Sujet complet de France métropolitaine 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet de France métropolitaine 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Fonction exponentielle • Intégration • Algorithmique

Exercice 2 – Géométrie dans l’espace

Exercice 3 – Nombres complexes • Probabilités • Loi normale

Exercice 4 – Probabilités conditionnelles • Suites

Exercice 4 (spécialité) – Arithmétique • Matrices

 

Exercice 1 (7 points) • 90 min
Étude complète de l’aire d’un domaine

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + [ par :

(x= xex.

1. Déterminer la limite de la fonction en + .

2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle [0 ; + [ et dresser son tableau de variations.

3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction .

a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + [, on a :

(x= ex(x)

désigne la fonction dérivée de .

b) Déterminer une primitive sur l’intervalle [0 ; + [ de la fonction x  ex.

c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction  sur l’intervalle [0 ; + [.

Partie B

On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; + [ par :

f(x= xex + ln(x + 1) et g(x= ln(x + 1).

On note 𝒞f et 𝒞g les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé tracées ci-dessous.

matT_1706_07_01C_01

1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + [, on appelle M le point de coordonnées (x ; f(x)) et N le point de coordonnées (x ; g(x)) : M et N sont donc les points d’abscisse x appartenant respectivement aux courbes 𝒞f et 𝒞g.

a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.

b) Placer sur le graphique ci-dessus les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.

2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; + [. On note 𝒟λ le domaine du plan délimité par les courbes 𝒞f et 𝒞g et par les droites d’équations x = 0 et x = λ.

a) Hachurer le domaine 𝒟λ correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique ci-dessus.

b) On note 𝒜λ l’aire du domaine 𝒟λ, exprimée en unités d’aire. Démontrer que :

Aλ=1λ+1eλ.

c) Calculer la limite de 𝒜λ lorsque λ tend vers +  et interpréter le résultat.

3. On considère l’algorithme suivant  

Variables

λ est un réel positif

S est un réel strictement compris entre 0 et 1.

Initialisation

Saisir S

λ prend la valeur 0

Traitement

Tant que 1λ+1eλ<S faire

λ prend la valeur λ + 1

Fin Tant que

Sortie

Afficher λ

a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?

b) Quel est le rôle de cet algorithme ?

Exercice 2 (3 points) • 35 min
Distance d’un point à un plan

Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k).

Soit 𝒫 le plan d’équation cartésienne 2xz − 3 = 0.

On note A le point de coordonnées (1 ; a ; a2), où a est un nombre réel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel a, le point A n’appartient pas au plan 𝒫.

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite 𝒟 (de paramètre noté t) passant par le point A et orthogonale au plan 𝒫.

matT_1706_07_01C_02

b) Soit M un point appartenant à la droite 𝒟, associé à la valeur t du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.

Exprimer la distance AM en fonction du réel t.

On note H le point d’intersection du plan 𝒫 et de la droite 𝒟 orthogonale à 𝒫 et passant par le point A. Le point H est appelé le projeté orthogonal du point A sur le plan 𝒫, et la distance AH est appelée distance du point A au plan 𝒫.

3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées (1 ; a ; a2) au plan 𝒫 est minimale ? Justifier la réponse.

Exercice 3 (5 points) • 55 min
Le capteur de foudre

Commun à tous les candidats

Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d’incendie.

Le but de l’exercice est d’étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.

L’écran radar, sur lequel les points d’impact de foudre sont observés, a l’allure suivante :

matT_1706_07_01C_03

Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l’écran, cinq cercles concentriques correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent dans l’ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de A à H.

L’écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3.

On assimile l’écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé (O;u,v) de la manière suivante :

l’origine O marque la position du capteur ;

l’axe des abscisses est orienté d’ouest en est ;

l’axe des ordonnées est orienté du sud au nord ;

l’unité choisie est le kilomètre.

Dans la suite, un point de l’écran radar est associé à un point d’affixe z.

Partie A

1. On note zP l’affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent. On appelle r le module de zP et θ son argument dans l’intervalle ]– π ; π].

Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour r et pour θ (aucune justification n’est demandée).

Proposition A

Proposition B

Proposition C

Proposition D

40 < r < 60

et

0<θ<π4

20 < r < 40

et

π2<θ<3π4

40 < r < 60

et

π4<θ<π2

0 < r < 60

et

π2<θ<π4

2. Un impact de foudre est matérialisé sur l’écran en un point d’affixe z. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :

a) z = 70 eiπ3 ;

b) z = − 453 + 45i.

Partie B

On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d’affixe 50eiπ3.

En raison d’imprécisions de mesures, le point d’impact affiché ne donne qu’une indication approximative du point d’impact réel de la foudre.

Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d’impact P d’affixe 50eiπ3, l’affixe z du point d’impact réel de la foudre admet :

un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi normale d’espérance μ = 50 et d’écart type σ = 5 ;

un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d’espérance π3 et d’écart type π12.

On suppose que les variables aléatoires M et T sont indépendantes, c’est-à-dire que quels que soient les intervalles I et J, les événements (M  I) et (T J) sont indépendants.

Dans la suite, les probabilités seront arrondies à 10−3 près.

1. Calculer la probabilité P(M < 0) et interpréter le résultat obtenu.

2. Calculer la probabilité P(M ]40 ; 60[).

3. On admet que P(T]π4;π2[)=0,819.

En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation.

Exercice 4 (5 points) • 60 min
Propagation d’un virus

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine.

Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité :

soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type S » ;

soit malade (atteint par le virus) ;

soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus.

Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 : 85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;

parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 : 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés ;

tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1.

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

Sn : « l’individu est de type S en semaine n » ;

Mn : « l’individu est malade en semaine n » ;

In : « l’individu est immunisé en semaine n ».

En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes :

P(S0= 1, P(M0= 0 et P(I0= 0.

Partie A

On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.

1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :

matT_1706_07_01C_04

2. Montrer que P(I2= 0,2025.

3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?

Partie B

On étudie dans cette partie l’évolution à long terme de l’épidémie.

Pour tout entier naturel n, on note un = P(Sn), vn = P(Mn) et wn = P(In) les probabilités respectives des événements Sn, Mn et In.

1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un + vn + wn = 1.

On admet que la suite (vn) est définie par v0 = 0 et, pour tout entier naturel n :

vn+1 = 0,65vn + 0,05un.

2. À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (un), (vn) et (wn) :

A

B

C

D

1

n

un

vn

wn

2

0

1

0

0

3

1

0,8500

0,0500

0,1000

4

2

0,7225

0,0750

0,2025

5

3

0,6141

0,0849

0,3010

6

4

0,5220

0,0859

0,3921

7

5

0,4437

0,0819

0,4744

8

6

0,3771

0,0754

0,5474

20

18

0,0536

0,0133

0,9330

21

19

0,0456

0,0113

0,9431

22

20

0,0388

0,0096

0,9516

Pour répondre aux questions a) et b) suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.

a) Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (vn) ?

b) On admet que les termes de (vn) augmentent, puis diminuent à partir d’un certain rang N, appelé le « pic épidémique » : c’est l’indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.

Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle.

3. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0,85 un.

En déduire l’expression de un en fonction de n.

b) Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a :

vn=14(0,85n0,65n).

4. Calculer les limites de chacune des trois suites (un), (vn) et (wn).

Que peut-on en déduire quant à l’évolution de l’épidémie prévue à long terme par ce modèle ?

Exercice 4 (5 points) • 60 min
Le fameux acronyme TRPI

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs x et x + 1, et dont l’hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.

matT_1706_07_01C_05

Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l’angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l’hypoténuse est un nombre entier.

Si le triangle de côtés x, x + 1 et y, où y est la longueur de l’hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple (x ; y) définit un TRPI.

Partie A

1. Démontrer que le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI si et seulement si on a :

y= 2x2 + 2x + 1.

2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3 ; 5).

3. a) Soit n un entier naturel. Montrer que si n2 est impair alors n est impair.

b) Montrer que dans un couple d’entiers (x ; y) définissant un TRPI, le nombre y est nécessairement impair.

4. Montrer que si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux.

Partie B

On note A la matrice carrée A=(3243), et B la matrice colonne B=(12).

Soient x et y deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels x et y par la relation :

(xy)=A(xy)+B.

1. Exprimer x et y en fonction de x et y.

2. a) Montrer que y22x(x+1)=y22x(x+1).

b) En déduire que si le couple (x ; y) définit un TRPI, alors le couple (x ; y) définit également un TRPI.

3. On considère les suites (xn)n et (yn)n d’entiers naturels, définies par x0 = 3, y0 = 5 et pour tout entier naturel n :

(xn+1yn+1)=A(xnyn)+B.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) définit un TRPI.

4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

3. a) Identifiez le terme h(x) dans l’expression de h(x) déterminée à la question 2. Concluez en réécrivant l’égalité ainsi obtenue.

3. c) Prenez en compte le fait que, par définition, une primitive de la fonction h sur l’intervalle [0 ; + [ est h.

Partie B

1. a) Rappelez-vous qu’étant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère orthonormé, la distance AB est donnée par : (xBxA)2+(yByA)2.

3. a) Déroulez l’algorithme en présentant les différentes étapes à l’aide d’un tableau composé de trois colonnes : valeur prise par la variable λ, valeur approchée au cent-millième de 1λ+1eλ et vérification ou non de la condition de l’instruction « Tant que ».

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

3. Déterminez dans un premier temps le paramètre t associé au point H dans la représentation paramétrique de 𝒟 en fonction du réel a. Utilisez, pour ce faire, le fait que H appartient à 𝒟 et à 𝒫. Exprimez ensuite la distance AH à l’aide de la question 2. b) également en fonction du réel a. Concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. b) Écrivez le nombre complexe z sous forme exponentielle.

Partie B

3. Traduisez la probabilité énoncée à l’aide des variables aléatoires M et T. Concluez en utilisant l’indépendance de ces deux variables aléatoires.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

2. Identifiez tous les chemins menant à l’événement I2 avant d’appliquer la formule des probabilités totales.

Partie B

3. a) Remarquez que seul un chemin passant par l’événement Sn permet d’aboutir à l’événement Sn+1. Utilisez ensuite la notation un = P(Sn) et la formule des probabilités totales pour conclure.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

1. Démontrez l’équivalence à l’aide d’une double implication.

2. Faites un tableau avec les valeurs successives de l’entier naturel x en partant de 0 pour prouver le résultat demandé.

3. a) Faites un raisonnement par contraposée.

4. Exploitez le résultat de la première question et montrez que le PGCD de x et y divise 1.

Partie B

4. Faites un tableau avec les valeurs successives de xn et yn obtenues à la calculatrice en exploitant l’égalité matricielle de la question 3.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

1. Déterminer une limite  E8c 

Pour tout réel x > 0, on a h(x)=xex=xex=1exx. Par croissances comparées, on a limx+exx=+ et, par suite, limx+1exx=0.

La limite de la fonction h en +  est donc 0.

2. Étudier les variations d’une fonction  E6c • E6f • E8e 

À noter

Si u et v sont dérivables sur I alors :

eu est dérivable sur I et (eu)=u×eu ;

le produit u × v est dérivable sur I et (u × v) = u × v + u × v.

La fonction x -x est dérivable sur  et par suite sur [0 ; + [. Par composition, la fonction xex est alors dérivable sur [0 ; + [. La fonction x x est également dérivable sur  et donc sur [0 ; + [. Par produit, la fonction h est ainsi dérivable sur [0 ; + [.

On a pour tout réel x positif :

h(x)=1×ex+x×(1×ex)=exxex=ex(1x).

Comme ex est strictement positif, le signe de h(x) est celui de 1 – x. Or, 1 – x = 0  x = 1 et 1 – x < 0  1 < x. Ainsi, pour tout réel x[; 1[, comme 1 – x > 0, h(x) > 0 et la fonction h est strictement croissante sur [0 ; 1]. De même, pour tout réel x]; +[, comme 1 – x < 0, h(x< 0 et la fonction h est strictement décroissante sur [1 ; + [.

À noter

h(1)=1×e1=e1.

La fonction h est positive sur [0 ; + [.

En prenant en compte le fait que h(0)=0×e0=0 et que limx+h(x)=0 (question 1.), le tableau de variations de la fonction h sur [0 ; + [ est :

matT_1706_07_01C_tab1

3. a) Vérifier une égalité

Soit x un réel positif. D’après la question précédente, on a h(x)=exx×ex.

Or, par définition, h(x)=xex. Par suite, h(x)=exh(x) qui s’écrit également h(x)=exh(x). On a donc pour tout réel x positif h(x)=exh(x).

b) Déterminer une primitive sur un intervalle  E7b • E11b • E11d 

À retenir

Si u est dérivable sur un intervalle I, une primitive sur I de u×eu est eu.

La fonction xex étant dérivable sur [0 ; + [ (question 2.), elle est continue sur cet intervalle et elle y admet des primitives.

Comme pour tout réel x positif, ex=(1×ex), une primitive sur [0 ; + [ de la fonction xex est x ex.

c) Déterminer une primitive sur un intervalle  E11a 

D’après la question 3. a), pour tout réel x positif, on a h(x)=exh(x).

D’après la question 3. b), une primitive sur [0 ; + [ de la fonction xex est xex.

Par définition d’une primitive, une primitive sur [0 ; + [ de h est h.

Par conséquent, une primitive de la fonction h sur [0 ; + [ est x exh(x).

partie b

1. a) Déterminer une valeur maximale

Soit x un réel positif.

La distance MN est égale à :

(xMxN)2+(yMyN)2=(xx)2+(f(x)g(x))2=(xex+ln(x+1)ln(x+1))2=(xex)2.

Comme x 0 et ex>0, la distance MN est égale à xex qui n’est rien d’autre que h(x).

D’après la question 2. de la partie A (tableau de variations de la fonction h sur [0 ; + [), on en déduit que la distance MN est maximale pour x = 1 et que cette distance est égale à e–1.

b) Placer un point sur une courbe dans un repère

Les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN ont pour abscisse x = 1. Le point M appartenant à la courbe représentative de la fonction f et le point N appartenant à la courbe représentative de la fonction g, le graphique complété est :

matT_1706_07_01C_06

2. a) Identifier un domaine du plan

Le domaine du plan délimité par les courbes  f et g et par les droites d’équations x = 0 et x = λ est grisé sur le graphique suivant :

matT_1706_07_01C_07

b) Calculer une intégrale  E7a • E13 • E14 

Pour tout réel x positif, on a x + 1 0 + 1 > 0. La fonction x  x + 1 étant strictement positive et dérivable sur l’intervalle [0 ; + [, la fonction g : x ln(x + 1) est donc, par composition, dérivable sur [0 ; + [ et la fonction f l’est également par somme de deux fonctions dérivables (question 2. de la partie A). Les fonctions f et g étant dérivables sur [0 ; + [, ces fonctions sont continues sur [0 ; + [ et donc sur [0 ; λ].

Pour tout réel x positif, on a f(x)=xex+ln(x+1)=h(x)+g(x). Or, d’après la question 2. de la partie A, la fonction h est positive sur [0 ; + [. Par suite, on a f(x) 0 + g(x= g(x). Sur l’intervalle [0 ; + [, donc sur [0 ; λ], f(x) g(x).

Par ces deux points, il découle que l’aire  λ du domaine  λ, exprimée en unités d’aires, vaut :

Aλ=0λ(f(x)g(x))dx=0λh(x)dx.

D’après la question 3. c) de la partie A, une primitive de la fonction h sur [0 ; + [ donc sur [0 ; λ] est xexh(x). Il s’ensuit que :

Rappel

e0 = 1 et pour tout réel c, ec=1ec.

Aλ=0λh(x)dx=[ exh(x)]0λ=( eλh(λ))( e0h(0))= eλλeλ( 10)=1(λ+1)eλ=1λ+1eλ.

Ainsi, pour tout réel λ appartenant à l’intervalle [0 ; + [, Aλ=1λ+1eλ.

c) Calculer une limite et interpréter  E2c • E8c 

Pour tout réel λ positif, on a : Aλ=1λ+1eλ=1λeλ1eλ.

Similairement à la question 1. de la partie A, on a limλ+λeλ=0.

Comme limλ+eλ=+, on a par quotient limλ+1eλ=0.

On en conclut par différence que : limλ+Aλ=100=1.

Sur l’intervalle [0 ; + [, l’aire du domaine du plan délimité par les courbes Cf et Cg est égale à une unité d’aire.

3. a) Dérouler un algorithme

Lors de la phase d’initialisation, la valeur 0,8 est saisie pour la variable S (énoncé) et la variable λ prend la valeur 0. Puis la phase de traitement débute. Présentons les différentes étapes de cette phase sous forme d’un tableau :

λ

1λ+1eλ

Condition : 1λ+1eλ<0,8

0

10+1e0=0

Vrai

1

11+1e10,26424

Vrai

2

12+1e20,59399

Vrai

3

13+1e30,80085

Faux

La condition du « Tant que » n’étant plus vérifiée, la phase de traitement est terminée. La dernière phase, phase de sortie, s’exécute alors : l’algorithme affiche la dernière valeur prise par la variable λ à savoir 3.

b) Comprendre le rôle d’un algorithme

La valeur de λ étant initialisée à 0 et cette valeur étant incrémentée de 1 si la condition du « Tant que » est vérifiée (λ prend la valeur λ + 1), λ ne prend que des valeurs entières.

La condition du « Tant que » qui est 1λ+1eλ<S s’écrit également, à l’aide des notations utilisées dans la question 2., λ < S. Par suite, pendant la phase de traitement, tant que l’aire  λ du domaine  λ (exprimée en unités d’aire) est strictement inférieure à S, on incrémente λ de 1. Dès que cette condition n’est plus vérifiée, à savoir λ S, la phase de traitement est terminée et l’algorithme affiche la dernière valeur prise par λ.

Cet algorithme affiche donc la plus petite valeur entière de λ pour laquelle l’aire λ du domaine λ (exprimée en unités d’aire) est supérieure ou égale à S.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

1. Étudier l’appartenance d’un point à un plan  E33c 

Le point A appartient au plan si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation cartésienne de ce plan à savoir ici 2 × xA - zA -= 0. Or, on a :

2×xAzA3=02×1a23=01=a2.

L’équation a2=1 n’a pas de solution dans . Ainsi, quelle que soit la valeur du réel a, le point A de coordonnées (1 ; a ; a2) n’appartient pas au plan .

2. a) Déterminer une représentation paramétrique d’une droite  E30 • E33a • E33c 

Le plan  admet pour équation cartésienne 2x - z - 3 = 0 qui s’écrit naturellement 2x - 0y - z -= 0. Le vecteur de coordonnées (2 ; 0 ; - 1) que nous noterons n est donc normal au plan  . La droite  étant orthogonale au plan , le vecteur n est un vecteur directeur de la droite  . Le point A de coordonnées (; a ; a2) appartenant à  , une représentation paramétrique de (de paramètre noté t) est donc : {x=xA+xn×t=1+2ty=yA+yn×t=az=zA+zn×t=a2t, t.

b) Déterminer une distance en fonction d’un paramètre  E31c 

Le vecteur AM a pour coordonnées, en fonction de t :

|xMxA=(1+2t)1=2tyMyA=aa=0zMzA=(a2t)a2=t

Par suite, on a :

Attention

Ne simplifiez pas hâtivement : t peut être négatif. AM=5×t pour t 0 et AM=5×t pour t 0.

AM=AM=(2t)2+02+(t)2=4t2+t2=5t2=5×|t|.

La distance AM en fonction du réel t est donc 5×|t|.

3. Prendre une initiative  E30 • E33c 

H appartient à la droite  . D’après la question 2. a), il existe alors un réel t tel que :

xH = 1 + 2t, yH = a et zH=a2t.

H appartient au plan  . Alors ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne donnée dans l’énoncé : 2xH - zH - 3 = 0.

Par ces deux premiers points, nous avons : 2×(1+2t)(a2t)3=0. Or,

2×(1+2t)(a2t)3=02+4ta2+t3=05t=1+a2t=1+a25.

D’après la question 2. b) (H appartenant à  ) et la conclusion précédente, et comme t > 0, la distance du point A au plan  , distance AH, est :

AH=5×t=5×1+a25=15×(1+a2).

Comme 15>0, la distance AH serait minimale quand 1+a2 le serait également. Or, 1+a2>1 si a ≠ 0 et 1+a2=1 si a = 0.

La distance AH est minimale pour a = 0.

Dans ce cas, le point A a pour coordonnées (1;0;0) et la distance AH est égale à 15.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie a

1. Choisir la proposition exacte  E18c • E19a 

À noter

La proposition B n’est pas correcte.

P est situé dans la zone numérotée 3. Sa distance au point O, autrement dit r=|zP|, est comprise entre 40 et 60 : 40 < r < 60.

P est situé dans la portion B. Or, par construction, chaque portion a la même ouverture angulaire à savoir un huitième de 360° soit 45°. La portion B étant la deuxième portion nommée dans le sens trigonométrique, la mesure de l’angle θ (en degrés) est comprise entre 45° et 90°.

Remarque

θ est l’argument de zP dans ]– π;π].

45° correspondant à π4 radians et 90° correspondant à π2 radians, la mesure de l’angle θ est comprise entre π4 et π2. Seule, la proposition C est exacte.

2. a) Identifier une partie du plan  E19a • E21b • C4 

Le module de z=70eiπ3 est 70. Comme 60 < 70 < 80, le point d’affixe z est dans la zone 4.

Un argument de z est π3. Comme π3+2π=5π3, que 5π3 radians correspondent à 5×1803=300 degrés et que 6 × 45 < 300 < 7 × 45, le point d’affixe z est dans la portion G.

Le point d’affixe z=70eiπ3 est ainsi dans le secteur G4.

b) Identifier une partie du plan  E18c • E21b • C4 

À noter

cosθz=32 et sinθz=12 : θz=π6[2π].

Le module du nombre complexe z est :

|z|=|453+45i|=45(3)2+12=454=90.

Le nombre complexe z étant non nul, un argument θ de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que :

cosθ=Re(z)|z|=45390=32etsinθ=Im(z)|z|=4590=12.

D’après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que 5π6 est un argument de z. Le nombre complexe z s’écrit ainsi 90ei5π6 (forme exponentielle).

Le module de z est 90. Comme 80 < 90 < 100, le point d’affixe z est dans la zone 5.

Un argument de z est 5π6 qui appartient à l’intervalle ]π;π]. Comme 5π6 radians correspondent à 5×1806=150 degrés et que 3 × 45 < 150 < 4 × 45, le point d’affixe z est dans la partie D.

Le point d’affixe z=453+45i est donc dans le secteur D5.

partie b

1. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale  E18c • E40e • C3 

On a P(M<0)=symétriede la densité0,5P(0M50)calculatrice0.

L’événement {M<0} serait un événement impossible : un module ne pourrait prendre, selon le modèle, des valeurs strictement négatives. Interprétation somme toute logique d’après la définition du module d’un nombre complexe.

2. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale  E40a • E40e • C3 

Attention

Contrôlez la cohérence de vos résultats : P(40M60)=P(502×5M50+2×5)=P(μ2σMμ+2σ)0,95.

M étant une variable aléatoire continue, on a :

P(M]40;60[)=P(40<M<60)=P(40M60)0,954..

La probabilité P(M]40;60[) vaut environ 0,954.

3. Prendre une initiative  E36 

La probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 s’écrit à l’aide des variables aléatoires M et T de la manière suivante :

P((40<M<60)zone 3et(π4<θ<π2)portionB).

Or, on a :

P((40<M<60)(π4<θ<π2))=P(40<M<60)×P(π4<θ<π2)(indépendance)0,954×0,819(questionB2.)0,781.

La probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation vaut environ 0,781.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

partie a

1. Compléter un arbre de probabilités  E37 

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel n :

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine + 1, 85 % restent de type S. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle, probabilité que l’événement Sn+1 se réalise sachant que l’événement Sn s’est déjà réalisé ; on a donc PSn(Sn+1)=0,85. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne PS0(S1)=PS1(S2)=0,85.

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1, 5 % deviennent malades. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle, probabilité que l’événement Mn+1 se réalise sachant que l’événement Sn s’est déjà réalisé ; on a donc PSn(Mn+1)=0,05. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne PS0(M1)=PS1(M2)=0,05.

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1, 10 % deviennent immunisés. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle, probabilité que l’événement In+1 se réalise sachant que l’événement Sn s’est déjà réalisé ; on a donc PSn(In+1)=0,10. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne PS0(I1)=PS1(I2)=0,10.

Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1, 65 % restent malades. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle, probabilité que l’événement Mn+1 se réalise sachant que l’événement Mn s’est déjà réalisé ; on a donc PMn(Mn+1)=0,65. Dans le cas où n = 1, cela donne PM1(M2)=0,65.

Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1, 35 % sont guéris et deviennent immunisés. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle, probabilité que l’événement In+1 se réalise sachant que l’événement Mn s’est déjà réalisé ; on a donc PMn(In+1)=0,35. Dans le cas où n = 1, cela donne PM1(I2)=0,35.

Tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle, probabilité que l’événement In+1 se réalise sachant que l’événement In s’est déjà réalisé ; on a donc PIn(In+1)=1. Dans le cas où n = 1, on a PI1(I2)=1.

On résume toutes ces informations dans l’arbre de probabilités ci-dessous.

matT_1706_07_01C_08

2. Calculer une probabilité  E37 

À noter

D’après l’énoncé, P(S0= 1 : il est certain que l’individu choisi au hasard soit de type S en semaine 0.

Les chemins menant à l’événement I2 sont S0 S1 I2, S0 M1 I2 et S0 I1 I2.

D’après la formule des probabilités totales, nous avons :

P(I2)=P(S0S1I2)+P(S0M1I2)+P(S0I1I2)=P(S0)×PS0(S1)×PS1(I2)+P(S0)×PS0(M1)×PM1(I2)+P(S0)×PS0(I1)×PI1(I2)=1×0,85×0,10+1×0,05×0,35+1×0,10×1=0,2025.

La probabilité P(I2) est bien égale à 0,2025.

3. Calculer une probabilité conditionnelle  E35 • E37 

Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, la probabilité qu’il ait été malade en semaine 1 est la probabilité conditionnelle PI2(M1). Par définition, puisque d’après la question précédente P(I2= 0,2025 ≠ 0, nous avons :

PI2(M1)=P(M1I2)P(I2)=P(S0M1I2)0,2025=P(S0)×PS0(M1)×PM1(I2)0,2025=1×0,05×0,350,20250,086.

La probabilité qu’un individu ait été malade en semaine 1 sachant qu’il est immunisé en semaine 2 est 0,086, arrondie au millième.

partie b

1. Justifier une égalité

Pour tout entier naturel n, lors de la semaine n, un individu peut être, à l’exclusion de tout autre possibilité, soit de type S, soit malade, soit immunisé. La somme des probabilités des événements disjoints Sn, Mn et In est donc égale à 1. Ainsi, pour tout entier naturel n, P(Sn) + P(Mn)P(In)= 1 soit unvnwn = 1.

2. a) Proposer une formule de tableur

Pour tout entier naturel n, nous avons, d’après l’énoncé, vn+1 = 0,65vn + 0,05un. Pour calculer le terme de la suite (vn) de la cellule C3, nous avons donc besoin du terme d’indice précédent de la suite (vn) qui se trouve en C2 et du terme d’indice précédent de la suite (un) qui se trouve en B2.

Une formule à saisir dans la cellule C3 permettant de calculer, par recopie vers le bas, les termes de la suite (vn) est « =0,65*C2+0,05*B2 ».

b) Déterminer une valeur seuil

D’après la feuille de calcul reproduite dans l’énoncé, on constate que les termes de la suite (vn) augmentent, puis diminuent à partir de N = 4 (cellule A6).

 

A

B

C

D

1

n

un

vn

wn

2

0

1

0

0

3

1

0,8500

0,0500

0,1000

4

2

0,7225

0,0750

0,2025

5

3

0,6141

0,0849

0,3010

6

4

0,5220

0,0859

0,3921

7

5

0,4437

0,0819

0,4744

8

6

0,3771

0,0754

0,5474

La valeur du pic épidémique prévue par le modèle est donc N = 4.

3. a) Identifier une suite géométrique et sa formule explicite  E4a • E4b • E37 

Pour tout entier naturel n, seul le chemin Sn Sn+1 aboutit à l’événement Sn+1.

D’après la question 1. de la partie A, nous avons, pour tout entier naturel n, PSn(Sn+1)=0,85. Nous en déduisons donc : un+1=P(Sn+1)=P(SnSn+1)=P(Sn)×PSn(Sn+1)=un×0,85=0,85un.

La suite (un) est donc une suite géométrique de raison q = 0,85 et de premier terme u0 = P(S0= 1. Nous avons ainsi, pour tout entier naturel n, un=u0×qn=1×0,85n=0,85n.

b) Raisonner par récurrence  E1 

Soit P(n) la propriété : vn=14(0,85n0,65n).

Initialisation : v0 = P(M0= 0 (énoncé) et 14(0,8500,650)=14×(11)=0 donc v0=14(0,8500,650) et la propriété est initialisée pour n = 0.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k :

vk=14(0,85k0,65k) (hypothèse de récurrence).

Démontrons alors que P(k + 1) est également vérifiée.

vk+1=0,65vk+0,05uk=0,65×14(0,85k0,65k)hypothèse de récurrence+0,05×0,85kquestion 3.a) de la partie B=14×[0,65×(0,85k0,65k)+4×0,05×0,85k]=14×[0,65×0,85k0,65k+1+0,2×0,85k]=14×[(0,65+0,2)=0,85×0,85k0,65k+1]=14(0,85k+10,65k+1).

La propriété P(k + 1) est donc vérifiée.

Conclusion : la propriété P(n) est initialisée pour n = 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n, vn=14(0,85n0,65n).

4. Calculer des limites de suites  E2c • E4d 

À noter

Pour tout réel q tel que - 1 < q < 1, limn+qn=0

Pour tout entier naturel n, nous avons un=0,85n. Comme - 1 < 0,85 < 1, il s’ensuit que limn+un=limn+0,85n=0.

Pour tout entier naturel n, nous avons vn=14(0,85n0,65n)=14(un0,65n). Comme - 1 < 0,65 < 1, il s’ensuit que limn+0,65n=0. Par différence et produit, nous avons alors limn+vn=limn+14(un0,65n)=14×(00)=0.

Pour tout entier naturel n, nous avons un + vn + wn = 1 (question B 1.), soit wn = 1 - un - vn. Par différence des limites, nous avons limn+wn=100=1.

Par ce modèle, puisque limn+un=0, limn+vn=0 et limn+wn=1, nous pouvons déduire qu’à long terme, tous les individus seront immunisés.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

1. Démontrer une équivalence

À noter

Pour tous réels a et b, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors, d’après l’énoncé, les entiers naturels x et x + 1 sont les longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur l’entier naturel y. D’après le théorème de Pythagore appliqué dans ce triangle rectangle, nous avons donc y2 = x2 (x + 1)2.

Cela équivaut à y2 = x2 + x2 + 2x + 1 = 2x2 + 2x + 1.

Ainsi, si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors on a y2 = 2x2 + 2x + 1.

Si le couple d’entiers naturels (x ; y) est tel que y2 = 2x2 + 2x + 1, alors y2 = x2 + x2 + 2x + 1 = x2 + (x + 1)2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés ont pour longueurs respectives x, x + 1 et y est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l’angle droit sont deux nombres entiers consécutifs (x et x + 1) et dont la longueur de l’hypoténuse est un nombre entier (y). Un tel triangle est donc un TRPI et le couple (x ; y) définit un TRPI.

Si le couple d’entiers naturels (x ; y) est tel que y2 = 2x2 + 2x + 1, alors le couple (x ; y) définit un TRPI.

Finalement, le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI si et seulement si on a :

y2 = 2x2 + 2x + 1.

2. Identifier un couple d’entiers naturels sous contrainte

Soit un couple d’entiers naturels (x ; y).

D’après la question 1., le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI si et seulement si y2 = 2x2 + 2x + 1.

x

0

1

2

3

y2 = 2x2 + 2x + 1

1

5

13

25

Condition : y

Vrai

Faux

Faux

Vrai

On constate à l’aide du tableau précédent que les couples (0 ; 1) et (3 ; 5) sont tels que y2 = 2x2 + 2x + 1 et y . Par conséquent, le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3 ; 5).

3. a) Démontrer une implication

À retenir

La contraposée de la proposition « si P est vraie, alors Q est vraie » est la proposition « si Q n’est pas vraie alors P n’est pas vraie ».

Soit n un entier naturel. Si n est pair, alors il existe un entier naturel k tel que n = 2k. Il s’ensuit que n2 = (2k)2 = 4k2 = 2 × 2k2 est pair. Par contraposée, si n2 n’est pas pair, alors n n’est pas pair, ce qui signifie également que, si n2 est impair alors n est impair.

b) Établir une condition nécessaire

Soit un couple d’entiers naturels (x ; y) définissant un TRPI. Par la question 1., on a y2 = 2x2 + 2x + 1 soit encore y2 = 2(x2 + x) + 1. Nous en déduisons que y2 est impair et, par la question 3. a), que y est impair. Ainsi, dans un couple d’entiers naturels (x ; y) définissant un TRPI, le nombre y est nécessairement impair.

4. Démontrer une implication

Soit un couple d’entiers naturels (x ; y) définissant un TRPI.

Par la question 1., on a y2 = 2x2 + 2x + 1, soit encore y2 - 2(x2 + x= 1.

Soit d le PGCD de x et y.

Puisque d divise x, nous en déduisons que d divise x2 et 2(x2 + x).

Comme d divise y, nous en déduisons que d divise y2.

Comme d divise 2(x2 + x) et y2, alors d divise y2 - 2(x2 + x= 1. Or d  donc d = 1.

Ainsi PGCD(x ; y) = 1 et x et y sont premiers entre eux.

En conclusion, si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux.

partie b

1. Établir des égalités

(xy)=A(xy)+B=(3243)×(xy)+(12)=(3x+2y+14x+3y+2).

Par conséquent, x = 3x + 2y + 1 et y = 4x + 3y + 2.

2. a) Démontrer une égalité

y22x(x+1)=(4x+3y+2)22(3x+2y+1)(3x+2y+2)=16x2+9y2+22+24xy+16x+12y2(9x2+6xy+6x+6xy+4y2+4y+3x+2y+2)=16x2+9y2+4+24xy+16x+12y2(9x2+12xy+9x+4y2+6y+2)=16x2+9y2+4+24xy+16x+12y18x224xy18x8y212y4=2x2+y22x=y22x(x+1).

On a donc y2 - 2x(x + 1) = y2 - 2x(x + 1).

b) Exploiter une égalité

Si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors y2 = 2x2 + 2x + 1 (question 1. de la partie A). Cela équivaut à y2 - 2x2 - 2x = 1 soit y2 - 2x(x + 1) = 1.

Puisque la question 2. a) partie B nous donne l’égalité y2 - 2x(x + 1) = y2 - 2x(x + 1), nous en déduisons que y2 - 2x(x + 1) = 1.

Remarque

Dire que « la proposition P équivaut à la proposition Q » signifie que :

« la proposition P implique la proposition Q » ;

et « la proposition Q implique la proposition P ».

Par conséquent, d’après la question 1. de la partie A, nous en déduisons que le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI.

En résumé, si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors le couple d’entiers naturels (x ; y) définit également un TRPI.

3. Raisonner par récurrence  E1 

Considérons la propriété P(n) : le couple(xn ; yn) définit un TRPI.

Initialisation : (x0 ; y0= (3 ; 5) définit un TRPI d’après la question 2. de la partie A donc la propriété P(n) est initialisée pour n = 0.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k : le couple (xk ; yk) définit un TRPI (hypothèse de récurrence).

Démontrons que P(k + 1) est également vérifiée.

Puisque (xk+1yk+1)=A(xkyk)+B, nous déduisons de la question 1. de la partie B que :

xk+1 = 3xk + 2yk + 1 et yk+1 = 4xk + 3yk + 2.

Puisque le couple (xk ; yk) définit un TRPI (hypothèse de récurrence), nous déduisons de la question 2. b) de la partie B que le couple (xk+1 ; yk+1) définit un TRPI.

Conclusion : comme la propriété P(n) est initialisée pour n = 0 et qu’elle est héréditaire, nous en déduisons qu’elle est vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) définit un TRPI.

4. Déterminer un couple d’entiers naturels sous contrainte  C5 

Puisque, d’après la question précédente, pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) définit un TRPI, déterminons à l’aide de la calculatrice les couples (xn ; yn) pour les valeurs successives de l’entier naturel n, en partant de 0, ceci en exploitant la relation matricielle :

(xn+1yn+1)=A(xnyn)+B.

n

0

1

2

3

4

xn

3

20

119

696

4 059

yn

5

29

169

985

5 741

Un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2 017 est défini par le couple (4 059 ; 5 741).