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Pondichéry • Avril 2016
Sujet complet • 20 points
Sujet complet de Pondichéry 2016
Exercice 1 (4 points) Internet et les jeunes…
Commun à tous les candidats
Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire T suivant une loi normale de moyenne μ = 13,9 et d'écart type σ.
La fonction densité de probabilité de T est représentée ci-dessous :
▶ 1. On sait que 
.
En exploitant cette information :
a) Hachurer, sur le graphique ci-dessus, deux domaines distincts dont l'aire est égale à 0,023.
b) Déterminer 
. Justifier le résultat.
Montrer qu'une valeur approchée de σ au dixième est 4,1.
▶ 2. On choisit un jeune en France au hasard.
Déterminer la probabilité qu'il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième.
Partie B
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des œuvres et la protection des droits sur internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :
| On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans. Pour chaque jeune de cet échantillon : le jeune lance un dé équilibré à 6 faces l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer l'enquêteur pose la question : « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par « Oui » ou « Non » de façon sincère si le résultat du lancer est « 1 » alors le jeune doit répondre « Oui » si le résultat du lancer est « 3 ou 5 » alors le jeune doit répondre « Non ». |
Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.
On note p la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
▶ 1. Calculs de probabilités
On choisit aléatoirement un jeune faisant partie du protocole (P).
On note : R l'événement « le résultat du lancer est pair »
O l'événement « le jeune a répondu Oui ».
Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
En déduire que la probabilité q de l'événement « le jeune a répondu Oui » est :
.
▶ 2. Intervalle de confiance
a) À la demande de la Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P). Sur un échantillon de taille 1 500, il dénombre 625 réponses « Oui ».
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion q de jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.
b) Que peut-on en conclure sur la proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
Exercice 2 (3 points) Construisons un pentagone régulier !
Commun à tous les candidats
L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct 
, on considère le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 de centre O tel que 
.
On rappelle que dans le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 ci-contre :
les cinq côtés sont de même longueur
les points A0, A1, A2, A3 et A4 appartiennent au cercle trigonométrique
pour tout entier k appartenant à 
on a 
.
▶ 1. On considère les points B d'affixe −1 et J d'affixe 
.
Le cercle C de centre J et de rayon 
coupe le segment [BJ] en un point K.
Calculer BJ, puis en déduire BK.
▶ 2. a) Donner sous forme exponentielle l'affixe du point A2. Justifier brièvement.
b) Démontrer que 
.
c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :
En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 = BK.
▶ 3. Dans le repère 
ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.
Exercice 3 (5 points) Sectionnons encore un cube !
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [BF].
Le point J est le milieu du segment [BC].
Le point K est le milieu du segment [CD].
Partie A
Dans cette partie, on ne demande aucune justification.
On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
Construire, sur la figure ci-dessus et en laissant apparents les traits de construction :
le point L
l'intersection D des plans (IJK) et (CDH)
la section du cube par le plan (IJK).
Partie B
L'espace est rapporté au repère 
.
▶ 1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.
▶ 2. a) Montrer que le vecteur 
est normal au plan (IJK).
b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
▶ 3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l'intervalle [0 1] tel que 
.
a) Démontrer que 
.
b) Démontrer que la distance MI est minimale pour le point 
.
▶ 4. Démontrer que pour ce point 
:
a) N appartient au plan (IJK).
b) La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).
Exercice 3 (5 points) Codage et décodage
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
On considère les matrices M de la forme 
où a et b sont des nombres entiers.
Le nombre 3a − 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M ).
Ainsi det(M ) = 3a − 5b.
▶ 1. Dans cette question on suppose que det(M ) ≠ 0 et on pose 
.
Justifier que N est l'inverse de M.
▶ 2. On considère l'équation (E) : det(M ) = 3.
On souhaite déterminer tous les couples d'entiers (a b) solutions de l'équation (E).
a) Vérifier que le couple (6 3) est une solution de (E).
b) Montrer que le couple d'entiers (a b) est solution de (E) si, et seulement si, 3(a − 6) = 5(b − 3).
c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).
Partie B
▶ 1. On pose 
.
En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.
▶ 2. Codage avec la matrice Q
Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice 
, on utilise la procédure ci-après.
Étape 1. On associe au mot la matrice 
où x1 est l'entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-après :
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
Étape 2. La matrice X est transformée en la matrice 
telle que Y = QX.
Étape 3. La matrice Y est transformée en la matrice 
telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
Étape 4. À la matrice 
on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1.
Exemple : 
Le mot JE est codé en le mot OF.
Coder le mot DO.
▶ 3. Procédure de décodage
On conserve les mêmes notations que pour le codage.
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX.
a) Démontrer que 3X = 3Q−1Y puis que 
.
b) En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que 
.
c) Décoder le mot SG.
Exercice 4 (3 points) Optimisons une aire
Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur ]0 14] par 
.
La courbe représentative f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous.
À tout point M appartenant à f , on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.
Justifier les réponses.
> 1. L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur f ?
> 2. L'aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?
Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.
Exercice 5 (5 points) Stérilisation d'une boîte de conserve
Commun à tous les candidats
On souhaite stériliser une boîte de conserve.
Pour cela, on la prend à la température ambiante T0 = 25 ° C et on la place dans un four à température constante TF = 100 ° C.
La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 ° C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A Modélisation discrète
Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T0 = 25.
Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :
| Initialisation | T prend la valeur 25 | |
| Traitement | Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire | |
| T prend la valeur 0,85 × T +15 | ||
| Fin Pour | ||
| Sortie | Afficher T | |
▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité.
▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
on a Tn = 100 − 75 × 0,85n.
▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
Partie B Modélisation continue
Dans cette partie, t désigne un réel positif.
On suppose désormais qu'à l'instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :
.
▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0 + ∞[.
b) Justifier que si 
alors
.
▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.
On note A(θ) le domaine délimité par les droites d'équation t = 10, t = θ, y = 85 et la courbe représentative f de f.
On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps θ, si l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.
a) Justifier, à l'aide du graphique ci-dessus, que l'on a A(25) > 80.
b) Justifier que, pour 
, on a 
.
c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Arbre pondéré • Lois de probabilité • Intervalle de confiance.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Lois de probabilité E40a • E40e → Partie A, 1. a), 1. b) et 2.
Arbre pondéré E37 → Partie B, 1.
Intervalle de confiance E44 → Partie B, 2. a) et 2. b)
Calculatrice
Probabilités avec la loi normale C3 → Partie A, 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 1. a) Pour hachurer le premier domaine, simplement à l'aide de la définition, traduisez en termes d'aire la probabilité précisée dans l'énoncé. Pour identifier le deuxième domaine, prenez en compte la symétrie de la courbe représentative de la densité.
Partie B
▶ 2. b) Traduisez, en termes d'appartenance à un intervalle, l'estimation de la proportion q par intervalle de confiance (question 2. a)). Remémorez-vous le lien entre la proportion p et la proportion q établi à la question 1. pour conclure.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Module d'un nombre complexe E18 → 1., 2. a) et 2. b)
Argument d'un nombre complexe E19 → 2. a)
Forme algébrique d'un nombre complexe E16 → 1.
Forme exponentielle d'un nombre complexe E21 → 2. a) et 2. b)
Nombres complexes et géométrie E22 → 1., 2. a) et 2. b)
Calculatrice
Calcul avec les nombres complexes C4 → 1.
Nos coups de pouce
▶ 1. Exprimez en termes de distances le fait que les points B, K et J sont alignés (K appartient au segment [BJ]). N'oubliez pas que le point K appartient également au cercle de centre J et de rayon 
afin de conclure.
▶ 2. b) Calculez le module 
, 
et 
étant les affixes respectives des points A2 et B. Utilisez la forme exponentielle de 
pour mener à bien ce calcul.
Exercice 3 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie dans l'espace • Géométrie vectorielle.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Positions relatives E24a • E24b → Partie B, 4. b)
Orthogonalité E26b • E32 → Partie B, 2. a) et 4. b)
Repérage E29 → Partie B, 1.
Produit scalaire E31c → Partie B, 2. a), 3. a) et 4. b)
Équation cartésienne d'un plan E33a • E33c → Partie B, 2. a), 2. b) et 4. a)
Nos coups de pouce
Partie B
▶ 3. a) Déterminez les coordonnées du vecteur 
puis calculez le produit scalaire 
.
▶ 4. b) N'oubliez pas que le vecteur 
est normal au plan (IJK) pour démontrer que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires. Calculez le produit scalaire 
pour démontrer que les droites (IN) et (BF) sont perpendiculaires. Dans les deux cas, pensez à la position du point N (appartenance à certaines droites ou à un plan) pour conclure.
Exercice 3 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Arithmétique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Calculatrice
Calcul matriciel C5 → Partie A, 1. Partie B, 1. et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. c) Déterminez les couples possibles avec le théorème de Gauss. N'oubliez pas la réciproque dans votre raisonnement et vérifiez bien que les couples trouvés vérifient l'équation (E).
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 30 minutes.
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Dérivation.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Fonction logarithme népérien E9a • E9b • E9e → 1. et 2.
Dérivation E6c • E6e • E6f → 2.
Nos coups de pouce
▶ 1. Choisissez deux valeurs distinctes dans l'intervalle proposé pour faire le calcul de l'aire du rectangle et concluez.
▶ 2. Exprimez l'aire du rectangle en fonction de l'abscisse x du point M et étudiez la fonction ainsi obtenue sur l'intervalle proposé pour conclure.
Exercice 5 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Fonction logarithme népérien • Dérivation • Fonction exponentielle • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Raisonnement par récurrence E1 → Partie A, 2.
Fonction logarithme népérien E9a • E9b • E9e • E9f → Partie A, 3. Partie B, 1. b) et 2. c)
Fonction exponentielle E8b → Partie B, 1. b) et 2. c)
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie B, 1. a)
Intégration E11 • E13 • E14 • E15 → Partie B, 2. b) et 2. c)
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Pensez à un raisonnement par récurrence.
Partie B
▶ 1. a) Étudiez le signe de la dérivée 
sur 
et concluez. N'oubliez pas avant de dériver de justifier la dérivabilité de la fonction considérée sur l'intervalle proposé.
▶ 2. c) En vous aidant de l'énoncé, traduisez la question posée à l'aide d'une condition sur 
et effectuez le calcul d'intégrale correspondant.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. a) Traduire une probabilité en termes d'aire
Par définition, la probabilité de l'événement {T ≥ 22} est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à T et l'axe des abscisses, et situé à la droite de la droite d'équation x = 22.
Par propriété, la courbe représentative de la densité associée à T est symétrique par rapport à la droite d'équation x = μ (ici μ = 13,9). Par conséquent :
P(T ≥ 22) = P(T ≥ μ + 8,1) = P(T ≤ μ - 8,1) = P(T ≤ 5,8).
Cette probabilité est alors également l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à T et l'axe des abscisses, et situé à la gauche de la droite d'équation x = 5,8.
b) Calculer une probabilité et estimer un écart type
On a 
(événement contraire). Mais, d'après la question précédente :
.
On en conclut que : P(5,8 ≤ T ≤ 22) = 1 - 2 × 0,023 = 0,954.
Par propriété (loi normale), on a 
(valeur approchée par défaut). Or, d'après ce qui précède, P(5,8 ≤ T ≤ 22) qui s'écrit aussi P(13,9 - 8,1 ≤ T ≤ 13,9 + 8,1) ou encore P(μ - 2 × 4,05 ≤ T ≤ μ + 2 × 4,05) est égale à 0,954. Par identification, la valeur de σ serait proche de 4,05.
Une valeur approchée de σ au dixième est donc 4,1.
▶ 2. Calculer une probabilité
Notez bien
Calcul de P(a ≤ b) avec X ~ N(μ σ2).
Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr : NormalFRép (a, b, μ, σ).
Syntaxe pour la CASIO Graph 75 : NormCD(a, b, σ, μ)
La probabilité qu'un jeune en France choisi au hasard soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine est P(T > 18). Comme nous sommes dans le cadre d'une loi continue, P(T > 18) = P(T ≥ 18). De plus, par propriété de la densité associée à une loi normale, on a :
P(T > 18) = 0,5 - P(μ ≤ T ≤ 18) = 0,5 - P(13,9 ≤ T ≤ 18).
À l'aide d'une calculatrice, on obtient 0,16 comme valeur approchée de cette probabilité au centième.
partie B
▶ 1. Compléter et utiliser un arbre pondéré
L'événement R, « le résultat du lancer est pair », est réalisé par les issues 2, 4 ou 6, le dé lancé étant un dé classique à six faces. Comme ce dé est équilibré, toutes les issues sont équiprobables et ainsi 
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1, on a :
.
Si le résultat du lancer est pair, autrement dit si l'événement R se réalise, le jeune interrogé doit répondre de manière sincère. Dans ce cas, ce jeune répondra « oui » avec une probabilité p inconnue, et « non » avec une probabilité 1 - p (événement contraire).
Notez bien
Pour tout événement A, 
.
Ainsi, on a 
et 
.
Par contre, si le résultat du lancer est impair, autrement dit si l'événement 
se réalise, la réponse du jeune interrogé dépendra du chiffre impair obtenu (1, 3 ou 5).
Ce jeune répondra « oui » si le résultat du lancer est 1, sinon il répondra « non ».
Les issues 1, 3 et 5 étant équiprobables, on a 
et 
.
Il en découle l'arbre pondéré suivant :
On en déduit 
(probabilité de la feuille 
).
De même, 
(probabilité de la feuille 
).
L'événement O étant associé aux deux feuilles 
et 
, on a (formule des probabilités totales) : 
.
Ainsi, la probabilité de l'événement O, « le jeune a répondu oui », est 
.
▶ 2. a) Estimer une proportion
D'après l'énoncé, sur un échantillon de taille n = 1500, 625 ont répondu « oui ». La fréquence observée f de jeunes qui ont répondu « oui » sur cet échantillon est alors telle que : 
.
Comme n = 1 500 ≥ 30, n × f = 625 ≥ 5 et n × (1 - f) = 875 ≥ 5, l'intervalle de confiance est bien défini et donné par :
b) Exploiter une estimation par intervalle
D'après la question 1. de cette partie, la probabilité de l'événement « le jeune a répondu oui » est 
. Or, d'après la question 2. a), estimation par intervalle, cette probabilité q se situerait dans l'intervalle 
avec un niveau de confiance 0,95.
Or, on a les équivalences suivantes :
La proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet se situerait entre 
(environ 0,448) et 
(environ 0,552) avec un niveau de confiance 0,95.
Exercice 2
Commun à tous les candidats
▶ 1. Calculer des distances
L'affixe zB du point B est –1 et l'affixe zJ du point J est 
. La distance BJ est alors donnée par :
Le point K appartenant au segment [BJ], les points B, K et J sont alignés dans cet ordre. Par suite, on a BK + KJ = BJ ce qui est équivalent à BK = BJ – KJ. Comme le point K appartient également au cercle de centre J et de rayon 
la distance KJ est égale à 
À l'aide du premier point, on conclut que BK = 
▶ 2. a) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle
Notons z2 l'affixe du point A2.
Notez bien
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, origine du repère, de rayon 1, muni du sens direct.
Le point A2 appartient au cercle trigonométrique.
Par suite, la distance OA2 est égale à 1 et 
.
On a :
Un argument 
de l'affixe 
est ainsi 
L'affixe 
du point 
s'écrit alors sous forme exponentielle :
.
b) Établir une égalité à l'aide du module
D'une part, l'affixe 
du point B est –1. D'autre part, d'après la question 2. a), l'affixe 
du point 
est 
.
Attention !
Pour tout réel a,
Par conséquent, on a :
On a ainsi démontré que 
.
c) Démontrer une égalité à l'aide d'un logiciel de calcul formel
D'après la première question, on a 
. En utilisant la deuxième ligne affichée par le logiciel de calcul formel, cette distance s'écrit également de la manière suivante : 
.
D'après la question précédente, on a : 
. En utilisant la première ligne affichée par le logiciel de calcul formel, cette distance (au carré) est telle que :
On en conclut que 
▶ 3. Construire un pentagone régulier
D'après l'énoncé, 
est égal au vecteur 
Le point 
est alors le point d'affixe 1 : ses coordonnées sont A0(1 0).
D'une part, d'après l'énoncé, le point 
appartient au cercle trigonométrique T. D'autre part, d'après la deuxième question, le point 
est tel que 
.
Pour construire ce point 
il suffit, par suite, de :
placer le point B d'affixe 
point de coordonnées 
placer le point J d'affixe 
, point de coordonnées 
tracer le segment [BJ] et le cercle de centre J de rayon 
placer le point K (point d'intersection du segment et du cercle tracés précédemment)
tracer le cercle 2 de centre B et de rayon BK
tracer le cercle trigonométrique T
− placer le point 
: point d'intersection de T et 2, d'ordonnée positive.
Première méthode
D'après l'énoncé, 
et 
appartiennent au cercle trigonométrique T. Par suite, 
. De plus, 
et 
ou encore 
Les points 
et 
sont ainsi symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Le point 
est alors simplement le deuxième point d'intersection des cercles 2 et T.
Les cinq côtés du pentagone étant de même longueur, les points 
et
sont les points d'intersection du cercle trigonométrique et du cercle de centre 
et de rayon 
.
Deuxième méthode
Une fois les points 
et 
placés, nous pouvons construire les points 
et 
dans cet ordre. En effet, le point 
vérifie 
. Par suite, le point 
appartient à la médiatrice du segment 
facilement constructible au compas. Ce point 
est ainsi l'intersection de cette médiatrice et du cercle trigonométrique. Les points 
et 
sont les points d'intersection du cercle trigonométrique et du cercle de centre 
(respectivement 
) et de rayon 
.
Exercice 3
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
partie A
Notez bien
Les éléments suivants sont uniquement des indications pour construire correctement la figure. Aucune justification, aucune explication n'est demandée.
Construction du point L
Traçons les droites (IJ) et (CG) (droites coloriées en bleu).
Ces droites se coupent au point L.
Construction de l'intersection des plans (IJK) et (CDH)
Cette intersection est une droite dont il suffit de trouver deux points.
et 
donc 
.
et 
donc 
.
Ainsi, la droite n'est autre que la droite (KL) (droite coloriée en vert).
Construction de la section du cube par le plan (IJK)
L'intersection du plan (IJK) et de la face BCGF est le segment [IJ] (tracé en rouge).
L'intersection du plan (IJK) et de la face ABCD est le segment [JK] (tracé en rouge).
La droite (LK) coupe la droite (DH) au point que nous noterons M. L'intersection du plan (IJK) et de la face CDHG est le segment [KM] (tracé en rouge).
Traçons la parallèle à la droite (IJ) passant par M (tracée en orange). Cette droite coupe la droite (EH) au point que nous noterons P. L'intersection du plan (IJK) et de la face ADHE est le segment [MP] (tracé en rouge).
Traçons la parallèle à la droite (LK) passant par I (tracée en violet). Cette droite coupe la droite (EF) au point que nous noterons Q. L'intersection du plan (IJK) et de la face ABFE est le segment [QI] (tracé en rouge).
L'intersection du plan (IJK) et de la face EFGH est le segment [QP] (tracé en rouge).
La section du cube par le plan (IJK) est l'hexagone IJKMPQ.
partie B
▶ 1. Donner les coordonnées d'un point de l'espace
Le point A est l'origine du repère. Ses coordonnées sont ainsi (0 0 0).
On a :
Le point G a ainsi pour coordonnées (1 1 1).
On a :
Le point I a ainsi pour coordonnées 
De même, on a 
et 
. Le point J a alors pour coordonnées 
et le point K 
▶ 2. a) Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan
On a 
et 
.
Les coordonnées des vecteurs 
et 
n'étant pas proportionnelles, ces deux vecteurs du plan (IJK) ne sont pas colinéaires.
Notez bien
Pour tous vecteurs 
et 
, 
.
On a 
et par suite :
et 
.
Ainsi, le vecteur 
est orthogonal aux deux vecteurs 
et 
, vecteurs non colinéaires du plan (IJK).
Le vecteur 
est donc normal au plan (IJK).
b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan
D'après la question précédente, le vecteur 
de coordonnées (1 1 1) est un vecteur normal au plan (IJK). Par suite, ce plan admet une équation cartésienne de la forme : 
où 
est un nombre réel à déterminer. Or le point I, par exemple, appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient ainsi l'équation précédente du plan, à savoir : 
. Ce qui nous amène à 
, ainsi 
Le plan (IJK) a pour équation cartésienne 
.
▶ 3. a) Déterminer une distance
Comme 
et que les coordonnées du vecteur 
sont (1 1 1) le point M a pour coordonnées (t t t).
Le vecteur 
a pour coordonnées 
Par conséquent, on a :
On a donc 
.
b) Déterminer les coordonnées d'un point sous contrainte
La distance MI est minimale si et seulement si cette distance au carré est minimale.
Or, d'après la question précédente, 
. On remarque que la fonction 
est un polynôme de degré 2 avec 
et 
Comme 
, ce polynôme admet un minimum en 
.
La distance MI est donc minimale pour 
Dans ce cas, le point M est tel que 
, autrement dit, voir question 3. a), le point M est de coordonnées 
On notera, dans la suite, N le point de coordonnées 
▶ 4. a) Vérifier qu'un point appartient à un plan
On a 
. Les coordonnées du point N vérifient l'équation du plan (IJK).
Par conséquent, le point N appartient au plan (IJK).
b) Démontrer que des droites sont perpendiculaires
Comme le vecteur 
est orthogonal au plan (IJK) d'après la question 2. a), la droite (AG) est orthogonale au plan (IJK) et par suite à toute droite de ce plan. Or, la droite (IN) est une droite incluse dans ce plan. En effet, le point N appartient au plan (IJK) d'après la question 4. a). Les droites (IN) et (AG) sont donc orthogonales. Mais, par la question précédente, 
. Le point N qui est donc le milieu du segment [AG] appartient également à la droite (AG).
On en conclut que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires au point N.
Le vecteur 
a pour coordonnées : 
Comme ABCDEFGH est un cube, les vecteurs 
et 
sont égaux, et donc ils ont les mêmes coordonnées. Le vecteur 
a ainsi pour coordonnées (0 0 1). Comme 
, les vecteurs 
et 
sont orthogonaux et par suite, les droites (IN) et (BF) sont orthogonales. Le point I appartenant à la fois à la droite (IN) et à la droite (BF) (milieu du segment [BF]), on en conclut que les droites (IN) et (BF) sont perpendiculaires au point I.
Exercice 3
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
partie A
▶ 1. Identifier l'inverse d'une matrice
Notez bien
Pour deux matrices carrées 
et 
de même ordre, si 
alors
et 
est inversible, d'inverse la matrice 
.
Calculons le produit 
.
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
La matrice M est donc inversible et 
.
▶ 2. a) Identifier une solution d'une équation
Nous avons 
. Or 
Par conséquent, le couple 
est bien solution de l'équation (E) : 
.
b) Établir une équivalence
c) Résoudre une équation diophantienne
Notez bien
Théorème de Gauss : Soit 
, 
et 
. Si 
divise 
et si 
, alors 
divise 
.
D'après la question A 2. b), 
est solution de (E) si, et seulement si, 
.
Comme 3 et 5 sont premiers entre eux et que 3 divise 
, alors 3 divise 
.
Il existe donc 
tel que 
.
Comme 
, cela donne 
.
Ainsi, si 
est solution de (E), alors 
où 
.
Réciproquement, vérifions que les couples précédents sont bien solutions de l'équation (E) :
.
Donc les couples 
où 
sont bien solutions de l'équation (E).
Les solutions de l'équation (E) sont les couples 
où 
.
partie B
▶ 1. Déterminer l'inverse d'une matrice
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
La matrice Q est de la forme 
avec a = 6 et b = 3.
Comme 
, d'après la question A 1., l'inverse de la matrice 
est :
▶ 2. Coder un mot
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
Le mot DO est associé à la matrice 
. Cette matrice est transformée en la matrice 
:
.
Puisque 
et 
, la matrice 
est transformée en la matrice 
.
À cette matrice R est associé le mot IF.
Finalement, le mot DO est codé en le mot IF.
▶ 3. a) Établir un système d'équations
La matrice Q étant inversible, nous avons les équivalences suivantes :
.
Traduisons la dernière égalité ci-dessus en effectuant les produits matriciels :
et 
Par conséquent :
.
En notant 
et 
, nous obtenons alors :
.
b) Simplifier les équations d'un système
Notons tout d'abord que 
. Transformons alors le système précédent en multipliant chaque équation par 9 :
Notez bien
Soit 
, 
et 
. Si 
alors 
.
Notez bien
et 
.
c) Décoder un mot
Le mot SG est codé par la matrice 
.
Comme 
, nous obtenons : 
et 
.
Notez bien
donc 
.
La matrice 
est donc 
.
Lorsque l'on décode le mot SG, nous obtenons donc le mot MI.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
▶ 1. Calculer des aires
Notons x l'abscisse du point M.
D'après l'énoncé, x est dans l'intervalle 
.
Notez bien
Pour tout réel 
, 
et 
.
Comme 
, l'ordonnée du point M est 
.
L'aire, en unités d'aire, du rectangle OPMQ en fonction de x est 
.
Pour x = 1, 
.
Pour x = 2, 
.
donc l'aire du rectangle OPMQ n'est pas constante quelle que soit la position du point M sur 
.
▶ 2. Rechercher un extremum
Pour déterminer si l'aire du rectangle OPMQ peut être maximale, étudions les variations de la fonction A définie sur 
par 
.
Notez bien
Si u et v sont dérivables sur I, alors 
est dérivable sur I et 
.
Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors 
est dérivable sur I et 
.
A est dérivable sur 
comme produit de fonctions dérivables sur I.
Pour tout 
:
Étudions maintenant le signe de 
sur 
.
.
Nous en déduisons le tableau de signes suivant :
| x | 0 | 2e | 14 | ||||
| signe de A′(x) | + | 0 | – | ||||
Comme 
si 
, A est strictement croissante sur 
.
Comme 
si 
, A est strictement décroissante sur 
.
La fonction A admet donc un maximum en 
.
L'aire du rectangle OPMQ est donc maximale pour 
.
Notez bien
.
Dans cette situation, l'ordonnée du point M est alors :
.
L'aire du rectangle OPMQ est donc maximale si le point M a pour coordonnées 
.
Exercice 5
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. Déterminer une température
D'après l'énoncé, pour tout entier naturel n non nul, la valeur 
est calculée à l'aide de l'algorithme fourni par la formule « 
». Cela nous permet d'écrire la formule de récurrence suivante, valable pour tout entier naturel 
:
.
Puisque 
, nous en déduisons :
La température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est donc d'environ 54 ° C.
▶ 2. Justifier la formule explicite d'une suite
Soit 
la propriété : 
.
Initialisation
et 
donc 
et la propriété est initialisée.
Hérédité
On suppose que la propriété 
est vraie pour un entier naturel 
:
(hypothèse de récurrence).
On démontre alors que la propriété 
est aussi vérifiée.
On a :
La propriété est donc héréditaire.
Comme la propriété est initialisée et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel 
.
Ainsi pour tout 
.
▶ 3. Résoudre une inéquation
D'après l'énoncé, la stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 ° C. Nous devons donc résoudre l'inéquation 
.
Notez bien
Pour tout 
et tout 
, 
.
Pour tout 
et tout 
, 
.
Notez bien
Lorsque l'on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif (ici 
), on change le sens de l'inégalité.
Comme 
, nous prendrons 
.
La stérilisation débute donc au bout de 10 minutes.
partie B
▶ 1. a) Étudier le sens de variation d'une fonction
Notez bien
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors 
est dérivable sur I et 
.
est dérivable sur 
comme différence de fonctions dérivables sur 
.
Pour tout 
: 
Or 
et, pour tout 
, 
donc 
.
Notez bien
Pour tout 
, 
.
La fonction 
est donc strictement croissante sur 
.
b) Justifier une implication
La fonction 
est strictement croissante sur 
donc 
conserve l'ordre :
.
Notez bien
Pour tout 
, 
et pour tout 
, 
.
Nous avons aussi :
Par conséquent, si 
alors 
.
▶ 2. a) Justifier une inégalité
Notez bien
Dans la suite, pour éviter toute confusion et l'ajout d'une notation supplémentaire à l'énoncé original, on désignera indistinctement par 
le domaine délimité par les droites d'équations 
, 
, 
et la courbe représentative 
de 
ou l'aire de ce domaine.
D'après l'énoncé, 
est le domaine délimité par les droites d'équations 
, 
, 
et la courbe représentative 
de 
. 
est donc le domaine représenté par la zone coloriée en vert sur le graphique ci-dessus.
Avec les correspondances indiquées en dessous du graphique (rectangle d'aire égale à 25 et rectangle d'aire égale à 12,5), on constate que 
.
b) Établir une égalité
D'après la question B 1. b), si 
alors 
. Par conséquent, si 
alors 
: la fonction 
est donc positive sur 
.
La fonction 
est dérivable sur 
comme différence de fonctions dérivables sur 
donc la fonction 
est continue sur 
donc sur 
.
Nous en déduisons donc que l'aire du domaine délimité par les droites d'équations 
, 
, 
et la courbe représentative 
de 
est donnée, pour 
, par :
c) Calculer une aire
D'après l'énoncé, la stérilisation est finie au bout de 20 minutes si et seulement si 
.
D'après le résultat de la question précédente, nous pouvons écrire :
Notez bien
Soit 
, une primitive sur 
de la fonction 
est la fonction 
.
Notez bien
Pour tout 
et pour tout 
, 
.
Comme 
, la stérilisation n'est pas finie au bout de 20 minutes.