Sujet complet de Polynésie française 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Polynésie française
Corpus Corpus 1
Sujet complet de Polynésie française 2015

Polynésie française • Juin 2015

matT_1506_13_00C

Sujets complets

3

Polynésie française • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (3 points)
Attention, ça va couper !

Commun à tous les candidats

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2.

I, J et K sont les points tels que , et .


On se place dans le repère orthonormé .

>1. Vérifier que le vecteur de coordonnées est normal au plan (IJG).

>2. Déterminer une équation du plan (IJG).

>3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).

>4. Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure ci-dessous. On ne demande pas de justification.


Exercice 2 (4 points)
Jouons sur les formes

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé . À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M′ d’affixe z′ définie par :

z′ =z2+ 4z + 3.

>1. Un point M est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point M′ associé.

Démontrer qu’il existe deux points invariants. Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

>2. Soit A le point d’affixe et B le point d’affixe .

Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

>3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z=x + iyx et y sont réels, tels que le point M′ associé soit sur l’axe des réels.

>4. Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l’ensemble E.

Exercice 3 (3 points)
Un problème de taille

Commun à tous les candidats

Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire X1 suivant la loi normale d’espérance μ1= 165 cm et d’écart type σ1= 6 cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire X2 suivant la loi normale d’espérance μ2= 175 cm et d’écart type σ2= 11 cm. Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à 10–2 près.

>1. Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 mètre et 1,77 mètre ?

>2.a) Déterminer la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 mètre.

b) De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52 % de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de 1,70 m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?

Exercice 4 (5 points)
Construction d’un toboggan

Commun à tous les candidats


Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma ci-contre de ce toboggan en perspective cavalière.

Partie A : Modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f(x) = (ax +b)exa et b sont deux entiers naturels.

La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.


>1. On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l’entier b.

>2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l’entier a.

Partie B : Un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel x ∈ [1 ; 8] par f(x) = 10xex.

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.

>1. Soit g la fonction définie sur [1 ; 8] par g(x) = 10(– x – 1)ex. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g.

>2. Quel est le montant du devis de l’artiste ?

Partie C : Une contrainte À vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point M de la courbe C, d’abscisse différente de 1. On appelle α l’angle aigu formé par la tangente en M à C et l’axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.


Les contraintes imposent que l’angle α soit inférieur à 55 degrés.

>1. On note f′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 8]. On admet que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 8], f′(x) = 10(1 – x)ex. Étudier les variations de la fonction f′ sur l’intervalle [1 ; 8].

>2. Soit x un réel de l’intervalle ]1 ; 8] et soit M le point d’abscisse x de la courbe C. Justifier que .

>3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?

Exercice 5 (5 points)
Étude d’une somme

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit (vn) la suite définie par v1= ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, .

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.

On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :

.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).

Partie A : Conjectures À l’aide d’un algorithme

>1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l’utilisateur :


Variables


n, k entiers

S, v réels


Initialisation


Saisir la valeur de n

v prend la valeur …

S prend la valeur …


Traitement


Pour k variant de … à … faire



… prend la valeur …

… prend la valeur …



Fin Pour


Sortie


Afficher S

>2. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :


n


10


100


1 000


10 000


100 000


1 000 000


Sn


2,4


4,6


6,9


9,2


11,5


13,8

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

Partie B : Étude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par .

>1. Vérifier que u1= 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, .

>2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

>3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, .

Partie C : Étude de (Sn)

>1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.

>2. Vérifier que S3= ln(4).

>3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).

Exercice 5 (5 points)
Matrice en puissance

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la matrice .

>1. On appelle I la matrice identité d’ordre 2.

Vérifier que A2=A + 2I.

>2. En déduire une expression de A3 et une expression de A4 sous la forme αA + βI où α et β sont des réels.

>3. On considère les suites (rn) et (sn) définies par r0= 0 et s0= 1 et, pour tout entier naturel n non nul,

Démontrer que, pour tout entier naturel n, An=rnA +snI.

>4. Démontrer que la suite (kn) définie pour tout entier naturel n non nul par kn=rnsn est géométrique de raison –1. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de kn en fonction de n.

>5. On admet que la suite (tn) définie pour tout entier naturel n non nul par est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de tn en fonction de n.

>6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de rn et sn en fonction de n.

>7. En déduire alors, pour tout entier naturel n non nul, une expression des coefficients de la matrice An.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Vecteur normal à un plan  E33  → 1.
  • Produit scalaire  E31c• E32  → 3.
  • Équation cartésienne d’un plan  E33c  → 2. et 3.
  • Représentation paramétrique d’une droite  E30  → 3.
  • Positions relatives  E24a• E24c  → 3. et 4.
  • Décomposition d’un vecteur et repérage  E29  → 1. et 3.

Nos coups de pouce

>3. Déterminez les coordonnées des points B et F dans le repère proposé pour en déduire une représentation paramétrique de la droite (BF). Résolvez enfin un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point L.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Équation du second degré dans E23  → 1.
  • Forme algébrique d’un nombre complexe  E16  → 1. et 3.
  • Module d’un nombre complexe  E18  → 1. et 2.
  • Argument d’un nombre complexe  E19  → 1. et 2.
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21  → 1. et 2.
  • Nombres complexes et géométrie  E22  → 2.

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes  C4  → 1. et 2.

Nos coups de pouce

>3. Déterminez la forme algébrique de en fonction de et de puis précisez que M′ est sur l’axe des réels si et seulement si la partie imaginaire de est nulle. Concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités conditionnelles • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Arbre pondéré  E37  → 2. b)
  • Probabilité conditionnelle  E35  → 2. b)
  • Lois normales  E40e  → 1. et 2.

Calculatrice

Probabilités avec une loi normale  C3  → 1. et 2.

Nos coups de pouce

>2. b) Calculez tout d’abord la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m. Aidez-vous ensuite d’un arbre pondéré pour déterminer la probabilité qu’une personne dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans mesure plus de 1,70 m. Concluez à l’aide de la définition d’une probabilité conditionnelle.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonctions exponentielles • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Tangente  E6b  → Partie A, 1. ; Partie C, 2.
  • Dérivation  E6c• E6e• E6f  → Partie A, 1. ; Partie B, 1. ; Partie C, 1.
  • Fonction exponentielle  E8a• E8b• E8d• E8e  → Parties A, B et C.
  • Intégration  E11a• E11b• E13 • E14  → Partie B

Nos coups de pouce

Partie B

>2. Écrivez, en justifiant, l’aire de la partie hachurée à l’aide d’une intégrale. Prenez en compte votre réponse à la question 1. de la partie B pour calculer cette intégrale. N’oubliez pas de conclure en établissant le montant du devis.

Partie C

>2. Déterminez dans un premier temps les coordonnées des points P, L et M dans le repère orthonormé. Puis, calculez les distances PM et PL en fonction de Concluez à l’aide de la définition de la tangente d’un angle.

>3. Justifiez que la fonction correspond à la fonction . À l’aide de la question 1. de la partie C, donnez les variations de cette fonction sur l’intervalle considéré. Déduisez-en que la tangente de l’angle aigu est maximale pour

Exercice 5 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Algorithmique • Exponentielle et logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence  E1  → Partie B, 3.
  • Suites  E2a  → Partie A, 2.
  • Propriétés liées à l’exponentielle  E8b  → Partie B, 1.
  • Propriétés liées au logarithme népérien  E9a• E9b• E9c• E9e  → Partie B, 1. ; Partie C

Algorithmes

Terme d’une suite définie par récurrence  A3  → Partie A, 1.

Nos coups de pouce

Partie B

>3. Démontrez la relation à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Exercice 5 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence  E1  → 3.
  • Suites géométriques  E4a• E4b  → 4. et 5.

Calculatrice

Calcul matriciel  C5  → 1. et 2.

Nos coups de pouce

>3. Raisonnez par récurrence pour établir cette égalité matricielle.

>6. Déterminez une expression explicite de en fonction de en utilisant la question 5. Déduisez-en une expression explicite de en fonction de en utilisant également la question 4.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Démontrer qu’un vecteur est normal à un plan

Nous avons, dans le repère  :

donc I a pour coordonnées (1 ; 0 ; 0).

donc J a pour coordonnées (0 ; 1 ; 0).

donc G a pour coordonnées (6 ; 4 ; 2).

Ensuite :

et .

Les coordonnées des vecteurs et n’étant pas proportionnelles, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.

Enfin :

et est orthogonal à .

et est orthogonal à .

Le vecteur est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJG) donc le vecteurest normal au plan (IJG).

>2. Déterminer une équation cartésienne d’un plan

est un vecteur normal au plan (IJG) donc une équation cartésienne de (IJG) est est un réel à déterminer.

Or appartient au plan (IJG) donc :

.

Une équation cartésienne du plan (IJG) est donc.

>3. Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

  • Déterminons tout d’abord les coordonnées des points B et F.

Nous avons, dans le repère  :

donc B a pour coordonnées (6 ; 0 ; 0).

donc F a pour coordonnées (6 ; 0 ; 2).

  • Déterminons ensuite une représentation paramétrique de la droite (BF).

Nous avons donc une représentation paramétrique de la droite (BF) est donnée par :

ce qui nous donne .

Une représentation paramétrique de la droite (BF) est donc :

.

  • Nous avons , et .

Par conséquent, les vecteurs et ne sont pas orthogonaux ; la droite (BF) et le plan (IJG) ne sont donc pas parallèles et par suite sont sécants en le point L.

Déterminons maintenant les coordonnées du point L, intersection du plan (IJG) et de la droite (BF).

Le point L a donc pour coordonnées.

>4. Construire la section d’un pavé par un plan


Expliquons la construction de la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG).

Notez bien

L’intersection de deux plans sécants est une droite.

  • donc la droite (IJ) est l’intersection des plans (IJG) et (ABC).

Notez bien

Dans un plan, si deux droites sont parallèles, toute sécante à l’une est sécante à l’autre.

  • Dans le plan (ABC), (IJ) coupe (AD) en J et les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc les droites (IJ) et (BC) sont sécantes en un point que nous appellerons M.

Nous avons :

.

Ensuite, donc la droite (GM) est l’intersection des plans (IJG) et (BFG). Or donc  : L est l’intersection de la droite (GM) et du segment [BF].

  • donc la droite (IL) est l’intersection des plans (IJG) et (ABF).
  • Les plans (ADE) et (BFG) sont parallèles. Le plan (IJG) coupe le plan (BFG) suivant la droite (GL).

Notez bien

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

Par conséquent, le plan (IJG) coupe le plan (ADE) suivant une droite qui est parallèle à la droite (GL). Cette droite passe par J car J appartient aux plans (ADE) et (IJG). L’intersection du plan (IJG) et du plan (ADE) est donc la parallèle à la droite (GL) passant par J.

Cette droite coupe le segment [DH] en un point que nous noterons N.

  • donc la droite (NG) est l’intersection des plans (IJG) et (DCH).

En conclusion, la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG) est le pentagone IJNGL.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1. Déterminer des points invariants

  • Un point M est invariant s’il est confondu avec le point associé.

Pour déterminer s’il existe des points invariants, nous devons donc résoudre l’équation :

.

Nous avons une équation de la forme avec .

Le discriminant est donc l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

et .

Par conséquent, il existe deux points invariantsd’affixes respectiveset.

  • Mettons et sous forme exponentielle.

Notez bien

Pour tout réel  :

Notez bien

Soit un nombre complexe non nul :

Les deux points invariantsont pour affixes respectiveset.

>2. Montrer qu’un triangle est équilatéral

Première méthode

Nous avons :

.

.

Comme , nous en déduisons que .

Notez bien

Si alors .

D’après la question précédente : donc .

Par conséquent, et le triangle OAB est équilatéral.

Deuxième méthode

Nous avons :

Notez bien

Pour tous réels  :

Par conséquent :

et .

Ainsi etdonc le triangle OAB est équilatéral.

>3. Déterminer un ensemble de points

est sur l’axe des réels si et seulement si est un nombre réel : .

Déterminons la forme algébrique de .

Notez bien

.

Ainsi :

L’ensembleEcherché est donc la réunion de deux droites d’équations respectiveset.

>4. Dessiner un ensemble de points

Notez bien

Nous ajouterons sur la figure le cercle trigonométrique de façon à placer précisément un angle de mesure , utile pour placer ensuite les points A et B.

En effet, les points A et B ont tous deux des affixes respectives dont la partie réelle est égale à , mais dont les arguments sont opposés (égaux respectivement à et ).


Exercice 3

Commun à tous les candidats

>1. Calculer une probabilité avec une loi normale

Première méthode

Remarquons tout d’abord que 1,53 m = 153 cm et que 1,77 m = 177 cm.

La probabilité demandée est donc . À l’aide de la calculatrice, nous avons :


TI 83 Plus.fr


CASIO GRAPH 75



La probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 m et 1,77 m est d’environ 0,95.

Deuxième méthode

Nous avons :

Notez bien

Si suit la loi normale d’espérance et d’écart type alors :

.

La probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 m et 1,77 m est d’environ 0,95.

>2. a) Calculer une probabilité avec une loi normale

Remarquons tout d’abord que 1,70 m = 170 cm.

La probabilité demandée est donc .


D’après le graphique ci-dessus, nous avons donc : .

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :


TI 83 Plus.fr


CASIO GRAPH 75



La probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,68.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

  • Déterminons tout d’abord la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m. Nous devons calculer pour cela .

D’après le graphique ci-dessus, nous avons donc :

.

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :


TI 83 Plus.fr


CASIO GRAPH 75



La probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,20.

  • Considérons maintenant les événements suivants :

F : « la personne choisie est une femme » ;

H : « la personne choisie est un homme » ;

T : « la personne choisie mesure plus de 1,70 m ».

Nous devons déterminer la probabilité qu’une personne choisie soit une femme sachant que cette personne mesure plus de 1,70 m.

Cette probabilité est la probabilité conditionnelle .

Traduisons la situation proposée à l’aide d’un arbre pondéré.

Les femmes représentent 52 % de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans : nous avons par conséquent .

Les hommes représentent donc 48 % de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans : nous avons ainsi .

D’après la question 2. a), la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,68. Nous avons donc .

D’après le point précédent, la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,20. Nous avons donc .

Pour plus de commodités, nous noterons et dans toute la suite de cette question.

Nous obtenons :

Notez bien !

La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.


Grâce à l’arbre pondéré, nous pouvons écrire que la probabilité qu’une personne choisie mesure plus de 1,70 m est :

Par conséquent, nous avons :

.

La probabilité qu’une personne choisie soit une femme sachant que cette personne mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,24.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a : modÉlisation

>1. Déterminer un paramètre sous contrainte

  • Par composée et produit de fonctions usuelles (fonction exponentielle, fonctions affines), la fonction est dérivable sur et donc sur l’intervalle

Notez bien

Si est dérivable sur un intervalle est dérivable sur et

  • Notons et les fonctions dérivables sur l’intervalle et définies par et Leurs dérivées sont données par : et

Ainsi, pour tout réel de l’intervalle nous avons :

  • Le souhait est que la tangente à la courbe représentative de la fonction en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Autrement dit, le coefficient directeur de la tangente est nul. Or, ce coefficient directeur est le nombre dérivé de la fonction en 1 : La contrainte est par suite D’après le point précédent, nous avons :

La valeur de l’entierest 0.

>2. Déterminer un paramètre sous contrainte

D’après la question 1. de la partie A, La fonction s’écrit désormais pour tout réel de  :

La deuxième contrainte imposée pour la construction de ce toboggan est que sa hauteur soit située entre 3,5 et 4 mètres de haut. Autrement dit, l’image de 1 par la fonction doit être comprise entre 3,5 et 4. Or,

Notez bien

Pour tout réel

La contrainte est par suite : qui est équivalente à ou encore À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons et La valeur de l’entierest 10.

partie b : un aménagement pour les visiteurs

>1. Dériver une fonction

La fonction est dérivable sur donc sur l’intervalle comme composée et produit de fonctions de référence dérivables sur . Notons et les fonctions dérivables sur l’intervalle et définies par et Leurs dérivées sont données par :

et

Ainsi, pour tout réel de l’intervalle nous avons :

La fonctionest une primitive de la fonctionsur l’intervalle.

>2. Calculer une intégrale

Pour déterminer le montant du devis de l’artiste, il est nécessaire de calculer l’aire de la partie hachurée sur le premier schéma. En effet, cet artiste facture 50 euros le mètre carré peint. Cette partie hachurée correspond, sur le deuxième schéma, au domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction et les droites d’équation et Or la fonction est dérivable donc continue sur l’intervalle et également positive (). Alors, l’aire de ce domaine est égale à :

D’après la question 1. de la partie B, nous avons :

Comme l’artiste devra peindre environ 7,33 m2 (arrondi supérieur). Le mètre carré peint étant facturé 50 euros auquel il faut ajouter un forfait de 300 euros, le montant du devis sera de 666,37 euros.

partie c : une contrainte À vérifier

>1. Étudier les variations d’une fonction

  • La fonction est dérivable sur donc sur l’intervalle comme composée et produit de fonctions de référence dérivables sur . Similairement à la question 1. de la partie A et à la question 1. de la partie B, nous avons, pour tout réel de l’intervalle

Comme, pour tout réel de l’intervalle et le signe de correspond au signe de Or, si et seulement si

  • Comme pour tout réel de la fonctionest strictement croissante sur l’intervalle.
  • Comme pour tout réel de la fonctionest strictement décroissante sur l’intervalle.

>2. Justifier une égalité

Soit un réel de l’intervalle

  • Le point M d’abscisse appartient à la courbe C. Ainsi, ses coordonnées dans le repère orthonormé sont :
  • Le point P a la même abscisse que le point M et il appartient à l’axe des abscisses. Ainsi, ses coordonnées dans le repère orthonormé sont :
  • Le point L appartient à la tangente en M à C dont l’équation réduite est :

Par suite, les coordonnées du point L vérifient cette équation, à savoir :

Or, le point L appartient également à l’axe des abscisses :

Nous avons ainsi :

Les coordonnées du point L sont

Enfin, nous avons dans le triangle rectangle en P :

Notez bien

Pour tout nombre réel

Ainsi, nous avons la relation suivante :

>3. Vérifier des contraintes

Notez bien

Si est une fonction définie sur et un réel strictement négatif, et ont des sens de variation contraires sur

Comme, pour tout réel de l’intervalle et le signe de correspond au signe de Or, si et seulement si Par conséquent, la fonction est strictement négative sur l’intervalle et pour tout réel de cet intervalle, Or, les fonctions et ont des sens de variation contraires : la fonction est ainsi strictement croissante sur l’intervalleet strictement décroissante sur l’intervalle.

Cela implique que, selon la position du point M, autrement dit selon la valeur de dans l’intervalle la tangente de l’angle aigu admet les mêmes variations que la fonction Comme cette tangente est maximale pour Or, et (arrondi au degré supérieur).

La valeur maximale de l’angle aigu étant environ 54°, les contraintes imposées sont respectées et le toboggan est conforme.

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

partie a : conjectures À l’aide d’un algorithme

>1. Compléter un algorithme

L’étape d’initialisation consiste à renseigner d’une part la valeur prise par le premier terme de la suite et d’autre part, la valeur initiale de la somme, valeur à laquelle seront ajoutés les premiers termes de cette suite. Comme, d’après l’énoncé, la phase d’initialisation complète est :


Initialisation


Saisir la valeur de n

vprend la valeur ln(2)

Sprend la valeur 0

Ensuite, lors de la phase de traitement, les sommes doivent être déterminées successivement ( varie alors de à ). En particulier, pour chaque valeur de nous devons calculer d’une part la somme en ajoutant à la somme précédente le terme de la suite et d’autre part le terme suivant de cette suite. La phase de traitement complète est donc :


Traitement


Pourkvariant de 1 àn




Sprend la valeurS+v

vprend la valeur ln(2 - ev)



Fin Pour

>2. Émettre une conjecture

Nous constatons d’abord que :

Nous pouvons ainsi conjecturer que la suiteest croissante.

Nous constatons ensuite que, quand devient de plus en plus grand, le terme le devient également. En particulier, l’évolution semble « régulière » :  ;  ;  ; et

Nous pouvons aussi conjecturer que

partie b : Étude d’une suite auxiliaire

>1. Établir une relation de récurrence

Notez bien

Pour tout réel

D’une part,

D’autre part, pour tout entier naturel non nul,

Notez bien

Pour tout réel

>2. Calculer les termes d’une suite

Pour calculer les termes demandés, utilisons la relation de récurrence établie à la question 1. partie B :

.

.

>3. Démontrer une égalité par récurrence

Soit la propriété :

Démontrons par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel non nul 

Initialisation

Pour Donc est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel non nul donné :

Démontrons que la propriété est vraie. Par la question 1. de la partie B, nous avons :

Il en découle que et la propriété est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturelnon nul,

partie c : étude de (Sn)

>1. Donner une formule explicite d’une suite

Soit un entier naturel non nul. Par définition, partie B, nous avons Or d’après la question 3. de la partie B, et comme Nous en déduisons que :

Notez bien

Pour tous réels

En exprimanten fonction denous obtenons :

>2. Vérifier une égalité

Nous avons :

Notez bien

Pour tous réels

>3. Déterminer la limite d’une suite

Soit un entier naturel non nul. Nous avons :

Comme alors La suiteest divergente.

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. Justifier une égalité matricielle

Nous avons d’une part :

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Et d’autre part,

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Nous avons ainsi vérifié que :

>2. Établir des égalités matricielles

Nous avons :

Notez bien

Pour toute matrice

La matriceest de la formeavecet

Nous avons également :

La matriceest de la formeavecet

>3. Démontrer une égalité matricielle par récurrence

Soit la propriété :

Démontrons par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel 

Initialisation

Pour d’une part, et d’autre part, r0A +s0I Donc est vraie. La propriété est initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel donné :

Démontrons que la propriété est vraie. Nous avons :

Il en découle que et la propriété est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel

>4. Déterminer une expression explicite d’une suite

Pour tout entier naturel non nul nous avons :

La suiteest donc géométrique de raison

Par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul par :

Or,

Ainsi, pour tout entier naturelnon nul, une expression explicite deen fonction deest :

>5. Déterminer une expression explicite d’une suite

La suite étant géométrique de raison 2, par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul par :

Or

Ainsi, pour tout entier naturelnon nul, une expression explicite deen fonction deest :

>6. Déterminer une expression explicite d’une suite

Soit un entier naturel non nul.

D’après la question 5., nous avons d’une part (définition), et d’autre part (expression explicite) Ainsi, et

D’après la question 4., nous avons et Il en découle que En prenant en compte l’expression explicite de en fonction de nous avons :

Conclusion

Pour tout entier naturelnon nul,

et

>7. Écrire une relation matricielle

Par la question 3., nous avons pour tout entier naturel En utilisant les expressions explicites établies à la question précédente pour et nous en déduisons que, pour tout entier naturel non nul :