Sujet complet de Pondichéry 2013

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
&nbsp
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
Sujet complet de Pondichéry 2013
&nbsp
&nbsp

Pondichéry 2013

Corrigé

2

Sujets complets

matT_1304_12_00C

&nbsp

Pondichéry &bull Avril 2013

Sujet complet &bull 20 points

Exercice 1 (4 points)
QCM sur les fonctions : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

Aucune justification n&rsquo est demandée.

&gt 1. La fonction définie sur ℝ par est une primitive de la fonction définie par :

a)

c)

b)

d)

&gt 2. Soit la fonction définie sur ℝ par .

L&rsquo équation  :

a) a pour solution 2,718 

b) a une solution sur

c) a deux solutions sur ℝ 

d) a une solution sur .

&gt 3. On pose . On peut affirmer que :

a)

c)

b)

d)

&gt 4. La fonction définie sur ℝ par est convexe sur l&rsquo intervalle :

a)

c)

b)

d)

Exercice 2 (5 points)
Enquête sur les rythmes scolaires

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d&rsquo un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.

L&rsquo enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et, parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :

L : l&rsquo élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi 

C : l&rsquo élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

&gt 1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (0,75 point)

&gt 2. Calculer p() la probabilité de l&rsquo événement . (0,5 point)

&gt 3. Montrer que p(C) = 0,5675. (0,75 point)

&gt 4. Calculer , la probabilité de l&rsquo événement L sachant l&rsquo événement C réalisé. En donner une valeur arrondie à . (1 point)

&gt 5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l&rsquo établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d&rsquo élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. Le nombre d&rsquo élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale. (0,5 point)

b) Calculer la probabilité qu&rsquo aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. En donner une valeur arrondie à . (0,75 point)

c) Calculer la probabilité qu&rsquo exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Étude d&rsquo un réseau et trajet minimal

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

On considère le graphe Γ ci-dessous :


&nbsp

PARTIE A

&gt 1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui, donner une telle chaîne. (1 point)

&gt 2. Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Justifier la réponse. Si oui, donner un tel cycle. (1 point)

&gt 3. Donner la matrice M associée au graphe Γ. Les sommets seront pris dans l&rsquo ordre alphabétique : A, B, C, D, E, F, G. (1 point)

PARTIE B

Une région est munie d&rsquo un réseau de trains, représenté par le graphe Γ ci-dessous.

Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.


&nbsp

&gt 1. Déterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare B à la gare G. Justifier la réponse grâce à un algorithme. (1,5 point)

&gt 2. Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Évolution d&rsquo un capital placé à intérêts composés

Commun à tous les candidats

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 &euro à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note le capital du client au 1er janvier de l&rsquo année , où est un entier naturel.

&gt 1. Calculer et . Arrondir les résultats au centime d&rsquo euro. (0,5 point)

&gt 2. Exprimer en fonction de . En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a la relation : . (1 point)

&gt 3. On donne l&rsquo algorithme suivant :

&nbsp

Entrée :

Saisir un nombre S supérieur à 3 000.

Initialisation :

Affecter à n la valeur 0 

Affecter à U la valeur 3 000.

Traitement :

Tant que U &le S

n prend la valeur n + 1 

U prend la valeur U &times 1,025.

Fin tant que

Sortie :

Afficher le nombre 2 000 + n

&nbsp

a) Pour la valeur S = 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l&rsquo unité. (1 point)

&nbsp

Valeur de n

0

&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip .

Valeur de U

3 000

&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip .

Condition U &le S

vrai

&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip .

&nbsp

b) En déduire l&rsquo affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300. (0,5 point)

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000. (0,5 point)

&gt 4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d&rsquo une somme de 5 000 &euro . Montrer que le capital de son placement n&rsquo est pas suffisant à cette date. (0,75 point)

&gt 5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10. (0,75 point)

Exercice 4 (6 points)
Production et autonomie de batteries

Commun à tous les candidats

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

PARTIE A

On désigne par la fonction définie sur par :

&gt 1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

&gt 2. Démontrer que l&rsquo équation admet une solution unique α sur l&rsquo intervalle [0  6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)

&gt 3. On admet que la fonction F définie sur [0  6] par :

est une primitive de sur [0  6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10-3 de (1 point)

PARTIE B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l&rsquo aide de la fonction définie dans la partie A pour compris entre 0 et 6.

représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

représente la production journalière de batteries en milliers.

&gt 1. Exprimer en mois, puis en jours, le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités. (0,75 point)

&gt 2. Déterminer une valeur arrondie à 10&ndash 3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. (0,75 point)

PARTIE C

Il est prévu que l&rsquo autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l&rsquo autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type .

&gt 1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? (1 point)

&gt 2. La probabilité de pouvoir faire l&rsquo aller-retour jusqu&rsquo à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse. (1 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Fonctions exponentielles &bull Convexité &bull Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

&gt 1.F est une primitive de f si et seulement si f est la dérivée de F.

&gt 3. Déterminez une primitive de la fonction afin de calculer l&rsquo intégrale I.

&gt 4. D&rsquo après le cours, une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés &bull Probabilités conditionnelles &bull Loi de probabilité.

Les conseils du correcteur

&gt 2. est l&rsquo intersection de deux événements  sa probabilité n&rsquo est pas une probabilité conditionnelle.

&gt 3. Parmi les élèves souhaitant une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire, certains sont favorables à une pause plus longue le midi, d&rsquo autres n&rsquo y sont pas favorables  on en déduit une expression de l&rsquo événement comme réunion de deux événements disjoints.

&gt 4. Utilisez la définition d&rsquo une probabilité conditionnelle.

&gt 5. On peut considérer que l&rsquo on réalise quatre fois de suite et de manière indépendante la même épreuve : choisir au hasard un élève de l&rsquo établissement. Le &laquo  succès &raquo est l&rsquo événement . La variable aléatoire compte le nombre de succès lors de ces quatre épreuves successives.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés &bull Matrice associée à un graphe &bull Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. Vous pouvez utiliser le théorème d&rsquo Euler : regardez si le graphe est connexe et déterminez le degré de chaque sommet.

&gt 2. Regardez si le graphe Γ possède des sommets de degré impair.

&gt 3. Le graphe Γ est un graphe simple non orienté  la matrice associée M est symétrique et ses coefficients sont 0 ou 1.

Partie B

&gt 1. On peut utiliser par exemple l&rsquo algorithme de Dijkstra.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel &bull Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

&gt 1. et 2. Dans le cas d&rsquo un placement à intérêts composés, les intérêts produits une année s&rsquo ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts les années suivantes. De plus, augmenter une quantité de 2,5 % revient à la multiplier par 1, 025.

&gt 3. Déterminez ce que représentent les variables n et U intervenant dans l&rsquo algorithme.

&gt 4. 2 013 = 2 000 + 13.

&gt 5. Déterminez n tel que Cn &ge 10 &times 3 000.

Exercice 4. Durée conseillée : 55 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Fonctions exponentielles &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Loi à densité.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 2. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d&rsquo une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

Partie B

&gt 1. Utilisez le résultat de la question 2. de la partie A.

&gt 2. Utilisez le résultat de la question 3. de la partie A.

Partie C

&gt 1. Déterminez une valeur approchée de X est la variable aléatoire représentant l&rsquo autonomie de la batterie, exprimée en km.

&gt 2. Déterminez une valeur approchée de .