Pondichéry 2013
Corrigé
2
Sujets complets
matT_1304_12_00C
Pondichéry &bull Avril 2013
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (4 points)
QCM sur les fonctions : 4 questions
définie sur ℝ par
est une primitive de la fonction
définie par :
définie sur ℝ par
.
. On peut affirmer que :
définie sur ℝ par
est convexe sur l&rsquo intervalle :
Exercice 2 (5 points)
Enquête sur les rythmes scolaires
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d&rsquo un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L&rsquo enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et, parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :
L : l&rsquo élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi
C : l&rsquo élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.
) la probabilité de l&rsquo événement
. (0,5 point)
, la probabilité de l&rsquo événement L sachant l&rsquo événement C réalisé. En donner une valeur arrondie à
. (1 point)
. (0,75 point)
Exercice 2 (5 points)
Étude d&rsquo un réseau et trajet minimal
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
On considère le graphe Γ ci-dessous :

PARTIE A
PARTIE B
Une région est munie d&rsquo un réseau de trains, représenté par le graphe Γ ci-dessous.
Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.

Exercice 3 (5 points)
Évolution d&rsquo un capital placé à intérêts composés
Commun à tous les candidats
Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 &euro à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note le capital du client au 1er janvier de l&rsquo année
, où
est un entier naturel.
et
. Arrondir les résultats au centime d&rsquo euro. (0,5 point)
en fonction de
. En déduire que, pour tout nombre entier naturel
, on a la relation :
. (1 point)
Entrée : |
Saisir un nombre S supérieur à 3 000. |
Initialisation : |
Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 3 000. |
Traitement : |
Tant que U n prend la valeur n + 1 U prend la valeur U × 1,025. Fin tant que |
Sortie : |
Afficher le nombre 2 000 + n |
Valeur de n |
0 |
|
&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip . |
|
---|---|---|---|---|
Valeur de U |
3 000 |
|
&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip . |
|
Condition U |
vrai |
|
&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip . |
|
Exercice 4 (6 points)
Production et autonomie de batteries
Commun à tous les candidats
La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.
PARTIE A
On désigne par la fonction définie sur
par :
, où
désigne la fonction dérivée de la fonction
. (0,5 point)
admet une solution unique α sur l&rsquo intervalle [0 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)
est une primitive de sur [0 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10
(1 point)
PARTIE B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l&rsquo aide de la fonction définie dans la partie
compris entre 0 et 6.
représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
représente la production journalière de batteries en milliers.
PARTIE C
Il est prévu que l&rsquo autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l&rsquo autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type
.
Exercice 1. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonctions exponentielles &bull Convexité &bull Primitives usuelles.
Les conseils du correcteur
afin de calculer l&rsquo intégrale I.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés &bull Probabilités conditionnelles &bull Loi de probabilité.
Les conseils du correcteur
est l&rsquo intersection de deux événements sa probabilité n&rsquo est pas une probabilité conditionnelle.
comme réunion de deux événements disjoints.
. La variable aléatoire
compte le nombre de succès lors de ces quatre épreuves successives.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés &bull Matrice associée à un graphe &bull Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Boucle avec arrêt conditionnel &bull Suites arithmétiques ou géométriques.
Les conseils du correcteur
Exercice 4. Durée conseillée : 55 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Fonctions exponentielles &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Loi à densité.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Partie C
où X est la variable aléatoire représentant l&rsquo autonomie de la batterie, exprimée en km.
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n&rsquo est demandée.