Sujet complet de Pondichéry 2014

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Sujet complet de Pondichéry 2014
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Pondichéry &bull Avril 2014

matT_1404_12_01C

Sujets complets

4

CORRIGE

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Pondichéry &bull Avril 2014

Sujet complet &bull 20 points

Exercice 1 (4 points)
Vrai/faux sur les fonctions, avec justification : 4 questions

Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)

&gt 1. La courbe représentative d&rsquo une fonction définie et dérivable sur est représentée ci-dessous.

On a tracé la tangente à au point A(&ndash  1  3).

passe par le point B(0  &ndash  2).


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Proposition : le nombre dérivé est égal à .

&gt 2. On désigne par une fonction définie et deux fois dérivable sur.

La courbe représentative de la fonction , dérivée seconde de la fonction , est donnée ci-après.

Le point de coordonnées (1  0) est le seul point d&rsquo intersection de cette courbe et de l&rsquo axe des abscisses.


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Proposition : la fonction est convexe sur l&rsquo intervalle [1  4].

&gt 3.Proposition : on a l&rsquo égalité :

&gt 4. La courbe représentative d&rsquo une fonction définie et continue sur l&rsquo intervalle [0  2] est donnée en figure 1.

La courbe représentative d&rsquo une de ses primitives, , est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de passe par les points A(0  1), B(1  1) et C(2  5).


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Figure 1


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Figure 2

Proposition : la valeur exacte de l&rsquo aire de la partie grisée sous la courbe de en figure 1 est 4 unités d&rsquo aires.

Exercice 2 (5 points)
Modélisation à l&rsquo aide d&rsquo une suite du nombre d&rsquo oiseaux d&rsquo un centre de soins

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L

Une association décide d&rsquo ouvrir un centre de soins pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner, puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.

Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.

Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d&rsquo une année restent présents le 1er janvier suivant, et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.

On s&rsquo intéresse au nombre d&rsquo oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.

La situation peut être modélisée par une suite admettant pour premier terme , le terme donnant une estimation du nombre d&rsquo oiseaux l&rsquo année

&gt 1. Calculer et . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? (1 point)

&gt 2. Les spécialistes déterminent le nombre d&rsquo oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l&rsquo aide d&rsquo un algorithme.

a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l&rsquo algorithme 3 permet d&rsquo estimer le nombre d&rsquo oiseaux présents au 1er janvier de l&rsquo année

Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. (1 point)

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Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début

Saisir une valeur pour N

Affecter 115 à U

Pour i de 1 à N faire

Affecter 0,6 U + 120 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin

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Algorithme 1

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Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début

Saisir une valeur pour N

Pour i de 1 à N faire

Affecter 115 à U

Affecter 0,4 U + 115 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin

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Algorithme 2

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Variables

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Début

Saisir une valeur pour N

Affecter 115 à U

Pour i de 1 à N faire

Affecter 0,4 U + 120 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin

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Algorithme 3

b) Donner, pour tout entier naturel , l&rsquo expression de en fonction de . (0,5 point)

&gt 3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser . (0,5 point)

b) Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de . (0,25 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel  :

. (0,5 point)

d) La capacité d&rsquo accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse. (0,5 point)

&gt 4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1er janvier.

Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l&rsquo on suppose que l&rsquo évolution du nombre d&rsquo oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Répartition du marché des fontaines d&rsquo eau à bonbonnes entre deux sociétés

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d&rsquo eau à bonbonnes dans les entreprises d&rsquo une grande ville.

Partie A

En 2013, l&rsquo entreprise U avait 45 % du marché et l&rsquo entreprise V le reste.

Chaque année, l&rsquo entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l&rsquo entreprise V. Quant à l&rsquo entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l&rsquo entreprise U.

On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel  :

la probabilité qu&rsquo il soit un client de l&rsquo entreprise U l&rsquo année , ainsi

la probabilité qu&rsquo il soit un client de l&rsquo entreprise V l&rsquo année .

&gt 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V. (0,75 point)

&gt 2. Donner , calculer et . (0,75 point)

&gt 3. On considère l&rsquo algorithme (incomplet) donné ci-dessous. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de et pour un entier naturel saisi en entrée.

Compléter les lignes (L5) et (L8) de l&rsquo algorithme pour obtenir le résultat attendu (recopier sur la copie la partie &laquo  traitement &raquo - lignes L3 à L9 &ndash en complétant les lignes L5 et L8). (1 point)

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Variables :

Traitement :

Sortie :

N est un nombre entier naturel non nul

U et V des nombres réels

Saisir une valeur pour N

Affecter à U la valeur 0,45

Affecter à V la valeur &hellip &hellip

Pour i allant de 1 jusqu&rsquo à N

Affecter à U la valeur 0,9 &times U + 0,15 &times V

Affecter à V la valeur &hellip &hellip

Fin Pour

Afficher U et Afficher V

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L9

L10

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&gt 4. On admet que, pour tout nombre entier naturel  :

On note, pour tout nombre entier naturel , .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,75. (0,5 point)

b) Quelle est la limite de la suite  ? En déduire la limite de la suite . Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)

Partie B

L&rsquo entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

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Nombre de recharges en milliers

1

3

5

Coût total annuel de production en centaines d&rsquo euros

11

27,4

83

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Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel de l&rsquo intervalle [0  10] par :

a, b et c sont des nombres réels.

Lorsque le nombre désigne le nombre de milliers de recharges produites, est le coût total de production en centaines d&rsquo euros.

On admet que le triplet est solution du système et on pose .

&gt 1. a) Écrire ce système sous la forme , où et sont des matrices que l&rsquo on précisera. (0,5 point)

b) On admet que la matrice est inversible. Déterminer, à l&rsquo aide de la calculatrice, le triplet solution du système . (0,5 point)

&gt 2. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8 000 recharges d&rsquo eau produites ? (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude des absences des salariés d&rsquo une société une semaine donnée

Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une société s&rsquo est intéressée à la probabilité qu&rsquo un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l&rsquo hiver 2014.

On a évalué à 0,07 la probabilité qu&rsquo un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.

Si le salarié n&rsquo est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu&rsquo il soit absent est estimée à 0,04.

On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les événements suivants :

  •  : le salarié a la grippe une semaine donnée 
  •  : le salarié est absent une semaine donnée.

&gt 1. Reproduire et compléter l&rsquo arbre en indiquant les probabilités de chacune des branches. (1 point)


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&gt 2. Montrer que la probabilité de l&rsquo événement est égale à 0,1072. (0,75 point)

&gt 3. Pour une semaine donnée, calculer la probabilité qu&rsquo un salarié ait la grippe sachant qu&rsquo il est absent. Donner un résultat arrondi au millième. (1 point)

Partie B

On admet que le nombre de journées d&rsquo absence annuel d&rsquo un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d&rsquo écart type

&gt 1. Justifier, en utilisant un résultat du cours, que :

. (0,5 point)

&gt 2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu&rsquo un salarié comptabilise au moins 10 journées d&rsquo absence dans l&rsquo année. (0,75 point)

Partie C

Une mutuelle déclare que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d&rsquo absence au travail en 2013.

Afin d&rsquo observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle.

Parmi celle-ci, 28 ont comptabilisé plus de 20 journées d&rsquo absence en 2013.

Le résultat de l&rsquo enquête remet-il en question l&rsquo affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s&rsquo aider du calcul d&rsquo un intervalle de fluctuation. (1 point)

Exercice 4 (6 points)
Coût de fabrication et bénéfice lors d&rsquo une production de sorbets

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Un artisan glacier commercialise des &laquo  sorbets bio &raquo . Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.

Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction définie pour tout nombre réel de l&rsquo intervalle I = [0  3] par :

.

Lorsque représente le nombre de centaines de litres de sorbet, est le coût total de fabrication en centaines d&rsquo euros.

La recette, en centaines d&rsquo euros, est donnée par une fonction définie sur le même intervalle I.

Partie A

La courbe représentative de la fonction et la droite représentative de la fonction linéaire sont données en annexe.

&gt 1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.

a) Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet. (0,25 point)

b) Donner l&rsquo expression de en fonction de . (0,5 point)

c) Combien l&rsquo artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l&rsquo entreprise dégage un bénéfice ? (0,25 point)

&gt 2. On admet que .

a) En déduire la valeur de . (0,5 point)

b) En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l&rsquo euro) du coût total de production. (0,5 point)

Partie B

On note le bénéfice réalisé par l&rsquo artisan pour la vente de centaines de litres de sorbet produits. D&rsquo après les données précédentes, pour tout de l&rsquo intervalle [1  3], on a :

est exprimé en centaines d&rsquo euros.

&gt 1. On note la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout nombre de l&rsquo intervalle [1  3], on a :

(0,5 point)

&gt 2. On donne le tableau de variation de la fonction dérivée sur l&rsquo intervalle [1  3].


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a) Montrer que l&rsquo équation admet une unique solution dans l&rsquo intervalle [1  3]. Donner une valeur approchée de à . (1,25 point)

b) En déduire le signe de sur l&rsquo intervalle [1  3], puis dresser le tableau de variation de la fonction sur ce même intervalle. (1,25 point)

&gt 3. L&rsquo artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s&rsquo il peut atteindre un bénéfice d&rsquo au moins 850 euros. Est-ce envisageable ? (1 point)

Annexe


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Exercice 1. Durée conseillée : 40 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Tangente &bull Convexité &bull Fonction exponentielle &bull Fonction logarithme népérien &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire.

Les conseils du correcteur

&gt 1. Déterminez à partir des coordonnées des points A et B le coefficient directeur de la tangente .

&gt 2. Utilisez le résultat du cours sur le lien entre la convexité d&rsquo une fonction et le signe de sa dérivée seconde.

&gt 3. Utilisez les propriétés de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle.

&gt 4. Si la fonction est continue et positive sur l&rsquo intervalle (avec ), alors l&rsquo aire, en unités d&rsquo aire, du domaine délimité par l&rsquo axe des &shy abscisses, la courbe représentative de et les droites d&rsquo équations et &shy est   cette intégrale s&rsquo exprime à l&rsquo aide d&rsquo une primitive de .

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Boucle &laquo  Pour &raquo &bull Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

&gt 3. a) Montrez qu&rsquo il existe un nombre réel indépendant de tel que, pour tout entier naturel , .

&gt 3. b) Utilisez le résultat du cours sur l&rsquo expression du terme général d&rsquo une suite géométrique dont on connaît le premier terme et la raison.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste &bull Boucle &laquo  Pour &raquo &bull Matrice.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

&gt 4. a) Montrez que, pour tout entier naturel , .

&gt 4. b) Utilisez le résultat du cours sur la limite d&rsquo une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1.

Partie B

&gt 2. Calculez en utilisant les valeurs de , et obtenues à la question précédente.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Loi à densité, loi normale &bull Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 2. Utilisez une partition de l&rsquo univers traduisant le fait qu&rsquo un salarié absent peut être grippé ou non.

&gt 3. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Partie C

On détermine un intervalle de fluctuation I à 95 % de la fréquence de salariés comptabilisant plus de 20 jours d&rsquo absences en 2013, on calcule cette fréquence dans l&rsquo échantillon considéré.

La règle de décision est la suivante :

  • si , le résultat de l&rsquo enquête ne remet pas en question l&rsquo affirmation de la mutuelle 
  • si , l&rsquo affirmation de la mutuelle est remise en question au risque d&rsquo erreur de 5 %.

Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. a) Lisez sur le graphique l&rsquo ordonnée du point de la droite d&rsquo abscisse 1, car la production est en centaines de litres.

&gt 1. b) est une fonction linéaire, donc il existe un réel indépendant de tel que, pour tout , .

Partie B

&gt 2 a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.