Sujet complet de Nouvelle-Calédonie 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Nouvelle-Calédonie

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

matT_1611_11_00C

Sujets complets

5

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet de Nouvelle-Calédonie 2016

Les thèmes clés

Exercice 1 – Fonction exponentielle • Convexité.

Exercice 2 – Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 2 (spécialité) – Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 3 – Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

Exercice 4 – Fonction logarithme népérien • Tangente.

Exercice 1 (4 points) • 35 min
QCM sur les fonctions : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère f la fonction définie sur par f(x)=(2x+3) ex.

a) f(x)=2 ex

b) f(x)=2 ex

c) f(x)=(2x+5) ex

d) f(x)=(2x1) ex

2. On considère le nombre I=01(2 e2x+3) dx.

a) I= e2+3

b) I= e2+2

c) I= 2e2+3

d) I= 2e22

3. On considère g la fonction définie sur par g(x)=5 ex+3.

La tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 0 passe par le point :

a) A(1 ; 5e + 3)

b) B(- 1 ; 5)

c) C(1 ; 13)

d) D(0 ; 3)

4. On considère h la fonction définie sur par h(x)=x36x+3.

a) h est strictement croissante sur .

b) h est concave sur [0 ; +[.

c) h est concave sur .

d) h est convexe sur [0 ; +[.

Exercice 2 (5 points) • 45 min
Étude d’une suite ; application à l’évolution du nombre d’inscrits à une association

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

partie a

Soit (un) la suite définie par u0 = 350 et, pour tout entier naturel :

un+1=0,5 un+100.

1. Calculer u1 et u2. (0,5 point)

2. On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par :

wn = un - 200.

a) Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 point)

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :

un=200+150×0,5n. (1 point)

partie b

Une commune propose aux enfants d’adhérer à une association sportive. Au 1er septembre 2015, le nombre d’enfants inscrits dans cette association est 500, dont 350 filles.

Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l’évolution du nombre d’adhérents lors des prochaines années, à la modélisation suivante.

Chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs, l’association accueille chaque année 100 nouvelles filles.

D’une année sur l’autre, le nombre de garçons inscrits à l’association augmente de 10 %.

1. On représente l’évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite (Fn), où Fn désigne le nombre de filles adhérentes à l’association en l’année 2015 + n. On a donc F0= 350.

Pour tout entier naturel n, exprimer Fn+1 en fonction de Fn. (0,5 point)

2. On représente l’évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite (Gn), où Gn désigne le nombre de garçons adhérents à l’association pour l’année 2015 + n.

a) Pour tout entier naturel n, exprimer Gn en fonction de n. (0,5 point)

b) À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ? (0,5 point)

3. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser le nombre de filles. On propose l’algorithme suivant :

Initialisation

Affecter à n la valeur 0

Affecter à G la valeur 150

Affecter à F la valeur 350

Traitement

Tant que G F

n prend la valeur n + 1

G prend la valeur 1,1 G

F prend la valeur 0,5 F+100

Fin tant que

Sortie

Afficher le nombre n

a) Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité. (0,75 point)

Valeur de n

0

1

 

Valeur de G

150

 

Valeur de F

350

   

Condition G F

vrai

   

b) En déduire l’affichage obtenu, puis répondre au problème posé. (0,5 point)

Exercice 2 (5 points) 45 min
Probabilité de réussir un plongeon

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons.

Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu’il réussisse le plongeon suivant est de 0,7. Par contre, lorsqu’il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu’il réussisse le plongeon suivant est égale à 0,2.

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.

L’état « plongeon réussi » est noté R.

L’état « plongeon non réussi » est noté R¯.

Pour tout entier naturel n 1, la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plongeon est notée an, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son n-ième plongeon est notée bn.

La matrice ligne Pn=(anbn) donne l’état probabiliste du système lors du n-ième plongeon.

1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets R et R¯. (0,5 point)

2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets R et R¯ étant classés dans cet ordre. (0,5 point)

3. Justifier que P1=(10). (0,25 point)

4. Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon. (0,5 point)

5. Montrer que, pour tout entier naturel n 1 :

an+1= 0,5 an+0,2. (0,75 point)

6. Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à 0,41, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause.

On cherche alors à déterminer au bout de combien d’essais Pierre arrête sa série de plongeons.

On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel n 1 tel que :

an 0,41.

Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il permette de répondre à la question posée. (0,75 point)

Initialisation

Affecter à N la valeur 1

A prend la valeur 1

Traitement

Tant que ………..

N prend la valeur ………..

A prend la valeur ………..

Fin tant que

Sortie

Afficher ………..

7. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n 1 par :

un = an - 0,4.

a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) Démontrer que pour tout entier naturel n 1 :

an=0,6×0,5n1+0,4. (0,5 point)

c) Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que :

an 0,41. (0,5 point)

d) Au bout de combien d’essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ? (0,25 point)

Exercice 3 (5 points) • 45 min
Jeux vidéo et autonomie d’une tablette

Commun à tous les candidats

Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

partie a

Une enquête révèle que, dans un lycée, 67 % des élèves jouent régulièrement aux jeux vidéo.

On sait de plus que 57 % des élèves du lycée sont des filles et que, parmi elles, 49 % jouent régulièrement aux jeux vidéo.

On choisit au hasard un élève du lycée.

On note J l’événement « l’élève joue régulièrement aux jeux vidéo » et F l’événement « l’élève est une fille ».

1. Recopier l’arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante. (1 point)

Importation de l’image : matT_1611_11_00C_01.png impossible

matT_1609_11_00C_01

2. Calculer la probabilité que l’élève soit une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo. (0,5 point)

3. Montrer que la probabilité que l’élève soit un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à 0,3907. (0,5 point)

4. Calculer la probabilité que l’élève joue régulièrement aux jeux vidéo sachant que c’est un garçon. Arrondir au dix-millième. (0,75 point)

partie b

Zoé, grande amatrice de jeux vidéo, souhaite s’offrir une tablette numérique pour son anniversaire. Elle pense commander sur un site web marchand une tablette de marque Alpha.

Elle s’inquiète quant à l’autonomie de sa tablette en mode veille.

On admet que l’on peut modéliser la durée d’autonomie de chaque tablette de marque Alpha en mode veille par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance μ = 120 et d’écart-type σ = 10.

La durée X est exprimée en heures.

1. Déterminer la probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie strictement inférieure à 5 jours. (0,5 point)

2. Déterminer p(96X144). Arrondir le résultat au millième. (0,5 point)

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (0,25 point)

partie c

Le service des ventes de la société Alpha affirme que 91 % des utilisateurs de cette tablette sont satisfaits de leur achat.

Le gestionnaire du site marchand organise une enquête afin de vérifier cette affirmation.

Il interroge au hasard 150 clients ayant acheté cette tablette ; parmi eux, 130 se déclarent satisfaits de leur acquisition.

Peut-on valider l’affirmation du service des ventes de la société ? Justifier. (1 point)

Exercice 4 (6 points) 50 min
Tangentes à la courbe représentative d’une fonction et calcul d’une aire

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

La fonction f est définie sur l’intervalle [0,5 ; 10] par :

f(x)=ax+2+bln(x)

a et b sont deux nombres réels.

On note f la fonction dérivée de f.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

la courbe représentative Γ de la fonction f ;

la droite d tangente à la courbe Γ au point A de coordonnées (1 ; 1) ;

la droite d tangente à la courbe Γ au point B d’abscisse 3.

Importation de l’image : matT_1611_11_00C_02.png impossible

matT_1609_11_00C_02

On sait de plus que :

la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (0 ; – 1) ;

la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

partie a

1. Donner par lecture graphique la valeur de f(1), puis celle de f(3). (0,5 point)

2. Calculer f(x). (0,5 point)

3. En déduire les valeurs des nombres a et b. (0,5 point)

partie b

On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0,5 ; 10] par :

f(x)=x+2+3ln(x).

1. Montrer que pour x dans [0,5 ; 10] :

f(x)=x+3x. (0,5 point)

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point A d’abscisse 1. (0,5 point)

3. Étudier le signe de f(x) sur l’intervalle [0,5 ; 10], puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. (0,75 point)

4. Montrer que, sur l’intervalle [0,5 ; 3], l’équation f(x) = 0 admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième. (0,75 point)

5. Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

1

Intégrer [3ln(x)x+2]

 

3xln(x)xx22

Calculer, en unités d’aire, l’aire S du domaine délimité par la courbe Γ, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 8.

On donnera la valeur exacte de S, puis sa valeur arrondie au centième. (1 point)

partie c

Tom observe que, sur le dessin précédent, la courbe représentative de f est située en dessous des deux tangentes aux points A et B. Il affirme :

« La courbe représentative de f sur l’intervalle [0,5 ; 10] est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. »

Démontrer que l’affirmation de Tom est exacte. (1 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

2. Déterminez une primitive sur [0 ; 1] de la fonction x2 e2x+3.

4. Calculez la dérivée et la dérivée seconde de h.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Partie A

2. a) La suite (wn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, wn+1 = q wn.

3. b) Déterminez d’abord l’expression de wn en fonction de n.

Partie B

2. a) Utilisez le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10 %.

b) Résolvez une inéquation.

Partie C

3. a) n est le rang de l’année, G et F respectivement le nombre de garçons et le nombre de filles inscrits à l’association l’année n.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

2. La matrice de transition associée à un graphe probabiliste est une matrice carrée dont le nombre de lignes et le nombre de colonnes sont égaux au nombre d’états (deux états ici).

4. Déterminez P4.

5. Utilisez le fait que, pour tout entier naturel n, an + bn = 1.

7. a) La suite (un) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, un+1 = q un.

b) Déterminez dans un premier temps l’expression de un en fonction de n.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

2. et 3. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

4. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Partie B

2. Utilisez la calculatrice.

Partie C

Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. f(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

2. Donnez une expression de f(x) en fonction de a et b.

Partie B

4. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

5. Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel de calcul formel.

Partie C

Étudiez la convexité de f sur l’intervalle [0,5 ; 10].

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

1. Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

La fonction f est dérivable sur en tant que produit de deux fonctions dérivables sur .

f = uv, avec u(x)=2x+3 et v(x)=ex.

u(x)=2 ;

v=ew, avec w(x)=x. v=wew, donc v(x)=ex.

f=uv+uv, donc :

f(x)=2 ex+(2x+3)×(ex)

f(x)=ex(22x3)

f(x)=ex(2x1).

La bonne réponse est d).

Notez bien

Pour calculer une intégrale, il suffit de connaître une primitive de la fonction sous l’intégrale.

2. Calculer une intégrale

Si on pose k(x)=2 e2x+3, alors la fonction K définie par K(x)=e2x+3x est une primitive de k sur [0 ; 1], d’où :

I=[e2x+3x]01

I=(e2+3)1

I=e2+2.

La bonne réponse est b).

3. Déterminer un point appartenant à la tangente en un point donné à la courbe représentative d’une fonction

Soit la courbe représentative de la fonction g et la tangente à au point d’abscisse 0.

a pour équation réduite y=g(0)x+g(0).

Or  g(0)=5+3=8.

Pour tout réel x, g(x)=5 ex, donc g(0)=5.

Donc a pour équation y=5x+8.

On regarde, pour chacun des quatre points A, B, C et D, si ses coordonnées vérifient l’équation précédente :

5×1+8=135 e+3, donc A  ;

5×(1)+8=35, donc B  ;

5 × 1 + 8 = 13, donc C  ;

5 × 0 + 8 = 8 3, donc D .

La bonne réponse est c).

4. Étudier le sens de variation et la convexité d’une fonction sur un intervalle

La fonction h est deux fois dérivable sur . Pour tout réel x :

h(x)=3x26 et h(x)=6x.

h(0)=6, donc h n’est pas strictement positive sur et h n’est pas strictement croissante sur .

h(x) est du signe de x, donc :

h(x)0x0.

h est donc convexe sur [0 ; + [, mais pas sur .

La bonne réponse est d).

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

partie a

1. Calculer deux termes d’une suite

u1 = 0,5 × 350 + 100

u1=275

u2 = 0,5 × 275 + 100

u1=237,5

2. a) Montrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n :

wn+1 = un+1 - 200

wn+1=0,5 un+100200

wn+1=0,5 (wn+200)100

wn+1=0,5 wn+100100

wn+1=0,95 wn.

La suite (wn) est géométrique de raison 0,5, de premier terme w0=u0200=150.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel n :

wn=150×0,5n.

un = wn + 200

un=200+150×0,5n

partie b

1. Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Puisque, chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précédente renouvellent leur adhésion, et que 100 nouvelles filles s’inscrivent, on a, pour tout entier naturel n :

Fn+1=0,5 Fn+100

Notez bien

Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10 % est égal à 1,1.

2. a) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel :

wn=150×0,5n.

Gn+1=Gn+0,1 Gn

Gn+1=1,1 Gn.

Donc la suite (Gn) est géométrique de raison 1,1 ; son premier terme G0 est le nombre de garçons inscrits en 2015, soit 500 - 350.

Donc G0 = 150 et, pour tout entier naturel n :

Gn=150×1,1n

b) Déterminer l’indice du premier terme d’une suite dépassant une valeur donnée

On cherche le plus petit entier naturel n tel que 150×1,1n300, c’est-à-dire 1,1n2.

Puisque la fonction ln est croissante sur ]0 ; + [, cette inégalité équivaut successivement à :

nln(1,1)ln2

nln2ln(1,1) car ln(1,1)>0.

Or ln2ln(1,1)7,27 et n est entier.

Le club comptera pour la première fois plus de 300 garçons au bout de huit ans, c’est-à-dire en 2023.

3. a) Compléter un tableau d’étapes résumant le fonctionnement d’un algorithme

Valeur de n

0

1

2

3

4

Valeur de G

150

165

182

200

220

Valeur de F

350

275

238

219

209

Condition G F

vrai

vrai

vrai

vrai

FAUX

b) Déterminer et interpréter le résultat affiché par un algorithme

L’algorithme affiche 4.

Dans l’association, le nombre des garçons dépassera celui des filles au bout de quatre ans, c’est-à-dire en 2019.

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

Notez bien

Dans un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d’un même sommet est égale à 1.

La situation peut être représentée par le graphe suivant :

Importation de l’image : matT_1611_11_00C_03.png impossible

matT_1609_11_00C_03

Notez bien

Les coefficients de la première ligne de la matrice M sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet R du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de R¯.

2. Déterminer la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

{an+1=0,7 an+0,2 bnbn+1=0,3 an+0,8 bn

Donc :

Pn+1=Pn(0,70,30,20,8).

La matrice de transition associée au graphe ci-dessus est :

M=(0,70,30,20,8)

3. Justifier un état probabiliste

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon, donc a1 = 1 et b1 = 0. Donc :

P1=(10)

4. Déterminer une probabilité associée à un graphe probabiliste

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

Pn+1 = Pn × M et Pn=P1×Mn1.

Donc P4=P1×M3.

D’après la calculatrice : P4=(0,4750,525).

La probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon est égale à 0,475.

5. Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

On a vu (question 2.) que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

an+1=0,7 an+0,2 bn

et on sait que an + bn = 1, donc bn = 1 - an.

Donc :

an+1=0,7 an+0,2 (1an)

an+1=0,7 an+0,20,2 an

an+1=0,5 an+0,2

6. Compléter un algorithme

Initialisation

Affecter à N la valeur 1

A prend la valeur 1

Traitement

Tant que A > 0,41

N prend la valeur N + 1

A prend la valeur 0,5 A+0,2

Sortie

Afficher N

7. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

un+1 = an+1 - 0,4

un+1=0,5 an+0,20,4

un+1=0,5 (un+0,4)0,2

un+1=0,5 un+0,20,2

un+1=0,5 un.

La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,5.

Son premier terme est u1=a10,4=0,6.

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

D’après la question précédente, pour tout entier naturel n 1 :

un=0,6×0,5n1

an = un + 0,4

an=0,6×0,5n1+0,4

c) Déterminer le premier terme d’une suite inférieur à un nombre donné

an0,410,6×0,5n1+0,40,410,6×0,5n10,01

 0,5n10,010,6(n1)ln0,5ln(0,010,6)

n1ln(0,010,6)ln0,5nln(0,010,6)ln0,5+1.

Or ln(0,010,6)ln0,5+16,9 et n est entier, donc an 0,41 n 7.

Le plus petit entier naturel n tel que an0,41 est donc n=7.

d) Interpréter concrètement un résultat obtenu par calcul

D’après la question précédente, la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plongeon est inférieure ou égale à 0,41 à partir de n = 7.

Pierre arrête après son septième plongeon.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie a

1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé, p(F)=0,57 (57 % des élèves du lycée sont des filles) et pF(J)=0,49 (49 % des filles jouent régulièrement aux jeux vidéo), d’où l’arbre suivant :

Importation de l’image : matT_1611_11_00C_04.png impossible

matT_1609_11_00C_04

2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

L’événement « l’élève est une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo » est F J. Sa probabilité est :

p(FJ)= p(F)× pF(J)=0,57×0,49=0,2793.

La probabilité que l’élève choisi soit une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à 0,2793.

3. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant une partition de l’univers

L’événement « l’élève est un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo » est F¯J.

p(J)=0,67 (67 % des élèves jouent régulièrement aux jeux vidéo).

F et F¯ sont deux événements contraires, ils forment une partition de l’univers, donc :

p(J)=p(FJ)+p(F¯J)

p(F¯J)=p(J)p(FJ)

p(F¯J)=0,670,2793

p(F¯J)=0,3907.

La probabilité que l’élève soit un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à 0,3907.

4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est pF¯(J). C’est une probabilité conditionnelle.

pF¯(J)=p(F¯J)p(F¯)

pF¯(J)=0,39070,43

pF¯(J) 0,9086 (résultat arrondi au dix-millième).

La probabilité que l’élève joue régulièrement aux jeux vidéo sachant que c’est un garçon est égale à environ 0,9086.

partie b

1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

5 jours = 120 heures.

La probabilité que la tablette ait en mode veille une autonomie strictement inférieure à cinq jours est p(X < 120).

La variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 120, donc :

p(X<120)=0,5.

La probabilité que la tablette ait en mode veille une autonomie strictement inférieure à cinq jours est égale à 0,5.

2. Déterminer et interpréter une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la calculatrice :

p(96X144)0,984 (résultat arrondi au dix-millième).

96 heures = 4 jours ; 144 heures = 6 jours.

La probabilité que la tablette ait en mode veille une autonomie strictement comprise entre quatre jours et cinq jours est égale à 0,984 en arrondissant au millième.

partie c

Le service des ventes de la société Alpha affirme que la proportion d’utilisateurs satisfaits est p = 0,91.

L’échantillon considéré est de taille n = 150.

n=15030; np=136,55; n(1p)=13,55. Les conditions sont remplies, donc on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

D’après le cours, l’intervalle [p p(1p)n;p+p(1p)n] est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence d’utilisateurs satisfaits sur un échantillon de taille n.

En effectuant les calculs et en arrondissant par défaut la borne gauche, par excès la borne droite, l’intervalle I=[0,864;0,956] est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence d’utilisateurs satisfaits sur un échantillon de taille 150.

La fréquence f d’utilisateurs satisfaits sur l’échantillon des 150 clients interrogés est f=130150, soit f 0,867.

f I, donc on peut valider l’affirmation du service des ventes de la société Alpha.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

1. Lire graphiquement deux nombres dérivés

La tangente en A à la courbe Γ est la droite (AE) de coefficient directeur yEyAxExA=2, donc :

f(1)=2

La tangente en B à la courbe Γ est parallèle à l’axe des abscisses, donc :

f(3)=0

2. Calculer la dérivée d’une fonction

a et b sont des constantes donc, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 10] :

f(x)=a+bx

3. Déterminer l’expression d’une fonction

D’après les deux questions précédentes :

f(1)=2a+b=2 et f(3)=0a+b3=0.

Le couple (; b) est donc solution du système :

{a+b=2a+b3=0

Ce système équivaut successivement à :

{b= 3aa3a=2

{a= 1b=3

Donc, pour tout réel x appartenant à [0,5 ; 10] :

f(x)=x+2+3ln(x)

partie b

1. Calculer la dérivée d’une fonction

On a vu à la question 2. de la partie A que, pour tout réel x appartenant à [0,5 ; 10] :

f(x)=a+bx.

En remplaçant a et b par leurs valeurs, on obtient :

 f(x)=1+3x

f(x)=x+3x

2. Déterminer une équation d’une tangente à une courbe

La tangente en A à la courbe Γ a pour équation y=f(1)(x 1)+f(1).

Or f(1)=1 et f(1)=2, donc la tangente en A à Γ a pour équation :

y = x – 1 + 2

y=x+1

3. Étudier les variations d’une fonction

f(x)=x+3x et x > 0 pour tout x dans [0,5 ; 10], donc f(x) est du signe de (– x + 3).

D’où :

si 0,5 x < 3, alors – x + 3 > 0, donc f(x)>0 ;

f(3)=0 ;

si 3 < x 10, alors – x + 3 < 0, donc f(x)<0.

On en déduit le tableau de variations de f sur l’intervalle [0,5 ; 10] :

005_matT_1611_11_00C_tab1

f(0,5)=0,5+2+3ln(0,5)0,579;f(3)=3+2+3ln32,296;

f(10)=10+2+3ln(10)1,092.

4. Montrer qu’une équation a une unique solution dans un intervalle

La fonction f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle [0,5 ; 3] ; d’autre part f(0,5)<0<f(3).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0 a une unique solution sur l’intervalle [0,5 ; 3].

On note α cette solution.

D’après la calculatrice : f(0,63)0,016<0 et f(0,64)0,021>0, donc f(0,63)<f(α)<f(0,64), donc 0,63 < α < 0,64.

f(0,634)0,0011 et f(0,635)0,0026, donc 0,634 < α < 0,635.

0,63 est une valeur approchée arrondie au centième de la solution sur l’intervalle [0,5 ; 3] de l’équation f(x)=0.

5. Calculer une aire

f(1)=1 et f(8)=6+3ln80,24>0. D’après le tableau de variations, la fonction f est positive sur l’intervalle [1 ; 8]. Donc :

S=18f(x) dx.

Notez bien

On peut vérifier que, pour tout réel x appartenant à [0,5 ; 10], F(x)=f(x).

D’après le résultat fourni par le logiciel de calcul formel, la fonction F définie par :

F(x)=3xln(x)xx22

est une primitive de f sur [0,5 ; 10].

Donc S=F(8)F(1)=24ln8832+1+12.

S=24ln8772 (valeur exacte) ; S11,41 (valeur arrondie au centième).

partie c

Étudier la position d’une courbe par rapport à ses tangentes

Pour tout x appartenant à [0,5 ; 10] : f(x)=1+3x,

donc f(x)=3x2.

Donc f(x)<0 pour tout x appartenant à [0,5 ; 10].

La fonction f est donc concave sur l’intervalle [0,5 ; 10] et sa courbe représentative sur cet intervalle est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.