Sujet complet de France métropolitaine 2019

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2019 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2019

Sujet complet • 20 points • 3 heures

Sujet complet de France métropolitaine 2019

Les thèmes clés

Exercice 1 – Arbre pondéré • Convexité.

Exercice 2 – Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Exercice 2 (spécialité) – Graphe probabiliste • Suite géométrique.

Exercice 3 – Loi à densité, loi normale • Loi binomiale.

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Intégrale, calculs d’aire.

 

Exercice 1 (5 points) 45 min
Vrai ou faux probabilités et fonctions : 5 affirmations

Commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

1. Pour tout événement E, on note E¯ l’événement contraire de E.

On considère l’arbre pondéré suivant :

matT_1906_07_00C_01

Affirmation 1 : La probabilité de R¯ sachant S est 0,06.

2. Soit k un réel tel que 0  k < 18. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [; 18]. On suppose que l’espérance de X est égale à 12.

Affirmation 2 : La valeur de k est 9.

3. On considère l’équation suivante :

ln(x2)ln(x5e)+ln(2)=ln(2x)+5.

Affirmation 3 : 1e est l’unique solution de cette équation.

4. Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle [0 ; 15]. On suppose que sa fonction dérivée, notée f, est continue sur [0 ; 15]. Les variations de f sont représentées dans le tableau ci-dessous.

001_matT_1906_07_00C_tab1

Affirmation 4 : La courbe représentative Cf de la fonction f admet une et une seule tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Affirmation 5 : La fonction f est convexe sur [5 ; 15].

Exercice 2 (5 points) 45 min
Évolution d’une densité d’arbres par hectare

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l’agriculture biologique, a acheté une ferme de 14 hectares de pommiers. Elle estime qu’il y a 300 pommiers par hectare. Chaque année, Laurence éliminera 4 % des pommiers existants et replantera 22 nouveaux pommiers par hectare.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de pommiers par hectare l’année 2018 + n. On a ainsi u0 = 300.

1. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 0,96un + 22. (0,5 point)

b) Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l’unité, en 2020. (0,5 point)

2. Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera 400 pommiers par hectare. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :

001_matT_1906_07_00C_algo1

a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus pour qu’il détermine le rang de l’année cherchée. (0,5 point)

b) Quelle est la valeur de N en sortie d’algorithme ? (0,5 point)

3. On définit la suite (vn) en posant vn = un - 550 pour tout entier naturel n.

a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v0. (0,75 point)

b) Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n, puis démontrer que :

un=550250× 0,96n.(1 point)

c) Estimer le nombre de pommiers de l’exploitation de Laurence en 2025. (0,5 point)

d) En résolvant l’inéquation un > 400, retrouver le résultat obtenu à la question 2b). (0,75 point)

Exercice 2 (5 points) 45 min
Choix entre deux itinéraires : étude de probabilités

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour se rendre à l’université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l’un passant par des routes départementales, l’autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.

Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu’elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de 0,6.

Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu’elle emprunte la voie rapide le lendemain est de 0,2.

Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.

On note :

D l’événement : « Julie emprunte les routes départementales » ;

R l’événement : « Julie emprunte la voie rapide ».

1. a) Traduire ces informations à l’aide d’un graphe probabiliste dont les sommets seront notés D et R. (0,5 point)

b) Donner la matrice d’adjacence M correspondant au graphe probabiliste. Les sommets du graphe seront rangés dans l’ordre alphabétique. (0,5 point)

2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, l’état probabiliste le n-ième jour est défini par la matrice Pn = (dn rn), où dn désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le n-ième jour et rn la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le n-ième jour.

a) Donner P1. (0,25 point)

b) Calculer M2 et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3e jour. (0,5 point)

3. a) Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, Pn+1 en fonction de Pn et en déduire les expressions de dn+1 et rn+1 en fonction de dn et rn. (0,75 point)

b) Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes d3 et r3 ? (0,5 point)

001_matT_1906_07_00C_algo2

4. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul :

rn+1 = 0,4 rn + 0,2. (0,5 point)

5. On définit la suite (vn) par vn=rn13 pour tout entier naturel n non nul.

a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v1. (0,5 point)

b) Exprimer vn en fonction de n, puis démontrer que, pour tout entier naturel n non nul :

rn=13+23×0,4n1=13+53×0,4n.(0,75 point)

c) Que peut-on prévoir sur le long terme ? (0,5 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Mesure du débit quotidien d’une rivière

Commun à tous les candidats

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Les résultats seront arrondis au centième.

partie a

Les cours d’eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou de pénurie d’eau.

Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d’une rivière.

Ce débit en mètre cube par seconde (m3 · s–1) peut être modélisé par une variable aléatoire D qui suit la loi normale de paramètres μ = 15,5 et σ = 6.

On estime qu’il y a pénurie d’eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à 8 m3 · s–1.

On estime qu’il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à 26 m3 · s–1.

Entre ces deux débits, il n’y a pas de vigilance particulière.

1. Calculer la probabilité qu’il y ait pénurie d’eau. (0,5 point)

2. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière. (0,5 point)

3. Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre 3,5 m3 · s–1 et 27,5 m3 · s–1 est d’environ 0,95. (0,75 point)

partie b

Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d’eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.

Un quart des relevés est effectué par l’équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.

On choisit 10 relevés au hasard sur l’ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à 10 tirages avec remise. On s’intéresse au nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébastien parmi ces 10 relevés.

1. Quelle loi de probabilité modélise cette situation ? Préciser les paramètres de cette loi. (1 point)

2. Calculer la probabilité que 4 relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien. (0,5 point)

3. Calculer la probabilité qu’au moins 2 relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien. (0,75 point)

partie c

Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l’eau « satisfaisante » ou « non satisfaisante ». On s’intéresse à la proportion de relevés de qualité « satisfaisante ».

Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de 95 % dont l’amplitude est inférieure à 0,1 ? (1 point)

Exercice 4 (5 points) 45 min
Modélisation de la courbe des accoudoirs d’un fauteuil

Commun à tous les candidats

Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d’un fauteuil.

Ébauche du fauteuil

matT_1906_07_00C_02

On modélise l’accoudoir à l’aide de la fonction f définie sur [0 ; 60] par :

f(x)=70+(14x+42) ex5.

La courbe représentative de f, notée Cf, est donnée ci-dessous :

matT_1906_07_00C_03

On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle [0 ; 60]. On note f sa fonction dérivée et f sa fonction dérivée seconde.

partie A

Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de f donnée ci-dessus.

On admet que le point A de Cf d’abscisse 7 est un point d’inflexion de Cf.

1. Déterminer une valeur approchée de f(0) et de f(60). (0,5 point)

2. Déterminer f(7). (0,25 point)

3. On considère la surface située entre l’axe des abscisses, la courbe Cf, et les droites d’équation x = 0 et x = 60.

a) Hachurer sur le graphique la surface décrite ci-dessus. (0,25 point)

b) L’ébéniste estime l’aire de cette surface à 3 800 unités d’aire. Cette estimation est-elle correcte ? (0,5 point)

partie B

1. Justifier que pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 60], on a :

f(x)=15(14x+28) ex5. (0,5 point)

2. a) Étudier le signe de f(x) sur l’intervalle [0 ; 60]. (0,5 point)

b) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 60]. (0,25 point)

On arrondira à l’unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.

3. Un logiciel de calcul formel permet d’afficher les lignes suivantes :

1

Dérivée(Dérivée(70+(14x+42) ex5 ))

125(14x+42) e15x285e15x

2

Factoriser (125(14x+42) e15x285ex5)

14 ex5x725

En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de f. (0,5 point)

4. Pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 60], on pose :

g(x)=(14x+42)ex5et G(x)=(70x560)ex5.

a) Montrer que G est une primitive de g sur l’intervalle [0 ; 60]. (0,25 point)

b) En déduire une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 60]. (0,25 point)

c) Calculer la valeur exacte de 060f(x) dx, puis en donner une valeur approchée à l’unité d’aire près. (0,5 point)

partie c

L’ébéniste découpe 2 accoudoirs identiques sur le modèle de la surface en choisissant comme unité le cm.

Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir, ainsi que le dossier du fauteuil dont l’aire est égale à 5 400 cm2. Or il lui reste le quart d’un petit pot de vernis pouvant couvrir 10 m2. Aura-t-il suffisamment de vernis ? (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

1. Utilisez une probabilité conditionnelle, calculée à partir de la définition.

4. La tangente à Cf au point d’abscisse a est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si f(a)=0. Utilisez le sens de variation de f et le théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 2 (Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité et candidats de L)

3. c) Tenez compte du nombre d’hectares de l’exploitation.

d) Utilisez la fonction ln.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi la spécialité)

1. a) Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d’un même sommet est égale à 1.

b) Attention, l’énoncé est incorrect : il faut remplacer « matrice d’adjacence » par « matrice de transition ».

3. b) Tenez compte du nombre d’étapes dans le calcul.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

Utilisez la calculatrice.

Partie B

Considérez la variable aléatoire égale au nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébastien parmi les 10 relevés choisis.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie A

3. b) Comptez les carreaux et tenez compte des unités.

Partie B

3. Utilisez l’expression de f(x) fournie par le logiciel.

4. a) G est une primitive de g si et seulement si g est la dérivée de G.

b) Utilisez la fonction G de la question précédente.

Partie C

Comparer l’aire que l’ébéniste peut vernir avec le vernis qui lui reste, et l’aire totale qu’il souhaite vernir : les deux faces de chaque accoudoir et le dossier du fauteuil.