Sujet complet de Pondichéry 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Sujet complet de Pondichéry 2015

Pondichéry • Avril 2015

matT_1504_12_01C

Sujets complets

6

Pondichéry • Avril 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
Aire d’un domaine compris entre deux courbes

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par .

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère , la courbe représentative C de la fonction f et la droite Δ d’équation y = 3.


>1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur ℝ.

>2. Justifier que la droite Δ est asymptote à la courbe C.

>3. Démontrer que l’équation f(x) = 2,999 admet une unique solution α sur ℝ.

Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Partie B

Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x) = 3 − f(x).

>1. Justifier que la fonction h est positive sur ℝ.

>2. On désigne par H la fonction définie sur ℝ par :

Démontrer que H est une primitive de h sur ℝ.

>3. Soit a un réel strictement positif.

a) Donner une interprétation graphique de l’intégrale .

b) Démontrer que .

c) On note D l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini par :

Déterminer l’aire, en unités d’aire, du domaine D.

Exercice 2 (5 points)
Ça pousse, ça pousse !

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1=aun+ b (a et b réels non nuls tels que a ≠ 1).

On pose, pour tout entier naturel n,

> 1. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison a.

> 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un) a pour limite

Partie B

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.

> 1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

> 2. Pour tout entier naturel n, on note hn la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015 + n).

a) Justifier que, pour tout entier naturel n, hn+1= 0,75 hn+ 30.

b) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).

Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Exercice 3 (6 points)
Mathématiques et électroménager

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : Étude de la durée de vie d’un appareil Électroménager

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N(µ, σ2) de moyenne µ = 84 et d’écart type σ. De plus, on a P(X ≤ 64) = 0,16.

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous.


> 1. a) En exploitant le graphique, déterminer P(64 ≤X ≤ 104).

b) Quelle valeur approchée entière de σ peut-on proposer ?

> 2. On note Z la variable aléatoire définie par .

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ?

b) Justifier que P(X ≤ 64) =.

c) En déduire la valeur de σ, arrondie à 10−3.

> 3. Dans cette question, on considère que σ = 20,1.

Les probabilités demandées seront arrondies à 10−3.

a) Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit ­comprise entre 2 et 5 ans.

b) Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

Partie B : Étude de l’extension de garantie d’El’Ectro

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.

L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.

Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.

> 1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

a) Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10−3.

b) Quelle est la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à 10−3.

> 2. L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.

On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.

a) Justifier que Y prend les valeurs 65 et − 334 puis donner la loi de probabilité de Y.

b) Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.

Exercice 4 (5 points)
Calcul du volume d’un tétraèdre

Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit un cube ABCDEFGH d’arête 1.

Dans le repère , on considère les points M, N et P de coordonnées respectives , et .

> 1. Placer M, N et P sur la figure ci-dessous.


> 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs et .

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.

> 3. On considère l’algorithme 1 ci-dessous.

Algorithme 1


Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xN− xM

e prend la valeur yN− yM

f prend la valeur zN− zM

g prend la valeur xP− xM

h prend la valeur yP− yM

i prend la valeur zP− zM

k prend la valeur d× g + e× h + f× i

Afficher k

a) Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.

b) À quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme ? Qu’en déduire pour le triangle MNP ?

> 4. On considère l’algorithme 2 ci-après. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.

Algorithme 2 (à compléter)


Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xN− xM

e prend la valeur yN− yM

f prend la valeur zN− zM

g prend la valeur xP− xM

h prend la valeur yP− yM

i prend la valeur zP− zM

k prend la valeur d× g + e× h + f× i

> 5. On considère le vecteur (5 ; −8 ; 4) normal au plan (MNP).

a) Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).

b) On considère la droite Δ passant par F et de vecteur directeur .

Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

> 6. Soit K le point d’intersection du plan (MNP) et de la droite Δ.

a) Démontrer que les coordonnées du point K sont .

b) On donne .

Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

Exercice 4 (5 points)
Les nombres de Mersenne

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les nombres de la forme 2n − 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne.

> 1. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que PGCD(b, c) = 1.

Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que :

si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a.

> 2. On considère le nombre de Mersenne 233 − 1.

Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.


Il affirme que 3 divise 233 − 1 et 4 divise 233 − 1 et 12 ne divise pas 233 − 1.

a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1. ?

b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 233 − 1.

c) En remarquant que 2 ≡ − 1 [3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 233 − 1.

d) Calculer la somme S = 1 + 23+ (23)2+ (23)3+ … + (23)10.

e) En déduire que 7 divise 233 − 1.

> 3. On considère le nombre de Mersenne 27 − 1. Est-il premier ? Justifier.

> 4. On donne l’algorithme suivant où MOD(N, k) représente le reste de la division euclidienne de N par k.


Variables

n entier naturel supérieur ou égal à 3

k entier naturel supérieur ou égal à 2

Initialisation

Demander à l’utilisateur la valeur de n.

Affecter à k la valeur 2.

Traitement

Tant que MOD(2n− 1, k) ≠ 0 et


 

Affecter à k la valeur k + 1

Fin de Tant que.

Sortie

Afficher k.

Si


 

 

Afficher « CAS 1 »

 

Sinon

 

 

Afficher « CAS 2 »

 

Fin de Si

a) Qu’affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? Et si on saisit n = 7 ?

b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?

c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Limites de fonctions • Dérivation • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Dérivation E6e• E6f → Partie A, 1.
  • Variations d’une fonction E6c → Partie A, 1.
  • Limite d’une fonction E5 → Partie A, 2. ; Partie B, 3. c)
  • Primitive E11a → Partie B, 2.
  • Intégrale et interprétation graphique E14 → Partie B, 3. a) et c)
  • Calcul d’intégrale E13 → Partie B, 3. b)

Nos coups de pouce

Partie A

> 1. Pensez à utiliser le signe de la dérivée de la fonction pour étudier ses variations.

> 2. N’oubliez pas que la notion d’asymptote découle des calculs de limites. Pour avoir une idée de la limite à déterminer, aidez-vous de la représentation graphique fournie.

> 3. Pensez à vérifier toutes les hypothèses indispensables à l’application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites géométriques • Limite d’une suite géométrique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Suite géométrique E4a• E4b → Partie A, 1. et 2.
  • Limite d’une suite géométrique E4d → Partie A, 2.
  • Raisonnement par récurrence E1 → Partie B, 2. b)
  • Variations d’une suite E2 → Partie B, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

> 2. Pensez à donner l’expression de en fonction de (formule explicite) avant de passer au calcul de limite.

Partie B

> 2.c) Évitez ici d’utiliser le théorème de la limite monotone : il faudrait pour cela disposer d’un majorant de la suite. Faites plutôt le lien avec les résultats de la question 2. de la partie A.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Loi normale • Loi binomiale • Généralités sur les variables aléatoires discrètes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Loi normale E40e → Partie A
  • Loi binomiale E39 → Partie B, 1. a) et b)
  • Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète E38b → Partie B, 2. a)
  • Espérance d’une variable aléatoire discrète E38c → Partie B, 2. b)

Calculatrice

  • Probabilités avec une loi normale C3 → Partie A, 3. a) et b)
  • Probabilités avec une loi binomiale C2 → Partie B, 1. a) et b)

Nos coups de pouce

Partie B

> 1.a) Pensez à bien définir la variable aléatoire utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d’identifier la loi suivie par cette variable aléatoire.

> 2.b) Pensez à exploiter l’espérance de la variable aléatoire qui est l’espérance de gain de l’entreprise.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Vecteurs colinéaires E27 → 2.
  • Produit scalaire et vecteurs orthogonaux E31c• E32 → 3. b)
  • Équation cartésienne d’un plan E33c → 5. a)
  • Représentation paramétrique d’une droite E30 → 5. b)
  • Vecteur normal à un plan E33 → 5.
  • Calcul de distance dans un repère orthonormé de l’espace E31c → 4. et 6. b)

Nos coups de pouce

> 4. Exploitez la formule pour calculer une distance dans un repère orthonormé pour pouvoir traduire dans l’algorithme, sous forme d’une égalité, le fait que le triangle considéré est isocèle.

> 6.b) Déterminez la position de la droite par rapport au plan (MNP) pour pouvoir identifier une hauteur du tétraèdre.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers • Congruences • Algorithmique • Suites géométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique E4e → 2. d)

Nos coups de pouce

> 1. Traduisez la divisibilité de par , puis celle de par avant de chercher à appliquer le théorème de Gauss.

> 2.b) et c) Utilisez judicieusement les propriétés sur les congruences pour justifier les résultats demandés.