Pondichéry &bull Avril 2014
matT_1404_12_01C
Sujets complets
4
CORRIGE
Pondichéry &bull Avril 2014
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (4 points)
Vrai/faux sur les fonctions, avec justification : 4 questions
Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)
représentative d&rsquo une fonction
définie et dérivable sur

Proposition : le nombre dérivé est égal à
.
une fonction définie et deux fois dérivable sur
.
La courbe représentative de la fonction , dérivée seconde de la fonction
, est donnée ci-après.
Le point de coordonnées (1 0) est le seul point d&rsquo intersection de cette courbe et de l&rsquo axe des abscisses.

Proposition : la fonction est convexe sur l&rsquo intervalle [1 4].
définie et continue sur l&rsquo intervalle [0 2] est donnée en figure 1.
La courbe représentative d&rsquo une de ses primitives, , est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de
passe par les points A(0 1), B(1 1) et C(2 5).

Figure 1

Figure 2
Proposition : la valeur exacte de l&rsquo aire de la partie grisée sous la courbe de en figure 1 est 4 unités d&rsquo aires.
Exercice 2 (5 points)
Modélisation à l&rsquo aide d&rsquo une suite du nombre d&rsquo oiseaux d&rsquo un centre de soins
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
Une association décide d&rsquo ouvrir un centre de soins pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner, puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.
Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d&rsquo une année restent présents le 1er janvier suivant, et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
On s&rsquo intéresse au nombre d&rsquo oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.
La situation peut être modélisée par une suite admettant pour premier terme
, le terme
donnant une estimation du nombre d&rsquo oiseaux l&rsquo année
et
. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? (1 point)
Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. (1 point)
Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début |
||
|
Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire |
|
|
|
|
|
Fin Pour Afficher U |
|
Fin |
Algorithme 1
Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début |
||
|
Saisir une valeur pour N Pour i de 1 à N faire |
|
|
|
Affecter 115 à U |
|
Fin Pour Afficher U |
|
Fin |
Algorithme 2
Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début |
||
|
Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire |
|
|
|
|
|
Fin Pour Afficher U |
|
Fin |
Algorithme 3
, l&rsquo expression de
en fonction de
. (0,5 point)
définie pour tout entier naturel
par :
est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser
. (0,5 point)
,
en fonction de
. (0,25 point)
:
Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l&rsquo on suppose que l&rsquo évolution du nombre d&rsquo oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. (0,75 point)
Exercice 2 (5 points)
Répartition du marché des fontaines d&rsquo eau à bonbonnes entre deux sociétés
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Les parties A et B sont indépendantes.
Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d&rsquo eau à bonbonnes dans les entreprises d&rsquo une grande ville.
Partie A
En 2013, l&rsquo entreprise U avait 45 % du marché et l&rsquo entreprise V le reste.
Chaque année, l&rsquo entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l&rsquo entreprise V. Quant à l&rsquo entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l&rsquo entreprise U.
On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel :
la probabilité qu&rsquo il soit un client de l&rsquo entreprise U l&rsquo année
, ainsi
la probabilité qu&rsquo il soit un client de l&rsquo entreprise V l&rsquo année
.
, calculer
et
. (0,75 point)
et
pour un entier naturel
saisi en entrée.
Compléter les lignes (L5) et (L8) de l&rsquo algorithme pour obtenir le résultat attendu (recopier sur la copie la partie « traitement »
Variables : Traitement : Sortie : |
N est un nombre entier naturel non nul U et V des nombres réels Saisir une valeur pour N Affecter à U la valeur 0,45 Affecter à V la valeur &hellip &hellip Pour i allant de 1 jusqu&rsquo à N Affecter à U la valeur 0,9 × U + 0,15 × V Affecter à V la valeur &hellip &hellip Fin Pour Afficher U et Afficher V |
L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 |
:
On note, pour tout nombre entier naturel ,
.
est une suite géométrique de raison 0,75. (0,5 point)
? En déduire la limite de la suite
. Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)
Partie B
L&rsquo entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :
Nombre de recharges en milliers |
1 |
3 |
5 |
Coût total annuel de production en centaines d&rsquo euros |
11 |
27,4 |
83 |
Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel de l&rsquo intervalle [0 10] par :
a, b et c sont des nombres réels.
Lorsque le nombre désigne le nombre de milliers de recharges produites,
est le coût total de production en centaines d&rsquo euros.
On admet que le triplet est solution du système
et on pose
.
, où
et
sont des matrices que l&rsquo on précisera. (0,5 point)
est inversible. Déterminer, à l&rsquo aide de la calculatrice, le triplet
solution du système
. (0,5 point)
Exercice 3 (5 points)
Étude des absences des salariés d&rsquo une société une semaine donnée
Commun à tous les candidats
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A
Une société s&rsquo est intéressée à la probabilité qu&rsquo un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l&rsquo hiver 2014.
On a évalué à 0,07 la probabilité qu&rsquo un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.
Si le salarié n&rsquo est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu&rsquo il soit absent est estimée à 0,04.
On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les événements suivants :

de l&rsquo événement
est égale à 0,1072. (0,75 point)
Partie B
On admet que le nombre de journées d&rsquo absence annuel d&rsquo un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne
et d&rsquo écart type
Partie C
Une mutuelle déclare que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d&rsquo absence au travail en 2013.
Afin d&rsquo observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle.
Parmi celle-ci, 28 ont comptabilisé plus de 20 journées d&rsquo absence en 2013.
Le résultat de l&rsquo enquête remet-il en question l&rsquo affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s&rsquo aider du calcul d&rsquo un intervalle de fluctuation. (1 point)
Exercice 4 (6 points)
Coût de fabrication et bénéfice lors d&rsquo une production de sorbets
Commun à tous les candidats
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio » . Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction définie pour tout nombre réel
de l&rsquo intervalle I
Lorsque représente le nombre de centaines de litres de sorbet,
est le coût total de fabrication en centaines d&rsquo euros.
La recette, en centaines d&rsquo euros, est donnée par une fonction définie sur le même intervalle I.
Partie A
La courbe représentative de la fonction
et la droite
représentative de la fonction linéaire
sont données en annexe.
en fonction de
. (0,5 point)
. (0,5 point)
Partie B
On note le bénéfice réalisé par l&rsquo artisan pour la vente de
centaines de litres de sorbet produits. D&rsquo après les données précédentes, pour tout
de l&rsquo intervalle [1 3], on a :
où est exprimé en centaines d&rsquo euros.
la fonction dérivée de la fonction
.
Montrer que, pour tout nombre de l&rsquo intervalle [1 3], on a :
sur l&rsquo intervalle [1 3].

admet une unique solution
dans l&rsquo intervalle [1 3]. Donner une valeur approchée de
à
. (1,25 point)
sur l&rsquo intervalle [1 3], puis dresser le tableau de variation de la fonction
sur ce même intervalle. (1,25 point)
Annexe

Exercice 1. Durée conseillée : 40 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivée &bull Tangente &bull Convexité &bull Fonction exponentielle &bull Fonction logarithme népérien &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire.
Les conseils du correcteur
.
est continue et positive sur l&rsquo intervalle
(avec
), alors l&rsquo aire, en unités d&rsquo aire, du domaine délimité par l&rsquo axe des ­ abscisses, la courbe représentative de
et les droites d&rsquo équations
et ­
est
cette intégrale s&rsquo exprime à l&rsquo aide d&rsquo une primitive
de
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Boucle « Pour » &bull Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
indépendant de
tel que, pour tout entier naturel
,
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphe probabiliste &bull Boucle « Pour » &bull Matrice.
Les conseils du correcteur
Partie A
,
.
Partie B
en utilisant les valeurs de
,
et
obtenues à la question précédente.
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Loi à densité, loi normale &bull Intervalle de fluctuation.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie C
On détermine un intervalle de fluctuation I à 95 % de la fréquence de salariés comptabilisant plus de 20 jours d&rsquo absences en 2013, on calcule cette fréquence dans l&rsquo échantillon considéré.
La règle de décision est la suivante :
Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonction logarithme népérien &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires.
Les conseils du correcteur
Partie A
d&rsquo abscisse 1, car la production est en centaines de litres.
est une fonction linéaire, donc il existe un réel
indépendant de
tel que, pour tout
,
.
Partie B
Commun à tous les candidats