Pondichéry • Avril 2015
matT_1504_12_01C
Sujets complets
6
Pondichéry • Avril 2015
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (4 points)
Aire d'un domaine compris entre deux courbes
Commun à tous les candidats
Partie A
Soit f la fonction définie sur .
Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère , la courbe représentative

Déterminer un encadrement de α d'amplitude 10−2.
Partie B
Soit h la fonction définie sur
.
Déterminer l'aire, en unités d'aire, du domaine
Exercice 2 (5 points)
Ça pousse, ça pousse !
Commun à tous les candidats
Partie A
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1
Partie B
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
Exercice 3 (6 points)
Mathématiques et électroménager
Commun à tous les candidats
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A : Étude de la durée de vie d'un appareil Électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous.

Les probabilités demandées seront arrondies à 10−3.
Partie B : Étude de l'extension de garantie d'El'Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.
Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l'extension de garantie montrent que 11,5 % d'entre eux font jouer l'extension de garantie.
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.
Exercice 4 (5 points)
Calcul du volume d'un tétraèdre
Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1.
Dans le repère , on considère les points M, N et P de coordonnées respectives
,
et
.

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
Algorithme 1
Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP d prend la valeur xN− xM e prend la valeur yN− yM f prend la valeur zN− zM g prend la valeur xP− xM h prend la valeur yP− yM i prend la valeur zP− zM k prend la valeur d× g + e× h + f× i Afficher k |
Algorithme 2 (à compléter)
Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP d prend la valeur xN− xM e prend la valeur yN− yM f prend la valeur zN− zM g prend la valeur xP− xM h prend la valeur yP− yM i prend la valeur zP− zM k prend la valeur d× g + e× h + f× i |
.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.
Exercice 4 (5 points)
Les nombres de Mersenne
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les nombres de la forme 2n − 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne.
Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :
si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a.
Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.

Il affirme que 3 divise 233 − 1 et 4 divise 233 − 1 et 12 ne divise pas 233 − 1.
Variables | n entier naturel supérieur ou égal à 3 k entier naturel supérieur ou égal à 2 | |
Initialisation | Demander à l'utilisateur la valeur de n. Affecter à k la valeur 2. | |
Traitement | | |
| Affecter à k la valeur k + 1 | |
Fin de Tant que. | ||
Sortie | Afficher k. | |
|
| Afficher « CAS 1 » |
| Sinon | |
|
| Afficher « CAS 2 » |
| Fin de Si |
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Limites de fonctions • Dérivation • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Dérivation
E6 e • E6 → Partie A, 1.f - Variations d'une fonction
E6 → Partie A, 1.c - Limite d'une fonction
E5 → Partie A, 2. Partie B, 3. c) - Primitive
E11 → Partie B, 2.a - Intégrale et interprétation graphique
E14 → Partie B, 3. a) et c) - Calcul d'intégrale
E13 → Partie B, 3. b)
Nos coups de pouce
Partie A
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Suites géométriques • Limite d'une suite géométrique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Suite géométrique
E4 a • E4 → Partie A, 1. et 2.b - Limite d'une suite géométrique
E4 → Partie A, 2.d - Raisonnement par récurrence
E1 → Partie B, 2. b) - Variations d'une suite
E2 → Partie B, 2. b)
Nos coups de pouce
Partie A
en fonction de
(formule explicite) avant de passer au calcul de limite.
Partie B
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Loi normale • Loi binomiale • Généralités sur les variables aléatoires discrètes.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Loi normale
E40 → Partie Ae - Loi binomiale
E39 → Partie B, 1. a) et b) - Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
E38 → Partie B, 2. a)b - Espérance d'une variable aléatoire discrète
E38 → Partie B, 2. b)c
Calculatrice
- Probabilités avec une loi normale
C3 → Partie A, 3. a) et b) - Probabilités avec une loi binomiale
C2 → Partie B, 1. a) et b)
Nos coups de pouce
Partie B
qui est l'espérance de gain de l'entreprise.
Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie dans l'espace • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Vecteurs colinéaires
E27 → 2. - Produit scalaire et vecteurs orthogonaux
E31 c • E32 → 3. b) - Équation cartésienne d'un plan
E33 → 5. a)c - Représentation paramétrique d'une droite
E30 → 5. b) - Vecteur normal à un plan
E33 → 5. - Calcul de distance dans un repère orthonormé de l'espace
E31 → 4. et 6. b)c
Nos coups de pouce
par rapport au plan (MNP) pour pouvoir identifier une hauteur du tétraèdre.
Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Nombres premiers • Congruences • Algorithmique • Suites géométriques.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique
E4 → 2. d)e
Nos coups de pouce
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Justifier les variations d'une fonction
Calculons la dérivée de la fonction .
La fonction est le quotient de deux fonctions dérivables sur
, quotient où le dénominateur ne s'annule pas sur
. Par conséquent,
est dérivable sur
.
> 2. Justifier l'existence d'une asymptote à une courbe
Calculons la limite de la fonction en
.
> 3. Identifier le nombre de solutions d'une équation
- D'après la question
1. , la fonctionest dérivable sur
donc elle est continue sur
.
- D'après la question
1. , la fonctionest strictement croissante sur
.
- D'après la question
2. ,.
On constate alors que est compris entre 0 et 3.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet donc une unique solution
sur
.

- Avec la méthode par balayage, nous obtenons :
Partie B
> 1. Déterminer le signe d'une fonction sur un intervalle
> 2. Identifier une primitive d'une fonction
La fonction est dérivable sur
comme somme de fonctions dérivables sur
et est strictement positive sur
.
Par composition, la fonction est donc dérivable sur
.
Par produit, la fonction est dérivable sur ℝ et, pour tout réel
:
> 3. a) Interpréter graphiquement une intégrale
La fonction est une différence de fonctions dérivables sur
donc
est dérivable sur
et donc continue sur
.
D'après la question est strictement positive sur
.
Ainsi, pour tout réel :
soit encore
.
Par conséquent, comme ,
.
b) Calculer une intégrale
c) Calculer l'aire d'un domaine
Le domaine , la partie du plan délimitée par la droite
et la courbe
.
L'aire du domaine .
Or . Nous avons :
(voir partie
Exercice 2
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Démontrer qu'une suite est géométrique
> 2. Déterminer la limite d'une suite
Comme la suite est géométrique de raison
, nous pouvons écrire, pour tout entier naturel
:
.
Comme, pour tout entier naturel ,
, nous en déduisons que
et, par somme de limites, nous avons :
.
Partie B
> 1. Extraire de l'information pour calculer une valeur
La plante verte mesurant 80 cm en mars 2015, si Max la taille en coupant un quart de sa hauteur, il restera les trois-quarts de ladite hauteur, soit cm. Si la plante repousse de 30 cm les douze mois suivants, la hauteur de la plante verte en mars 2016 sera égale à
cm.
> 2. a) Justifier une formule de récurrence
est la hauteur de la plante (en cm) en mars de l'année (2015
Elle perdra un quart de sa hauteur après la taille et repoussera de 30 cm les douze mois suivants.
En mars (2015
b) Émettre une conjecture à l'aide de la calculatrice et la démontrer
Démontrons cette conjecture par récurrence.
Initialisation
et
(question
. La propriété
Hérédité
Supposons que la propriété donné :
Démontrons alors que ) est vérifiée.
Comme la propriété . Par conséquent, pour tout entier naturel
,
.
c) Étudier la convergence d'une suite
La relation de récurrence est de la forme
avec
et
.
D'après la partie , la suite
a pour limite
.
Remarque. Cela signifie qu'à long terme, la hauteur limite de la plante verte sera 1,20 m.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. a) Déterminer une probabilité par exploitation d'un graphique

La courbe représentative de la densité associée à la loi normale d'espérance et d'écart type
est symétrique, dans un repère orthogonal du plan, par rapport à la droite d'équation
.
Par conséquent, nous avons ici :
Nous en déduisons que :
b) Estimer la valeur d'un écart type
Si une variable aléatoire suit la loi normale d'espérance
et d'écart type
, nous avons le résultat suivant :
Or, d'après la question précédente, nous avons ici :
> 2. a) Identifier la loi suivie par une variable aléatoire
Si une variable aléatoire suit la loi normale d'espérance
et d'écart type
alors, par définition, la variable aléatoire
suit la loi normale centrée réduite.
Comme , nous en déduisons que
b) Justifier une égalité
c) Déterminer la valeur d'un écart type
Nous savons d'après l'énoncé que . D'après la question précédente, cela revient à écrire :
Résolvons alors l'équation où
est un réel à déterminer et où
suit la loi normale centrée réduite.
À l'aide de la calculatrice, nous avons :
> 3. a) Calculer une probabilité avec une loi normale
Attention !
Prenez garde aux unités et n'oubliez pas de convertir !
2 ans correspondent à 24 mois et 5 ans à 60 mois.
À l'aide de la calculatrice, nous avons :
b) Calculer une probabilité avec une loi normale

Partie B
> 1. a) Calculer une probabilité avec une loi binomiale
Notons la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 12 clients ayant pris l'extension de garantie, associe le nombre de clients faisant jouer cette extension.
Choisir au hasard un client ayant pris l'extension de garantie est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client a fait jouer l'extension de garantie » de probabilité et l'échec est « le client n'a pas fait jouer l'extension de garantie » de probabilité
.
On répète 20 fois cette épreuve, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d'ordre 12. compte le nombre de succès dans ce schéma.
La probabilité demandée est . À la calculatrice, nous obtenons :
b) Calculer une probabilité avec une loi binomiale
> 2. a) Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
Si le client prend l'extension de garantie mais ne fait pas jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l'entreprise réalise un gain algébrique de 65 euros et
Si le client prend l'extension de garantie et fait jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l'entreprise encaisse 65 euros mais débourse aussi 399 euros.
Le gain algébrique est donc égal à .
D'après l'énoncé, 11,5 % des clients qui prennent l'extension de garantie font jouer cette extension.
Ensuite, comme nous avons , nous pouvons en déduire que :
Finalement :
b) Interpréter l'espérance d'une variable aléatoire
Calculons l'espérance de gain de l'entreprise, c'est-à-dire .
Si l'on considère un grand nombre de clients, l'entreprise peut espérer faire en moyenne un gain de 19,12 euros environ par client.
Exercice 4
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
> 1. Placer des points sur une figure
À l'aide des coordonnées du point N, nous pouvons écrire : donc
À l'aide des coordonnées du point M, nous pouvons écrire : donc
À l'aide des coordonnées du point P, nous pouvons écrire : donc

> 2. Démontrer que des points sont alignés
Les coordonnées de ces deux vecteurs n'étant pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent,
> 3. a) Exécuter un algorithme à la main
b) Interpréter le résultat affiché par un algorithme
L'algorithme 1 affiche le résultat :
Cet algorithme affiche donc le résultat du produit scalaire des vecteurs et
.
Ce produit scalaire étant égal à 0, les vecteurs et
sont orthogonaux.
> 4. Compléter un algorithme
D'après la question précédente, si prend la valeur 0 alors le triangle MNP est rectangle en M.
Ensuite, si les longueurs MN et MP sont égales, ce qui revient à dire que , alors le triangle MNP est isocèle en M.
> 5. a) Déterminer une équation cartésienne d'un plan
est un vecteur normal au plan (MNP) donc une équation cartésienne de (MNP) est
où
est un réel à déterminer.
b) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
Nous avons, par la relation de Chasles : donc
La droite passe par le point F et a pour vecteur directeur
donc une représentation paramétrique de
est donnée par :
> 6. a) Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite et d'un plan
> b) Calculer le volume d'un tétraèdre
La droite a pour vecteur directeur
qui est un vecteur normal au plan (MNP). La droite
est donc orthogonale au plan (MNP).
Le point d'intersection de la droite et du plan (MNP) est le point K. Une hauteur du tétraèdre MNPF est donc [FK].
Une base du tétraèdre est alors le triangle MNP.
Le volume .
Or le triangle MNP est rectangle en M (voir question .
Ainsi :
Exercice 4
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
> 1. Prouver une assertion
Si divise
, alors il existe un entier naturel
tel que
.
Notez bien
Si p, q et r sont trois entiers relatifs non nuls, si p divise le produit qr et si p et q sont premiers entre eux, alors p divise r.
Comme d'après l'énoncé et
sont premiers entre eux, nous déduisons du théorème de Gauss que
divise
. Il existe donc un entier naturel
tel que
.
> 2. a) Invalider une conjecture
Si 3 divise et 4 divise
alors, puisque 3 et 4 sont premiers entre eux, d'après la question
qui divise
.
b) Justifier qu'un entier n'est pas divisible par 4
c) Justifier qu'un entier n'est pas divisible par 3
d) Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique
e) Démontrer qu'un entier est divisible par 7
La somme est obtenue en additionnant des entiers naturels donc cette somme est un entier naturel. Cela signifie par conséquent que le quotient
est un entier naturel donc que
.
> 3. Étudier la primalité d'un entier naturel
Rappelons que, si est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et si
n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à
, alors
est premier.
Nous devons examiner ici si est premier. Or
. 127 est-il divisible par un nombre premier inférieur ou égal à 11 ?
127 est impair donc 127 n'est pas divisible par 2.
donc 127 n'est pas divisible par 3.
donc 127 n'est pas divisible par 5.
donc 127 n'est pas divisible par 7.
donc 127 n'est pas divisible par 11.
D'après le rappel initial, nous pouvons conclure que
> 4. a) Exécuter un algorithme
Exécutons l'algorithme si l'utilisateur entre .
Initialisation
Traitement
Par conséquent, n'est pas divisible par 5 :
Par conséquent, n'est pas divisible par 6 :
L'une des conditions de la boucle « Tant Que » n'est plus vérifiée.
Cette boucle s'arrête donc.
Sortie
Exécutons l'algorithme si l'utilisateur entre .
D'après la question est premier.
Quelle que soit la valeur de l'entier , la condition
sera toujours remplie.
La boucle Tant Que s'arrêtera donc lorsque sera strictement supérieur à
.
Remarque. Pour un nombre de Mersenne donné, cet algorithme cherche à déterminer le plus petit entier
(
) possible qui divise
et qui est inférieur ou égal à
.
b) Interpréter l'affichage en sortie d'un algorithme
(
) plus petit diviseur de
.