Sujet complet de Nouvelle-Calédonie 2014

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie
Corpus Corpus 1
Sujet complet de Nouvelle-Calédonie 2014

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

matT_1411_11_02C

Sujets complets

5

Corrigé

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
QCM sur les probabilités : 5 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève aucun point.

Pour relier une île au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l’ensemble des transports vers cette île.

Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s’y étant rendus a produit les résultats suivants :

  • 60 % des touristes se rendant sur l’île utilisent la compagnie A, les autres utilisent la compagnie B ;
  • parmi les touristes ayant choisi la compagnie A pour se rendre sur l’île, 20 % sont satisfaits de leur transport ;
  • 48 % de l’ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l’île.

On interroge au hasard un touriste s’étant rendu sur l’île :

>1. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est :

a) 0,08

b)

c)

d)

>2. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu’il est satisfait de son transport est :

a) 0,34

b)

c)

d)

>3. On rappelle que 48 % de l’ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l’île. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l’île, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l’île.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de F est :

a)

b)

c)

d)

>4. On choisit de modéliser le nombre de touristes satisfaits par le transport vers l’île parmi les 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante par une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne et d’écart-type .

La probabilité, selon ce modèle, qu’il y ait moins de 40 touristes satisfaits est, à 0,001 près :

a) 0,055

b)

c)

d)

>5. La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l’île est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [30 ; 50].

La probabilité que la traversée entre le continent et l’île dure au moins 35 minutes est :

a) 0,25

b)

c)

d)

Exercice 2 (5 points)
Calcul de l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

La courbe ci-après est la représentation graphique d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 2].

On note la fonction dérivée de la fonction .

Le point G a pour coordonnées (0 ; 2).

Le point H a pour coordonnées (1 ; 3).

La droite (GH) est la tangente à la courbe au point G.

La courbe admet une tangente horizontale au point S d’abscisse .

Le domaine coloré est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation et la courbe .


 

PARTIE A

Dans cette partie, aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique :

>1. Donner les valeurs de et . (0,5 point)

>2. Résoudre sur [−1 ; 2] l’inéquation . (0,75 point)

>3. Encadrer par deux entiers consécutifs l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine coloré sur le graphique. (0,75 point)

PARTIE B

On admet que la fonction est définie sur [−1 ; 2] par : , où et sont deux réels.

>1. Calculer . (0,75 point)

>2. Justifier que et . (0,75 point)

>3. Déterminer, sur [−1 ; 2], une primitive de la fonction . (0,5 point)

>4. En déduire la valeur exacte, en unités d’aire, de l’aire du domaine coloré sur le graphique. (1 point)

Exercice 2 (5 points)
Parcours et itinéraires dans un parc de loisirs et modélisation d’un toboggan

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d’accrobranches.

Les différents parcours sont modélisés par le graphe ci-dessous, où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités.

Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.


 

>1. L’organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s’ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d’accrobranches, c’est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l’arbre numéro 1.

Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire. (1 point)

>2. On note la matrice associée au graphe en considérant les sommets pris dans l’ordre croissant des numéros d’arbres.

a) Écrire la matrice . (0,5 point)

b) On donne, ci-dessous, les matrices et  :

 ; .

L’organisateur du parc de loisirs souhaite organiser des « itinéraires express » qui débuteront à l’arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d’accrobranches et finiront à l’arbre 4. Ces itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours.

Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre « d’itinéraires express » réalisables. (1 point)

On ne demande pas de donner ces différents itinéraires.

>3. Pour terminer ces « itinéraires express », on installe un toboggan géant sur l’arbre 4.

La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction dont la courbe est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.


 

Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives :

(2 ; 8,1), (10 ; 2,5) et (20 ; 0).

La fonction est définie sur [0 ; 20] par , où sont trois nombres réels.

a) Justifier que sont solutions du système :

. (1 point)

b) Déterminer les matrices et pour que le système précédent soit équivalent à :

. (0,5 point)

c) Déterminer . (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude de l’évolution du nombre d’abonnés à des salles de sport

Commun à tous les candidats

Le service commercial d’une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l’évolution du nombre d’abonnés était définie de la manière suivante :

  • chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés ;
  • chaque année, 40 % des abonnements de l’année précédente ne sont pas renouvelés.

En 2010, cette société comptait 1 500 abonnés.

On considère la suite définie par et :

.

>1. Justifier que la suite modélise le nombre d’abonnés pour l’année . (0,5 point)

>2. On considère la suite définie par .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 point)

b) Déterminer l’expression de en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que . (0,5 point)

>3. En 2010, le prix d’un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 €.

a) Quelle a été la recette de cette société en 2010 ? (0,5 point)

Chaque année, le prix de cet abonnement augmente de 5 %.

On note le prix de l’abonnement annuel pour l’année .

b) Indiquer la nature de la suite en justifiant la réponse.

En déduire l’expression de en fonction de . (0,75 point)

c) Montrer que, pour l’année , la recette totale annuelle réalisée par la société pour l’ensemble de ses salles de sport est donnée par :

(0,75 point)

d) Trouver, à l’aide de votre calculatrice, l’année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010. (0,75 point)

Exercice 4 (5 points)
Point d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction et algorithme

Commun à tous les candidats

On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants :

 

1

dériver

2

dériver

3

dériver

 

On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l’exercice.

On considère la fonction définie sur [1 ; 10] par :

et on note sa courbe représentative dans un repère.

La fonction est deux fois dérivable sur [1 ; 10], on note sa fonction dérivée et sa fonction dérivée seconde.

>1. a) Déterminer sur [1 ; 10]. (0,5 point)

b) Construire le tableau de variations de la fonction sur [1 ; 10]. (0,75 point)

>2. a) Justifier que sur [1 ; 10]. (0,75 point)

b) Étudier le signe de sur [1 ; 10]. (0,75 point)

c) En déduire que la courbe possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse. (0,5 point)

>3. On considère l’algorithme suivant :

 

Initialisation

X prend la valeur 2

Y prend la valeur

Z prend la valeur

Traitement

Tant que (Y< Z) faire

X prend la valeur X + 0,1

Y prend la valeur

Z prend la valeur

Fin tant que

Sortie

Afficher

 

a) Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : (1 point)

 

X

Y

Z

Test Y< Z

2

0,3466

0,3533

vrai

2,1

0,3533

0,3584

vrai

2,2

 

b) Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction  ? (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation

Les conseils du correcteur

>1. La probabilité demandée est celle de l’intersection de deux événements.

>2. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calcul d’aire

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Pensez à l’interprétation graphique du nombre dérivé.

>2. Le signe de correspond au sens de variation de la fonction .

>3. Comptez les carreaux et faites attention à l’unité de longueur.

Partie B

>1. Il faut trouver une expression de en fonction de et .

>2. Utilisez les valeurs trouvées à la question 1. de la partie A.

>4. L’aire cherchée est une intégrale qui peut être calculée facilement à l’aide de la primitive déterminée à la question précédente.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Chaîne eulérienne • Chaîne de longueur donnée

Les conseils du correcteur

>1. Déterminez si le graphe possède une chaîne eulérienne en examinant le degré de chaque sommet

>2. b) Utilisez la matrice .

>3. a) Utilisez les coordonnées des points I, J et K.

c) Déterminez (à l’aide de la calculatrice) et utilisez la matrice inverse de la matrice .

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique

Les conseils du correcteur

>3. a) La recette est égale au produit du prix d’un abonnement et du nombre d’abonnés.

b) Une quantité qui augmente de 5 % est multipliée par 1,05 (coefficient multiplicateur).

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d’une fonction • Point d’inflexion • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que »

Les conseils du correcteur

>2. c) Résolvez l’équation et étudiez le signe de .

>3. a) N’oubliez pas à chaque étape de déterminer si la condition est remplie ou non. Quand cette condition n’est plus remplie, on « sort de la boucle ».

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Déterminer la probabilité de l’intersection de deux événements

Soit A l’événement « le touriste interrogé a choisi la compagnie A » et S l’événement « le touriste interrogé est satisfait de son transport ».

La probabilité que le touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est la probabilité de l’événement .

. Or car 60 % des touristes se rendant sur l’île utilisent la compagnie A et car, parmi les touristes ayant choisi la compagnie A, 20 % sont satisfaits de leur transport.

D’où : .

La bonne réponse estb).

>2. Déterminer une probabilité conditionnelle

La probabilité que le touriste ait choisi la compagnie A sachant qu’il est satisfait de son transport est

D’après la question précédente :

.

48 % de l’ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l’île, donc :

.

P(S) étant non nulle :

.

La bonne réponse estc).

>3. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de est :

.

(taille de l’échantillon) et , puisque 48 % des touristes sont satisfaits de leur transport vers l’île.

Donc np = 48 et n(1 – p) = 52 sont supérieurs à 5 et on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

En arrondissant par défaut la borne gauche, par excès la borne droite (de manière à ne pas réduire l’encadrement), est contenu dans .

La bonne réponse esta).

>4. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité cherchée est .

Or car suit une loi normale de moyenne 48.

D’après la calculatrice, , d’où :

.

La bonne réponse esta).

>5. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle borné

Notez bien

La probabilité que prenne une valeur dans un intervalle donné (contenu dans [30 ; 60]) est proportionnelle à l’amplitude de cet intervalle.

suit la loi uniforme sur [30 ; 60], donc :

La bonne réponse estd).

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

PARTIE A

>1. Déterminer deux nombres par lecture graphique

La courbe passe par le point , donc :

est le coefficient directeur de la tangente à au point d’abscisse 0. Cette tangente est la droite (GH) dont le coefficient directeur est 1, donc :

>2. Déterminer un intervalle sur lequel la dérivée d’une fonction a un signe donné

est décroissante sur l’intervalle et croissante sur l’intervalle

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquationest l’intervalle [ln 2 ; 2].

>3. Donner un encadrement d’une aire

Une unité d’aire correspond sur le graphique à 4 carreaux.

Donc l’aire A, en unités d’aire, du domaine coloré, est comprise entre 2 et 3.

PARTIE B

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à  :

.

>2. Déterminer deux nombres associés à l’expression d’une fonction

, donc, en remplaçant par 0 dans l’expression de , , d’où :

, donc , d’où :

Donc, pour tout appartenant à  :

>3. Déterminer une primitive d’une fonction

Notez bien

On vérifie facilement que, pour tout appartenant à  :

Une primitive de sur est la fonction :

>4. Calculer la valeur exacte de l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

Conseil

N’oubliez pas de vérifier que cette valeur est cohérente avec l’encadrement donné à la question 3. de la partie A. Par lecture graphique, l’aire (en unités d’aire) du domaine hachuré est comprise entre 2 et 3.

Or à près, donc la valeur calculée est bien comprise entre 2 et 3.

La fonction est positive sur , donc l’aire A, en unités d’aire, du domaine coloré est égale à :

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

La question revient à déterminer s’il existe sur le graphe une chaîne eulérienne partant du sommet 1.

On détermine le degré de chaque sommet du graphe ; on résume les résultats dans un tableau :

 

Sommet

1

2

3

4

5

Degré

3

4

2

2

3

 

Le graphe a exactement 2 sommets de degré impair (sommets 1 et 5), donc d’après le théorème d’Euler, le graphe possède une chaîne eulérienne d’extrémités les sommets 1 et 5.

Un visiteur peut donc réaliser un itinéraire complet d’accrobranches en commençant à l’arbre numéro 1 (et en finissant à l’arbre numéro 5).

Un exemple d’itinéraire complet, commençant à l’arbre numéro 1 et passant une fois et une seule par chacune des 7 arêtes du graphe est l’itinéraire :

>2. a) Déterminer la matrice associée à un graphe

Notez bien

La matrice associée à un graphe non pondéré ne comporte que des 0 et des 1. Le coefficient situé à l’intersection de la ligne et de la colonne est égal à 1 s’il existe une arête entre les sommets et (si le graphe n’est pas orienté), à 0 sinon.

La matrice associée au graphe précédent est :

b) Déterminer le nombre de chemins de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe

Le nombre de chemins de longueur 3 (c’est-à-dire empruntant successivement trois parcours) du sommet 1 (représentant l’arbre numéro 1) au sommet 4 (arbre numéro 4) est le coefficient de la matrice situé à l’intersection de la ligne 1 et de la colonne 4 ; ce nombre est égal à 5. Donc il existe cinq « itinéraires express » en trois étapes de l’arbre 1 à l’arbre 4.

>3. a) Écrire un système d’équations vérifiées par les coefficients d’une fonction trinôme

pour tout appartenant à .

 ; et , d’où :

b) Écrire sous forme matricielle un système d’équations linéaires

Notez bien

est une matrice carrée à trois lignes et trois colonnes, et sont des matrices colonnes.

Le système précédent est équivalent à où :

c) Résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues

À l’aide de la calculatrice, on vérifie que la matrice est inversible et on détermine la matrice , inverse de la matrice  :

équivaut à , d’où, avec la calculatrice, ,

c’est-à-dire :

Gagnez des points !

Pour tout appartenant à , Donc .

La courbe représentative de admet au point K une tangente parallèle à l’axe des abscisses ; le toboggan arrive au sol en K « avec une pente nulle ».

La fonction est donc définie, pour tout appartenant à , par :

Exercice 3

Commun à tous les candidats

>1. Modéliser une situation par une suite

Le nombre d’abonnés de l’année est égal à 60 % du nombre d’abonnés de l’année soit , auxquels on ajoute les 400 nouveaux abonnés que la société accueille chaque année.

Donc, pour tout entier naturel  :

.

D’autre part, en 2010, la société comptait 1 500 abonnés.

La suitedonnée dans l’énoncé modélise donc le nombre d’abonnés pour l’année.

>2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique, déterminer sa raison et son premier terme

Pour tout entier naturel  :

.

On en déduit que la suiteest une suite géométrique de raison; son premier terme est.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours et la question précédente, pour tout entier naturel  :

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

>3. a) Calculer une recette

La recette (en euros) de la société en 2010 est égale au produit du prix d’un abonnement par le nombre d’abonnés, soit .

En 2010, la recette de la société était donc de 600 000 €.

b) Déterminer la nature d’une suite

Notez bien

1,05 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % ; une quantité qui augmente de 5 % est multipliée par 1,05.

Pour tout entier naturel  :

.

La suiteest donc une suite géométrique de raison 1,05.

c) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel , la recette de l’année est :

Or,  ; d’où :

d) Déterminer le rang à partir duquel un terme d’une suite est supérieur à un nombre donné

On cherche la plus petite valeur strictement positive de telle que :

.

On utilise la calculatrice pour construire un tableau donnant une valeur approchée des premiers termes de la suite  ; on constate que les termes diminuent jusqu’à , puis augmentent.

et .

La plus petite valeur strictement positive de telle que est donc 9. C’est donc en 2019 () que la recette de la société dépassera pour la première fois celle de 2010.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

>1. est définie pour tout appartenant à par .

a) Calculer la dérivée d’une fonction comportant un logarithme

Pour tout appartenant à  :

b) Étudier les variations d’une fonction

pour tout dans , donc a le signe de

.

Si , alors , donc .

Si , alors , donc .

On en déduit que est strictement croissante sur l’intervalle , strictement décroissante sur .

D’où le tableau de variations :


 

>2. a) Calculer la dérivée seconde d’une fonction

D’après la question 1. a), pour tout appartenant à  :

Alors

b) Étudier le signe de la dérivée seconde d’une fonction

.

pour tout dans , donc a le signe de .

Si, alors, donc.

Si, alors, donc.

c) Montrer que la courbe représentative d’une fonction possède un point d’inflexion

s’annule et change de signe en , donc la courbepossède un point d’inflexion d’abscisse.

>3. a) Compléter un tableau à partir d’un algorithme

 

X

Y

Z

Test : Y< Z

2

0,3466

0,3533

vrai

2,1

0,3553

0,3584

vrai

2,2

0,3584

0 ,3621

vrai

2,3

0,3621

0,3648

vrai

2,4

0,3648

0,3665

vrai

2,5

0,3665

0,3675

vrai

2,6

0,3675

0,3679

vrai

2,7

0,3679

0,3677

faux

 

b) Donner et interpréter la valeur affichée en sortie d’un algorithme

La valeur affichée en sortie de cet algorithme est la valeur de lorsque l’algorithme s’arrête, c’est-à-dire 2,7.

Elle représente la borne inférieure d’un intervalle d’amplitude 0,1 sur lequel atteint son maximum.

Doncadmet son maximum pour une valeur decomprise entre 2,7 et 2,8.