Sujet complet de Pondichéry 2015

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Sujet complet de Pondichéry 2015

Pondichéry • Avril 2015

matT_1504_12_01C

Sujets complets

6

Pondichéry • Avril 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
Aire d’un domaine compris entre deux courbes

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par .

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère , la courbe représentative C de la fonction f et la droite Δ d’équation y = 3.


>1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur ℝ.

>2. Justifier que la droite Δ est asymptote à la courbe C.

>3. Démontrer que l’équation f(x) = 2,999 admet une unique solution α sur ℝ.

Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Partie B

Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x) = 3 − f(x).

>1. Justifier que la fonction h est positive sur ℝ.

>2. On désigne par H la fonction définie sur ℝ par :

Démontrer que H est une primitive de h sur ℝ.

>3. Soit a un réel strictement positif.

a) Donner une interprétation graphique de l’intégrale .

b) Démontrer que .

c) On note D l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini par :

Déterminer l’aire, en unités d’aire, du domaine D.

Exercice 2 (5 points)
Ça pousse, ça pousse !

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1=aun+ b (a et b réels non nuls tels que a ≠ 1).

On pose, pour tout entier naturel n,

> 1. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison a.

> 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un) a pour limite

Partie B

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.

> 1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

> 2. Pour tout entier naturel n, on note hn la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015 + n).

a) Justifier que, pour tout entier naturel n, hn+1= 0,75 hn+ 30.

b) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).

Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Exercice 3 (6 points)
Mathématiques et électroménager

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : Étude de la durée de vie d’un appareil Électroménager

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N(µ, σ2) de moyenne µ = 84 et d’écart type σ. De plus, on a P(X ≤ 64) = 0,16.

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous.


> 1. a) En exploitant le graphique, déterminer P(64 ≤X ≤ 104).

b) Quelle valeur approchée entière de σ peut-on proposer ?

> 2. On note Z la variable aléatoire définie par .

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ?

b) Justifier que P(X ≤ 64) =.

c) En déduire la valeur de σ, arrondie à 10−3.

> 3. Dans cette question, on considère que σ = 20,1.

Les probabilités demandées seront arrondies à 10−3.

a) Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit ­comprise entre 2 et 5 ans.

b) Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

Partie B : Étude de l’extension de garantie d’El’Ectro

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.

L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.

Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.

> 1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

a) Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10−3.

b) Quelle est la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à 10−3.

> 2. L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.

On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.

a) Justifier que Y prend les valeurs 65 et − 334 puis donner la loi de probabilité de Y.

b) Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.

Exercice 4 (5 points)
Calcul du volume d’un tétraèdre

Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit un cube ABCDEFGH d’arête 1.

Dans le repère , on considère les points M, N et P de coordonnées respectives , et .

> 1. Placer M, N et P sur la figure ci-dessous.


> 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs et .

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.

> 3. On considère l’algorithme 1 ci-dessous.

Algorithme 1


Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xN− xM

e prend la valeur yN− yM

f prend la valeur zN− zM

g prend la valeur xP− xM

h prend la valeur yP− yM

i prend la valeur zP− zM

k prend la valeur d× g + e× h + f× i

Afficher k

a) Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.

b) À quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme ? Qu’en déduire pour le triangle MNP ?

> 4. On considère l’algorithme 2 ci-après. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.

Algorithme 2 (à compléter)


Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xN− xM

e prend la valeur yN− yM

f prend la valeur zN− zM

g prend la valeur xP− xM

h prend la valeur yP− yM

i prend la valeur zP− zM

k prend la valeur d× g + e× h + f× i

> 5. On considère le vecteur (5 ; −8 ; 4) normal au plan (MNP).

a) Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).

b) On considère la droite Δ passant par F et de vecteur directeur .

Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

> 6. Soit K le point d’intersection du plan (MNP) et de la droite Δ.

a) Démontrer que les coordonnées du point K sont .

b) On donne .

Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

Exercice 4 (5 points)
Les nombres de Mersenne

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les nombres de la forme 2n − 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne.

> 1. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que PGCD(b, c) = 1.

Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que :

si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a.

> 2. On considère le nombre de Mersenne 233 − 1.

Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.


Il affirme que 3 divise 233 − 1 et 4 divise 233 − 1 et 12 ne divise pas 233 − 1.

a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1. ?

b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 233 − 1.

c) En remarquant que 2 ≡ − 1 [3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 233 − 1.

d) Calculer la somme S = 1 + 23+ (23)2+ (23)3+ … + (23)10.

e) En déduire que 7 divise 233 − 1.

> 3. On considère le nombre de Mersenne 27 − 1. Est-il premier ? Justifier.

> 4. On donne l’algorithme suivant où MOD(N, k) représente le reste de la division euclidienne de N par k.


Variables

n entier naturel supérieur ou égal à 3

k entier naturel supérieur ou égal à 2

Initialisation

Demander à l’utilisateur la valeur de n.

Affecter à k la valeur 2.

Traitement

Tant que MOD(2n− 1, k) ≠ 0 et


 

Affecter à k la valeur k + 1

Fin de Tant que.

Sortie

Afficher k.

Si


 

 

Afficher « CAS 1 »

 

Sinon

 

 

Afficher « CAS 2 »

 

Fin de Si

a) Qu’affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? Et si on saisit n = 7 ?

b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?

c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Limites de fonctions • Dérivation • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Dérivation E6e• E6f → Partie A, 1.
  • Variations d’une fonction E6c → Partie A, 1.
  • Limite d’une fonction E5 → Partie A, 2. ; Partie B, 3. c)
  • Primitive E11a → Partie B, 2.
  • Intégrale et interprétation graphique E14 → Partie B, 3. a) et c)
  • Calcul d’intégrale E13 → Partie B, 3. b)

Nos coups de pouce

Partie A

> 1. Pensez à utiliser le signe de la dérivée de la fonction pour étudier ses variations.

> 2. N’oubliez pas que la notion d’asymptote découle des calculs de limites. Pour avoir une idée de la limite à déterminer, aidez-vous de la représentation graphique fournie.

> 3. Pensez à vérifier toutes les hypothèses indispensables à l’application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites géométriques • Limite d’une suite géométrique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Suite géométrique E4a• E4b → Partie A, 1. et 2.
  • Limite d’une suite géométrique E4d → Partie A, 2.
  • Raisonnement par récurrence E1 → Partie B, 2. b)
  • Variations d’une suite E2 → Partie B, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

> 2. Pensez à donner l’expression de en fonction de (formule explicite) avant de passer au calcul de limite.

Partie B

> 2.c) Évitez ici d’utiliser le théorème de la limite monotone : il faudrait pour cela disposer d’un majorant de la suite. Faites plutôt le lien avec les résultats de la question 2. de la partie A.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Loi normale • Loi binomiale • Généralités sur les variables aléatoires discrètes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Loi normale E40e → Partie A
  • Loi binomiale E39 → Partie B, 1. a) et b)
  • Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète E38b → Partie B, 2. a)
  • Espérance d’une variable aléatoire discrète E38c → Partie B, 2. b)

Calculatrice

  • Probabilités avec une loi normale C3 → Partie A, 3. a) et b)
  • Probabilités avec une loi binomiale C2 → Partie B, 1. a) et b)

Nos coups de pouce

Partie B

> 1.a) Pensez à bien définir la variable aléatoire utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d’identifier la loi suivie par cette variable aléatoire.

> 2.b) Pensez à exploiter l’espérance de la variable aléatoire qui est l’espérance de gain de l’entreprise.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Vecteurs colinéaires E27 → 2.
  • Produit scalaire et vecteurs orthogonaux E31c• E32 → 3. b)
  • Équation cartésienne d’un plan E33c → 5. a)
  • Représentation paramétrique d’une droite E30 → 5. b)
  • Vecteur normal à un plan E33 → 5.
  • Calcul de distance dans un repère orthonormé de l’espace E31c → 4. et 6. b)

Nos coups de pouce

> 4. Exploitez la formule pour calculer une distance dans un repère orthonormé pour pouvoir traduire dans l’algorithme, sous forme d’une égalité, le fait que le triangle considéré est isocèle.

> 6.b) Déterminez la position de la droite par rapport au plan (MNP) pour pouvoir identifier une hauteur du tétraèdre.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers • Congruences • Algorithmique • Suites géométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique E4e → 2. d)

Nos coups de pouce

> 1. Traduisez la divisibilité de par , puis celle de par avant de chercher à appliquer le théorème de Gauss.

> 2.b) et c) Utilisez judicieusement les propriétés sur les congruences pour justifier les résultats demandés.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

> 1. Justifier les variations d’une fonction

Calculons la dérivée de la fonction .

La fonction est le quotient de deux fonctions dérivables sur , quotient où le dénominateur ne s’annule pas sur . Par conséquent, est dérivable sur .

Notez bien

Si est une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s’annule pas sur I, alors :

. Si est une fonction dérivable sur un intervalle I alors : .

Pour tout réel  : .

Pour tout réel , et donc, par quotient, nous obtenons .

La fonctionest donc strictement croissante sur.

> 2. Justifier l’existence d’une asymptote à une courbe

Calculons la limite de la fonction en .

 ; par somme .

Par quotient, .

Par conséquent, dans le repère orthogonal proposé, la droiteest asymptote à la courbeC.

> 3. Identifier le nombre de solutions d’une équation

  • D’après la question 1., la fonction est dérivable sur donc elle est continue sur .
  • D’après la question 1., la fonction est strictement croissante sur .
  • D’après la question 2., .

De plus,  ; par somme, .

Par quotient, .

On constate alors que est compris entre 0 et 3.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet donc une unique solution sur .


  • Avec la méthode par balayage, nous obtenons :

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CASIO GRAPH 75

Conclusion









La solutioncherchée est donc comprise entre 4 et 4,01.

Partie B

> 1. Déterminer le signe d’une fonction sur un intervalle

Pour tout réel  :

.

Comme et , nous en déduisons que .

La fonctionest donc strictement positive sur.

> 2. Identifier une primitive d’une fonction

Notez bien

Si est une fonction dérivable sur un intervalle I et strictement positive sur I, alors : .

La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et est strictement positive sur .

Par composition, la fonction est donc dérivable sur .

Par produit, la fonction est dérivable sur ℝ et, pour tout réel  :

(voir l’expression de à la question précédente).

La fonctionest donc une primitive desur.

> 3. a) Interpréter graphiquement une intégrale

La fonction est une différence de fonctions dérivables sur donc est dérivable sur et donc continue sur .

D’après la question 1. de la partie B, la fonction est strictement positive sur .

Ainsi, pour tout réel  : soit encore .

Par conséquent, comme , l’intégrale proposée est l’aire, en unités d’aires, du domaine compris entre la droited’équation, la courbeCreprésentative de la fonctionet les droites d’équationset.

b) Calculer une intégrale

Notez bien

Pour tous réels a et b strictement positifs : .

La fonction est continue sur et est une primitive de sur .

Par conséquent, pour tout réel  :

c) Calculer l’aire d’un domaine

Le domaine D est, sur l’intervalle , la partie du plan délimitée par la droite et la courbe C représentative de la fonction .

L’aire du domaine D est donc donnée par : .

Or . Nous avons : (voir partie A, question 2.).

Par quotient : . Par composition et produit :

L’aire du domaineDest donc égale àunités d’aire.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

Partie A

> 1. Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel  :

Par conséquent, la suiteest géométrique de raison.

> 2. Déterminer la limite d’une suite

Comme la suite est géométrique de raison , nous pouvons écrire, pour tout entier naturel  : .

Si , alors et, par produit, .

Comme, pour tout entier naturel , , nous en déduisons que et, par somme de limites, nous avons : .

Finalement, si, alors la suitea pour limite.

Partie B

> 1. Extraire de l’information pour calculer une valeur

La plante verte mesurant 80 cm en mars 2015, si Max la taille en coupant un quart de sa hauteur, il restera les trois-quarts de ladite hauteur, soit cm. Si la plante repousse de 30 cm les douze mois suivants, la hauteur de la plante verte en mars 2016 sera égale à cm.

La hauteur de la plante en mars 2016 est donc 90 cm.

> 2.a) Justifier une formule de récurrence

Soit un entier naturel.

est la hauteur de la plante (en cm) en mars de l’année (2015 + n) avant sa taille.

Elle perdra un quart de sa hauteur après la taille et repoussera de 30 cm les douze mois suivants.

En mars (2015 + (n+1)), la hauteurde la plante sera donc égale à :

.

b) Émettre une conjecture à l’aide de la calculatrice et la démontrer


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Nous pouvons conjecturer que la suiteest croissante.

Démontrons cette conjecture par récurrence.

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation

et (question B1.) donc . La propriété P(0) est vérifiée.

La propriétéP(n) est donc initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel donné :

(hypothèse de récurrence).

Démontrons alors que P() est vérifiée.

P() est vérifiée.

La propriétéP(n) est donc héréditaire.

Comme la propriété P(n) est initialisée et héréditaire, nous pouvons en conclure qu’elle est vraie pour tout entier naturel . Par conséquent, pour tout entier naturel , .

Cela signifie que la suiteest croissante.

c) Étudier la convergence d’une suite

La relation de récurrence est de la forme avec et .

D’après la partie A, comme , la suite a pour limite .

La suiteest donc convergente et sa limite est 120.

Remarque. Cela signifie qu’à long terme, la hauteur limite de la plante verte sera 1,20 m.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Partie A

> 1.a) Déterminer une probabilité par exploitation d’un graphique


La courbe représentative de la densité associée à la loi normale d’espérance et d’écart type est symétrique, dans un repère orthogonal du plan, par rapport à la droite d’équation .

Par conséquent, nous avons ici :

.

Nous en déduisons que :

b) Estimer la valeur d’un écart type

Si une variable aléatoire suit la loi normale d’espérance et d’écart type , nous avons le résultat suivant :

.

Or, d’après la question précédente, nous avons ici :

Par comparaison, nous en déduisons : .

> 2.a) Identifier la loi suivie par une variable aléatoire

Si une variable aléatoire suit la loi normale d’espérance et d’écart type alors, par définition, la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.

Comme , nous en déduisons que suit la loi normale centrée réduite.

b) Justifier une égalité

Nous avons :

c) Déterminer la valeur d’un écart type

Nous savons d’après l’énoncé que . D’après la question précédente, cela revient à écrire :

.

Résolvons alors l’équation où est un réel à déterminer et où suit la loi normale centrée réduite.

Notez bien

Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :

FracNormale (, , ) où et

Syntaxe pour la CASIO GRAPH 75 :

InvNormCD (, , ) où et

À l’aide de la calculatrice, nous avons :


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Ainsi .

Par identification nous pouvons maintenant écrire que soit .

La valeur de, arrondie à, est.

> 3.a) Calculer une probabilité avec une loi normale

La durée proposée dans l’énoncé est exprimée en mois.

Nous devons calculer .

Attention !

Prenez garde aux unités et n’oubliez pas de convertir !

2 ans correspondent à 24 mois et 5 ans à 60 mois.

À l’aide de la calculatrice, nous avons :


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La probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans est environ 0,115.

b) Calculer une probabilité avec une loi normale

10 ans correspondent à 120 mois. Nous devons donc calculer .


.

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :


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La probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans est environ 0,037.

Partie B

> 1.a) Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notons la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 12 clients ayant pris l’extension de garantie, associe le nombre de clients faisant jouer cette extension.

Choisir au hasard un client ayant pris l’extension de garantie est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client a fait jouer l’extension de garantie » de probabilité et l’échec est « le client n’a pas fait jouer l’extension de garantie » de probabilité .

On répète 20 fois cette épreuve, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 12. compte le nombre de succès dans ce schéma.

suit donc la loi binomiale de paramètreset.

La probabilité demandée est . À la calculatrice, nous obtenons :


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La probabilité qu’exactement 3 des ces clients fassent jouer cette extension de garantie est environ 0,111.

b) Calculer une probabilité avec une loi binomiale

On reprend la variable aléatoire de la question précédente.

La probabilité demandée est .

À la calculatrice, nous obtenons :


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La probabilité qu’au moins 6 des ces clients fassent jouer cette extension de garantie est environ 0,001.

> 2.a) Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète

Si le client prend l’extension de garantie mais ne fait pas jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l’entreprise réalise un gain algébrique de 65 euros et la variable aléatoireprend la valeur 65.

Si le client prend l’extension de garantie et fait jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l’entreprise encaisse 65 euros mais débourse aussi 399 euros.

Le gain algébrique est donc égal à .

La variable aléatoireprend donc la valeur.

D’après l’énoncé, 11,5 % des clients qui prennent l’extension de garantie font jouer cette extension.

Nous avons donc .

Ensuite, comme nous avons , nous pouvons en déduire que :

.

Finalement :





b) Interpréter l’espérance d’une variable aléatoire

Calculons l’espérance de gain de l’entreprise, c’est-à-dire .

Si l’on considère un grand nombre de clients, l’entreprise peut espérer faire en moyenne un gain de 19,12 euros environ par client. Cette offre d’extension de garantie semble donc financièrement avantageuse pour l’entreprise.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

> 1. Placer des points sur une figure

À l’aide des coordonnées du point N, nous pouvons écrire : donc N est le milieu de [EH].

À l’aide des coordonnées du point M, nous pouvons écrire : donc M est situé aux trois quarts du segment [CG] en partant de C.

À l’aide des coordonnées du point P, nous pouvons écrire : donc P appartient à la droite (BF) et est situé sur la demi-droite d’origine B ne contenant pas F, à une distance de 1,25 du point B.


> 2. Démontrer que des points sont alignés

et .

Les coordonnées de ces deux vecteurs n’étant pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points M, N et P ne sont pas alignés.

> 3.a) Exécuter un algorithme à la main


prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

Afficher

L’algorithme 1 affiche donc la valeur 0.

b) Interpréter le résultat affiché par un algorithme

L’algorithme 1 affiche le résultat :

Cet algorithme affiche donc le résultat du produit scalaire des vecteurs et .

Ce produit scalaire étant égal à 0, les vecteurs et sont orthogonaux.

Le triangle MNP est donc rectangle en M.

> 4. Compléter un algorithme

D’après la question précédente, si prend la valeur 0 alors le triangle MNP est rectangle en M.

Ensuite, si les longueurs MN et MP sont égales, ce qui revient à dire que , alors le triangle MNP est isocèle en M.


Saisir

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

prend la valeur

Si et


 

alors afficher « le triangle MNP est rectangle et isocèle en M »

sinon afficher « le triangle MNP n’est pas rectangle et isocèle en M »

FinSi

> 5.a) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

est un vecteur normal au plan (MNP) donc une équation cartésienne de (MNP) est où est un réel à déterminer.

Or appartient au plan (MNP) donc :

.

Une équation cartésienne du plan (MNP) est donc.

b) Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

Nous avons, par la relation de Chasles : donc F a pour coordonnées (1 ; 0 ; 1).

La droite passe par le point F et a pour vecteur directeur donc une représentation paramétrique de est donnée par :

ce qui nous donne .

Une représentation paramétrique deest donc.

> 6.a) Déterminer les coordonnées du point d’intersection d’une droite et d’un plan

Le point K a donc pour coordonnées.

> b) Calculer le volume d’un tétraèdre

La droite a pour vecteur directeur qui est un vecteur normal au plan (MNP). La droite est donc orthogonale au plan (MNP).

Le point d’intersection de la droite et du plan (MNP) est le point K. Une hauteur du tétraèdre MNPF est donc [FK].

Une base du tétraèdre est alors le triangle MNP.

Notez bien

Volume V d’un tétraèdre .

Le volume V du tétraèdre MNPF est donc égal à : .

Or le triangle MNP est rectangle en M (voir question 3. b)) donc .

Nous avons :

et .

Ainsi :

Le volume du tétraèdre MNPF est égal à .

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

> 1. Prouver une assertion

Si divise , alors il existe un entier naturel tel que .

Si divise , alors il existe un entier naturel tel que .

Nous avons ainsi l’égalité : . Puisque , divise .

Notez bien

Si p, q et r sont trois entiers relatifs non nuls, si p divise le produit qr et si p et q sont premiers entre eux, alors p divise r.

Comme d’après l’énoncé et sont premiers entre eux, nous déduisons du théorème de Gauss que divise . Il existe donc un entier naturel tel que .

Finalement : ce qui nous permet de dire que divise.

> 2. a) Invalider une conjecture

Si 3 divise et 4 divise alors, puisque 3 et 4 sont premiers entre eux, d’après la question 1., nous avons qui divise . L’affirmation de l’élève contredit donc le résultat prouvé à la question 1.

b) Justifier qu’un entier n’est pas divisible par 4

Notez bien

Soit , , et des entiers relatifs, un entier tel que .

Si et alors .

4 divise donc . Ensuite .

Par conséquent, 4 ne divise pas.

c) Justifier qu’un entier n’est pas divisible par 3

Notez bien

Soit et deux entiers relatifs, un entier tel que , un entier naturel.

Si alors .

donc et ainsi . Or donc .

Finalement .

Par conséquent, 3 ne divise pas.

d) Calculer une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

.

e) Démontrer qu’un entier est divisible par 7

La somme est obtenue en additionnant des entiers naturels donc cette somme est un entier naturel. Cela signifie par conséquent que le quotient est un entier naturel donc que 7 divise.

> 3. Étudier la primalité d’un entier naturel

Rappelons que, si est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et si n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à , alors est premier.

Nous devons examiner ici si est premier. Or . 127 est-il divisible par un nombre premier inférieur ou égal à 11 ?

127 est impair donc 127 n’est pas divisible par 2.

donc 127 n’est pas divisible par 3.

donc 127 n’est pas divisible par 5.

donc 127 n’est pas divisible par 7.

donc 127 n’est pas divisible par 11.

D’après le rappel initial, nous pouvons conclure que le nombre de Mersenneest un nombre premier.

> 4.a) Exécuter un algorithme

Exécutons l’algorithme si l’utilisateur entre .

Initialisation

prend la valeur 2.

Traitement

  • est impair donc il n’est pas divisible par 2 :

De plus, prend la valeur 3.

  • D’après la question 2. c), n’est pas divisible par 3.

. De plus, prend la valeur 4.

  • D’après la question 2. b), n’est pas divisible par 4.

. De plus, prend la valeur 5.

  • .

Or et donc .

Par conséquent, n’est pas divisible par 5 :

. De plus, prend la valeur 6.

  • n’est ni divisible par 2, ni divisible par 3.

Par conséquent, n’est pas divisible par 6 :

. De plus, prend la valeur 7.

  • D’après la question 2. e), est divisible par 7 :

.

L’une des conditions de la boucle « Tant Que » n’est plus vérifiée.

Cette boucle s’arrête donc.

Sortie

L’algorithme affiche. Comme, il affiche ensuite « CAS 2 ».

Exécutons l’algorithme si l’utilisateur entre .

D’après la question 3., est premier.

Quelle que soit la valeur de l’entier , la condition sera toujours remplie.

La boucle Tant Que s’arrêtera donc lorsque sera strictement supérieur à .

L’algorithme affiche donc. Comme, il affiche ensuite « CAS 1 ».

Remarque. Pour un nombre de Mersenne donné, cet algorithme cherche à déterminer le plus petit entier () possible qui divise et qui est inférieur ou égal à .

b) Interpréter l’affichage en sortie d’un algorithme

Le « CAS 2 » signifie que le nombre de Mersennen’est pas premier car l’algorithme a permis de trouver et d’afficher un nombre () plus petit diviseur de .

c) Interpréter l’affichage en sortie d’un algorithme

Le « CAS 1 » signifie que le nombre de Mersenneest premier car l’algorithme n’a pas permis de trouver et d’afficher un nombre () diviseur de avec .