Sujet complet de Pondichéry 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Sujet complet de Pondichéry 2015

Pondichéry • Avril 2015

matT_1504_12_00C

Sujets complets

4

Pondichéry • Avril 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Fonctionnement et défauts de matériel informatique

Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

L’entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique, notamment des ordinateurs portables et des clés USB.

Partie A

Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service après-vente portent sur la batterie et le disque dur, ainsi :

  • Parmi les ordinateurs vendus, 5 % ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, 2 % ont aussi un disque dur défectueux.
  • Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5 % ont un disque dur défectueux.

On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits. Suite à l’achat en ligne d’un ordinateur :

  • Proposition 1

La probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,08 à 0,01 près. (1 point)

  • Proposition 2

La probabilité que l’ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,0485. (1 point)

  • Proposition 3

Sachant que l’ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02. (1 point)

Partie B

L’autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO, exprimée en heure, suit une loi normale d’espérance et d’écart-type .

  • Proposition 4

La probabilité que l’ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10 h est inférieure à 0,2. (1 point)

Partie C

L’entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant que 98 % des clés commercialisées fonctionnent correctement.

Sur 1 000 clés prélevées dans le stock, 50 clés se révèlent défectueuses.

  • Proposition 5

Ce test, réalisé sur ces 1 000 clés, ne remet pas en cause la communication de l’entreprise. (1 point)

Exercice 2 (5 points)
Évolution du nombre de colonies d’abeilles d’un apiculteur

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8 % des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

>1. On considère l’algorithme suivant :

 

Variables :

est un nombre entier naturel

est un nombre réel

Traitement :

Affecter à la valeur 300

Affecter à la valeur 0

Tant que faire

prend la valeur

prend la valeur

Fin Tant que

Sortie :

Afficher

 

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche. (1 point)

 

Test

×××

vrai

Valeur de

300

326

Valeur de

0

1

 

b) Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. (0,75 point)

>2. On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite , le terme donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année .

Ainsi, est le nombre de colonies en 2014.

a) Exprimer pour tout entier le terme en fonction de . (0,5 point)

b) On considère la suite définie pour tout entier par .

Montrer que pour tout nombre entier on a . (0,75 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

d) Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ? (0,5 point)

>3. L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

a) Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ? (0,5 point)

b) Donner une réponse à cette question de l’apiculteur. (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)
Liens entre sites Internet et transmission d’un virus

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois sites peut, à toutes les minutes, soit y rester, soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.

Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d’utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,2.

Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,4.

Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,2, mais il n’y a pas de lien direct avec B.

L’unité de temps est la minute, et, à un instant t= 0, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 100, 0 et 0.

On représente la distribution des internautes sur les trois sites après t minutes par une matrice  ; ainsi .

On suppose qu’il n’y a ni déconnexion pendant l’heure (de t= 0 à t= 60) ni nouveaux internautes visiteurs.

>1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite. (0,5 point)

>2. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe (dans l’ordre A, B, C). (0,5 point)

>3. On donne :

Calculer . Interpréter le résultat obtenu. (1 point)

>4. Calculer . Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse. (1,5 point)

>5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l’instant t= 0, le site C est donc infecté.

a) Quelle est la probabilité qu’à l’instant t= 1, le site A soit infecté ? (0,5 point)

b) Quelle est la probabilité qu’à l’instant t= 2, les trois sites soient infectés ? (1 point)

Exercice 3 (4 points)
Convexité d’une fonction comportant une exponentielle

Commun à tous les candidats

On s’intéresse à la fonction définie sur par .

Partie A

>1. Calculer et en donner une valeur approchée à près. (0,75 point)

>2. Justifier que est la fonction dérivée de . (0,75 point)

>3. En déduire les variations de la fonction . (0,75 point)

Partie B

Dans le repère orthogonal ci-dessous, trois courbes ont été représentées.

L’une de ces courbes représente la fonction , une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.

>1. Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonction . (1,25 point)

>2. Indiquer un intervalle sur lequel la fonction est convexe. (0,5 point)


 

Exercice 4 (6 points)
Étude d’un bénéfice

Commun à tous les candidats

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.

Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On donne ci-dessous R et C les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l’intervalle [1 ; 30].


 

Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

>1. Quel est le coût de production de 21 000 pièces ? (0,5 point)

>2. Pour quelles quantités de pièces produites l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? (0,5 point)

>3. Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ? (0,5 point)

Partie B

Le bénéfice en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x milliers de pièces, est donné sur l’intervalle [1 ; 30] par :

.

>1. Montrer que , où est la dérivée de sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,5 point)

>2. On admet que , où est la dérivée seconde de sur l’intervalle [1 ; 30].

Justifier le tableau de variation ci-dessous de la fonction dérivée sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,75 point)


 

>3. a) Montrer que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle [1 ; 30]. (0,75 point)

b) Donner une valeur approchée au millième de la valeur de. (0,5 point)

>4. En déduire le signe de sur l’intervalle [1 ; 30], et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice sur ce même intervalle. (1 point)

>5. Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d’euros) ? (1 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

> Proposition 1 : L’événement dont on cherche la probabilité est l’intersection de deux événements.

> Proposition 2 : Un ordinateur dont le disque dur est défectueux a une batterie qui fonctionne correctement ou bien une batterie défectueuse.

> Proposition 3 : Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie C

> Proposition 5 : Déterminez et utilisez un intervalle de fluctuation.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>2. c) Utilisez le résultat du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Graphe probabiliste.

Les conseils du correcteur

>1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>3. D’après le cours, pour tout entier naturel non nul , .

>4. L’état probabiliste stable est associé à l’unique matrice ligne dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que .

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Dérivée • Variations d’une fonction • Convexité.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

Partie B

Déterminer la convexité d’une fonction, c’est déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe, sur quel(s) intervalle(s) la fonction est concave.

Cette étude peut être faite soit à partir de la courbe représentative de la fonction, soit à l’aide des variations de sa dérivée, soit à l’aide du signe de sa dérivée seconde.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Dérivée • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. L’entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure au coût.

Partie B

>2. Les variations de s’étudient à partir du signe de .

>3. a) Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant les conditions d’application.

>4. Utilisez les résultats des questions 2. et 3. a).

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

Soit B l’événement « l’ordinateur acheté a une batterie défectueuse » et D l’événement « l’ordinateur acheté a un disque dur défectueux ».

La probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est .

D’après l’énoncé, (5 % des ordinateurs ont un défaut de batterie), (2 % des ordinateurs ayant un défaut de batterie ont aussi un disque dur défectueux) et (parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5 % ont un disque dur défectueux).

et , d’où :

.

Gagnez des points !

Si la proposition 1 était vraie, cela signifierait que seulement 8 % des ordinateurs vendus par l’entreprise MICRO n’ont aucun problème, et donc que 92 % des ordinateurs ont au moins un problème (batterie ou disque dur), voire les deux.

Donc la proposition1 « la probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,08 à 0,01 près » est fausse.

>2. Calculer la probabilité d’un événement

Avec les mêmes notations que précédemment B et constituent une partition de l’univers, donc :

Donc la proposition2 « la probabilité que l’ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,0485 » est vraie.

>3. Calculer une probabilité conditionnelle

donc :

.

Donc la proposition3 « Sachant que l’ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02 » est fausse.

Partie B

>4. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

Puisque X suit une loi à densité : .

Soit la variable aléatoire égale à l’autonomie (en heures) de la batterie. On cherche à calculer .

Or la calculatrice ne donne que des valeurs approchées de probabilités de la forme , avec et réels. D’où :

normale d’espérance .

D’après la calculatrice, à près,

donc , donc

Donc la proposition4 « la probabilité que l’ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10 h est inférieure à 0,2 » est vraie.

Partie C

>5. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique

Les 1 000 clés prélevées et testées constituent un échantillon de taille . La proportion de clés défectueuses dans la production est, d’après l’entreprise, , puisqu’elle affirme que 98 % des clés commercialisées fonctionnent correctement.

La fréquence de clés défectueuses dans l’échantillon constitué est :

.

 ;  ; , donc on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clés défectueuses dans un échantillon de taille 1 000 est :

.

En arrondissant par défaut la borne gauche, par excès la borne droite (de manière à avoir un intervalle contenant le précédent), un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence de clés défectueuses dans un échantillon de taille 1 000 est :

I =.

Notez bien

Pour cette question, on aurait pu raisonner à partir de la proportion annoncée de clés fonctionnant correctement dans la production, et de la fréquence de clés fonctionnant correctement dans l’échantillon ; la conclusion est la même (remise en cause, au risque de 5 %, de l’affirmation de l’entreprise).

donc le résultat du test remet en cause, au risque de 5 %, la communication de l’entreprise et la proportion annoncée de clés fonctionnant correctement, le résultat du test n’est pas compatible avec l’affirmation de l’entreprise, il est trop éloigné du résultat annoncé par l’entreprise.

Donc la proposition5 « le test, réalisé sur 1 000 clés, ne remet pas en cause la communication de l’entreprise » est fausse.

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. a) Donner les étapes de l’exécution d’un algorithme

Tableau d’étapes (résultats arrondis à l’entier le plus proche) :

 

Test

×××

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

Valeur de

300

326

350

372

392

411

Valeur de

0

1

2

3

4

5

 

On sort de la boucle « Tant que » dès que la valeur deatteint ou dépasse 400.

b) Donner la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, la valeur affichée à la fin de l’exécution de l’algorithme (dernière valeur de ) est 5.

Donc, c’est après 5 ans (c’est-à-dire en 2019) que le nombre de colonies dépassera pour la première fois 400.

>2. a) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Notez bien

0,92 est le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 8 %.

Le nombre de colonies l’année est égal au nombre de colonies présentes l’année moins 8 % de ce nombre, et on ajoute les 50 nouvelles colonies installées par l’apiculteur.

Donc, pour tout entier naturel  :

b) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d’une autre suite

Pour tout entier naturel  :

c) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

D’après la question précédente, la suiteest unesuite géométrique de raison0,92.Son premier terme est.

est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme , donc pour tout entier naturel :

et .

d) Calculer le nombre de colonies que l’apiculteur peut espérer posséder en juillet 2024

, donc le nombre de colonies que l’apiculteur peut espérer posséder en juillet 2024 est :

.

Si l’évolution du nombre de colonies d’abeilles se poursuit de la même manière, l’apiculteur peut espérer posséder 484 colonies en juillet 2024.

>3. a) Modifier un algorithme

Si l’apiculteur double son nombre initial de colonies, c’est que le nombre de colonies atteint ou dépasse 600. Pour que l’algorithme donne une réponse à cette question, le calcul des termes successifs de la suite doit se poursuivre jusqu’à obtenir un terme supérieur ou égal à 600, donc on doit remplacer l’instruction « Tant que» par « Tant que».

b) Déterminer l’indice du premier terme d’une suite supérieur ou égal à un nombre donné

Pour donner une réponse à la question de l’apiculteur, c’est-à-dire pour déterminer le plus petit entier naturel tel que , il existe plusieurs méthodes :

  • On peut programmer l’algorithme après l’avoir modifié comme indiqué à la question précédente, et le « faire tourner » sur la calculatrice ; la valeur affichée en sortie est 31.
  • On peut à l’aide de la calculatrice construire un tableau donnant une valeur approchée des termes de la suite  ; le premier terme qui dépasse 600 est . En effet, à près :

et .

  • On peut résoudre une inéquation en utilisant la fonction ln :

.

, donc, la fonction ln étant croissante sur  :

.

car et est entier.

Quelle que soit la méthode, on montre que, si l’évolution du nombre de colonies d’abeilles se poursuit de la même manière, l’apiculteur devra attendre 31 ans pour doubler son nombre de colonies. Cet objectif sera donc atteint en 2045.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. Représenter une situation donnée par un graphe probabiliste

La situation décrite peut être représentée par le graphe suivant :


 

>2. Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

Notez bien

Lorsqu’un état probabiliste est représenté par une matrice ligne, la matrice de transition associée à un graphe probabiliste est une matrice carrée dont la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

La matrice M de transition associée au graphe précédent, avec les sommets dans l’ordre A, B, C, est :

>3. Déterminer une répartition d’une population à un instant donné

et , donc :

On en déduit que, après 2 minutes, il y a 42 internautes sur le site A, 22 internautes sur le site B et 36 sur le site C.

>4. Conjecturer et interpréter un état stable

Notez bien

On peut vérifier que et que la somme des coefficients de est égale à 100.

.

On conjecture que l’état stable est donné par la matrice .

Cela signifie qu’à long terme, 31,25 % des internautes seront sur le site A, 12,5 % sur le site B et 56,25 % sur le site C.

>5. a) Déterminer la probabilité d’un événement

Le site A est infecté à l’instant t= 1 si et seulement si l’internaute, initialement connecté sur le site C, utilise le lien vers A. D’après l’énoncé, la probabilité de cet événement est 0,2.

b) Expliciter un événement et calculer sa probabilité

Les trois sites sont infectés à l’instant t= 2 si et seulement si l’internaute, initialement connecté sur le site C, a ensuite visité successivement les deux autres sites aux instants et .

Comme il n’existe pas de lien direct du site C vers le site B, l’internaute a d’abord utilisé le lien de C vers A, puis le lien de A vers B.

D’après l’énoncé, la probabilité de cet événement est , c’est-à-dire 0,04.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Calculer l’image d’un nombre par une fonction

, d’où :

>2. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction est dérivable sur et, pour tout réel  :

>3. Étudier les variations d’une fonction

pour tout réel , donc est du signe de

est donc strictement décroissante sur, strictement croissante sur, et elle admet un minimum en.

Partie B

>1. Étudier la convexité d’une fonction

Dans un premier temps, on détermine parmi les trois courbes , laquelle représente , laquelle représente , laquelle représente .

D’après l’étude des variations de (partie A, question 3.), la courbe représentative def est la courbe.

s’annule et change de signe en , elle est strictement négative sur et strictement positive sur , donc la courbe représentative deest.

La dérivée secondeest donc représentée par la courbe.

>2. Convexité de la fonction f

Pour déterminer la convexité de , on peut utiliser :

  • la courbe est au-dessus de ses tangentes sur , en dessous de ses tangentes sur  ;
  • la courbe par lecture graphique, on observe que est strictement croissante sur , strictement décroissante sur  ;
  • la courbe par lecture graphique, on observe que est positive sur , négative sur .

Gagnez des points !

On en déduit également que le point de coordonnées est un point d’inflexion de la courbe représentant la fonction  ; en ce point, la courbe « traverse sa tangente ».

À partir de l’une de ces trois observations, on peut affirmer que la fonction est convexe suret concave sur.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Déterminer par lecture graphique un coût de production

Le point de la courbe d’abscisse 21 a pour ordonnée environ 250, donc par lecture graphique, on peut estimer que le coût de production de 21 000 pièces est environ 250 000 euros.

>2. Déterminer graphiquement les productions pour lesquelles une entreprise réalise un bénéfice

L’entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure au coût de production. Graphiquement, on observe que la courbe se situe au-dessus de la courbe lorsque est compris entre 3 et 22,7 environ.

L’entreprise réalise donc un bénéfice si elle produit un nombre de pièces compris entre 3 000 et 22 700 environ.

>3. Déterminer graphiquement la production permettant un bénéfice maximal

Le bénéfice est maximal lorsque la courbe est au-dessus de la courbe et que l’écart entre les deux courbes est le plus grand, ce que l’on observe graphiquement pour

Le bénéfice semble donc maximal pour environ 13 000 pièces produites.

Partie B

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction est dérivable sur [1 ; 30] et, pour tout dans cet intervalle :

>2. Justifier le tableau de variations d’une fonction

est la dérivée de et on admet que, pour tout dans [1 ; 30] :

.

sur [1 ; 30], donc a le signe de , donc :

  • si  ;
  • si .

Doncest strictement croissante sur [1 ; 2], strictement décroissante sur [2 ; 30], et a un maximum en.

>3. a) Montrer qu’une équation a une solution unique sur un intervalle

Pour tout ,  ; l’équation n’a pas de solution dans l’intervalle .

Sur l’intervalle , la fonction est continue et strictement décroissante.

De plus, , donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution dans l’intervalle .

Finalement, l’équationa une unique solutionsur l’intervalle.

b) Donner une valeur approchée d’une solution d’une équation

D’après la calculatrice :

et , donc .

et , donc :

.

et , donc :

.

13,153 et 13,154 sont des valeurs approchées au millième de.

>4. Déterminer le signe d’une fonction

D’après les questions précédentes :

sur , et sur .

D’où le tableau de variations de la fonction  :


 

 ; .

>5. Déterminer la production permettant un bénéfice maximal et la valeur du bénéfice maximal

D’après les questions précédentes, la fonction atteint son maximum en .

au millième près, donc, à l’unité près, le nombre de pièces à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal est 13 153 pièces.

, donc, arrondi au millier d’euros, le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser est 40 000 euros.