Sujet complet de Polynésie française 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Polynésie française

 

3

Polynésie française • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (7 points)
 Taux d’alcoolémie

Commun à tous les candidats

Partie A

Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P1 et P2 de corpulences différentes la concentration C d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps t après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant = 0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.

C est exprimée en grammes par litre et t en heures.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps.

matT_1606_13_00C_01

▶ 1. La fonction C est définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ et on note 342123-Eqn1 sa fonction dérivée. À un instant t positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par 342123-Eqn2.

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.

▶ 2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.

▶ 3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par :

f (t) = At et

A est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.

a) On note 342123-Eqn3 la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer 342123-Eqn4.

b) L’affirmation suivante est-elle vraie ?

« À quantité d’alcool absorbée égale, plus A est grand, plus la personne est corpulente. »

Partie B Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration C d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t, exprimé en heures, par la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par :

f (t) = 2t et.

▶ 1. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.

▶ 3. Rappeler la limite de 342123-Eqn5 lorsque t tend vers + ∞ et en déduire celle de f (t) en + ∞.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

▶ 4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0,2 g ⋅ L−1 pour un jeune conducteur.

a) Démontrer qu’il existe deux nombres réels t1 et t2 tels que f(t1) = f(t2) = 0,2.

b) Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?

Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

▶ 5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5 × 10−3 g ⋅ L−1.

a) Justifier qu’il existe un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.

b) On donne l’algorithme suivant où f est la fonction définie par f(t) = 2t et.

Initialisation

t prend la valeur 3,5

p prend la valeur 0,25

C prend la valeur 0,21

Traitement

Tant que C > 5 × 10−3 faire :

   

t prend la valeur t + p

C prend la valeur f (t)

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher t

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme. Arrondir les valeurs à 10−2 près.

 

Initialisation

Étape 1

Étape 2

p

0,25

   

t

3,5

   

C

0,21

   

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?

Exercice 2 (3 points)
 Idée pour la suite

Commun à tous les candidats

Soit u la suite définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par :

un+1 = 2un + 2n2n.

On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un + 2n2 + 3n + 5.

▶ 1. Voici ci-contre un extrait de feuille de tableur.

matT_1606_13_00C_02

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et ?

▶ 2. Déterminer, en justifiant, une expression de vn et de un en fonction de n uniquement.

Exercice 3 (5 points)
 La tête dans les étoiles

Commun à tous les candidats

Partie A

Un astronome responsable d’un club d’astronomie a observé le ciel un soir d’août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d’attente entre deux apparitions d’étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. En exploitant les données obtenues, il a établi que λ = 0,2.

Il prévoit d’emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d’août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu’il sera dans des conditions d’observation analogues à celles d’août 2015.

L’astronome veut s’assurer que le groupe ne s’ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

▶ 1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu’il attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ 0,451.

▶ 2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à 0,95 ? Arrondir ce temps à la minute près.

▶ 3. L’astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d’observations d’étoiles filantes lors de cette sortie.

Partie B

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

64 % des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;

27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;

65 % des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel.

▶ 1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est 0,494.

▶ 2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent ? Arrondir à 10−3 près.

Partie C

Pour des raisons pratiques, l’astronome responsable du club souhaiterait installer un site d’observation sur les hauteurs d’une petite ville de 2 500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l’éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, l’astronome réalise un sondage aléatoire auprès de 100 habitants et obtient 54 avis favorables à la coupure de l’éclairage nocturne.

L’astronome a fait l’hypothèse que 50 % de la population du village est favorable à la coupure de l’éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l’amène-t-il à changer d’avis ?

Exercice 4 (5 points) 
Le cinq en un !

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Proposition 1. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, les points A, B et C d’affixes respectives zA = 342123-Eqn6 + 3i, zB = 1 + i et zC = – 4i ne sont pas alignés.

▶ 2. Proposition 2. Il n’existe pas d’entier naturel n non nul tel que (i(1 + i))2n soit un réel strictement positif.

▶ 3. ABCDEFGH est un cube de côté 1.

matT_1606_13_00C_03

Le point L est tel que 342123-Eqn7

Proposition 3. La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.

Proposition 4. Le triangle DBL est rectangle en B.

▶ 4. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 5] et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :

matT_1606_13_00C_tab_01

Proposition 5. L’intégrale 342123-Eqn8 est comprise entre 1,5 et 6.

Exercice 4 (5 points)
 Miscellanées

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Proposition 1. Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2 n n’est jamais égal à 4.

▶ 2. On considère la suite u définie, pour n ≥ 1, par :

342123-Eqn9.

Proposition 2. La suite (un) est convergente.

▶ 3. Proposition 3. Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × = B × A.

▶ 4. Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel n, on note :

An l’événement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape » et an sa probabilité ;

Bn l’événement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape » et bn sa probabilité ;

Xn la matrice colonne 342123-Eqn10.

On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = M × Xn avec = 342123-Eqn11.

Proposition 4. La probabilité 342123-Eqn12(Bn+1) vaut 0,45.

Proposition 5. Il existe un état initial X0 = 342123-Eqn13 tel que la probabilité d’être en B à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en A à l’étape 1, autrement dit tel que b1 = 3a1.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Continuité • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6 Partie A ; Partie B, 1. et 2.

Continuité  E7b • E7c Partie B, 4. a) et 5. a)

Fonction exponentielle  E8c • E8d• E8e Partie A, 3. a) ; Partie B, 1. à 3.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 1. Pensez à relier le nombre dérivé en un réel t à la notion de coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de C au point d’abscisse t. Essayez de déterminer pour quelle valeur de t le coefficient directeur d’une telle tangente est maximal.

▶ 2. Tracez la tangente à l’origine pour chacune des courbes proposées et comparez leurs coefficients directeurs.

Partie B

▶ 4. a) et 5. a) Pensez au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Généralités sur les suites • Suites géométriques • Tableur.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites géométriques  E4a • E4b 2.

Nos coups de pouce

▶ 2. Conjecturez tout d’abord la nature de la suite 342123-Eqn14 à partir de l’extrait de feuille de tableur donné, en particulier la colonne C. Pour valider ou corriger votre conjecture, exprimez 342123-Eqn15 en fonction de 342123-Eqn16 Pour ce faire, remplacez 342123-Eqn17 par 342123-Eqn18 dans l’expression de 342123-Eqn19 puis remplacez 342123-Eqn20 par son expression et simplifiez le tout. Faites alors apparaître 342123-Eqn21 en factorisant et concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi exponentielle  E40c Partie A

Fonction logarithme népérien  E9e Partie A, 2.

Probabilités (généralités)  E34 Partie B, 1.

Probabilités conditionnelles  E35 • E37 Partie B, 1. et 2.

Primitives  E11d Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 2. Pensez à traduire la situation proposée par une inéquation de la forme 342123-Eqn22342123-Eqn23 est la durée demandée.

Partie B

 1. Utilisez la formule des probabilités totales.

Partie C

Utilisez un intervalle de fluctuation.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie dans l’espace • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Nombres complexes  E16 • E18a • E19a • E19b • E19d • E21• C4 Propositions 1. et 2.

Positions relatives  E24a • E24c Proposition 3.

Orthogonalité  E31c • E32a • E32b Proposition 4.

Intégrale  E14 Proposition 5.

Nos coups de pouce

▶ Proposition 1. Déterminez les coordonnées des points A, B et C à partir de leurs affixes. Calculez les coordonnées des vecteurs 342123-Eqn24 et 342123-Eqn25. Concluez.

▶ Proposition 2. Écrivez le nombre complexe 342123-Eqn26 sous forme exponentielle. Démontrez ensuite que 342123-Eqn27.

▶ Proposition 4. Déterminez les coordonnées des vecteurs 342123-Eqn28 et 342123-Eqn29 dans le repère orthonormé 342123-Eqn30. Calculez leur produit scalaire et concluez.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Arithmétique • Suites • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites  E2d Proposition 2.

Matrices  C5 Proposition 3.

Nos coups de pouce

▶ Proposition 1. Étudiez le chiffre des unités de 342123-Eqn31 en utilisant les résultats envisageables pour le chiffre des unités de 342123-Eqn32.

▶ Proposition 2. Déterminez un encadrement de 342123-Eqn33 avant d’en déduire un encadrement de 342123-Eqn34

▶ Proposition 3. Exhibez un contre-exemple pour la proposition émise.