Sujet complet de Polynésie française 2017

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Polynésie française

Polynésie française • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet de Polynésie française 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Loi exponentielle • Probabilités conditionnelles • Intervalle de fluctuation

Exercice 2 – Compléments sur les fonctions

Exercice 3 – Géométrie dans l’espace

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Fonction logarithme • Calcul intégral

Exercice 4 (spécialité) – Arithmétique

 

Exercice 1 (6 points) 65 min
Durées d’attente et satisfaction

Commun à tous les candidats

La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d’assistance téléphonique : le client doit d’abord signaler s’il est client Internet ou s’il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Si nécessaire, les résultats seront arrondis à 10–3.

partie a : durée d’attente

1. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client Internet lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. Une étude permet de modéliser cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D1, qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,6.

a) Quelle est la durée d’attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d’assistance ?

b) Calculer la probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes.

2. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client mobile lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D2 qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, λ étant un réel strictement positif.

a) Sachant que P(D2  4) = 0,798, déterminer la valeur de λ.

b) En prenant λ = 0,4, peut-on considérer que moins de 10 % des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur ?

partie b : obtention d’un opérateur

Si la durée d’attente avant l’obtention d’un opérateur dépasse 5 minutes, l’appel prend automatiquement fin. Sinon, l’appelant obtient un opérateur.

On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d’assistance.

On admet que la probabilité que l’appel émane d’un client Internet est 0,7.

De plus, d’après la partie A, on prend les données suivantes :

si l’appel provient d’un client Internet, alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,95 ;

si l’appel provient d’un client mobile, alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,87.

1. Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur.

2. Un client se plaint que son appel a pris fin après 5 minutes d’attente sans avoir obtenu d’opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile ?

partie c : enquête de satisfaction

La société annonce un taux de satisfaction de 85 % pour ses clients ayant appelé et obtenu un opérateur.

Une association de consommateurs souhaite vérifier ce taux et interroge 1 303 personnes. Parmi celles-ci, 1 150 se disent satisfaites. Que pensez-vous du taux de satisfaction annoncé par la société ?

Exercice 2 (5 points) 60 min
Un cône de volume maximal

Commun à tous les candidats

matT_1706_13_00C_01

Dans un disque en carton de rayon R, on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle α pour obtenir un cône de volume maximal.

On appelle l le rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur.

On rappelle que :

le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire 𝒜 et de hauteur h est 13Ah ;

la longueur d’un arc de cercle de rayon r et d’angle θ, exprimé en radians, est rθ.

1. On choisit R = 20 cm.

a) Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est V(h= 13π(400 – h2)h.

b) Justifier qu’il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.

c) Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de α au degré près.

2. L’angle α dépend-il du rayon R du disque en carton ?

Exercice 3 (4 points) 55 min
La molécule de méthane

Commun à tous les candidats

matT_1706_13_00C_02

Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH4 de la façon suivante :

les noyaux d’atomes d’hydrogène occupent les positions des quatre sommets d’un tétraèdre régulier ;

le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d’hydrogène.

L’objectif est de déterminer une mesure de l’angle entre deux liaisons carbone-hydrogène.

Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

1. Justifier qu’on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d’hydrogène sur les sommets A et C du cube et les deux autres atomes d’hydrogène sur deux autres sommets du cube.

Représenter la molécule dans le cube donné :

matT_1706_13_00C_03

Dans la suite de l’exercice, on pourra travailler dans le repère (A;AB,AD,AE).

2. Démontrer que l’atome de carbone est au centre Ω du cube.

3. Déterminer l’arrondi au dixième de degré de la mesure de l’angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène c’est-à-dire l’angle AΩC^.

Exercice 4 (5 points) 60 min
Chute d’une goutte d’eau

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On s’intéresse à la chute d’une goutte d’eau qui se détache d’un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d’établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m  s–1, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute t est donnée par la fonction v définie ainsi : pour tout réel positif ou nul t, v(t)=9,81mk(1ekm t) ; la constante m est la masse de la goutte en milligrammes et la constante k est un coefficient strictement positif lié au frottement de l’air.

On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a : cas général

1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d’eau.

2. La goutte ralentit-elle au cours de sa chute ?

3. Montrer que limt+v(t)=9,81mk. Cette limite s’appelle vitesse limite de la goutte.

4. Un scientifique affirme qu’au bout d’une durée de chute égale à 5mk, la vitesse de la goutte dépasse 99 % de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?

partie b

Dans cette partie, on prend m = 6 et k = 3,9.

À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 15 m  s–1.

1. Depuis combien de temps la goutte s’est-elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde.

2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s’est détachée du nuage et l’instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m  s–1.

Exercice 4 (5 points) 60 min
Codons et décodons

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant.

À chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier n comme indiqué ci-dessous :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

On choisit deux entiers a et b compris entre 0 et 25.

Tout nombre entier n compris entre 0 et 25 est codé par le reste de la division euclidienne de an + b par 26.

Le tableau suivant donne les fréquences f en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français.

Lettre

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

f

9,42

1,02

2,64

3,38

15,87

0,94

1,04

0,77

8,41

0,89

0,00

5,33

3,23

Lettre

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

f

7,14

5,13

2,86

1,06

6,46

7,90

7,26

6,24

2,15

0,00

0,30

0,24

0,32

partie a

Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L’analyse fréquentielle du texte codé a montré qu’il contient 15,9 % de O et 9,4 % de E.

On souhaite déterminer les nombres a et b qui ont permis le codage.

1. Quelles lettres ont été codées par les lettres O et E ?

2. Montrer que les entiers a et b sont solutions du système :

{4a+b14 [26]b4 [26].

3. Déterminer tous les couples entiers (a, b) ayant pu permettre le codage de ce texte.

partie b

1. On choisit a = 22 et b = 4.

a) Coder les lettres K et X.

b) Ce codage est-il envisageable ?

2. On choisit a = 9 et b = 4.

a) Montrer que pour tous entiers naturels n et m, on a :

m9n+4 [26]n3m+14 [26].

b) Décoder le mot AQ.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. a) Pensez à la notion d’espérance.

2 a) Écrivez la probabilité P(D24) en fonction du paramètre λ. Résolvez ensuite, dans , l’équation induite par l’information donnée dans l’énoncé.

2. b) Calculez P(D2>5).

Partie B

1. Représentez la situation par un arbre pondéré.

2. Calculez P O¯(I) et P O¯( I¯). Comparez-les et concluez.

Partie C

Pensez à la notion d’intervalle de fluctuation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

1. c) Remarquez que le périmètre du disque de base du cône est égal à celui du disque en carton diminué de la longueur de l’arc de cercle d’angle α.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

2. Déterminez les coordonnées du centre Ω du cube en remarquant qu’il est le milieu des diagonales. Calculez ensuite les longueurs ΩA, ΩC, ΩF et ΩH pour conclure.

3. Pensez aux formules d’Al-Kashi étudiées en classe de Première et exploitez les calculs de la question 2. pour conclure.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Partie B

1. Pensez à résoudre l’équation v( t ) = 15 en utilisant les valeurs m = 6 et k = 3,9 fournies.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

2. Suivez le procédé de cryptage donné dans l’énoncé à partir des lettres codées respectivement en O et en E (question 1.).

3. Résolvez le système d’équations de la question 2.

Partie B

1. a) Suivez encore une fois le procédé de cryptage, mais cette fois-ci pour les lettres K et X.

2. b) Utilisez la question 2. a) en remarquant que l’entier n est l’entier associé à la lettre à coder et que l’entier m est l’entier associé à la lettre codée.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

1. a) Calculer une espérance dans le cadre d’une loi exponentielle  E41c 

À noter

1 min correspond à 60 s ; 23 min correspond à 23×60=40 s.

La durée d’attente moyenne, exprimée en minutes, correspond à l’espérance de D1 notée E(D1) et est égale à 10,6=53=1+23.

Cette durée d’attente moyenne est donc d’une minute et de quarante secondes.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle  E40a • E40c 

Retenez bien !

Si D est une variable aléatoire continue, alors pour tout réel a, P(D = a) = 0.

La probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à cinq minutes est donnée par P(D1 < 5), soit P(D1  5) car D1 suit une loi continue.

La densité f associée à la variable aléatoire D1 qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,6 est donnée par :

f(t)={0sit<00,6e0,6tsit0

Retenez bien !

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur l’intervalle [;+[ est : xeλx.

On a alors : P(D15)=050,6e0,6tdt=[e0,6t]05=e0,6×5(e0,6×0)=1e30,950.

La probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à cinq minutes est environ 0,950.

2. a) Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle  E40a • E40c 

En raisonnant de manière analogue à la question précédente, on a :

P(D24)=[eλt]04=1e4λ.

D’après l’énoncé, cette probabilité, probabilité qu’un client mobile attende moins de quatre minutes lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur, est égale à 0,798. Par suite, on a :

Notez bien !

Pour tous réels a > 0 et b > 0 : a=bln(a)=ln(b).

Pour tout réel c : ln(ec)=c.

P(D24)=0,7981e4λ=0,798e4λ=0,202ln(e4λ)=ln(0,202)4λ=ln(0,202)λ=ln(0,202)4.

La valeur de λ est ln(0,202)4 soit environ 0,4.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle  E34 • E40a • E40c 

La probabilité qu’un client mobile attende plus de cinq minutes lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur est P(D2>5). Les événements {D2>5} et {D25} étant des événements contraires, on a : P(D2>5)=1P(D25). En raisonnant de manière analogue aux questions 1. b) et 2. a), il s’ensuit que :

P(D2>5)=1P(D25)=1(1e0,4×5)=e2.

Comme e20,135>0,10 on ne peut pas considérer que moins de 10 % des clients mobiles choisis au hasard attendent plus de cinq minutes avant de joindre un opérateur.

partie b

1. Calculer une probabilité  E34 • E37 

Considérons les événements suivants :

I : « l’appel émane d’un client Internet » ;

O : « le client obtient un opérateur ».

À noter !

I¯ est l’événement contraire de l’événement I : « l’appel émane d’un client mobile ».

O¯ est l’événement contraire de l’événement O : « le client n’obtient pas un opérateur ».

La probabilité que l’appel émane d’un client Internet est 0,7 ce qui se traduit parP(I)= 0,7. Par conséquent, on a aussiP( I¯)=1P(I)=0,3.

Si l’appel provient d’un client Internet, alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,95 ce qui se traduit par PI(O)=0,95. Par conséquent, on a aussi : PI( O¯)=1PI(O)=10,95=0,05.

Si l’appel provient d’un client mobile, alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,87 ce qui se traduit par P I¯(O)=0,87. Par conséquent, on a aussi : P I¯( O¯)=1P I¯(O)=10,87=0,13.

Nous pouvons résumer tout ceci avec l’arbre pondéré suivant :

matT_1706_13_00C_04

La probabilité demandée est la probabilité qu’un client choisi au hasard joigne un opérateur, soit P(O). D’après la formule des probabilités totales :

P(O)=P(IO)+P( I¯O)=P(I)×PI(O)+P( I¯)×P I¯(O)=0,7×0,95+0,3×0,87=0,926.

La probabilité que le client joigne un opérateur est 0,926.

2. Calculer une probabilité conditionnelle  E34 • E35 • E37 

La probabilité qu’un client qui appelle la ligne d’assistance soit un client Internet sachant qu’il n’a pas obtenu d’opérateur s’écrit : P O¯(I). On a :

P O¯(I)=P( O¯I)P( O¯)=P(I)×PI( O¯)P( O¯)=0,7×0,0510,926=35740,473.

La probabilité qu’un client qui appelle la ligne d’assistance soit un client mobile sachant qu’il n’a pas obtenu d’opérateur s’écrit : P O¯( I¯). On a :

P O¯( I¯)=P( O¯ I¯)P( O¯)=P( I¯)×P I¯( O¯)P( O¯)=0,3×0,1310,926=39740,527.

Remarque

P O¯(I)+P O¯( I¯)=1.

Comme P O¯(I)<P O¯( I¯), il est plus probable que ce soit un client mobile.

partie c

Exploiter un intervalle de fluctuation  E43 

D’après la société, la proportion p de clients satisfaits (ayant appelé et obtenu un opérateur) est égale à 0,85. L’association de consommateurs a, quant à elle, interrogé 1 303 personnes : la taille de l’échantillon considéré ici est par suite n = 1 303.

Comme n = 1 303 30, n × p = 1 303 × 0,85 = 1 107,55 5 et n×(1p)=1303×0,15=195,455, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de clients satisfaits dans un échantillon de taille 1 303 est ainsi défini et donné par :

I=[p1,96p×(1p)n;p+1,96p×(1p)n]=[0,851,960,85×0,151  303;0,85+1,960,85×0,151  303][0,831;0,869].

La fréquence de clients satisfaits dans l’échantillon considéré par l’association de consommateurs est égale à f=115013030,883.

Comme f n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l’annonce de la société avec un risque de 5 % de se tromper.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

1. a) Établir une formule pour le volume d’un cône

L’aire du disque de base du cône est donnée par la formule A= πl2.

matT_1706_13_00C_05

En reprenant la figure de l’énoncé, nous avons, dans le triangle rectangle en pointillés, d’après le théorème de Pythagore :

R2=l2+h2l2=R2h2=202h2=400h2.

Nous obtenons ainsi A = π(400h2).

Le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est donc :

V(h)=13π×(400h2)×h.

b) Déterminer un maximum  E6c • E6e • E6f 

h désigne une longueur donc h 0. Pour que le cône soit réalisable, h ne peut dépasser R donc h R. Finalement, h appartient à l’intervalle [0;R]=[0;20].

D’après la question 1. a), pour tout h[0;20], V(h)=13π(400h2)×h=π3(400hh3). La fonction V est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur [0;20].

Pour tout h[0;20], V(h)=π3(4003h2).

Comme π3>0, le signe de V(h) est celui de 4003h2. Or :

4003h2=0h2=4003h=203ouh=203.

La valeur h=203 est exclue puisque cette valeur n’appartient pas à l’intervalle [0;20]. Le polynôme 4003h2 est du signe de – 3 à l’extérieur des racines. Nous en déduisons le tableau de signes de V(h).

h

0

 

203

 

20

Signe de V(h)

 

+

0

 

Par conséquent, V est strictement croissante sur [0;203] et strictement décroissante sur [203;20]. La fonction V admet donc un maximum en h=203 sur l’intervalle [0;20].

Il existe une valeur qui rend le volume du cône maximal. Cette valeur est h=203.

c) Déterminer la mesure d’un angle sous contrainte

Le volume V est maximal pour h=203.

Dans ce cas, l2=400h2=400(203)2=4004003=8003 et l=2023.

Le périmètre du cercle délimitant le disque de base du cône est donc égal à 2πl=40π23.

Ce périmètre est aussi égal au périmètre du cercle délimitant le disque en carton de rayon R = 20 diminué de la longueur de l’arc de cercle de rayon R = 20 et d’angle α (en radians). D’après le point précédent et d’après l’énoncé (2e rappel), nous obtenons donc :

40π23=2πRRα=40π20α.

Cela donne alors :

20α=40π40π23α=2π2π23=2π(123).

Puisque α est exprimé en radians et que 2π radians correspondent à 360°, nous obtenons :

α=2π(123)rad=360×(123) degrés.

Avec la calculatrice, on obtient finalement α 66°.

Pour avoir un volume maximal, il faut découper le disque en carton de façon à avoir un angle α d’environ 66°.

2. Étudier une situation dans le cas général

Reprenons les calculs des questions 1. b) et 1. c) en remplaçant la valeur particulière 20 par la lettre R.

Nous obtenons h=R3 et l=R23.

L’équation à résoudre est désormais 2πR23=2πRRα.

Elle équivaut à 2π23=2πα soit :

α=2π2π23=2π(123).

L’angle α ne dépend donc pas du rayon R du disque en carton.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

1. Justifier l’inscription d’un tétraèdre dans un cube

Positionnons les atomes d’hydrogène sur les sommets A, C, F et H.

Puisque ABCDEFGH est un cube, toutes ses faces sont des carrés identiques dont les diagonales ont toutes la même longueur. Par conséquent, nous avons AC = CF = AF = AH = HF = HC. Les arêtes du tétraèdre ACFH sont donc toutes d’égale longueur, les quatre faces du tétraèdre sont ainsi des triangles équilatéraux et le tétraèdre ACFH est un tétraèdre régulier.

On peut donc inscrire le tétraèdre formé par les noyaux d’hydrogène dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d’hydrogène sur les sommets A et C, les deux autres sur les sommets F et H.

matT_1706_13_00C_06

2. Déterminer la position d’un atome  E29 

Dans le repère proposé, nous avons : A(0 ; 0 ; 0), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0) et H(0 ; 1 ; 1).

Le centre Ω du cube est le milieu des diagonales ; c’est en particulier le milieu de [AG].

matT_1706_13_00C_07

Ainsi : xΩ=xA+xG2=0+12=0,5, yΩ=yA+yG2=0+12=0,5 et zΩ=zA+zG2=0+12=0,5.

Le point Ω a donc pour coordonnées (0,5 ; 0,5 ; 0,5).

Ensuite, nous avons :

ΩA=(xAxΩ)2+(yAyΩ)2+(zAzΩ)2=(00,5)2+(00,5)2+(00,5)2=0,75

ΩC=(xCxΩ)2+(yCyΩ)2+(zCzΩ)2=(10,5)2+(10,5)2+(00,5)2=0,75

ΩF=(xFxΩ)2+(yFyΩ)2+(zFzΩ)2=(10,5)2+(00,5)2+(10,5)2=0,75

ΩH=(xHxΩ)2+(yHyΩ)2+(zHzΩ)2=(00,5)2+(10,5)2+(10,5)2=0,75.

Ω est donc équidistant des quatre sommets A, C, F et H qui symbolisent les atomes d’hydrogène : l’atome de carbone est donc au centre Ω du cube.

3. Déterminer la mesure d’un angle

Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, nous avons :

AC2=AB2+BC2.

Puisque, dans le repère orthonormé proposé, nous avons AB = BC = 1, il s’ensuit :

AC2=AB2+BC2=12+12=2 et AC=2.

Formules d’Al-Kashi

Soient A, B et C trois points distincts non alignés du plan.

Posons a = BC, b = AC et c = AB.

Dans le triangle ABC :

a2=b2+c22bccos(A^) ;

b2=a2+c22accos(B^) ;

c2=a2+b22abcos(C^).

Dans le triangle ΩAC, d’après les formules d’Al-Kashi, nous avons :

AC2=ΩC2+ΩA22ΩC×ΩA×cosAΩC^.

En exploitant les résultats de la question 2., nous obtenons, à partir de la relation ci-dessus :

cosAΩC^= ΩC2+ΩA2AC22ΩC×ΩA=0,75+0,7522×0,75×0,75 =0,51,5=13

et AΩC^109,5°.

L’angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène mesure environ 109,5°.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

partie a

1. Étudier les variations d’une fonction  E6d • E8d • E8e 

La fonction tkmt est une fonction affine dérivable sur [0;+[. La fonction exponentielle est dérivable sur . Par composition, la fonction u:tekmt est dérivable sur [0;+[. La fonction affine x9,81mk(1x) est dérivable sur . Par composition avec la fonction u, nous en déduisons que la fonction v:t9,81mk(1ekmt) est dérivable sur [0;+[.

Notez bien !

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

Pour tout t[0;+[ : v(t)=9,81×mk×((km)×ekmt)=9,81ekmt. Puisque, pour tout t[0;+[, ekmt>0, nous en déduisons que v(t)> 0 sur [0;+[ et que v est strictement croissante sur [0;+[.

La vitesse de la goutte d’eau est une fonction strictement croissante sur [0;+[.

2. Exploiter les variations d’une fonction

D’après la question précédente, la vitesse v de la goutte d’eau est une fonction strictement croissante sur [0;+[. Autrement dit, si le temps augmente, alors la vitesse de la goutte augmente.

La goutte ne ralentit donc pas au cours de sa chute.

3. Calculer une limite  E5a • E5b 

Puisque limt+kmt= et limXeX=0, alors, par composition, limt+ekmt=0. Par différence et produit, nous obtenons : limt+v(t)=limt+9,81mk(1ekmt)=9,81mk(10)=9,81mk.

4. Étudier la cohérence d’une affirmation

Pour une durée de chute égale à t=5mk, nous avons :

v(t)=9,81mk(1ekm×5mk)=9,81mkvitesse limite×(1e5)0,9932.

Pour t=5mk, la vitesse de la goutte valant environ 99,32 % de sa vitesse limite, elle dépasse 99 % de sa vitesse limite.

L’affirmation du scientifique est donc correcte.

Partie B

1. Déterminer le temps de chute d’une goutte  E9a • E9e 

La vitesse instantanée de la goutte est de 15 m  s–1. Nous avons donc v(t= 15.

En prenant m = 6 et k = 3,9, nous obtenons :

Notez bien !

Pour tous réels a > 0 et b > 0 : a=bln(a)=ln(b).

Pour tout réel c : ln(ec)=c.

v(t)=159,81×63,9×(1e3,96×t)=151e0,65t=15×3,99,81×6=325327e0,65t=23270,65t=ln(2327)t=10,65ln(2327).

Nous obtenons à la calculatrice t 7,8 s.

La goutte s’est donc détachée de son nuage depuis 7,8 s si sa vitesse instantanée mesurée est de 15 m  s–1.

2. Calculer une vitesse moyenne  E11c • E13• E15a • E15d 

La vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s’est détachée du nuage et l’instant t où on a mesuré sa vitesse instantanée de 15 m  s–1 est donnée par : vm=17,8007,8v(t)dt.

Retenez bien !

Une primitive sur [0;7,8] de la fonction tekmt est tmkekmt.

vm=17,8×07,89,81mk(1ekmt)dt=17,8×9,81×mk×07,8(1ekmt)dt(linéarité)=327169×07,8(1e0,65t)dt(m=6etk=3,9)=327169[t+63,9e0,65t]07,8=327169[(7,8+63,9e0,65×7,8)(0+63,9e0)]=327169(7,8+63,9e5,0763,9)12,1.

La vitesse moyenne de la goutte entre le moment où elle s’est détachée du nuage et l’instant où l’on a mesuré sa vitesse instantanée de 15 m  s–1 est d’environ 12,1 m  s–1.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

1. Extraire des informations d’un tableau

Dans le texte codé, on a constaté 15,9 % de lettres O. La fréquence la plus proche dans le tableau donnant les fréquences en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français (non codé) est 15,87 %. Cette fréquence correspond à la lettre E.

Ainsi, la lettre E a été codée par la lettre O.

Similairement, dans le texte codé, on a constaté 9,4 % de lettres E. La fréquence la plus proche dans le tableau évoqué précédemment est 9,42 % correspondant à la lettre A.

Ainsi, la lettre A a été codée par la lettre E.

2. Justifier un système d’équations

En suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre E l’entier 4. Ensuite, on effectue la division euclidienne de a × 4 + b, soit 4a + b par 26. Par cette division euclidienne, il existe un unique couple d’entiers naturels (q ; r) tel que 4a + b = 26 × q + r où 0 r 25. Or, d’après la question précédente, la lettre E est codée par la lettre O qui est associée à l’entier naturel 14 (d’après le tableau de l’énoncé), ainsi r = 14. On a alors 4a + b = 26 × q + 14 ce qui s’écrit aussi 4a + b  14 [26].

Similairement, on associe à la lettre A l’entier 0. D’après la question précédente, cette lettre est codée par la lettre E associée à l’entier 4. Il existe alors un entier naturel q tel que a × 0 + b = 26 × q + 4. Ainsi, on a b = 26 × q + 4 ce qui s’écrit aussi b  4 [26].

Les entiers a et b sont donc solutions du système {4a+b14[26]b4[26].

3. Déterminer toutes les solutions d’un système d’équations

Résolvons le système suivant : {4a+b14[26]b4[26].

b  4 [26] signifie qu’il existe un entier k tel que b = 4 + 26k. Or, l’entier b doit être compris entre 0 et 25 et 0b2504+26k25426k21213k2126.

Il existe un unique entier k qui vérifie 213k2126 : k = 0. On en conclut que : b = 4 + 26 × 0 = 4.

D’après le point précédent, on a 4a + b  14 [26] 4a + 4  14 [26] 4a  10 [26].

Le reste de la division euclidienne de 4a par 26 doit ainsi être égal à 10. Calculons ce reste pour tout entier naturel a compris entre 0 et 25 (contrainte donnée dans l’énoncé) :

a

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4a

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

Reste

0

4

8

12

16

20

24

2

6

10

14

18

22

a

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

4a

52

56

60

64

68

72

76

80

84

88

92

96

100

Reste

0

4

8

12

16

20

24

2

6

10

14

18

22

L’entier a pourrait donc prendre les valeurs 9 et 22.

Rassurez-vous !

Ces résultats ne sont pas surprenants : lisez les énoncés des questions 1 et 2 de la partie B.

Les couples d’entiers (a, b) ayant pu permettre le codage de ce texte sont (9, 4) et (22, 4).

partie b

1. a) Suivre une procédure

En suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre K l’entier 10. Ensuite, on effectue la division euclidienne de 22 × 10 + 4 = 224 par 26. Par cette division euclidienne, on a : 224 = 26 × 8 + 16. Le reste de cette division étant 16, la lettre K est codée par la lettre Q.

De même, en suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre X l’entier 23. Ensuite, on effectue la division euclidienne de 22 × 23 + 4 = 510 par 26. Par cette division euclidienne, on a : 510 = 26 × 19 + 16. Le reste de cette division étant 16, la lettre X est codée par la lettre Q.

b) Argumenter

D’après la question précédente, la lettre Q code à la fois les lettres K et X. Ces lettres une fois codées devenant indiscernables, un tel codage n’est pas envisageable.

2. a) Justifier une équivalence

On a pour tous entiers naturels n et m :

Retenez bien !

Soient a, b et k des entiers relatifs. Si ab[26] alors kakb[26].

Notez bien !

271[26] et 1214[26].

m9n+4[26]3×m3×9n+3×4[26]3m27n+12[26]3mn+12[26]3m12n[26]3m+14n[26]n3m+14[26]

Réciproquement, pour tous entiers naturels n et m :

n3m+14[26]9×n9×3m+9×14[26]9n27m+126[26]9nm+126[26]9n126m[26]9n+4m[26]m9n+4[26]

Ainsi, pour tous entiers naturels n et m, m9n+4[26]n3m+14[26].

b) Prendre une initiative et argumenter

La lettre A est associée à l’entier 0 (m=0). D’après la question 2. a) de la partie B, on a :

09n+4[26]n3×0+14[26]n14[26].

L’entier n étant compris entre 0 et 25, on en déduit que n = 14 qui est associé d’après le tableau à la lettre O.

La lettre Q est associée à l’entier 16 (m=16). D’après la question 2. a) de la partie B, on a :

169n+4[26]n3×16+14[26]n62[26].

Notez bien !

62 = 2 × 26 + 10 donc 6210[26].

L’entier n étant compris entre 0 et 25, on en déduit que n = 10 qui est associé d’après le tableau à la lettre K.

Le mot AQ est décodé en le mot OK.