Sujet complet de France métropolitaine 2017

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet de France métropolitaine 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Fonction exponentielle • Intégration • Algorithmique

Exercice 2 – Géométrie dans l’espace

Exercice 3 – Nombres complexes • Probabilités • Loi normale

Exercice 4 – Probabilités conditionnelles • Suites

Exercice 4 (spécialité) – Arithmétique • Matrices

 

Exercice 1 (7 points) • 90 min
Étude complète de l’aire d’un domaine

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + [ par :

(x= xex.

1. Déterminer la limite de la fonction en + .

2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle [0 ; + [ et dresser son tableau de variations.

3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction .

a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + [, on a :

(x= ex(x)

désigne la fonction dérivée de .

b) Déterminer une primitive sur l’intervalle [0 ; + [ de la fonction x  ex.

c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction  sur l’intervalle [0 ; + [.

Partie B

On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; + [ par :

f(x= xex + ln(x + 1) et g(x= ln(x + 1).

On note 𝒞f et 𝒞g les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé tracées ci-dessous.

matT_1706_07_01C_01

1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + [, on appelle M le point de coordonnées (x ; f(x)) et N le point de coordonnées (x ; g(x)) : M et N sont donc les points d’abscisse x appartenant respectivement aux courbes 𝒞f et 𝒞g.

a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.

b) Placer sur le graphique ci-dessus les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.

2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; + [. On note 𝒟λ le domaine du plan délimité par les courbes 𝒞f et 𝒞g et par les droites d’équations x = 0 et x = λ.

a) Hachurer le domaine 𝒟λ correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique ci-dessus.

b) On note 𝒜λ l’aire du domaine 𝒟λ, exprimée en unités d’aire. Démontrer que :

Aλ=1λ+1eλ.

c) Calculer la limite de 𝒜λ lorsque λ tend vers +  et interpréter le résultat.

3. On considère l’algorithme suivant  

Variables

λ est un réel positif

S est un réel strictement compris entre 0 et 1.

Initialisation

Saisir S

λ prend la valeur 0

Traitement

Tant que 1λ+1eλ<S faire

λ prend la valeur λ + 1

Fin Tant que

Sortie

Afficher λ

a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?

b) Quel est le rôle de cet algorithme ?

Exercice 2 (3 points) • 35 min
Distance d’un point à un plan

Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k).

Soit 𝒫 le plan d’équation cartésienne 2xz − 3 = 0.

On note A le point de coordonnées (1 ; a ; a2), où a est un nombre réel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel a, le point A n’appartient pas au plan 𝒫.

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite 𝒟 (de paramètre noté t) passant par le point A et orthogonale au plan 𝒫.

matT_1706_07_01C_02

b) Soit M un point appartenant à la droite 𝒟, associé à la valeur t du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.

Exprimer la distance AM en fonction du réel t.

On note H le point d’intersection du plan 𝒫 et de la droite 𝒟 orthogonale à 𝒫 et passant par le point A. Le point H est appelé le projeté orthogonal du point A sur le plan 𝒫, et la distance AH est appelée distance du point A au plan 𝒫.

3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées (1 ; a ; a2) au plan 𝒫 est minimale ? Justifier la réponse.

Exercice 3 (5 points) • 55 min
Le capteur de foudre

Commun à tous les candidats

Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d’incendie.

Le but de l’exercice est d’étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.

L’écran radar, sur lequel les points d’impact de foudre sont observés, a l’allure suivante :

matT_1706_07_01C_03

Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l’écran, cinq cercles concentriques correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent dans l’ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de A à H.

L’écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3.

On assimile l’écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé (O;u,v) de la manière suivante :

l’origine O marque la position du capteur ;

l’axe des abscisses est orienté d’ouest en est ;

l’axe des ordonnées est orienté du sud au nord ;

l’unité choisie est le kilomètre.

Dans la suite, un point de l’écran radar est associé à un point d’affixe z.

Partie A

1. On note zP l’affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent. On appelle r le module de zP et θ son argument dans l’intervalle ]– π ; π].

Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour r et pour θ (aucune justification n’est demandée).

Proposition A

Proposition B

Proposition C

Proposition D

40 < r < 60

et

0<θ<π4

20 < r < 40

et

π2<θ<3π4

40 < r < 60

et

π4<θ<π2

0 < r < 60

et

π2<θ<π4

2. Un impact de foudre est matérialisé sur l’écran en un point d’affixe z. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :

a) z = 70 eiπ3 ;

b) z = − 453 + 45i.

Partie B

On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d’affixe 50eiπ3.

En raison d’imprécisions de mesures, le point d’impact affiché ne donne qu’une indication approximative du point d’impact réel de la foudre.

Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d’impact P d’affixe 50eiπ3, l’affixe z du point d’impact réel de la foudre admet :

un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi normale d’espérance μ = 50 et d’écart type σ = 5 ;

un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d’espérance π3 et d’écart type π12.

On suppose que les variables aléatoires M et T sont indépendantes, c’est-à-dire que quels que soient les intervalles I et J, les événements (M  I) et (T J) sont indépendants.

Dans la suite, les probabilités seront arrondies à 10−3 près.

1. Calculer la probabilité P(M < 0) et interpréter le résultat obtenu.

2. Calculer la probabilité P(M ]40 ; 60[).

3. On admet que P(T]π4;π2[)=0,819.

En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation.

Exercice 4 (5 points) • 60 min
Propagation d’un virus

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine.

Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité :

soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type S » ;

soit malade (atteint par le virus) ;

soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus.

Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 : 85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;

parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 : 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés ;

tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1.

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

Sn : « l’individu est de type S en semaine n » ;

Mn : « l’individu est malade en semaine n » ;

In : « l’individu est immunisé en semaine n ».

En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes :

P(S0= 1, P(M0= 0 et P(I0= 0.

Partie A

On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.

1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :

matT_1706_07_01C_04

2. Montrer que P(I2= 0,2025.

3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?

Partie B

On étudie dans cette partie l’évolution à long terme de l’épidémie.

Pour tout entier naturel n, on note un = P(Sn), vn = P(Mn) et wn = P(In) les probabilités respectives des événements Sn, Mn et In.

1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un + vn + wn = 1.

On admet que la suite (vn) est définie par v0 = 0 et, pour tout entier naturel n :

vn+1 = 0,65vn + 0,05un.

2. À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (un), (vn) et (wn) :

A

B

C

D

1

n

un

vn

wn

2

0

1

0

0

3

1

0,8500

0,0500

0,1000

4

2

0,7225

0,0750

0,2025

5

3

0,6141

0,0849

0,3010

6

4

0,5220

0,0859

0,3921

7

5

0,4437

0,0819

0,4744

8

6

0,3771

0,0754

0,5474

20

18

0,0536

0,0133

0,9330

21

19

0,0456

0,0113

0,9431

22

20

0,0388

0,0096

0,9516

Pour répondre aux questions a) et b) suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.

a) Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (vn) ?

b) On admet que les termes de (vn) augmentent, puis diminuent à partir d’un certain rang N, appelé le « pic épidémique » : c’est l’indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.

Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle.

3. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0,85 un.

En déduire l’expression de un en fonction de n.

b) Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a :

vn=14(0,85n0,65n).

4. Calculer les limites de chacune des trois suites (un), (vn) et (wn).

Que peut-on en déduire quant à l’évolution de l’épidémie prévue à long terme par ce modèle ?

Exercice 4 (5 points) • 60 min
Le fameux acronyme TRPI

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs x et x + 1, et dont l’hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.

matT_1706_07_01C_05

Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l’angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l’hypoténuse est un nombre entier.

Si le triangle de côtés x, x + 1 et y, où y est la longueur de l’hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple (x ; y) définit un TRPI.

Partie A

1. Démontrer que le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI si et seulement si on a :

y= 2x2 + 2x + 1.

2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3 ; 5).

3. a) Soit n un entier naturel. Montrer que si n2 est impair alors n est impair.

b) Montrer que dans un couple d’entiers (x ; y) définissant un TRPI, le nombre y est nécessairement impair.

4. Montrer que si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux.

Partie B

On note A la matrice carrée A=(3243), et B la matrice colonne B=(12).

Soient x et y deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels x et y par la relation :

(xy)=A(xy)+B.

1. Exprimer x et y en fonction de x et y.

2. a) Montrer que y22x(x+1)=y22x(x+1).

b) En déduire que si le couple (x ; y) définit un TRPI, alors le couple (x ; y) définit également un TRPI.

3. On considère les suites (xn)n et (yn)n d’entiers naturels, définies par x0 = 3, y0 = 5 et pour tout entier naturel n :

(xn+1yn+1)=A(xnyn)+B.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) définit un TRPI.

4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

3. a) Identifiez le terme h(x) dans l’expression de h(x) déterminée à la question 2. Concluez en réécrivant l’égalité ainsi obtenue.

3. c) Prenez en compte le fait que, par définition, une primitive de la fonction h sur l’intervalle [0 ; + [ est h.

Partie B

1. a) Rappelez-vous qu’étant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère orthonormé, la distance AB est donnée par : (xBxA)2+(yByA)2.

3. a) Déroulez l’algorithme en présentant les différentes étapes à l’aide d’un tableau composé de trois colonnes : valeur prise par la variable λ, valeur approchée au cent-millième de 1λ+1eλ et vérification ou non de la condition de l’instruction « Tant que ».

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

3. Déterminez dans un premier temps le paramètre t associé au point H dans la représentation paramétrique de 𝒟 en fonction du réel a. Utilisez, pour ce faire, le fait que H appartient à 𝒟 et à 𝒫. Exprimez ensuite la distance AH à l’aide de la question 2. b) également en fonction du réel a. Concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. b) Écrivez le nombre complexe z sous forme exponentielle.

Partie B

3. Traduisez la probabilité énoncée à l’aide des variables aléatoires M et T. Concluez en utilisant l’indépendance de ces deux variables aléatoires.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

2. Identifiez tous les chemins menant à l’événement I2 avant d’appliquer la formule des probabilités totales.

Partie B

3. a) Remarquez que seul un chemin passant par l’événement Sn permet d’aboutir à l’événement Sn+1. Utilisez ensuite la notation un = P(Sn) et la formule des probabilités totales pour conclure.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

1. Démontrez l’équivalence à l’aide d’une double implication.

2. Faites un tableau avec les valeurs successives de l’entier naturel x en partant de 0 pour prouver le résultat demandé.

3. a) Faites un raisonnement par contraposée.

4. Exploitez le résultat de la première question et montrez que le PGCD de x et y divise 1.

Partie B

4. Faites un tableau avec les valeurs successives de xn et yn obtenues à la calculatrice en exploitant l’égalité matricielle de la question 3.