Sujet complet de Pondichéry 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Pondichéry

&nbsp

4

Pondichéry &bull Avril 2016

Sujet complet &bull 20 points

Sujet complet de Pondichéry 2016

Exercice 1 (4&nbsp points)&nbsp 
QCM sur les fonctions et les probabilités (4&nbsp questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n&rsquo est demandée. Une réponse exacte rapporte 1&nbsp point, une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

1. Soit 313367-Eqn1 la fonction définie sur l&rsquo intervalle 313367-Eqn2 par&nbsp :

313367-Eqn3

On admet que 313367-Eqn4 est dérivable sur l&rsquo intervalle 313367-Eqn5 et on désigne par 313367-Eqn6 sa fonction dérivée.

Pour tout nombre réel 313367-Eqn7 de l&rsquo intervalle 313367-Eqn8 on a&nbsp :

a) 313367-Eqn9

b) 313367-Eqn10

c) 313367-Eqn11

2. On considère la suite géométrique de premier terme&nbsp 1 et de raison&nbsp 2.

La somme des 13&nbsp premiers termes de cette suite vaut&nbsp :

a) 4&nbsp 095

b) 8&nbsp 191

c) 313367-Eqn12

3. Une variable aléatoire&nbsp X suit une loi uniforme sur l&rsquo intervalle [2&nbsp &nbsp 7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

matT_1604_12_00C_01

P(A) désigne la probabilité d&rsquo un événement A et E(X) l&rsquo espérance de la variable aléatoire 313367-Eqn13.

a) 313367-Eqn14

b) 313367-Eqn15

c) 313367-Eqn16

4. On réalise un sondage sur un échantillon de 313367-Eqn17 personnes (313367-Eqn18 entier naturel non nul).

Parmi les tailles de l&rsquo échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d&rsquo obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02&nbsp ?

a) 313367-Eqn19

b) 313367-Eqn20

c) 313367-Eqn21

Exercice 2 (6&nbsp points)
 Étude graphique et numérique d&rsquo une fonction et&nbsp bénéfice d&rsquo une entreprise

Commun à tous les candidats

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L&rsquo entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L&rsquo entreprise produit entre 1 et 15&nbsp tonnes de granulés par jour.

Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction 313367-Eqn22 définie sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15] par&nbsp :

313367-Eqn23

313367-Eqn24 désigne la quantité de granulés en tonnes et 313367-Eqn25 le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d&rsquo euros.

Dans l&rsquo entreprise BBE, le prix de vente d&rsquo une tonne de granulés de bois est de 300&nbsp euros.

La recette quotidienne de l&rsquo entreprise est donc donnée par la fonction 313367-Eqn26 définie sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15] par&nbsp :

313367-Eqn27

313367-Eqn28 désigne la quantité de granulés en tonnes et 313367-Eqn29 la recette quotidienne correspondante en centaines d&rsquo euros.

On définit par 313367-Eqn30 le résultat net quotidien de l&rsquo entreprise en centaines d&rsquo euros, c&rsquo est-à-dire la différence entre la recette 313367-Eqn31 et le coût 313367-Eqn32, où 313367-Eqn33 désigne la quantité de granulés en tonnes.

partie A&nbsp étude graphique

Sur le graphique donné ci-dessous, on donne 313367-Eqn34 et 313367-Eqn35 les représentations graphiques respectives des fonctions 313367-Eqn36 et 313367-Eqn37 dans un repère d&rsquo origine O.

Dans cette partie&nbsp A, répondre aux questions suivantes à l&rsquo aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n&rsquo est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l&rsquo entreprise est minimal. (0,5&nbsp point)

2. a) Déterminer les valeurs de 313367-Eqn38 et 313367-Eqn39, puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l&rsquo entreprise pour 6&nbsp tonnes de granulés fabriqués et vendus. (0,5&nbsp point)

b) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l&rsquo entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c&rsquo est-à-dire un bénéfice. (0,5&nbsp point)

matT_1604_12_00C_02

partie B&nbsp étude d&rsquo une fonction

On considère la fonction 313367-Eqn40 définie sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15] par&nbsp :

313367-Eqn41

On admet que la fonction 313367-Eqn42 est dérivable sur l&rsquo intervalle [1&nbsp 15] et on note 313367-Eqn43 sa fonction dérivée.

1. a) Calculer 313367-Eqn44 pour tout réel 313367-Eqn45 de l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15]. (0,5&nbsp point)

b) En déduire que la fonction 313367-Eqn46 est décroissante sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15]. (0,25&nbsp point)

2. a) Dresser le tableau de variations de la fonction 313367-Eqn47sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15], en précisant les valeurs 313367-Eqn48 et 313367-Eqn49 arrondies à l&rsquo unité. (0,5&nbsp point)

b) Le tableau de variations permet d&rsquo affirmer que l&rsquo équation 313367-Eqn50 admet une unique solution 313367-Eqn51 sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15].

Donner une valeur approchée de 313367-Eqn52 à 0,1 près. (0,5&nbsp point)

c) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de 313367-Eqn53 sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15]. (0,25&nbsp point)

partie C&nbsp application économique

1. Démontrer que, pour tout réel 313367-Eqn54 de l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15], on a&nbsp :

313367-Eqn55 (0,5&nbsp point)

2. On admet que la fonction 313367-Eqn56 est dérivable sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15] et&nbsp on note 313367-Eqn57 sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel 313367-Eqn58 de l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15], on a&nbsp :

313367-Eqn59

313367-Eqn60 est la fonction étudiée dans la partie&nbsp B. (0,5&nbsp point)

3. En déduire les variations de la fonction 313367-Eqn61 sur l&rsquo intervalle [1&nbsp &nbsp 15]. (0,5&nbsp point)

4. a) Pour quelle quantité de granulés l&rsquo entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal&nbsp ? On donnera une valeur approchée du résultat à&nbsp 0,1&nbsp tonne près. (0,5&nbsp point)

b) Calculer alors le bénéfice maximal à l&rsquo euro près. (0,5&nbsp point)

Exercice 3 (5&nbsp points)&nbsp 
Taux de réussite au baccalauréat suivant le type de diplôme préparé

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

partie A

On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 (Source DEEP, juillet&nbsp 2015)&nbsp :

49&nbsp % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20&nbsp % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel&nbsp

91,5&nbsp % des candidats au baccalauréat général ont été reçus, ainsi que 90,6&nbsp % des candidats au baccalauréat technologique.

On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session&nbsp 2015 et on considère les événements suivants&nbsp :

313367-Eqn62&nbsp : &laquo &nbsp Le candidat s&rsquo est présenté au baccalauréat général&nbsp &raquo &nbsp

313367-Eqn63&nbsp : &laquo &nbsp Le candidat s&rsquo est présenté au baccalauréat technologique&nbsp &raquo &nbsp

313367-Eqn64&nbsp : &laquo &nbsp Le candidat s&rsquo est présenté au baccalauréat professionnel&nbsp &raquo &nbsp

313367-Eqn65&nbsp : &laquo &nbsp Le candidat a été reçu&nbsp &raquo .

Pour tout événement 313367-Eqn66, on note 313367-Eqn67 sa probabilité et 313367-Eqn68 son événement contraire. De plus, si 313367-Eqn69 est un autre événement, on note 313367-Eqn70 la probabilité de 313367-Eqn71 sachant 313367-Eqn72.

1. Préciser les probabilités 313367-Eqn73, 313367-Eqn74, 313367-Eqn75 et 313367-Eqn76. (1&nbsp point)

2. Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite. (0,5&nbsp point)

3. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l&rsquo ait obtenu est égale à 0,1812. (0,5&nbsp point)

4. Le ministère de l&rsquo Éducation nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8&nbsp % pour l&rsquo ensemble des candidats présentant l&rsquo un des baccalauréats.

a) Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l&rsquo ait obtenu est égale à 0,24845. (0,75&nbsp point)

b) Sachant que le candidat s&rsquo est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu&rsquo il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième. (0,75&nbsp point)

partie B

À l&rsquo issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français.

On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire 313367-Eqn77 qui suit la loi normale de moyenne 12,5 et d&rsquo écart-type 3,5.

De même, la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire 313367-Eqn78 qui suit la loi normale de moyenne 13,2 et d&rsquo écart-type 2,1.

1. Déterminer 313367-Eqn79 en donnant le résultat arrondi au centième. (0,5&nbsp point)

2. Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillés la fonction densité associée à la variable aléatoire 313367-Eqn80. La fonction densité associée à 313367-Eqn81 est représentée sur un seul de ces graphiques.

Quel est ce graphique&nbsp ? Expliquer le choix. (1&nbsp point)

matT_1604_12_00C_03

Graphique&nbsp 1

matT_1604_12_00C_04

Graphique&nbsp 2

matT_1604_12_00C_05

Graphique&nbsp 3

Exercice 4 (5&nbsp points)
 Coût d&rsquo un crédit&nbsp étude à l&rsquo aide d&rsquo une suite

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et&nbsp candidats de série L

En janvier&nbsp 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5&nbsp 700&nbsp euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d&rsquo un montant de 5&nbsp 700&nbsp euros, au taux mensuel de 1,5&nbsp %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300&nbsp euros est versée par l&rsquo emprunteur à l&rsquo organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5&nbsp %, puis baisse de 300&nbsp euros.

Le premier versement a lieu le 25&nbsp février 2016.

On note 313367-Eqn82 le capital restant dû en euros juste après la 313367-Eqn83-ième mensualité (313367-Eqn84 entier naturel non nul). On convient que 313367-Eqn85.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.

1. a) Démontrer que 313367-Eqn86, capital restant dû au 26&nbsp février 2016, juste après la première mensualité, est de 5&nbsp 485,50&nbsp euros. (0,5&nbsp point)

b) Calculer 313367-Eqn87. (0,5&nbsp point)

2. On admet que la suite 313367-Eqn88 est définie pour tout entier naturel 313367-Eqn89 par&nbsp :

313367-Eqn90

On considère l&rsquo algorithme suivant&nbsp :

Variables&nbsp :

313367-Eqn91 est un entier naturel

313367-Eqn92 est un nombre réel

Traitement&nbsp :

Affecter à 313367-Eqn93 la valeur 5&nbsp 700

Affecter à 313367-Eqn94 la valeur 0

Tant que 313367-Eqn95 faire

&nbsp &nbsp

313367-Eqn96 prend la valeur 313367-Eqn97

313367-Eqn98 prend la valeur 313367-Eqn99

&nbsp

Fin Tant que

Sortie&nbsp :

Afficher 313367-Eqn100

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne. (0,75&nbsp point)

matT_1604_12_00C_tab1

b) Quelle valeur est affichée à la fin de l&rsquo exécution de cet algorithme&nbsp ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l&rsquo exercice. (0,75&nbsp point)

3. Soit la suite 313367-Eqn104 définie pour tout entier naturel 313367-Eqn105 par&nbsp :

313367-Eqn106.

a) Montrer que pour tout entier naturel 313367-Eqn107, on a&nbsp :

313367-Eqn108. (0,5&nbsp point)

b) En déduire que pour tout entier naturel 313367-Eqn109, on a&nbsp :

313367-Eqn110 (0,75&nbsp point)

4. À l&rsquo aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes&nbsp :

a) Démontrer qu&rsquo une valeur approchée du capital restant dû par l&rsquo emprunteur au 26&nbsp avril 2017 est 2&nbsp 121,68&nbsp euros. (0,25&nbsp point)

b) Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt. (0,5&nbsp point)

c) Quel sera le montant de la dernière mensualité&nbsp ? (0,25&nbsp point)

d) Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat&nbsp ? (0,25&nbsp point)

Exercice 4 (5&nbsp points)&nbsp 
Répartition d&rsquo acheteurs suivant le mode d&rsquo achat&nbsp : par Internet ou en magasin

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Une étude statistique sur une population d&rsquo acheteurs a montré que&nbsp :

90&nbsp % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant Internet affirment vouloir continuer à utiliser Internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin.

60&nbsp % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant Internet.

Dans toute la suite de l&rsquo exercice, 313367-Eqn111 désigne un entier naturel non nul.

Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs. On note&nbsp :

313367-Eqn112 la probabilité que cette personne fasse son 313367-Eqn113-ième achat sur Internet&nbsp

313367-Eqn114 la probabilité que cette personne fasse son 313367-Eqn115-ième achat en magasin.

On suppose de plus que 313367-Eqn116 et 313367-Eqn117.

On note 313367-Eqn118 l&rsquo état probabiliste correspondant au 313367-Eqn119-ième achat.

Ainsi 313367-Eqn120.

On note&nbsp :

A l&rsquo état &laquo &nbsp La personne effectue son achat sur Internet&nbsp &raquo &nbsp

B l&rsquo état &laquo &nbsp La personne effectue son achat en magasin&nbsp &raquo .

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,5&nbsp point)

2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les&nbsp sommets dans l&rsquo ordre alphabétique. (0,5&nbsp point)

3. a) Calculer la matrice 313367-Eqn121. (0,5&nbsp point)

b) En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5e&nbsp achat sur Internet est égale à 0,8125. (0,5&nbsp point)

4. On note 313367-Eqn122 l&rsquo état stable associé à ce graphe.

a) Montrer que les nombres 313367-Eqn123 et 313367-Eqn124 sont solutions du système&nbsp : (0,5&nbsp point)

313367-Eqn125

b) Résoudre le système précédent. (0,5&nbsp point)

c) À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur Internet&nbsp ? (0,25&nbsp point)

5. a) Montrer que, pour tout entier naturel 313367-Eqn126 non nul, on a&nbsp :

313367-Eqn127 (0,5&nbsp point)

b) Recopier et compléter l&rsquo algorithme suivant afin qu&rsquo il affiche le plus petit entier naturel 313367-Eqn128 non nul tel que 313367-Eqn129. (0,75&nbsp point)

Variables&nbsp :

313367-Eqn130 est un entier naturel

313367-Eqn131 est un nombre réel

Initialisation&nbsp :

Affecter à 313367-Eqn132 la valeur 1

Affecter à 313367-Eqn133 la valeur 1

Traitement&nbsp :

Tant que ......................

&nbsp &nbsp

Affecter à 313367-Eqn134 la valeur 313367-Eqn135

Affecter à 313367-Eqn136 la valeur ...................

&nbsp

Fin Tant que

Sortie&nbsp :

Afficher 313367-Eqn137

c) Quelle est la valeur affichée par l&rsquo algorithme en sortie&nbsp ? (0,5&nbsp point)

Les clés du sujet

Exercice&nbsp 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée&nbsp : 35&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique &bull Dérivée &bull Fonction logarithme népérien &bull Variable aléatoire &bull Loi à densité, loi normale &bull Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

2. Utilisez la formule du cours.

4. Un sondage effectué sur un échantillon de taille 313367-Eqn138 permet d&rsquo obtenir un intervalle de confiance d&rsquo amplitude 313367-Eqn139.

Exercice&nbsp 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée&nbsp : 55&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Fonction exponentielle &bull Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie&nbsp A

2. b) L&rsquo entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure aux coûts de production&nbsp utilisez la position relative des courbes C et 313367-Eqn141.

Partie&nbsp B

1. b) Étudiez le signe de 313367-Eqn142.

2. b) Déterminez deux réels 313367-Eqn143 et 313367-Eqn144 tels que 313367-Eqn145, 313367-Eqn146 et 313367-Eqn147 et 313367-Eqn148 sont de signes contraires.

Partie&nbsp C

3. Utilisez le résultat de la question 2. c) de la partie B.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée&nbsp : 45&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie&nbsp A

3. et 4. a) Les probabilités demandées sont les probabilités de l&rsquo intersection de deux événements.

4. b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.

Partie&nbsp B

1. Utilisez la calculatrice ou un résultat du cours.

2. La courbe représentative de la fonction densité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 313367-Eqn149 a pour axe de symétrie la droite d&rsquo équation 313367-Eqn150. D&rsquo autre part, si cette loi normale a pour écart-type 313367-Eqn151, plus 313367-Eqn152 est grand, plus la courbe de la fonction densité est &laquo &nbsp étalée&nbsp &raquo de part et d&rsquo autre de son axe de symétrie.

Exercice 4 (Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée&nbsp : 45&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel &laquo &nbsp Tant que&nbsp &raquo &bull Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. a) N&rsquo oubliez pas, à chaque étape, de comparer 313367-Eqn153 et 4&nbsp 500&nbsp l&rsquo algorithme s&rsquo arrête (on sort de la boucle &laquo &nbsp Tant que&nbsp &raquo ) dès que 313367-Eqn154.

3. Si 313367-Eqn155, alors 313367-Eqn156.

Exercice 4 (Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Durée conseillée&nbsp : 45&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané &bull Suite géométrique &bull Graphe probabiliste &bull Matrice &bull Boucle avec arrêt conditionnel &laquo &nbsp Tant que&nbsp &raquo .

Les conseils du correcteur

1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à&nbsp 1.

2. 313367-Eqn157 est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes&nbsp la somme des deux coefficients d&rsquo une même ligne est égale à 1.

3. b) La probabilité cherchée est 313367-Eqn158.

4. L&rsquo état stable est associé à l&rsquo unique matrice ligne 313367-Eqn159 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 313367-Eqn160.

5. a) N&rsquo oubliez pas que, pour tout entier naturel 313367-Eqn161 non nul, 313367-Eqn162.

c) L&rsquo algorithme s&rsquo arrête (on sort de la boucle &laquo &nbsp Tant que&nbsp &raquo ) dès que 313367-Eqn163.