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Pondichéry • Avril 2016
Sujet complet • 20 points
Sujet complet de Pondichéry 2016
Exercice 1 (4 points) QCM sur les fonctions et les probabilités (4 questions)
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.
▶ 1. Soit 
la fonction définie sur l'intervalle 
par :
On admet que 
est dérivable sur l'intervalle 
et on désigne par 
sa fonction dérivée.
Pour tout nombre réel 
de l'intervalle 
on a :
a) 
b) 
c) 
▶ 2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :
a) 4 095
b) 8 191
c) 
▶ 3. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [2 7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.
P(A) désigne la probabilité d'un événement A et E(X) l'espérance de la variable aléatoire 
.
a) 
b) 
c) 
▶ 4. On réalise un sondage sur un échantillon de 
personnes (
entier naturel non nul).
Parmi les tailles de l'échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?
a) 
b) 
c) 
Exercice 2 (6 points) Étude graphique et numérique d'une fonction et bénéfice d'une entreprise
Commun à tous les candidats
La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.
L'entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.
Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction 
définie sur l'intervalle [1 15] par :
où 
désigne la quantité de granulés en tonnes et 
le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d'euros.
Dans l'entreprise BBE, le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de 300 euros.
La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction 
définie sur l'intervalle [1 15] par :
où 
désigne la quantité de granulés en tonnes et 
la recette quotidienne correspondante en centaines d'euros.
On définit par 
le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette 
et le coût 
, où 
désigne la quantité de granulés en tonnes.
partie A étude graphique
Sur le graphique donné ci-dessous, on donne 
et 
les représentations graphiques respectives des fonctions 
et 
dans un repère d'origine O.
Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.
▶ 1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est minimal. (0,5 point)
▶ 2. a) Déterminer les valeurs de 
et 
, puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus. (0,5 point)
b) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice. (0,5 point)
partie B étude d'une fonction
On considère la fonction 
définie sur l'intervalle [1 15] par :
On admet que la fonction 
est dérivable sur l'intervalle [1 15] et on note 
sa fonction dérivée.
▶ 1. a) Calculer 
pour tout réel 
de l'intervalle [1 15]. (0,5 point)
b) En déduire que la fonction 
est décroissante sur l'intervalle [1 15]. (0,25 point)
▶ 2. a) Dresser le tableau de variations de la fonction 
sur l'intervalle [1 15], en précisant les valeurs 
et 
arrondies à l'unité. (0,5 point)
b) Le tableau de variations permet d'affirmer que l'équation 
admet une unique solution 
sur l'intervalle [1 15].
Donner une valeur approchée de 
à 0,1 près. (0,5 point)
c) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de 
sur l'intervalle [1 15]. (0,25 point)
partie C application économique
▶ 1. Démontrer que, pour tout réel 
de l'intervalle [1 15], on a :
(0,5 point)
▶ 2. On admet que la fonction 
est dérivable sur l'intervalle [1 15] et on note 
sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout réel 
de l'intervalle [1 15], on a :
où 
est la fonction étudiée dans la partie B. (0,5 point)
▶ 3. En déduire les variations de la fonction 
sur l'intervalle [1 15]. (0,5 point)
▶ 4. a) Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près. (0,5 point)
b) Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près. (0,5 point)
Exercice 3 (5 points) Taux de réussite au baccalauréat suivant le type de diplôme préparé
Commun à tous les candidats
Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
partie A
On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 (Source DEEP, juillet 2015) :
49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20 % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel
91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus, ainsi que 90,6 % des candidats au baccalauréat technologique.
On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les événements suivants :
: « Le candidat s'est présenté au baccalauréat général »
: « Le candidat s'est présenté au baccalauréat technologique »
: « Le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel »
: « Le candidat a été reçu ».
Pour tout événement 
, on note 
sa probabilité et 
son événement contraire. De plus, si 
est un autre événement, on note 
la probabilité de 
sachant 
.
▶ 1. Préciser les probabilités 
, 
, 
et 
. (1 point)
▶ 2. Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite. (0,5 point)
▶ 3. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l'ait obtenu est égale à 0,1812. (0,5 point)
▶ 4. Le ministère de l'Éducation nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8 % pour l'ensemble des candidats présentant l'un des baccalauréats.
a) Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l'ait obtenu est égale à 0,24845. (0,75 point)
b) Sachant que le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu'il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième. (0,75 point)
partie B
À l'issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français.
On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire 
qui suit la loi normale de moyenne 12,5 et d'écart-type 3,5.
De même, la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire 
qui suit la loi normale de moyenne 13,2 et d'écart-type 2,1.
▶ 1. Déterminer 
en donnant le résultat arrondi au centième. (0,5 point)
▶ 2. Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillés la fonction densité associée à la variable aléatoire 
. La fonction densité associée à 
est représentée sur un seul de ces graphiques.
Quel est ce graphique ? Expliquer le choix. (1 point)
Graphique 1
Graphique 2
Graphique 3
Exercice 4 (5 points) Coût d'un crédit étude à l'aide d'une suite
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5 700 euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d'un montant de 5 700 euros, au taux mensuel de 1,5 %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300 euros est versée par l'emprunteur à l'organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5 %, puis baisse de 300 euros.
Le premier versement a lieu le 25 février 2016.
On note 
le capital restant dû en euros juste après la 
-ième mensualité (
entier naturel non nul). On convient que 
.
Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.
▶ 1. a) Démontrer que 
, capital restant dû au 26 février 2016, juste après la première mensualité, est de 5 485,50 euros. (0,5 point)
b) Calculer 
. (0,5 point)
▶ 2. On admet que la suite 
est définie pour tout entier naturel 
par :
On considère l'algorithme suivant :
| Variables : |
| |
| Traitement : | Affecter à Affecter à Tant que | |
|
| ||
| Fin Tant que | ||
| Sortie : | Afficher | |
est un entier naturel
est un nombre réel
la valeur 5 700
la valeur 0
faire
prend la valeur 
prend la valeur 
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne. (0,75 point)
b) Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. (0,75 point)
▶ 3. Soit la suite 
définie pour tout entier naturel 
par :
.
a) Montrer que pour tout entier naturel 
, on a :
. (0,5 point)
b) En déduire que pour tout entier naturel 
, on a :
(0,75 point)
▶ 4. À l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :
a) Démontrer qu'une valeur approchée du capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril 2017 est 2 121,68 euros. (0,25 point)
b) Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt. (0,5 point)
c) Quel sera le montant de la dernière mensualité ? (0,25 point)
d) Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat ? (0,25 point)
Exercice 4 (5 points) Répartition d'acheteurs suivant le mode d'achat : par Internet ou en magasin
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Une étude statistique sur une population d'acheteurs a montré que :
90 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant Internet affirment vouloir continuer à utiliser Internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin.
60 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant Internet.
Dans toute la suite de l'exercice, 
désigne un entier naturel non nul.
Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs. On note :
la probabilité que cette personne fasse son 
-ième achat sur Internet
la probabilité que cette personne fasse son 
-ième achat en magasin.
On suppose de plus que 
et 
.
On note 
l'état probabiliste correspondant au 
-ième achat.
Ainsi 
.
On note :
A l'état « La personne effectue son achat sur Internet »
B l'état « La personne effectue son achat en magasin ».
▶ 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,5 point)
▶ 2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique. (0,5 point)
▶ 3. a) Calculer la matrice 
. (0,5 point)
b) En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5e achat sur Internet est égale à 0,8125. (0,5 point)
▶ 4. On note 
l'état stable associé à ce graphe.
a) Montrer que les nombres 
et 
sont solutions du système : (0,5 point)
b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)
c) À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur Internet ? (0,25 point)
▶ 5. a) Montrer que, pour tout entier naturel 
non nul, on a :
(0,5 point)
b) Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel 
non nul tel que 
. (0,75 point)
| Variables : |
| |
| Initialisation : | Affecter à Affecter à | |
| Traitement : | Tant que ...................... | |
| Affecter à Affecter à | ||
| Fin Tant que | ||
| Sortie : | Afficher | |
est un entier naturel
est un nombre réel
la valeur 1
la valeur 1
la valeur 
la valeur ...................
c) Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ? (0,5 point)
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Suite géométrique • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
▶ 2. Utilisez la formule du cours.
▶ 4. Un sondage effectué sur un échantillon de taille 
permet d'obtenir un intervalle de confiance d'amplitude 
.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 55 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Variations d'une fonction • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 2. b) L'entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure aux coûts de production utilisez la position relative des courbes C et 
.
Partie B
▶ 1. b) Étudiez le signe de 
.
▶ 2. b) Déterminez deux réels 
et 
tels que 
, 
et 
et 
sont de signes contraires.
Partie C
▶ 3. Utilisez le résultat de la question 2. c) de la partie B.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 3. et 4. a) Les probabilités demandées sont les probabilités de l'intersection de deux événements.
▶ 4. b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.
Partie B
▶ 1. Utilisez la calculatrice ou un résultat du cours.
▶ 2. La courbe représentative de la fonction densité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 
a pour axe de symétrie la droite d'équation 
. D'autre part, si cette loi normale a pour écart-type 
, plus 
est grand, plus la courbe de la fonction densité est « étalée » de part et d'autre de son axe de symétrie.
Exercice 4 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
▶ 2. a) N'oubliez pas, à chaque étape, de comparer 
et 4 500 l'algorithme s'arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que 
.
▶ 3. Si 
, alors 
.
Exercice 4 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Pourcentage instantané • Suite géométrique • Graphe probabiliste • Matrice • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».
Les conseils du correcteur
▶ 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d'un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.
▶ 2. 
est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes la somme des deux coefficients d'une même ligne est égale à 1.
▶ 3. b) La probabilité cherchée est 
.
▶ 4. L'état stable est associé à l'unique matrice ligne 
dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 
.
▶ 5. a) N'oubliez pas que, pour tout entier naturel 
non nul, 
.
c) L'algorithme s'arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que 
.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats.
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout 
appartenant à l'intervalle 
:
.
La bonne réponse est c).
▶ 2. Calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique
Soit 
la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 
.
La somme des 13 premiers termes de cette suite est :
D'après le cours :
La bonne réponse est b).
▶ 3. Étudier des probabilités relatives à une variable aléatoire suivant une loi uniforme
La variable aléatoire 
suit une loi uniforme sur l'intervalle [2 7], donc, pour tous réels 
et 
tels que 
:
.
D'où :
et la réponse a) est fausse.
L'espérance de 
est 
, donc la réponse c) est fausse.
donc 
.
La bonne réponse est b).
▶ 4. Étudier l'amplitude d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95
Si 
est la proportion d'un caractère dans une population, si 
est la fréquence observée de ce caractère dans un échantillon de taille 
et si les conditions 
sont remplies, alors l'intervalle 
est un intervalle de confiance de 
au niveau de confiance 0,95. L'amplitude de cet intervalle est 
.
La bonne réponse est c).
Exercice 2
Commun à tous les candidats
partie A étude graphique
▶ 1. Déterminer graphiquement la production pour laquelle le coût est minimal
Par lecture graphique, on observe que le point de C d'ordonnée minimale a pour abscisse environ 4,5.
Donc la production pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est minimal est environ 4,5 tonnes.
▶ 2. a) Déterminer graphiquement le résultat net pour une production donnée
Par lecture graphique 
et 
.
Donc 
.
Le résultat net quotidien dégagé par l'entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus est d'environ 1 300 euros.
b) Déterminer graphiquement les productions assurant un bénéfice
Notez bien
Les courbes 
et 
ont deux points d'intersection dont les abscisses sont environ 2,8 et 13,3.
L'entreprise dégage un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice, pour 
tonnes de granulés produits et vendus si et seulement si 
, c'est-à-dire si et seulement si le point de 
d'abscisse 
est au-dessus du point de 
d'abscisse 
. Par lecture graphique, on observe que c'est le cas si et seulement si 
environ.
L'entreprise dégage un bénéfice si elle produit et vend quotidiennement entre 2,8 et 13,3 tonnes de granulés.
partie B étude d'une fonction
▶ 1. a) Calculer la dérivée d'une fonction
Notez bien
On applique la formule 
avec :
.
Pour tout réel 
appartenant à l'intervalle [1 15] :
b) Montrer qu'une fonction est décroissante sur un intervalle
La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ, donc, pour tout 
appartenant à [1 15], 
, donc 
, donc :
et 
.
Donc la fonction 
est décroissante sur l'intervalle [1 15].
▶ 2. a) Dresser le tableau de variations d'une fonction sur un intervalle
D'après la question précédente, le tableau de variations de la fonction 
sur l'intervalle [1 15] est :
En arrondissant à l'unité :
.
b) Donner une valeur approchée d'une solution d'une équation
Info
D'après le tableau de variation dressé à la question précédente, la fonction 
est continue et strictement monotone sur [1 15] de plus, 
et 
. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation 
admet une unique solution sur cet intervalle.
et 
, donc 
.
et 
, donc 
.
6,9 est une valeur approchée de 
à 0,1 près.
c) Déterminer le tableau de signes d'une fonction sur un intervalle
D'après les questions précédentes :
si 
, alors 
si 
, alors 
.
Le tableau de signes de 
sur l'intervalle [1 15] est donc :
|
| 1 |
| 15 | ||
| Signe de | + | 0 | – |
partie C application économique
▶ 1. Déterminer l'expression d'une fonction
Pour tout réel 
de l'intervalle [1 15] :
▶ 2. Calculer la dérivée d'une fonction
D'après l'expression de 
déterminée à la question précédente, pour tout 
appartenant à [1 15] :
▶ 3. Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle
Le signe de 
est celui de 
, étudié à la question 2. c) de la partie B.
Donc 
est croissante sur 
et décroissante sur 
.
▶ 4. a) Déterminer la production rendant maximal le bénéfice
D'après la question précédente, 
atteint son maximum en 
avec 
à 0,1 près.
Donc l'entreprise rend son bénéfice maximal pour environ 6,9 tonnes de granulés produites et vendues.
b) Calculer le maximum d'une fonction
Le maximum de 
est 
, et 
Le bénéfice maximal de l'entreprise est environ 1 317 euros à l'euro près.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. Donner à partir de l'énoncé les valeurs de certaines probabilités
Notez bien
On assimile la probabilité d'un événement et le pourcentage d'individus pour lesquels cet événement est réalisé.
D'après l'énoncé, 49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, d'où :
20 % des inscrits ont passé un baccalauréat technologique, d'où :
90,6 % des candidats au baccalauréat technologique ont été reçus, d'où :
91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus, d'où :
▶ 2. Traduire une situation par un arbre pondéré
D'après les données précédentes :
(31 % des inscrits ont passé un baccalauréat professionnel)
.
D'où l'arbre :
▶ 3. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
La probabilité considérée est 
.
D'après l'arbre précédent :
.
La probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l'ait obtenu est égale à 0,1812.
▶ 4. a) Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
Notez bien
, 
et 
forment une partition de l'univers car ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers entier.
La probabilité considérée est 
.
Or, 
, 
et 
forment une partition de l'univers, donc :
D'où :
.
D'après l'énoncé, le taux global de réussite est 87,8 %, d'où :
.
D'autre part :
.
D'où :
.
La probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l'ait obtenu est égale à 0,24845.
b) Calculer une probabilité conditionnelle
On cherche 
. D'après le cours, 
étant non nulle :
.
Sachant que le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel, la probabilité qu'il ait été reçu est égale à 0,801 au millième près.
partie B
▶ 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
Info
Cette probabilité peut aussi être obtenue à l'aide de la calculatrice.
La variable aléatoire 
suit la loi normale de moyenne 
et d'écart-type 
.
.
D'après le cours, en arrondissant au centième :
▶ 2. Reconnaître la courbe représentative de la fonction densité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
La variable aléatoire 
a une moyenne supérieure à celle de la variable aléatoire 
. La courbe représentant la fonction densité associée à 
a pour axe de symétrie la droite d'équation 
, et celle représentant la fonction densité associée à 
pour axe de symétrie la droite d'équation 
la courbe représentative de la fonction densité de 
est donc « décalée vers la droite » par rapport à celle de la fonction densité de 
. Cela exclut donc le graphique 3.
D'autre part, 
a un écart-type supérieur à celui de 
, donc la courbe représentant la fonction densité de 
est « plus étalée » que celle représentant la fonction densité de 
cela exclut donc le graphique 1.
Donc la fonction densité associée à 
est représentée sur le graphique 2.
Exercice 4
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
▶ 1. a) Calculer le deuxième terme d'une suite
Notez bien
Une quantité qui augmente de 1,5 % est multipliée par 1,015 on dit que 1,015 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 1,5 %.
Le capital 
restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité est égal au capital initialement emprunté augmenté de 1,5 %, auquel on retranche ensuite 300 euros, donc :
.
Le capital restant dû au 26 février 2016, juste après la première mensualité, est de 5 485,50 euros.
b) Calculer le troisième terme d'une suite
Par le même raisonnement qu'à la question précédente, le capital 
restant dû juste après la deuxième mensualité est égal au capital restant dû juste après la première mensualité augmenté de 1,5 %, auquel on retranche ensuite 300 euros, donc :
.
▶ 2. a) Compléter un « tableau d'étapes » associé à un algorithme
Les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme donné peuvent être résumées par le tableau suivant :
| Valeur de u | 5 700 | 5 485,50 | 5 267,78 | 5 046,80 | 4 822,50 | 4 594,84 | 4 363,76 |
| Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u > 4 500 (vrai/faux) | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | faux |
b) Déterminer et interpréter le résultat affiché à la fin de l'exécution d'un algorithme
D'après le tableau précédent, à la fin de son exécution, l'algorithme affiche :
.
C'est au bout de 6 mois que le capital restant dû devient pour la première fois inférieur ou égal à 4 500 euros.
▶ 3. a) Prouver une relation entre deux termes successifs d'une suite
Pour tout entier naturel 
:
.
Donc :
b) Déterminer l'expression du terme général d'une suite
D'après la question précédente, la suite 
est géométrique de raison 1,015.
Son premier terme est 
.
Donc, pour tout entier naturel 
:
.
, donc :
▶ 4. a) Déterminer une valeur approchée d'un terme d'une suite
Le capital restant dû au 26 avril 2017 est le capital restant dû juste après le 15e versement, c'est-à-dire 
.
D'après la formule établie à la question précédente :
.
Une valeur approchée du capital restant dû au 26 avril 2017 est 2 121,68 euros.
b) Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement un prêt
Tant que 
, l'emprunteur n'a pas intégralement remboursé le prêt, 
versements ne suffisent pas.
.
Or 
après 22 versements de 300 euros, le prêt n'est pas intégralement remboursé.
Juste après la 22e mensualité, le capital restant dû est environ 157,83 euros il faudra donc une 23e mensualité pour terminer le remboursement du prêt.
Pour rembourser intégralement le prêt, il faut donc 23 mensualités.
c) Calculer le montant de la dernière mensualité lors du remboursement d'un prêt
au moment du 23e versement, le capital restant dû est donc environ 160,21 euros.
Le montant de la 23e et dernière mensualité est donc 160,21 euros.
d) Calculer le coût total d'un achat à crédit
Pour rembourser intégralement le prêt, l'emprunteur doit donc verser 22 mensualités de 300 euros et une 23e de 160,21 euros.
.
Le coût total de l'achat sera 6 760,21 euros.
Exercice 4
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
▶ 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste
La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :
▶ 2. Écrire la matrice de transition associée à un graphe
D'après l'énoncé, pour tout entier naturel 
:
soit :
.
La matrice de transition associée au graphe précédent est donc :
▶ 3. a) Calculer une puissance d'une matrice carrée
Avec la calculatrice, on obtient :
b) Calculer une probabilité associée à un graphe probabiliste
La probabilité que la personne interrogée fasse son 5e achat sur Internet est 
.
.
La probabilité que la personne interrogée fasse son 5e achat sur Internet est 0,8125.
▶ 4. a) Écrire un système d'équations permettant de déterminer l'état stable associé à un graphe
Notez bien
L'état stable existe car la matrice de transition ne comporte aucun coefficient nul. Il est indépendant de l'état initial.
Puisque 
est l'état stable associé au graphe, alors :
.
Donc le couple 
vérifie le système 
b) Résoudre un système d'équations
Info
Le résultat signifie que l'état stable associé au graphe est 
.
Le système 
a pour solution le couple :
c) Déterminer une probabilité « à long terme »
À long terme, la probabilité que la personne interrogée fasse ses achats sur Internet est 
, c'est-à-dire 0,8.
▶ 5. a) Déterminer une relation entre deux termes successifs d'une suite
D'après la question 2., pour tout entier naturel 
non nul :
Or 
, donc 
.
Donc, pour tout entier naturel non nul :
b) Compléter un algorithme
Pour que l'algorithme affiche le plus petit entier naturel 
non nul tel que 
, on peut le compléter de la manière suivante :
| Variables : |
| |
| Initialisation : | Affecter à Affecter à | |
| Traitement : | Tant que | |
| Affecter à Affecter à | ||
| Fin Tant que | ||
| Sortie : | Afficher | |
est un entier naturel
est un nombre réel
la valeur 1
la valeur 1
la valeur 
la valeur 
c) Déterminer la valeur affichée en sortie d'un algorithme
Info
Cet affichage signifie que le plus petit entier 
tel que 
est 
.
À l'aide de la calculatrice, on peut calculer une valeur approchée de 
et vérifier qu'ils sont tous strictement supérieurs à 0,801 on a ensuite 
, donc :
.
En programmant cet algorithme à la calculatrice, on obtient en sortie :
