Sujet complet de France métropolitaine 2019

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2019 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2019

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet de France métropolitaine 2019

Les thèmes clés

Exercice 1 – Fonction exponentielle • Intégration

Exercice 2 – Lois continues • Probabilités conditionnelles • Suites

Exercice 3 – Nombres complexes • Fonction exponentielle • Algorithmique

Exercice 4 – Géométrie dans l’espace

Exercice 4 (spécialité) – Matrices • Arithmétique

 

Exercice 1 (6 points) 1 h 10
Serre de jardin

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels par :

f(x)=7212(ex+ex).

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en +.

b) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; +[.

c) Montrer que l’équation f(x= 0 admet, sur l’intervalle [0 ; +[, une unique solution, qu’on note α.

2. En remarquant que, pour tout réel x, f(-x= f(x), justifier que l’équation f(x= 0 admet exactement deux solutions dans et qu’elles sont opposées.

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.

Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction f et le réel α sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe C de la fonction f sur l’intervalle [-α ; α].

On a représenté ci-dessous la courbe C sur l’intervalle [-α ; α].

matT_1906_07_01C_01

On admettra que la courbe C admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

1. Calculer la hauteur d’un arceau.

2. a) Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe C sur l’intervalle [0 ; α]. On admet que cette longueur est donnée, en mètres, par l’intégrale :

I=0α1+(f(x))2dx.

Montrer que pour tout réel x, on a : 1+(f(x))2=14(ex+ex)2.

b) En déduire la valeur de l’intégrale I en fonction de α.

Justifier que la longueur d’un arceau, en mètres, est égale à : eαeα.

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.

On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1,5 mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle ABCD de largeur 1 mètre et de longueur 2 mètres.

matT_1906_07_01C_02

On souhaite connaître la quantité, exprimée en m2, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre. Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m2, par :

A=40αf(x)dx2.

2. On prend 1,92 pour valeur approchée de α. Déterminer, au m2 près, l’aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.

Exercice 2 (5 points) 1 h 10
Une plateforme de jeux vidéo

Commun à tous les candidats

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

Partie A

Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées XA et XB.

La variable aléatoire XA suit la loi uniforme sur l’intervalle [9 ; 25].

La variable aléatoire XB suit la loi normale de moyenne μ et d’écart type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

matT_1906_07_01C_03

1. a) Calculer la durée moyenne d’une partie de type A.

b) Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B.

2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de 0,8 ;

si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de 0,7.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note An et Bn les événements :

An : « la n-ième partie est une partie de type A ».

Bn : « la n-ième partie est une partie de type B ».

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note an la probabilité de l’événement An.

matT_1906_07_01C_04

1. a) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.

b) Montrer que pour tout entier naturel n  1, on a :

an+1=0,5an+0,3.

Dans la suite de l’exercice, on note a la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de sa première partie, où a est un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1]. La suite (an) est donc définie par :

a1 = a, et pour tout entier naturel n  1, an+1=0,5an+0,3.

2. Étude d’un cas particulier.

Dans cette question, on suppose que a = 0,5.

a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n  1, on a :

an 0,6.

b) Montrer que la suite (an) est croissante.

c) Montrer que la suite (an) est convergente et préciser sa limite.

3. Étude du cas général.

Dans cette question, le réel a appartient à l’intervalle [0 ; 1].

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n  1 par :

un = an - 0,6.

a) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique.

b) En déduire que pour tout entier naturel n  1 on a :

an=(a0,6)×0,5n1+0,6.

c) Déterminer la limite de la suite (an). Cette limite dépend-elle de la valeur de a ?

d) La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?

Exercice 3 (4 points) 40 min
QCM

Commun à tous les candidats

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) : z223z+4=0.

On note A et B les points du plan dont les affixes sont les solutions de (E).

Affirmation 1 : Le triangle OAB est équilatéral.

2. On note u le nombre complexe : u=3+i et on note u¯ son conjugué.

Affirmation 2 : u2019+u¯2019=22019.

3. Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn définie sur l’intervalle [0 ; +[ par :

fn(x)=xenx+1.

Affirmation 3 : pour tout entier naturel n  1, la fonction fn admet un maximum.

4. On note C la courbe représentative de la fonction f définie sur par : f(x)=cos(x)ex.

Affirmation 4 : la courbe C admet une asymptote en +.

001_matT_1906_07_01C_algo_001

5. Soit A un nombre réel strictement positif. On considère l’algorithme ci-contre.

On suppose que la variable I contient la valeur 15 en fin d’exécution de cet algorithme.

Affirmation 5 : 15 ln(2) ln(A) 16 ln(2).

Exercice 4 (5 points) 1 h
Travail avec un cube

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1, dont la figure est donnée ci-après.

On note I le milieu du segment [EF], J le milieu du segment [EH] et K le point du segment [AD] tel que AK=14AD.

On note P le plan passant par I et parallèle au plan (FHK).

matT_1906_07_01C_05

Partie A

Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée ci-dessus.

1. Le plan (FHK) coupe la droite (AE) en un point qu’on note M. Construire le point M.

2. Construire la section du cube par le plan P.

Partie B

Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé (A;AB,AD,AE).

On rappelle que P est le plan passant par I et parallèle au plan (FHK).

1. a) Montrer que le vecteur n(4;4;3) est un vecteur normal au plan (FHK).

b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan (FHK) est :

4x + 4y − 3z − 1 = 0.

c) Déterminer une équation cartésienne du plan P.

d) Calculer les coordonnées du point M, point d’intersection du plan P et de la droite (AE).

2. On note Δ la droite passant par le point E et orthogonale au plan P.

a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

b) Calculer les coordonnées du point L, intersection de la droite Δ et du plan (ABC).

c) Tracer la droite Δ sur la figure ci-dessus.

d) Les droites Δ et (BF) sont-elles sécantes ? Qu’en est-il des droites Δ et (CG) ? Justifier.

Exercice 4 (5 points) 1 h
Un ensemble particulier de matrices

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On note l’ensemble des entiers relatifs.

Dans cet exercice, on étudie l’ensemble S des matrices A qui s’écrivent sous la forme A=(abcd), où a, b, c et d appartiennent à l’ensemble et vérifient adbc = 1.

On note I la matrice identité I=(1001).

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble S

1. Vérifier que la matrice A=(6554) appartient à l’ensemble S.

2. Montrer qu’il existe exactement quatre matrices de la forme A=(a23d) appartenant à l’ensemble S ; les expliciter.

3. a) Résoudre dans l’équation (E) : 5x − 2y = 1. On pourra remarquer que le couple (1 ; 2) est une solution particulière de cette équation.

b) En déduire qu’il existe une infinité de matrices de la forme A=(ab25) qui appartiennent à l’ensemble S. Décrire ces matrices.

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble S

Dans cette partie, on note A=(abcd) une matrice appartenant à l’ensemble S. On rappelle que a, b, c et d sont des nombres entiers relatifs tels que adbc = 1.

1. Montrer que les entiers a et b sont premiers entre eux.

2. Soit B la matrice : B=(dbca).

a) Calculer le produit AB. On admet que l’on a AB = BA.

b) En déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse A1.

c) Montrer que la matrice A1 appartient à l’ensemble S.

3. Soient x et y deux entiers relatifs. On note x et y les entiers relatifs tells que (xy)=A(xy).

a) Montrer que x = dxby. On admet de même que y = aycx.

b) On note D le PGCD de x et y et on note D le PGCD de x et y. Montrer que D = D.

4. On considère les suites d’entiers naturels (xn) et (yn) définies par : x0 = 2019, y0 = 673 et pour tout entier naturel n : {xn+1=2xn+3ynyn+1=xn+2yn.

En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel n, le PGCD des entiers xn et yn.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. c) Pensez à appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Vérifiez au préalable soigneusement les conditions d’application en utilisant entre autres les deux questions précédentes.

Partie B

2. a) Remplacez f(x) par son expression déterminée à la question A 1. b). Puis, utilisez des identités remarquables et les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour établir l’égalité.

b) Pensez à la symétrie de la courbe pour conclure.

Partie C

1. Pensez à l’interprétation graphique possible d’une intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. Calculez, sans nécessairement utiliser une calculatrice, la probabilité P(XA < 20) et la probabilité P(XB<20). Concluez en prenant en compte le fait que le choix du type de jeu est effectué au hasard de manière équiprobable.

Partie B

1. b) Pensez à utiliser la formule des probabilités totales.

2. b) Étudiez le signe de la différence an+1 - an pour tout entier naturel n non nul.

c) Pensez au théorème de la convergence monotone. En notant l la limite de la suite étudiée, justifiez que l = 0,5l + 0,3 et concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

2. Pensez à mettre u sous forme exponentielle et simplifiez les angles obtenus en radians en travaillant modulo 2π.

4. Précisez un encadrement de cos(x) pour obtenir ensuite un encadrement de f(x) avant de conclure avec le théorème des gendarmes.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi
l’enseignement de spécialité)

Partie B

1. c) Rappelez-vous que deux plans parallèles ont même vecteur normal. Exploitez ce vecteur normal et un point du plan pour conclure.

2. d) Utilisez une représentation paramétrique de chacune des droites et (CG) et résolvez un système d’équations pour conclure.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi
l’enseignement de spécialité)

Partie A

3. a) Pensez au théorème de Gauss.

Partie B

1. Pensez au théorème de Bézout.