Sujet complet de France métropolitaine 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine &bull Juin 2017

Sujets complets

1

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France Métropolitaine &bull Juin&nbsp 2017

Sujet complet &bull 20 points &bull 3&nbsp h

Sujet complet de France métropolitaine 2017

Les thèmes clés

Exercice&nbsp 1 &ndash Variable aléatoire &bull Loi à densité, loi normale.

Exercice&nbsp 2 &ndash Suite géométrique &bull Boucle &laquo &nbsp Pour&nbsp &raquo .

Exercice&nbsp 2 (spécialité) &ndash Graphe probabiliste &bull Plus court chemin.

Exercice&nbsp 3 &ndash Fonction exponentielle &bull Intégrale, calcul d&rsquo aires.

Exercice&nbsp 4 &ndash Variable aléatoire &bull Fonction logarithme népérien.

Exercice 1 (6 points) &bull 55&nbsp min
Temps d&rsquo attente et pannes des caisses automatiques d&rsquo un supermarché

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps&nbsp T1 avant d&rsquo être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d&rsquo attente&nbsp T1, exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l&rsquo intervalle [0&nbsp 12].

a) Quelle est la probabilité qu&rsquo un client attende au moins 5&nbsp minutes avant d&rsquo être pris en charge&nbsp ? (0,75&nbsp point)

b) Quel est le temps moyen d&rsquo attente à une caisse&nbsp ? (0,75&nbsp point)

2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques de façon à réduire le temps d&rsquo attente pour les clients ayant un panier contenant peu d&rsquo articles.

Le temps d&rsquo attente&nbsp T2, exprimé en minutes, à chacune de ces caisses automatiques, est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne&nbsp 5 et d&rsquo écart-type&nbsp 1,5.

Calculer la probabilité que le temps d&rsquo attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 et 6&nbsp minutes. (0,75&nbsp point)

3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes&nbsp :

Le nombre de caisses automatiques est n&nbsp = 10.

La probabilité qu&rsquo une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est p&nbsp = 0,1.

Une panne constatée sur une caisse automatique n&rsquo influence pas les autres caisses automatiques.

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X&nbsp ? Quels sont ses paramètres&nbsp ? (1,5&nbsp point)

b) Calculer la probabilité pour qu&rsquo aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée. (0,75&nbsp point)

4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche&nbsp :

&laquo &nbsp Plus de 90&nbsp % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques.&nbsp &raquo

Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage&nbsp : 860&nbsp clients sont interrogés, et 763 d&rsquo entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.

Cela remet-il en question l&rsquo affirmation du gérant&nbsp ? (1,5&nbsp point)

Exercice 2 (5 points) &bull 45&nbsp min
Évolution du nombre d&rsquo adhérents à&nbsp une&nbsp association

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et&nbsp candidats de série L

Au 1er&nbsp janvier 2017, une association sportive compte 900&nbsp adhérents. On constate que chaque mois&nbsp :

25&nbsp % des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion&nbsp

12&nbsp nouvelles personnes décident d&rsquo adhérer à l&rsquo association.

partie a

On modélise le nombre d&rsquo adhérents de l&rsquo association par la suite (un) telle que u0&nbsp = 900 et, pour tout entier naturel&nbsp n&nbsp :

un+1 = 0,75 un +&nbsp 12.

Le terme&nbsp un donne ainsi une estimation du nombre d&rsquo adhérents de l&rsquo association au bout de n mois.

1. Déterminer une estimation du nombre d&rsquo adhérents au 1er&nbsp mars 2017. (0,5&nbsp point)

2. On définit la suite (vn) par vn&nbsp = un - 48 pour tout entier naturel n.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 0,75. (1&nbsp point)

b) Préciser v0 et exprimer vn en fonction de n. (0,5&nbsp point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel&nbsp n&nbsp :

un=&nbsp 852&times 0,75n+48. (0,5 point)

3. La présidente de l&rsquo association déclare qu&rsquo elle démissionnera si le nombre d&rsquo adhérents devient inférieur à&nbsp 100. Si on fait l&rsquo hypothèse que l&rsquo évolution du nombre d&rsquo adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne&nbsp ? Si oui, au bout de combien de mois&nbsp ? (1&nbsp point)

partie b

Chaque adhérent verse une cotisation de 10&nbsp euros par mois. Le trésorier de l&rsquo association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l&rsquo année 2017.

Le trésorier souhaite utiliser l&rsquo algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

1. Recopier et compléter l&rsquo algorithme de façon qu&rsquo il affiche le montant total des cotisations de l&rsquo année 2017. (0,75 point)

Variables

S est un nombre réel

N est un entier

U est un nombre réel

Initialisation

S prend la valeur 0

U prend la valeur 900

&nbsp

Pour N allant de 1 à 12&nbsp :

&nbsp &nbsp

Affecter à S la valeur &hellip &hellip &hellip

Affecter à U la valeur 0,75 U +12

&nbsp

Fin Pour

Sortie

&hellip &hellip &hellip

2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l&rsquo association pendant l&rsquo année 2017&nbsp ? (0,75&nbsp point)

Exercice 2 (5 points) &bull 45&nbsp min
Suite d&rsquo énigmes et temps de parcours minimal

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

partie a

Dans un jeu vidéo, une suite d&rsquo énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories&nbsp : les énigmes de catégorie&nbsp A sont les énigmes faciles&nbsp les énigmes de catégorie&nbsp B sont les énigmes difficiles.

Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes&nbsp :

la première énigme est facile&nbsp

si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à 0,15&nbsp

si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à 0,1.

Pour n &ge &nbsp 1, on note&nbsp :

an la probabilité que l&rsquo énigme numéro&nbsp n soit facile (de catégorie&nbsp A)&nbsp

bn la probabilité que l&rsquo énigme numéro&nbsp n soit difficile (de catégorie B)&nbsp

Pn&nbsp = (an&ensp bn) l&rsquo état probabiliste pour l&rsquo énigme numéro&nbsp n.

1. Donner la matrice P1. (0,25&nbsp point)

2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets&nbsp A et B. (0,75&nbsp point)

3. Écrire la matrice M associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne P2. (0,5&nbsp point)

4. Sachant que, pour tout entier n &ge &nbsp 1, on a an +&nbsp bn&nbsp = 1, montrer que, pour tout entier n &ge &nbsp 1, on a&nbsp :

an+1 = 0,75 an + 0,1. (0,5&nbsp point)

5. Pour tout entier naturel n &ge &nbsp 1, on pose vn&nbsp = an - 0,4.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (0,5 point)

b) Exprimer vn en fonction de n, puis montrer que pour tout entier n&nbsp &ge &nbsp 1&nbsp :

an=0,8&times 0,75n+0,4.(0,75&nbsp point)

c) Préciser la limite de la suite (vn). (0,25&nbsp point)

d) Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d&rsquo avoir à résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse&nbsp ? (0,5&nbsp point)

partie b

Une des énigmes consiste à réaliser un parcours en le minimum de temps. Le graphe suivant schématise le parcours. L&rsquo étiquette de chaque arête indique le temps de parcours en minute entre les deux sommets qu&rsquo elle relie. Par exemple, le temps de parcours de&nbsp C vers&nbsp D, ou de&nbsp D à&nbsp C, est égal à quatre minutes.

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Quel chemin le joueur doit-il prendre pour aller de&nbsp A à&nbsp G en minimisant son temps de parcours&nbsp ? Expliquer la démarche utilisée. (1&nbsp point)

Exercice 3 (6 points) &bull 50&nbsp min
Étude de deux fonctions et aire d&rsquo un&nbsp motif&nbsp décoratif

Commun à tous les candidats

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.

Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l&rsquo aide de deux fonctions f et g définies, pour tout réel x de [0&nbsp 1], par&nbsp :

f(x)=(x&minus 1)&nbsp e3x et g(x)=x2&minus 2x+1.

Leurs courbes représentatives seront notées respectivement f et g.

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partie a

Un logiciel de calcul formel donne les résultats&nbsp suivants&nbsp :

&nbsp

dériver((1-x)*exp(3x))

&nbsp &nbsp

: -3x*(exp(3*x)+2*exp(3*x)

&nbsp

factoriser(-3x*(exp(3*x)+2*exp(3*x))

&nbsp &nbsp

: exp(3x)*(-3x+2)

&nbsp

factoriser(dériver(exp(3x)*(-3x+2)))

&nbsp &nbsp

: 3*exp(3*x)(1-3x)

Lecture&nbsp : la dérivée de la fonction f est donnée par&nbsp :

f&prime (x)=&minus &thinsp 3x&nbsp e3x+2&nbsp e3x,

ce qui, après factorisation, donne f&prime (x)=(&minus &thinsp 3x&nbsp +2)&nbsp e3x.

1. Étudier sur [0&nbsp 1] le signe de la fonction dérivée f&prime , puis donner le tableau de variations de f sur&nbsp [0&nbsp 1] en précisant les valeurs utiles. (1&nbsp point)

2. La courbe f possède un point d&rsquo inflexion. Déterminer ses coordonnées. (1&nbsp point)

partie b

On se propose de calculer l&rsquo aire de la partie colorée sur le graphique.

1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives (1&nbsp 0) et (0&nbsp 1) sont des points communs aux courbes f et g. (0,5&nbsp point)

2. On admet que pour tout x dans [0&nbsp 1]&nbsp :

f(x)&minus g(x)=(1&minus x)(e3x&minus 1+x).

a) Justifier que pour tout x dans [0&nbsp 1], e3x&minus 1&ge 0. (0,5&nbsp point)

b) En déduire que pour tout x dans [0&nbsp 1], e3x&minus 1+x&ge 0. (0,5&nbsp point)

c) Étudier le signe de f(x)&minus g(x) pour tout x dans [0&nbsp 1]. (0,5&nbsp point)

3. a) Calculer &int 01g(x)&nbsp dx. (1&nbsp point)

b) On admet que&nbsp :

&int 01f(x)&nbsp dx=e3&minus 49.

Calculer l&rsquo aire S, en unité d&rsquo aire, de la partie colorée. Arrondir le résultat au dixième. (1&nbsp point)

Exercice 4 (3 points) 25&nbsp min
Modélisation par une variable aléatoire suivant&nbsp la&nbsp loi de Benford

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de 2017 est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.

Dans certaines circonstances, le premier chiffre d&rsquo un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire X telle que, pour tout entier c compris entre 1 et 9&nbsp :

P(X=c)=ln(c+1)&minus ln(c)ln(10).

Cette loi est appelée loi de Benford.

1. Que vaut P(X&nbsp = 1)&nbsp ? (0,5&nbsp point)

2. On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.

a) Premier cas

Un fichier statistique de l&rsquo INSEE indique la population des communes en France au 1er&nbsp janvier 2016 (champ&nbsp : France métropolitaine et départements d&rsquo outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).

À partir de ce fichier, on constate qu&rsquo il y a 36&nbsp 677&nbsp communes habitées. Parmi elles, il y a 11&nbsp 094&nbsp communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre&nbsp 1.

Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l&rsquo affirmation&nbsp : &laquo &nbsp le&nbsp premier chiffre de la population des communes en France au 1er&nbsp janvier 2016 suit la loi de Benford&nbsp &raquo &nbsp ? (1,25&nbsp point)

b) Deuxième cas

Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres. On désigne par X la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d&rsquo un candidat pris au hasard.

La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour X&nbsp ? (1,25&nbsp point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

1. b) Appliquez le résultat du cours donnant l&rsquo espérance d&rsquo une variable aléatoire suivant une loi uniforme.

4. Utilisez un intervalle de fluctuation, après avoir vérifié que les conditions sont remplies.

Exercice 2 (Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Partie A

3. Traduisez la question par une inéquation et résolvez cette inéquation.

Partie B

1. et 2. Le montant total des cotisations perçues un mois donné est égal à 10&nbsp euros multiplié par le nombre d&rsquo adhérents le mois considéré&nbsp le nombre d&rsquo adhérents est donné par un terme de la suite (un). N&rsquo oubliez pas, pour obtenir le montant total pour l&rsquo année 2017, d&rsquo additionner les montants correspondant aux différents mois.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Partie A

1. P1 donne l&rsquo état probabiliste pour l&rsquo énigme numéro&nbsp 1.

2. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d&rsquo un même sommet est égale à 1.

5. d) Considérez le sens de variation de la suite (bn).

Partie B

Utilisez l&rsquo algorithme de Dijkstra.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. f a un point d&rsquo inflexion d&rsquo abscisse a si et seulement si f&Prime s&rsquo annule et change de signe en a.

Partie B

3. b) S est une &laquo &nbsp aire entre deux courbes&nbsp &raquo . Utilisez la question&nbsp 2.c) pour écrire S comme une intégrale.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

N&rsquo oubliez pas que, d&rsquo après l&rsquo énoncé, X ne prend que des valeurs entières entre 1 et 9.