Pondichéry • Avril 2014
matT_1404_12_01C
Sujets complets
4
CORRIGE
Pondichéry • Avril 2014
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (4 points)
Vrai/faux sur les fonctions, avec justification : 4 questions
Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)
représentative d'une fonction 
définie et dérivable sur
On a tracé la tangente 
à 
au point A(– 1 3).
passe par le point B(0 – 2).
Proposition : le nombre dérivé 
est égal à 
.
une fonction définie et deux fois dérivable sur
.
La courbe représentative de la fonction 
, dérivée seconde de la fonction 
, est donnée ci-après.
Le point de coordonnées (1 0) est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.
Proposition : la fonction 
est convexe sur l'intervalle [1 4].
définie et continue sur l'intervalle [0 2] est donnée en figure 1.
La courbe représentative d'une de ses primitives, 
, est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de 
passe par les points A(0 1), B(1 1) et C(2 5).
Figure 1
Figure 2
Proposition : la valeur exacte de l'aire de la partie grisée sous la courbe de 
en figure 1 est 4 unités d'aires.
Exercice 2 (5 points)
Modélisation à l'aide d'une suite du nombre d'oiseaux d'un centre de soins
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
Une association décide d'ouvrir un centre de soins pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner, puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.
Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d'une année restent présents le 1er janvier suivant, et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.
La situation peut être modélisée par une suite 
admettant pour premier terme 
, le terme 
donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année 
et 
. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? (1 point)
Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. (1 point)
| Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début | ||
|
| Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire | |
|
|
| Affecter 0,6 |
|
| Fin Pour Afficher U | |
| Fin | ||
Algorithme 1
| Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début | ||
|
| Saisir une valeur pour N Pour i de 1 à N faire | |
|
|
| Affecter 115 à U Affecter 0,4 |
|
| Fin Pour Afficher U | |
| Fin | ||
Algorithme 2
| Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début | ||
|
| Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire | |
|
|
| Affecter 0,4 |
|
| Fin Pour Afficher U | |
| Fin | ||
Algorithme 3
, l'expression de 
en fonction de 
. (0,5 point)
définie pour tout entier naturel 
par :
.
est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser 
. (0,5 point)
, 
en fonction de 
. (0,25 point)
:
. (0,5 point)
Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. (0,75 point)
Exercice 2 (5 points)
Répartition du marché des fontaines d'eau à bonbonnes entre deux sociétés
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B sont indépendantes.
Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.
Partie A
En 2013, l'entreprise U avait 45 % du marché et l'entreprise V le reste.
Chaque année, l'entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.
On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel 
:
la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année 
, ainsi 
la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année 
.
, calculer 
et 
. (0,75 point)
et 
pour un entier naturel 
saisi en entrée.
Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu (recopier sur la copie la partie « traitement »
| Variables : Traitement : Sortie : | N est un nombre entier naturel non nul U et V des nombres réels Saisir une valeur pour N Affecter à U la valeur 0,45 Affecter à V la valeur …… Pour i allant de 1 jusqu'à N Affecter à U la valeur 0,9 × U + 0,15 × V Affecter à V la valeur …… Fin Pour Afficher U et Afficher V | L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 |
:
On note, pour tout nombre entier naturel 
, 
.
est une suite géométrique de raison 0,75. (0,5 point)
? En déduire la limite de la suite 
. Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)
Partie B
L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :
| Nombre de recharges en milliers | 1 | 3 | 5 |
| Coût total annuel de production en centaines d'euros | 11 | 27,4 | 83 |
Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel 
de l'intervalle [0 10] par :
a, b et c sont des nombres réels.
Lorsque le nombre 
désigne le nombre de milliers de recharges produites, 
est le coût total de production en centaines d'euros.
On admet que le triplet 
est solution du système 
et on pose 
.
, où 
et 
sont des matrices que l'on précisera. (0,5 point)
est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet 
solution du système 
. (0,5 point)
Exercice 3 (5 points)
Étude des absences des salariés d'une société une semaine donnée
Commun à tous les candidats
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A
Une société s'est intéressée à la probabilité qu'un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l'hiver 2014.
On a évalué à 0,07 la probabilité qu'un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.
Si le salarié n'est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu'il soit absent est estimée à 0,04.
On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les événements suivants :
: le salarié a la grippe une semaine donnée 
: le salarié est absent une semaine donnée.
de l'événement 
est égale à 0,1072. (0,75 point)
Partie B
On admet que le nombre de journées d'absence annuel d'un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire 
qui suit la loi normale de moyenne 
et d'écart type 
. (0,5 point)
Partie C
Une mutuelle déclare que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013.
Afin d'observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle.
Parmi celle-ci, 28 ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence en 2013.
Le résultat de l'enquête remet-il en question l'affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation. (1 point)
Exercice 4 (6 points)
Coût de fabrication et bénéfice lors d'une production de sorbets
Commun à tous les candidats
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction 
définie pour tout nombre réel 
de l'intervalle I
.
Lorsque 
représente le nombre de centaines de litres de sorbet, 
est le coût total de fabrication en centaines d'euros.
La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction 
définie sur le même intervalle I.
Partie A
La courbe 
représentative de la fonction 
et la droite 
représentative de la fonction linéaire 
sont données en annexe.
en fonction de 
. (0,5 point)
.
. (0,5 point)
Partie B
On note 
le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de 
centaines de litres de sorbet produits. D'après les données précédentes, pour tout 
de l'intervalle [1 3], on a :
où 
est exprimé en centaines d'euros.
la fonction dérivée de la fonction 
.
Montrer que, pour tout nombre 
de l'intervalle [1 3], on a :
(0,5 point)
sur l'intervalle [1 3].
admet une unique solution 
dans l'intervalle [1 3]. Donner une valeur approchée de 
à 
. (1,25 point)
sur l'intervalle [1 3], puis dresser le tableau de variation de la fonction 
sur ce même intervalle. (1,25 point)
Annexe
Exercice 1. Durée conseillée : 40 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Convexité • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calcul d'aire.
Les conseils du correcteur
.
est continue et positive sur l'intervalle 
(avec 
), alors l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de 
et les droites d'équations 
et 
est 
cette intégrale s'exprime à l'aide d'une primitive 
de 
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Boucle « Pour » • Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
indépendant de 
tel que, pour tout entier naturel 
, 
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphe probabiliste • Boucle « Pour » • Matrice.
Les conseils du correcteur
Partie A
, 
.
Partie B
en utilisant les valeurs de 
, 
et 
obtenues à la question précédente.
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie C
On détermine un intervalle de fluctuation I à 95 % de la fréquence de salariés comptabilisant plus de 20 jours d'absences en 2013, on calcule cette fréquence 
dans l'échantillon considéré.
La règle de décision est la suivante :
- si
, le résultat de l'enquête ne remet pas en question l'affirmation de la mutuelle - si
, l'affirmation de la mutuelle est remise en question au risque d'erreur de 5 %.
Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Fonction logarithme népérien • Intégrale, calcul d'aire • Valeur moyenne d'une fonction • Variations d'une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.
Les conseils du correcteur
Partie A
d'abscisse 1, car la production est en centaines de litres.
est une fonction linéaire, donc il existe un réel 
indépendant de 
tel que, pour tout 
, 
.
Partie B
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé d'une fonction en un point
est le coefficient directeur de la tangente 
.
, donc si on note respectivement 
et 
les coordonnées des points A et B, le coefficient directeur de (AB) est :
.
Donc 
.
> 2. Étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle
Attention
est concave sur [1 4].
Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Graphiquement, 
est négative sur [1 4] (sa courbe représentative sur cet intervalle est située en-dessous de l'axe des abscisses), donc 
n'est pas convexe sur [1 4].
> 3. Transformer une expression comportant des logarithmes et des exponentielles
Notez bien
Pour tout réel 
strictement positif, 
.
, donc 
.
, donc : 
.
Donc :
> 4. Calculer l'aire d'un domaine plan
est continue et positive sur [1 2], donc l'aire de la partie coloriée est, en unités d'aire :
est une primitive de 
sur [0 2], donc 
.
Par lecture graphique, 
et 
.
Donc 
.
Exercice 2
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. Calculer deux termes d'une suite
.
Les résultats sont donnés à l'unité près, les valeurs sont arrondies à l'unité car il s'agit d'un nombre d'oiseaux :
> 2. a) Étudier le fonctionnement de deux algorithmes
L'algorithme 1 ne donne pas le résultat attendu car il correspond à une situation où 60 % des oiseaux présents au 1er janvier d'une année restent présents le 1er janvier suivant.
L'algorithme 2 ne donne pas non plus le résultat attendu car l'instruction « Affecter 115 à U » se trouve dans la boucle « Pour », donc à chaque étape, le calcul est fait en réinitialisant à 115 la valeur de U, au lieu de garder pour U la valeur précédemment obtenue toutes les étapes de la boucle « Pour » donnent donc le même résultat. De plus, la formule 
correspond à une situation où 40 % des oiseaux restent présents d'une année à la suivante, et où 115 oiseaux nouveaux arrivent dans le centre chaque année.
b) Donner une relation entre deux termes consécutifs d'une suite
Pour tout entier naturel, 
, soit :
> 3. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
, 
, donc :
.
De plus, 
.
b) Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique
D'après le cours, si 
est une suite géométrique de raison 
et de premier terme 
alors, pour tout entier naturel 
, 
, donc :
c) Donner l'expression du terme général d'une suite associée à une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
d) Montrer que tous les termes d'une suite sont inférieurs à un nombre donné
D'après le résultat de la question précédente, pour tout entier naturel 
:
.
> 4. Calculer le montant total des subventions versées
Notez bien
2013 est l'année 0, 
est la montant, en euros, de la subvention versée l'année 2013.
2018 est l'année 5, 
est la montant, en euros, de la subvention versée l'année 2018.
La période entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 correspond à une période de 6 années.
Si pour tout entier naturel 
, on note 
le montant en euros de la subvention perçue par le centre l'année 
, alors, pour tout entier naturel 
, 
.
Le montant total des subventions perçues par le centre pendant la période considérée est :
.
Or d'après le cours, si 
est un entier naturel non nul et 
un réel autre que 1, alors :
.
Donc 
.
D'où : 
Exercice 2
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
> 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste
La situation peut être représentée par le graphe suivant :
> 2. Calculer les premiers termes de deux suites
Notez bien
car en 2014 (2013
ou de l'entreprise V.
car en 2013, l'entreprise V avait 55 % du marché.
.
> 3. Compléter un algorithme
Notez bien
Il est incorrect de compléter la ligne L8 par 0,1 × U 
a déjà été remplacé par 
et ne permet pas le calcul de 
.
La partie « Traitement » de l'algorithme peut être complétée de la manière suivante :
| L3 L4 L5 L6 | Saisir une valeur pour N Affecter à U la valeur 0,45 Affecter à V la valeur Pour i allant de 1 jusqu'à N | |
| L7 L8 |
| Affecter à U la valeur 0,9 × U + 0,15 × V Affecter à V la valeur |
| L9 | Fin pour | |
Pour la ligne L5, la valeur affectée initialement à V est la valeur de 
.
La formule saisie ligne L8 permet de calculer 
.
> 4. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
.
b) Déterminer la limite de deux suites et interpréter
La suite 
est une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1, donc 
pour tout entier naturel 
, donc 
Cela signifie qu'à long terme, la probabilité qu'un client choisi au hasard soit client de l'entreprise U sera 0,6, c'est-à-dire que
Partie B
> 1. a) Écrire un système sous forme matricielle
Le système 
peut s'écrire sous forme matricielle 
, avec :
b) Résoudre à l'aide de la calculatrice un système écrit sous forme matricielle
équivaut à 
D'après la calculatrice :
et 
.
Le triplet solution du système 
est donc :
> 2. Calculer un coût de production
D'après le résultat de la question précédente, pour 
milliers de recharges produites, le coût total de production est, en centaines d'euros :
Pour une production de 8 000 recharges d'eau, 
et :
.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Compléter un arbre de probabilités
D'après l'énoncé, 
, 
, 
donc 
et 
, d'où l'arbre de probabilités :
> 2. Calculer la probabilité d'un événement
et 
forment une partition de l'univers, donc :
.
Or, 
car un salarié grippé est absent, donc :
.
.
Donc :
> 3. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité qu'un salarié ait la grippe sachant qu'il est absent est :
Partie B
> 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
Puisque 
suit la loi normale de moyenne 
et d'écart type 
:
Or d'après le cours, pour toute variable aléatoire 
suivant la loi normale de moyenne 
et d'écart type 
:
Donc :
> 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
Notez bien
Si 
suit une loi normale de moyenne 14, alors : 
.
La probabilité qu'un salarié comptabilise au moins 10 journées d'absence dans l'année est :
.
D'après la calculatrice, 
.
Partie C
Prendre une décision en utilisant un intervalle de fluctuation
D'après l'affirmation de la mutuelle, la proportion 
de personnes, parmi ses adhérents, comptabilisant plus de 20 journées d'absence en 2013 est égale à 0,22.
On considère un échantillon de 200 personnes, c'est-à-dire un échantillon de taille 
.
Notez bien
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence d'individus ayant dépassé 20 journées d'absence en 2013 est un intervalle dans lequel la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille 
, associe la fréquence d'individus ayant plus de 20 journées d'absence en 2013 prend ses valeurs avec une probabilité au moins égale à 0,95.
On peut, si les conditions sont remplies, déterminer différents intervalles de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence d'individus ayant dépassé 20 journées d'absence en 2013 sur un échantillon de taille 200.
- Intervalle de fluctuation « simplifié » vu en seconde :
les conditions 
sont remplies.
- Intervalle de fluctuation asymptotique :
les conditions 
sont remplies.
.
- À partir de la loi binomiale
Si on considère la variable aléatoire 
qui à chaque échantillon de taille 200 associe le nombre d'individus de l'échantillon ayant dépassé 20 journées d'absence en 2013, alors 
suit la loi binomiale de paramètres 200 et 0,22.
En effet, 
est égale au nombre de « succès » (dépasser 20 journées d'absence en 2013) lors de la répétition de 200 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec, pour chaque épreuve, une probabilité de succès égale à 0,22.
On détermine les entiers 
et 
définis par :
est le plus petit entier tel que 
est le plus petit entier tel que 
À l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, on obtient 
et 
Notez bien
La décision est prise « au risque d'erreur de 5 % », qui est le risque de rejeter à tort l'hypothèse faite sur la proportion dans la population en effet, même avec une proportion réellement égale à 0,22, près de 5 % des échantillons de taille 200 donnent une fréquence à l'extérieur de l'intervalle de fluctuation.
L'intervalle 
, soit 
, est également un intervalle de fluctuation (déterminé à partir de la loi binomiale) au seuil de 95 % de la fréquence d'individus ayant dépassé 20 journées d'absence en 2013 sur un échantillon de taille 200.
Sur l'échantillon étudié, la fréquence 
d'individus ayant dépassé 20 journées d'absence est :
.
Cette fréquence 
n'appartient à aucun des intervalles de fluctuation.
Remarques :
La fréquence 
est trop éloignée de 
pour que l'écart entre les deux valeurs puisse être seulement justifié par la fluctuation d'échantillonnage.
La valeur de 
obtenue laisse penser que la proportion réelle 
parmi les adhérents d'individus ayant dépassé 20 journées d'absence en 2013 est inférieure à 22 %.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. a) Déterminer une valeur par lecture graphique
Puisque la quantité de sorbet est exprimée en centaines de litres, alors le prix de vente de 100 litres de sorbet est 
en centaines d'euros.
Par lecture graphique, 
.
b) Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire
Notez bien
La fonction 
est représentée par une droite (ici un segment de droite) passant par l'origine du repère.
est une fonction linéaire, donc il existe un réel 
tel que, pour tout 
appartenant à l'intervalle I 
, donc 
et, pour tout 
appartenant à l'intervalle I
c) Déterminer les productions dégageant un bénéfice
L'entreprise dégage un bénéfice si et seulement si 
est tel que 
, c'est-à-dire si et seulement si le point de 
d'abscisse 
se trouve au-dessus du point de 
de même abscisse 
.
Graphiquement, 
est au-dessus de 
si et seulement si 
est supérieur ou égal à 1 (la droite 
et la courbe 
ont un seul point commun d'abscisse 1).
> 2. a) Calculer une intégrale
Notez bien
La fonction 
est une primitive sur ℝ de la fonction 
.
d'après la propriété de linéarité de l'intégrale.
Donc :
b) Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
La valeur moyenne de la fonction 
sur l'intervalle [1 3] est :
.
Partie B
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout 
appartenant à [1 3] :
.
Donc :
> 2. a) Montrer qu'une équation a une unique solution dans un intervalle donné donner une valeur approchée de cette solution
La fonction 
est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [1 3].
.
Donc 
.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, dans le cas d'une fonction continue strictement monotone, l'équation 
admet une unique solution 
dans l'intervalle [1 3].
Avec la calculatrice :
et 
.
Donc 
, donc 
De même :
et 
.
Donc 
, donc 
, d'où :
b) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle
D'après les questions précédentes :
• 
si 
• 
• 
si 
.
D'où le tableau de variation de la fonction 
sur l'intervalle [1 3] :
.
> 3. Déterminer si une fonction atteint une valeur donnée
est maximal pour 
, avec 
et 
, ce qui correspond à un bénéfice d'environ 843,29 euros.
Commun à tous les candidats