Sujet complet de Polynésie française 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Polynésie française
Corpus Corpus 1
Sujet complet de  Polynésie  française  2015

Polynésie française • Juin 2015

matT_1506_13_00C

Sujets complets

3

Polynésie française • Juin 2015

Sujet complet • 20  points

Exercice 1 (3 points)
Attention, ça va couper  !

Commun à tous les candidats

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB  =  6, AD  = 4 et AE  = 2.

I, J et K sont les points tels que , et .


On se place dans le repère orthonormé .

>1. Vérifier que le vecteur de coordonnées est normal au plan (IJG).

>2. Déterminer une équation du plan (IJG).

>3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).

>4. Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure ci-dessous. On ne demande pas de justification.


Exercice 2 (4 points)
Jouons sur les formes

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé . &Agrave tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M&prime d’affixe z&prime définie par  :

z&prime   =z2+  4z +  3.

>1. Un point M est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point M&prime associé.

Démontrer qu’il existe deux points invariants. Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

>2. Soit A le point d’affixe et B le point d’affixe .

Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

>3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z  =x +  iy où x et y sont réels, tels que le point M&prime associé soit sur l’axe des réels.

>4. Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l’ensemble E.

Exercice 3 (3 points)
Un problème de taille

Commun à tous les candidats

Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65  ans peut être modélisée par une variable aléatoire X1 suivant la loi normale d’espérance &mu 1  = 165  cm et d’écart type &sigma 1  = 6  cm, et celle des hommes de 18 à 65  ans, par une variable aléatoire X2 suivant la loi normale d’espérance &mu 2  = 175  cm et d’écart type &sigma 2  = 11  cm. Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à 10&ndash 2 près.

>1. Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 mètre et 1,77 mètre  ?

>2.a) Déterminer la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 mètre.

b) De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52  % de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65  ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65  ans. Elle mesure plus de 1,70  m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme  ?

Exercice 4 (5 points)
Construction d’un toboggan

Commun à tous les candidats


Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma ci-contre de ce toboggan en perspective cavalière.

Partie A  : Modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1  8] par f(x)  = (ax +  b)e&ndash x où a et b sont deux entiers naturels.

La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.


>1. On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l’entier b.

>2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l’entier a.

Partie B  : Un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel x &isin [1  8] par f(x)  = 10xe&ndash x.

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300  euros augmenté de 50  euros par mètre carré peint.

>1. Soit g la fonction définie sur [1  8] par g(x)  = 10(&ndash x &ndash 1)e&ndash x. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g.

>2. Quel est le montant du devis de l’artiste  ?

Partie C  : Une contrainte &Agrave vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point M de la courbe C, d’abscisse différente de 1. On appelle &alpha l’angle aigu formé par la tangente en M à C et l’axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.


Les contraintes imposent que l’angle &alpha soit inférieur à 55 degrés.

>1. On note f&prime la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1    8]. On admet que, pour tout x de l’intervalle [1  8], f&prime (x)  =  10(1  &ndash   x)e&ndash x. &Eacute tudier les variations de la fonction f&prime sur l’intervalle [1  8].

>2. Soit x un réel de l’intervalle ]1 8] et soit M le point d’abscisse x de la courbe C. Justifier que .

>3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées  ?

Exercice 5 (5 points)
&Eacute tude d’une somme

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit (vn) la suite définie par v1  = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul, .

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.

On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par  :

.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).

Partie A  : Conjectures &Agrave l’aide d’un algorithme

>1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de Sn pour une valeur de n choisie par l’utilisateur  :


Variables

n, k entiers

S, v réels

Initialisation

Saisir la valeur de n

v prend la valeur …

S prend la valeur …

Traitement

Pour k variant de … à … faire

 


… prend la valeur …

… prend la valeur …

 


Fin Pour

Sortie

Afficher S

>2. &Agrave l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de Sn. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous  :


n

10

100

1  000

10  000

100  000

1  000 000

Sn

2,4

4,6

6,9

9,2

11,5

13,8

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

Partie B  : &Eacute tude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par .

>1. Vérifier que u1  = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul, .

>2. Calculer u2, u3 et u4. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

>3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, .

Partie C  : &Eacute tude de (Sn)

>1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer vn en fonction de un, puis vn en fonction de n.

>2. Vérifier que S3  = ln(4).

>3. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).

Exercice 5 (5 points)
Matrice en puissance

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la matrice .

>1. On appelle I la matrice identité d’ordre 2.

Vérifier que A2  =A +  2I.

>2. En déduire une expression de A3 et une expression de A4 sous la forme &alpha A +  &beta I où &alpha et &beta sont des réels.

>3. On considère les suites (rn) et (sn) définies par r0  = 0 et s0  = 1 et, pour tout entier naturel n non nul,

Démontrer que, pour tout entier naturel n, An  =rnA +  snI.

>4. Démontrer que la suite (kn) définie pour tout entier naturel n non nul par kn  =rn &minus sn est géométrique de raison &ndash 1. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de kn en fonction de n.

>5. On admet que la suite (tn) définie pour tout entier naturel n non nul par est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de tn en fonction de n.

>6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de rn et sn en fonction de n.

>7. En déduire alors, pour tout entier naturel n non nul, une expression des coefficients de la matrice An.

Les clés du sujet

Exercice  1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 50  minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Vecteur normal à un plan   E33  → 1.
  • Produit scalaire   E31c• E32  → 3.
  • &Eacute quation cartésienne d’un plan   E33c  → 2. et 3.
  • Représentation paramétrique d’une droite   E30  → 3.
  • Positions relatives   E24a• E24c  → 3. et 4.
  • Décomposition d’un vecteur et repérage   E29  → 1. et 3.

Nos coups de pouce

>3. Déterminez les coordonnées des points B et F dans le repère proposé pour en déduire une représentation paramétrique de la droite (BF). Résolvez enfin un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point L.

Exercice  2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 40  minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • &Eacute quation du second degré dans   E23  → 1.
  • Forme algébrique d’un nombre complexe   E16  → 1. et 3.
  • Module d’un nombre complexe   E18  → 1. et 2.
  • Argument d’un nombre complexe   E19  → 1. et 2.
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe   E21  → 1. et 2.
  • Nombres complexes et géométrie   E22  → 2.

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes   C4  → 1. et 2.

Nos coups de pouce

>3. Déterminez la forme algébrique de en fonction de et de puis précisez que M&prime est sur l’axe des réels si et seulement si la partie imaginaire de est nulle. Concluez.

Exercice  3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 40  minutes.

Les thèmes clés

Probabilités conditionnelles • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Arbre pondéré   E37  → 2. b)
  • Probabilité conditionnelle   E35  → 2. b)
  • Lois normales   E40e  → 1. et 2.

Calculatrice

Probabilités avec une loi normale   C3  → 1. et 2.

Nos coups de pouce

>2. b) Calculez tout d’abord la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70  m. Aidez-vous ensuite d’un arbre pondéré pour déterminer la probabilité qu’une personne dont l’âge est compris entre 18 et 65  ans mesure plus de 1,70  m. Concluez à l’aide de la définition d’une probabilité conditionnelle.

Exercice  4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 60  minutes.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonctions exponentielles • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Tangente   E6b  → Partie A, 1.  Partie C, 2.
  • Dérivation   E6c• E6e• E6f  → Partie A, 1.  Partie B, 1.  Partie C, 1.
  • Fonction exponentielle   E8a• E8b• E8d• E8e  → Parties A, B et C.
  • Intégration   E11a• E11b• E13 • E14  → Partie B

Nos coups de pouce

Partie B

>2. &Eacute crivez, en justifiant, l’aire de la partie hachurée à l’aide d’une intégrale. Prenez en compte votre réponse à la question 1. de la partie B pour calculer cette intégrale. N’oubliez pas de conclure en établissant le montant du devis.

Partie C

>2. Déterminez dans un premier temps les coordonnées des points P, L et M dans le repère orthonormé. Puis, calculez les distances PM et PL en fonction de Concluez à l’aide de la définition de la tangente d’un angle.

>3. Justifiez que la fonction correspond à la fonction . &Agrave l’aide de la question 1. de la partie C, donnez les variations de cette fonction sur l’intervalle considéré. Déduisez-en que la tangente de l’angle aigu est maximale pour

Exercice  5 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de  spécialité)

Durée conseillée  : 50 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Algorithmique • Exponentielle et logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence   E1  → Partie B, 3.
  • Suites   E2a  → Partie A, 2.
  • Propriétés liées à l’exponentielle   E8b  → Partie B, 1.
  • Propriétés liées au logarithme népérien   E9a• E9b• E9c• E9e  → Partie B, 1.  Partie C

Algorithmes

Terme d’une suite définie par récurrence   A3  → Partie A, 1.

Nos coups de pouce

Partie B

>3. Démontrez la relation à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Exercice  5 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée  : 50  minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence   E1  → 3.
  • Suites géométriques   E4a• E4b  → 4. et 5.

Calculatrice

Calcul matriciel   C5  → 1. et 2.

Nos coups de pouce

>3. Raisonnez par récurrence pour établir cette égalité matricielle.

>6. Déterminez une expression explicite de en fonction de en utilisant la question  5. Déduisez-en une expression explicite de en fonction de en utilisant également la question  4.