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Polynésie française • Juin 2016
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (7 points) Taux d'alcoolémie
Commun à tous les candidats
Partie A
Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P1 et P2 de corpulences différentes la concentration C d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps t après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant t = 0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l'alcool.
C est exprimée en grammes par litre et t en heures.
Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps.
▶ 1. La fonction C est définie sur l'intervalle [0 + ∞[ et on note 
sa fonction dérivée. À un instant t positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée par 
.
À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.
▶ 2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
▶ 3. Une personne à jeun absorbe de l'alcool. On admet que la concentration C d'alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 + ∞[ par :
f (t) = At e−t
où A est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool absorbée.
a) On note 
la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer 
.
b) L'affirmation suivante est-elle vraie ?
« À quantité d'alcool absorbée égale, plus A est grand, plus la personne est corpulente. »
Partie B Un cas particulier
Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration C d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t, exprimé en heures, par la fonction f définie sur [0 + ∞[ par :
f (t) = 2t e−t.
▶ 1. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 + ∞[.
▶ 2. À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.
▶ 3. Rappeler la limite de 
lorsque t tend vers + ∞ et en déduire celle de f (t) en + ∞.
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
▶ 4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de 0,2 g ⋅ L−1 pour un jeune conducteur.
a) Démontrer qu'il existe deux nombres réels t1 et t2 tels que f(t1) = f(t2) = 0,2.
b) Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?
Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
▶ 5. La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à 5 × 10−3 g ⋅ L−1.
a) Justifier qu'il existe un instant T à partir duquel la concentration d'alcool dans le sang n'est plus détectable.
b) On donne l'algorithme suivant où f est la fonction définie par f(t) = 2t e−t.
| Initialisation | t prend la valeur 3,5 p prend la valeur 0,25 C prend la valeur 0,21 | |
| Traitement | Tant que C > 5 × 10−3 faire : | |
| t prend la valeur t + p C prend la valeur f (t) | ||
| Fin Tant que | ||
| Sortie | Afficher t | |
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme. Arrondir les valeurs à 10−2 près.
| Initialisation | Étape 1 | Étape 2 | |
| p | 0,25 | ||
| t | 3,5 | ||
| C | 0,21 |
Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
Exercice 2 (3 points) Idée pour la suite
Commun à tous les candidats
Soit u la suite définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par :
un+1 = 2un + 2n2 − n.
On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n, par :
vn = un + 2n2 + 3n + 5.
▶ 1. Voici ci-contre un extrait de feuille de tableur.
Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v ?
▶ 2. Déterminer, en justifiant, une expression de vn et de un en fonction de n uniquement.
Exercice 3 (5 points) La tête dans les étoiles
Commun à tous les candidats
Partie A
Un astronome responsable d'un club d'astronomie a observé le ciel un soir d'août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d'attente entre deux apparitions d'étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d'attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. En exploitant les données obtenues, il a établi que λ = 0,2.
Il prévoit d'emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d'août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu'il sera dans des conditions d'observation analogues à celles d'août 2015.
L'astronome veut s'assurer que le groupe ne s'ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.
▶ 1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu'il attende moins de 3 minutes pour voir l'étoile filante suivante est environ 0,451.
▶ 2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à 0,95 ? Arrondir ce temps à la minute près.
▶ 3. L'astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d'observations d'étoiles filantes lors de cette sortie.
Partie B
Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :
64 % des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents
27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel
65 % des nouveaux adhérents n'ont pas de télescope personnel.
▶ 1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est 0,494.
▶ 2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent ? Arrondir à 10−3 près.
Partie C
Pour des raisons pratiques, l'astronome responsable du club souhaiterait installer un site d'observation sur les hauteurs d'une petite ville de 2 500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l'éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l'éclairage nocturne pendant les nuits d'observation, l'astronome réalise un sondage aléatoire auprès de 100 habitants et obtient 54 avis favorables à la coupure de l'éclairage nocturne.
L'astronome a fait l'hypothèse que 50 % de la population du village est favorable à la coupure de l'éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l'amène-t-il à changer d'avis ?
Exercice 4 (5 points) Le cinq en un !
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
▶ 1. Proposition 1. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, les points A, B et C d'affixes respectives zA = 
+ 3i, zB = 1 + i et zC = – 4i ne sont pas alignés.
▶ 2. Proposition 2. Il n'existe pas d'entier naturel n non nul tel que (i(1 + i))2n soit un réel strictement positif.
▶ 3. ABCDEFGH est un cube de côté 1.
Le point L est tel que 
Proposition 3. La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.
Proposition 4. Le triangle DBL est rectangle en B.
▶ 4. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [2 5] et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :
Proposition 5. L'intégrale 
est comprise entre 1,5 et 6.
Exercice 4 (5 points) Miscellanées
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
▶ 1. Proposition 1. Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2 + n n'est jamais égal à 4.
▶ 2. On considère la suite u définie, pour n ≥ 1, par :
.
Proposition 2. La suite (un) est convergente.
▶ 3. Proposition 3. Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × B = B × A.
▶ 4. Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.
Pour tout entier naturel n, on note :
An l'événement « le mobile se trouve dans la position A à l'étape n » et an sa probabilité
Bn l'événement « le mobile se trouve dans la position B à l'étape n » et bn sa probabilité
Xn la matrice colonne 
.
On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = M × Xn avec M = 
.
Proposition 4. La probabilité 
(Bn+1) vaut 0,45.
Proposition 5. Il existe un état initial X0 = 
tel que la probabilité d'être en B à l'étape 1 est trois fois plus grande que celle d'être en A à l'étape 1, autrement dit tel que b1 = 3a1.
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 75 minutes.
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Dérivation • Continuité • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Dérivation E6 → Partie A Partie B, 1. et 2.
Continuité E7b • E7c → Partie B, 4. a) et 5. a)
Fonction exponentielle E8c • E8d• E8e → Partie A, 3. a) Partie B, 1. à 3.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 1. Pensez à relier le nombre dérivé en un réel t à la notion de coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de C au point d'abscisse t. Essayez de déterminer pour quelle valeur de t le coefficient directeur d'une telle tangente est maximal.
▶ 2. Tracez la tangente à l'origine pour chacune des courbes proposées et comparez leurs coefficients directeurs.
Partie B
▶ 4. a) et 5. a) Pensez au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Généralités sur les suites • Suites géométriques • Tableur.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Suites géométriques E4a • E4b → 2.
Nos coups de pouce
▶ 2. Conjecturez tout d'abord la nature de la suite 
à partir de l'extrait de feuille de tableur donné, en particulier la colonne C. Pour valider ou corriger votre conjecture, exprimez 
en fonction de 
Pour ce faire, remplacez 
par 
dans l'expression de 
puis remplacez 
par son expression et simplifiez le tout. Faites alors apparaître 
en factorisant et concluez.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 65 minutes.
Les thèmes clés
Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Probabilités conditionnelles.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Loi exponentielle E40c → Partie A
Fonction logarithme népérien E9e → Partie A, 2.
Probabilités (généralités) E34 → Partie B, 1.
Probabilités conditionnelles E35 • E37 → Partie B, 1. et 2.
Primitives E11d → Partie A, 1. et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Pensez à traduire la situation proposée par une inéquation de la forme 
où 
est la durée demandée.
Partie B
▶ 1. Utilisez la formule des probabilités totales.
Partie C
Utilisez un intervalle de fluctuation.
Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes • Géométrie dans l'espace • Intégration.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Nombres complexes E16 • E18a • E19a • E19b • E19d • E21• C4 → Propositions 1. et 2.
Positions relatives E24a • E24c → Proposition 3.
Orthogonalité E31c • E32a • E32b → Proposition 4.
Intégrale E14 → Proposition 5.
Nos coups de pouce
▶ Proposition 1. Déterminez les coordonnées des points A, B et C à partir de leurs affixes. Calculez les coordonnées des vecteurs 
et 
. Concluez.
▶ Proposition 2. Écrivez le nombre complexe 
sous forme exponentielle. Démontrez ensuite que 
.
▶ Proposition 4. Déterminez les coordonnées des vecteurs 
et 
dans le repère orthonormé 
. Calculez leur produit scalaire et concluez.
Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Arithmétique • Suites • Matrices.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Suites E2d → Proposition 2.
Matrices C5 → Proposition 3.
Nos coups de pouce
▶ Proposition 1. Étudiez le chiffre des unités de 
en utilisant les résultats envisageables pour le chiffre des unités de 
.
▶ Proposition 2. Déterminez un encadrement de 
avant d'en déduire un encadrement de 
▶ Proposition 3. Exhibez un contre-exemple pour la proposition émise.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. Identifier une vitesse maximale
est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 
à la courbe représentative de la fonction 
Pour chacune des courbes C1 et C2, le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 
semble maximal lorsque 
Par conséquent, la vitesse d'apparition de l'alcool dans le sang est maximale à t = 0.
▶ 2. Identifier une courbe sous contrainte
Pour identifier la personne la plus corpulente, il suffit de s'intéresser à la vitesse d'apparition de l'alcool dans le sang à l'instant 
Si l'on trace les tangentes 
et 
au point d'abscisse 0 respectivement pour les courbes C1 et C2, la tangente qui semble avoir le coefficient directeur le plus élevé est la tangente 
La vitesse maximale d'apparition de l'alcool dans le sang est donc plus élevée pour la personne P1 que pour la personne P2. La personne P2 subit donc moins vite les effets de l'alcool que la personne P1. Par conséquent, la personne P2 est celle qui a la plus forte corpulence.
▶ 3. a) Calculer un nombre dérivé
Notez bien
Si 
et 
sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction 
est dérivable sur I et 
.
est un produit de fonctions dérivables sur 
donc 
est dérivable sur 
.
Pour tout 
:
.
Par conséquent, 
.
b) Étudier une affirmation
Considérons deux personnes P1 et P2 qui absorbent à jeun une même quantité d'alcool et notons 
et
les fonctions qui modélisent la concentration d'alcool dans le sang, associées respectivement à P1 et P2 avec 
et 
pour 
. Notons ensuite 
et 
les corpulences respectives des personnes P1 et P2.
Supposons que 
Cela donne, d'après la question A 3. a), 
. La vitesse initiale d'apparition de l'alcool dans le sang de la personne P1 est donc moins élevée que celle de la personne P2. La personne P1 subit donc, juste après l'absorption, moins vite les effets de l'alcool. Elle est donc plus corpulente que la personne P2. Ainsi, 
En résumé, si A augmente, la corpulence diminue. L'affirmation est donc fausse.
partie B un cas particulier
▶ 1. Étudier les variations d'une fonction
En reprenant les résultats de la question A 3. a) avec 
, on obtient, pour tout 
:
.
Pour tout 
, 
(une exponentielle est toujours positive) donc le signe de 
est celui de 
. Or 
.
Par conséquent :
Si 
alors 
donc f est strictement croissante sur 
.
Si 
alors 
donc f est strictement décroissante sur 
.
▶ 2. Identifier un maximum
Puisque 
est strictement croissante sur 
et strictement décroissante sur 
, 
admet un maximum en 
. La concentration d'alcool dans le sang de Paul est donc maximale au bout d'une heure.
Cette concentration maximale est égale à :
.
▶ 3. Calculer et interpréter une limite
Pour rappel, nous avons :
. Comme, pour tout 
, 
, par quotient, on obtient 
. Au bout d'un certain temps, la concentration d'alcool dans le sang de Paul sera proche de 0 : l'alcool ingéré aura été éliminé par le corps.
▶ 4. a) Déterminer les solutions d'une équation
D'après la question A 3. a), 
est dérivable sur 
donc 
est continue sur 
et a fortiori sur 
et sur 
.
D'après la question B 1., 
est strictement croissante sur 
.
et 
(voir question B 2.). Par conséquent, 
est compris entre
et 
.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation 
admet une unique solution 
.
D'après la question B 1., 
est strictement décroissante sur 
.
et 
(voir question B 3.). Par conséquent, 
.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation 
admet une unique solution 
.
Il existe donc deux nombres réels 
et 
tels que 
.
b) Déterminer une durée minimale
Paul pourra prendre le volant lorsque son taux d'alcoolémie sera à nouveau en dessous de 0,2 
. Cela se produira pour 
. À la calculatrice, on obtient 
.
Paul devra donc attendre 3 h 35 min avant de pouvoir prendre le volant.
▶ 5. a) Déterminer une valeur seuil
En reprenant les éléments de rédaction de la question B 4. a) :
est continue sur 
et 
est strictement décroissante sur 
.
et 
. Par conséquent, 
.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation 
admet une unique solution 
.
Puisque 
est strictement décroissante sur 
et que 
, on a, pour tout 
, 
.
Il existe donc un instant T à partir duquel la concentration d'alcool dans le sang n'est plus détectable.
b) Exécuter un algorithme et identifier son rôle
| Initialisation | Étape 1 | Étape 2 | |
| p | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
| t | 3,5 |
|
|
| C | 0,21 |
|
|
| C > 5 × 10–3 | Vrai | Vrai | Vrai |
La concentration d'alcool dans le sang de Paul au bout de 3,5 heures est 
.
Cet algorithme permet de déterminer l'heure (à 15 minutes près car p = 0,25) à partir de laquelle la concentration d'alcool dans le sang de Paul n'est plus détectable.
Exercice 2
Commun à tous les candidats
▶ 1. Compléter une feuille de tableur
Dans la cellule B3 est affiché le terme 
Par définition de la suite 
ce terme est la somme du double du terme 
(cellule B2) et de l'expression 
pour 
(cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule B3 est : 
.
Dans la cellule C2 est affiché le terme 
Par définition de la suite 
ce terme est la somme du terme 
(cellule B2) et de l'expression 
pour 
(cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule C2 est : 
.
▶ 2. Déterminer une formule explicite d'une suite
D'après l'extrait de feuille de tableur, en particulier la colonne C, nous avons : 
et 
Nous constatons que : 
et 
Nous pouvons alors conjecturer que la suite 
est géométrique de raison 2 et de premier terme 7.
Soit 
un entier naturel. Nous avons :
Par définition de la suite 
, il s'ensuit que :
En factorisant par 2, nous en concluons que :
La suite 
est donc géométrique de raison 2 et de premier terme 
Ainsi, pour tout entier naturel 
nous avons (formule explicite) : 
.
Or, 
qui s'écrit également 
Nous en concluons ainsi que pour tout entier naturel 
: 
.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. Calculer une probabilité avec une loi exponentielle
La probabilité que le groupe attende moins de 3 minutes pour voir l'étoile filante suivante est donnée par 
.
Notez bien
Si X est une variable aléatoire continue alors pour tout réel a, P(X = a) = 0.
La densité 
associée à la variable aléatoire 
qui suit la loi exponentielle de paramètre 
est donnée par :
Nous avons alors 
La probabilité que le groupe attende moins de 3 minutes pour voir l'étoile filante suivante est environ 0,451.
▶ 2. Déterminer une valeur seuil
Le problème posé est de déterminer la durée minimale 
en minutes telle que la probabilité pour le groupe de voir l'étoile filante suivante avec un temps d'attente n'excédant pas 
minutes soit supérieure à 0,95. Nous devons résoudre l'inéquation 
Or, 
.
Notez bien
Pour tous réels 
et 
strictement positifs, 
.
Par conséquent :
Comme 
, c'est donc à partir de x = 15 minutes que la probabilité pour le groupe de voir l'étoile filante suivante avec un temps d'attente n'excédant pas x minutes est supérieure à 0,95.
▶ 3. Estimer un nombre moyen d'observations
Le temps moyen d'attente entre deux observations d'étoiles filantes est égal à 
minutes.
Pour une sortie de deux heures, il y a donc 24 plages de 5 minutes, soit en moyenne 25 observations d'étoiles filantes sur la sortie de deux heures.
partie B
▶ 1. Calculer une probabilité
Considérons les événements suivants :
A : « la personne interrogée est un nouvel adhérent »
T : « la personne interrogée possède un télescope personnel ».
D'après l'énoncé :
64 % des personnes interrogées sont de nouveaux adhérents, ce qui se traduit par 
. Par conséquent, nous avons aussi 
27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel, ce qui se traduit par 
65 % des nouveaux adhérents n'ont pas de télescope personnel, ce qui se traduit par 
. Par conséquent, nous avons aussi 
.
Nous pouvons résumer tout ceci avec l'arbre pondéré suivant :
La probabilité demandée est la probabilité qu'un adhérent choisi au hasard possède un télescope personnel, soit 
. D'après la formule des probabilités totales :
La probabilité qu'un adhérent choisi au hasard possède un télescope personnel est 0,494.
▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité qu'un adhérent choisi au hasard soit un nouvel adhérent sachant qu'il possède un télescope personnel s'écrit 
:
.
Sachant qu'un adhérent possède un télescope personnel, la probabilité que ce soit un nouvel adhérent est d'environ 0,453.
partie C
Exploiter un intervalle de fluctuation
L'astronome fait l'hypothèse que la proportion de la population du village favorable à la coupure de l'éclairage nocturne est 
Il constate que, sur un échantillon de taille 
habitants, 54 d'entre eux sont favorables à la coupure de courant nocturne, soit une fréquence 
, dans cet échantillon, d'habitants favorables à la coupure de courant nocturne. Comme 
et que 
, un intervalle de fluctuation pour la fréquence, dans un échantillon de taille 
, de personnes favorables à la coupure de courant nocturne est :
.
Puisque la fréquence 
appartient à cet intervalle de fluctuation, l'astronome ne peut remettre en question l'hypothèse faite sur 
Le résultat de ce sondage ne peut donc l'amener à changer d'avis.
Remarque : on aurait tout aussi bien pu utiliser l'intervalle de fluctuation vu en classe de première construit avec une loi binomiale, ou l'intervalle de fluctuation asymptotique vu en terminale, à condition de vérifier au préalable dans ce cas les conditions d'utilisation dudit intervalle.
Exercice 4
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
▶ 1. Étudier l'alignement de points
est l'affixe du point A de coordonnées 
.
est l'affixe du point B de coordonnées 
.
est l'affixe du point C de coordonnées 
.
Il s'ensuit 
et 
.
Les coordonnées des vecteurs 
et 
n'étant pas proportionnelles, les vecteurs 
et 
ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés.
La proposition 1 est vraie.
Autre méthode
et 
.
Les affixes des vecteurs 
et 
n'étant pas proportionnelles, les vecteurs 
et 
ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés. La proposition 1 est vraie.
▶ 2. Déterminer un entier sous contrainte
Posons 
. En développant, nous avons 
.
Gagnez des points !
Vérifiez vos résultats à l'aide de la calculatrice.
Le module du nombre complexe 
est 
. Le nombre complexe 
étant non nul, un argument 
de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que :
D'après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que 
est un argument de 
Ainsi, nous avons 
.
Intéressons-nous désormais au nombre complexe 
, 
désignant un entier naturel non nul. Par le point précédent, nous avons :
.
Notez bien
Pour tout nombre complexe 
pour tous entiers naturels 
et 
Or, 
et 
.
Notez bien
.
Mais, 
. Par suite, 
.
Or, pour 
nous avons 
. Il existe alors un entier non nul 
tel que 
soit un réel strictement positif 
La proposition 2 est fausse.
▶ 3. Étudier la nature d'un polygone
Proposition 3
Notez bien
L'intersection de deux plans sécants est une droite.
Les points B et D appartiennent clairement au plan (BDL) mais aussi au plan (ABC). Comme le point L n'appartient pas au plan (ABC), les plans (BDL) et (ABC) sont sécants : la droite (BD) est leur intersection. Par suite, le plan (BDL) et la face ABCD sont sécants : leur intersection est le segment [BD].
Similairement au point précédent, les points B et L appartiennent aux plans (BDL) et (ABF). Comme le point D n'appartient pas au plan (ABF), le plan (BDL) et la face ABFE sont alors sécants : leur intersection est le segment [BL].
Notez bien
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (BDL) coupe le plan (ABC) suivant la droite (BD). Alors, le plan (BDL) coupe le plan (EFG) suivant une droite qui est parallèle à la droite (BD). Comme le point L appartient aux plans (EFG) et (BDL), cette droite passe alors par L. L'intersection des plans (EFG) et (BDL) est donc la parallèle à la droite (BD) passant par L. Cette droite coupe le segment [EH] en un point que nous noterons M. Le plan (BDL) et la face EFGH sont alors sécants : leur intersection est le segment [LM].
Les points M et D appartiennent aux plans (BDL) et (ADH). Comme le point L n'appartient pas au plan (ADH), les plans (BDL) et (ADH) sont alors sécants : la droite (MD) est leur intersection. Le plan (BDL) et la face ADHE sont sécants : leur intersection est le segment [MD].
La proposition 3 est fausse.
Proposition 4
Considérons le repère orthonormé 
Par la relation de Chasles, nous avons 
. Comme ABCDEFGH est un cube, il s'ensuit que : 
.
Le vecteur 
a alors pour coordonnées 
Par la relation de Chasles, nous avons 
. Comme, d'après l'énoncé, 
qui est équivalent à 
et que ABCDEFGH est un cube, il s'ensuit que :
.
Le vecteur 
a alors pour coordonnées 
Comme 
alors les vecteurs 
et 
ne sont pas orthogonaux. Les droites (BD) et (BL) dont le point commun est B, ne sont alors pas perpendiculaires. Le triangle DBL n'est pas rectangle en B. La proposition 4 est fausse.
▶ 4. Proposer un contre-exemple
Une fonction 
définie sur l'intervalle 
dont le tableau de variations serait celui donné dans l'énoncé, est naturellement continue sur cet intervalle mais aussi positive (pour tout 
, 
). Par suite, l'intégrale 
est l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan délimité dans un repère orthogonal par 
la courbe représentative de la fonction 
l'axe des abscisses et les droites d'équations 
et 
Considérons 
la fonction affine définie par morceaux sur l'intervalle 
dont la courbe représentative est donnée ci-après :
Les points en bleu ont respectivement pour coordonnées 
puis 
et enfin 
Cette fonction affine par morceaux admet bien pour tableau de variations le tableau donné dans l'énoncé. Mais, par la relation de Chasles, nous avons :
Notez bien
et
En utilisant les formules d'aires de figures usuelles, nous en déduisons que :
et 
.
Et par suite, 
. La proposition 5 est fausse.
Exercice 4
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
▶ 1. Étudier le chiffre des unités de n2 + n
Pour tout entier naturel 
il existe des entiers 
et 
ℕ tels que 
, 
est le chiffre des unités de 
Par conséquent, 
et 
| u | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| u2 + u | 0 | 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | 42 | 56 | 72 | 90 |
D'après ce tableau, le chiffre des unités de 
n'est jamais égal à 4, donc, pour tout entier naturel 
le chiffre des unités de 
n'est jamais égal à 4. La proposition 1 est vraie.
▶ 2. Étudier la convergence d'une suite
Pour tout entier naturel 
:
1 divise 
et 1 divise 20 donc 1 divise 
et 
.
divise 20 donc 
.
Ainsi 
et, pour tout entier naturel 
, soit 
.
Comme 
et 
d'après le théorème des gendarmes, 
.
La suite 
est convergente et sa limite est 0. La proposition 2 est vraie.
▶ 3. Étudier la commutativité du produit matricel
Considérons les matrices 
et 
On a :
Notez bien
Pensez à vérifier vos calculs à la calculatrice. C5
On constate que 
La proposition 3 est fausse.
▶ 4. Exploiter une matrice de transition
Proposition 4
Si l'on considère la matrice 
fournie dans l'énoncé, le graphe probabiliste associé à cette situation est :
Ainsi, si le mobile se trouve dans la position A à l'étape 
la probabilité qu'il se trouve dans la position B à l'étape 
est 0,45. Par conséquent, pour tout entier naturel 
. La proposition 4 est vraie.
Proposition 5
On détermine la matrice 
Par conséquent, 
et 
Maintenant :
Comme 
et 
figurent dans la matrice d'état initial 
on a 
et 
. Par conséquent, l'égalité 
est absurde. La proposition 5 est fausse.