Sujet complet de France métropolitaine 2016 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Septembre 2016

Sujets complets

matT_1609_07_00C

6

France métropolitaine • Septembre 2016

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet de France métropolitaine 2016 (session de remplacement)

Les thèmes clés

Exercice 1 – Probabilité conditionnelle • Intervalle de confiance.

Exercice 2 – Loi à densité, loi normale • Variations d’une fonction.

Exercice 3 – Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Exercice 3 (spécialité) – Graphe pondéré • Chaîne de longueur donnée.

Exercice 4 – Fonction logarithme népérien • Primitive.

Exercice 1 (5 points) • 45 min
Clientèle d’un restaurant ; enquête de satisfaction

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.

À partir d’une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par :

60 % des clients sont des hommes ;

80 % des hommes mangent un dessert, alors que seulement 45 % des femmes en mangent un.

On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :

H l’événement « le client interrogé est un homme » ;

D l’événement « le client interrogé a mangé un dessert ».

On note également :

A¯ l’événement contraire d’un événement A ;

p(A) la probabilité d’un événement A.

partie a

1. Représenter la situation par un arbre pondéré. (1 point)

2. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert. (0,75 point)

3. Montrer que p(D)=0,66. (0,75 point)

4. Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ? (1 point)

partie b

Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants.

Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés.

1. Donner un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de clients satisfaits. (0,75 point)

2. Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95 % d’amplitude 0,06.

Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle. (0,75 point)

Exercice 2 (4 points) • 35 min
QCM sur les probabilités et les fonctions (4 questions)

Commun à tous les candidats

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point.

Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Les parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 90 et d’écart-type 6. Une valeur arrondie au millième de p(X  100) est :

a) 0,500

b) 0,452

c) 0,048

d) 0,952

2. Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance μ et d’écart-type 10. Une valeur arrondie au millième de p(μ - 20  Y  μ + 20) est :

a) 0,68

b) 0,5

c) 0,8

d) 0,95

partie b

Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction f deux fois dérivable sur [– 5 ; 3]. On donne ci-dessous le tableau de variations de f.

006_matT_1609_07_00C_tab1

1. La fonction f est :

a) croissante sur [– 5 ; 3]

b) décroissante sur [– 5 ; 1]

c) décroissante sur [– 5 ; 3]

d) croissante sur [– 1 ; 3]

2. La fonction f est :

a) convexe sur [– 5 ; –1]

b) concave sur [– 5 ; –1]

c) concave sur [– 5 ; 1]

d) convexe sur [– 5 ; 3]

Exercice 3 (5 points) • 45 min
Évolution du nombre d’arbres d’une forêt et du prix d’un stère de bois

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Le 31 décembre 2015, une forêt comportait 1 500 arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que, chaque année, 5 % des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés.

On modélise le nombre d’arbres de cette forêt par une suite (un) où, pour tout entier naturel n, un est le nombre d’arbres au 31 décembre de l’année (2015 + n). Ainsi u0=1500.

partie a

1. Calculer u1et u2. (0,5 point)

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

 un+1=0,95 un+50. (0,75 point)

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un - 1 000.

a) Montrer que la suite (vn) est géométrique. En préciser la raison et le premier terme. (1 point)

b) Montrer que, pour tout entier naturel n :

un=1000+500×0,95n. (1 point)

c) En déduire le nombre d’arbres prévisible dans cette forêt le 31 décembre 2030. (0,75 point)

partie b

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d’un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3 %.

Au bout de combien d’années le prix d’un stère de bois aura-t-il doublé ? (1 point)

Exercice 3 (5 points) • 45 minParcours dans un parc de loisirs et durée d’attente à la billetterie

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-après. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.

Importation de l’image : matT_1609_07_00C_001.png impossible

matT_1609_07_00C_01

partie a

1. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon, expliquer pourquoi. (1 point)

2. On note M la matrice d’adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l’ordre alphabétique).

On donne la matrice M4=(2018202111135518322525171610102025311913131452125193113214121117131311643131613216203135101444391510512313110).

Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en quatre chemins pédestres. Les citer tous. (1,5 point)

partie b

Afin d’améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d’attente, en minutes, à la billetterie du parc en fonction de l’heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant :

Importation de l’image : matT_1609_07_00C_001.png impossible

matT_1609_07_00C_02

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d’attente à la billetterie.

On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui, à l’heure, associe la durée d’attente en minutes. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente. On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction f définie par :

f(x)=ax2+bx+c

avec a, b, c des réels et a non nul telle que les trois points (9 ; 9), (11 ; 20) et (16 ; 2) appartiennent à la représentation graphique de f.

1. Calculer les trois réels a, b et c. (1,5 point)

2. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l’attente peut être inférieure à dix minutes. (1 point)

Exercice 4 (6 points) • 50 min
Étude d’une fonction et calcul d’une valeur moyenne

Commun à tous les candidats

On définit une fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5] par :

g(x)=5x3xlnx.

1. Montrer que pour x appartenant à [0,5 ; 5], g(x)=23lnx. (1 point)

2. Étudier le signe de g(x) et en déduire le sens de variation de g sur [0,5 ; 5]. (1 point)

3. En déduire pour quelle valeur x0 arrondie au centième la fonction g atteint un maximum. (0,5 point)

4. Montrer que l’équation g(x)=4 admet deux solutions sur [0,5 ; 5] que l’on note α1 et α2. En donner un encadrement d’amplitude 0,01. (1 point)

5. Résoudre g(x)4. (1 point)

6. Montrer que la fonction G définie sur [0,5 ; 5] par :

G(x)=32x2lnx+134x2

est une primitive de g sur [0,5 ; 5]. (0,75 point)

7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5]. On donnera la valeur arrondie au millième. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

3. Utilisez une partition de l’univers.

4. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Partie B

2. Utilisez la relation entre la taille d’un échantillon et l’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de 95 %.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. Utilisez la calculatrice.

2. La probabilité demandée est un résultat du cours.

Partie B

4. Utilisez le lien entre la convexité d’une fonction et le sens de variation de sa dérivée.

Exercice 3 (Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Partie A

3. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

b) Déterminez dans un premier temps l’expression de vn en fonction de n.

Partie B

Utilisez le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 3 %.

Exercice 3 (Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

1. Utilisez le théorème d’Euler.

2. Les coefficients de M4 donnent le nombre de chaînes de longueur 4 entre deux sommets.

Partie B

1. Traduisez l’énoncé par un système de trois équations à trois inconnues et résolvez ce système.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

5. Utilisez les résultats des questions antérieures.

6. G est une primitive de g si et seulement si g est la dérivée de G.

7. Utilisez la fonction G de la question précédente.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé, p(H)=0,6 (60 % des clients sont des hommes).

D’autre part, 80 % des hommes et 45 % des femmes mangent un dessert, donc :

pH(D)=0,8 et pH¯(D)=0,45.

D’où l’arbre suivant :

Importation de l’image : matT_1609_07_00C_003.png impossible

matT_1609_07_00C_03

2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

L’événement « le client interrogé est un homme et il a mangé un dessert » est H D.

Sa probabilité est :

p(HD)=p(H)× pH(D)=0,6×0,8=0,48.

La probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert est égale à 0,48.

3. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant une partition de l’univers

H et H¯ sont deux événements contraires, ils forment une partition de l’univers, donc :

p(D)=p(HD)+p(H¯D)

p(D)=0,48+0,4×0,45

p(D)=0,66

Notez bien

Le résultat obtenu peut être interprété de la manière suivante : environ 27,3 % des clients ayant mangé un dessert sont des femmes.

4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est pD(H¯). C’est une probabilité conditionnelle.

pD(H¯)=p(DH¯)p(D)

pD(H¯)=0,4×0,450,66

pD(H¯)=0,180,66

pD(H¯)=311.

La probabilité, sachant que le client a mangé un dessert, que ce client soit une femme est égale à 311, soit environ 0,273 arrondi au millième.

partie b

Notez bien

Lors du calcul des bornes d’un intervalle de fluctuation ou d’un intervalle de confiance, on arrondit par défaut la borne gauche et par excès la borne droite, de manière à obtenir un intervalle contenant l’intervalle « théorique » initial.

1. Donner un intervalle de confiance au niveau de 95 % d’une proportion

La fréquence f de clients satisfaits sur l’échantillon des 300 clients interrogés est f=204300, soit f = 0,68.

D’après le cours, si f est la fréquence d’individus possédant le caractère dans un échantillon de taille n, alors un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de personnes possédant le caractère dans l’ensemble de la population est :

[f1n;f+1n].

f1n=0,6813000,622 à 103 près par défaut ;

f+1n=0,68+13000,738 à 103 près par excès. 

Un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de clients satisfaits obtenu à partir d’un échantillon de 300 clients interrogés est donc [0,622;0,738].

2. Déterminer la taille d’un échantillon permettant d’obtenir un intervalle de confiance d’amplitude donnée

Si n est la taille de l’échantillon, l’amplitude de l’intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion sur l’ensemble de la population est 2n.

On cherche donc n tel que 2n=0,06, qui équivaut à n=(20,06)2. Or (20,06)21111,11.

Si l’on interroge un échantillon de 1 112 clients, on obtient un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de clients satisfaits d’amplitude (légèrement inférieure à) 0,06.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie a

1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale de paramètres connus

Notez bien

Les réponses b) et d) peuvent être éliminées : puisque l’espérance de X est strictement inférieure à 100, la probabilité demandée est strictement inférieure à 0,5.

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 90 et d’écart-type 6, alors :

p(X100)=0,5p(90X100).

D’après la calculatrice : p(X100)0,048.

La bonne réponse est c).

2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après le cours, si la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance μ et d’écart-type σ, alors p(μσYμ+σ)0,95.

Ici σ = 10, donc :

μσ=μ20;μ+σ=μ+20.

La bonne réponse est d).

partie b

1. Déterminer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle

D’après le tableau, f n’est pas monotone sur l’intervalle [–5 ; 3], car f n’a pas un signe constant sur cet intervalle. Cela élimine les réponses a) et c).

Par ailleurs, f est négative (elle prend des valeurs comprises entre - 3 et 0) sur l’intervalle [– 1 ; 1]. f est donc décroissante sur cet intervalle. L’intervalle [– 1 ; 1] est contenu dans l’intervalle [– 1 ; 3], donc f n’est pas croissante sur [– 1 ; 3] et on peut également écarter la réponse d).

f est négative sur [– 5 ; 1], donc f est décroissante sur cet intervalle.

La bonne réponse est b).

2. Étudier la convexité d’une fonction sur un intervalle

f est décroissante sur [– 5 ; – 1], donc la fonction f est concave sur cet intervalle.

La bonne réponse est b).

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

partie a

1. Calculer deux termes d’une suite

u1=15005×1500100+50

u1=1475

u2=1 4755×1 475100+50

u21451

2. Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Notez bien

0,95 est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5 %.

Puisque, chaque année, 5 % des arbres sont coupés et 50 arbres sont plantés, pour tout entier naturel n :

un+1=un5×un100+50

un+1=un0,05 un+50

un+1=0,95 un+50

3. a) Montrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1=un+11000

vn+1=0,95 un+501000

vn+1=0,95 (vn+1000)950

vn+1=0,95 vn+950950

vn+1=0,95 vn .

La suite (vn) est géométrique de raison 0,95, de premier terme v0=u01000=500.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel n :

vn=500×0,95n 

un=vn+1000

un=1000+500×0,95n

c) Calculer un terme d’une suite

2030=2015+15, donc le nombre d’arbres prévisible dans la forêt le 31 décembre 2030 est u15.

D’après la question précédente :

u15=1000+500×0,9515

u151231,6.

Si l’évolution se poursuit de la même manière, il y aura 1 232 arbres dans la forêt le 31 décembre 2030.

partie b

Déterminer au bout de combien d’années un prix aura doublé

Puisque, chaque année, le prix d’un stère de bois augmente de 3 %, il est multiplié par 1,03.

Au bout de n années, ce prix sera donc multiplié par 1,03n. On cherche donc le plus petit entier naturel n tel que 1,03n2.

Puisque la fonction ln est croissante sur ]0 ; +[, cette inégalité équivaut successivement à :

nln(1,03)ln2

nln2ln(1,03) car ln(1,03)>0.

Or ln2ln(1,03)23,45.

Le prix d’un stère de bois aura doublé au bout de 24 ans.

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

1. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

Un parcours empruntant une fois et une seule chaque chemin pédestre du circuit est une chaîne eulérienne. On applique le théorème d’Euler.

Le graphe est connexe ; en effet, par exemple, la chaîne AEDBCFGH permet de relier deux sommets quelconques.

On détermine le degré de chaque sommet ; les résultats peuvent être donnés dans un tableau :

Sommet

A

B

C

D

E

F

G

H

Degré

3

4

4

4

2

3

2

2

Le graphe est connexe et comporte deux sommets de degré impair : A et H. D’après le théorème d’Euler, il possède une chaîne eulérienne d’extrémités A et F.

Un enfant peut donc parcourir chaque chemin pédestre une fois et une seule, en suivant par exemple le circuit AEDABDCBFGHCF.

2. Déterminer le nombre de chaînes de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe

Le nombre de parcours allant de E à H en quatre chemins pédestres, c’est-à-dire le nombre de chaînes de longueur 4 de E à H, est le coefficient de la matrice M4 situé à l’intersection de la ligne 5 (correspondant au sommet E) et de la colonne 8 (sommet H). Ce coefficient est égal à 3.

Il y a trois parcours allant de E à H en quatre chemins pédestres.

Ces parcours sont EABCH – EADCH – EDBCH.

partie b

1. Déterminer une fonction dont la représentation graphique passe par des points donnés

Notez bien

Il existe différentes méthodes pour résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues. On peut par exemple écrire ce système sous forme matricielle et utiliser l’inverse d’une matrice.

Les points de coordonnées (9 ; 9), (11 ; 20) et (16 ; 2) appartiennent à la représentation graphique de f, donc :

f(9)=9;f(11)=20;f(16)=2.

D’où le système {81a+9b+c=9121a+11b+c=20256a+16b+c=2

Sous forme matricielle, ce système s’écrit AX = B, avec :

A=(8191121111256161);X=(abc);B=(9202).

Il est équivalent, puisque la matrice A est inversible, à X=A1 B, en notant A1 la matrice inverse de la matrice A.

Avec la calculatrice, on obtient X=(13106328465).

Donc a=1320;b=632;c=8465 et la fonction f est définie par :

f(x)=1320x2+632x8465

 f(x)=1,3x2+31,5x169,2

2. Déterminer, à l’aide d’une modélisation, les plages horaires où le temps d’attente est inférieur à 10 minutes

On résout l’inéquation f(x)<10.

f(x)<101,3x2+31,5x169,2<101,3x2+31,5x179,2<0.

Le discriminant du trinôme 1,3x2+31,5x179,2 est Δ = 60,41.

Le trinôme a deux racines réelles :

x1=31,560,412,6=31,5+60,412,6;x2=31,5+60,412,6=31,560,412,6.

1,3x2+31,5x179,2 est négatif si et seulement si x<x2oux>x1.

À la calculatrice, x1 15,1 et x2 9,1.

Or 15,1 heures=15 heures et 6 minutes ; et 9,1 heures=9 heures et 6 minutes.

L’attente peut être inférieure à dix minutes entre 9 h et 9 h 06, et entre 15 h 06 et 16 h.

Exercice 4

Commun à tous les candidats


1. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction g est dérivable sur l’intervalle [0,5 ; 5], et pour tout x dans cet intervalle :

g(x)=53lnx3x×1x

g(x)=53lnx3

g(x)=23lnx

2. Étudier les variations d’une fonction

g(x)=0lnx=23x=e23 ;

0,5x<e23lnx<2323lnx>0g(x)>0 ;

e23<x5lnx>2323lnx<0g(x)<0.

La fonction g est strictement croissante sur l’intervalle [0,5;e23], strictement décroissante sur l’intervalle [e23;5].

3. Déterminer pour quelle valeur une fonction atteint un maximum

D’après la question précédente, la fonction g atteint un maximum en e23.

À la calculatrice, e231,95 en arrondissant au centième.

La fonction g atteint son maximum en x0=1,95 (valeur arrondie au centième).

4. Montrer qu’une équation admet deux solutions

On peut dresser le tableau de variations de g sur l’intervalle [0,5 ; 5] :

005_matT_1609_07_00C_tab2

g(e23)=3 e235,84>4;g(0,5)3,54<4;g(5)0,86<4.

L’équation g(x)=4 admet donc une unique solution sur chacun des intervalles [0,5;e23] et [e23;5]. On note α1 celle qui appartient à [0,5;e23] et α2 celle qui appartient à [e23;5].

L’équation g(x)=4 admet deux solutions α1 et α2 sur [0,5 ; 5].

g(0,6)3,92<4 et g(0,7)4,25>4, donc 0,6 < α1 < 0,7 ;

g(0,62)3,99<4 et g(0,63)4,02>4, donc :

0,62<α1<0,63

g(3,6)4,17>4 et g(3,7)3,98<4, donc 3,6 < α2 < 3,7 ;

g(3,68)4,016>4 et g(3,69)3,997<4, donc :

3,68<α2<3,69

5. Résoudre une inéquation

D’après le tableau de variations établi à la question précédente, g(x)4 si et seulement si α1  x  α2.

L’ensemble des solutions de l’inéquation g(x)4 est [α1;α2].

6. Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

La fonction G est dérivable sur [0,5 ; 5] et, pour tout x dans cet intervalle :

G(x)=32×2xlnx32x2×1x+134×2x 

G(x)=3xlnx32x+132x

G(x)=3xlnx+5x

G(x)=g(x)

G est une primitive de g sur [0,5 ; 5].

7. Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5] est :

m=150,5 0,55g(x) dx.

Puisque G est une primitive de g sur [0,5 ; 5] :

m=14,5 [G(5)G(0,5)]

m=14,5[32×25ln5+134×25+32×0,25ln(0,5)134×0,25]

m=14,5[752ln5+32540,375ln21316]

m=14,5[12871637,5ln50,375ln2]

soit, en arrondissant au millième :

m4,405