Sujet complet de France métropolitaine 2018

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2018 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2018

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet de France métropolitaine 2018

Les thèmes clés

Exercice 1 – Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Algorithmique

Exercice 2 – Probabilité conditionnelle • Loi binomiale • Loi normale

Exercice 3 – Géométrie dans l’espace

Exercice 4 – Nombres complexes • Suites numériques

Exercice 4 (spécialité) – Arithmétique • Matrices

 

Exercice 1 (6 points) 1 h 15
Arcs de chaînette

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :

y=12(ex+ex2).

Cette courbe est appelée une « chaînette ».

On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points M et M comme indiqué sur le graphique.

matT_1806_07_01C_01

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation (E) : ex + ex - 4x -= 0.

2. On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +[ par :

f(x= ex + ex - 4x - 2.

a) Vérifier que pour tout x>0,f(x)=x(exx4)+ex2.

b) Déterminer limx+f(x).

3. a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f(x), où x appartient à l’intervalle [0 ; +[.

b) Montrer que l’équation f(x= 0 équivaut à l’équation :

(ex)2 - 4ex -= 0.

c) En posant X = ex, montrer que l’équation f(x= 0 admet pour unique solution réelle le nombre ln(2+5).

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f de f :

x

0

ln(2+5)

+

f(x)

0

+

a) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

b) Démontrer que l’équation f(x= 0 admet une unique solution strictement positive que l’on notera α.

5. On considère l’algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :

S01_algo_001

a) Avant l’exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.

Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme ?

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.

m

a

b

b – a

2

3

l

2,5

b) Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente ?

6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l’allure ci-contre.

matT_1806_07_01C_02

Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.

La largeur de cet arc, exprimée en mètres, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation :

(E):et39+et394t392=0.

Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

Exercice 2 (4 points) 45 min
Virus de la grippe !

Commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.

La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

40 % de la population est vaccinée ;

8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;

20 % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

V : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;

G : « la personne a contracté la grippe ».

1. a) Donner la probabilité de l’événement G.

b) Reproduire l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre de ses branches.

matT_1806_07_01C_03

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.

3. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la grippe est égale à 0,28.

Partie B

Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à 10–3 près.

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.

Après la période hivernale, on interroge au hasard n habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à n tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à 0,4.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les n interrogées.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?

2. Dans cette question, on suppose que n = 40.

a) Déterminer la probabilité qu’exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées.

b) Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.

3. On interroge un échantillon de 3 750 habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose ici que n = 3 750.

On note Z la variable aléatoire définie par : Z=X150030.

On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire Z peut être approchée par la loi normale centrée réduite.

En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu’il y ait entre 1 450 et 1 550 individus vaccinés dans l’échantillon interrogé.

Exercice 3 (5 points) 1 h
Hauteurs d’un tétraèdre

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d’examiner, dans différents cas, si les hauteurs d’un tétraèdre sont concourantes, c’est-à-dire d’étudier l’existence d’un point d’intersection de ses quatre hauteurs.

On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M orthogonale au plan (NPQ).

Partie A : Étude de cas particuliers

On considère un cube ABCDEFGH.

matT_1806_07_01C_04

On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales » du cube, sont concourantes.

▶ 1. On considère le tétraèdre ABCE.

a) Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.

b) Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?

2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère (A;AB,AD,AE).

a) Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ACH) est : x - y + z = 0.

b) En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.

c) Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H.

Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?

Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.

Partie B : Une propriété des tétraèdres orthocentriques

Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ) respectivement.

matT_1806_07_01C_05

1. a) Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.

b) Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.

▶ 2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.

Ainsi, on obtient la propriété suivante :

« Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux. »

(On dit que deux arêtes d’un tétraèdre sont « opposées » lorsqu’elles n’ont pas de sommet commun.)

Partie C : Application

Dans un repère orthonormé, on considère les points :

R (–3 ; 5 ; 2), S(1 ; 4 ; –2), T (4 ; –1 ; 5) et U (4 ; 7 ; 3).

Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.

Exercice 4 (5 points) 1 h
Ligne brisée

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v).

On pose z0 = 8 et, pour tout entier naturel n :

zn+1=3i34zn.

On note An le point du plan d’affixe zn.

1. a) Vérifier que : 3i34=32eiπ6.

b) En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes z1, z2 et z3 sous forme exponentielle et vérifier que z3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

c) Représenter graphiquement les points A0, A1, A2 et A; on prendra pour unité le centimètre.

▶ 2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :

zn=8×(32)neinπ6.

b) Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn|.

Déterminer la nature et la limite de la suite (un).

3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel k :

zk+1zkzk+1=13i.

En déduire que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité :

AkAk+1=13OAk+1.

b) Pour tout entier naturel n, on appelle ln la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points A0, A1, A2, …, An–1, An.

On a ainsi : ln = A0A1 + A1A2 + … + An1An.

Démontrer que la suite (ln) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 4 (5 points) 1 h
Nombres puissants

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation suivante dont les inconnues x et y sont des entiers naturels :

x2 - 8y= 1. (E)

▶ 1. Déterminer un couple solution (x ; y) où x et y sont deux entiers naturels.

▶ 2. On considère la matrice A=(3813).

On définit les suites d’entiers naturels (xn) et (yn) par :

x0 = 1, y0 = 0, et pour tout entier naturel n, (xn+1yn+1)=A(xnyn).

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) est solution de l’équation (E).

b) En admettant que la suite (xn) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel n, on a : xn+1 > xn.

3. En déduire que l’équation (E) admet une infinité de couples solutions.

Partie B

Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n, p² divise n.

1. Vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.

L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.

2. Soient a et b deux entiers naturels.

Montrer que l’entier naturel n = a2b3 est un nombre puissant.

3. Montrer que si (x ; y) est un couple solution de l’équation (E) définie dans la partie A, alors x² - 1 et x² sont des entiers consécutifs puissants.

4. Conclure quant à l’objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.

Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2 018.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

3. b) Multipliez chaque membre de l’égalité f(x)=0 par ex. Concluez à l’aide de certaines propriétés de la fonction exponentielle.

c) Résolvez l’équation du second degré induite par le changement de variable puis revenez ensuite à l’équation initiale. À chaque étape, soyez attentif au signe des solutions avant de passer à l’étape suivante.

6. Justifiez que l’équation (E) admet une unique solution strictement positive à l’aide de la question 4. b). Puis, proposez-en un encadrement au dixième en utilisant la question 5. Enfin, concluez en rappelant le lien entre la largeur de l’arc étudié, sa hauteur et la solution strictement positive de (E).

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

3. Constatez que la probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle. Puis calculez la probabilité de l’événement GV¯ en utilisant la formule des probabilités totales. Concluez.

Partie B

3. Justifiez que la probabilité à calculer, P(1 450 X  1 550), est égale à P(53Z53). Utilisez ensuite l’approximation proposée pour conclure.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. a) Vérifiez simplement que les coordonnées des points A, C et H vérifient l’équation x - y + z = 0.

Partie C

Déterminez les coordonnées des vecteurs RT et SU. Calculez ensuite le produit scalaire RTSU. Utilisez enfin la contraposée de la propriété énoncée à la fin de la partie B pour conclure.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

2. b) Justifiez que (un) est une suite géométrique dont vous préciserez la raison.

3. a) N’oubliez pas que le module d’un quotient de nombres complexes peut se traduire par un quotient de longueurs.

b) Déterminez l’expression de ln en fonction de n en exploitant la formule pour le calcul de la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. Concluez en calculant la limite sur l’expression obtenue.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

2. b) Pensez à exprimer xn+1 en fonction de xn et yn grâce à la relation (xn+1yn+1)=A(xnyn). Justifiez ensuite que yn  0 pour conclure.

Partie B

3. Sachant que x² - 8y² = 1, exploitez le résultat de la question 2. de la partie B pour prouver que x² - 1 est un entier puissant, en indiquant les valeurs de a et b choisies.