Pondichéry 2013
Corrigé
2
Sujets complets
matT_1304_12_00C
Pondichéry • Avril 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (4 points)
QCM sur les fonctions : 4 questions
définie sur ℝ par 
est une primitive de la fonction 
définie par :
définie sur ℝ par 
.
L'équation 
:
.
. On peut affirmer que :
définie sur ℝ par 
est convexe sur l'intervalle :
Exercice 2 (5 points)
Enquête sur les rythmes scolaires
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et, parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :
L : l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi
C : l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
) la probabilité de l'événement 
. (0,5 point)
, la probabilité de l'événement L sachant l'événement C réalisé. En donner une valeur arrondie à 
. (1 point)
. (0,75 point)
Exercice 2 (5 points)
Étude d'un réseau et trajet minimal
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
On considère le graphe Γ ci-dessous :
PARTIE A
PARTIE B
Une région est munie d'un réseau de trains, représenté par le graphe Γ ci-dessous.
Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.
Exercice 3 (5 points)
Évolution d'un capital placé à intérêts composés
Commun à tous les candidats
Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note 
le capital du client au 1er janvier de l'année 
, où 
est un entier naturel.
et 
. Arrondir les résultats au centime d'euro. (0,5 point)
en fonction de 
. En déduire que, pour tout nombre entier naturel 
, on a la relation : 
. (1 point)
| Entrée : | Saisir un nombre S supérieur à 3 000. |
| Initialisation : | Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 3 000. |
| Traitement : | Tant que U n prend la valeur n + 1 U prend la valeur U × 1,025. Fin tant que |
| Sortie : | Afficher le nombre 2 000 + n |
| Valeur de n | 0 |
| ……………. |
|
|---|---|---|---|---|
| Valeur de U | 3 000 |
| ……………. |
|
| Condition U | vrai |
| ……………. |
|
Exercice 4 (6 points)
Production et autonomie de batteries
Commun à tous les candidats
La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.
PARTIE A
On désigne par 
la fonction définie sur 
par :
, où 
désigne la fonction dérivée de la fonction 
. (0,5 point)
admet une solution unique α sur l'intervalle [0 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)
est une primitive de 
sur [0 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10
(1 point)
PARTIE B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction 
définie dans la partie 
compris entre 0 et 6.
représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
représente la production journalière de batteries en milliers.
PARTIE C
Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d'espérance 
et d'écart-type 
.
Exercice 1. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonctions exponentielles • Convexité • Primitives usuelles.
Les conseils du correcteur
afin de calculer l'intégrale I.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité.
Les conseils du correcteur
est l'intersection de deux événements sa probabilité n'est pas une probabilité conditionnelle.
comme réunion de deux événements disjoints.
. La variable aléatoire 
compte le nombre de succès lors de ces quatre épreuves successives.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Boucle avec arrêt conditionnel • Suites arithmétiques ou géométriques.
Les conseils du correcteur
Exercice 4. Durée conseillée : 55 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonctions exponentielles • Valeur moyenne d'une fonction • Loi à densité.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Partie C
où X est la variable aléatoire représentant l'autonomie de la batterie, exprimée en km.
.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
est de la forme 
, avec 
définie sur ℝ par 
.
est donc dérivable sur ℝ et sa dérivée est 
.
Pour tout réel 
: 
.
est donc une primitive sur ℝ de la fonction 
.
> 2. Résoudre une équation comportant une exponentielle
équivaut à 
Or d'après les propriétés de la fonction exponentielle, 
pour tout réel 
, donc l'équation 
n'a pas de solution (
ne s'annule pas).
Donc 
.
La seule solution dans ℝ de l'équation 
est 
.
> 3. Calculer une intégrale
Notez bien
Par définition d'une intégrale, 
, où 
est une primitive de 
.
Une primitive sur ℝ de la fonction 
est la fonction 
.
D'où :
> 4. Étudier la convexité d'une fonction
est une fonction polynôme, donc la fonction 
est définie et deux fois dérivable sur ℝ.
Pour tout réel 
, 
et 
.
a le même signe que 
, d'où :
Donc 
est convexe sur tout intervalle contenu dans 
.
Exercice 2
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré
La situation peut être représentée par l'arbre suivant :
Conseil
L'énoncé donne les probabilités de 
sachant 
et de C sachant 
. On commence donc la construction de l'arbre par les événements 
et 
.
On indique les probabilités données et on complète en utilisant la règle :
« la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud est égale à 1 ».
> 2. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
, donc 
.
> 3. Calculer la probabilité d'un événement en utilisant une partition de l'univers
Notez bien
Deux événements contraires forment toujours une partition de l'univers : ils sont disjoints (leur intersection est vide) et leur réunion est l'univers.
Puisque 
et 
constituent une partition de l'univers :
> 4. Calculer une probabilité conditionnelle
D'après la définition d'une probabilité conditionnelle, p(C) étant non nulle :
.
> 5. a) Déterminer les paramètres d'une loi binomiale
L'expérience peut être considérée comme la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes le succès est l'événement 
, la probabilité de succès est donc 0,5675.
b) Calculer une probabilité en lien avec une loi binomiale
Puisqu'on suppose que l'on interroge les élèves de façon indépendante, la probabilité qu'aucun élève, sur les quatre interrogés, ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est :
c) Calculer une probabilité en utilisant les formules relatives à une loi binomiale
La probabilité que, sur les quatre élèves interrogés, deux exactement soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est 
.
D'après les résultats sur la loi binomiale :
Exercice 2
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
PARTIE A
> 1. Déterminer si un graphe comporte une chaîne eulérienne
Une chaîne eulérienne d'un graphe est une chaîne qui contient une fois et une seule chaque arête du graphe.
D'après le théorème d'Euler, un graphe connexe contient une chaîne eulérienne si et seulement si il possède 0 ou 2 sommet(s) de degré impair.
On peut récapituler les degrés des sommets du graphe Γ dans un tableau :
| Sommet | A | B | C | D | E | F | G |
| Degré | 2 | 4 | 4 | 5 | 4 | 4 | 3 |
Notez bien
On peut montrer que dans un graphe connexe ayant exactement deux sommets de degré impair, il existe une chaîne eulérienne reliant ces deux sommets.
Il y a deux sommets de degré impair, D et G, donc d'après le théorème d'Euler,
Deux exemples de chaînes eulériennes :
D - B - A - C - B - E - F - D - C - F - G - E - D – G
D - B - A - C - B - E - D - C - F - D - G - E - F – G
> 2. Déterminer si un graphe comporte un cycle eulérien
Un cycle eulérien d'un graphe est une chaîne eulérienne qui est un cycle, c'est-à-dire dont le sommet de départ et le sommet d'arrivée sont confondus.
Un graphe connexe possède un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair.
Or le graphe Γ possède exactement deux sommets de degré impair (D et G),
> 3. Déterminer la matrice associée à un graphe
Notez bien
La matrice associée à un graphe non orienté est symétrique. Si ce graphe n'est pas pondéré, la matrice ne comporte que des 0 et des 1 le coefficient situé à la iième ligne et jième colonne de M est égal à 1 s'il existe une arête entre le sommet i et le sommet j, à 0 sinon.
La matrice associée au graphe Γ est :
PARTIE B
> 1. Rechercher sur un graphe pondéré un chemin de « longueur » minimale
Pour déterminer le plus court chemin en minutes de la gare B à la gare G, on utilise l'algorithme de Dijkstra :
| A | B | C | D | E | F | G |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 (B) | 0 (B) | 7 (B) | 18 (B) | 21 (B) |
|
|
| 4 (B) |
| 7 (B) | 18 (B) | 21 (B) |
|
|
|
|
| 7 (B) | 17 (C) | 21 (B) |
|
|
|
|
|
| 17 (C) | 21 (B) | 29 (D) | 48 (D) |
|
|
|
|
| 21 (B) | 29 (D) | 38 (E) |
|
|
|
|
|
| 29 (D) | 36 (F) |
On en déduit que le plus court chemin, en minutes, de B à G est :
Attention
Ce trajet minimise le temps en minutes de B à G, pas le nombre d'étapes. En effet, il comporte 4 étapes, alors qu'il est possible d'aller de B à G en deux ou trois étapes mais avec un temps supérieur à 36 minutes.
> 2. Déterminer un temps de trajet minimal à partir d'un graphe pondéré
La longueur en minutes du chemin B – C – D – F – G est :
7 + 10 + 12 + 7
soit
Exercice 3
Commun à tous les candidats
> 1. Calculer un capital après une année et deux années de placement
Notez bien
1,025 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2,5 %.
.
> 2. Déterminer l'expression du terme général d'une suite
Puisque de l'année 2000 + n à l'année 2000 + n + 1, le capital augmente de 2,5 %, pour tout entier naturel n :
La suite de terme général 
est donc une suite géométrique de raison 1,025, d'où, pour tout entier naturel n :
Notez bien
À partir de 
, la condition 
(c'est-à-dire ici 
) n'est plus remplie, donc on sort de la boucle « tant que » et l'algorithme se poursuit.
> 3. a) Compléter un tableau reprenant les différentes étapes du fonctionnement d'un algorithme
| Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Valeur de U | 3 000 | 3 075 | 3 151,88 | 3 230,67 | 3 311,44 |
| Condition U | vrai | vrai | vrai | vrai | faux |
b) Donner le nombre affiché en sortie d'un algorithme
D'après la question précédente, lorsque l'algorithme s'arrête, 
.
c) Interpréter le résultat d'un algorithme
D'après les questions précédentes, par exemple, c'est au 1er janvier 2004 que le capital dépasse 3 300 € pour la première fois (au 1er janvier 2003, le capital n'était que 3 230,67 €).
> 4. Calculer un terme d'une suite
Le capital au 1er janvier 2013 est 
.
D'après la question 
, donc 
en arrondissant au centime d'euro.
> 5. Déterminer le rang à partir duquel un terme d'une suite atteint un seuil donné
On cherche 
tel que 
.
.
Pour résoudre cette inéquation, on peut calculer les puissances successives de 1,025.
On peut aussi utiliser la fonction ln, strictement croissante sur 
:
.
En effet, 
, donc 
.
Or, 
, donc :
, car 
est un entier naturel.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
PARTIE A
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Notez bien
On applique la formule de dérivation du produit de deux fonctions et la formule de dérivation d'une fonction du type 
.
Pour tout réel 
appartenant à 
:
> 2. Montrer qu'une équation a une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution
On déduit de la question précédente que 
est strictement croissante sur 
.
et 
, donc 
.
étant continue et strictement croissante sur 
, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation 
admet une solution unique, notée α, dans l'intervalle [0 6].
Avec la calculatrice :
et 
, donc 
.
et 
, donc 
.
et 
, donc :
.
> 3. Calculer une intégrale
PARTIE B
> 1. Déterminer le moment où une production atteint un volume donné
On cherche 
tel que 
.
D'après la question 
équivaut à 
.
> 2. Déterminer la valeur moyenne d'une production
La valeur moyenne, en milliers de batteries, de la production sur les six premiers mois est :
.
D'après la partie
.
PARTIE C
Info
Pour les deux questions suivantes, on peut également utiliser la calculatrice.
Soit 
la variable aléatoire qui, à chaque batterie, associe son autonomie en kilomètres.
D'après l'énoncé, 
suit la loi normale de paramètres 
et 
.
> 1. Calculer une probabilité associée à une loi normale
Notez bien
Les trois résultats suivants sont à connaître :
La probabilité de ne pas atteindre la ville située à 160 km est 
.
D'après le cours :
.
Donc : 
.
Or, par symétrie, 
, donc :
> 2. Déterminer si une probabilité associée à une loi normale est supérieure à une valeur donnée
Puisque le trajet aller-retour a une longueur totale de 320 km, la probabilité de pouvoir faire l'aller-retour sans recharge est 
.
D'après le cours, 
, donc :
.
Or, par symétrie, 
, donc :
Notez bien
Puisque X suit une loi continue :
.
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.