Exercice 1 (4 points)
 Internet et les jeunes…

Commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire T suivant une loi normale de moyenne μ = 13,9 et d’écart type σ.

La fonction densité de probabilité de T est représentée ci-dessous :

▶ 1. On sait que .

En exploitant cette information :

a) Hachurer, sur le graphique ci-dessus, deux domaines distincts dont l’aire est égale à 0,023.

b) Déterminer . Justifier le résultat.

Montrer qu’une valeur approchée de σ au dixième est 4,1.

▶ 2. On choisit un jeune en France au hasard.

Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième.

Partie B

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des œuvres et la protection des droits sur internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.

Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :

Grâce à ce protocole, l’enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On note p la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.

▶ 1. Calculs de probabilités

On choisit aléatoirement un jeune faisant partie du protocole (P).

On note : R l’événement « le résultat du lancer est pair » ;

O l’événement « le jeune a répondu Oui ».

Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

En déduire que la probabilité q de l’événement « le jeune a répondu Oui » est :

.

▶ 2. Intervalle de confiance

a) À la demande de la Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P). Sur un échantillon de taille 1 500, il dénombre 625 réponses « Oui ».

Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion q de jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.

b) Que peut-on en conclure sur la proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?

Exercice 2 (3 points) 
Construisons un pentagone régulier !

Commun à tous les candidats

L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct , on considère le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 de centre O tel que .

On rappelle que dans le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 ci-contre :

les cinq côtés sont de même longueur ;

les points A0, A1, A2, A3 et A4 appartiennent au cercle trigonométrique ;

pour tout entier k appartenant à on a .

▶ 1. On considère les points B d’affixe −1 et J d’affixe .

Le cercle C de centre J et de rayon coupe le segment [BJ] en un point K.

Calculer BJ, puis en déduire BK.

▶ 2. a) Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A2. Justifier brièvement.

b) Démontrer que .

c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :

En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 = BK.

▶ 3. Dans le repère ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

Exercice 3 (5 points)
 Sectionnons encore un cube !

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.

Construire, sur la figure ci-dessus et en laissant apparents les traits de construction :

le point L ;

l’intersection D des plans (IJK) et (CDH) ;

la section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L’espace est rapporté au repère .

▶ 1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

▶ 2. a) Montrer que le vecteur est normal au plan (IJK).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

▶ 3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0 ; 1] tel que .

a) Démontrer que .

b) Démontrer que la distance MI est minimale pour le point .

▶ 4. Démontrer que pour ce point  :

a) N appartient au plan (IJK).

b) La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).

Exercice 3 (5 points) 
Codage et décodage

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices M de la forme où a et b sont des nombres entiers.

Le nombre 3a − 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M ).

Ainsi det(M ) = 3a − 5b.

▶ 1. Dans cette question on suppose que det(M ) ≠ 0 et on pose .

Justifier que N est l’inverse de M.

▶ 2. On considère l’équation (E) : det(M ) = 3.

On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).

a) Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).

b) Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E) si, et seulement si, 3(a − 6) = 5(b − 3).

c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Partie B

▶ 1. On pose .

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.

▶ 2. Codage avec la matrice Q

Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice , on utilise la procédure ci-après.

Étape 1. On associe au mot la matrice où x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-après :

Étape 2. La matrice X est transformée en la matrice telle que Y = QX.

Étape 3. La matrice Y est transformée en la matrice telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.

Étape 4. À la matrice on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.

Exemple :

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.

▶ 3. Procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX.

a) Démontrer que 3X = 3Q−1Y puis que .

b) En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que .

c) Décoder le mot SG.

Exercice 4 (3 points)
 Optimisons une aire

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur ]0 ; 14] par .

La courbe représentative f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous.

À tout point M appartenant à f , on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.

Justifier les réponses.

> 1. L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur f ?

> 2. L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?

Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Exercice 5 (5 points)
 Stérilisation d’une boîte de conserve

Commun à tous les candidats

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante T0 = 25 °C et on la place dans un four à température constante TF = 100 °C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A Modélisation discrète

Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T0 = 25.

Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :

▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.

▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

on a Tn = 100 − 75 × 0,85n.

▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

Partie B Modélisation continue

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :

.

▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + ∞[.

b) Justifier que si alors.

▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.

On note A(θ) le domaine délimité par les droites d’équation t = 10, t = θ, y = 85 et la courbe représentative f de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.

a) Justifier, à l’aide du graphique ci-dessus, que l’on a A(25) > 80.

b) Justifier que, pour , on a .

c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?