Sujet complet de Nouvelle-Calédonie 2014

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie
Corpus Corpus 1
Sujet complet de Nouvelle-Calédonie 2014

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

matT_1411_11_02C

Sujets complets

5

Corrigé

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
QCM sur les probabilités : 5 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève aucun point.

Pour relier une île au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l’ensemble des transports vers cette île.

Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s’y étant rendus a produit les résultats suivants :

  • 60 % des touristes se rendant sur l’île utilisent la compagnie A, les autres utilisent la compagnie B ;
  • parmi les touristes ayant choisi la compagnie A pour se rendre sur l’île, 20 % sont satisfaits de leur transport ;
  • 48 % de l’ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l’île.

On interroge au hasard un touriste s’étant rendu sur l’île :

>1. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est :

a) 0,08

b)

c)

d)

>2. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu’il est satisfait de son transport est :

a) 0,34

b)

c)

d)

>3. On rappelle que 48 % de l’ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l’île. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l’île, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l’île.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de F est :

a)

b)

c)

d)

>4. On choisit de modéliser le nombre de touristes satisfaits par le transport vers l’île parmi les 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante par une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne et d’écart-type .

La probabilité, selon ce modèle, qu’il y ait moins de 40 touristes satisfaits est, à 0,001 près :

a) 0,055

b)

c)

d)

>5. La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l’île est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [30 ; 50].

La probabilité que la traversée entre le continent et l’île dure au moins 35 minutes est :

a) 0,25

b)

c)

d)

Exercice 2 (5 points)
Calcul de l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

La courbe ci-après est la représentation graphique d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 2].

On note la fonction dérivée de la fonction .

Le point G a pour coordonnées (0 ; 2).

Le point H a pour coordonnées (1 ; 3).

La droite (GH) est la tangente à la courbe au point G.

La courbe admet une tangente horizontale au point S d’abscisse .

Le domaine coloré est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation et la courbe .


 

PARTIE A

Dans cette partie, aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique :

>1. Donner les valeurs de et . (0,5 point)

>2. Résoudre sur [−1 ; 2] l’inéquation . (0,75 point)

>3. Encadrer par deux entiers consécutifs l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine coloré sur le graphique. (0,75 point)

PARTIE B

On admet que la fonction est définie sur [−1 ; 2] par : , où et sont deux réels.

>1. Calculer . (0,75 point)

>2. Justifier que et . (0,75 point)

>3. Déterminer, sur [−1 ; 2], une primitive de la fonction . (0,5 point)

>4. En déduire la valeur exacte, en unités d’aire, de l’aire du domaine coloré sur le graphique. (1 point)

Exercice 2 (5 points)
Parcours et itinéraires dans un parc de loisirs et modélisation d’un toboggan

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d’accrobranches.

Les différents parcours sont modélisés par le graphe ci-dessous, où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités.

Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.


 

>1. L’organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s’ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d’accrobranches, c’est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l’arbre numéro 1.

Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire. (1 point)

>2. On note la matrice associée au graphe en considérant les sommets pris dans l’ordre croissant des numéros d’arbres.

a) Écrire la matrice . (0,5 point)

b) On donne, ci-dessous, les matrices et  :

 ; .

L’organisateur du parc de loisirs souhaite organiser des « itinéraires express » qui débuteront à l’arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d’accrobranches et finiront à l’arbre 4. Ces itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours.

Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre « d’itinéraires express » réalisables. (1 point)

On ne demande pas de donner ces différents itinéraires.

>3. Pour terminer ces « itinéraires express », on installe un toboggan géant sur l’arbre 4.

La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction dont la courbe est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.


 

Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives :

(2 ; 8,1), (10 ; 2,5) et (20 ; 0).

La fonction est définie sur [0 ; 20] par , où sont trois nombres réels.

a) Justifier que sont solutions du système :

. (1 point)

b) Déterminer les matrices et pour que le système précédent soit équivalent à :

. (0,5 point)

c) Déterminer . (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude de l’évolution du nombre d’abonnés à des salles de sport

Commun à tous les candidats

Le service commercial d’une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l’évolution du nombre d’abonnés était définie de la manière suivante :

  • chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés ;
  • chaque année, 40 % des abonnements de l’année précédente ne sont pas renouvelés.

En 2010, cette société comptait 1 500 abonnés.

On considère la suite définie par et :

.

>1. Justifier que la suite modélise le nombre d’abonnés pour l’année . (0,5 point)

>2. On considère la suite définie par .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 point)

b) Déterminer l’expression de en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que . (0,5 point)

>3. En 2010, le prix d’un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 €.

a) Quelle a été la recette de cette société en 2010 ? (0,5 point)

Chaque année, le prix de cet abonnement augmente de 5 %.

On note le prix de l’abonnement annuel pour l’année .

b) Indiquer la nature de la suite en justifiant la réponse.

En déduire l’expression de en fonction de . (0,75 point)

c) Montrer que, pour l’année , la recette totale annuelle réalisée par la société pour l’ensemble de ses salles de sport est donnée par :

(0,75 point)

d) Trouver, à l’aide de votre calculatrice, l’année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010. (0,75 point)

Exercice 4 (5 points)
Point d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction et algorithme

Commun à tous les candidats

On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants :

 

1

dériver

2

dériver

3

dériver

 

On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l’exercice.

On considère la fonction définie sur [1 ; 10] par :

et on note sa courbe représentative dans un repère.

La fonction est deux fois dérivable sur [1 ; 10], on note sa fonction dérivée et sa fonction dérivée seconde.

>1. a) Déterminer sur [1 ; 10]. (0,5 point)

b) Construire le tableau de variations de la fonction sur [1 ; 10]. (0,75 point)

>2. a) Justifier que sur [1 ; 10]. (0,75 point)

b) Étudier le signe de sur [1 ; 10]. (0,75 point)

c) En déduire que la courbe possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse. (0,5 point)

>3. On considère l’algorithme suivant :

 

Initialisation

X prend la valeur 2

Y prend la valeur

Z prend la valeur

Traitement

Tant que (Y< Z) faire

X prend la valeur X + 0,1

Y prend la valeur

Z prend la valeur

Fin tant que

Sortie

Afficher

 

a) Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : (1 point)

 

X

Y

Z

Test Y< Z

2

0,3466

0,3533

vrai

2,1

0,3533

0,3584

vrai

2,2

 

b) Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction  ? (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation

Les conseils du correcteur

>1. La probabilité demandée est celle de l’intersection de deux événements.

>2. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calcul d’aire

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Pensez à l’interprétation graphique du nombre dérivé.

>2. Le signe de correspond au sens de variation de la fonction .

>3. Comptez les carreaux et faites attention à l’unité de longueur.

Partie B

>1. Il faut trouver une expression de en fonction de et .

>2. Utilisez les valeurs trouvées à la question 1. de la partie A.

>4. L’aire cherchée est une intégrale qui peut être calculée facilement à l’aide de la primitive déterminée à la question précédente.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Chaîne eulérienne • Chaîne de longueur donnée

Les conseils du correcteur

>1. Déterminez si le graphe possède une chaîne eulérienne en examinant le degré de chaque sommet

>2. b) Utilisez la matrice .

>3. a) Utilisez les coordonnées des points I, J et K.

c) Déterminez (à l’aide de la calculatrice) et utilisez la matrice inverse de la matrice .

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique

Les conseils du correcteur

>3. a) La recette est égale au produit du prix d’un abonnement et du nombre d’abonnés.

b) Une quantité qui augmente de 5 % est multipliée par 1,05 (coefficient multiplicateur).

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d’une fonction • Point d’inflexion • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que »

Les conseils du correcteur

>2. c) Résolvez l’équation et étudiez le signe de .

>3. a) N’oubliez pas à chaque étape de déterminer si la condition est remplie ou non. Quand cette condition n’est plus remplie, on « sort de la boucle ».