Sujet complet de France métropolitaine 2017

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2017

Sujets complets

1

matT_1706_07_00C

France Métropolitaine • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet de France métropolitaine 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Exercice 2 – Suite géométrique • Boucle « Pour ».

Exercice 2 (spécialité) – Graphe probabiliste • Plus court chemin.

Exercice 3 – Fonction exponentielle • Intégrale, calcul d’aires.

Exercice 4 – Variable aléatoire • Fonction logarithme népérien.

Exercice 1 (6 points) 55 min
Temps d’attente et pannes des caisses automatiques d’un supermarché

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps T1 avant d’être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d’attente T1, exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 12].

a) Quelle est la probabilité qu’un client attende au moins 5 minutes avant d’être pris en charge ? (0,75 point)

b) Quel est le temps moyen d’attente à une caisse ? (0,75 point)

2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques de façon à réduire le temps d’attente pour les clients ayant un panier contenant peu d’articles.

Le temps d’attente T2, exprimé en minutes, à chacune de ces caisses automatiques, est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d’écart-type 1,5.

Calculer la probabilité que le temps d’attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 et 6 minutes. (0,75 point)

3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes :

Le nombre de caisses automatiques est n = 10.

La probabilité qu’une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est p = 0,1.

Une panne constatée sur une caisse automatique n’influence pas les autres caisses automatiques.

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Quels sont ses paramètres ? (1,5 point)

b) Calculer la probabilité pour qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée. (0,75 point)

4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :

« Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques. »

Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d’entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.

Cela remet-il en question l’affirmation du gérant ? (1,5 point)

Exercice 2 (5 points) 45 min
Évolution du nombre d’adhérents à une association

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Au 1er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :

25 % des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion ;

12 nouvelles personnes décident d’adhérer à l’association.

partie a

On modélise le nombre d’adhérents de l’association par la suite (un) telle que u0 = 900 et, pour tout entier naturel n :

un+1 = 0,75 un + 12.

Le terme un donne ainsi une estimation du nombre d’adhérents de l’association au bout de n mois.

1. Déterminer une estimation du nombre d’adhérents au 1er mars 2017. (0,5 point)

2. On définit la suite (vn) par vn = un - 48 pour tout entier naturel n.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 0,75. (1 point)

b) Préciser v0 et exprimer vn en fonction de n. (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel :

un= 852×0,75n+48. (0,5 point)

3. La présidente de l’association déclare qu’elle démissionnera si le nombre d’adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l’hypothèse que l’évolution du nombre d’adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ? (1 point)

partie b

Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l’association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l’année 2017.

Le trésorier souhaite utiliser l’algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

1. Recopier et compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le montant total des cotisations de l’année 2017. (0,75 point)

Variables

S est un nombre réel

N est un entier

U est un nombre réel

Initialisation

S prend la valeur 0

U prend la valeur 900

 

Pour N allant de 1 à 12 :

   

Affecter à S la valeur ………

Affecter à U la valeur 0,75 U +12

 

Fin Pour

Sortie

………

2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 ? (0,75 point)

Exercice 2 (5 points) 45 min
Suite d’énigmes et temps de parcours minimal

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

Dans un jeu vidéo, une suite d’énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories : les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.

Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

la première énigme est facile ;

si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à 0,15 ;

si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à 0,1.

Pour n  1, on note :

an la probabilité que l’énigme numéro n soit facile (de catégorie A) ;

bn la probabilité que l’énigme numéro n soit difficile (de catégorie B) ;

Pn = (anbn) l’état probabiliste pour l’énigme numéro n.

1. Donner la matrice P1. (0,25 point)

2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,75 point)

3. Écrire la matrice M associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne P2. (0,5 point)

4. Sachant que, pour tout entier n  1, on a an + bn = 1, montrer que, pour tout entier n  1, on a :

an+1 = 0,75 an + 0,1. (0,5 point)

5. Pour tout entier naturel n  1, on pose vn = an - 0,4.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (0,5 point)

b) Exprimer vn en fonction de n, puis montrer que pour tout entier n  1 :

an=0,8×0,75n+0,4.(0,75 point)

c) Préciser la limite de la suite (vn). (0,25 point)

d) Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d’avoir à résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse ? (0,5 point)

partie b

Une des énigmes consiste à réaliser un parcours en le minimum de temps. Le graphe suivant schématise le parcours. L’étiquette de chaque arête indique le temps de parcours en minute entre les deux sommets qu’elle relie. Par exemple, le temps de parcours de C vers D, ou de D à C, est égal à quatre minutes.

matT_1706_07_00C_01

Quel chemin le joueur doit-il prendre pour aller de A à G en minimisant son temps de parcours ? Expliquer la démarche utilisée. (1 point)

Exercice 3 (6 points) 50 min
Étude de deux fonctions et aire d’un motif décoratif

Commun à tous les candidats

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.

Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l’aide de deux fonctions f et g définies, pour tout réel x de [0 ; 1], par :

f(x)=(x1) e3x et g(x)=x22x+1.

Leurs courbes représentatives seront notées respectivement f et g.

matT_1706_07_00C_02

partie a

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

 

dériver((1-x)*exp(3x))

   

: -3x*(exp(3*x)+2*exp(3*x)

 

factoriser(-3x*(exp(3*x)+2*exp(3*x))

   

: exp(3x)*(-3x+2)

 

factoriser(dériver(exp(3x)*(-3x+2)))

   

: 3*exp(3*x)(1-3x)

Lecture : la dérivée de la fonction f est donnée par :

f(x)=3x e3x+2 e3x,

ce qui, après factorisation, donne f(x)=(3x +2) e3x.

1. Étudier sur [0 ; 1] le signe de la fonction dérivée f, puis donner le tableau de variations de f sur [0 ; 1] en précisant les valeurs utiles. (1 point)

2. La courbe f possède un point d’inflexion. Déterminer ses coordonnées. (1 point)

partie b

On se propose de calculer l’aire de la partie colorée sur le graphique.

1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1) sont des points communs aux courbes f et g. (0,5 point)

2. On admet que pour tout x dans [0 ; 1] :

f(x)g(x)=(1x)(e3x1+x).

a) Justifier que pour tout x dans [0 ; 1], e3x10. (0,5 point)

b) En déduire que pour tout x dans [0 ; 1], e3x1+x0. (0,5 point)

c) Étudier le signe de f(x)g(x) pour tout x dans [0 ; 1]. (0,5 point)

3. a) Calculer 01g(x) dx. (1 point)

b) On admet que :

01f(x) dx=e349.

Calculer l’aire S, en unité d’aire, de la partie colorée. Arrondir le résultat au dixième. (1 point)

Exercice 4 (3 points) 25 min
Modélisation par une variable aléatoire suivant la loi de Benford

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de 2017 est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.

Dans certaines circonstances, le premier chiffre d’un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire X telle que, pour tout entier c compris entre 1 et 9 :

P(X=c)=ln(c+1)ln(c)ln(10).

Cette loi est appelée loi de Benford.

1. Que vaut P(X = 1) ? (0,5 point)

2. On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.

a) Premier cas

Un fichier statistique de l’INSEE indique la population des communes en France au 1er janvier 2016 (champ : France métropolitaine et départements d’outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).

À partir de ce fichier, on constate qu’il y a 36 677 communes habitées. Parmi elles, il y a 11 094 communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.

Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l’affirmation : « le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford » ? (1,25 point)

b) Deuxième cas

Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres. On désigne par X la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d’un candidat pris au hasard.

La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour ? (1,25 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

1. b) Appliquez le résultat du cours donnant l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme.

4. Utilisez un intervalle de fluctuation, après avoir vérifié que les conditions sont remplies.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Partie A

3. Traduisez la question par une inéquation et résolvez cette inéquation.

Partie B

1. et 2. Le montant total des cotisations perçues un mois donné est égal à 10 euros multiplié par le nombre d’adhérents le mois considéré ; le nombre d’adhérents est donné par un terme de la suite (un). N’oubliez pas, pour obtenir le montant total pour l’année 2017, d’additionner les montants correspondant aux différents mois.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

1. P1 donne l’état probabiliste pour l’énigme numéro 1.

2. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d’un même sommet est égale à 1.

5. d) Considérez le sens de variation de la suite (bn).

Partie B

Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. f a un point d’inflexion d’abscisse a si et seulement si f s’annule et change de signe en a.

Partie B

3. b) S est une « aire entre deux courbes ». Utilisez la question 2.c) pour écrire S comme une intégrale.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

N’oubliez pas que, d’après l’énoncé, X ne prend que des valeurs entières entre 1 et 9.