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Sujet complet de France métropolitaine 2017 (session de remplacement)

France métropolitaine • Septembre 2017

Sujet complet • 20 points •  3 heures

Sujet complet de France métropolitaine 2017 (session de remplacement)

Les thèmes clés

Exercice 1 – Tangente • Convexité.

Exercice 2 – Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

Exercice 3 – Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Exercice 3 (spécialité) – Graphe probabiliste • Suite géométrique.

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Primitive.

 

Exercice 1 (4 points) 35 min
Vrai/Faux sur une fonction, lectures graphiques : 4 questions

Commun à tous les candidats

On donne ci-dessous la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [23]. On note f la fonction dérivée de cette fonction sur l'intervalle [23].

matT_1709_07_00C_01

On dispose des renseignements suivants :

T est la tangente à la courbe C au point A(- 0,5   2), elle passe par le point F(1  0,5).

Test la tangente à la courbe C au point B d'abscisse 32.

Les droites T et T sont parallèles.

Les tangentes à C aux points D d'abscisse - 1 et E d'abscisse 2 sont parallèles à l'axe des abscisses.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

Affirmation 1

f(12) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 12, c'est-à-dire au point A.

Les nombres f(12) et f(32) sont tous deux égaux à - 1.

Affirmation 2

La courbe ci-contre représente la fonction f sur [23].

matT_1709_07_00C_02

Affirmation 3

La fonction f est concave sur l'intervalle [23].

Affirmation 4

Sur [20], toute primitive de f est croissante.

Exercice 2 (6 points) 50 min
Répartition des visiteurs dans un musée et durée d'une visite

Commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

En janvier 2015, le directeur d'un musée d'art contemporain ­commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

partie a

Le musée dispose d'un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d'entrée du musée ou commander un billet en ligne.

Trois types de visites sont proposés :

la visite individuelle sans location d'audioguide 

la visite individuelle avec location d'audioguide 

la visite en groupe d'au moins 10 personnes  dans ce cas, un seul billet est émis pour le groupe.

Le site internet permet uniquement d'acheter les billets individuels avec ou sans audioguide. Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d'entrée du musée.

Sur l'année 2015, l'enquête a révélé que :

55 % des billets d'entrée ont été achetés au guichet du musée 

parmi les billets achetés au guichet du musée, 51 % des billets ­correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide et 37 % à des visites avec location d'audioguide 

70 % des billets achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide.

On choisit au hasard un billet d'entrée au musée acheté en 2015.

On considère les événements suivants :

E : « le billet a été acheté en ligne » 

A : « le billet correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide » 

L : « le billet correspond à une visite individuelle sans location d'audioguide » 

G : « le billet correspond à une visite de groupe ».

On rappelle que si E et F sont deux événements, p(E) désigne la probabilité de l'événement E et pF(E) désigne la probabilité de l'événement E sachant que l'événement F est réalisé. On note E¯ l'événement contraire de E.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l'énoncé : (1 point)

matT_1709_07_00C_03

2. Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à 0,135. (0,5 point)

3. Montrer que p(A)=0,3385. (0,75 point)

4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée ? (0,75 point)

On arrondira le résultat au millième.

partie b

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l'enquête a porté sur la durée d'une visite de ce musée. Il a été établi que la durée D d'une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne μ = 90 et d'écart-type σ = 15.

1. Déterminer p(90 D 120), puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (1 point)

2. Le directeur précise qu'il augmentera la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée si plus de 2 % des visiteurs restent plus de 2 heures 30 par visite. Quelle sera alors sa décision ? (1 point)

partie c

Sur l'ensemble des musées d'art contemporain, 22 % des visiteurs sont de nationalité étrangère. Sur un échantillon aléatoire de 2 000 visiteurs du musée considéré précédemment, 490 sont de nationalité étrangère.

Que peut en conclure le directeur de ce musée ? Argumenter. (1 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Évolution du tirage journalier moyen des quotidiens français d'information

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et ­candidats de série L

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d'information générale et politique, c'est-à-dire le nombre moyen d'exemplaires imprimés par jour.

Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires :

Année

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

Tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires

10 982

10 596

10 274

10 197

10 182

9 793

9 321

8 854

Source : DGMIC (Direction générale des médias et des industries culturelles)

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

1. Calculer le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008. (0,5 point)

Pour tout entier naturel n, on note Vn le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année (2007 + n).

On modélise la situation en posant V0 = 10 982 et, pour tout entier naturel n :

Vn+1 = 0,96 Vn + 100.

2. Calculer V1, puis V2. (0,5 point)

3. Soit (Wn) la suite définie pour tout entier naturel n, par :

Wn = Vn - 2 500.

a) Montrer que (Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme. (0,75 point)

b) Déterminer l'expression de Wn en fonction de n. (0,5 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel n :

Vn=8482×0,96n+2500. (0,5 point)

4. a) Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017. (0,5 point)

b) Déterminer la limite de la suite (Wn). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. (0,75 point)

c) Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année (2007 + n), pour un nombre d'années n choisi par l'utilisateur. (1 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Évolution de la proportion d'inscrits dans une école de musique

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une commune, l'école de musique propose des cours d'éveil musical. En 2013, 20 % des enfants de la commune suivaient les cours d'éveil musical de cette école. Chaque année, 70 % des enfants inscrits restent dans l'école l'année suivante, et par ailleurs, 20 % des enfants de la commune qui n'y étaient pas inscrits viennent s'y ajouter.

Pour tout entier naturel n, on note :

cn la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical en 2013 + n 

dn la proportion des enfants de la commune qui ne sont pas inscrits à cet éveil musical en 2013 + n 

En= (cndn) la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année 2013 + n. Ainsi, on a E0=(0,20,8).

On choisit au hasard un enfant de la commune.

partie a

1. Traduire la situation par un graphe probabiliste. On note :

C l'état « l'enfant est inscrit aux cours d'éveil musical » 

D l'état « l'enfant n'est pas inscrit aux cours d'éveil musical ». (0,5 point)

2. Déterminer la matrice A de transition, c'est-à-dire la matrice vérifiant, pour tout entier naturel n :

En+1 = En × A. (0,5 point)

3. Déterminer E1 et E2. (0,5 point)

4. Déterminer l'état probabiliste stable en justifiant votre réponse. Interpréter les résultats. (0,75 point)

partie B

1. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a cn + dn = 1.

Justifier que pour tout entier naturel n, on a cn+1 = 0,5cn + 0,2. (0,5 point)

On admet pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel n :


cn=0,2× 0,5n+0,4.

2. Montrer que la suite (cn) est croissante. (0,5 point)

3. a) Proposer un algorithme affichant la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical à partir de 2013 jusqu'à l'année 2013 + n, pour un nombre d'années n saisi par l'utilisateur. (0,75 point)

b) La proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira-t-elle le seuil de 39 % ? Si oui, indiquer l'année en expliquant la démarche. (0,5 point)

4. Le directeur de cette école affirme que si ce modèle d'évolution reste valable, la proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical dépassera le seuil de 50 %. Peut-on valider cette affirmation ? Argumenter la réponse. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points) 45 min
Coût de production d'une enceinte et marge brute d'une entreprise

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d'une enceinte est de 300 euros.

On note x le prix de vente en centaines d'euros d'une enceinte.

Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel x de l'intervalle [3   10], si le prix de vente d'une enceinte est x centaines d'euros, alors le nombre d'acheteurs est modélisé par f(x)=e0,25x+5.

Ainsi, f(x) est une approximation du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de x centaines d'euros. Par exemple, si le prix de vente d'une enceinte est fixé à 400 euros, le nombre d'acheteurs est approché par f(4).

1. Donner une valeur approximative du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de 400 euros. (0,5 point)

On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.

2. Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de 400 euros par enceinte ? (0,5 point)

On note g(x) la marge brute, en centaines d'euros, réalisée par l'entreprise pour un prix de vente de x centaines d'euros par enceinte.

3. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [3   10] :

g(x)=(x3)e0,25x+5.(1 point)

4. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

factoriser (dériver [(x - 3) * exp(- 0,25x + 5)])

x74e14 x+5

a) En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle [3   10]. (1 point)

b) Pour quel prix de vente unitaire l'entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale ? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l'euro près. (0,75 point)

5. Soit G la fonction telle que G(x)=(4x4)e0,25x+5 pour tout réel x de [3  10].

a) Montrer que G est une primitive de la fonction g. (0,5 point)

b) On pose I=310g(x)dx. Déterminer la valeur exacte de I. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Affirmation 1. Si f est une fonction dérivable en a, alors f(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

Affirmation 4. Une primitive de f a pour dérivée f.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

 1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l'énoncé.

 2. On demande la probabilité de l'intersection de deux événements.

 3. Un audioguide peut être loué en ligne ou au guichet du musée.

Partie C

Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique, après avoir vérifié les conditions.

Exercice 3 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)

3. a) La suite (Wn) est géométrique de raison 0,96 si et seulement si, pour tout entier naturel n, Wn+1 = 0,96 Wn.

4. a) Le tirage moyen journalier prévu pour l'année 2017 selon le modèle adopté est V10 (en milliers d'exemplaires).

b) Déterminez la limite de la suite (Vn) avant de donner une interprétation du résultat.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

 1. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.

 4. L'état probabiliste stable est représenté par une matrice ligne P telle que P × A = P.

Partie B

 1. Utilisez l'égalité En+1 = En × A.

 3. b) Utilisez la fonction ln.

 4. Utilisez la limite de la suite (cn).

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

 1. Une valeur approximative du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de 400 euros est f(4).

4. b) Utilisez les variations de g étudiées à la question précédente.

5. a) G est une primitive de g si et seulement si g est la dérivée de G.

b) Utilisez la fonction G de la question précédente.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Affirmation 1. Déterminer des nombres dérivés

f(12) est le coefficient directeur de la droite T, c'est-à-dire la droite (AF).

D'où f(12)=0,521+0,5, donc f(12)=1.

f(32) est le coefficient directeur de la droite T, qui est parallèle à T et a donc le même coefficient directeur.

L'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Déterminer si une courbe représente la dérivée d'une fonction

Sur la courbe donnée, les points d'abscisses 12 et 32 ont une ordonnée positive, alors que f(12) et f(32) sont négatifs (égaux à - 1, voir affirmation 1).

L'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Étudier la concavité d'une fonction sur un intervalle

Une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si, en tout point de cet intervalle, sa courbe représentative est en dessous de sa tangente. Or la courbe C est (par exemple) au-dessus de sa tangente au point B d'abscisse 32.

L'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4. Déterminer le sens de variation d'une fonction

Sur l'intervalle [20], f est strictement positive, donc toute primitive de f, c'est-à-dire toute fonction dont f est la dérivée, est croissante sur cet intervalle.

L'affirmation 4 est vraie.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie a

 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D'après l'énoncé, p(E¯)=0,55 (55 % des billets ont été achetés au guichet), donc 45 % des billets ont été achetés en ligne.

D'autre part, parmi les billets achetés au guichet, 51 % des billets correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide, et 37 % à des visites avec location d'audioguide, donc :

pE¯(A)=0,37 et pE¯(L)=0,51.

D'où l'arbre :

matT_1709_07_00C_04

2. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements

L'événement « le billet a été acheté en ligne et correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide » est E A. Sa probabilité est :

p(EA)=p(E)×pE(A)

p(EA)=0,45×0,3

p(EA)=0,135

3. Calculer la probabilité d'un événement en utilisant une partition de l'univers

Les billets pour les visites individuelles avec audioguide peuvent être achetés en ligne ou au guichet, donc E et E¯ forment une partition de l'univers, d'où :

p(A)=p(EA)+p(E¯A)

p(A)=0,135+0,55×0,37

p(A)=0,3385

4. Calculer une probabilité conditionnelle

info

Le résultat obtenu peut être interprété de la manière suivante : un peu plus de 60 % des billets pour une visite individuelle avec location d'audioguide sont achetés au guichet du musée.

La probabilité cherchée est pA(E¯). C'est une probabilité conditionnelle :

pA(E¯)=p(AE¯)p(A)=0,55×0,370,3385=0,20350,3385.

En arrondissant au millième :

pA(E¯)0,601

Sachant que le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide, la probabilité qu'il ait été acheté au guichet du musée est environ 0,601 en arrondissant au millième.

partie b

 1. Déterminer et interpréter une probabilité associée à une loi normale

D'après la calculatrice :

p(90D120)0,477

Environ 47,7 % des visites durent entre 90 et 120 minutes, c'est-à-dire entre 1 heure 30 et 2 heures.

 2. Déterminer une probabilité associée à une loi normale et prendre une décision

gagnez des points !

D suit une loi normale de moyenne 90, donc : p(D90)=p(D90)=0,5.

On calcule la probabilité qu'une visite dure plus de 2 heures et 30 minutes, c'est-à-dire plus de 150 minutes.

p(D>150)=p(D90)p(90D150)

p(D>150)=0,5p(90D150).

À l'aide de la calculatrice :

p(D>150)0,000032

p(D>150)0,02.

Moins de 2 % des visiteurs restent plus de 2 heures et 30 minutes par visite.

Donc il n'est pas nécessaire que le directeur du musée augmente la capacité d'accueil de l'espace restauration.

partie c

Utiliser le résultat d'un échantillonnage pour étudier une fréquence

La taille de l'échantillon est n = 2 000 et la proportion théorique de visiteurs de nationalité étrangère est p = 0,22, puisque sur l'ensemble des musées d'art contemporain, 22 % des visiteurs sont de nationalité étrangère.

n 30, n p = 2 000 × 0,22 = 440 n(1p)=2000×0,78=15605.

Les conditions sont remplies, donc on peut déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

L'intervalle [0,221,96 0,22×0,782 000  0,22+1,96 0,22×0,782 000] est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de visiteurs de nationalité étrangère dans un échantillon aléatoire de 2 000 visiteurs.

À l'aide de la calculatrice et en arrondissant convenablement les bornes, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de visiteurs de nationalité étrangère dans un échantillon aléatoire de 2 000 visiteurs est :

I=[0,201  0,239]

Dans l'échantillon considéré, la fréquence de visiteurs étrangers est f=4902000, soit f = 0,245.

f I, donc au risque d'erreur de 5 %, le directeur peut conclure que la proportion de visiteurs de nationalité étrangère est plus élevée dans son musée que dans l'ensemble des musées d'art contemporain.

Exercice 3

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

 1. Calculer un taux d'évolution

Le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est :

10 59610 98210 9820,0351

Entre 2007 et 2008, le tirage moyen journalier a diminué d'environ 3,51 %.

 2. Calculer deux termes d'une suite

V1 = 0,96 × 10 982 + 100

V1=10 642,72

V2 = 0,96 × 10 642,72 + 100

V210317,01

3. a) Montrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

Wn+1 = Vn+1 - 2 500 = 0,96 Vn + 100 - 2 500

Wn+1=0,96 (Wn+2500)2400=0,96 Wn+24002400

Wn+1=0,96 Wn

La suite (Wn) est géométrique de raison 0,96, de premier terme W0=V02500=8482.

b) Déterminer l'expression du terme général d'une suite

D'après le cours, pour tout entier naturel n :

Wn=8482×0,96n

c) Déterminer l'expression du terme général d'une autre suite

Pour tout entier naturel n, Vn = Wn + 2 500.

Vn=8482×0,96n+2500

4. a) Calculer un terme d'une suite

2017 = 2007 + 10, donc le tirage moyen journalier en milliers prévu selon le modèle considéré pour l'année 2017 est V10 :

V10=8482×0,9610+2500

V108139,11

Donc le tirage moyen journalier prévu pour l'année 2017 est 8 139 110 exemplaires.

b) Déterminer et interpréter la limite d'une suite

(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96, et 0 0,96 1, donc :

limn+Wn=0

On en déduit que :

limn+Vn=2 500

Le tirage moyen journalier va tendre vers 2 500 milliers.

c) Proposer un algorithme affichant les termes successifs d'une suite

attention !

Le premier nombre affiché par l'algorithme est 10 982 (tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires en 2007). L'algorithme affiche au total (n + 1) nombres successifs.

L'algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires, à partir de 2007 jusqu'à l'année (2007 + n), pour un nombre d'années n saisi par l'utilisateur :

006_matT_1709_07_00C_algo_001

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

 1. Traduire une situation par un graphe probabiliste

Le graphe probabiliste suivant traduit la situation :

matT_1709_07_00C_05

2. Déterminer la matrice de transition d'un graphe probabiliste

La matrice de transition est :

A=(0,70,30,20,8)

3. Déterminer deux états probabilistes

E1=(0,20,8)×(0,70,30,20,8)

E1=(0,30,7)

E2=E1×A=(0,30,7)×(0,70,30,20,8)

E1=(0,350,65)

4. Déterminer et interpréter un état probabiliste stable

L'état probabiliste stable est représenté par la matrice (cd) telle que :

(cd)=(cd)×A et c + d = 1.

(cd)=(cd)×A  {c=0,7c+0,2dd=0,3c+0,8d0,3c0,2d=0

Le système {0,3c0,2d=0c+d=1 équivaut à (cd)=(0,40,6).

L'état stable du système est (0,4 0,6).

Au bout d'un certain nombre d'années :

le pourcentage d'enfants inscrits à l'éveil musical se rapprochera de 40 % 

le pourcentage d'enfants non inscrits à l'éveil musical se rapprochera de 60 %.

partie B

 1. Établir une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

Pour tout entier naturel n, En = (cndn) et En+1 = En × A, donc :

cn+1 = 0,7cn + 0,2dn.

cn + dn = 1, d'où :

cn+1 = 0,7cn + 0,2(1 - cn)

cn+1= 0,5cn+0,2

2. Montrer qu'une suite est croissante

Pour tout entier naturel :

cn+1cn=0,2×0,5n+1+0,4+0,2×0,5n0,4=0,2×0,5n(0,5+1)

cn+1cn=0,2×0,5n+1

Pour tout entier naturel n, cn+1 - cn > 0.

Donc la suite (cn) est croissante.

 3. a) Proposer un algorithme affichant les termes successifs d'une suite

attention !

Le premier nombre affiché par l'algorithme est 0,2 (proportion d'enfants de la commune inscrits à l'éveil musical en 2013). L'algorithme affiche au total (n + 1) nombres successifs.

L'algorithme suivant affiche la proportion d'enfants de la commune inscrits à l'éveil musical à partir de 2013 jusqu'à l'année (2013 + n), pour un nombre d'années n saisi par l'utilisateur :

006_matT_1709_07_00C_algo_002

attention !

Dans le raisonnement, on utilise deux propriétés de la fonction ln :

la fonction ln est strictement croissante sur ]0 +

ln(0,5)0 car 0 0,5 1.

b) Déterminer si les termes d'une suite dépassent une valeur donnée et si oui, à partir de quel rang

On cherche s'il existe un entier naturel n tel que cn > 0,39.

cn>0,390,2×0,5n+0,4>0,390,2×0,5n0,010,5n0,05

cn>0,39nln(0,5)ln(0,05)n>ln(0,05)ln(0,5).

Or ln(0,05)ln(0,5)4,32, donc :

cn>0,39n5

attention !

c5 est la proportion d'enfants de la commune inscrits à l'éveil musical en 2013 + 5.

La proportion d'enfants de la commune inscrits à l'éveil musical franchira le seuil de 39 % à partir de 2018.

 4. Déterminer si les termes d'une suite dépassent une autre valeur donnée

D'après les résultats établis précédemment, la suite (cn) est croissante et a pour limite 0,4. Donc, pour tout entier naturel n, cn 0,4  la proportion d'enfants de la commune inscrits à l'éveil musical ne dépassera pas le seuil de 40 %.

On ne peut donc pas valider l'affirmation du directeur de l'école.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

 1. Donner une valeur approximative de l'image d'un nombre par une fonction

Puisque f(x) est une approximation du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de x centaines d'euros, on peut dire que pour un prix de vente de 400 euros, le nombre d'acheteurs est approché par f(4) :

f(4)=e4 54,60.

Pour un prix de vente de 400 euros, il y a environ 55 acheteurs.

 2. Déterminer la marge brute d'une entreprise pour un prix de vente de 400 euros

Si chaque enceinte est vendue 400 euros, alors que son coût de production est de 300 euros et que le nombre d'enceintes vendues est f(4), la marge brute de l'entreprise est :

(400300)×f(4) = 100×f(4) 5 460.

La marge brute de l'entreprise pour un prix de vente de 400 euros par enceinte est environ 5 460 euros.

 3. Déterminer la marge brute d'une entreprise en fonction du prix de vente

attention !

g(x) est la marge brute de l'entreprise exprimée en centaines d'euros. Le résultat de la question précédente est 100g(4).

Par le même raisonnement que précédemment, si chaque enceinte est vendue x centaines d'euros, alors que son coût de production est 300 euros, c'est-à-dire 3 centaines d'euros et que le nombre d'enceintes vendues est f(x), alors la marge brute de l'entreprise est, en centaines d'euros :

g(x)=(x3)×f(x)

g(x)=(x3)e0,25x+5

4. a) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle donné

conseil

On ne demande pas de vérifier le résultat du logiciel de calcul formel.

D'après le résultat du logiciel de calcul formel, pour tout x [3  10] :

g(x)=x74e14 x+5.

Or e14 x+5>0 pour tout x, donc g(x) est du signe de x74, c'est-à-dire du signe de 7 - x, d'où le tableau :

006_matT_1709_07_00C_tab1

b) Déterminer la valeur où une fonction atteint son maximum et le calculer

D'après la question précédente, l'entreprise réalise une marge brute maximale pour x = 7, c'est-à-dire pour un prix de vente unitaire de 700 euros.

La marge brute maximale est g(7), c'est-à-dire 4e3,25 (en centaines d'euros).

4e3,25103,16, la marge brute maximale de l'entreprise est environ 10 316 euros.

5. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

Pour tout réel x de [3  10] :

G(x)=4 e0,25x+5+(4x4)×(0,25 e0,25x+5)

G(x)=e0,25x+5(4+x+1)=(x3)e0,25x+5

G(x)=g(x)

Donc G est une primitive de g sur [310].

b) Calculer une intégrale

I=310g(x) dx=G(10)G(3)

I=44e2,5+16e4,25

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