Sujet complet de Pondichéry 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Pondichéry

 

4

Pondichéry • Avril 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet de Pondichéry 2016

Exercice 1 (4 points) 
QCM sur les fonctions et les probabilités (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

1. Soit 313367-Eqn1 la fonction définie sur l’intervalle 313367-Eqn2 par :

313367-Eqn3

On admet que 313367-Eqn4 est dérivable sur l’intervalle 313367-Eqn5 et on désigne par 313367-Eqn6 sa fonction dérivée.

Pour tout nombre réel 313367-Eqn7 de l’intervalle 313367-Eqn8 on a :

a) 313367-Eqn9

b) 313367-Eqn10

c) 313367-Eqn11

2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

a) 4 095

b) 8 191

c) 313367-Eqn12

3. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

matT_1604_12_00C_01

P(A) désigne la probabilité d’un événement A et E(X) l’espérance de la variable aléatoire 313367-Eqn13.

a) 313367-Eqn14

b) 313367-Eqn15

c) 313367-Eqn16

4. On réalise un sondage sur un échantillon de 313367-Eqn17 personnes (313367-Eqn18 entier naturel non nul).

Parmi les tailles de l’échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?

a) 313367-Eqn19

b) 313367-Eqn20

c) 313367-Eqn21

Exercice 2 (6 points)
 Étude graphique et numérique d’une fonction et bénéfice d’une entreprise

Commun à tous les candidats

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction 313367-Eqn22 définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

313367-Eqn23

313367-Eqn24 désigne la quantité de granulés en tonnes et 313367-Eqn25 le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.

Dans l’entreprise BBE, le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros.

La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction 313367-Eqn26 définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

313367-Eqn27

313367-Eqn28 désigne la quantité de granulés en tonnes et 313367-Eqn29 la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.

On définit par 313367-Eqn30 le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette 313367-Eqn31 et le coût 313367-Eqn32, où 313367-Eqn33 désigne la quantité de granulés en tonnes.

partie A étude graphique

Sur le graphique donné ci-dessous, on donne 313367-Eqn34 et 313367-Eqn35 les représentations graphiques respectives des fonctions 313367-Eqn36 et 313367-Eqn37 dans un repère d’origine O.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal. (0,5 point)

2. a) Déterminer les valeurs de 313367-Eqn38 et 313367-Eqn39, puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus. (0,5 point)

b) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice. (0,5 point)

matT_1604_12_00C_02

partie B étude d’une fonction

On considère la fonction 313367-Eqn40 définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

313367-Eqn41

On admet que la fonction 313367-Eqn42 est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note 313367-Eqn43 sa fonction dérivée.

1. a) Calculer 313367-Eqn44 pour tout réel 313367-Eqn45 de l’intervalle [1 ; 15]. (0,5 point)

b) En déduire que la fonction 313367-Eqn46 est décroissante sur l’intervalle [1 ; 15]. (0,25 point)

2. a) Dresser le tableau de variations de la fonction 313367-Eqn47sur l’intervalle [1 ; 15], en précisant les valeurs 313367-Eqn48 et 313367-Eqn49 arrondies à l’unité. (0,5 point)

b) Le tableau de variations permet d’affirmer que l’équation 313367-Eqn50 admet une unique solution 313367-Eqn51 sur l’intervalle [1 ; 15].

Donner une valeur approchée de 313367-Eqn52 à 0,1 près. (0,5 point)

c) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de 313367-Eqn53 sur l’intervalle [1 ; 15]. (0,25 point)

partie C application économique

1. Démontrer que, pour tout réel 313367-Eqn54 de l’intervalle [1 ; 15], on a :

313367-Eqn55 (0,5 point)

2. On admet que la fonction 313367-Eqn56 est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note 313367-Eqn57 sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel 313367-Eqn58 de l’intervalle [1 ; 15], on a :

313367-Eqn59

313367-Eqn60 est la fonction étudiée dans la partie B. (0,5 point)

3. En déduire les variations de la fonction 313367-Eqn61 sur l’intervalle [1 ; 15]. (0,5 point)

4. a) Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près. (0,5 point)

b) Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points) 
Taux de réussite au baccalauréat suivant le type de diplôme préparé

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

partie A

On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 (Source DEEP, juillet 2015) :

49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20 % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel ;

91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus, ainsi que 90,6 % des candidats au baccalauréat technologique.

On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les événements suivants :

313367-Eqn62 : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat général » ;

313367-Eqn63 : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat technologique » ;

313367-Eqn64 : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel » ;

313367-Eqn65 : « Le candidat a été reçu ».

Pour tout événement 313367-Eqn66, on note 313367-Eqn67 sa probabilité et 313367-Eqn68 son événement contraire. De plus, si 313367-Eqn69 est un autre événement, on note 313367-Eqn70 la probabilité de 313367-Eqn71 sachant 313367-Eqn72.

1. Préciser les probabilités 313367-Eqn73, 313367-Eqn74, 313367-Eqn75 et 313367-Eqn76. (1 point)

2. Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite. (0,5 point)

3. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l’ait obtenu est égale à 0,1812. (0,5 point)

4. Le ministère de l’Éducation nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8 % pour l’ensemble des candidats présentant l’un des baccalauréats.

a) Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l’ait obtenu est égale à 0,24845. (0,75 point)

b) Sachant que le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu’il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième. (0,75 point)

partie B

À l’issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français.

On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire 313367-Eqn77 qui suit la loi normale de moyenne 12,5 et d’écart-type 3,5.

De même, la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire 313367-Eqn78 qui suit la loi normale de moyenne 13,2 et d’écart-type 2,1.

1. Déterminer 313367-Eqn79 en donnant le résultat arrondi au centième. (0,5 point)

2. Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillés la fonction densité associée à la variable aléatoire 313367-Eqn80. La fonction densité associée à 313367-Eqn81 est représentée sur un seul de ces graphiques.

Quel est ce graphique ? Expliquer le choix. (1 point)

matT_1604_12_00C_03

Graphique 1

matT_1604_12_00C_04

Graphique 2

matT_1604_12_00C_05

Graphique 3

Exercice 4 (5 points)
 Coût d’un crédit ; étude à l’aide d’une suite

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5 700 euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d’un montant de 5 700 euros, au taux mensuel de 1,5 %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300 euros est versée par l’emprunteur à l’organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5 %, puis baisse de 300 euros.

Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note 313367-Eqn82 le capital restant dû en euros juste après la 313367-Eqn83-ième mensualité (313367-Eqn84 entier naturel non nul). On convient que 313367-Eqn85.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.

1. a) Démontrer que 313367-Eqn86, capital restant dû au 26 février 2016, juste après la première mensualité, est de 5 485,50 euros. (0,5 point)

b) Calculer 313367-Eqn87. (0,5 point)

2. On admet que la suite 313367-Eqn88 est définie pour tout entier naturel 313367-Eqn89 par :

313367-Eqn90

On considère l’algorithme suivant :

Variables :

313367-Eqn91 est un entier naturel

313367-Eqn92 est un nombre réel

Traitement :

Affecter à 313367-Eqn93 la valeur 5 700

Affecter à 313367-Eqn94 la valeur 0

Tant que 313367-Eqn95 faire

   

313367-Eqn96 prend la valeur 313367-Eqn97

313367-Eqn98 prend la valeur 313367-Eqn99

 

Fin Tant que

Sortie :

Afficher 313367-Eqn100

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne. (0,75 point)

matT_1604_12_00C_tab1

b) Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. (0,75 point)

3. Soit la suite 313367-Eqn104 définie pour tout entier naturel 313367-Eqn105 par :

313367-Eqn106.

a) Montrer que pour tout entier naturel 313367-Eqn107, on a :

313367-Eqn108. (0,5 point)

b) En déduire que pour tout entier naturel 313367-Eqn109, on a :

313367-Eqn110 (0,75 point)

4. À l’aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :

a) Démontrer qu’une valeur approchée du capital restant dû par l’emprunteur au 26 avril 2017 est 2 121,68 euros. (0,25 point)

b) Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt. (0,5 point)

c) Quel sera le montant de la dernière mensualité ? (0,25 point)

d) Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat ? (0,25 point)

Exercice 4 (5 points) 
Répartition d’acheteurs suivant le mode d’achat : par Internet ou en magasin

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une étude statistique sur une population d’acheteurs a montré que :

90 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant Internet affirment vouloir continuer à utiliser Internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin.

60 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant Internet.

Dans toute la suite de l’exercice, 313367-Eqn111 désigne un entier naturel non nul.

Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs. On note :

313367-Eqn112 la probabilité que cette personne fasse son 313367-Eqn113-ième achat sur Internet ;

313367-Eqn114 la probabilité que cette personne fasse son 313367-Eqn115-ième achat en magasin.

On suppose de plus que 313367-Eqn116 et 313367-Eqn117.

On note 313367-Eqn118 l’état probabiliste correspondant au 313367-Eqn119-ième achat.

Ainsi 313367-Eqn120.

On note :

A l’état « La personne effectue son achat sur Internet » ;

B l’état « La personne effectue son achat en magasin ».

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. (0,5 point)

2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. (0,5 point)

3. a) Calculer la matrice 313367-Eqn121. (0,5 point)

b) En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5e achat sur Internet est égale à 0,8125. (0,5 point)

4. On note 313367-Eqn122 l’état stable associé à ce graphe.

a) Montrer que les nombres 313367-Eqn123 et 313367-Eqn124 sont solutions du système : (0,5 point)

313367-Eqn125

b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)

c) À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur Internet ? (0,25 point)

5. a) Montrer que, pour tout entier naturel 313367-Eqn126 non nul, on a :

313367-Eqn127 (0,5 point)

b) Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier naturel 313367-Eqn128 non nul tel que 313367-Eqn129. (0,75 point)

Variables :

313367-Eqn130 est un entier naturel

313367-Eqn131 est un nombre réel

Initialisation :

Affecter à 313367-Eqn132 la valeur 1

Affecter à 313367-Eqn133 la valeur 1

Traitement :

Tant que ......................

   

Affecter à 313367-Eqn134 la valeur 313367-Eqn135

Affecter à 313367-Eqn136 la valeur ...................

 

Fin Tant que

Sortie :

Afficher 313367-Eqn137

c) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme en sortie ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

2. Utilisez la formule du cours.

4. Un sondage effectué sur un échantillon de taille 313367-Eqn138 permet d’obtenir un intervalle de confiance d’amplitude 313367-Eqn139.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

2. b) L’entreprise réalise un bénéfice si et seulement si la recette est supérieure aux coûts de production ; utilisez la position relative des courbes C et 313367-Eqn141.

Partie B

1. b) Étudiez le signe de 313367-Eqn142.

2. b) Déterminez deux réels 313367-Eqn143 et 313367-Eqn144 tels que 313367-Eqn145, 313367-Eqn146 et 313367-Eqn147 et 313367-Eqn148 sont de signes contraires.

Partie C

3. Utilisez le résultat de la question 2. c) de la partie B.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. et 4. a) Les probabilités demandées sont les probabilités de l’intersection de deux événements.

4. b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.

Partie B

1. Utilisez la calculatrice ou un résultat du cours.

2. La courbe représentative de la fonction densité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 313367-Eqn149 a pour axe de symétrie la droite d’équation 313367-Eqn150. D’autre part, si cette loi normale a pour écart-type 313367-Eqn151, plus 313367-Eqn152 est grand, plus la courbe de la fonction densité est « étalée » de part et d’autre de son axe de symétrie.

Exercice 4 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. a) N’oubliez pas, à chaque étape, de comparer 313367-Eqn153 et 4 500 ; l’algorithme s’arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que 313367-Eqn154.

3. Si 313367-Eqn155, alors 313367-Eqn156.

Exercice 4 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Suite géométrique • Graphe probabiliste • Matrice • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Les conseils du correcteur

1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

2. 313367-Eqn157 est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes ; la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

3. b) La probabilité cherchée est 313367-Eqn158.

4. L’état stable est associé à l’unique matrice ligne 313367-Eqn159 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 313367-Eqn160.

5. a) N’oubliez pas que, pour tout entier naturel 313367-Eqn161 non nul, 313367-Eqn162.

c) L’algorithme s’arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que 313367-Eqn163.