Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

▶ 1. a) Calculer une espérance dans le cadre d'une loi exponentielle  E41c 

La durée d'attente moyenne, exprimée en minutes, correspond à l'espérance de D1 notée E(D1) et est égale à 10,6=53=1+23.

Cette durée d'attente moyenne est donc d'une minute et de quarante secondes.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle  E40a • E40c 

La probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à cinq minutes est donnée par P(D1 5), soit P(D1 ≤ 5) car D1 suit une loi continue.

La densité f associée à la variable aléatoire D1 qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,6 est donnée par :

f(t)={0sit<mn>0</mn>0,6e−0,6tsit≥0

On a alors : P(D1≤5)=∫050,6e−0,6tdt=[−e−0,6t]05=−e−0,6×5−(−e−0,6×0)=1−e−3≈0,950.

La probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à cinq minutes est environ 0,950.

▶ 2. a) Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle  E40a • E40c 

En raisonnant de manière analogue à la question précédente, on a :

P(D2≤4)=[−e−λt]04=1−e−4λ.

D'après l'énoncé, cette probabilité, probabilité qu'un client mobile attende moins de quatre minutes lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur, est égale à 0,798. Par suite, on a :

P(D2≤4)=0,798⇔1−e−4λ=0,798⇔e−4λ=0,202⇔ln(e−4λ)=ln(0,202)⇔−4λ=ln(0,202)⇔λ=ln(0,202)−4.

La valeur de λ est −ln(0,202)4 soit environ 0,4.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle  E34 • E40a • E40c 

La probabilité qu'un client mobile attende plus de cinq minutes lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur est P(D2>5). Les événements {D2>5} et {D2≤5} étant des événements contraires, on a : P(D2>5)=1−P(D2≤5). En raisonnant de manière analogue aux questions 1. b) et 2. a), il s'ensuit que :

P(D2>5)=1−P(D2≤5)=1−(1−e−0,4×5)=e−2.

Comme e−2≈0,135>0,10 on ne peut pas considérer que moins de 10 % des clients mobiles choisis au hasard attendent plus de cinq minutes avant de joindre un opérateur.

partie b

▶ 1. Calculer une probabilité  E34 • E37 

Considérons les événements suivants :

I : « l'appel émane d'un client Internet » 

O : « le client obtient un opérateur ».

La probabilité que l'appel émane d'un client Internet est 0,7 ce qui se traduit parP(I)= 0,7. Par conséquent, on a aussiP( I&macr )=1−P(I)=0,3.

Si l'appel provient d'un client Internet, alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,95 ce qui se traduit par PI(O)=0,95. Par conséquent, on a aussi : PI( O&macr )=1−PI(O)=1−0,95=0,05.

Si l'appel provient d'un client mobile, alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,87 ce qui se traduit par P I&macr (O)=0,87. Par conséquent, on a aussi : P I&macr ( O&macr )=1−P I&macr (O)=1−0,87=0,13.

Nous pouvons résumer tout ceci avec l'arbre pondéré suivant :

La probabilité demandée est la probabilité qu'un client choisi au hasard joigne un opérateur, soit P(O). D'après la formule des probabilités totales :

P(O)=P(I∩O)+P( I&macr ∩O)=P(I)×PI(O)+P( I&macr )×P I&macr (O)=0,7×0,95+0,3×0,87=0,926.

La probabilité que le client joigne un opérateur est 0,926.

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle  E34 • E35 • E37 

La probabilité qu'un client qui appelle la ligne d'assistance soit un client Internet sachant qu'il n'a pas obtenu d'opérateur s'écrit : P O&macr (I). On a :

P O&macr (I)=P( O&macr ∩I)P( O&macr )=P(I)×PI( O&macr )P( O&macr )=0,7×0,051−0,926=3574≈0,473.

La probabilité qu'un client qui appelle la ligne d'assistance soit un client mobile sachant qu'il n'a pas obtenu d'opérateur s'écrit : P O&macr ( I&macr ). On a :

P O&macr ( I&macr )=P( O&macr ∩ I&macr )P( O&macr )=P( I&macr )×P I&macr ( O&macr )P( O&macr )=0,3×0,131−0,926=3974≈0,527.

Comme , il est plus probable que ce soit un client mobile.

partie c

Exploiter un intervalle de fluctuation  E43 

D'après la société, la proportion p de clients satisfaits (ayant appelé et obtenu un opérateur) est égale à 0,85. L'association de consommateurs a, quant à elle, interrogé 1 303 personnes : la taille de l'échantillon considéré ici est par suite n = 1 303.

Comme n = 1 303 ≥ 30, n × p = 1 303 × 0,85 = 1 107,55 ≥ 5 et n×(1−p)=1303×0,15=195,45≥5, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de clients satisfaits dans un échantillon de taille 1 303 est ainsi défini et donné par :

I=[p−1,96p×(1−p)np+1,96p×(1−p)n]=[0,85−1,960,85×0,151 3030,85+1,960,85×0,151 303]≈[0,8310,869].

La fréquence de clients satisfaits dans l'échantillon considéré par l'association de consommateurs est égale à f=11501303≈0,883.

Comme f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l'annonce de la société avec un risque de 5 % de se tromper.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

▶ 1. a) Établir une formule pour le volume d'un cône

L'aire du disque de base du cône est donnée par la formule A= πl2.

En reprenant la figure de l'énoncé, nous avons, dans le triangle rectangle en pointillés, d'après le théorème de Pythagore :

R2=l2+h2⇔l2=R2−h2=202−h2=400−h2.

Nous obtenons ainsi A = π(400−h2).

Le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est donc :

V(h)=13π×(400−h2)×h.

b) Déterminer un maximum  E6c • E6e • E6f 

h désigne une longueur donc h ≥ 0. Pour que le cône soit réalisable, h ne peut dépasser R donc h ≤ R. Finalement, h appartient à l'intervalle [0R]=[020].

D'après la question 1. a), pour tout h∈[020], V(h)=13π(400−h2)×h=π3(400h−h3). La fonction V est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur [020].

Pour tout h∈[020], V′(h)=π3(400−3h2).

Comme π3>0, le signe de V′(h) est celui de 400−3h2. Or :

400−3h2=0⇔h2=4003⇔h=203ouh=−203.

La valeur h=−203 est exclue puisque cette valeur n'appartient pas à l'intervalle [020]. Le polynôme 400−3h2 est du signe de – 3 à l'extérieur des racines. Nous en déduisons le tableau de signes de V′(h).

h	0		203		20
Signe de V′(h)		+	0	–

Par conséquent, V est strictement croissante sur [0203] et strictement décroissante sur [20320]. La fonction V admet donc un maximum en h=203 sur l'intervalle [020].

Il existe une valeur qui rend le volume du cône maximal. Cette valeur est h=203.

c) Déterminer la mesure d'un angle sous contrainte

Le volume V est maximal pour h=203.

Dans ce cas, l2=400−h2=400−(203)2=400−4003=8003 et l=2023.

Le périmètre du cercle délimitant le disque de base du cône est donc égal à 2πl=40π23.

Ce périmètre est aussi égal au périmètre du cercle délimitant le disque en carton de rayon R = 20 diminué de la longueur de l'arc de cercle de rayon R = 20 et d'angle α (en radians). D'après le point précédent et d'après l'énoncé (2e rappel), nous obtenons donc :

40π23=2πR−Rα=40π−20α.

Cela donne alors :

20α=40π−40π23⇔α=2π−2π23=2π(1−23).

Puisque α est exprimé en radians et que 2π radians correspondent à 360&deg , nous obtenons :

α=2π(1−23)rad=360×(1−23) degrés.

Avec la calculatrice, on obtient finalement α ≈ 66&deg .

Pour avoir un volume maximal, il faut découper le disque en carton de façon à avoir un angle α d'environ 66&deg.

▶ 2. Étudier une situation dans le cas général

Reprenons les calculs des questions 1. b) et 1. c) en remplaçant la valeur particulière 20 par la lettre R.

Nous obtenons h=R3 et l=R23.

L'équation à résoudre est désormais 2πR23=2πR−Rα.

Elle équivaut à 2π23=2π−α soit :

α=2π−2π23=2π(1−23).

L'angle α ne dépend donc pas du rayon R du disque en carton.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

▶ 1. Justifier l'inscription d'un tétraèdre dans un cube

Positionnons les atomes d'hydrogène sur les sommets A, C, F et H.

Puisque ABCDEFGH est un cube, toutes ses faces sont des carrés identiques dont les diagonales ont toutes la même longueur. Par conséquent, nous avons AC = CF = AF = AH = HF = HC. Les arêtes du tétraèdre ACFH sont donc toutes d'égale longueur, les quatre faces du tétraèdre sont ainsi des triangles équilatéraux et le tétraèdre ACFH est un tétraèdre régulier.

On peut donc inscrire le tétraèdre formé par les noyaux d'hydrogène dans un cube ABCDEFGH en positionnant deux atomes d'hydrogène sur les sommets A et C, les deux autres sur les sommets F et H.

▶ 2. Déterminer la position d'un atome  E29 

Dans le repère proposé, nous avons : A(0   0   0), F(1   0   1), G(1   1   1), C(1   1   0) et H(0   1   1).

Le centre Ω du cube est le milieu des diagonales  c'est en particulier le milieu de [AG].

Ainsi : xΩ=xA+xG2=0+12=0,5, yΩ=yA+yG2=0+12=0,5 et zΩ=zA+zG2=0+12=0,5.

Le point Ω a donc pour coordonnées (0,5  0,5  0,5).

Ensuite, nous avons :

ΩA=(xA−xΩ)2+(yA−yΩ)2+(zA−zΩ)2=(0−0,5)2+(0−0,5)2+(0−0,5)2=0,75

ΩC=(xC−xΩ)2+(yC−yΩ)2+(zC−zΩ)2=(1−0,5)2+(1−0,5)2+(0−0,5)2=0,75

ΩF=(xF−xΩ)2+(yF−yΩ)2+(zF−zΩ)2=(1−0,5)2+(0−0,5)2+(1−0,5)2=0,75

ΩH=(xH−xΩ)2+(yH−yΩ)2+(zH−zΩ)2=(0−0,5)2+(1−0,5)2+(1−0,5)2=0,75.

Ω est donc équidistant des quatre sommets A, C, F et H qui symbolisent les atomes d'hydrogène : l'atome de carbone est donc au centre Ω du cube.

▶ 3. Déterminer la mesure d'un angle

Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, nous avons :

AC2=AB2+BC2.

Puisque, dans le repère orthonormé proposé, nous avons AB = BC = 1, il s'ensuit :

AC2=AB2+BC2=12+12=2 et AC=2.

Dans le triangle ΩAC, d'après les formules d'Al-Kashi, nous avons :

AC2=ΩC2+ΩA2−2ΩC×ΩA×cosAΩC^.

En exploitant les résultats de la question 2., nous obtenons, à partir de la relation ci-dessus :

cosAΩC^=ΩC2+ΩA2−AC22ΩC×ΩA=0,75+0,75−22×0,75×0,75=−0,51,5=−13

et AΩC^≈109,5&deg .

L'angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène mesure environ 109,5&deg .

Exercice 4

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

▶ 1. Étudier les variations d'une fonction  E6d • E8d • E8e 

La fonction t↦−kmt est une fonction affine dérivable sur [0+∞[. La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ. Par composition, la fonction u:t↦e−kmt est dérivable sur [0+∞[. La fonction affine x↦9,81mk(1−x) est dérivable sur ℝ. Par composition avec la fonction u, nous en déduisons que la fonction v:t↦9,81mk(1−e−kmt) est dérivable sur [0+∞[.

Pour tout t∈[0+∞[ : v′(t)=9,81×mk×(−(−km)×e−kmt)=9,81e−kmt. Puisque, pour tout t∈[0+∞[, e−kmt>0, nous en déduisons que v′(t)> 0 sur [0+∞[ et que v est strictement croissante sur [0+∞[.

La vitesse de la goutte d'eau est une fonction strictement croissante sur [0+∞[.

▶ 2. Exploiter les variations d'une fonction

D'après la question précédente, la vitesse v de la goutte d'eau est une fonction strictement croissante sur [0+∞[. Autrement dit, si le temps augmente, alors la vitesse de la goutte augmente.

La goutte ne ralentit donc pas au cours de sa chute.

▶ 3. Calculer une limite  E5a • E5b 

Puisque limt→+∞−kmt=−∞ et limX→−∞eX=0, alors, par composition, limt→+∞e−kmt=0. Par différence et produit, nous obtenons : limt→+∞v(t)=limt→+∞9,81mk(1−e−kmt)=9,81mk(1−0)=9,81mk.

▶ 4. Étudier la cohérence d'une affirmation

Pour une durée de chute égale à t=5mk, nous avons :

v(t)=9,81mk(1−e−km×5mk)=9,81mk︸vitesse limite×(1−e−5)︸≈0,9932.

Pour t=5mk, la vitesse de la goutte valant environ 99,32 % de sa vitesse limite, elle dépasse 99 % de sa vitesse limite.

L'affirmation du scientifique est donc correcte.

Partie B

▶ 1. Déterminer le temps de chute d'une goutte  E9a • E9e 

La vitesse instantanée de la goutte est de 15 m ⋅ s–1. Nous avons donc v(t) = 15.

En prenant m = 6 et k = 3,9, nous obtenons :

v(t)=15⇔9,81×63,9×(1−e−3,96×t)=15⇔1−e−0,65t=15×3,99,81×6=325327⇔e−0,65t=2327⇔−0,65t=ln(2327)⇔t=−10,65ln(2327).

Nous obtenons à la calculatrice t ≈ 7,8 s.

La goutte s'est donc détachée de son nuage depuis 7,8 s si sa vitesse instantanée mesurée est de 15 m ⋅ s–1.

▶ 2. Calculer une vitesse moyenne  E11c • E13• E15a • E15d 

La vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant t où on a mesuré sa vitesse instantanée de 15 m ⋅ s–1 est donnée par : vm=17,8−0∫07,8v(t)dt.

vm=17,8×∫07,89,81mk(1−e−kmt)dt=17,8×9,81×mk×∫07,8(1−e−kmt)dt(linéarité)=327169×∫07,8(1−e−0,65t)dt(m=6etk=3,9)=327169[t+63,9e−0,65t]07,8=327169[(7,8+63,9e−0,65×7,8)−(0+63,9e0)]=327169(7,8+63,9e−5,07−63,9)≈12,1.

La vitesse moyenne de la goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où l'on a mesuré sa vitesse instantanée de 15 m ⋅ s–1 est d'environ 12,1 m ⋅ s–1.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

▶ 1. Extraire des informations d'un tableau

Dans le texte codé, on a constaté 15,9 % de lettres O. La fréquence la plus proche dans le tableau donnant les fréquences en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français (non codé) est 15,87 %. Cette fréquence correspond à la lettre E.

Ainsi, la lettre E a été codée par la lettre O.

Similairement, dans le texte codé, on a constaté 9,4 % de lettres E. La fréquence la plus proche dans le tableau évoqué précédemment est 9,42 % correspondant à la lettre A.

Ainsi, la lettre A a été codée par la lettre E.

▶ 2. Justifier un système d'équations

En suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre E l'entier 4. Ensuite, on effectue la division euclidienne de a × 4 + b, soit 4a + b par 26. Par cette division euclidienne, il existe un unique couple d'entiers naturels (q  r) tel que 4a + b = 26 × q + r où 0 ≤ r ≤ 25. Or, d'après la question précédente, la lettre E est codée par la lettre O qui est associée à l'entier naturel 14 (d'après le tableau de l'énoncé), ainsi r = 14. On a alors 4a + b = 26 × q + 14 ce qui s'écrit aussi 4a + b ≡ 14 [26].

Similairement, on associe à la lettre A l'entier 0. D'après la question précédente, cette lettre est codée par la lettre E associée à l'entier 4. Il existe alors un entier naturel q′ tel que a × 0 + b = 26 × q′ + 4. Ainsi, on a b = 26 × q′ + 4 ce qui s'écrit aussi b ≡ 4 [26].

Les entiers a et b sont donc solutions du système {4a+b≡14[26]b≡4[26].

▶ 3. Déterminer toutes les solutions d'un système d'équations

Résolvons le système suivant : {4a+b≡14[26]b≡4[26].

b ≡ 4 [26] signifie qu'il existe un entier k tel que b = 4 + 26k. Or, l'entier b doit être compris entre 0 et 25 et 0≤b≤25⇔0≤4+26k≤25⇔−4≤26k≤21⇔−213≤k≤2126.

Il existe un unique entier k qui vérifie −213≤k≤2126 : k = 0. On en conclut que : b = 4 + 26 × 0 = 4.

D'après le point précédent, on a 4a + b ≡ 14 [26]⇔ 4a + 4 ≡ 14 [26] ⇔ 4a ≡ 10 [26].

Le reste de la division euclidienne de 4a par 26 doit ainsi être égal à 10. Calculons ce reste pour tout entier naturel a compris entre 0 et 25 (contrainte donnée dans l'énoncé) :

a	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4a	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
Reste	0	4	8	12	16	20	24	2	6	10	14	18	22

a	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
4a	52	56	60	64	68	72	76	80	84	88	92	96	100
Reste	0	4	8	12	16	20	24	2	6	10	14	18	22

L'entier a pourrait donc prendre les valeurs 9 et 22.

Les couples d'entiers (a, b) ayant pu permettre le codage de ce texte sont (9, 4) et (22, 4).

partie b

▶ 1. a) Suivre une procédure

En suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre K l'entier 10. Ensuite, on effectue la division euclidienne de 22 × 10 + 4 = 224 par 26. Par cette division euclidienne, on a : 224 = 26 × 8 + 16. Le reste de cette division étant 16, la lettre K est codée par la lettre Q.

De même, en suivant le procédé de cryptage, on associe à la lettre X l'entier 23. Ensuite, on effectue la division euclidienne de 22 × 23 + 4 = 510 par 26. Par cette division euclidienne, on a : 510 = 26 × 19 + 16. Le reste de cette division étant 16, la lettre X est codée par la lettre Q.

b) Argumenter

D'après la question précédente, la lettre Q code à la fois les lettres K et X. Ces lettres une fois codées devenant indiscernables, un tel codage n'est pas envisageable.

▶ 2. a) Justifier une équivalence

On a pour tous entiers naturels n et m :

m≡9n+4[26]⇒3×m≡3×9n+3×4[26]⇒3m≡27n+12[26]⇒3m≡n+12[26]⇒3m−12≡n[26]⇒3m+14≡n[26]⇒n≡3m+14[26]

Réciproquement, pour tous entiers naturels n et m :

n≡3m+14[26]⇒9×n≡9×3m+9×14[26]⇒9n≡27m+126[26]⇒9n≡m+126[26]⇒9n−126≡m[26]⇒9n+4≡m[26]⇒m≡9n+4[26]

Ainsi, pour tous entiers naturels n et m, m≡9n+4[26]⇔n≡3m+14[26].

b) Prendre une initiative et argumenter

La lettre A est associée à l'entier 0 (m=0). D'après la question 2. a) de la partie B, on a :

0≡9n+4[26]⇔n≡3×0+14[26]⇔n≡14[26].

L'entier n étant compris entre 0 et 25, on en déduit que n = 14 qui est associé d'après le tableau à la lettre O.

La lettre Q est associée à l'entier 16 (m=16). D'après la question 2. a) de la partie B, on a :

16≡9n+4[26]⇔n≡3×16+14[26]⇔n≡62[26].

L'entier n étant compris entre 0 et 25, on en déduit que n = 10 qui est associé d'après le tableau à la lettre K.

Le mot AQ est décodé en le mot OK.