Sujet complet de Pondichéry 2014

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet de Pondichéry 2014
 
 

Pondichéry • Avril 2014

matT_1404_12_01C

Sujets complets

4

CORRIGE

 

Pondichéry • Avril 2014

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
Vrai/faux sur les fonctions, avec justification : 4 questions

Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)

>1. La courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur est représentée ci-dessous.

On a tracé la tangente à au point A(– 1 ; 3).

passe par le point B(0 ; – 2).


 

Proposition : le nombre dérivé est égal à .

>2. On désigne par une fonction définie et deux fois dérivable sur.

La courbe représentative de la fonction , dérivée seconde de la fonction , est donnée ci-après.

Le point de coordonnées (1 ; 0) est le seul point d’intersection de cette courbe et de l’axe des abscisses.


 

Proposition : la fonction est convexe sur l’intervalle [1 ; 4].

>3.Proposition : on a l’égalité :

>4. La courbe représentative d’une fonction définie et continue sur l’intervalle [0 ; 2] est donnée en figure 1.

La courbe représentative d’une de ses primitives, , est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de passe par les points A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ; 5).


 

Figure 1


 

Figure 2

Proposition : la valeur exacte de l’aire de la partie grisée sous la courbe de en figure 1 est 4 unités d’aires.

Exercice 2 (5 points)
Modélisation à l’aide d’une suite du nombre d’oiseaux d’un centre de soins

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Une association décide d’ouvrir un centre de soins pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner, puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.

Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.

Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d’une année restent présents le 1er janvier suivant, et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.

On s’intéresse au nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.

La situation peut être modélisée par une suite admettant pour premier terme , le terme donnant une estimation du nombre d’oiseaux l’année

>1. Calculer et . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? (1 point)

>2. Les spécialistes déterminent le nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l’aide d’un algorithme.

a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l’algorithme 3 permet d’estimer le nombre d’oiseaux présents au 1er janvier de l’année

Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. (1 point)

 

Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début

Saisir une valeur pour N

Affecter 115 à U

Pour i de 1 à N faire

Affecter 0,6 U + 120 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin

 

Algorithme 1

 

Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début

Saisir une valeur pour N

Pour i de 1 à N faire

Affecter 115 à U

Affecter 0,4 U + 115 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin

 

Algorithme 2

 

Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début

Saisir une valeur pour N

Affecter 115 à U

Pour i de 1 à N faire

Affecter 0,4 U + 120 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin

 

Algorithme 3

b) Donner, pour tout entier naturel , l’expression de en fonction de . (0,5 point)

>3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser . (0,5 point)

b) Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de . (0,25 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel  :

. (0,5 point)

d) La capacité d’accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse. (0,5 point)

>4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1er janvier.

Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l’on suppose que l’évolution du nombre d’oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Répartition du marché des fontaines d’eau à bonbonnes entre deux sociétés

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d’eau à bonbonnes dans les entreprises d’une grande ville.

Partie A

En 2013, l’entreprise U avait 45 % du marché et l’entreprise V le reste.

Chaque année, l’entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l’entreprise V. Quant à l’entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l’entreprise U.

On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel  :

la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise U l’année , ainsi  ;

la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise V l’année .

>1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V. (0,75 point)

>2. Donner , calculer et . (0,75 point)

>3. On considère l’algorithme (incomplet) donné ci-dessous. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de et pour un entier naturel saisi en entrée.

Compléter les lignes (L5) et (L8) de l’algorithme pour obtenir le résultat attendu (recopier sur la copie la partie « traitement » - lignes L3 à L9 – en complétant les lignes L5 et L8). (1 point)

 

Variables :

Traitement :

Sortie :

N est un nombre entier naturel non nul

U et V des nombres réels

Saisir une valeur pour N

Affecter à U la valeur 0,45

Affecter à V la valeur ……

Pour i allant de 1 jusqu’à N

Affecter à U la valeur 0,9 × U + 0,15 × V

Affecter à V la valeur ……

Fin Pour

Afficher U et Afficher V

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L9

L10

 

>4. On admet que, pour tout nombre entier naturel  :

On note, pour tout nombre entier naturel , .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,75. (0,5 point)

b) Quelle est la limite de la suite  ? En déduire la limite de la suite . Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)

Partie B

L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

 

Nombre de recharges en milliers

1

3

5

Coût total annuel de production en centaines d’euros

11

27,4

83

 

Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel de l’intervalle [0 ; 10] par :

a, b et c sont des nombres réels.

Lorsque le nombre désigne le nombre de milliers de recharges produites, est le coût total de production en centaines d’euros.

On admet que le triplet est solution du système et on pose .

>1. a) Écrire ce système sous la forme , où et sont des matrices que l’on précisera. (0,5 point)

b) On admet que la matrice est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet solution du système . (0,5 point)

>2. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8 000 recharges d’eau produites ? (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude des absences des salariés d’une société une semaine donnée

Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une société s’est intéressée à la probabilité qu’un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l’hiver 2014.

On a évalué à 0,07 la probabilité qu’un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.

Si le salarié n’est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu’il soit absent est estimée à 0,04.

On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les événements suivants :

  •  : le salarié a la grippe une semaine donnée ;
  •  : le salarié est absent une semaine donnée.

>1. Reproduire et compléter l’arbre en indiquant les probabilités de chacune des branches. (1 point)


 

>2. Montrer que la probabilité de l’événement est égale à 0,1072. (0,75 point)

>3. Pour une semaine donnée, calculer la probabilité qu’un salarié ait la grippe sachant qu’il est absent. Donner un résultat arrondi au millième. (1 point)

Partie B

On admet que le nombre de journées d’absence annuel d’un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d’écart type

>1. Justifier, en utilisant un résultat du cours, que :

. (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’un salarié comptabilise au moins 10 journées d’absence dans l’année. (0,75 point)

Partie C

Une mutuelle déclare que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d’absence au travail en 2013.

Afin d’observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle.

Parmi celle-ci, 28 ont comptabilisé plus de 20 journées d’absence en 2013.

Le résultat de l’enquête remet-il en question l’affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s’aider du calcul d’un intervalle de fluctuation. (1 point)

Exercice 4 (6 points)
Coût de fabrication et bénéfice lors d’une production de sorbets

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.

Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction définie pour tout nombre réel de l’intervalle I = [0 ; 3] par :

.

Lorsque représente le nombre de centaines de litres de sorbet, est le coût total de fabrication en centaines d’euros.

La recette, en centaines d’euros, est donnée par une fonction définie sur le même intervalle I.

Partie A

La courbe représentative de la fonction et la droite représentative de la fonction linéaire sont données en annexe.

>1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.

a) Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet. (0,25 point)

b) Donner l’expression de en fonction de . (0,5 point)

c) Combien l’artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l’entreprise dégage un bénéfice ? (0,25 point)

>2. On admet que .

a) En déduire la valeur de . (0,5 point)

b) En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l’euro) du coût total de production. (0,5 point)

Partie B

On note le bénéfice réalisé par l’artisan pour la vente de centaines de litres de sorbet produits. D’après les données précédentes, pour tout de l’intervalle [1 ; 3], on a :

est exprimé en centaines d’euros.

>1. On note la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout nombre de l’intervalle [1 ; 3], on a :

(0,5 point)

>2. On donne le tableau de variation de la fonction dérivée sur l’intervalle [1 ; 3].


 

a) Montrer que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle [1 ; 3]. Donner une valeur approchée de à . (1,25 point)

b) En déduire le signe de sur l’intervalle [1 ; 3], puis dresser le tableau de variation de la fonction sur ce même intervalle. (1,25 point)

>3. L’artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins 850 euros. Est-ce envisageable ? (1 point)

Annexe


 

Exercice 1. Durée conseillée : 40 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Convexité • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

>1. Déterminez à partir des coordonnées des points A et B le coefficient directeur de la tangente .

>2. Utilisez le résultat du cours sur le lien entre la convexité d’une fonction et le signe de sa dérivée seconde.

>3. Utilisez les propriétés de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle.

>4. Si la fonction est continue et positive sur l’intervalle (avec ), alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des ­abscisses, la courbe représentative de et les droites d’équations et ­ est  ; cette intégrale s’exprime à l’aide d’une primitive de .

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>3. a) Montrez qu’il existe un nombre réel indépendant de tel que, pour tout entier naturel , .

>3. b) Utilisez le résultat du cours sur l’expression du terme général d’une suite géométrique dont on connaît le premier terme et la raison.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Boucle « Pour » • Matrice.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>4. a) Montrez que, pour tout entier naturel , .

>4. b) Utilisez le résultat du cours sur la limite d’une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1.

Partie B

>2. Calculez en utilisant les valeurs de , et obtenues à la question précédente.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. Utilisez une partition de l’univers traduisant le fait qu’un salarié absent peut être grippé ou non.

>3. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Partie C

On détermine un intervalle de fluctuation I à 95 % de la fréquence de salariés comptabilisant plus de 20 jours d’absences en 2013, on calcule cette fréquence dans l’échantillon considéré.

La règle de décision est la suivante :

  • si , le résultat de l’enquête ne remet pas en question l’affirmation de la mutuelle ;
  • si , l’affirmation de la mutuelle est remise en question au risque d’erreur de 5 %.

Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. a) Lisez sur le graphique l’ordonnée du point de la droite d’abscisse 1, car la production est en centaines de litres.

>1. b) est une fonction linéaire, donc il existe un réel indépendant de tel que, pour tout , .

Partie B

>2 a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé d’une fonction en un point

est le coefficient directeur de la tangente .

, donc si on note respectivement et les coordonnées des points A et B, le coefficient directeur de (AB) est :

.

Donc .

La proposition1.est fausse.

>2. Étudier la convexité d’une fonction sur un intervalle

 

Attention

est concave sur [1 ; 4].

Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

Graphiquement, est négative sur [1 ; 4] (sa courbe représentative sur cet intervalle est située en-dessous de l’axe des abscisses), donc n’est pas convexe sur [1 ; 4].

La proposition2.est fausse.

>3. Transformer une expression comportant des logarithmes et des exponentielles

 

Notez bien

Pour tout réel strictement positif, .

, donc .

, donc : .

Donc :

La proposition3.est vraie.

>4. Calculer l’aire d’un domaine plan

est continue et positive sur [1 ; 2], donc l’aire de la partie coloriée est, en unités d’aire :

est une primitive de sur [0 ; 2], donc .

Par lecture graphique, et .

Donc .

La proposition4.est vraie.

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. Calculer deux termes d’une suite

 ;

.

Les résultats sont donnés à l’unité près, les valeurs sont arrondies à l’unité car il s’agit d’un nombre d’oiseaux :

>2. a) Étudier le fonctionnement de deux algorithmes

L’algorithme 1 ne donne pas le résultat attendu car il correspond à une situation où 60 % des oiseaux présents au 1er janvier d’une année restent présents le 1er janvier suivant.

L’algorithme 2 ne donne pas non plus le résultat attendu car l’instruction « Affecter 115 à U » se trouve dans la boucle « Pour », donc à chaque étape, le calcul est fait en réinitialisant à 115 la valeur de U, au lieu de garder pour U la valeur précédemment obtenue ; toutes les étapes de la boucle « Pour » donnent donc le même résultat. De plus, la formule correspond à une situation où 40 % des oiseaux restent présents d’une année à la suivante, et où 115 oiseaux nouveaux arrivent dans le centre chaque année.

Donc les algorithmes 1 et 2 ne conviennent pas.

b) Donner une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel, , soit :

>3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel , , donc :

.

De plus, .

est donc une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, si est une suite géométrique de raison et de premier terme alors, pour tout entier naturel , , donc :

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

d) Montrer que tous les termes d’une suite sont inférieurs à un nombre donné

D’après le résultat de la question précédente, pour tout entier naturel  :

.

La capacité d’accueil de 200 oiseaux est donc suffisante si le nombre d’oiseaux continue à évoluer selon les mêmes modalités.

>4. Calculer le montant total des subventions versées

 

Notez bien

2013 est l’année 0, est la montant, en euros, de la subvention versée l’année 2013.

2018 est l’année 5, est la montant, en euros, de la subvention versée l’année 2018.

La période entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 correspond à une période de 6 années.

Si pour tout entier naturel , on note le montant en euros de la subvention perçue par le centre l’année , alors, pour tout entier naturel , .

Le montant total des subventions perçues par le centre pendant la période considérée est :

.

Or d’après le cours, si est un entier naturel non nul et un réel autre que 1, alors :

.

Donc .

D’où :

Du 1erjanvier 2013 au 31 décembre 2018, le centre percevra donc au total environ 21 180 euros de subventions.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

>1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe suivant :


 

>2. Calculer les premiers termes de deux suites

 

Notez bien

car en 2014 (2013 + 1), le client choisi est client de l’entreprise U

ou de l’entreprise V.

car en 2013, l’entreprise V avait 55 % du marché.

 ;

.

>3. Compléter un algorithme

 

Notez bien

Il est incorrect de compléter la ligne L8 par 0,1 × U + 0,85 × V car à la ligne précédente, le terme a déjà été remplacé par et ne permet pas le calcul de .

La partie « Traitement » de l’algorithme peut être complétée de la manière suivante :

 

L3

L4

L5

L6

Saisir une valeur pour N

Affecter à U la valeur 0,45

Affecter à V la valeur 0,55

Pour i allant de 1 jusqu’à N

L7

L8

Affecter à U la valeur 0,9 × U + 0,15 × V

Affecter à V la valeur 1-U

L9

Fin pour

 

Pour la ligne L5, la valeur affectée initialement à V est la valeur de .

La formule saisie ligne L8 permet de calculer .

>4. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

.

est une suite géométrique de raison 0,75.

b) Déterminer la limite de deux suites et interpréter

La suite est une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1, donc la suitea pour limite 0.

pour tout entier naturel , donc la suitea pour limite 0,6.

Cela signifie qu’à long terme, la probabilité qu’un client choisi au hasard soit client de l’entreprise U sera 0,6, c’est-à-dire que l’entreprise U aura 60 % du marché.

Partie B

>1. a) Écrire un système sous forme matricielle

Le système peut s’écrire sous forme matricielle , avec :

b) Résoudre à l’aide de la calculatrice un système écrit sous forme matricielle

équivaut à

D’après la calculatrice :

 et .

Le triplet solution du système est donc :

>2. Calculer un coût de production

D’après le résultat de la question précédente, pour milliers de recharges produites, le coût total de production est, en centaines d’euros :

Pour une production de 8 000 recharges d’eau, et :

.

Donc, pour 8 000 recharges d’eau produites, le coût total de production est 29 240 euros.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Compléter un arbre de probabilités

D’après l’énoncé, , ,  ;

donc et , d’où l’arbre de probabilités :


 

>2. Calculer la probabilité d’un événement

et forment une partition de l’univers, donc :

.

Or, car un salarié grippé est absent, donc :

.

.

Donc :

>3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’un salarié ait la grippe sachant qu’il est absent est :

Partie B

>1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Puisque suit la loi normale de moyenne et d’écart type  :

Or d’après le cours, pour toute variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne et d’écart type  :

Donc :

>2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

 

Notez bien

Si suit une loi normale de moyenne 14, alors : .

La probabilité qu’un salarié comptabilise au moins 10 journées d’absence dans l’année est :

.

D’après la calculatrice, .

Donc la probabilité qu’un salarié comptabilise au moins 10 journées d’absence dans l’année est égale, en arrondissant au millième, à 0,873.

Partie C

Prendre une décision en utilisant un intervalle de fluctuation

D’après l’affirmation de la mutuelle, la proportion de personnes, parmi ses adhérents, comptabilisant plus de 20 journées d’absence en 2013 est égale à 0,22.

On considère un échantillon de 200 personnes, c’est-à-dire un échantillon de taille .

 

Notez bien

Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence d’individus ayant dépassé 20 journées d’absence en 2013 est un intervalle dans lequel la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille , associe la fréquence d’individus ayant plus de 20 journées d’absence en 2013 prend ses valeurs avec une probabilité au moins égale à 0,95.

On peut, si les conditions sont remplies, déterminer différents intervalles de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence d’individus ayant dépassé 20 journées d’absence en 2013 sur un échantillon de taille 200.

  • Intervalle de fluctuation « simplifié » vu en seconde :

les conditions sont remplies.

  • Intervalle de fluctuation asymptotique :

les conditions sont remplies.

.

  • À partir de la loi binomiale

Si on considère la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille 200 associe le nombre d’individus de l’échantillon ayant dépassé 20 journées d’absence en 2013, alors suit la loi binomiale de paramètres 200 et 0,22.

En effet, est égale au nombre de « succès » (dépasser 20 journées d’absence en 2013) lors de la répétition de 200 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec, pour chaque épreuve, une probabilité de succès égale à 0,22.

On détermine les entiers et définis par :

est le plus petit entier tel que  ;

est le plus petit entier tel que

À l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, on obtient et

 

Notez bien

La décision est prise « au risque d’erreur de 5 % », qui est le risque de rejeter à tort l’hypothèse faite sur la proportion dans la population ; en effet, même avec une proportion réellement égale à 0,22, près de 5 % des échantillons de taille 200 donnent une fréquence à l’extérieur de l’intervalle de fluctuation.

L’intervalle , soit , est également un intervalle de fluctuation (déterminé à partir de la loi binomiale) au seuil de 95 % de la fréquence d’individus ayant dépassé 20 journées d’absence en 2013 sur un échantillon de taille 200.

Sur l’échantillon étudié, la fréquence d’individus ayant dépassé 20 journées d’absence est :

.

Cette fréquence n’appartient à aucun des intervalles de fluctuation.

Donc, au risque d’erreur de 5 %, le résultat de l’enquête remet en question l’affirmation de la mutuelle.

Remarques :

La fréquence est trop éloignée de pour que l’écart entre les deux valeurs puisse être seulement justifié par la fluctuation d’échantillonnage.

La valeur de obtenue laisse penser que la proportion réelle parmi les adhérents d’individus ayant dépassé 20 journées d’absence en 2013 est inférieure à 22 %.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. a) Déterminer une valeur par lecture graphique

Puisque la quantité de sorbet est exprimée en centaines de litres, alors le prix de vente de 100 litres de sorbet est en centaines d’euros.

Par lecture graphique, .

Donc 100 litres de sorbet sont vendus 1 000 euros.

b) Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire

 

Notez bien

La fonction est représentée par une droite (ici un segment de droite) passant par l’origine du repère.

est une fonction linéaire, donc il existe un réel tel que, pour tout appartenant à l’intervalle I = [0 ; 3],

, donc et, pour tout appartenant à l’intervalle I = [0 ; 3] :

c) Déterminer les productions dégageant un bénéfice

L’entreprise dégage un bénéfice si et seulement si est tel que , c’est-à-dire si et seulement si le point de d’abscisse se trouve au-dessus du point de de même abscisse .

Graphiquement, est au-dessus de si et seulement si est supérieur ou égal à 1 (la droite et la courbe ont un seul point commun d’abscisse 1).

L’artisan doit donc produire au moins 100 litres de sorbets pour que l’entreprise dégage un bénéfice.

>2. a) Calculer une intégrale

 

Notez bien

La fonction est une primitive sur ℝ de la fonction .

d’après la propriété de linéarité de l’intégrale.

Donc :

b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [1 ; 3] est :

.

La valeur moyenne du coût total de production, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, est donc, arrondie à l’euro, 1 390 euros.

Partie B

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à [1 ; 3] :

.

Donc :

>2. a) Montrer qu’une équation a une unique solution dans un intervalle donné ; donner une valeur approchée de cette solution

La fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [1 ; 3].

 ; .

Donc .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, dans le cas d’une fonction continue strictement monotone, l’équation admet une unique solution dans l’intervalle [1 ; 3].

Avec la calculatrice :

et .

Donc , donc

De même :

et .

Donc , donc , d’où :

b) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

D’après les questions précédentes :

si

si .

D’où le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle [1 ; 3] :


 

 ; .

>3. Déterminer si une fonction atteint une valeur donnée

est maximal pour , avec

et , ce qui correspond à un bénéfice d’environ 843,29 euros.

Il ne semble donc pas envisageable d’atteindre un bénéfice de 850 euros.