&gt  1. La fonction définie sur ℝ par est une primitive de la fonction définie par :

a) 

c) 

b) 

d) 

&gt  2. Soit la fonction définie sur ℝ par .

L&rsquo équation  :

a) a pour solution 2,718 

b) a une solution sur  

c) a deux solutions sur ℝ 

d) a une solution sur .

&gt  3. On pose . On peut affirmer que :

a) 

c) 

b) 

d) 

&gt  4. La fonction définie sur ℝ par est convexe sur l&rsquo intervalle :

a) 

c) 

b) 

d) 

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d&rsquo un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.

L&rsquo enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et, parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :

L : l&rsquo élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi 

C : l&rsquo élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

&gt  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (0,75 point)

&gt  2. Calculer p() la probabilité de l&rsquo événement . (0,5 point)

&gt  3. Montrer que p(C) = 0,5675. (0,75 point)

&gt  4. Calculer , la probabilité de l&rsquo événement L sachant l&rsquo événement C réalisé. En donner une valeur arrondie à . (1 point)

&gt  5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l&rsquo établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d&rsquo élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. Le nombre d&rsquo élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale. (0,5 point)

b) Calculer la probabilité qu&rsquo aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. En donner une valeur arrondie à . (0,75 point)

c) Calculer la probabilité qu&rsquo exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. (0,75 point)

On considère le graphe Γ ci-dessous :

&gt  1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui, donner une telle chaîne. (1 point)

&gt  2. Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Justifier la réponse. Si oui, donner un tel cycle. (1 point)

&gt  3. Donner la matrice M associée au graphe Γ. Les sommets seront pris dans l&rsquo ordre alphabétique : A, B, C, D, E, F, G. (1 point)

Une région est munie d&rsquo un réseau de trains, représenté par le graphe Γ ci-dessous.

Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.

&gt  1. Déterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare B à la gare G. Justifier la réponse grâce à un algorithme. (1,5 point)

&gt  2. Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? (0,5 point)

Le 1^er janvier 2000, un client a placé 3 000 &euro à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note le capital du client au 1^er janvier de l&rsquo année , où est un entier naturel.

&gt  1. Calculer et . Arrondir les résultats au centime d&rsquo euro. (0,5 point)

&gt  2. Exprimer en fonction de . En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a la relation : . (1 point)

&gt  3. On donne l&rsquo algorithme suivant :

a) Pour la valeur S = 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l&rsquo unité. (1 point)

b) En déduire l&rsquo affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300. (0,5 point)

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000. (0,5 point)

&gt  4. Au 1^er janvier 2013, le client avait besoin d&rsquo une somme de 5 000 &euro . Montrer que le capital de son placement n&rsquo est pas suffisant à cette date. (0,75 point)

&gt  5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1^er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10. (0,75 point)

On désigne par la fonction définie sur par :

&gt  1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

&gt  2. Démontrer que l&rsquo équation admet une solution unique α sur l&rsquo intervalle [0  6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)

&gt  3. On admet que la fonction F définie sur [0  6] par :

est une primitive de sur [0  6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10-³ de (1 point)

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l&rsquo aide de la fonction définie dans la partie A pour compris entre 0 et 6.

représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

représente la production journalière de batteries en milliers.

&gt  1. Exprimer en mois, puis en jours, le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités. (0,75 point)

&gt  2. Déterminer une valeur arrondie à 10^{&ndash 3} de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. (0,75 point)

Il est prévu que l&rsquo autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l&rsquo autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type .

&gt  1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? (1 point)

&gt  2. La probabilité de pouvoir faire l&rsquo aller-retour jusqu&rsquo à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse. (1 point)