Sujet complet de France Métropolitaine 2018

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2018 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2018

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet de France métropolitaine 2018

Les thèmes clés

Exercice 1 – Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Exercice 2 – Probabilité conditionnelle • Valeur moyenne d’une fonction.

Exercice 3 – Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 3 (spécialité) – Graphe pondéré • Plus court chemin.

Exercice 4 – Convexité • Intégrale, calculs d’aire.

 

Exercice 1 (5 points) 45 min
Temps passé dans un supermarché et taux de satisfaction des clients

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance μ = 45 et d’écart type σ = 12.

Pour tout événement E, on note p(E) sa probabilité.

▶ 1. Déterminer, en justifiant :

a) p(X = 10) (0,25 point)

b) p(X  45) (0,25 point)

c) p(21 X  69) (0,5 point)

d) p(21 X  45) (0,5 point)

▶ 2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché. (0,5 point)

▶ 3. Déterminer la valeur de a, arrondie à l’unité, telle que P(Xa)=0,30. Interpréter la valeur de a dans le contexte de l’énoncé. (0,75 point)

partie B

En 2013, une étude a montré que 89 % des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

▶ 1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de 300 clients pris au hasard en 2013. (0,75 point)

Lors d’une enquête réalisée en 2018 auprès de 300 clients choisis au hasard, 286 ont déclaré être satisfaits. (0,5 point)

▶ 2. Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l’enquête réalisée en 2018. (0,25 point)

▶ 3. Peut-on affirmer, au seuil de 95 %, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018 ? Justifier. (0,75 point)

Exercice 2 (4 points) 35 min
Probabilités, tangente à la courbe et valeur moyenne d’une fonction (QCM)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses est exacte. Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Dans un établissement scolaire, 30 % des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, 40 % sont des filles. Parmi ceux n’étant pas inscrits dans un club de sport, 50 % sont des garçons.

Pour tout événement E, on note E¯ l’événement contraire de E et p(E) sa probabilité. Pour tout événement F de probabilité non nulle, on note pF(E) la probabilité de E sachant que F est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les événements suivants :

S : « l’élève est inscrit dans un club de sport » ;

F : « l’élève est une fille »

La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-dessous.

matT_1806_07_00C_01

▶ 1. La probabilité pF¯(S) est la probabilité que l’élève soit :

a) inscrit dans un club de sport sachant que c’est un garçon ;

b) un garçon inscrit dans un club de sport ;

c) inscrit dans un club de sport ou un garçon ;

d) un garçon sachant qu’il est inscrit dans un club de sport.

▶ 2. On admet que p(F= 0,47. La valeur arrondie au millième de pF(S) est :

a) 0,141

b) 0,255

c) 0,400

d) 0,638

partie B

Soit g la fonction définie sur [– 1 ; 4] par g(x)=x3+3x21 et Cg sa courbe représentative dans un repère.

1. La tangente à la courbe Cg au point d’abscisse 1 a pour équation :

a) y = – 3x2+ 6x

b) y = 3x - 2

c) y = 3x - 3

d) y = 2x - 1

2. La valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [– 1 ; a] est nulle pour :

a) a = 0

b) a = 1

c) a = 2

d) a = 3

Exercice 3 (5 points) 45 min
Niveau d’eau d’un lac de montagne

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de 10 m. On mesure le niveau d’eau du lac chaque jour à midi.

Le 1er janvier 2018, à midi, le niveau d’eau du lac était de 6,05 m.

Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

d’abord une augmentation de 6 % (apport de la rivière) ;

ensuite une baisse de 15 cm (écoulement à travers le barrage).

▶ 1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite (un)n, le terme un représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, n jours après le 1er janvier 2018. Ainsi le niveau d’eau du lac le 1er janvier à midi est donné par u0 = 605.

a) Calculer le niveau d’eau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi. (0,25 point)

b) Montrer que, pour tout n , un+1 = 1,06 un - 15. (0,75 point)

▶ 2. On pose, pour tout n , vn = un - 250.

a) Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 1,06. Préciser son terme initial. (0,75 point)

b) Montrer que, pour tout n , un = 355 × 1,06n + 250. (0,75 point)

▶ 3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.

a) Déterminer la limite de la suite (un). (0,5 point)

b) L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d’eau ? Justifier la réponse. (0,5 point)

▶ 4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous :

001_matT_1806_07_00C_algo_001

a) Recopier et compléter l’algorithme. (0,75 point)

b) À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable N ? (0,5 point)

c) En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du barrage. (0,25 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Trajets dans un parcours sportif

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

Un parcours sportif est composé d’un banc pour abdominaux, de haies et d’anneaux. Le graphe orienté ci-dessous indique les différents parcours conseillés partant de D et terminant à F.

matT_1806_07_00C_02

Les sommets sont D (départ), B (banc pour abdominaux), H (haies), A (anneaux) et F (fin du parcours). Les arêtes représentent les différents sentiers reliant les sommets.

▶ 1. Quel est l’ordre du graphe ? (0,5 point)

▶ 2. On note M la matrice d’adjacence de ce graphe où les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique.

a) Déterminer M. (0,75 point)

b) On donne M3=(0000000000010300000000010).

Assia souhaite aller de D à F en faisant un parcours constitué de 3 arêtes. Est-ce possible ? Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter ? Préciser ces trajets. (1 point)

▶ 3. Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous. Lors d’un entraînement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de D à F. Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course. (1,25 point)

matT_1806_07_00C_03

partie b

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée T. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

La matrice d’adjacence N associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés dans l’ordre alphabétique, est :

N=(010000110101100010000110000000101100).

Compléter le schéma ci-après en ajoutant les arêtes nécessaires au graphe orienté correspondant à la matrice N. (1,5 point)

matT_1806_07_00C_04

Exercice 4 (6 points) 55 min
Étude d’une fonction et calcul d’une aire

Commun à tous les candidats

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [- 2 ; 4] par :

f(x)=(2x+1)ex+3.

On note Cf la courbe représentative de f dans un repère. Une représentation graphique est donnée ci-dessous.

matT_1806_07_00C_05

▶ 1. On note f la fonction dérivée de f. Montrer que pour tout x [- 2 ; 4] :

f(x)=4xe2x. (0,5 point)

▶ 2. Étudier les variations de f. (0,5 point)

▶ 3. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution sur l’intervalle [- 2 ; 0] et donner une valeur approchée de cette solution. (1 point)

▶ 4. On note f′′ la fonction dérivée de f. On admet que, pour tout x [- 2 ; 4] :

f(x)=(8x4)e2x.

a) Étudier le signe de f′′ sur l’intervalle [- 2 ; 4]. (0,5 point)

b) En déduire le plus grand intervalle sur lequel f est convexe. (0,5 point)

▶ 5. On note g la fonction définie sur l’intervalle [- 2 ; 4] par :

g(x)=(2x+1)e2x.

a) Vérifier que la fonction G définie pour tout x [- 2 ; 4] par :

G(x)=(x1)e2x

est une primitive de la fonction g. (0,5 point)

b) En déduire une primitive F de f. (0,5 point)

▶ 6. On note A l’aire du domaine D compris entre la courbe Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

a) Hachurer le domaine D sur le graphique ci-avant. (0,25 point)

b) Par lecture graphique, donner un encadrement de A, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs. (0,75 point)

c) Calculer la valeur exacte de A, puis une valeur approchée au centième. (1 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

 1. Utilisez les propriétés de la loi normale vues en cours.

 2. et 3. Utilisez la calculatrice.

Partie B

 3. Utilisez l’intervalle de fluctuation déterminé à la question 1. de cette partie.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie B

 2. Déterminez en fonction de a la valeur moyenne de f sur l’intervalle [– 1 ; a].

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

 2. a) La suite (vn) est géométrique de raison 1,06 si et seulement si, pour tout entier naturel n, vn+1 = 1,06 vn. Pour le terme initial, faites attention aux unités : certaines données sont en m, un représente le niveau d’eau en cm.

b) Commencez par déterminer l’expression de vn en fonction de n.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

 2. b) Exploitez la matrice M3 donnée et n’oubliez pas que les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique.

 3. Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

Partie B

Recherchez les coefficients égaux à 1 dans la dernière ligne et la dernière colonne de la matrice N et ajoutez au graphe les arêtes correspondantes.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

 3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires après avoir vérifié toutes les hypothèses.

 4. b) f est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

 6. b) Déterminez graphiquement un encadrement de l’aire en « comptant les carreaux » ; tenez compte de l’aire, en unité d’aire, d’un carreau.

c) Utilisez la primitive déterminée à la question 5.