Sujet complet de Polynésie française 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet de Polynésie française 2013
 
 

Polynésie française 2013

Corrigé

5

Sujets complets

matT_1306_13_00C

 

Polynésie française • Juin 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Reporter sur le sujet le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère la fonction définie sur par 

>1. L’image de par est égale à :

a)

b)

c)

d)

>2. est dérivable sur et on note sa fonction dérivée. Alors pour tout nombre réel , on a :

a)

b)

c)

d)

>3. L’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction au point d’abscisse 0 est :

a)

b)

c)

d)

>4. La fonction est :

a) concave sur [0 ; 1]

b) concave sur

c) convexe sur

d) convexe sur [0 ; 1]

>5. L’intégrale est égale à :

a) e – 5

b) 5

c)

d)

Exercice 2 (5 points)
Prix de différentes formules week-end

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Une agence de voyage propose des formules week-end à Londres au départ de Paris pour lesquelles le transport et l’hôtel sont compris.

Les clients doivent choisir entre les deux formules « avion + hôtel » ou « train + hôtel », et peuvent compléter ou non leur formule par une option « visites guidées ».

Une étude a produit les données suivantes :

40 % des clients optent pour la formule « avion + hôtel » et les autres pour la formule « train + hôtel » ;

parmi les clients ayant choisi la formule « train + hôtel », 50 % choisissent aussi l’option « visites guidées » ;

12 % des clients ont choisi la formule « avion + hôtel » et l’option « visites guidées ».

On interroge au hasard un client de l’agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres. On note :

A l’événement : le client interrogé a choisi la formule « avion + hôtel » ;

T l’événement : le client interrogé a choisi la formule « train + hôtel » ;

V l’événement : le client interrogé a choisi l’option « visites guidées ».

>1.a) Quelle est la probabilité de l’événement : le client interrogé a choisi la formule « avion + hôtel » et l’option « visites guidées » ? (0,75 point)

b) Calculer la probabilité . (0,5 point)

c) Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré. (0,75 point)

>2.a) Montrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l’option « visites guidées » est égale à 0,42. (1 point)

b) Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option « visites guidées ». Arrondir le résultat au millième. (1 point)

>3. L’agence pratique les prix (par personne) suivants :

Formule « avion + hôtel » : 390 €

Formule « train + hôtel » : 510 €

Option « visites guidées » : 100 €

Quel montant du chiffre d’affaires l’agence de voyage peut-elle espérer obtenir avec 50 clients qui choisissent un week-end à Londres ? (1 point)

Exercice 2 (5 points)
Répartition des internautes entre deux ­fournisseurs d’accès

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Alors qu’une entreprise A possédait le monopole de l’accès à Internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s’implanter.

Lors de l’ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d’accès B, l’entreprise A possède 90 % du marché et l’entreprise B possède le reste du marché.

Dans cet exercice, on suppose que, chaque année, chaque internaute est client d’une seule entreprise A ou B.

On observe à partir de 2010 que, chaque année, 15 % des clients de l’entreprise A deviennent des clients de l’entreprise B, et 10 % des clients de l’entreprise B deviennent des clients de l’entreprise A.

Pour tout entier naturel n, on note la probabilité qu’un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à Internet fourni par l’entreprise A pour l’année 2010 + n, et la probabilité pour que son fournisseur d’accès en 2010 + n soit l’entreprise B.

On note la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 2010 + n, et on a ainsi et .

PARTIE A

>1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste. (0,5 point)

>2.a) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe. (0,5 point)

b) Montrer qu’en 2013, l’état probabiliste est environ (0,61 0,39). (1 point)

c) Déterminer l’état stable de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat. (1 point)

PARTIE B

Lors d’une campagne de marketing, l’entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l’entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.

À la fin de la journée, l’entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €.

On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.

>1. Écrire un système traduisant cette situation. (0,5 point)

>2. Montrer que le système précédent est équivalent à et X et T sont des matrices que l’on précisera. (0,5 point)

>3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice. Interpréter le résultat. (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Évolution des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie

Commun à tous les candidats

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie française.

Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d’euros :

 

Années

2008

2009

2010

2011

Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d’euros)

81 295

66 052

64 690

63 182

 

Source : ISPF (Institut de Statistiques de Polynésie Française)

>1. Montrer que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est - 8,06 % arrondi au centième. (1 point)

On admet pour la suite de l’exercice que la production continuera à baisser de 8 % par an à partir de 2011.

>2. On considère l’algorithme suivant :

 

Entrée :

Saisir un nombre positif P

Traitement :

Affecter la valeur 0 à la variable N {initialisation}

Affecter la valeur 63 182 à U {initialisation}

Tant que U>P

Affecter la valeur N + 1 à N

Affecter la valeur 0,92 × Uà U

Fin de Tant que

Affecter la valeur N + 2011 à N

Sortie :

Afficher N

 

Si on saisit P = 50 000 en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles. (1 point)

>3. Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite . On note le montant en 2011, en milliers d’euros, et le montant en 2011 + n, en milliers d’euros. On a donc et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8 %.

a) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison. (0,5 point)

b) Exprimer, pour tout entier naturel n, en fonction de n. (0,5 point)

c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d’euros. (0,75 point)

>4. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu’à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d’euros. (1,25 point)

Exercice 4 (5 points)
Taille de poissons d’une espèce donnée et nombre de poissons malades

Commun à tous les candidats

On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

partie a : étude de la zone 1

On note la variable aléatoire qui, à chaque poisson observé dans la zone 1, associe sa taille en cm.

Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne µ et d’écart type . La courbe de la densité de probabilité associée à est représentée ci-dessous.


 

>1. Par lecture graphique, donner la valeur de µ. (0,5 point)

>2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à , d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm (0,5 point)

>3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.

On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à , de pêcher un poisson adulte. (0,5 point)

>4. On considère un nombre strictement plus grand que la valeur moyenne µ.

Est-il vrai que  ? Justifier. (1 point)

partie b : étude de la zone 2

>1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

a) Calculer la fréquence de poissons malades dans l’échantillon. (0,5 point)

b) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion p de poissons malades dans la zone 2. On arrondira les bornes au millième. (1 point)

>2. Soit la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire suit la loi normale de moyenne µ′ = 205 et d’écart type .

En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart type , dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire . Justifier la réponse. (1 point)


 

 

 

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Nombre dérivé, tangente • Fonctions exponentielles • Fonction logarithme népérien • Convexité • Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

>2. Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

>4. Calculez la dérivée seconde de et étudiez son signe.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu.

Arbres pondérés • Loi de probabilité • Probabilités conditionnelles.

Les conseils du correcteur

>3. Considérez la variable aléatoire qui, à tout client qui choisit un week-end à Londres, associe sa dépense, calculez l’espérance de cette variable aléatoire et tenez compte du fait qu’on considère 50 clients.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Matrice associée à un graphe • Graphes probabilistes • Calcul matriciel.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Le graphe comporte deux sommets, A (pour l’entreprise A) et B (pour l’entreprise B).

>2.a) Les coefficients de la matrice de transition sont les probabilités, pour un internaute, de garder d’une année à la suivante le même fournisseur d’accès ou d’en changer.

>2.c) L’état stable P vérifie .

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution d’un taux • Boucle avec arrêt conditionnel • Suites arithmétiques ou géométriques

Les conseils du correcteur

>1. Le taux d’évolution annuel moyen est le taux d’évolution annuel constant qui, sur trois années consécutives, aurait donné la même évolution que celle constatée.

>2. Faites « fonctionner » cet algorithme en déterminant les valeurs des variables obtenues à chaque étape.

>4. Utilisez la formule permettant de calculer la somme des termes d’une suite géométrique.

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Loi à densité • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie B

>1.a) La fréquence de poissons malades est le quotient du nombre de poissons malades par le nombre de poissons prélevés.

>2. Si suit une loi normale d’espérance , alors la droite d’équation est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité.

Comparez aussi les écarts types : plus l’écart type est grand, plus la courbe représentative de la fonction de densité est étalée.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Utiliser les propriétés de la fonction logarithme népérien

 

Notez bien

Pour tout réel  : .

La bonne réponse est d).

>2. Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

 

Notez bien

La fonction est de la forme . Sa dérivée est

Pour tout réel  : .

La bonne réponse est c).

>3. Déterminer l’équation réduite d’une tangente à la courbe représentative d’une fonction

La tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 0 a pour équation :

.

Or

La courbe de et sa tangente (en rouge) au point d’abscisse 0 sont représentées sur le graphique de la question 5.

La bonne réponse est c).

>4. Étudier la convexité d’une fonction

 

Notez bien

Le point d’abscisse 2 est un point d’inflexion de la courbe représentative de  ; en ce point, la courbe traverse sa tangente (voir graphique ci-après : la tangente au point d’abscisse 2 est représentée en bleu).

La fonction est deux fois dérivable sur . Pour tout réel  :

est du signe de , donc :

  • si
  • si .

est donc concave sur (donc sur [0 ; 1]), convexe sur .

La bonne réponse est a).

>5. Trouver la valeur d’une intégrale

est continue et positive sur , donc l’intégrale est l’aire du domaine délimité par la courbe de , l’axe des abscisses et les droites d’équations  ; ce domaine est colorié sur le graphique ci-dessous :


 
 

Info

On peut calculer la valeur exacte de I. D’après le calcul fait à la question 2., pour tout réel  : donc :

.

Il en résulte que la fonction définie sur par est une primitive de sur et que

Graphiquement :

.

On peut aussi montrer que est strictement croissante sur [0 ; 1], donc son maximum sur cet intervalle est , avec, à 10–2 près, . Donc et .

On peut donc écarter les réponses a) (), b) et d).

La bonne réponse est c).

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1.a) Calculer la probabilité d’un événement

 

Notez bien

La probabilité calculée dans cette question est la probabilité de l’intersection de deux événements ; ce n’est pas une probabilité conditionnelle.

12 % des clients ont choisi la formule « avion + hôtel » et l’option « visites guidées ».

Donc la probabilité que le client interrogé ait choisi la formule « avion + hôtel » et l’option « visites guidées » est égale à 0,12.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

est la probabilité que le client ait choisi l’option « visites guidées » sachant qu’il a choisi l’option « avion + hôtel ».

étant non nulle, par définition d’une probabilité conditionnelle :

.

Or, d’après a) et , donc :

c) Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

et car 40 % des clients optent pour la formule « avion + hôtel » et les autres pour la formule « train + hôtel ».

D’après la question précédente, donc

car, parmi les clients ayant choisi la formule « train + hôtel », 50 % choisissent aussi l’option « visites guidées » ; on a donc également .

Donc la situation peut être représentée par l’arbre pondéré suivant :


 

>2.a) Calculer la probabilité d’un événement

La probabilité pour que le client interrogé ait choisi l’option « visites guidées » est

Puisque A et T constituent une partition de l’univers :

et, d’après l’arbre :

.

Donc :

b) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option « visites guidées » est .

étant non nulle, par définition d’une probabilité conditionnelle :

>3. Calculer et utiliser l’espérance d’une variable aléatoire

Suivant la formule choisie et suivant qu’il a ou non choisi l’option « visites guidées », un client paiera :

  • 390 € s’il a choisi la formule « avion + hôtel » sans l’option « visites guidées »
  • 490 € s’il a choisi la formule « avion + hôtel » avec l’option « visites guidées »
  • 510 € s’il a choisi la formule « train + hôtel » sans l’option « visites guidées »
  • 610 € s’il a choisi la formule « train + hôtel » avec l’option « visites guidées »

Si on appelle la variable aléatoire qui, à chaque client ayant souscrit à une formule week-end à Londres, associe la somme payée (en euros), alors prend comme valeurs 390, 490, 510, 610.

 ;

 ; .

La loi de peut être résumée par le tableau :

 

390

490

510

610

0,28

0,12

0,3

0,3

 

L’espérance de est :

 

Notez bien

Cela signifie qu’en moyenne, un client ayant souscrit à une formule week-end à Londres paie 504 €.

, donc avec 50 clients, l’agence peut espérer un chiffre d’affaires d’un montant égal à 25 200 €.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A

>1. Représenter des données par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :


 

>2.a) Déterminer la matrice de transition d’un graphe

La matrice de transition de ce graphe est :

b) Étudier l’évolution de la répartition des clients entre deux entreprises

2013 = 2010 + 3, donc l’état probabiliste en 2013 est donné par :

.

.

 

Info

On a également .

En arrondissant au centième, l’état probabiliste en 2013 est donc environ (0,61 0,39).

c) Déterminer un état stable associé à un graphe probabiliste

Soit l’état stable de la répartition des clients entre les deux entreprises.

, soit , c’est-à-dire :

Les deux équations sont équivalentes à , soit .

De plus, , donc , c’est-à-dire , puis .

Donc l’état stable est :

À long terme, la répartition des internautes suivant le fournisseur d’accès sera 40 % pour le fournisseur A, 60 % pour le fournisseur B.

PARTIE B

>1. Représenter une situation par un système de deux équations à deux inconnues

Puisque l’entreprise a distribué au total 550 objets,

La dépense totale de l’entreprise est 540 €, donc .

D’où le système :

>2. Écrire sous forme matricielle un système linéaire de deux équations à deux inconnues

Matriciellement, le système précédent peut s’écrire :

>3. Résoudre et interpréter un système de deux équations à deux inconnues

Avec la calculatrice, on trouve .

Si l’entreprise distribue 550 objets, stylos et porte-clés, pour un coût total de 540 €, c’est qu’elle a distribué 300 stylos et 250 porte-clés.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

>1. Étudier l’évolution du montant annuel des exportations des produits perliers

De 2008 à 2011, le montant à l’exportation des produits perliers, en milliers d’euros, passe de 81 295 à 63 182.

Le coefficient multiplicateur global sur ces 3 ans est donc , soit environ 0,7772.

Si est le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers entre 2008 et 2011 :

 

Notez bien

Ce taux d’évolution est négatif car le montant diminue.

Avec la calculatrice :

.

En arrondissant au centième, on en déduit que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers entre 2008 et 2011 est – 8,06 %.

>2. Étudier le fonctionnement et donner le résultat d’un algorithme

Si on saisit , l’algorithme permet le calcul de l’année à partir de laquelle le montant à l’exportation des produits perliers, en milliers d’euros, devient inférieur à 50 000 (en supposant que ce montant, à partir de 2011, diminue de 8 % par an).

Plus précisément, on peut construire le tableau suivant, donnant le « déroulement » de l’algorithme :

 

N

1

2

3

U

0,92 × 63 182

= 58 127,44

0,92 × 58 127,44

= 53 477,2448

0,92 × 53 477,2448

= 49 199,06522

 

La dernière valeur de U obtenue est inférieure à 50 000, donc on sort de la boucle.

 

Attention

Il s’agit d’une boucle « avec arrêt conditionnel » ; on ne peut pas prévoir le nombre d’étapes ; la boucle se termine lorsque la condition U > P n’est plus remplie.

L’affichage est alors N = 2011 + 3 = 2014.

Concrètement, la première année à partir de laquelle le montant à l’exportation des produits perliers devient inférieur à 50 millions d’euros est 2014.

En 2013, ce montant est environ 53 477 244,80 € et en 2014 environ 49 199 065,22 €.

>3.a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Si on suppose qu’à partir de 2011, le montant à l’exportation des produits perliers, en milliers d’euros, diminue de 8 % par an, et si on note ce montant en 2011 + , alors, pour tout entier naturel  :

.

 

Notez bien

0,92 est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 8 %.

La suite est donc une suite géométrique de raison .

b) Donner le terme général d’une suite géométrique

D’après la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique, pour tout entier naturel  :

c) Utiliser une modélisation par une suite géométrique pour la prévision d’un montant

Avec ce modèle, le montant à l’exportation des produits perliers, en milliers d’euros, pour l’année 2016 est , car .

D’après la formule donnée à la question précédente

.

 

Notez bien

Ce résultat est conforme au résultat de l’algorithme de la question 2.

En arrondissant au millier d’euros, on peut donc dire qu’en 2016, le montant à l’exportation des produits perliers sera environ 41 642 000 euros au millier d’euros près.

>4. Calculer un montant cumulé sur plusieurs années

Avec le modèle précédent, le montant cumulé des produits perliers exportés de 2011 à 2020 est, en milliers d’euros :

est la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 63 182 et de raison 0,92.

.

Or d’après le cours, d’où :

Donc, au millier d’euros près, le montant cumulé des produits perliers exportés de 2011 à 2020 est 446 706 000 €.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

Partie A : Étude de la zone 1

>1. Déterminer par lecture graphique l’espérance d’une loi normale

µ est l’espérance de la loi normale suivie par la variable aléatoire représentant la taille en cm des poissons de la zone 1.

La courbe représentative de la fonction de densité de la loi de a donc pour axe de symétrie la droite d’équation . Par lecture graphique :

>2. Calculer une probabilité associée à une loi normale

Si on pêche un poisson de la zone 1, la probabilité que ce poisson ait une taille comprise entre 150 et 210 cm est .

Avec la calculatrice :

>3. Calculer une probabilité associée à une loi normale

On cherche

Or .

à près d’après la calculatrice.

car suit une loi normale d’espérance 150.

D’où :

>4. Comparer à 0,5 une probabilité associée à une loi normale

Soit un réel tel que .

car suit une loi normale d’espérance µ.

Or car , donc .

L’affirmation proposée est donc fausse.

Partie B : Étude de la zone 2

>1.a) Calculer une fréquence

15 poissons, sur les 50 prélevés, sont malades. La fréquence de poissons malades dans cet échantillon est donc :

b) Déterminer un intervalle de confiance

Au niveau de 95 %, un intervalle de confiance de la proportion p de poissons malades dans la zone 2, déterminé à partir de la fréquence de poissons malades dans un échantillon de taille , est

,

à condition que .

Ici et , donc ces conditions sont remplies.

En arrondissant au millième la borne gauche par défaut, la borne droite par excès, on obtient pour l’intervalle de confiance de niveau 95 % :

>2. Déterminer la courbe représentative de la fonction de densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale

La variable aléatoire a pour moyenne µ′ = 205, donc la droite d’équation est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité ; on peut donc exclure la courbe 3, qui n’est pas symétrique par rapport à la droite d’équation .

La variable aléatoire a un écart type , strictement supérieur à l’écart type de la variable aléatoire .

 

Notez bien

Les trois courbes données représentent la fonction de densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale. Chacune de ces courbes a un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées et passant par le point d’ordonnée maximale.

La variable aléatoire prend donc des valeurs plus dispersées que la variable X. La courbe représentative de sa fonction de densité est donc plus « aplatie », plus « étalée » que la courbe représentative de la fonction de densité de .

En comparant avec le graphique donné à la question 1, on en déduit que la densité de probabilité de la variable aléatoire est représentée par la courbe 1.