Polynésie française • Juin 2015
matT_1506_13_00C
Sujets complets
3
Polynésie française • Juin 2015
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (3 points)
Attention, ça va couper !
Commun à tous les candidats
On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB
I, J et K sont les points tels que 
, 
et 
.
On se place dans le repère orthonormé 
.
de coordonnées 
est normal au plan (IJG).
Exercice 2 (4 points)
Jouons sur les formes
Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé 
. À tout point M d'affixe z du plan, on associe le point M′ d'affixe z′ définie par :
z′
Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
et B le point d'affixe 
.
Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
Exercice 3 (3 points)
Un problème de taille
Commun à tous les candidats
Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire X1 suivant la loi normale d'espérance μ1
Exercice 4 (5 points)
Construction d'un toboggan
Commun à tous les candidats
Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma ci-contre de ce toboggan en perspective cavalière.
Partie A : Modélisation
Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe
La courbe
Partie B : Un aménagement pour les visiteurs
On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie
Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.
Partie C : Une contrainte À vérifier
Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.
On considère un point M de la courbe
La figure suivante illustre la situation.
Les contraintes imposent que l'angle α soit inférieur à 55 degrés.
.
Exercice 5 (5 points)
Étude d'une somme
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Soit (vn) la suite définie par v1 
.
On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.
On définit ensuite la suite (Sn) pour tout entier naturel n non nul par :
.
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (Sn).
Partie A : Conjectures À l'aide d'un algorithme
| Variables | n, k entiers S, v réels | |
| Initialisation | Saisir la valeur de n v prend la valeur … S prend la valeur … | |
| Traitement | Pour k variant de … à … faire | |
|
| … prend la valeur … … prend la valeur … | |
|
| Fin Pour | |
| Sortie | Afficher S | |
| n | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
| Sn | 2,4 | 4,6 | 6,9 | 9,2 | 11,5 | 13,8 |
En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).
Partie B : Étude d'une suite auxiliaire
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (un) par 
.
.
.
Partie C : Étude de (Sn)
Exercice 5 (5 points)
Matrice en puissance
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On considère la matrice 
.
Vérifier que A2
Démontrer que, pour tout entier naturel n, An
est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de tn en fonction de n.
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie dans l'espace.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Vecteur normal à un plan
E33 → 1. - Produit scalaire
E31 c • E32 → 3. - Équation cartésienne d'un plan
E33 c - Représentation paramétrique d'une droite
E30 → 3. - Positions relatives
E24 a • E24 c - Décomposition d'un vecteur et repérage
E29 → 1. et 3.
Nos coups de pouce
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Équation du second degré dans
E23 → 1. - Forme algébrique d'un nombre complexe
E16 → 1. et 3. - Module d'un nombre complexe
E18 → 1. et 2. - Argument d'un nombre complexe
E19 → 1. et 2. - Forme exponentielle d'un nombre complexe
E21 → 1. et 2. - Nombres complexes et géométrie
E22 → 2.
Calculatrice
Calculs avec les nombres complexes
Nos coups de pouce
en fonction de 
et de 
puis précisez que M′ est sur l'axe des réels si et seulement si la partie imaginaire de 
est nulle. Concluez.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Probabilités conditionnelles • Loi normale.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Arbre pondéré
E37 → 2. b) - Probabilité conditionnelle
E35 → 2. b) - Lois normales
E40 e
Calculatrice
Probabilités avec une loi normale
Nos coups de pouce
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Généralités sur les fonctions • Fonctions exponentielles • Intégration.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Tangente
E6 b - Dérivation
E6 c • E6 e • E6 f - Fonction exponentielle
E8 a • E8 b • E8 d • E8 e - Intégration
E11 a • E11 b • E13 • E14 → Partie B
Nos coups de pouce
Partie B
Partie C
Concluez à l'aide de la définition de la tangente d'un angle.
correspond à la fonction 
. À l'aide de la question 1. de la partie C, donnez les variations de cette fonction sur l'intervalle considéré. Déduisez-en que la tangente de l'angle aigu est maximale pour 
Exercice 5 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Algorithmique • Exponentielle et logarithme népérien.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Raisonnement par récurrence
E1 → Partie B, 3. - Suites
E2 a - Propriétés liées à l'exponentielle
E8 b - Propriétés liées au logarithme népérien
E9 a • E9 b • E9 c • E9 e
Algorithmes
Terme d'une suite définie par récurrence
Nos coups de pouce
Partie B
Exercice 5 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Raisonnement par récurrence
E1 → 3. - Suites géométriques
E4 a • E4 b
Calculatrice
Calcul matriciel
Nos coups de pouce
en fonction de 
en utilisant la question 5. Déduisez-en une expression explicite de 
en fonction de 
en utilisant également la question 4.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan
Nous avons, dans le repère 
:
donc
donc
donc
Ensuite :
et 
.
Les coordonnées des vecteurs 
et 
n'étant pas proportionnelles, les vecteurs 
et 
ne sont pas colinéaires.
Enfin :
et 
est orthogonal à 
.
et 
est orthogonal à 
.
Le vecteur 
est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJG) donc 
> 2. Déterminer une équation cartésienne d'un plan
est un vecteur normal au plan (IJG) donc une équation cartésienne de (IJG) est 
où 
est un réel à déterminer.
Or 
appartient au plan (IJG) donc :
.
> 3. Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection
- Déterminons tout d'abord les coordonnées des points B et F.
Nous avons, dans le repère 
:
donc
donc
- Déterminons ensuite une représentation paramétrique de la droite (BF).
Nous avons 
donc une représentation paramétrique de la droite (BF) est donnée par :
ce qui nous donne 
.
- Nous avons
, 
et 
.
Par conséquent, les vecteurs 
et 
ne sont pas orthogonaux la droite (BF) et le plan (IJG) ne sont donc pas parallèles et par suite sont sécants en le point L.
Déterminons maintenant les coordonnées du point L, intersection du plan (IJG) et de la droite (BF).
> 4. Construire la section d'un pavé par un plan
Expliquons la construction de la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG).
Notez bien
L'intersection de deux plans sécants est une droite.
donc la droite (IJ) est l'intersection des plans (IJG) et (ABC) .
Notez bien
Dans un plan, si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre.
- Dans le plan (ABC), (IJ) coupe (AD) en J et les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc les droites (IJ) et (BC) sont sécantes en un point que nous appellerons M.
Nous avons :
.
Ensuite, 
donc 
donc 
:
donc la droite (IL) est l'intersection des plans (IJG) et (ABF) .- Les plans (ADE) et (BFG) sont parallèles. Le plan (IJG) coupe le plan (BFG) suivant la droite (GL).
Notez bien
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Par conséquent, le plan (IJG) coupe le plan (ADE) suivant une droite qui est parallèle à la droite (GL). Cette droite passe par J car J appartient aux plans (ADE) et (IJG).
Cette droite coupe le segment [DH] en un point que nous noterons N.
donc la droite (NG) est l'intersection des plans (IJG) et (DCH) .
En conclusion,
Exercice 2
Commun à tous les candidats
> 1. Déterminer des points invariants
- Un point M est invariant s'il est confondu avec le point
associé.
Pour déterminer s'il existe des points invariants, nous devons donc résoudre l'équation :
.
Nous avons une équation de la forme 
avec 
.
Le discriminant est 
donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
et 
.
Par conséquent, 
.
- Mettons
et 
sous forme exponentielle.
Notez bien
Pour tout réel 
:
Notez bien
Soit 
un nombre complexe non nul :
> 2. Montrer qu'un triangle est équilatéral
Première méthode
Nous avons :
.
.
Comme 
, nous en déduisons que 
.
Notez bien
Si 
alors 
.
D'après la question précédente : 
donc 
.
Par conséquent, 
Deuxième méthode
Nous avons :
Notez bien
Pour tous réels 
:
Par conséquent :
et 
.
Ainsi 
> 3. Déterminer un ensemble de points
est sur l'axe des réels si et seulement si 
est un nombre réel : 
.
Déterminons la forme algébrique de 
.
Notez bien
.
Ainsi :
> 4. Dessiner un ensemble de points
Notez bien
Nous ajouterons sur la figure le cercle trigonométrique de façon à placer précisément un angle de mesure 
, utile pour placer ensuite les points A et B.
En effet, les points A et B ont tous deux des affixes respectives dont la partie réelle est égale à 
, mais dont les arguments sont opposés (égaux respectivement à 
et 
).
Exercice 3
Commun à tous les candidats
> 1. Calculer une probabilité avec une loi normale
Première méthode
Remarquons tout d'abord que 1,53 m
La probabilité demandée est donc 
. À l'aide de la calculatrice, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
Deuxième méthode
Nous avons :
Notez bien
Si 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
alors :
.
> 2. a) Calculer une probabilité avec une loi normale
Remarquons tout d'abord que 1,70 m
La probabilité demandée est donc 
.
D'après le graphique ci-dessus, nous avons donc : 
.
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
b) Calculer une probabilité conditionnelle
- Déterminons tout d'abord la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m. Nous devons calculer pour cela
.
D'après le graphique ci-dessus, nous avons donc :
.
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
- Considérons maintenant les événements suivants :
F : « la personne choisie est une femme »
H : « la personne choisie est un homme »
T : « la personne choisie mesure plus de 1,70 m ».
Nous devons déterminer la probabilité qu'une personne choisie soit une femme sachant que cette personne mesure plus de 1,70 m.
Cette probabilité est la probabilité conditionnelle 
.
Traduisons la situation proposée à l'aide d'un arbre pondéré.
Les femmes représentent 52 % de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans : nous avons par conséquent 
.
Les hommes représentent donc 48 % de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans : nous avons ainsi 
.
D'après la question 
.
D'après le point précédent, la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d'environ 0,20. Nous avons donc 
.
Pour plus de commodités, nous noterons 
et 
dans toute la suite de cette question.
Nous obtenons :
Notez bien !
La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Grâce à l'arbre pondéré, nous pouvons écrire que la probabilité qu'une personne choisie mesure plus de 1,70 m est :
Par conséquent, nous avons :
.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
partie a : modÉlisation
> 1. Déterminer un paramètre sous contrainte
- Par composée et produit de fonctions usuelles (fonction exponentielle, fonctions affines), la fonction
est dérivable sur ℝ et donc sur l'intervalle
Notez bien
Si 
est dérivable sur un intervalle 
est dérivable sur 
et 
- Notons
et 
les fonctions dérivables sur l'intervalle 
et définies par 
et 
Leurs dérivées sont données par : 
et 
Ainsi, pour tout réel 
de l'intervalle 
nous avons :
- Le souhait est que la tangente à la courbe représentative de la fonction
en son point d'abscisse 1 soit horizontale. Autrement dit, le coefficient directeur de la tangente est nul. Or, ce coefficient directeur est le nombre dérivé de la fonction 
en 1 : 
La contrainte est par suite 
D'après le point précédent, nous avons :
> 2. Déterminer un paramètre sous contrainte
D'après la question 
La fonction 
s'écrit désormais pour tout réel 
de 
:
La deuxième contrainte imposée pour la construction de ce toboggan est que sa hauteur soit située entre 3,5 et 4 mètres de haut. Autrement dit, l'image de 1 par la fonction 
doit être comprise entre 3,5 et 4. Or, 
Notez bien
Pour tout réel 
La contrainte est par suite : 
qui est équivalente à 
ou encore 
À l'aide d'une calculatrice, nous obtenons 
et 
partie b : un aménagement pour les visiteurs
> 1. Dériver une fonction
La fonction 
est dérivable sur 
comme composée et produit de fonctions de référence dérivables sur 
et 
les fonctions dérivables sur l'intervalle 
et définies par 
et 
Leurs dérivées sont données par :
et 
Ainsi, pour tout réel 
de l'intervalle 
nous avons :
> 2. Calculer une intégrale
Pour déterminer le montant du devis de l'artiste, il est nécessaire de calculer l'aire de la partie hachurée sur le premier schéma. En effet, cet artiste facture 50 euros le mètre carré peint. Cette partie hachurée correspond, sur le deuxième schéma, au domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction 
et les droites d'équation 
et 
Or la fonction 
est dérivable donc continue sur l'intervalle 
et également positive (
). Alors, l'aire de ce domaine est égale à : 
D'après la question
Comme 
l'artiste devra peindre environ 7,33 m2 (arrondi supérieur). Le mètre carré peint étant facturé 50 euros auquel il faut ajouter un forfait de 300 euros,
partie c : une contrainte À vérifier
> 1. Étudier les variations d'une fonction
- La fonction
est dérivable sur ℝ donc sur l'intervalle
comme composée et produit de fonctions de référence dérivables sur ℝ . Similairement à la question1. de la partieA et à la question1. de la partieB , nous avons, pour tout réel
de l'intervalle 
Comme, pour tout réel 
de l'intervalle 
et 
le signe de 
correspond au signe de 
Or, 
si et seulement si 
- Comme pour tout réel
de 
la fonction 
est strictement croissante sur l'intervalle 
. - Comme pour tout réel
de 
la fonction 
est strictement décroissante sur l'intervalle 
.
> 2. Justifier une égalité
Soit 
un réel de l'intervalle 
- Le point M d'abscisse
appartient à la courbe C . Ainsi, ses coordonnées dans le repère orthonormé sont :
- Le point P a la même abscisse que le point M et il appartient à l'axe des abscisses. Ainsi, ses coordonnées dans le repère orthonormé sont :
- Le point L appartient à la tangente en M à
C dont l'équation réduite est :
Par suite, les coordonnées du point L vérifient cette équation, à savoir :
Or, le point L appartient également à l'axe des abscisses : 
Nous avons ainsi :
Les coordonnées du point L sont 
Enfin, nous avons dans le triangle 
rectangle en P :
Notez bien
Pour tout nombre réel 
> 3. Vérifier des contraintes
Notez bien
Si 
est une fonction définie sur 
et 
un réel strictement négatif, 
et 
ont des sens de variation contraires sur 
Comme, pour tout réel 
de l'intervalle 
et 
le signe de 
correspond au signe de 
Or, 
si et seulement si 
Par conséquent, la fonction 
est strictement négative sur l'intervalle 
et pour tout réel 
de cet intervalle, 
Or, les fonctions 
et 
ont des sens de variation contraires : la fonction 
est ainsi 
.
Cela implique que, selon la position du point M, autrement dit selon la valeur de 
dans l'intervalle 
la tangente de l'angle aigu 
admet les mêmes variations que la fonction 
Comme 
cette tangente est maximale pour 
Or, 
et 
(arrondi au degré supérieur).
Exercice 5
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
partie a : conjectures À l'aide d'un algorithme
> 1. Compléter un algorithme
L'étape d'initialisation consiste à renseigner d'une part la valeur prise par le premier terme de la suite 
et d'autre part, la valeur initiale de la somme, valeur à laquelle seront ajoutés les 
premiers termes de cette suite. Comme, d'après l'énoncé, 
la phase d'initialisation complète est :
| Initialisation | Saisir la valeur de n |
Ensuite, lors de la phase de traitement, les sommes 
doivent être déterminées successivement (
varie alors de 
à 
). En particulier, pour chaque valeur de 
nous devons calculer d'une part la somme 
en ajoutant à la somme précédente le 
terme de la suite 
et d'autre part le terme suivant 
de cette suite. La phase de traitement complète est donc :
| Traitement | | |
|
|
| |
|
| | |
> 2. Émettre une conjecture
Nous constatons d'abord que : 
Nous constatons ensuite que, quand 
devient de plus en plus grand, le terme 
le devient également. En particulier, l'évolution semble « régulière » : 
et 
partie b : Étude d'une suite auxiliaire
> 1. Établir une relation de récurrence
Notez bien
Pour tout réel 
D'une part, 
D'autre part, pour tout entier naturel 
non nul,
Notez bien
Pour tout réel 
> 2. Calculer les termes d'une suite
Pour calculer les termes demandés, utilisons la relation de récurrence établie à la question
.
.
> 3. Démontrer une égalité par récurrence
Soit 
la propriété : 
Démontrons par récurrence que la propriété 
est vraie pour tout entier naturel non nul 
Initialisation
Pour 
Donc 
est vraie. La propriété est ainsi initialisée.
Hérédité
Supposons que la propriété 
soit vraie pour un entier naturel non nul 
donné : 
Démontrons que la propriété 
est vraie. Par la question
Il en découle que 
et la propriété 
est vraie.
Conclusion
partie c : étude de (Sn)
> 1. Donner une formule explicite d'une suite
Soit 
un entier naturel non nul. Par définition, partie 
Or d'après la question 
et comme 
Nous en déduisons que :
Notez bien
Pour tous réels
> 2. Vérifier une égalité
Nous avons :
Notez bien
Pour tous réels
> 3. Déterminer la limite d'une suite
Soit 
un entier naturel non nul. Nous avons :
Comme 
alors 
Exercice 5
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
> 1. Justifier une égalité matricielle
Nous avons d'une part :
Notez bien
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice
Et d'autre part,
Notez bien
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice
> 2. Établir des égalités matricielles
Nous avons :
Notez bien
Pour toute matrice 
Nous avons également :
> 3. Démontrer une égalité matricielle par récurrence
Soit 
la propriété : 
Démontrons par récurrence que la propriété 
est vraie pour tout entier naturel 
Initialisation
Pour 
d'une part, 
et d'autre part, r0A 
Donc 
est vraie. La propriété est initialisée.
Hérédité
Supposons que la propriété 
soit vraie pour un entier naturel 
donné : 
Démontrons que la propriété 
est vraie. Nous avons :
Il en découle que 
et la propriété 
est vraie.
Conclusion
> 4. Déterminer une expression explicite d'une suite
Pour tout entier naturel non nul 
nous avons :
Par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul 
par :
Or, 
> 5. Déterminer une expression explicite d'une suite
La suite 
étant géométrique de raison 2, par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul 
par :
Or 
> 6. Déterminer une expression explicite d'une suite
Soit 
un entier naturel non nul.
D'après la question 
et d'autre part (expression explicite) 
Ainsi, 
et 
D'après la question 
et 
Il en découle que 
En prenant en compte l'expression explicite de 
en fonction de 
nous avons :
Conclusion
> 7. Écrire une relation matricielle
Par la question 
En utilisant les expressions explicites établies à la question précédente pour 
et 
nous en déduisons que, pour tout entier naturel 
non nul :
