Sujet complet de Polynésie française 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Polynésie française

 

3

Polynésie française • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (7 points)
 Taux d’alcoolémie

Commun à tous les candidats

Partie A

Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P1 et P2 de corpulences différentes la concentration C d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps t après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant = 0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.

C est exprimée en grammes par litre et t en heures.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps.

matT_1606_13_00C_01

▶ 1. La fonction C est définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ et on note 342123-Eqn1 sa fonction dérivée. À un instant t positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par 342123-Eqn2.

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.

▶ 2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.

▶ 3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par :

f (t) = At et

A est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.

a) On note 342123-Eqn3 la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer 342123-Eqn4.

b) L’affirmation suivante est-elle vraie ?

« À quantité d’alcool absorbée égale, plus A est grand, plus la personne est corpulente. »

Partie B Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration C d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t, exprimé en heures, par la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par :

f (t) = 2t et.

▶ 1. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.

▶ 3. Rappeler la limite de 342123-Eqn5 lorsque t tend vers + ∞ et en déduire celle de f (t) en + ∞.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

▶ 4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0,2 g ⋅ L−1 pour un jeune conducteur.

a) Démontrer qu’il existe deux nombres réels t1 et t2 tels que f(t1) = f(t2) = 0,2.

b) Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?

Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

▶ 5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5 × 10−3 g ⋅ L−1.

a) Justifier qu’il existe un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.

b) On donne l’algorithme suivant où f est la fonction définie par f(t) = 2t et.

Initialisation

t prend la valeur 3,5

p prend la valeur 0,25

C prend la valeur 0,21

Traitement

Tant que C > 5 × 10−3 faire :

   

t prend la valeur t + p

C prend la valeur f (t)

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher t

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme. Arrondir les valeurs à 10−2 près.

 

Initialisation

Étape 1

Étape 2

p

0,25

   

t

3,5

   

C

0,21

   

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?

Exercice 2 (3 points)
 Idée pour la suite

Commun à tous les candidats

Soit u la suite définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par :

un+1 = 2un + 2n2n.

On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un + 2n2 + 3n + 5.

▶ 1. Voici ci-contre un extrait de feuille de tableur.

matT_1606_13_00C_02

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et ?

▶ 2. Déterminer, en justifiant, une expression de vn et de un en fonction de n uniquement.

Exercice 3 (5 points)
 La tête dans les étoiles

Commun à tous les candidats

Partie A

Un astronome responsable d’un club d’astronomie a observé le ciel un soir d’août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d’attente entre deux apparitions d’étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. En exploitant les données obtenues, il a établi que λ = 0,2.

Il prévoit d’emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d’août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu’il sera dans des conditions d’observation analogues à celles d’août 2015.

L’astronome veut s’assurer que le groupe ne s’ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

▶ 1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu’il attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ 0,451.

▶ 2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à 0,95 ? Arrondir ce temps à la minute près.

▶ 3. L’astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d’observations d’étoiles filantes lors de cette sortie.

Partie B

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes :

64 % des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;

27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;

65 % des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel.

▶ 1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est 0,494.

▶ 2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent ? Arrondir à 10−3 près.

Partie C

Pour des raisons pratiques, l’astronome responsable du club souhaiterait installer un site d’observation sur les hauteurs d’une petite ville de 2 500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l’éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, l’astronome réalise un sondage aléatoire auprès de 100 habitants et obtient 54 avis favorables à la coupure de l’éclairage nocturne.

L’astronome a fait l’hypothèse que 50 % de la population du village est favorable à la coupure de l’éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l’amène-t-il à changer d’avis ?

Exercice 4 (5 points) 
Le cinq en un !

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Proposition 1. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, les points A, B et C d’affixes respectives zA = 342123-Eqn6 + 3i, zB = 1 + i et zC = – 4i ne sont pas alignés.

▶ 2. Proposition 2. Il n’existe pas d’entier naturel n non nul tel que (i(1 + i))2n soit un réel strictement positif.

▶ 3. ABCDEFGH est un cube de côté 1.

matT_1606_13_00C_03

Le point L est tel que 342123-Eqn7

Proposition 3. La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.

Proposition 4. Le triangle DBL est rectangle en B.

▶ 4. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 5] et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous :

matT_1606_13_00C_tab_01

Proposition 5. L’intégrale 342123-Eqn8 est comprise entre 1,5 et 6.

Exercice 4 (5 points)
 Miscellanées

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Proposition 1. Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2 n n’est jamais égal à 4.

▶ 2. On considère la suite u définie, pour n ≥ 1, par :

342123-Eqn9.

Proposition 2. La suite (un) est convergente.

▶ 3. Proposition 3. Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × = B × A.

▶ 4. Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel n, on note :

An l’événement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape » et an sa probabilité ;

Bn l’événement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape » et bn sa probabilité ;

Xn la matrice colonne 342123-Eqn10.

On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = M × Xn avec = 342123-Eqn11.

Proposition 4. La probabilité 342123-Eqn12(Bn+1) vaut 0,45.

Proposition 5. Il existe un état initial X0 = 342123-Eqn13 tel que la probabilité d’être en B à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en A à l’étape 1, autrement dit tel que b1 = 3a1.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Continuité • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6 Partie A ; Partie B, 1. et 2.

Continuité  E7b • E7c Partie B, 4. a) et 5. a)

Fonction exponentielle  E8c • E8d• E8e Partie A, 3. a) ; Partie B, 1. à 3.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 1. Pensez à relier le nombre dérivé en un réel t à la notion de coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de C au point d’abscisse t. Essayez de déterminer pour quelle valeur de t le coefficient directeur d’une telle tangente est maximal.

▶ 2. Tracez la tangente à l’origine pour chacune des courbes proposées et comparez leurs coefficients directeurs.

Partie B

▶ 4. a) et 5. a) Pensez au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Généralités sur les suites • Suites géométriques • Tableur.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites géométriques  E4a • E4b 2.

Nos coups de pouce

▶ 2. Conjecturez tout d’abord la nature de la suite 342123-Eqn14 à partir de l’extrait de feuille de tableur donné, en particulier la colonne C. Pour valider ou corriger votre conjecture, exprimez 342123-Eqn15 en fonction de 342123-Eqn16 Pour ce faire, remplacez 342123-Eqn17 par 342123-Eqn18 dans l’expression de 342123-Eqn19 puis remplacez 342123-Eqn20 par son expression et simplifiez le tout. Faites alors apparaître 342123-Eqn21 en factorisant et concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi exponentielle  E40c Partie A

Fonction logarithme népérien  E9e Partie A, 2.

Probabilités (généralités)  E34 Partie B, 1.

Probabilités conditionnelles  E35 • E37 Partie B, 1. et 2.

Primitives  E11d Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 2. Pensez à traduire la situation proposée par une inéquation de la forme 342123-Eqn22342123-Eqn23 est la durée demandée.

Partie B

 1. Utilisez la formule des probabilités totales.

Partie C

Utilisez un intervalle de fluctuation.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie dans l’espace • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Nombres complexes  E16 • E18a • E19a • E19b • E19d • E21• C4 Propositions 1. et 2.

Positions relatives  E24a • E24c Proposition 3.

Orthogonalité  E31c • E32a • E32b Proposition 4.

Intégrale  E14 Proposition 5.

Nos coups de pouce

▶ Proposition 1. Déterminez les coordonnées des points A, B et C à partir de leurs affixes. Calculez les coordonnées des vecteurs 342123-Eqn24 et 342123-Eqn25. Concluez.

▶ Proposition 2. Écrivez le nombre complexe 342123-Eqn26 sous forme exponentielle. Démontrez ensuite que 342123-Eqn27.

▶ Proposition 4. Déterminez les coordonnées des vecteurs 342123-Eqn28 et 342123-Eqn29 dans le repère orthonormé 342123-Eqn30. Calculez leur produit scalaire et concluez.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Arithmétique • Suites • Matrices.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites  E2d Proposition 2.

Matrices  C5 Proposition 3.

Nos coups de pouce

▶ Proposition 1. Étudiez le chiffre des unités de 342123-Eqn31 en utilisant les résultats envisageables pour le chiffre des unités de 342123-Eqn32.

▶ Proposition 2. Déterminez un encadrement de 342123-Eqn33 avant d’en déduire un encadrement de 342123-Eqn34

▶ Proposition 3. Exhibez un contre-exemple pour la proposition émise.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

▶ 1. Identifier une vitesse maximale

342123-Eqn35 est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 342123-Eqn36 à la courbe représentative de la fonction 342123-Eqn37 Pour chacune des courbes C1 et C2, le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 342123-Eqn38 semble maximal lorsque 342123-Eqn39

Par conséquent, la vitesse d’apparition de l’alcool dans le sang est maximale à t = 0.

▶ 2. Identifier une courbe sous contrainte

Pour identifier la personne la plus corpulente, il suffit de s’intéresser à la vitesse d’apparition de l’alcool dans le sang à l’instant 342123-Eqn40

Si l’on trace les tangentes 342123-Eqn41 et 342123-Eqn42 au point d’abscisse 0 respectivement pour les courbes C1 et C2, la tangente qui semble avoir le coefficient directeur le plus élevé est la tangente 342123-Eqn43

matT_1606_13_00C_04

La vitesse maximale d’apparition de l’alcool dans le sang est donc plus élevée pour la personne P1 que pour la personne P2. La personne P2 subit donc moins vite les effets de l’alcool que la personne P1. Par conséquent, la personne P2 est celle qui a la plus forte corpulence.

▶ 3. a) Calculer un nombre dérivé

Notez bien

Si 342123-Eqn48 et 342123-Eqn49 sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction 342123-Eqn50 est dérivable sur I et 342123-Eqn51.

342123-Eqn44 est un produit de fonctions dérivables sur 342123-Eqn45 donc 342123-Eqn46 est dérivable sur 342123-Eqn47.

Pour tout 342123-Eqn52 :

342123-Eqn53.

Par conséquent, 342123-Eqn54.

b) Étudier une affirmation

Considérons deux personnes P1 et P2 qui absorbent à jeun une même quantité d’alcool et notons 342123-Eqn55 et342123-Eqn56 les fonctions qui modélisent la concentration d’alcool dans le sang, associées respectivement à P1 et P2 avec 342123-Eqn57 et 342123-Eqn58 pour 342123-Eqn59. Notons ensuite 342123-Eqn60 et 342123-Eqn61 les corpulences respectives des personnes P1 et P2.

Supposons que 342123-Eqn62 Cela donne, d’après la question A 3. a), 342123-Eqn63. La vitesse initiale d’apparition de l’alcool dans le sang de la personne P1 est donc moins élevée que celle de la personne P2. La personne P1 subit donc, juste après l’absorption, moins vite les effets de l’alcool. Elle est donc plus corpulente que la personne P2. Ainsi, 342123-Eqn64

En résumé, si A augmente, la corpulence diminue. L’affirmation est donc fausse.

partie B un cas particulier

▶ 1. Étudier les variations d’une fonction

En reprenant les résultats de la question A 3. a) avec 342123-Eqn65, on obtient, pour tout 342123-Eqn66 :

342123-Eqn67.

Pour tout 342123-Eqn68, 342123-Eqn69 (une exponentielle est toujours positive) donc le signe de 342123-Eqn70 est celui de 342123-Eqn71. Or 342123-Eqn72.

Par conséquent :

Si 342123-Eqn73 alors 342123-Eqn74 donc f est strictement croissante sur 342123-Eqn75.

Si 342123-Eqn76 alors 342123-Eqn77 donc f est strictement décroissante sur 342123-Eqn78.

▶ 2. Identifier un maximum

Puisque 342123-Eqn79est strictement croissante sur 342123-Eqn80 et strictement décroissante sur 342123-Eqn81, 342123-Eqn82 admet un maximum en 342123-Eqn83. La concentration d’alcool dans le sang de Paul est donc maximale au bout d’une heure.

Cette concentration maximale est égale à :342123-Eqn84.

▶ 3. Calculer et interpréter une limite

Pour rappel, nous avons :342123-Eqn85. Comme, pour tout 342123-Eqn86, 342123-Eqn87, par quotient, on obtient 342123-Eqn88. Au bout d’un certain temps, la concentration d’alcool dans le sang de Paul sera proche de 0 : l’alcool ingéré aura été éliminé par le corps.

▶ 4. a) Déterminer les solutions d’une équation

D’après la question A 3. a), 342123-Eqn89 est dérivable sur 342123-Eqn90 donc 342123-Eqn91 est continue sur 342123-Eqn92 et a fortiori sur 342123-Eqn93 et sur 342123-Eqn94.

D’après la question B 1., 342123-Eqn95 est strictement croissante sur 342123-Eqn96.

342123-Eqn97 et 342123-Eqn98 (voir question B 2.). Par conséquent, 342123-Eqn99 est compris entre342123-Eqn100 et 342123-Eqn101.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 342123-Eqn102 admet une unique solution 342123-Eqn103.

D’après la question B 1., 342123-Eqn104 est strictement décroissante sur 342123-Eqn105.

342123-Eqn106 et 342123-Eqn107 (voir question B 3.). Par conséquent, 342123-Eqn108.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 342123-Eqn109 admet une unique solution 342123-Eqn110.

Il existe donc deux nombres réels 342123-Eqn111 et 342123-Eqn112 tels que 342123-Eqn113.

b) Déterminer une durée minimale

Paul pourra prendre le volant lorsque son taux d’alcoolémie sera à nouveau en dessous de 0,2 342123-Eqn114. Cela se produira pour 342123-Eqn115. À la calculatrice, on obtient 342123-Eqn116.

Paul devra donc attendre 3 h 35 min avant de pouvoir prendre le volant.

▶ 5. a) Déterminer une valeur seuil

En reprenant les éléments de rédaction de la question B 4. a) :

342123-Eqn117 est continue sur 342123-Eqn118 et 342123-Eqn119 est strictement décroissante sur 342123-Eqn120.

342123-Eqn121 et 342123-Eqn122. Par conséquent, 342123-Eqn123.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 342123-Eqn124 admet une unique solution 342123-Eqn125.

Puisque 342123-Eqn126 est strictement décroissante sur 342123-Eqn127 et que 342123-Eqn128, on a, pour tout 342123-Eqn129, 342123-Eqn130.

Il existe donc un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.

b) Exécuter un algorithme et identifier son rôle

 

Initialisation

Étape 1

Étape 2

p

0,25

0,25

0,25

t

3,5

342123-Eqn133

342123-Eqn134

C

0,21

342123-Eqn136

342123-Eqn137

C > 5 × 10–3

Vrai

Vrai

Vrai

La concentration d’alcool dans le sang de Paul au bout de 3,5 heures est 342123-Eqn139.

Cet algorithme permet de déterminer l’heure (à 15 minutes près car p = 0,25) à partir de laquelle la concentration d’alcool dans le sang de Paul n’est plus détectable.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

▶ 1. Compléter une feuille de tableur

Dans la cellule B3 est affiché le terme 342123-Eqn140 Par définition de la suite 342123-Eqn141 ce terme est la somme du double du terme 342123-Eqn142 (cellule B2) et de l’expression 342123-Eqn143 pour 342123-Eqn144 (cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule B3 est : 342123-Eqn145.

Dans la cellule C2 est affiché le terme 342123-Eqn146 Par définition de la suite 342123-Eqn147 ce terme est la somme du terme 342123-Eqn148 (cellule B2) et de l’expression 342123-Eqn149 pour 342123-Eqn150 (cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule C2 est : 342123-Eqn151.

▶ 2. Déterminer une formule explicite d’une suite

D’après l’extrait de feuille de tableur, en particulier la colonne C, nous avons : 342123-Eqn152342123-Eqn153342123-Eqn154 et 342123-Eqn155 Nous constatons que : 342123-Eqn156342123-Eqn157 et 342123-Eqn158 Nous pouvons alors conjecturer que la suite 342123-Eqn159 est géométrique de raison 2 et de premier terme 7.

Soit 342123-Eqn160 un entier naturel. Nous avons :

342123-Eqn161

Par définition de la suite 342123-Eqn162, il s’ensuit que :

342123-Eqn163

En factorisant par 2, nous en concluons que :

342123-Eqn164

La suite 342123-Eqn165 est donc géométrique de raison 2 et de premier terme 342123-Eqn166 Ainsi, pour tout entier naturel 342123-Eqn167 nous avons (formule explicite) : 342123-Eqn168.

Or, 342123-Eqn169 qui s’écrit également 342123-Eqn170

Nous en concluons ainsi que pour tout entier naturel 342123-Eqn171 : 342123-Eqn172.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie A

▶ 1. Calculer une probabilité avec une loi exponentielle

La probabilité que le groupe attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est donnée par 342123-Eqn173.

Notez bien

Si X est une variable aléatoire continue alors pour tout réel a, P(X = a) = 0.

La densité 342123-Eqn177 associée à la variable aléatoire 342123-Eqn178 qui suit la loi exponentielle de paramètre 342123-Eqn179 est donnée par :

342123-Eqn180

Nous avons alors 342123-Eqn181

La probabilité que le groupe attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ 0,451.

▶ 2. Déterminer une valeur seuil

Le problème posé est de déterminer la durée minimale 342123-Eqn182 en minutes telle que la probabilité pour le groupe de voir l’étoile filante suivante avec un temps d’attente n’excédant pas 342123-Eqn183 minutes soit supérieure à 0,95. Nous devons résoudre l’inéquation 342123-Eqn184

Or, 342123-Eqn185.

Notez bien

Pour tous réels 342123-Eqn187 et 342123-Eqn188 strictement positifs, 342123-Eqn189.

Par conséquent :

342123-Eqn186

Comme 342123-Eqn190, c’est donc à partir de x = 15 minutes que la probabilité pour le groupe de voir l’étoile filante suivante avec un temps d’attente n’excédant pas x minutes est supérieure à 0,95.

▶ 3. Estimer un nombre moyen d’observations

Le temps moyen d’attente entre deux observations d’étoiles filantes est égal à 342123-Eqn191 minutes.

Pour une sortie de deux heures, il y a donc 24 plages de 5 minutes, soit en moyenne 25 observations d’étoiles filantes sur la sortie de deux heures.

partie B

▶ 1. Calculer une probabilité

Considérons les événements suivants :

A : « la personne interrogée est un nouvel adhérent » ;

T : « la personne interrogée possède un télescope personnel ».

D’après l’énoncé :

64 % des personnes interrogées sont de nouveaux adhérents, ce qui se traduit par 342123-Eqn192. Par conséquent, nous avons aussi 342123-Eqn193 ;

27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel, ce qui se traduit par 342123-Eqn194 ;

65 % des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel, ce qui se traduit par 342123-Eqn195. Par conséquent, nous avons aussi 342123-Eqn196.

Nous pouvons résumer tout ceci avec l’arbre pondéré suivant :

matT_1606_13_00C_05

La probabilité demandée est la probabilité qu’un adhérent choisi au hasard possède un télescope personnel, soit 342123-Eqn197. D’après la formule des probabilités totales :

342123-Eqn198

La probabilité qu’un adhérent choisi au hasard possède un télescope personnel est 0,494.

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’un adhérent choisi au hasard soit un nouvel adhérent sachant qu’il possède un télescope personnel s’écrit 342123-Eqn199 :

342123-Eqn200.

Sachant qu’un adhérent possède un télescope personnel, la probabilité que ce soit un nouvel adhérent est d’environ 0,453.

partie C

Exploiter un intervalle de fluctuation

L’astronome fait l’hypothèse que la proportion de la population du village favorable à la coupure de l’éclairage nocturne est 342123-Eqn201

Il constate que, sur un échantillon de taille 342123-Eqn202 habitants, 54 d’entre eux sont favorables à la coupure de courant nocturne, soit une fréquence 342123-Eqn203, dans cet échantillon, d’habitants favorables à la coupure de courant nocturne. Comme 342123-Eqn204 et que 342123-Eqn205, un intervalle de fluctuation pour la fréquence, dans un échantillon de taille 342123-Eqn206, de personnes favorables à la coupure de courant nocturne est :

342123-Eqn207.

Puisque la fréquence 342123-Eqn208 appartient à cet intervalle de fluctuation, l’astronome ne peut remettre en question l’hypothèse faite sur 342123-Eqn209Le résultat de ce sondage ne peut donc l’amener à changer d’avis.

Remarque : on aurait tout aussi bien pu utiliser l’intervalle de fluctuation vu en classe de première construit avec une loi binomiale, ou l’intervalle de fluctuation asymptotique vu en terminale, à condition de vérifier au préalable dans ce cas les conditions d’utilisation dudit intervalle.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

▶ 1. Étudier l’alignement de points

342123-Eqn210 est l’affixe du point A de coordonnées 342123-Eqn211.

342123-Eqn212 est l’affixe du point B de coordonnées 342123-Eqn213.

342123-Eqn214 est l’affixe du point C de coordonnées 342123-Eqn215.

Il s’ensuit 342123-Eqn216 et 342123-Eqn217.

Les coordonnées des vecteurs 342123-Eqn218 et 342123-Eqn219 n’étant pas proportionnelles, les vecteurs 342123-Eqn220 et 342123-Eqn221 ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés.

La proposition 1 est vraie.

Autre méthode

342123-Eqn222 et 342123-Eqn223.

Les affixes des vecteurs 342123-Eqn224 et 342123-Eqn225 n’étant pas proportionnelles, les vecteurs 342123-Eqn226 et 342123-Eqn227 ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés. La proposition 1 est vraie.

▶ 2. Déterminer un entier sous contrainte

Posons 342123-Eqn228. En développant, nous avons 342123-Eqn229.

Gagnez des points !

Vérifiez vos résultats à l’aide de la calculatrice.

Le module du nombre complexe 342123-Eqn230 est 342123-Eqn231. Le nombre complexe 342123-Eqn232 étant non nul, un argument 342123-Eqn233 de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que :

342123-Eqn234

D’après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que 342123-Eqn235 est un argument de 342123-Eqn236

Ainsi, nous avons 342123-Eqn237.

Intéressons-nous désormais au nombre complexe 342123-Eqn238, 342123-Eqn239 désignant un entier naturel non nul. Par le point précédent, nous avons :

342123-Eqn240.

Notez bien

Pour tout nombre complexe 342123-Eqn241 pour tous entiers naturels 342123-Eqn242 et 342123-Eqn243342123-Eqn244

Or, 342123-Eqn245 et 342123-Eqn246.

Notez bien

342123-Eqn247 ; 342123-Eqn248.

Mais, 342123-Eqn249. Par suite, 342123-Eqn250.

Or, pour 342123-Eqn251 nous avons 342123-Eqn252. Il existe alors un entier non nul 342123-Eqn253342123-Eqn254 tel que 342123-Eqn255 soit un réel strictement positif 342123-Eqn256La proposition 2 est fausse.

▶ 3. Étudier la nature d’un polygone

Proposition 3

Notez bien

L’intersection de deux plans sécants est une droite.

Les points B et D appartiennent clairement au plan (BDL) mais aussi au plan (ABC). Comme le point L n’appartient pas au plan (ABC), les plans (BDL) et (ABC) sont sécants : la droite (BD) est leur intersection. Par suite, le plan (BDL) et la face ABCD sont sécants : leur intersection est le segment [BD].

matT_1606_13_00C_06

Similairement au point précédent, les points B et L appartiennent aux plans (BDL) et (ABF). Comme le point D n’appartient pas au plan (ABF), le plan (BDL) et la face ABFE sont alors sécants : leur intersection est le segment [BL].

matT_1606_13_00C_07

Notez bien

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (BDL) coupe le plan (ABC) suivant la droite (BD). Alors, le plan (BDL) coupe le plan (EFG) suivant une droite qui est parallèle à la droite (BD). Comme le point L appartient aux plans (EFG) et (BDL), cette droite passe alors par L. L’intersection des plans (EFG) et (BDL) est donc la parallèle à la droite (BD) passant par L. Cette droite coupe le segment [EH] en un point que nous noterons M. Le plan (BDL) et la face EFGH sont alors sécants : leur intersection est le segment [LM].

matT_1606_13_00C_08

Les points M et D appartiennent aux plans (BDL) et (ADH). Comme le point L n’appartient pas au plan (ADH), les plans (BDL) et (ADH) sont alors sécants : la droite (MD) est leur intersection. Le plan (BDL) et la face ADHE sont sécants : leur intersection est le segment [MD].

La proposition 3 est fausse.

matT_1606_13_00C_09

Proposition 4

Considérons le repère orthonormé 342123-Eqn257

Par la relation de Chasles, nous avons 342123-Eqn258. Comme ABCDEFGH est un cube, il s’ensuit que : 342123-Eqn259.

Le vecteur 342123-Eqn260 a alors pour coordonnées 342123-Eqn261

Par la relation de Chasles, nous avons 342123-Eqn262. Comme, d’après l’énoncé, 342123-Eqn263 qui est équivalent à 342123-Eqn264 et que ABCDEFGH est un cube, il s’ensuit que :

342123-Eqn265.

Le vecteur 342123-Eqn266 a alors pour coordonnées 342123-Eqn267

Comme 342123-Eqn268 alors les vecteurs 342123-Eqn269 et 342123-Eqn270 ne sont pas orthogonaux. Les droites (BD) et (BL) dont le point commun est B, ne sont alors pas perpendiculaires. Le triangle DBL n’est pas rectangle en B. La proposition 4 est fausse.

▶ 4. Proposer un contre-exemple

Une fonction 342123-Eqn271 définie sur l’intervalle 342123-Eqn272 dont le tableau de variations serait celui donné dans l’énoncé, est naturellement continue sur cet intervalle mais aussi positive (pour tout 342123-Eqn273, 342123-Eqn274). Par suite, l’intégrale 342123-Eqn275 est l’aire exprimée en unités d’aire du domaine plan délimité dans un repère orthogonal par 342123-Eqn276 la courbe représentative de la fonction 342123-Eqn277 l’axe des abscisses et les droites d’équations 342123-Eqn278 et 342123-Eqn279

Considérons 342123-Eqn280 la fonction affine définie par morceaux sur l’intervalle 342123-Eqn281 dont la courbe représentative est donnée ci-après :

matT_1606_13_00C_10

Les points en bleu ont respectivement pour coordonnées 342123-Eqn282 puis 342123-Eqn283 et enfin 342123-Eqn284

Cette fonction affine par morceaux admet bien pour tableau de variations le tableau donné dans l’énoncé. Mais, par la relation de Chasles, nous avons :

342123-Eqn285

Notez bien

342123-Eqn286 et342123-Eqn287

En utilisant les formules d’aires de figures usuelles, nous en déduisons que :

342123-Eqn288 ;

342123-Eqn289 ;

342123-Eqn290 ; 342123-Eqn291

342123-Eqn292 et 342123-Eqn293.

Et par suite, 342123-Eqn294. La proposition 5 est fausse.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

▶ 1. Étudier le chiffre des unités de n2 + n

Pour tout entier naturel 342123-Eqn295 il existe des entiers 342123-Eqn296 et 342123-Eqn297 ℕ tels que 342123-Eqn298, 342123-Eqn299 est le chiffre des unités de 342123-Eqn300

Par conséquent, 342123-Eqn301 et 342123-Eqn302

u

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

u2 + u

0

2

6

12

20

30

42

56

72

90

D’après ce tableau, le chiffre des unités de 342123-Eqn305 n’est jamais égal à 4, donc, pour tout entier naturel 342123-Eqn306 le chiffre des unités de 342123-Eqn307 n’est jamais égal à 4. La proposition 1 est vraie.

▶ 2. Étudier la convergence d’une suite

Pour tout entier naturel 342123-Eqn308 :

1 divise 342123-Eqn309 et 1 divise 20 donc 1 divise 342123-Eqn310 et 342123-Eqn311.

342123-Eqn312 divise 20 donc 342123-Eqn313.

Ainsi 342123-Eqn314 et, pour tout entier naturel 342123-Eqn315342123-Eqn316, soit 342123-Eqn317.

Comme 342123-Eqn318 et 342123-Eqn319 d’après le théorème des gendarmes, 342123-Eqn320.

La suite 342123-Eqn321 est convergente et sa limite est 0. La proposition 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la commutativité du produit matricel

Considérons les matrices 342123-Eqn322 et 342123-Eqn323

On a :

Notez bien

Pensez à vérifier vos calculs à la calculatrice.  C5 

342123-Eqn324

342123-Eqn325

On constate que 342123-Eqn326La proposition 3 est fausse.

▶ 4. Exploiter une matrice de transition

Proposition 4

Si l’on considère la matrice 342123-Eqn327 fournie dans l’énoncé, le graphe probabiliste associé à cette situation est :

matT_1606_13_00C_11

Ainsi, si le mobile se trouve dans la position A à l’étape 342123-Eqn328 la probabilité qu’il se trouve dans la position B à l’étape 342123-Eqn329 est 0,45. Par conséquent, pour tout entier naturel 342123-Eqn330342123-Eqn331. La proposition 4 est vraie.

Proposition 5

On détermine la matrice 342123-Eqn332

342123-Eqn333

Par conséquent, 342123-Eqn334 et 342123-Eqn335

Maintenant :

342123-Eqn336

Comme 342123-Eqn337 et 342123-Eqn338 figurent dans la matrice d’état initial 342123-Eqn339 on a 342123-Eqn340342123-Eqn341 et 342123-Eqn342. Par conséquent, l’égalité 342123-Eqn343 est absurde. La proposition 5 est fausse.