Sujet complet de France métropolitaine 2017 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Septembre 2017

Sujet complet • 20 points •  3 heures

Sujet complet de France métropolitaine 2017 (session de remplacement)

Les thèmes clés

Exercice 1 – Tangente • Convexité.

Exercice 2 – Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

Exercice 3 – Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Exercice 3 (spécialité) – Graphe probabiliste • Suite géométrique.

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Primitive.

 

Exercice 1 (4 points) 35 min
Vrai/Faux sur une fonction, lectures graphiques : 4 questions

Commun à tous les candidats

On donne ci-dessous la courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2;3]. On note f la fonction dérivée de cette fonction sur l’intervalle [2;3].

matT_1709_07_00C_01

On dispose des renseignements suivants :

T est la tangente à la courbe C au point A(- 0,5   2), elle passe par le point F(1 ; 0,5).

Test la tangente à la courbe C au point B d’abscisse 32.

Les droites T et T sont parallèles.

Les tangentes à C aux points D d’abscisse - 1 et E d’abscisse 2 sont parallèles à l’axe des abscisses.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

Affirmation 1

f(12) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 12, c’est-à-dire au point A.

Les nombres f(12) et f(32) sont tous deux égaux à - 1.

Affirmation 2

La courbe ci-contre représente la fonction f sur [2;3].

matT_1709_07_00C_02

Affirmation 3

La fonction f est concave sur l’intervalle [2;3].

Affirmation 4

Sur [2;0], toute primitive de f est croissante.

Exercice 2 (6 points) 50 min
Répartition des visiteurs dans un musée et durée d’une visite

Commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

En janvier 2015, le directeur d’un musée d’art contemporain ­commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

partie a

Le musée dispose d’un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d’entrée du musée ou commander un billet en ligne.

Trois types de visites sont proposés :

la visite individuelle sans location d’audioguide ;

la visite individuelle avec location d’audioguide ;

la visite en groupe d’au moins 10 personnes ; dans ce cas, un seul billet est émis pour le groupe.

Le site internet permet uniquement d’acheter les billets individuels avec ou sans audioguide. Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d’entrée du musée.

Sur l’année 2015, l’enquête a révélé que :

55 % des billets d’entrée ont été achetés au guichet du musée ;

parmi les billets achetés au guichet du musée, 51 % des billets ­correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide et 37 % à des visites avec location d’audioguide ;

70 % des billets achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide.

On choisit au hasard un billet d’entrée au musée acheté en 2015.

On considère les événements suivants :

E : « le billet a été acheté en ligne » ;

A : « le billet correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide » ;

L : « le billet correspond à une visite individuelle sans location d’audioguide » ;

G : « le billet correspond à une visite de groupe ».

On rappelle que si E et F sont deux événements, p(E) désigne la probabilité de l’événement E et pF(E) désigne la probabilité de l’événement E sachant que l’événement F est réalisé. On note E¯ l’événement contraire de E.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l’énoncé : (1 point)

matT_1709_07_00C_03

2. Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d’audioguide est égale à 0,135. (0,5 point)

3. Montrer que p(A)=0,3385. (0,75 point)

4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée ? (0,75 point)

On arrondira le résultat au millième.

partie b

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l’enquête a porté sur la durée d’une visite de ce musée. Il a été établi que la durée D d’une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne μ = 90 et d’écart-type σ = 15.

1. Déterminer p(90 D 120), puis interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (1 point)

2. Le directeur précise qu’il augmentera la capacité d’accueil de l’espace restauration du musée si plus de 2 % des visiteurs restent plus de 2 heures 30 par visite. Quelle sera alors sa décision ? (1 point)

partie c

Sur l’ensemble des musées d’art contemporain, 22 % des visiteurs sont de nationalité étrangère. Sur un échantillon aléatoire de 2 000 visiteurs du musée considéré précédemment, 490 sont de nationalité étrangère.

Que peut en conclure le directeur de ce musée ? Argumenter. (1 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Évolution du tirage journalier moyen des quotidiens français d’information

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et ­candidats de série L

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d’information générale et politique, c’est-à-dire le nombre moyen d’exemplaires imprimés par jour.

Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires :

Année

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

Tirage moyen journalier en milliers d’exemplaires

10 982

10 596

10 274

10 197

10 182

9 793

9 321

8 854

Source : DGMIC (Direction générale des médias et des industries culturelles)

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

1. Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008. (0,5 point)

Pour tout entier naturel n, on note Vn le tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires, de l’année (2007 + n).

On modélise la situation en posant V0 = 10 982 et, pour tout entier naturel n :

Vn+1 = 0,96 Vn + 100.

2. Calculer V1, puis V2. (0,5 point)

3. Soit (Wn) la suite définie pour tout entier naturel n, par :

Wn = Vn - 2 500.

a) Montrer que (Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme. (0,75 point)

b) Déterminer l’expression de Wn en fonction de n. (0,5 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel n :

Vn=8482×0,96n+2500. (0,5 point)

4. a) Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année 2017. (0,5 point)

b) Déterminer la limite de la suite (Wn). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. (0,75 point)

c) Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007 + n), pour un nombre d’années n choisi par l’utilisateur. (1 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Évolution de la proportion d’inscrits dans une école de musique

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une commune, l’école de musique propose des cours d’éveil musical. En 2013, 20 % des enfants de la commune suivaient les cours d’éveil musical de cette école. Chaque année, 70 % des enfants inscrits restent dans l’école l’année suivante, et par ailleurs, 20 % des enfants de la commune qui n’y étaient pas inscrits viennent s’y ajouter.

Pour tout entier naturel n, on note :

cn la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical en 2013 + n ;

dn la proportion des enfants de la commune qui ne sont pas inscrits à cet éveil musical en 2013 + n ;

En= (cndn) la matrice traduisant l’état probabiliste de l’année 2013 + n. Ainsi, on a E0=(0,20,8).

On choisit au hasard un enfant de la commune.

partie a

1. Traduire la situation par un graphe probabiliste. On note :

C l’état « l’enfant est inscrit aux cours d’éveil musical » ;

D l’état « l’enfant n’est pas inscrit aux cours d’éveil musical ». (0,5 point)

2. Déterminer la matrice A de transition, c’est-à-dire la matrice vérifiant, pour tout entier naturel n :

En+1 = En × A. (0,5 point)

3. Déterminer E1 et E2. (0,5 point)

4. Déterminer l’état probabiliste stable en justifiant votre réponse. Interpréter les résultats. (0,75 point)

partie B

1. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a cn + dn = 1.

Justifier que pour tout entier naturel n, on a cn+1 = 0,5cn + 0,2. (0,5 point)

On admet pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel n :


cn=0,2× 0,5n+0,4.

2. Montrer que la suite (cn) est croissante. (0,5 point)

3. a) Proposer un algorithme affichant la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical à partir de 2013 jusqu’à l’année 2013 + n, pour un nombre d’années n saisi par l’utilisateur. (0,75 point)

b) La proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira-t-elle le seuil de 39 % ? Si oui, indiquer l’année en expliquant la démarche. (0,5 point)

4. Le directeur de cette école affirme que si ce modèle d’évolution reste valable, la proportion d’enfants de la commune inscrits à cet éveil musical dépassera le seuil de 50 %. Peut-on valider cette affirmation ? Argumenter la réponse. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points) 45 min
Coût de production d’une enceinte et marge brute d’une entreprise

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d’une enceinte est de 300 euros.

On note x le prix de vente en centaines d’euros d’une enceinte.

Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel x de l’intervalle [3 ; 10], si le prix de vente d’une enceinte est x centaines d’euros, alors le nombre d’acheteurs est modélisé par f(x)=e0,25x+5.

Ainsi, f(x) est une approximation du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de x centaines d’euros. Par exemple, si le prix de vente d’une enceinte est fixé à 400 euros, le nombre d’acheteurs est approché par f(4).

1. Donner une valeur approximative du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de 400 euros. (0,5 point)

On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.

2. Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de 400 euros par enceinte ? (0,5 point)

On note g(x) la marge brute, en centaines d’euros, réalisée par l’entreprise pour un prix de vente de x centaines d’euros par enceinte.

3. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [3 ; 10] :

g(x)=(x3)e0,25x+5.(1 point)

4. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

factoriser (dériver [(x - 3) * exp(- 0,25x + 5)])

x74e14 x+5

a) En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle [3 ; 10]. (1 point)

b) Pour quel prix de vente unitaire l’entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale ? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l’euro près. (0,75 point)

5. Soit G la fonction telle que G(x)=(4x4)e0,25x+5 pour tout réel x de [3 ; 10].

a) Montrer que G est une primitive de la fonction g. (0,5 point)

b) On pose I=310g(x)dx. Déterminer la valeur exacte de I. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Affirmation 1. Si f est une fonction dérivable en a, alors f(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a.

Affirmation 4. Une primitive de f a pour dérivée f.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

 1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

 2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

 3. Un audioguide peut être loué en ligne ou au guichet du musée.

Partie C

Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique, après avoir vérifié les conditions.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

3. a) La suite (Wn) est géométrique de raison 0,96 si et seulement si, pour tout entier naturel n, Wn+1 = 0,96 Wn.

4. a) Le tirage moyen journalier prévu pour l’année 2017 selon le modèle adopté est V10 (en milliers d’exemplaires).

b) Déterminez la limite de la suite (Vn) avant de donner une interprétation du résultat.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

 1. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d’un même sommet est égale à 1.

 4. L’état probabiliste stable est représenté par une matrice ligne P telle que P × A = P.

Partie B

 1. Utilisez l’égalité En+1 = En × A.

 3. b) Utilisez la fonction ln.

 4. Utilisez la limite de la suite (cn).

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

 1. Une valeur approximative du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de 400 euros est f(4).

4. b) Utilisez les variations de g étudiées à la question précédente.

5. a) G est une primitive de g si et seulement si g est la dérivée de G.

b) Utilisez la fonction G de la question précédente.