10–2 près.

Partie B

Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion p de composants sans défaut.

Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.

▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.

▶ 2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?

Partie C

La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif).

On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T.

On rappelle que :

pour tout nombre réel x ≥ 0, f(x) = λe–λx 

pour tout nombre réel a ≥ 0, P(T ≤ a) = .

▶ 1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.

a) Interpréter graphiquement P(T ≤ a) où a > 0.

b) Montrer que pour tout nombre réel t ≥ 0, P(T ≤ t) = 1 − e–λt.

c) En déduire que .

▶ 2. On suppose que P(T ≤ 7) = 0,5 . Déterminer λ à 10–3 près.

▶ 3. Dans cette question, on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.

a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.

b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.

c) Donner l’espérance mathématique E(T) de la variable aléatoire T à l’unité près. Interpréter ce résultat.

Exercice 2 (4 points) 
Voyageons dans l’espace

Commun à tous les candidats

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé , on donne les points :

A(1   2   3), B(3   0   1), C(– 1   0   1), D(2   1   – 1), E(– 1   – 2   3) et F(– 2   – 3   4).

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

▶ 1. Affirmation 1. Les trois points A, B et C sont alignés.

▶ 2. Affirmation 2. Le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).

▶ 3. Affirmation 3. La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [BC].

▶ 4. Affirmation 4. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

Exercice 3 (5 points)
 Une fonction et une suite associée

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x – ln(x2 + 1).

▶ 1. Résoudre dans ℝ l’équation f(x) = x.

▶ 2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-après à l’exception de la limite de la fonction f en + ∞ que l’on admet.

▶ 3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0   1], f(x) appartient à [0   1].

▶ 4. On considère l’algorithme suivant :

a) Que fait cet algorithme ?

b) Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.

Partie B

Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, .

▶ 1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0   1].

▶ 2. Étudier les variations de la suite (un).

▶ 3. Montrer que la suite (un) est convergente.

▶ 4. On note l sa limite, et on admet que l vérifie l’égalité f (l) = l.

En déduire la valeur de l.

Exercice 3 (5 points)
 Droite rationnelle

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (a, b), on note pgcd(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.

Le plan est muni d’un repère .

▶ 1. Exemple. Soit Δ1 la droite d’équation .

a) Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 15x – 12y est divisible par 3.

b) Existe-t-il au moins un point de la droite Δ1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.

Généralisation. On considère désormais une droite Δ d’équation (E) : où m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, n) = pgcd(p, q) = 1.

Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.

Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu’une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

▶ 2. On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x0, y0) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.

a) En remarquant que le nombre ny0 – mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.

b) En déduire que q divise n.

▶ 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que .

a) On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru – mv = 1.

b) En déduire qu’il existe un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que .

▶ 4. Soit Δ la droite d’équation . Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.

▶ 5. On donne l’algorithme suivant :

a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P et Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N) = pgcd(P, Q) = 1.

b) Que permet-il d’obtenir ?

Exercice 4 (5 points)
 Transformons l’essai !

Commun à tous les candidats

Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l’angle est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m , EA = 25 m et AB = 5,6 m .

On note α la mesure en radians de l’angle , β la mesure en radians de l’angle et γ la mesure en radians de l’angle .

▶ 1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.

La fonction tangente est définie sur l’intervalle par .

▶ 2. Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle .

▶ 3. L’angle admet une mesure γ appartenant à l’intervalle , résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle , a > b,.

Montrer que .

▶ 4. L’angle est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ]0 50] de la fonction f définie par : .

Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle à 0,01 radian près.

Remarque. Sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.