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Pondichéry &bull Avril 2016
Sujet complet &bull 20 points
Sujet complet de Pondichéry 2016
Exercice 1 (4  points)  QCM sur les fonctions et les probabilités (4  questions)
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n&rsquo est demandée. Une réponse exacte rapporte 1  point, une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.
▶ 1. Soit 
la fonction définie sur l&rsquo intervalle 
par  :
On admet que 
est dérivable sur l&rsquo intervalle 
et on désigne par 
sa fonction dérivée.
Pour tout nombre réel 
de l&rsquo intervalle 
on a  :
a) 
b) 
c) 
▶ 2. On considère la suite géométrique de premier terme  1 et de raison  2.
La somme des 13  premiers termes de cette suite vaut  :
a) 4  095
b) 8  191
c) 
▶ 3. Une variable aléatoire  X suit une loi uniforme sur l&rsquo intervalle [2    7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.
P(A) désigne la probabilité d&rsquo un événement A et E(X) l&rsquo espérance de la variable aléatoire 
.
a) 
b) 
c) 
▶ 4. On réalise un sondage sur un échantillon de 
personnes (
entier naturel non nul).
Parmi les tailles de l&rsquo échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d&rsquo obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02  ?
a) 
b) 
c) 
Exercice 2 (6  points) Étude graphique et numérique d&rsquo une fonction et  bénéfice d&rsquo une entreprise
Commun à tous les candidats
La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.
L&rsquo entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L&rsquo entreprise produit entre 1 et 15  tonnes de granulés par jour.
Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction 
définie sur l&rsquo intervalle [1    15] par  :
où 
désigne la quantité de granulés en tonnes et 
le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d&rsquo euros.
Dans l&rsquo entreprise BBE, le prix de vente d&rsquo une tonne de granulés de bois est de 300  euros.
La recette quotidienne de l&rsquo entreprise est donc donnée par la fonction 
définie sur l&rsquo intervalle [1    15] par  :
où 
désigne la quantité de granulés en tonnes et 
la recette quotidienne correspondante en centaines d&rsquo euros.
On définit par 
le résultat net quotidien de l&rsquo entreprise en centaines d&rsquo euros, c&rsquo est-à-dire la différence entre la recette 
et le coût 
, où 
désigne la quantité de granulés en tonnes.
partie A  étude graphique
Sur le graphique donné ci-dessous, on donne 
et 
les représentations graphiques respectives des fonctions 
et 
dans un repère d&rsquo origine O.
Dans cette partie  A, répondre aux questions suivantes à l&rsquo aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n&rsquo est demandée.
▶ 1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l&rsquo entreprise est minimal. (0,5  point)
▶ 2. a) Déterminer les valeurs de 
et 
, puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l&rsquo entreprise pour 6  tonnes de granulés fabriqués et vendus. (0,5  point)
b) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l&rsquo entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c&rsquo est-à-dire un bénéfice. (0,5  point)
partie B  étude d&rsquo une fonction
On considère la fonction 
définie sur l&rsquo intervalle [1    15] par  :
On admet que la fonction 
est dérivable sur l&rsquo intervalle [1  15] et on note 
sa fonction dérivée.
▶ 1. a) Calculer 
pour tout réel 
de l&rsquo intervalle [1    15]. (0,5  point)
b) En déduire que la fonction 
est décroissante sur l&rsquo intervalle [1    15]. (0,25  point)
▶ 2. a) Dresser le tableau de variations de la fonction 
sur l&rsquo intervalle [1    15], en précisant les valeurs 
et 
arrondies à l&rsquo unité. (0,5  point)
b) Le tableau de variations permet d&rsquo affirmer que l&rsquo équation 
admet une unique solution 
sur l&rsquo intervalle [1    15].
Donner une valeur approchée de 
à 0,1 près. (0,5  point)
c) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de 
sur l&rsquo intervalle [1    15]. (0,25  point)
partie C  application économique
▶ 1. Démontrer que, pour tout réel 
de l&rsquo intervalle [1    15], on a  :
(0,5  point)
▶ 2. On admet que la fonction 
est dérivable sur l&rsquo intervalle [1    15] et  on note 
sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout réel 
de l&rsquo intervalle [1    15], on a  :
où 
est la fonction étudiée dans la partie  B. (0,5  point)
▶ 3. En déduire les variations de la fonction 
sur l&rsquo intervalle [1    15]. (0,5  point)
▶ 4. a) Pour quelle quantité de granulés l&rsquo entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal  ? On donnera une valeur approchée du résultat à  0,1  tonne près. (0,5  point)
b) Calculer alors le bénéfice maximal à l&rsquo euro près. (0,5  point)
Exercice 3 (5  points)  Taux de réussite au baccalauréat suivant le type de diplôme préparé
Commun à tous les candidats
Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
partie A
On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 (Source DEEP, juillet  2015)  :
49  % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20  % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel 
91,5  % des candidats au baccalauréat général ont été reçus, ainsi que 90,6  % des candidats au baccalauréat technologique.
On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session  2015 et on considère les événements suivants  :
  : «   Le candidat s&rsquo est présenté au baccalauréat général  »  
  : «   Le candidat s&rsquo est présenté au baccalauréat technologique  »  
  : «   Le candidat s&rsquo est présenté au baccalauréat professionnel  »  
  : «   Le candidat a été reçu  » .
Pour tout événement 
, on note 
sa probabilité et 
son événement contraire. De plus, si 
est un autre événement, on note 
la probabilité de 
sachant 
.
▶ 1. Préciser les probabilités 
, 
, 
et 
. (1  point)
▶ 2. Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite. (0,5  point)
▶ 3. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l&rsquo ait obtenu est égale à 0,1812. (0,5  point)
▶ 4. Le ministère de l&rsquo Éducation nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8  % pour l&rsquo ensemble des candidats présentant l&rsquo un des baccalauréats.
a) Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l&rsquo ait obtenu est égale à 0,24845. (0,75  point)
b) Sachant que le candidat s&rsquo est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu&rsquo il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième. (0,75  point)
partie B
À l&rsquo issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français.
On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire 
qui suit la loi normale de moyenne 12,5 et d&rsquo écart-type 3,5.
De même, la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire 
qui suit la loi normale de moyenne 13,2 et d&rsquo écart-type 2,1.
▶ 1. Déterminer 
en donnant le résultat arrondi au centième. (0,5  point)
▶ 2. Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillés la fonction densité associée à la variable aléatoire 
. La fonction densité associée à 
est représentée sur un seul de ces graphiques.
Quel est ce graphique  ? Expliquer le choix. (1  point)
Graphique  1
Graphique  2
Graphique  3
Exercice 4 (5  points) Coût d&rsquo un crédit  étude à l&rsquo aide d&rsquo une suite
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et  candidats de série L
En janvier  2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5  700  euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d&rsquo un montant de 5  700  euros, au taux mensuel de 1,5  %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300  euros est versée par l&rsquo emprunteur à l&rsquo organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5  %, puis baisse de 300  euros.
Le premier versement a lieu le 25  février 2016.
On note 
le capital restant dû en euros juste après la 
-ième mensualité (
entier naturel non nul). On convient que 
.
Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.
▶ 1. a) Démontrer que 
, capital restant dû au 26  février 2016, juste après la première mensualité, est de 5  485,50  euros. (0,5  point)
b) Calculer 
. (0,5  point)
▶ 2. On admet que la suite 
est définie pour tout entier naturel 
par  :
On considère l&rsquo algorithme suivant  :
|
Variables  : |
|
|
|
Traitement  : |
Affecter à Affecter à Tant que |
|
|   |   |
|
|   |
Fin Tant que |
|
|
Sortie  : |
Afficher |
|
est un entier naturel
est un nombre réel
la valeur 5  700
la valeur 0
faire
prend la valeur 
prend la valeur 
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne. (0,75  point)
b) Quelle valeur est affichée à la fin de l&rsquo exécution de cet algorithme  ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l&rsquo exercice. (0,75  point)
▶ 3. Soit la suite 
définie pour tout entier naturel 
par  :
.
a) Montrer que pour tout entier naturel 
, on a  :
. (0,5  point)
b) En déduire que pour tout entier naturel 
, on a  :
(0,75  point)
▶ 4. À l&rsquo aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes  :
a) Démontrer qu&rsquo une valeur approchée du capital restant dû par l&rsquo emprunteur au 26  avril 2017 est 2  121,68  euros. (0,25  point)
b) Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt. (0,5  point)
c) Quel sera le montant de la dernière mensualité  ? (0,25  point)
d) Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat  ? (0,25  point)
Exercice 4 (5  points)  Répartition d&rsquo acheteurs suivant le mode d&rsquo achat  : par Internet ou en magasin
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Une étude statistique sur une population d&rsquo acheteurs a montré que  :
90  % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant Internet affirment vouloir continuer à utiliser Internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin.
60  % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant Internet.
Dans toute la suite de l&rsquo exercice, 
désigne un entier naturel non nul.
Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs. On note  :
la probabilité que cette personne fasse son 
-ième achat sur Internet 
la probabilité que cette personne fasse son 
-ième achat en magasin.
On suppose de plus que 
et 
.
On note 
l&rsquo état probabiliste correspondant au 
-ième achat.
Ainsi 
.
On note  :
A l&rsquo état «   La personne effectue son achat sur Internet  »  
B l&rsquo état «   La personne effectue son achat en magasin  » .
▶ 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,5  point)
▶ 2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les  sommets dans l&rsquo ordre alphabétique. (0,5  point)
▶ 3. a) Calculer la matrice 
. (0,5  point)
b) En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5e  achat sur Internet est égale à 0,8125. (0,5  point)
▶ 4. On note 
l&rsquo état stable associé à ce graphe.
a) Montrer que les nombres 
et 
sont solutions du système  : (0,5  point)
b) Résoudre le système précédent. (0,5  point)
c) À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur Internet  ? (0,25  point)
▶ 5. a) Montrer que, pour tout entier naturel 
non nul, on a  :
(0,5  point)
b) Recopier et compléter l&rsquo algorithme suivant afin qu&rsquo il affiche le plus petit entier naturel 
non nul tel que 
. (0,75  point)
|
Variables  : |
|
|
|
Initialisation  : |
Affecter à Affecter à |
|
|
Traitement  : |
Tant que ...................... |
|
|   |   |
Affecter à Affecter à |
|   |
Fin Tant que |
|
|
Sortie  : |
Afficher |
|
est un entier naturel
est un nombre réel
la valeur 1
la valeur 1
la valeur 
la valeur ...................
c) Quelle est la valeur affichée par l&rsquo algorithme en sortie  ? (0,5  point)
Les clés du sujet
Exercice  1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée  : 35  minutes
Les thèmes en jeu
Suite géométrique &bull Dérivée &bull Fonction logarithme népérien &bull Variable aléatoire &bull Loi à densité, loi normale &bull Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
▶ 2. Utilisez la formule du cours.
▶ 4. Un sondage effectué sur un échantillon de taille 
permet d&rsquo obtenir un intervalle de confiance d&rsquo amplitude 
.
Exercice  2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée  : 55  minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Fonction exponentielle &bull Théorème des valeurs intermédiaires.
Les conseils du correcteur
Partie  A
▶ 2. b) L&rsquo entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure aux coûts de production  utilisez la position relative des courbes C et 
.
Partie  B
▶ 1. b) Étudiez le signe de 
.
▶ 2. b) Déterminez deux réels 
et 
tels que 
, 
et 
et 
sont de signes contraires.
Partie  C
▶ 3. Utilisez le résultat de la question 2. c) de la partie B.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée  : 45  minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie  A
▶ 3. et 4. a) Les probabilités demandées sont les probabilités de l&rsquo intersection de deux événements.
▶ 4. b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.
Partie  B
▶ 1. Utilisez la calculatrice ou un résultat du cours.
▶ 2. La courbe représentative de la fonction densité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 
a pour axe de symétrie la droite d&rsquo équation 
. D&rsquo autre part, si cette loi normale a pour écart-type 
, plus 
est grand, plus la courbe de la fonction densité est «   étalée  » de part et d&rsquo autre de son axe de symétrie.
Exercice 4 (Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Durée conseillée  : 45  minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel «   Tant que  » &bull Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
▶ 2. a) N&rsquo oubliez pas, à chaque étape, de comparer 
et 4  500  l&rsquo algorithme s&rsquo arrête (on sort de la boucle «   Tant que  » ) dès que 
.
▶ 3. Si 
, alors 
.
Exercice 4 (Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Durée conseillée  : 45  minutes
Les thèmes en jeu
Pourcentage instantané &bull Suite géométrique &bull Graphe probabiliste &bull Matrice &bull Boucle avec arrêt conditionnel «   Tant que  » .
Les conseils du correcteur
▶ 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à  1.
▶ 2. 
est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes  la somme des deux coefficients d&rsquo une même ligne est égale à 1.
▶ 3. b) La probabilité cherchée est 
.
▶ 4. L&rsquo état stable est associé à l&rsquo unique matrice ligne 
dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 
.
▶ 5. a) N&rsquo oubliez pas que, pour tout entier naturel 
non nul, 
.
c) L&rsquo algorithme s&rsquo arrête (on sort de la boucle «   Tant que  » ) dès que 
.