Sujet complet de Pondichéry 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet de Pondichéry 2016

Exercice 1 (4 points)
 Internet et les jeunes…

Commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire T suivant une loi normale de moyenne μ = 13,9 et d’écart type σ.

La fonction densité de probabilité de T est représentée ci-dessous :

matT_1604_12_01C_01

▶ 1. On sait que 2048784-Eqn2.

En exploitant cette information :

a) Hachurer, sur le graphique ci-dessus, deux domaines distincts dont l’aire est égale à 0,023.

b) Déterminer 2048784-Eqn3. Justifier le résultat.

Montrer qu’une valeur approchée de σ au dixième est 4,1.

▶ 2. On choisit un jeune en France au hasard.

Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième.

Partie B

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des œuvres et la protection des droits sur internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.

Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :

On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans. Pour chaque jeune de cet échantillon :

le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ; l’enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;

l’enquêteur pose la question : « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;

si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par « Oui » ou « Non » de façon sincère ;

si le résultat du lancer est « 1 » alors le jeune doit répondre « Oui » ;

si le résultat du lancer est « 3 ou 5 » alors le jeune doit répondre « Non ».

Grâce à ce protocole, l’enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On note p la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.

▶ 1. Calculs de probabilités

On choisit aléatoirement un jeune faisant partie du protocole (P).

On note : R l’événement « le résultat du lancer est pair » ;

O l’événement « le jeune a répondu Oui ».

Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

matT_1604_12_01C_02

En déduire que la probabilité q de l’événement « le jeune a répondu Oui » est :

2048784-Eqn4.

▶ 2. Intervalle de confiance

a) À la demande de la Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P). Sur un échantillon de taille 1 500, il dénombre 625 réponses « Oui ».

Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion q de jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.

b) Que peut-on en conclure sur la proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?

Exercice 2 (3 points) 
Construisons un pentagone régulier !

Commun à tous les candidats

L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct 2048784-Eqn5, on considère le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 de centre O tel que 2048784-Eqn6.

matT_1604_12_01C_03

On rappelle que dans le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 ci-contre :

les cinq côtés sont de même longueur ;

les points A0, A1, A2, A3 et A4 appartiennent au cercle trigonométrique ;

pour tout entier k appartenant à 2048784-Eqn7 on a 2048784-Eqn8.

▶ 1. On considère les points B d’affixe −1 et J d’affixe 2048784-Eqn9.

Le cercle C de centre J et de rayon 2048784-Eqn10 coupe le segment [BJ] en un point K.

Calculer BJ, puis en déduire BK.

▶ 2. a) Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A2. Justifier brièvement.

b) Démontrer que 2048784-Eqn11.

c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :

matT_1604_12_01C_04

En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 = BK.

▶ 3. Dans le repère 2048784-Eqn12 ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

matT_1604_12_01C_05

Exercice 3 (5 points)
 Sectionnons encore un cube !

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

matT_1604_12_01C_06

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.

Construire, sur la figure ci-dessus et en laissant apparents les traits de construction :

le point L ;

l’intersection D des plans (IJK) et (CDH) ;

la section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L’espace est rapporté au repère 2048784-Eqn13.

▶ 1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

▶ 2. a) Montrer que le vecteur 2048784-Eqn14 est normal au plan (IJK).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

▶ 3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0 ; 1] tel que 2048784-Eqn15.

a) Démontrer que 2048784-Eqn16.

b) Démontrer que la distance MI est minimale pour le point 2048784-Eqn17.

▶ 4. Démontrer que pour ce point 2048784-Eqn18 :

a) N appartient au plan (IJK).

b) La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).

Exercice 3 (5 points) 
Codage et décodage

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices M de la forme 2048784-Eqn19a et b sont des nombres entiers.

Le nombre 3a − 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M ).

Ainsi det(M ) = 3a − 5b.

▶ 1. Dans cette question on suppose que det(M ) ≠ 0 et on pose 2048784-Eqn20.

Justifier que N est l’inverse de M.

▶ 2. On considère l’équation (E) : det(M ) = 3.

On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (; b) solutions de l’équation (E).

a) Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers (; b) est solution de (E) si, et seulement si, 3(a − 6) = 5(b − 3).

c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Partie B

▶ 1. On pose 2048784-Eqn21.

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.

▶ 2. Codage avec la matrice Q

Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice 2048784-Eqn22, on utilise la procédure ci-après.

Étape 1. On associe au mot la matrice 2048784-Eqn23x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-après :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Étape 2. La matrice X est transformée en la matrice 2048784-Eqn24 telle que = QX.

Étape 3. La matrice Y est transformée en la matrice 2048784-Eqn25 telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.

Étape 4. À la matrice 2048784-Eqn26 on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.

Exemple : 2048784-Eqn27

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.

▶ 3. Procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que = QX.

a) Démontrer que 3= 3Q−1Y puis que 2048784-Eqn28.

b) En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que 2048784-Eqn29.

c) Décoder le mot SG.

Exercice 4 (3 points)
 Optimisons une aire

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur ]0 ; 14] par 2048784-Eqn30.

La courbe représentative f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous.

matT_1604_12_01C_07

À tout point M appartenant à f , on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.

Justifier les réponses.

> 1. L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur f ?

> 2. L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?

Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Exercice 5 (5 points)
 Stérilisation d’une boîte de conserve

Commun à tous les candidats

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante T= 25 °C et on la place dans un four à température constante TF = 100 °C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A Modélisation discrète

Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T= 25.

Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :

Initialisation

T prend la valeur 25

Traitement

Demander la valeur de n

Pour i allant de 1 à n faire

   

T prend la valeur 0,85 × T +15

 

Fin Pour

Sortie

Afficher T

▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.

▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

on a T= 100 − 75 × 0,85n.

▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

Partie B Modélisation continue

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :

2048784-Eqn31.

▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + ∞[.

b) Justifier que si 2048784-Eqn32 alors2048784-Eqn33.

▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.

On note A(θ) le domaine délimité par les droites d’équation = 10, = θ, y = 85 et la courbe représentative f de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.

matT_1604_12_01C_08

a) Justifier, à l’aide du graphique ci-dessus, que l’on a A(25) > 80.

b) Justifier que, pour 2048784-Eqn34, on a 2048784-Eqn35.

c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Lois de probabilité • Intervalle de confiance.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Lois de probabilité  E40a • E40e Partie A, 1. a), 1. b) et 2.

Arbre pondéré  E37 Partie B, 1.

Intervalle de confiance  E44 Partie B, 2. a) et 2. b)

Calculatrice

Probabilités avec la loi normale  C3 Partie A, 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 1. a) Pour hachurer le premier domaine, simplement à l’aide de la définition, traduisez en termes d’aire la probabilité précisée dans l’énoncé. Pour identifier le deuxième domaine, prenez en compte la symétrie de la courbe représentative de la densité.

Partie B

 2. b) Traduisez, en termes d’appartenance à un intervalle, l’estimation de la proportion q par intervalle de confiance (question 2. a)). Remémorez-vous le lien entre la proportion p et la proportion q établi à la question 1. pour conclure.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Module d’un nombre complexe  E18 1., 2. a) et 2. b)

Argument d’un nombre complexe  E19  2. a)

Forme algébrique d’un nombre complexe  E16 1.

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21 2. a) et 2. b)

Nombres complexes et géométrie  E22 1., 2. a) et 2. b)

Calculatrice

Calcul avec les nombres complexes  C4 1.

Nos coups de pouce

▶ 1. Exprimez en termes de distances le fait que les points B, K et J sont alignés (K appartient au segment [BJ]). N’oubliez pas que le point K appartient également au cercle de centre J et de rayon 2048784-Eqn36 afin de conclure.

 2. b) Calculez le module 2048784-Eqn37, 2048784-Eqn38 et 2048784-Eqn39 étant les affixes respectives des points A2 et B. Utilisez la forme exponentielle de 2048784-Eqn40 pour mener à bien ce calcul.

Exercice 3 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Positions relatives  E24a • E24b Partie B, 4. b)

Orthogonalité  E26b • E32 Partie B, 2. a) et 4. b)

Repérage  E29 Partie B, 1.

Produit scalaire  E31c Partie B, 2. a), 3. a) et 4. b)

Équation cartésienne d’un plan  E33a • E33c Partie B, 2. a), 2. b) et 4. a)

Nos coups de pouce

Partie B

 3. a) Déterminez les coordonnées du vecteur 2048784-Eqn41 puis calculez le produit scalaire 2048784-Eqn42.

 4. b) N’oubliez pas que le vecteur 2048784-Eqn43 est normal au plan (IJK) pour démontrer que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires. Calculez le produit scalaire 2048784-Eqn44 pour démontrer que les droites (IN) et (BF) sont perpendiculaires. Dans les deux cas, pensez à la position du point N (appartenance à certaines droites ou à un plan) pour conclure.

Exercice 3 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

Calcul matriciel  C5 Partie A, 1. ; Partie B, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. c) Déterminez les couples possibles avec le théorème de Gauss. N’oubliez pas la réciproque dans votre raisonnement et vérifiez bien que les couples trouvés vérifient l’équation (E).

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Dérivation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b • E9e 1. et 2.

Dérivation  E6c • E6e • E6f 2.

Nos coups de pouce

 1. Choisissez deux valeurs distinctes dans l’intervalle proposé pour faire le calcul de l’aire du rectangle et concluez.

▶ 2. Exprimez l’aire du rectangle en fonction de l’abscisse x du point M et étudiez la fonction ainsi obtenue sur l’intervalle proposé pour conclure.

Exercice 5 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Fonction logarithme népérien • Dérivation • Fonction exponentielle • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 Partie A, 2.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b • E9e • E9f Partie A, 3. ; Partie B, 1. b) et 2. c)

Fonction exponentielle  E8b Partie B, 1. b) et 2. c)

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie B, 1. a)

Intégration  E11 • E13 • E14 • E15 Partie B, 2. b) et 2. c)

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 2. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Partie B

 1. a) Étudiez le signe de la dérivée 2048784-Eqn45 sur 2048784-Eqn46 et concluez. N’oubliez pas avant de dériver de justifier la dérivabilité de la fonction considérée sur l’intervalle proposé.

 2. c) En vous aidant de l’énoncé, traduisez la question posée à l’aide d’une condition sur 2048784-Eqn47 et effectuez le calcul d’intégrale correspondant.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

▶ 1. a) Traduire une probabilité en termes d’aire

Par définition, la probabilité de l’événement {T ≥ 22} est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à T et l’axe des abscisses, et situé à la droite de la droite d’équation x = 22.

matT_1604_12_01C_09

Par propriété, la courbe représentative de la densité associée à T est symétrique par rapport à la droite d’équation x = μ (ici μ = 13,9). Par conséquent :

P(T ≥ 22) = P(T ≥ μ + 8,1) = P(T ≤ μ - 8,1) = P(T ≤ 5,8).

Cette probabilité est alors également l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à T et l’axe des abscisses, et situé à la gauche de la droite d’équation x = 5,8.

matT_1604_12_01C_10

b) Calculer une probabilité et estimer un écart type

On a 2048784-Eqn48 (événement contraire). Mais, d’après la question précédente :

2048784-Eqn49.

On en conclut que : P(5,8 ≤ T ≤ 22) = 1 - 2 × 0,023 = 0,954.

Par propriété (loi normale), on a 2048784-Eqn50 (valeur approchée par défaut). Or, d’après ce qui précède, P(5,8 ≤ T ≤ 22) qui s’écrit aussi P(13,9 - 8,1 ≤ T ≤ 13,9 + 8,1) ou encore P(μ - 2 × 4,05 ≤ T ≤ μ + 2 × 4,05) est égale à 0,954. Par identification, la valeur de σ serait proche de 4,05.

Une valeur approchée de σ au dixième est donc 4,1.

▶ 2. Calculer une probabilité

Notez bien

Calcul de P(a ≤ b) avec X ~ N(μ ; σ2).

Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr : NormalFRép (a, b, μ, σ).

Syntaxe pour la CASIO Graph 75 : NormCD(a, b, σ, μ)

La probabilité qu’un jeune en France choisi au hasard soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine est P(T > 18). Comme nous sommes dans le cadre d’une loi continue, P(T > 18) = P(T ≥ 18). De plus, par propriété de la densité associée à une loi normale, on a :

P(T > 18) = 0,5 - P(μ ≤ T ≤ 18) = 0,5 - P(13,9 ≤ T ≤ 18).

À l’aide d’une calculatrice, on obtient 0,16 comme valeur approchée de cette probabilité au centième.

partie B

▶ 1. Compléter et utiliser un arbre pondéré

L’événement R, « le résultat du lancer est pair », est réalisé par les issues 2, 4 ou 6, le dé lancé étant un dé classique à six faces. Comme ce dé est équilibré, toutes les issues sont équiprobables et ainsi 2048784-Eqn51. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1, on a :

2048784-Eqn52.

Si le résultat du lancer est pair, autrement dit si l’événement R se réalise, le jeune interrogé doit répondre de manière sincère. Dans ce cas, ce jeune répondra « oui » avec une probabilité p inconnue, et « non » avec une probabilité 1 - p (événement contraire).

Notez bien

Pour tout événement A, 2048784-Eqn53.

Ainsi, on a 2048784-Eqn54 et 2048784-Eqn55.

Par contre, si le résultat du lancer est impair, autrement dit si l’événement 2048784-Eqn56 se réalise, la réponse du jeune interrogé dépendra du chiffre impair obtenu (1, 3 ou 5).

Ce jeune répondra « oui » si le résultat du lancer est 1, sinon il répondra « non ».

Les issues 1, 3 et 5 étant équiprobables, on a 2048784-Eqn57 et 2048784-Eqn58.

Il en découle l’arbre pondéré suivant :

matT_1604_12_01C_11

On en déduit 2048784-Eqn59 (probabilité de la feuille 2048784-Eqn60).

De même, 2048784-Eqn61 (probabilité de la feuille 2048784-Eqn62).

L’événement O étant associé aux deux feuilles 2048784-Eqn63 et 2048784-Eqn64, on a (formule des probabilités totales) : 2048784-Eqn65.

Ainsi, la probabilité de l’événement O, « le jeune a répondu oui », est 2048784-Eqn66.

▶ 2. a) Estimer une proportion

D’après l’énoncé, sur un échantillon de taille n = 1500, 625 ont répondu « oui ». La fréquence observée f de jeunes qui ont répondu « oui » sur cet échantillon est alors telle que : 2048784-Eqn67.

Comme n = 1 500 ≥ 30, n × f = 625 ≥ 5 et n × (1 - f) = 875 ≥ 5, l’intervalle de confiance est bien défini et donné par :

2048784-Eqn68

b) Exploiter une estimation par intervalle

D’après la question 1. de cette partie, la probabilité de l’événement « le jeune a répondu oui » est 2048784-Eqn69. Or, d’après la question 2. a), estimation par intervalle, cette probabilité q se situerait dans l’intervalle 2048784-Eqn77 avec un niveau de confiance 0,95.

Or, on a les équivalences suivantes :

2048784-Eqn78

La proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet se situerait entre 2048784-Eqn79 (environ 0,448) et 2048784-Eqn80(environ 0,552) avec un niveau de confiance 0,95.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

▶ 1. Calculer des distances

L’affixe zB du point B est –1 et l’affixe zJ du point J est 2048784-Eqn70. La distance BJ est alors donnée par :

2048784-Eqn712048784-Eqn72

Le point K appartenant au segment [BJ], les points B, K et J sont alignés dans cet ordre. Par suite, on a BK + KJ = BJ ce qui est équivalent à BK = BJ – KJ. Comme le point K appartient également au cercle de centre J et de rayon 2048784-Eqn73 la distance KJ est égale à 2048784-Eqn74

À l’aide du premier point, on conclut que BK = 2048784-Eqn752048784-Eqn76

▶ 2. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle

Notons z2 l’affixe du point A2.

Notez bien

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, origine du repère, de rayon 1, muni du sens direct.

Le point A2 appartient au cercle trigonométrique.

Par suite, la distance OA2 est égale à 1 et 2048784-Eqn81.

On a :

2048784-Eqn82

Un argument 2048784-Eqn83 de l’affixe 2048784-Eqn84 est ainsi 2048784-Eqn85

L’affixe 2048784-Eqn86 du point 2048784-Eqn87 s’écrit alors sous forme exponentielle :

2048784-Eqn88.

b) Établir une égalité à l’aide du module

D’une part, l’affixe 2048784-Eqn90 du point B est –1. D’autre part, d’après la question 2. a), l’affixe 2048784-Eqn91 du point 2048784-Eqn92 est 2048784-Eqn93.

Attention !

Pour tout réel a,2048784-Eqn89

Par conséquent, on a :

2048784-Eqn94

On a ainsi démontré que 2048784-Eqn95.

c) Démontrer une égalité à l’aide d’un logiciel de calcul formel

D’après la première question, on a 2048784-Eqn96. En utilisant la deuxième ligne affichée par le logiciel de calcul formel, cette distance s’écrit également de la manière suivante : 2048784-Eqn97.

D’après la question précédente, on a : 2048784-Eqn98. En utilisant la première ligne affichée par le logiciel de calcul formel, cette distance (au carré) est telle que :

2048784-Eqn99

On en conclut que 2048784-Eqn1002048784-Eqn101

▶ 3. Construire un pentagone régulier

D’après l’énoncé, 2048784-Eqn102 est égal au vecteur 2048784-Eqn103 Le point 2048784-Eqn104 est alors le point d’affixe 1 : ses coordonnées sont A0(1 ; 0).

D’une part, d’après l’énoncé, le point 2048784-Eqn105 appartient au cercle trigonométrique T. D’autre part, d’après la deuxième question, le point 2048784-Eqn106 est tel que 2048784-Eqn107.

Pour construire ce point 2048784-Eqn108 il suffit, par suite, de :

placer le point B d’affixe 2048784-Eqn109 point de coordonnées 2048784-Eqn110 ;

placer le point J d’affixe 2048784-Eqn111, point de coordonnées 2048784-Eqn112 ;

tracer le segment [BJ] et le cercle de centre J de rayon 2048784-Eqn113 ;

placer le point K (point d’intersection du segment et du cercle tracés précédemment) ;

tracer le cercle 2 de centre B et de rayon BK ;

tracer le cercle trigonométrique T ; 

− placer le point 2048784-Eqn114 : point d’intersection de T et 2, d’ordonnée positive.

Première méthode

D’après l’énoncé, 2048784-Eqn115 et 2048784-Eqn116 appartiennent au cercle trigonométrique T. Par suite, 2048784-Eqn117. De plus, 2048784-Eqn118 et 2048784-Eqn119 ou encore 2048784-Eqn120

Les points 2048784-Eqn121 et 2048784-Eqn122 sont ainsi symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Le point 2048784-Eqn123 est alors simplement le deuxième point d’intersection des cercles 2 et T.

matT_1604_12_01C_12

Les cinq côtés du pentagone étant de même longueur, les points 2048784-Eqn124 et2048784-Eqn125 sont les points d’intersection du cercle trigonométrique et du cercle de centre 2048784-Eqn126 et de rayon 2048784-Eqn127.

matT_1604_12_01C_13

Deuxième méthode

Une fois les points 2048784-Eqn128 et 2048784-Eqn129 placés, nous pouvons construire les points 2048784-Eqn130 et 2048784-Eqn131 dans cet ordre. En effet, le point 2048784-Eqn132 vérifie 2048784-Eqn133. Par suite, le point 2048784-Eqn134 appartient à la médiatrice du segment 2048784-Eqn135 facilement constructible au compas. Ce point 2048784-Eqn136 est ainsi l’intersection de cette médiatrice et du cercle trigonométrique. Les points 2048784-Eqn137 et 2048784-Eqn138 sont les points d’intersection du cercle trigonométrique et du cercle de centre 2048784-Eqn139 (respectivement 2048784-Eqn140) et de rayon 2048784-Eqn141.

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

partie A

Notez bien

Les éléments suivants sont uniquement des indications pour construire correctement la figure. Aucune justification, aucune explication n’est demandée.

Construction du point L

Traçons les droites (IJ) et (CG) (droites coloriées en bleu).

Ces droites se coupent au point L.

Construction de l’intersection des plans (IJK) et (CDH)

Cette intersection est une droite dont il suffit de trouver deux points.2048784-Eqn142 et 2048784-Eqn143 donc 2048784-Eqn144 .

2048784-Eqn145 et 2048784-Eqn146 donc 2048784-Eqn147 .

Ainsi, la droite n’est autre que la droite (KL) (droite coloriée en vert).

Construction de la section du cube par le plan (IJK)

L’intersection du plan (IJK) et de la face BCGF est le segment [IJ] (tracé en rouge).

L’intersection du plan (IJK) et de la face ABCD est le segment [JK] (tracé en rouge).

La droite (LK) coupe la droite (DH) au point que nous noterons M. L’intersection du plan (IJK) et de la face CDHG est le segment [KM] (tracé en rouge).

Traçons la parallèle à la droite (IJ) passant par M (tracée en orange). Cette droite coupe la droite (EH) au point que nous noterons P. L’intersection du plan (IJK) et de la face ADHE est le segment [MP] (tracé en rouge).

Traçons la parallèle à la droite (LK) passant par I (tracée en violet). Cette droite coupe la droite (EF) au point que nous noterons Q. L’intersection du plan (IJK) et de la face ABFE est le segment [QI] (tracé en rouge).

L’intersection du plan (IJK) et de la face EFGH est le segment [QP] (tracé en rouge).

La section du cube par le plan (IJK) est l’hexagone IJKMPQ.

matT_1604_12_01C_14

partie B

▶ 1. Donner les coordonnées d’un point de l’espace

Le point A est l’origine du repère. Ses coordonnées sont ainsi (0 ; 0 ; 0).

On a :

2048784-Eqn148

Le point G a ainsi pour coordonnées (1 ; 1 ; 1).

On a :

2048784-Eqn149

Le point I a ainsi pour coordonnées 2048784-Eqn150

De même, on a 2048784-Eqn151 et 2048784-Eqn152. Le point J a alors pour coordonnées 2048784-Eqn153 et le point K 2048784-Eqn154

▶ 2. a) Démontrer qu’un vecteur est normal à un plan

On a 2048784-Eqn155 et 2048784-Eqn156.

Les coordonnées des vecteurs 2048784-Eqn157 et 2048784-Eqn158 n’étant pas proportionnelles, ces deux vecteurs du plan (IJK) ne sont pas colinéaires.

Notez bien

Pour tous vecteurs 2048784-Eqn162 et 2048784-Eqn163, 2048784-Eqn164.

On a 2048784-Eqn159 et par suite :

2048784-Eqn160 et 2048784-Eqn161.

Ainsi, le vecteur 2048784-Eqn165 est orthogonal aux deux vecteurs 2048784-Eqn166 et 2048784-Eqn167, vecteurs non colinéaires du plan (IJK).

Le vecteur 2048784-Eqn168 est donc normal au plan (IJK).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

D’après la question précédente, le vecteur 2048784-Eqn169 de coordonnées (1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (IJK). Par suite, ce plan admet une équation cartésienne de la forme : 2048784-Eqn1702048784-Eqn171 est un nombre réel à déterminer. Or le point I, par exemple, appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient ainsi l’équation précédente du plan, à savoir : 2048784-Eqn172. Ce qui nous amène à 2048784-Eqn173, ainsi 2048784-Eqn174

Le plan (IJK) a pour équation cartésienne 2048784-Eqn175.

▶ 3. a) Déterminer une distance

Comme 2048784-Eqn176 et que les coordonnées du vecteur 2048784-Eqn177 sont (1 ; 1 ; 1) le point M a pour coordonnées (; ; t).

Le vecteur 2048784-Eqn178 a pour coordonnées 2048784-Eqn179

Par conséquent, on a :

2048784-Eqn180

On a donc 2048784-Eqn181.

b) Déterminer les coordonnées d’un point sous contrainte

La distance MI est minimale si et seulement si cette distance au carré est minimale.

Or, d’après la question précédente, 2048784-Eqn182. On remarque que la fonction 2048784-Eqn1832048784-Eqn184 est un polynôme de degré 2 avec 2048784-Eqn1852048784-Eqn186 et 2048784-Eqn187 Comme 2048784-Eqn188, ce polynôme admet un minimum en 2048784-Eqn189.

La distance MI est donc minimale pour 2048784-Eqn190 Dans ce cas, le point M est tel que 2048784-Eqn191, autrement dit, voir question 3. a), le point M est de coordonnées 2048784-Eqn192

On notera, dans la suite, N le point de coordonnées 2048784-Eqn194

▶ 4. a) Vérifier qu’un point appartient à un plan

On a 2048784-Eqn195. Les coordonnées du point N vérifient l’équation du plan (IJK).

Par conséquent, le point N appartient au plan (IJK).

b) Démontrer que des droites sont perpendiculaires

Comme le vecteur 2048784-Eqn196 est orthogonal au plan (IJK) d’après la question 2. a), la droite (AG) est orthogonale au plan (IJK) et par suite à toute droite de ce plan. Or, la droite (IN) est une droite incluse dans ce plan. En effet, le point N appartient au plan (IJK) d’après la question 4. a). Les droites (IN) et (AG) sont donc orthogonales. Mais, par la question précédente, 2048784-Eqn197. Le point N qui est donc le milieu du segment [AG] appartient également à la droite (AG).

On en conclut que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires au point N.

Le vecteur 2048784-Eqn198 a pour coordonnées : 2048784-Eqn199

Comme ABCDEFGH est un cube, les vecteurs 2048784-Eqn200 et 2048784-Eqn201 sont égaux, et donc ils ont les mêmes coordonnées. Le vecteur 2048784-Eqn202 a ainsi pour coordonnées (0 ; 0 ; 1). Comme 2048784-Eqn203, les vecteurs 2048784-Eqn204 et 2048784-Eqn205 sont orthogonaux et par suite, les droites (IN) et (BF) sont orthogonales. Le point I appartenant à la fois à la droite (IN) et à la droite (BF) (milieu du segment [BF]), on en conclut que les droites (IN) et (BF) sont perpendiculaires au point I.

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie A

▶ 1. Identifier l’inverse d’une matrice

Notez bien

Pour deux matrices carrées 2048784-Eqn206 et 2048784-Eqn207de même ordre, si 2048784-Eqn208 alors2048784-Eqn209 et 2048784-Eqn210 est inversible, d’inverse la matrice 2048784-Eqn211.

Calculons le produit 2048784-Eqn212.

2048784-Eqn213

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

La matrice M est donc inversible et 2048784-Eqn215.

▶ 2. a) Identifier une solution d’une équation

Nous avons 2048784-Eqn216. Or 2048784-Eqn217

Par conséquent, le couple 2048784-Eqn218 est bien solution de l’équation (E) : 2048784-Eqn219.

b) Établir une équivalence

2048784-Eqn220

c) Résoudre une équation diophantienne

Notez bien

Théorème de Gauss : Soit 2048784-Eqn221, 2048784-Eqn222 et 2048784-Eqn223. Si 2048784-Eqn224 divise 2048784-Eqn225 et si 2048784-Eqn226, alors 2048784-Eqn227divise 2048784-Eqn228.

D’après la question A 2. b), 2048784-Eqn229 est solution de (E) si, et seulement si, 2048784-Eqn230.

Comme 3 et 5 sont premiers entre eux et que 3 divise 2048784-Eqn231, alors 3 divise 2048784-Eqn232.

Il existe donc 2048784-Eqn233 tel que 2048784-Eqn234.

Comme 2048784-Eqn235, cela donne 2048784-Eqn236.

Ainsi, si 2048784-Eqn237 est solution de (E), alors 2048784-Eqn2382048784-Eqn239.

Réciproquement, vérifions que les couples précédents sont bien solutions de l’équation (E) :

2048784-Eqn240.

Donc les couples 2048784-Eqn2412048784-Eqn242 sont bien solutions de l’équation (E).

Les solutions de l’équation (E) sont les couples 2048784-Eqn2432048784-Eqn244.

partie B

▶ 1. Déterminer l’inverse d’une matrice

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

La matrice Q est de la forme 2048784-Eqn245 avec a = 6 et b = 3.

Comme 2048784-Eqn246, d’après la question A 1., l’inverse de la matrice 2048784-Eqn247 est :

2048784-Eqn248

▶ 2. Coder un mot

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Le mot DO est associé à la matrice 2048784-Eqn249. Cette matrice est transformée en la matrice 2048784-Eqn250 :

2048784-Eqn251.

Puisque 2048784-Eqn252 et 2048784-Eqn253, la matrice 2048784-Eqn254 est transformée en la matrice 2048784-Eqn255.

À cette matrice R est associé le mot IF.

Finalement, le mot DO est codé en le mot IF.

▶ 3. a) Établir un système d’équations

La matrice Q étant inversible, nous avons les équivalences suivantes :

2048784-Eqn256.

Traduisons la dernière égalité ci-dessus en effectuant les produits matriciels :

2048784-Eqn257 et 2048784-Eqn258

Par conséquent :

2048784-Eqn259.

En notant 2048784-Eqn260 et 2048784-Eqn261, nous obtenons alors :

2048784-Eqn262.

b) Simplifier les équations d’un système

Notons tout d’abord que 2048784-Eqn263. Transformons alors le système précédent en multipliant chaque équation par 9 :

Notez bien

Soit 2048784-Eqn264, 2048784-Eqn265 et 2048784-Eqn266. Si 2048784-Eqn267 alors 2048784-Eqn268.

2048784-Eqn269

Notez bien

2048784-Eqn270 et 2048784-Eqn271.

c) Décoder un mot

Le mot SG est codé par la matrice 2048784-Eqn272.

Comme 2048784-Eqn273, nous obtenons : 2048784-Eqn274 et 2048784-Eqn275.

Notez bien

2048784-Eqn276 donc 2048784-Eqn277.

La matrice 2048784-Eqn278 est donc 2048784-Eqn279.

Lorsque l’on décode le mot SG, nous obtenons donc le mot MI.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

 1. Calculer des aires

Notons x l’abscisse du point M.

D’après l’énoncé, x est dans l’intervalle 2048784-Eqn280.

Notez bien

Pour tout réel 2048784-Eqn281, 2048784-Eqn282 et 2048784-Eqn283.

Comme 2048784-Eqn284, l’ordonnée du point M est 2048784-Eqn285.

L’aire, en unités d’aire, du rectangle OPMQ en fonction de x est 2048784-Eqn286.

Pour = 1, 2048784-Eqn287.

Pour = 2, 2048784-Eqn288.

2048784-Eqn289 donc l’aire du rectangle OPMQ n’est pas constante quelle que soit la position du point M sur 2048784-Eqn290.

▶ 2. Rechercher un extremum

Pour déterminer si l’aire du rectangle OPMQ peut être maximale, étudions les variations de la fonction A définie sur 2048784-Eqn291 par 2048784-Eqn292.

Notez bien

Si u et v sont dérivables sur I, alors 2048784-Eqn293 est dérivable sur I et 2048784-Eqn294.

Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors 2048784-Eqn295 est dérivable sur I et 2048784-Eqn296.

A est dérivable sur 2048784-Eqn297 comme produit de fonctions dérivables sur I.

Pour tout 2048784-Eqn298 :

2048784-Eqn299

Étudions maintenant le signe de 2048784-Eqn300 sur 2048784-Eqn301.

2048784-Eqn302.

Nous en déduisons le tableau de signes suivant :

x

0

 

2e

 

14

signe de A′(x)

     

+

0

 

Comme 2048784-Eqn307 si 2048784-Eqn308, A est strictement croissante sur 2048784-Eqn309.

Comme 2048784-Eqn310 si 2048784-Eqn311, A est strictement décroissante sur 2048784-Eqn312.

La fonction A admet donc un maximum en 2048784-Eqn313.

L’aire du rectangle OPMQ est donc maximale pour 2048784-Eqn314.

Notez bien

2048784-Eqn316.

Dans cette situation, l’ordonnée du point M est alors :

2048784-Eqn315.

L’aire du rectangle OPMQ est donc maximale si le point M a pour coordonnées 2048784-Eqn317.

Exercice 5

Commun à tous les candidats

partie A

▶ 1. Déterminer une température

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel n non nul, la valeur 2048784-Eqn318 est calculée à l’aide de l’algorithme fourni par la formule « 2048784-Eqn319 ». Cela nous permet d’écrire la formule de récurrence suivante, valable pour tout entier naturel 2048784-Eqn320 :

2048784-Eqn321.

Puisque 2048784-Eqn322, nous en déduisons :

2048784-Eqn323

La température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est donc d’environ 54 °C.

▶ 2. Justifier la formule explicite d’une suite

Soit 2048784-Eqn324 la propriété : 2048784-Eqn325.

Initialisation

2048784-Eqn326 et 2048784-Eqn327 donc 2048784-Eqn328 et la propriété est initialisée.

Hérédité

On suppose que la propriété 2048784-Eqn329 est vraie pour un entier naturel 2048784-Eqn330 :

2048784-Eqn331 (hypothèse de récurrence).

On démontre alors que la propriété 2048784-Eqn332 est aussi vérifiée.

On a :

2048784-Eqn333

La propriété est donc héréditaire.

Comme la propriété est initialisée et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel 2048784-Eqn334.

Ainsi pour tout 2048784-Eqn335.

▶ 3. Résoudre une inéquation

D’après l’énoncé, la stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C. Nous devons donc résoudre l’inéquation 2048784-Eqn336.

Notez bien

Pour tout 2048784-Eqn337 et tout 2048784-Eqn338, 2048784-Eqn339.

Pour tout 2048784-Eqn340 et tout 2048784-Eqn341, 2048784-Eqn342.

Notez bien

Lorsque l’on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif (ici 2048784-Eqn344), on change le sens de l’inégalité.

2048784-Eqn343

Comme 2048784-Eqn345, nous prendrons 2048784-Eqn346.

La stérilisation débute donc au bout de 10 minutes.

partie B

▶ 1. a) Étudier le sens de variation d’une fonction

Notez bien

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors 2048784-Eqn352 est dérivable sur I et 2048784-Eqn353.

2048784-Eqn347 est dérivable sur 2048784-Eqn348 comme différence de fonctions dérivables sur 2048784-Eqn349.

Pour tout 2048784-Eqn350 : 2048784-Eqn351

Or 2048784-Eqn354 et, pour tout 2048784-Eqn355, 2048784-Eqn356 donc 2048784-Eqn357.

Notez bien

Pour tout 2048784-Eqn358, 2048784-Eqn359.

La fonction 2048784-Eqn360 est donc strictement croissante sur 2048784-Eqn361.

b) Justifier une implication

La fonction 2048784-Eqn362 est strictement croissante sur 2048784-Eqn363 donc 2048784-Eqn364 conserve l’ordre :

2048784-Eqn365.

Notez bien

Pour tout 2048784-Eqn367, 2048784-Eqn368 et pour tout 2048784-Eqn369, 2048784-Eqn370.

Nous avons aussi :

2048784-Eqn366

Par conséquent, si 2048784-Eqn371 alors 2048784-Eqn372.

▶ 2. a) Justifier une inégalité

matT_1604_12_01C_15

Notez bien

Dans la suite, pour éviter toute confusion et l’ajout d’une notation supplémentaire à l’énoncé original, on désignera indistinctement par 2048784-Eqn373 le domaine délimité par les droites d’équations 2048784-Eqn374, 2048784-Eqn375, 2048784-Eqn376 et la courbe représentative 2048784-Eqn377 de 2048784-Eqn378 ou l’aire de ce domaine.

D’après l’énoncé, 2048784-Eqn379 est le domaine délimité par les droites d’équations 2048784-Eqn380, 2048784-Eqn381, 2048784-Eqn382 et la courbe représentative 2048784-Eqn383 de 2048784-Eqn384. 2048784-Eqn385 est donc le domaine représenté par la zone coloriée en vert sur le graphique ci-dessus.

Avec les correspondances indiquées en dessous du graphique (rectangle d’aire égale à 25 et rectangle d’aire égale à 12,5), on constate que 2048784-Eqn386.

b) Établir une égalité

D’après la question B 1. b), si 2048784-Eqn387 alors 2048784-Eqn388. Par conséquent, si 2048784-Eqn389 alors 2048784-Eqn390 : la fonction 2048784-Eqn391 est donc positive sur 2048784-Eqn392.

La fonction 2048784-Eqn393 est dérivable sur 2048784-Eqn394 comme différence de fonctions dérivables sur 2048784-Eqn395 donc la fonction 2048784-Eqn396 est continue sur 2048784-Eqn397 donc sur 2048784-Eqn398.

Nous en déduisons donc que l’aire du domaine délimité par les droites d’équations 2048784-Eqn399, 2048784-Eqn400, 2048784-Eqn401 et la courbe représentative 2048784-Eqn402 de 2048784-Eqn403est donnée, pour 2048784-Eqn404, par :

2048784-Eqn405

2048784-Eqn405b

c) Calculer une aire

D’après l’énoncé, la stérilisation est finie au bout de 20 minutes si et seulement si 2048784-Eqn406.

D’après le résultat de la question précédente, nous pouvons écrire :

Notez bien

Soit 2048784-Eqn412, une primitive sur 2048784-Eqn413 de la fonction 2048784-Eqn414 est la fonction 2048784-Eqn415.

Notez bien

Pour tout 2048784-Eqn4072048784-Eqn408 et pour tout 2048784-Eqn409, 2048784-Eqn410.

2048784-Eqn411

Comme 2048784-Eqn416, la stérilisation n’est pas finie au bout de 20 minutes.