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Pondichéry • Avril 2016
Sujet complet • 20 points
Sujet complet de Pondichéry 2016
Exercice 1 (4 points) Internet et les jeunes…
Commun à tous les candidats
Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire T suivant une loi normale de moyenne μ = 13,9 et d’écart type σ.
La fonction densité de probabilité de T est représentée ci-dessous :
▶ 1. On sait que 
.
En exploitant cette information :
a) Hachurer, sur le graphique ci-dessus, deux domaines distincts dont l’aire est égale à 0,023.
b) Déterminer 
. Justifier le résultat.
Montrer qu’une valeur approchée de σ au dixième est 4,1.
▶ 2. On choisit un jeune en France au hasard.
Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième.
Partie B
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des œuvres et la protection des droits sur internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :
|
On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans. Pour chaque jeune de cet échantillon : le jeune lance un dé équilibré à 6 faces l’enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer l’enquêteur pose la question : « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par « Oui » ou « Non » de façon sincère si le résultat du lancer est « 1 » alors le jeune doit répondre « Oui » si le résultat du lancer est « 3 ou 5 » alors le jeune doit répondre « Non ». |
Grâce à ce protocole, l’enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.
On note p la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
▶ 1. Calculs de probabilités
On choisit aléatoirement un jeune faisant partie du protocole (P).
On note : R l’événement « le résultat du lancer est pair »
O l’événement « le jeune a répondu Oui ».
Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
En déduire que la probabilité q de l’événement « le jeune a répondu Oui » est :
.
▶ 2. Intervalle de confiance
a) À la demande de la Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P). Sur un échantillon de taille 1 500, il dénombre 625 réponses « Oui ».
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion q de jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.
b) Que peut-on en conclure sur la proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
Exercice 2 (3 points) Construisons un pentagone régulier !
Commun à tous les candidats
L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct 
, on considère le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 de centre O tel que 
.
On rappelle que dans le pentagone régulier A0 A1 A2 A3 A4 ci-contre :
les cinq côtés sont de même longueur
les points A0, A1, A2, A3 et A4 appartiennent au cercle trigonométrique
pour tout entier k appartenant à 
on a 
.
▶ 1. On considère les points B d’affixe &minus 1 et J d’affixe 
.
Le cercle C de centre J et de rayon 
coupe le segment [BJ] en un point K.
Calculer BJ, puis en déduire BK.
▶ 2. a) Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A2. Justifier brièvement.
b) Démontrer que 
.
c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :
En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 = BK.
▶ 3. Dans le repère 
ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.
Exercice 3 (5 points) Sectionnons encore un cube !
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [BF].
Le point J est le milieu du segment [BC].
Le point K est le milieu du segment [CD].
Partie A
Dans cette partie, on ne demande aucune justification.
On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
Construire, sur la figure ci-dessus et en laissant apparents les traits de construction :
le point L
l’intersection D des plans (IJK) et (CDH)
la section du cube par le plan (IJK).
Partie B
L’espace est rapporté au repère 
.
▶ 1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.
▶ 2. a) Montrer que le vecteur 
est normal au plan (IJK).
b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
▶ 3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0 1] tel que 
.
a) Démontrer que 
.
b) Démontrer que la distance MI est minimale pour le point 
.
▶ 4. Démontrer que pour ce point 
:
a) N appartient au plan (IJK).
b) La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).
Exercice 3 (5 points) Codage et décodage
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
On considère les matrices M de la forme 
où a et b sont des nombres entiers.
Le nombre 3a &minus 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M ).
Ainsi det(M ) = 3a &minus 5b.
▶ 1. Dans cette question on suppose que det(M ) &ne 0 et on pose 
.
Justifier que N est l’inverse de M.
▶ 2. On considère l’équation (E) : det(M ) = 3.
On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a b) solutions de l’équation (E).
a) Vérifier que le couple (6 3) est une solution de (E).
b) Montrer que le couple d’entiers (a b) est solution de (E) si, et seulement si, 3(a &minus 6) = 5(b &minus 3).
c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Partie B
▶ 1. On pose 
.
En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.
▶ 2. Codage avec la matrice Q
Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice 
, on utilise la procédure ci-après.
Étape 1. On associe au mot la matrice 
où x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-après :
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
Étape 2. La matrice X est transformée en la matrice 
telle que Y = QX.
Étape 3. La matrice Y est transformée en la matrice 
telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
Étape 4. À la matrice 
on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
Exemple : 
Le mot JE est codé en le mot OF.
Coder le mot DO.
▶ 3. Procédure de décodage
On conserve les mêmes notations que pour le codage.
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX.
a) Démontrer que 3X = 3Q&minus 1Y puis que 
.
b) En remarquant que 9 × 3 &equiv 1 [26], montrer que 
.
c) Décoder le mot SG.
Exercice 4 (3 points) Optimisons une aire
Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur ]0 14] par 
.
La courbe représentative f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous.
À tout point M appartenant à f , on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
Justifier les réponses.
> 1. L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur f ?
> 2. L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?
Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.
Exercice 5 (5 points) Stérilisation d’une boîte de conserve
Commun à tous les candidats
On souhaite stériliser une boîte de conserve.
Pour cela, on la prend à la température ambiante T0 = 25 ° C et on la place dans un four à température constante TF = 100 ° C.
La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 ° C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A Modélisation discrète
Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T0 = 25.
Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :
|
Initialisation |
T prend la valeur 25 |
|
|
Traitement |
Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire |
|
|
T prend la valeur 0,85 × T +15 |
||
|
Fin Pour |
||
|
Sortie |
Afficher T |
|
▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.
▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
on a Tn = 100 &minus 75 × 0,85n.
▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
Partie B Modélisation continue
Dans cette partie, t désigne un réel positif.
On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :
.
▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0 + &infin [.
b) Justifier que si 
alors
.
▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.
On note A(θ) le domaine délimité par les droites d’équation t = 10, t = θ, y = 85 et la courbe représentative f de f.
On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.
a) Justifier, à l’aide du graphique ci-dessus, que l’on a A(25) > 80.
b) Justifier que, pour 
, on a 
.
c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Arbre pondéré • Lois de probabilité • Intervalle de confiance.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Lois de probabilité E40a • E40e → Partie A, 1. a), 1. b) et 2.
Arbre pondéré E37 → Partie B, 1.
Intervalle de confiance E44 → Partie B, 2. a) et 2. b)
Calculatrice
Probabilités avec la loi normale C3 → Partie A, 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 1. a) Pour hachurer le premier domaine, simplement à l’aide de la définition, traduisez en termes d’aire la probabilité précisée dans l’énoncé. Pour identifier le deuxième domaine, prenez en compte la symétrie de la courbe représentative de la densité.
Partie B
▶ 2. b) Traduisez, en termes d’appartenance à un intervalle, l’estimation de la proportion q par intervalle de confiance (question 2. a)). Remémorez-vous le lien entre la proportion p et la proportion q établi à la question 1. pour conclure.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
Module d’un nombre complexe E18 → 1., 2. a) et 2. b)
Argument d’un nombre complexe E19 → 2. a)
Forme algébrique d’un nombre complexe E16 → 1.
Forme exponentielle d’un nombre complexe E21 → 2. a) et 2. b)
Nombres complexes et géométrie E22 → 1., 2. a) et 2. b)
Calculatrice
Calcul avec les nombres complexes C4 → 1.
Nos coups de pouce
▶ 1. Exprimez en termes de distances le fait que les points B, K et J sont alignés (K appartient au segment [BJ]). N’oubliez pas que le point K appartient également au cercle de centre J et de rayon 
afin de conclure.
▶ 2. b) Calculez le module 
, 
et 
étant les affixes respectives des points A2 et B. Utilisez la forme exponentielle de 
pour mener à bien ce calcul.
Exercice 3 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
Positions relatives E24a • E24b → Partie B, 4. b)
Orthogonalité E26b • E32 → Partie B, 2. a) et 4. b)
Repérage E29 → Partie B, 1.
Produit scalaire E31c → Partie B, 2. a), 3. a) et 4. b)
Équation cartésienne d’un plan E33a • E33c → Partie B, 2. a), 2. b) et 4. a)
Nos coups de pouce
Partie B
▶ 3. a) Déterminez les coordonnées du vecteur 
puis calculez le produit scalaire 
.
▶ 4. b) N’oubliez pas que le vecteur 
est normal au plan (IJK) pour démontrer que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires. Calculez le produit scalaire 
pour démontrer que les droites (IN) et (BF) sont perpendiculaires. Dans les deux cas, pensez à la position du point N (appartenance à certaines droites ou à un plan) pour conclure.
Exercice 3 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Arithmétique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Calculatrice
Calcul matriciel C5 → Partie A, 1. Partie B, 1. et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. c) Déterminez les couples possibles avec le théorème de Gauss. N’oubliez pas la réciproque dans votre raisonnement et vérifiez bien que les couples trouvés vérifient l’équation (E).
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 30 minutes.
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Dérivation.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Fonction logarithme népérien E9a • E9b • E9e → 1. et 2.
Dérivation E6c • E6e • E6f → 2.
Nos coups de pouce
▶ 1. Choisissez deux valeurs distinctes dans l’intervalle proposé pour faire le calcul de l’aire du rectangle et concluez.
▶ 2. Exprimez l’aire du rectangle en fonction de l’abscisse x du point M et étudiez la fonction ainsi obtenue sur l’intervalle proposé pour conclure.
Exercice 5 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Fonction logarithme népérien • Dérivation • Fonction exponentielle • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
Raisonnement par récurrence E1 → Partie A, 2.
Fonction logarithme népérien E9a • E9b • E9e • E9f → Partie A, 3. Partie B, 1. b) et 2. c)
Fonction exponentielle E8b → Partie B, 1. b) et 2. c)
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie B, 1. a)
Intégration E11 • E13 • E14 • E15 → Partie B, 2. b) et 2. c)
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Pensez à un raisonnement par récurrence.
Partie B
▶ 1. a) Étudiez le signe de la dérivée 
sur 
et concluez. N’oubliez pas avant de dériver de justifier la dérivabilité de la fonction considérée sur l’intervalle proposé.
▶ 2. c) En vous aidant de l’énoncé, traduisez la question posée à l’aide d’une condition sur 
et effectuez le calcul d’intégrale correspondant.