Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Sujet complet de Pondichéry 2013

Pondichéry 2013

Corrigé

Sujets complets

matT_1304_12_00C

Pondichéry • Avril 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
QCM sur les fonctions : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

> 1. La fonction définie sur ℝ par est une primitive de la fonction définie par :

> 2. Soit la fonction définie sur ℝ par .

L’équation  :

a) a pour solution 2,718 ;

b) a une solution sur  ;

c) a deux solutions sur ℝ ;

d) a une solution sur .

> 3. On pose . On peut affirmer que :

> 4. La fonction définie sur ℝ par est convexe sur l’intervalle :

Exercice 2 (5 points)
Enquête sur les rythmes scolaires

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.

L’enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et, parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :

L : l’élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ;

C : l’élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

> 1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (0,75 point)

> 2. Calculer p() la probabilité de l’événement . (0,5 point)

> 3. Montrer que p(C) = 0,5675. (0,75 point)

> 4. Calculer , la probabilité de l’événement L sachant l’événement C réalisé. En donner une valeur arrondie à . (1 point)

> 5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale. (0,5 point)

b) Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. En donner une valeur arrondie à . (0,75 point)

c) Calculer la probabilité qu’exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Étude d’un réseau et trajet minimal

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

On considère le graphe Γ ci-dessous :

PARTIE A

> 1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui, donner une telle chaîne. (1 point)

> 2. Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Justifier la réponse. Si oui, donner un tel cycle. (1 point)

> 3. Donner la matrice M associée au graphe Γ. Les sommets seront pris dans l’ordre alphabétique : A, B, C, D, E, F, G. (1 point)

PARTIE B

Une région est munie d’un réseau de trains, représenté par le graphe Γ ci-dessous.

Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.

> 1. Déterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare B à la gare G. Justifier la réponse grâce à un algorithme. (1,5 point)

> 2. Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Évolution d’un capital placé à intérêts composés

Commun à tous les candidats

Le 1^er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note le capital du client au 1^er janvier de l’année , où est un entier naturel.

> 1. Calculer et . Arrondir les résultats au centime d’euro. (0,5 point)

> 2. Exprimer en fonction de . En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a la relation : . (1 point)

> 3. On donne l’algorithme suivant :

Entrée :	Saisir un nombre S supérieur à 3 000.
Initialisation :	Affecter à n la valeur 0 ; Affecter à U la valeur 3 000.
Traitement :	Tant que U ≤ S n prend la valeur n + 1 ; U prend la valeur U × 1,025. Fin tant que
Sortie :	Afficher le nombre 2 000 + n

a) Pour la valeur S = 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité. (1 point)

Valeur de n	0		…………….
Valeur de U	3 000		…………….
Condition U ≤ S	vrai		…………….

b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300. (0,5 point)

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000. (0,5 point)

> 4. Au 1^er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000 €. Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date. (0,75 point)

> 5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1^er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10. (0,75 point)

Exercice 4 (6 points)
Production et autonomie de batteries

Commun à tous les candidats

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

PARTIE A

On désigne par la fonction définie sur par :

> 1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

> 2. Démontrer que l’équation admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)

> 3. On admet que la fonction F définie sur [0 ; 6] par :

est une primitive de sur [0 ; 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10-³ de (1 point)

PARTIE B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l’aide de la fonction définie dans la partie A pour compris entre 0 et 6.

représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

représente la production journalière de batteries en milliers.

> 1. Exprimer en mois, puis en jours, le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités. (0,75 point)

> 2. Déterminer une valeur arrondie à 10^–3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. (0,75 point)

PARTIE C

Il est prévu que l’autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l’autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d’espérance et d’écart-type .

> 1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? (1 point)

> 2. La probabilité de pouvoir faire l’aller-retour jusqu’à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse. (1 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Fonctions exponentielles • Convexité • Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

> 1. F est une primitive de f si et seulement si f est la dérivée de F.

> 3. Déterminez une primitive de la fonction afin de calculer l’intégrale I.

> 4. D’après le cours, une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité.

Les conseils du correcteur

> 2.  est l’intersection de deux événements ; sa probabilité n’est pas une probabilité conditionnelle.

> 3. Parmi les élèves souhaitant une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire, certains sont favorables à une pause plus longue le midi, d’autres n’y sont pas favorables ; on en déduit une expression de l’événement comme réunion de deux événements disjoints.

> 4. Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

> 5. On peut considérer que l’on réalise quatre fois de suite et de manière indépendante la même épreuve : choisir au hasard un élève de l’établissement. Le « succès » est l’événement . La variable aléatoire compte le nombre de succès lors de ces quatre épreuves successives.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 1. Vous pouvez utiliser le théorème d’Euler : regardez si le graphe est connexe et déterminez le degré de chaque sommet.

> 2. Regardez si le graphe Γ possède des sommets de degré impair.

> 3. Le graphe Γ est un graphe simple non orienté ; la matrice associée M est symétrique et ses coefficients sont 0 ou 1.

Partie B

> 1. On peut utiliser par exemple l’algorithme de Dijkstra.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel • Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

> 1. et 2. Dans le cas d’un placement à intérêts composés, les intérêts produits une année s’ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts les années suivantes. De plus, augmenter une quantité de 2,5 % revient à la multiplier par 1, 025.

> 3. Déterminez ce que représentent les variables n et U intervenant dans l’algorithme.

> 4. 2 013 = 2 000 + 13.

> 5. Déterminez n tel que C_n ≥ 10 × 3 000.

Exercice 4. Durée conseillée : 55 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonctions exponentielles • Valeur moyenne d’une fonction • Loi à densité.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 2. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

Partie B

> 1. Utilisez le résultat de la question 2. de la partie A.

> 2. Utilisez le résultat de la question 3. de la partie A.

Partie C

> 1. Déterminez une valeur approchée de où X est la variable aléatoire représentant l’autonomie de la batterie, exprimée en km.

> 2. Déterminez une valeur approchée de .

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

> 1. Calculer la dérivée d’une fonction

est de la forme , avec définie sur ℝ par .

est donc dérivable sur ℝ et sa dérivée est .

Pour tout réel  : .

est donc une primitive sur ℝ de la fonction .

La bonne réponse est b).

> 2. Résoudre une équation comportant une exponentielle

équivaut à

Or d’après les propriétés de la fonction exponentielle, pour tout réel , donc l’équation n’a pas de solution ( ne s’annule pas).

Donc .

La seule solution dans ℝ de l’équation est .

La bonne réponse est b).

> 3. Calculer une intégrale

Notez bien

Par définition d’une intégrale, , où est une primitive de .

Une primitive sur ℝ de la fonction est la fonction .

D’où :

La bonne réponse est a).

> 4. Étudier la convexité d’une fonction

est une fonction polynôme, donc la fonction est définie et deux fois dérivable sur ℝ.

Pour tout réel , et .

a le même signe que , d’où :

Donc est convexe sur tout intervalle contenu dans .

La bonne réponse est b).

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

> 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

La situation peut être représentée par l’arbre suivant :

Conseil

L’énoncé donne les probabilités de sachant et de C sachant . On commence donc la construction de l’arbre par les événements et .

On indique les probabilités données et on complète en utilisant la règle :

« la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1 ».

> 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

, donc .

> 3. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant une partition de l’univers

Notez bien

Deux événements contraires forment toujours une partition de l’univers : ils sont disjoints (leur intersection est vide) et leur réunion est l’univers.

Puisque et constituent une partition de l’univers :

> 4. Calculer une probabilité conditionnelle

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle, p(C) étant non nulle :

> 5. a) Déterminer les paramètres d’une loi binomiale

L’expérience peut être considérée comme la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; le succès est l’événement , la probabilité de succès est donc 0,5675.

Donc suit la loi binomiale de paramètres 4 et 0,5675.

b) Calculer une probabilité en lien avec une loi binomiale

Puisqu’on suppose que l’on interroge les élèves de façon indépendante, la probabilité qu’aucun élève, sur les quatre interrogés, ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est :

c) Calculer une probabilité en utilisant les formules relatives à une loi binomiale

La probabilité que, sur les quatre élèves interrogés, deux exactement soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est .

D’après les résultats sur la loi binomiale :

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A

> 1. Déterminer si un graphe comporte une chaîne eulérienne

Une chaîne eulérienne d’un graphe est une chaîne qui contient une fois et une seule chaque arête du graphe.

D’après le théorème d’Euler, un graphe connexe contient une chaîne eulérienne si et seulement si il possède 0 ou 2 sommet(s) de degré impair.

On peut récapituler les degrés des sommets du graphe Γ dans un tableau :

Sommet	A	B	C	D	E	F	G
Degré	2	4	4	5	4	4	3

Notez bien

On peut montrer que dans un graphe connexe ayant exactement deux sommets de degré impair, il existe une chaîne eulérienne reliant ces deux sommets.

Il y a deux sommets de degré impair, D et G, donc d’après le théorème d’Euler, le graphe Γ contient une chaîne eulérienne.

Deux exemples de chaînes eulériennes :

D - B - A - C - B - E - F - D - C - F - G - E - D – G

D - B - A - C - B - E - D - C - F - D - G - E - F – G

> 2. Déterminer si un graphe comporte un cycle eulérien

Un cycle eulérien d’un graphe est une chaîne eulérienne qui est un cycle, c’est-à-dire dont le sommet de départ et le sommet d’arrivée sont confondus.

Un graphe connexe possède un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair.

Or le graphe Γ possède exactement deux sommets de degré impair (D et G), donc le graphe Γ ne possède pas de cycle eulérien.

> 3. Déterminer la matrice associée à un graphe

Notez bien

La matrice associée à un graphe non orienté est symétrique. Si ce graphe n’est pas pondéré, la matrice ne comporte que des 0 et des 1 ; le coefficient situé à la i^ième ligne et j^ième colonne de M est égal à 1 s’il existe une arête entre le sommet i et le sommet j, à 0 sinon.

La matrice associée au graphe Γ est :

PARTIE B

> 1. Rechercher sur un graphe pondéré un chemin de « longueur » minimale

Pour déterminer le plus court chemin en minutes de la gare B à la gare G, on utilise l’algorithme de Dijkstra :

A	B	C	D	E	F	G
4 (B)	0 (B)	7 (B)	18 (B)	21 (B)
4 (B)		7 (B)	18 (B)	21 (B)
		7 (B)	17 (C)	21 (B)	(C)
			17 (C)	21 (B)	29 (D)	48 (D)
				21 (B)	29 (D)	38 (E)
					29 (D)	36 (F)

On en déduit que le plus court chemin, en minutes, de B à G est :

Attention

Ce trajet minimise le temps en minutes de B à G, pas le nombre d’étapes. En effet, il comporte 4 étapes, alors qu’il est possible d’aller de B à G en deux ou trois étapes mais avec un temps supérieur à 36 minutes.

> 2. Déterminer un temps de trajet minimal à partir d’un graphe pondéré

La longueur en minutes du chemin B – C – D – F – G est :

7 + 10 + 12 + 7

soit 36 minutes.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

> 1. Calculer un capital après une année et deux années de placement

 ;

Notez bien

1,025 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2,5 %.

Donc le 1^{^er} janvier 2001, le client possède 3 075 €, le 1^{^er} janvier 2002 il possède 3 151,88 € (arrondi au centime d’euro).

> 2. Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Puisque de l’année 2000 + n à l’année 2000 + n + 1, le capital augmente de 2,5 %, pour tout entier naturel n :

La suite de terme général est donc une suite géométrique de raison 1,025, d’où, pour tout entier naturel n :

Notez bien

À partir de , la condition (c’est-à-dire ici ) n’est plus remplie, donc on sort de la boucle « tant que » et l’algorithme se poursuit.

> 3.a) Compléter un tableau reprenant les différentes étapes du fonctionnement d’un algorithme

Valeur de n	0	1	2	3	4
Valeur de U	3 000	3 075	3 151,88	3 230,67	3 311,44
Condition U ≤ S	vrai	vrai	vrai	vrai	faux

b) Donner le nombre affiché en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, lorsque l’algorithme s’arrête, .

Donc le nombre affiché est 2004.

c) Interpréter le résultat d’un algorithme

D’après les questions précédentes, par exemple, c’est au 1^er janvier 2004 que le capital dépasse 3 300 € pour la première fois (au 1^er janvier 2003, le capital n’était que 3 230,67 €). En général, lorsqu’on saisit un nombre S supérieur à 3 000, l’algorithme affiche l’année à partir de laquelle, au 1^{^er} janvier, le capital dépasse le montant S.

> 4. Calculer un terme d’une suite

Le capital au 1^er janvier 2013 est .

D’après la question 2., , donc en arrondissant au centime d’euro.

Au 1^{^er} janvier 2013, le capital du client se montait à 4 135,53 € environ, il est donc inférieur à la somme de 5 000 € dont il avait besoin.

> 5. Déterminer le rang à partir duquel un terme d’une suite atteint un seuil donné

On cherche tel que .

Pour résoudre cette inéquation, on peut calculer les puissances successives de 1,025.

On peut aussi utiliser la fonction ln, strictement croissante sur  :

En effet, , donc .

Or, , donc :

, car est un entier naturel.

Donc c’est à partir du 1^{^er} janvier 2094 que le capital initial du client pourrait être multiplié par 10.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

PARTIE A

> 1. Calculer la dérivée d’une fonction

Notez bien

On applique la formule de dérivation du produit de deux fonctions et la formule de dérivation d’une fonction du type .

Pour tout réel appartenant à  :

> 2. Montrer qu’une équation a une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution

On déduit de la question précédente que est strictement croissante sur .

et , donc .

étant continue et strictement croissante sur , d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une solution unique, notée α, dans l’intervalle [0 ; 6].