Pondichéry • Avril 2017

Sujets complets

matT_1704_12_01C

Pondichéry • Avril 2017

Sujet complet • 20 points • ⏱ 4 h

Sujet complet de Pondichéry 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Probabilités conditionnelles • Loi exponentielle • Loi normale • Intervalle de fluctuation

Exercice 2 – Nombres complexes

Exercice 3 – Logarithme népérien • Calcul intégral • Algorithme

Exercice 4 – Suites numériques • Tableur

Exercice 4 (spécialité) – Suites • Matrices • Arithmétique

Exercice 5 – Géométrie dans l'espace

Exercice 1 (5 points) • ⏱ 1 h Fabrication de tablettes de chocolat

Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

Partie A

À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : cassées, mal emballées…

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98

la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.

À la fin d'une journée, on prélève au hasard une tablette et on note :

A l'évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A »

C l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note x la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

▶ 1. Montrer que P(C) = 0,03x + 0,95.

▶ 2. À l'issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre $λ$ .

▶ 1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre $λ$ de la loi exponentielle.

▶ 2. Calculer P(Z > 2).

▶ 3. Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?

Partie C

On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, en pourcentage, d'une tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d'espérance $μ$ = 85 et d'écart type $σ$ = 2.

▶ 1. Calculer P(83 ≤ X ≤ 87).

Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage ?

▶ 2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel a tel que :

P(85 − a ≤ X ≤ 85 + a) = 0,9.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

▶ 3. La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7 88,3].

Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever 550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas au critère.

Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?

Exercice 2 (3 points) • ⏱ 30 min À la recherche d'un triangle rectangle

Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(O \vec{u}, \vec{v})$ .

▶ 1. On considère l'équation (E) : z2 − 6z + c = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.

a) Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

b) Justifier que les solutions de (E) sont $z_{A} = 3 + i \sqrt{c - 9}$ et $z_{B} = 3 - i \sqrt{c - 9}$ .

▶ 2. On note A et B les points d'affixes respectives zA et zB.

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

▶ 3. Démontrer qu'il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Exercice 3 (4 points) • ⏱ 45 min Sous la montagne

Commun à tous les candidats

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe C.

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On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [− 2,5 2,5] par :

f(x) = ln(− 2x2 + 13,5).

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction f

▶ 1. Calculer f′(x) pour x ∈[− 2,5 2,5].

▶ 2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5 2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5 2,5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

▶ 1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

▶ 2. Justifier que l'aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est $A = 8 \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ .

▶ 3. L'algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ , notée a.

Variables	R et S sont des réels n et k sont des entiers
Traitement	S prend la valeur 0 Demander la valeur de n Pour k variant de 1 à n faire
		R prend la valeur $\frac{2,5}{n} \times f (\frac{2,5}{n} \times k)$ S prend la valeur S + R
	Fin Pour
Sortie	Afficher S

On admet que : $a \leq I \leq a + \frac{f (0) - f (2,5)}{n} \times 2,5$ .

a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour n = 50.

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

Initialisation	S = 0 n = 50
Boucle Pour	Étape k	R	S
	1	.........	.........
	2	0,130 060	0,260 176
	3	0,129 968	0,390 144
	4	0,129 837	.........
	$⋮$		$⋮$
	24	0,118 137	3,025 705
	25	0,116 970	3,142 675
	$⋮$		$⋮$
	49	0,020 106	5,197 538
	50	.........	.........
Affichage	S = .........

b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h Étude de deux suites

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère deux suites (un) et (vn) :

la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n :

un+1 = 2un − n + 3

la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 2n.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-après.

matT_1704_12_01C_08

▶ 1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

▶ 2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Florent obtient les résultats suivants :

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Conjecturer les limites des suites (un) et $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ .

Partie B : Étude de la suite (un)

▶ 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a

$u_{n} = 3 \times 2^{n} + n - 2$ .

▶ 2. Déterminer la limite de la suite (un).

▶ 3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$

▶ 1. Démontrer que la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ est décroissante à partir du rang 3.

▶ 2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : $0 \frac{n}{2^{n}}\leq\frac{1}{n}$ . Déterminer la limite de la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ .

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h Liens entre deux suites

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On définit les suites (un) et (vn) par u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 3vn et vn+1 = 2un + vn.

On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

matT_1704_12_01C_10

▶ 1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

▶ 2. Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD(un vn). Aucune justification n'est demandée.

▶ 3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Flore obtient les résultats suivants :

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Elle émet la conjecture : « la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ converge ». Qu'en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

▶ 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2un − 3vn = (− 1)n+1.

▶ 2. Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un vn).

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on définit :

la matrice colonne $X_{n} = (\begin{matrix} u_{n} \\ v_{n} \end{matrix})$ ,

les matrices carrées $P = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$ et $Q_{n} = (\begin{matrix} {(- 1)}^{n} & 3 \times 2^{2 n} \\ {(- 1)}^{n + 1} & 2^{2 n + 1} \end{matrix})$ .

▶ 1. a) Montrer que la matrice $\frac{1}{5} (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ est l'inverse de P.

b) On admet que, pour tout entier naturel n, on a $X_{n} = Q_{n} P^{- 1} X_{0}$ .

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : ${\begin{cases} u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5} \\ v_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}}{5} . \end{cases}$

▶ 2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a $\frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} + 3}{\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} + 2}$ .

b) En déduire la limite de la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ .

Exercice 5 (3 points) • ⏱ 45 min Section d'un cube par un plan

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH représenté ci-après.

L'espace est rapporté au repère $(A \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ .

On note P le plan d'équation $x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} z - 1 = 0$ .

Construire, sur la figure ci-après, la section du cube par le plan P.

La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

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Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

▶ 2. Résolvez dans ℝ l'équation P(C) = 0,96 et concluez.

Partie B

▶ 3. Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Partie C

▶ 3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d'utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

▶ 2. Identifiez la symétrie qui relie les images de deux nombres complexes conjugués et concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

▶ 1. Pour justifier la dérivabilité de ln(u), n'oubliez pas que u doit être dérivable et strictement positive sur l'intervalle considéré.

Partie B

▶ 1. Déterminez les coordonnées des points d'intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées, puis calculez leurs distances à l'origine O pour conclure.

Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

▶ 2. Calculez une valeur approchée au millième du quotient $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ pour les rangs 10 à 13. Conjecturez ensuite la limite de la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}}) .$

Partie B

▶ 3. Observez dans la partie A que le terme $u_{13}$ n'est pas supérieur à un million puis procédez par balayage pour déterminer le rang demandé.

Partie C

▶ 1. Étudiez le signe de la différence $\frac{u_{n + 1}}{v_{n + 1}} - \frac{u_{n}}{v_{n}} .$

▶ 2. Pensez au théorème des gendarmes.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie C

▶ 1. a) Vérifiez que le produit de la matrice fournie par la matrice P donne la matrice identité d'ordre 2 et concluez.

Exercice 5 (Commun à tous les candidats)

▶ Déterminez l'intersection du plan et du plan (ABC) à l'aide de leurs équations cartésiennes. Déduisez-en l'intersection du plan et du plan (EFG). Concluez, à l'aide de ces deux points, sur la section du cube par le plan .

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

▶ 1. Déterminer une probabilité E34 • E35 • E37

Une tablette de chocolat provient soit de la chaîne de fabrication A soit de la chaîne de fabrication B. L'événement C, « une tablette prélevée au hasard est commercialisable », est ainsi associé aux événements $C \cap A$ et $C \cap B$ (l'événement B désignant l'événement « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication B »). Les événements $C \cap A$ et $C \cap B$ étant incompatibles, on a :

$P (C) = P (C \cap A) + P (C \cap B)$ .

Retenez bien

Deux événements A et B sont incompatibles si aucune issue ne réalise à la fois l'événement A et l'événement B.

Or, $P (C \cap A) = P (A) \times P_{A} (C) = x \times 0,98$ et l'événement B étant l'événement contraire de l'événement A : $\begin{matrix} P (C \cap B) = P (B) \times P_{B} (C) = (1 - P (A)) \times P_{B} (C) \\ = (1 - x) \times 0,95 . \end{matrix}$

Il en découle que :

$\begin{array}{l} P (C) = x \times 0,98 + (1 - x) \times 0,95 \\ = x \times (0,98 - 0,95) + 0,95 \\ = 0,03 x + 0,95 . \end{array}$

On a donc P(C) = 0,03x + 0,95.

▶ 2. Résoudre une équation E34

D'après la question précédente, la probabilité qu'une tablette prélevée au hasard soit commercialisable est égale à 0,03x + 0,95. D'après l'énoncé, cette probabilité vaut $0,96 .$ On a alors : $0,03 x + 0,95 = 0,96 .$

Or, $0,03 x + 0,95 = 0,96 \Leftrightarrow 0,03 x = 0,01 \Leftrightarrow x = \frac{0,01}{0,03} = \frac{1}{3} .$

La probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A est donc égale à un tiers. L'événement B étant l'événement contraire de l'événement A, on a :

$P (B) = 1 - P (A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} .$

La probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne B est donc égale à deux fois celle que la tablette provienne de la chaîne A.

partie B

> 1. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle E41c

« La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans » se traduit à l'aide de l'espérance de la variable aléatoire $Z$ par $E (Z) = 5 .$ La variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $λ,$ on a l'égalité $\frac{1}{λ} = 5$ ce qui est équivalent à $λ = \frac{1}{5} = 0,2 .$

Le paramètre λ de la loi exponentielle est donc égal à 0,2.

▶ 2. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle   E34 • E40a • E40c

On a :

Retenez bien

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre $λ$ est : $x \mapsto - e^{- λ x}$ .

$\begin{matrix} P (Z > 2) = 1 - P (Z \leq 2) (événement contraire) \\ = 1 - P (0 \leq Z \leq 2) \\ = 1 - \int_{0}^{2} λ \times e^{- λ x} d x (probabilité et intégrale, densité) \\ = 1 - {[- e^{- λ x}]}_{0}^{2} \\ = 1 - (- e^{- 2 λ} + e^{0}) \\ = e^{- 2 λ} \\ = e^{- 0,4} . \end{matrix}$

La probabilité P(Z > 2) est ainsi égale à e–0,4.

▶ 3. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E42

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que la durée de vie de la machine dépasse cinq ans sachant que la machine a déjà fonctionné pendant trois ans. Comme la variable aléatoire $Z$ suit une loi exponentielle, elle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, on a :

$P_{(}_{Z \geq 3)} (Z \geq 5) = P_{(}_{Z \geq 3)} (Z \geq 2 + 3) = P (Z \geq 2) .$

La loi exponentielle étant une loi continue, on a $P (Z \geq 2) = P (Z > 2) .$ Ainsi, d'après la question précédente, on conclut que, sachant que la machine a déjà fonctionné pendant trois ans, la probabilité que sa durée de vie dépasse cinq ans est e–0,4.

partie C

▶ 1. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale C3 • E34

À l'aide de la calculatrice, on a :

Notez bien

Calcul de $P (a \leq X \leq b)$ avec $X \sim$ $(μ σ^{2}) .$ Syntaxe pour la TI 83 + : normalFRép $(a, b, μ, σ) .$

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : NormCD $(a, b, σ, μ) .$

TI 83 +	Casio Graph 75

Ainsi, la probabilité $P (83 \leq X \leq 87)$ arrondie au millième est égale à 0,683.

Remarque

Ce résultat était prévisible en constatant que : $P (83 \leq X \leq 87) = P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) .$

Pour que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage à savoir 85 %, il faut que celle-ci ne soit pas comprise entre 83 % et 87 %.

Cet événement est, par suite, l'événement contraire de l'événement ${83 \leq X \leq 87}$ et sa probabilité est $1 - P (83 \leq X \leq 87) \approx 1 - 0,683 = 0,317 .$

La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage est ainsi égale à 0,317.

▶ 2. Déterminer un paramètre dans le cadre d'une loi normale   E40d • E40e • E41d

On a :

$\begin{array}{l} P (85 - a \leq X \leq 85 + a) = 0,9 \Leftrightarrow P (- a \leq \underset{centrer}{\underset{︸}{X - 85}} \leq a) = 0,9 \\ \Leftrightarrow P (\frac{- a}{2} \leq \underset{réduire}{\underset{︸}{\frac{X - 85}{2}}} \leq \frac{a}{2}) = 0,9 \\ \Leftrightarrow P (\frac{- a}{2} \leq X_{c} \leq \frac{a}{2}) = 0,9 \end{array}$

la variable aléatoire $X_{c} = \frac{X - μ}{σ} = \frac{X - 85}{2}$ suivant la loi normale centrée réduite.

On doit donc résoudre l'équation d'inconnue $x$ : $P (- x \leq X_{c} \leq x) = 0,9$ qui est équivalente à $P (- x \leq X_{c} \leq x) - 0,9 = 0$ .

La variable aléatoire $X_{c}$ suivant la loi normale centrée réduite, on sait que : $P (- 1 \leq X_{c} \leq 1) \approx 0,68$ et $P (- 2 \leq X_{c} \leq 2) \approx 0,95$ . La solution $x$ est donc à chercher dans l'intervalle [1 2]. À l'aide de la calculatrice, on a :

TI 83 +	Casio Graph 75

Ainsi, $x \approx 1,64$ et par identification, $x = \frac{a}{2} \Leftrightarrow a = 2 x$ et $a \approx 3,28$ .

Une valeur approchée au centième du réel a tel que P(85 – a ≤ X ≤ 85 + a) = 0,9 est 3,28.

▶ 3. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation E43

On note p la proportion des tablettes qui ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7 88,3], p = 0,9. La taille de l'échantillon prélevé est n = 550. Comme n = 550 ≥ 30, n × p = 550 × 0,9 = 495 ≥ 5 et n × (1 – p) = 550 × 0,1 = 55 ≥ 5, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de tablettes qui ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7 88,3] dans un échantillon de taille 550 est ainsi défini et donné par :

$\begin{array}{l} I = [p - 1,96 \sqrt{\frac{p \times (1 - p)}{n}} p + 1,96 \sqrt{\frac{p \times (1 - p)}{n}}] \\ = [0,9 - 1,96 \sqrt{\frac{0,9 \times 0,1}{550}} 0,9 + 1,96 \sqrt{\frac{0,9 \times 0,1}{550}}] \\ \approx [0,875 0,925] . \end{array}$

La fréquence de tablettes qui répondent au critère dans l'échantillon est égale à $f = \frac{550 - 80}{550} = \frac{470}{550} \approx 0,855 .$

Comme f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l'affirmation de la chocolaterie.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

▶ 1. a) Justifier l'existence de solutions pour une équation E23

On calcule le discriminant associé à cette équation du second degré :

$Δ = {(- 6)}^{2} - 4 \times 1 \times c = 36 - 4 c$ . D'après l'énoncé, $c > 9$ par conséquent $- 4 c -4\times9=-36$ et $36 - 4 c 36-36=0$ . Nous avons donc $Δ 0$ . L'équation (E) admet donc deux solutions complexes conjuguées non réelles.

b) Déterminer les solutions d'une équation du second degré E23

Les deux solutions complexes conjuguées de cette équation sont donc :

$\begin{matrix} z_{A} = \frac{- (- 6) + i \sqrt{- Δ}}{2 \times 1} = \frac{6 + i \sqrt{4 c - 36}}{2} = \frac{6 + i \sqrt{4 (c - 9)}}{2} \\ = \frac{6 + 2 i \sqrt{c - 9}}{2} = 3 + i \sqrt{c - 9} \end{matrix}$ et $z_{B} = \overset{&macr}{z_{A}} = 3 - i \sqrt{c - 9}$ .

▶ 2. Démontrer qu'un triangle est isocèle E17c

Puisque $z_{B} = \overset{&macr}{z_{A}}$ , les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Une symétrie axiale conservant les longueurs, nous avons $OA = OB$ . Le triangle OAB est donc isocèle en O.

▶ 3. Déterminer un réel pour qu'un triangle soit rectangle E18 • E22

$\begin{matrix} OAB est rectangle en O \Leftrightarrow {OA}^{2} + {OB}^{2} = {AB}^{2} \\ \Leftrightarrow {| z_{A} |}^{2} + {| z_{B} |}^{2} = {| z_{B} - z_{A} |}^{2} \\ \Leftrightarrow 3^{2} + (^{\sqrt{c - 9}) 2} + 3^{2} + (^{- \sqrt{c - 9}) 2} = {| - 2 i \sqrt{c - 9} |}^{2} \\ \Leftrightarrow 9 + c - 9 + 9 + c - 9 = 4 (c - 9) \\ \Leftrightarrow 2 c = 4 c - 36 \\ \Leftrightarrow c = 18 . \end{matrix}$

Le triangle OAB est donc rectangle si et seulement si c = 18.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie A

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction E9d • E9e

$f = \ln (u)$ avec $u (x) = - 2 x^{2} + 13,5$ et $x \in J = [- 2,5 2,5]$ .

$u$ est une fonction polynôme donc $u$ est dérivable sur $J$ .

$\begin{array}{l} - 2,5 \leq x \leq 2,5 \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq \underset{= 6,25}{\underset{︸}{{2,5}^{2}}} \Leftrightarrow 0 \geq - 2 x^{2} \geq \underset{- 12,5}{\underset{︸}{- 2 \times 6,25}} \\ \Leftrightarrow 13,5 \geq \underset{u (x)}{\underset{︸}{- 2 x^{2} + 13,5}} \geq 1 . \end{array}$

Par conséquent, pour tout $x \in J$ , $u (x) \geq 1 > 0$ .

La fonction $u$ est donc strictement positive sur J.

Il découle des deux points ci-dessus que la fonction f = ln(u) est dérivable sur J.

Pour tout $x \in J$ , $f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)} = \frac{- 4 x}{- 2 x^{2} + 13,5}$ .

▶ 2. Déterminer le signe d'une fonction via le tableau de variation E9a

Comme $u (x) \geq 1 > 0$ d'après la question précédente, le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $- 4 x$ . Or $- 4 x > 0 \Leftrightarrow x 0$ .

Nous obtenons donc le tableau de variation suivant :

005_matT_1704_12_01C_tab1

$f (- 2,5) = f (2,5) = \ln (- 2 \times {2,5}^{2} + 13,5) = \ln (1) = 0$ et $f (0) = \ln (- 2 \times 0^{2} + 13,5) = \ln (13,5)$ .

D'après ce tableau de variation, nous pouvons dire que, pour tout $x \in J$ , $f (x) \geq 0$ .

partie B

▶ 1. Analyser la nature d'une courbe E9d • E9e

Soit A le point d'intersection, d'abscisse positive, de la courbe C avec l'axe des abscisses. D'après le tableau de variation, les coordonnées de A sont (2,5 0) et OA = 2,5.

Soit B le point d'intersection de la courbe C avec l'axe des ordonnées. D'après le tableau de variation, les coordonnées de B sont (0 ln(13,5)) et OB = ln(13,5) $\approx 2,6$ .

Nous constatons que $OA \neq OB$ donc la courbe C n'est pas un arc de cercle de centre O.

▶ 2. Établir une formule pour un calcul d'aire E7a • E9d • E14

Nous avons vu à la question 1. de la partie A que la fonction $f$ est dérivable sur J, donc elle est continue sur J.

D'après la question 2. de la partie A, $f$ est positive sur $J$ .

L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d'équations $x = - 2,5$ et $x = 2,5$ est l'aire de la zone de creusement. Elle est donnée par :

A = $\int_{- 2,5}^{2,5} f (x) d x$ u.a.

D'après l'énoncé, la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. Par conséquent, A = $2 \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ u.a.

Le repère étant un repère orthonormé d'unité 2 m, nous avons donc 1 u.a. = 4 m2.

L'aire de la zone de creusement, en mètres carrés, est donnée par :

$A = 8 \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ .

▶ 3. a) Dérouler un algorithme

Nous savons que $n = 50$ et que $S$ a été initialisée à la valeur 0.

Pour $k = 1$ : $\begin{array}{l} R = \frac{2,5}{50} \times f (\frac{2,5}{50} \times 1) = 0,05 \times f (0,05) \approx 0,130 116 \\ S = 0 + R \approx 0,130 116 \end{array}$

Pour $k = 4$ : $S$ reçoit $S + R$ donc $S \approx 0,390 144 + 0,129 837 = 0,519 981$

Pour $k = 50$ : $\begin{array}{l} R = \frac{2,5}{50} \times f (\frac{2,5}{50} \times 50) = 0,05 \times \underset{= 0}{\underset{︸}{f (2,5)}} = 0 \\ S \approx 5,197 538 + 0 = 5,197 538 \end{array}$

Affichage : $S = 5,197 538$

b) Déterminer une valeur approchée d'une aire

D'après la question précédente, une valeur approchée par défaut de $I = \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ est $a = 5,197 538$ . D'après l'énoncé : $a \leq I \leq a + \frac{f (0) - f (2,5)}{n} \times 2,5$ et $n = 50$ . Donc :

$\begin{array}{l} 5,197 538 \leq I \leq 5,197 538 + \frac{\ln (13,5) - 0}{50} \times 2,5 \\ 8 \times 5,197 538 \leq 8 \times I \leq 8 \times 5,197 538 + 8 \times \ln (13,5) \times 0,05 \\ 41,580 304 \leq 8 I \leq \underset{\approx 42,621380}{\underset{︸}{41,580 304 + 0,4 \times \ln (13,5)}} \end{array}$

Comme A = $8 \int_{0}^{2,5} f (x) d x = 8 I$ , on en déduit qu'une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement est 42 m2.

Exercice 4

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie A

▶ 1. Calculer des termes d'une suite à l'aide d'un tableur

Pour calculer un terme de la suite $(u_{n})$ , il est nécessaire de connaître le terme précédent (colonne B) et la valeur de son rang (colonne A). Dans la cellule B3 est affiché le terme $u_{1}$ qui est égal à $2 u_{0} - 0 + 3 .$ Le terme $u_{0}$ est stocké dans la cellule B2 et le rang 0 est stocké dans la cellule A2. Par suite, on peut saisir dans la cellule B3 la formule « $= 2*B2-A2+3$ ».

Pour calculer un terme de la suite $(v_{n}),$ il est nécessaire uniquement de connaître son rang (colonne A). Dans la cellule C3 est affiché le terme $v_{1}$ qui est égal à $2^{1} .$ Le rang 1 est stocké dans la cellule A3. Par suite, on peut saisir dans la cellule C3 la formule « $= 2^A3$ ».

▶ 2. Conjecturer des limites E2e

Plus le rang $n$ augmente, plus le terme $u_{n}$ augmente. La suite $(u_{n})$ serait croissante. Mais cette suite ne semble pas majorée. En effet, approximativement, on obtient un terme à partir du précédent en multipliant par deux. Ainsi, la limite de la suite $(u_{n})$ serait $+ \infty .$

On a : $\frac{u_{10}}{v_{10}} = \frac{3 080}{1 024} \approx 3,008$ $\frac{u_{11}}{v_{11}} = \frac{6 153}{2 048} \approx 3,004$ $\frac{u_{12}}{v_{12}} = \frac{12 298}{4 096} \approx 3,002$ $\frac{u_{13}}{v_{13}} = \frac{24 587}{8 192} \approx 3,001 .$ Le rapport $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ semble se rapprocher de la valeur 3 quand le rang $n$ augmente.

Ainsi, la limite de la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ serait 3.

partie B

▶ 1. Démontrer une propriété par récurrence E1

Soit $P (n)$ la propriété : $u_{n} = 3 \times 2^{n} + n - 2$ .

Démontrons par récurrence que la propriété $P (n)$ est vraie pour tout entier naturel $n .$

Initialisation : pour $n = 0,$ $u_{0} = 1$ et $3 \times 2^{0} + 0 - 2 = 3 - 2 = 1$ . Donc $P (0)$ est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété $P (k)$ soit vraie pour un entier naturel $k$ donné : $u_{k} = 3 \times 2^{k} + k - 2$ .

Démontrons que la propriété $P (k + 1)$ est vraie. Nous avons :

$\begin{matrix} u_{k + 1} = 2 u_{k} - k + 3 \\ = 2 \times (3 \times 2^{k} + k - 2) - k + 3 (hypothèse de récurrence) \\ = 3 \times 2^{k} \times 2 + 2 k - 4 - k + 3 \\ = 3 \times 2^{k + 1} + k - 1 \\ = 3 \times 2^{k + 1} + (k + 1) - 2 . \end{matrix}$

La propriété $P (k + 1)$ est donc vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel n, $u_{n} = 3 \times 2^{n} + n - 2 .$

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite E2c • E4b • E4d

Par la question précédente, pour tout entier naturel $n,$ le terme $u_{n}$ est la somme du terme d'une suite géométrique et de l'entier $n - 2 .$ Cette suite géométrique est de premier terme 3 et de raison 2. Comme ce premier terme est strictement positif et que cette raison est strictement supérieure à 1, on a : $\lim_{n \to + \infty} 3 \times 2^{n} = + \infty$ . De plus, par somme, on a : $\lim_{n \to + \infty} n - 2 = + \infty$ et donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty .$

Remarque

Cette démarche est possible car la limite de la suite (un) est $+ \infty$ (question B 2.) et la suite (un) est strictement croissante. En effet, par la question B 1., on a, pour tout entier naturel n :

$\begin{matrix} u_{n + 1} - u_{n} = (3 \times 2^{n + 1} + n + 1 - 2) - (3 \times 2^{n} + n - 2) \\ = 3 \times 2^{n + 1} - 3 \times 2^{n} + 1 = 3 \times 2^{n} + 1 > 0 . \end{matrix}$

▶ 3. Déterminer le rang d'un terme vérifiant une contrainte E2a

On a pour n = 17 : u17 = 3 × 217 + 17 – 2 = 393 231

pour n = 18 :

u18 = 3 × 218 + 18 – 2 = 786 448

u18

pour n = 19 :

u19 = 3 × 219 + 19 – 2 = 1 572 881

u19 > 1 000 000

Le rang du premier terme de la suite $(u_{n})$ supérieur à 1 million est 19.

partie C

▶ 1. Déterminer les variations d'une suite E2a

Pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{array}{l} \frac{u_{n + 1}}{v_{n + 1}} - \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{3 \times 2^{n + 1} + (n + 1) - 2}{2^{n + 1}} - \frac{3 \times 2^{n} + n - 2}{2^{n}} \\ = \frac{(3 \times 2^{n + 1} + n - 1) - (3 \times 2^{n} + n - 2) \times 2}{2^{n + 1}} \\ = \frac{n - 1 - 2 n + 4}{2^{n + 1}} = \frac{- n + 3}{2^{n + 1}} . \end{array}$

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on a 2n+1 > 0 et – n + 3 ≤ 0. Par suite, pour tout entier naturel $n \geq 3,$ la différence $\frac{u_{n + 1}}{v_{n + 1}} - \frac{u_{n}}{v_{n}}$ est négative ce qui est équivalent à $\frac{u_{n + 1}}{v_{n + 1}} \leq \frac{u_{n}}{v_{n}} .$

La suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ est donc décroissante à partir de l'indice 3.

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite E2c • E2d

On a, pour tout entier naturel n :

$\frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{3 \times 2^{n} + n - 2}{2^{n}} = \frac{3 \times 2^{n}}{2^{n}} + \frac{n}{2^{n}} - \frac{2}{2^{n}} = 3 + \frac{n}{2^{n}} - \frac{1}{2^{n - 1}} .$

À partir de l'indice 4, d'après l'énoncé, on a : $0 \frac{n}{2^{n}}\leq\frac{1}{n}.$

Comme $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ , on a, par le théorème des gendarmes : $\lim_{n \to + \infty} \frac{n}{2^{n}} = 0 .$ De plus, $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2^{n - 1}} = 0$ . Par somme et différence, on en conclut que : $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 3$ .

Exercice 4

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie A : Conjectures

▶ 1. Déterminer des formules pour les cellules d'un tableur

Pour tout entier naturel $n$ , nous avons la relation $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3 v_{n}$ . Le contenu de la cellule B3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+3*C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

Pour tout entier naturel $n$ , nous avons la relation $v_{n + 1} = 2 u_{n} + v_{n}$ . Le contenu de la cellule C3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

▶ 2. Émettre une conjecture sur la valeur d'un PGCD

Pour chaque rang $n$ affiché dans la feuille de tableur, les termes $u_{n}$ et $v_{n}$ affichés semblent être premiers entre eux. On peut donc conjecturer que $PGCD (u_{n} v_{n}) = 1$ .

▶ 3. Étudier une conjecture sur la limite d'une suite

$\frac{u_{10}}{v_{10}} = \frac{1 258 291}{838 861} \approx 1,499 999 403 95$

$\frac{u_{11}}{v_{11}} = \frac{5 033 165}{3 355 443} \approx 1,500 000 149 01$

$\frac{u_{12}}{v_{12}} = \frac{20 132 659}{13 421 773} \approx 1,499 999 962 75$

$\frac{u_{13}}{v_{13}} = \frac{80 530 637}{53 687 091} \approx 1,500 000 009 31$

La conjecture de Flore semble cohérente. La suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ semble converger vers 1,5.

partie B : Étude arithmétique

▶ 1. Démontrer une égalité par récurrence E1

Soit $P (n)$ la propriété : $2 u_{n} - 3 v_{n} = {(- 1)}^{n + 1}$ .

Initialisation : $2 u_{0} - 3 v_{0} = 2 \times 1 - 3 \times 1 = - 1 = {(- 1)}^{0 + 1}$ donc $P (0)$ est vérifiée.

Hérédité : on suppose que $P (k)$ est vraie pour un entier naturel $k$ :

$2 u_{k} - 3 v_{k} = {(- 1)}^{k + 1}$ (hypothèse de récurrence).

On démontre alors que $P (k + 1)$ est aussi vérifiée :

$\begin{matrix} 2 u_{k + 1} - 3 v_{k + 1} = 2 \times (2 u_{k} + 3 v_{k}) - 3 \times (2 u_{k} + v_{k}) \\ = - 2 u_{k} + 3 v_{k} \\ = \underset{hypothèse de récurrence}{\underset{︸}{- (2 u_{k} - 3 v_{k}) = - {(- 1)}^{k + 1}}} = (^{- 1) k + 2} . \end{matrix}$

Conclusion : la propriété $P (n)$ étant initialisée et héréditaire, elle est vraie : pour tout entier naturel $n$ , $2 u_{n} - 3 v_{n} = {(- 1)}^{n + 1}$ .

▶ 2. Déterminer la valeur d'un PGCD

Notez bien

Soit $a$ , $b$ et $c$ des entiers relatifs avec $c \neq 0$ . Si $c$ divise $a$ et $b$ , alors $c$ divise $a u + b v$ où $u$ et $v$ sont des entiers relatifs.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ : $2 u_{n} - 3 v_{n} = {(- 1)}^{n + 1}$ . Les termes des suites $(u_{n})$ et $(u_{n})$ sont des entiers naturels d'après l'énoncé par conséquent, puisque $PGCD (u_{n} v_{n})$ divise $u_{n}$ et $v_{n}$ , il divise $2 u_{n} - 3 v_{n}$ et donc ${(- 1)}^{n + 1}$ .

On en déduit que, pour tout entier naturel n, $PGCD (u_{n} v_{n}) = 1$ .

partie C : Étude matricielle

▶ 1. a) Identifier l'inverse d'une matrice C5a • C5b

Gagnez des points !

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.

$\begin{matrix} \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \times P = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 \times 1 + (- 3) \times (- 1) & 2 \times 3 + (- 3) \times 2 \\ 1 \times 1 + 1 \times (- 1) & 1 \times 3 + 1 \times 2 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}$

Par conséquent, $P$ est inversible et $P^{- 1} = \frac{1}{5} (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ .

b) Déterminer les formules explicites de deux suites C5a • C5b

Gagnez des points !

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.

$\begin{matrix} P^{- 1} \times X_{0} = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 \times 1 + (- 3) \times 1 \\ 1 \times 1 + 1 \times 1 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 / 5 \\ 2 / 5 \end{matrix}) . \end{matrix}$

Pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{matrix} X_{n} = Q_{n} P^{- 1} X_{0} = (\begin{matrix} {(- 1)}^{n} & 3 \times 2^{2 n} \\ {(- 1)}^{n + 1} & 2^{2 n + 1} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 / 5 \\ 2 / 5 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} \frac{{(- 1)}^{n} \times (- 1) + 3 \times 2^{2 n} \times 2}{5} \\ \frac{{(- 1)}^{n + 1} \times (- 1) + 2^{2 n + 1} \times 2}{5} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5} \\ \frac{{(- 1)}^{n} \times {(- 1)}^{2} + 2^{2 n + 2}}{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5} \\ \frac{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}}{5} \end{matrix}) . \end{matrix}$

Or $X_{n} = (\begin{matrix} u_{n} \\ v_{n} \end{matrix})$ . Finalement, par identification, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5}$ et $v_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}}{5} .$

▶ 2. a) Vérifier une égalité

Pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{matrix} \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{\frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5}}{\frac{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}}{5}} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}} \\ = \frac{2^{2 n + 1} \times [\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} + 3]}{2^{2 n + 1} \times [\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} + 2]} = \frac{\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} + 3}{\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} + 2} . \end{matrix}$

b) Déterminer la limite d'une suite E2c • E4d

Notez bien

Si $- 1 q1$ , alors $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ .

On reprend l'expression de $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ de la question précédente.

Pour tout entier naturel $n$ , $\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{n + 1}} \times \frac{1}{2^{n}} = {(- \frac{1}{2})}^{n + 1} \times {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Or $- 1 -\frac{1}{2}1$ et $- 1 \frac{1}{2}1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {(- \frac{1}{2})}^{n + 1} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = 0$ .

Par produit et somme, $\lim_{n \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} + 3 = 3$ .

Pour tout entier naturel $n$ , $\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} = \frac{{(- 1)}^{n} \times {(- 1)}^{2}}{2^{2 n + 1}} = - \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}}$ . Par conséquent, à l'aide du point précédent, nous obtenons, par produit et somme, $\lim_{n \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} + 2 = 2$ .

Finalement, par quotient, $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{3}{2} = 1,5$ .

La limite de $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ est 1,5.

Exercice 5

Commun à tous les candidats

▶ Construire la section d'un cube par un plan E24c • E29 • E33c

Intersection du plan et du plan (ABC)

Soit M un point de coordonnées $(x y z)$ dans le repère $(A \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ .

Le point M appartient au plan (ABC) si et seulement si sa cote $z$ est égale à zéro.

Le point M appartient au plan si et seulement si ses coordonnées vérifient $x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} z - 1 = 0 .$

Ainsi, M appartient aux plans et (ABC) si et seulement si :

${\begin{cases} z = 0 \\ x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} z = 0 \\ x + \frac{1}{2} y - 1 = 0 . \end{cases}$

Remarque

Cela démontre implicitement que les plans et (ABC) sont sécants. Leur intersection est une droite.

Comme $1 + \frac{1}{2} \times 0 - 1 = 0,$ alors le point de coordonnées $(1 0 0)$ appartient aux deux plans. Ce point n'est rien d'autre que le point B $(\vec{AB} = 1 \times \vec{AB} + 0 \times \vec{AD} + 0 \times \vec{AE})$ .

Comme $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times 1 - 1 = 0$ , alors le point de coordonnées $(\frac{1}{2} 1 0)$ appartient également aux deux plans. Ce point que nous nommerons I est le milieu du segment [CD]. En effet, $\vec{AI} = \frac{1}{2} \times \vec{AB} + \vec{AD} + 0 \times \vec{AE}$ .

L'intersection des plans et (ABC) est donc la droite (BI). Ainsi, l'intersection du plan et de la face ABCD est le segment [BI].

Intersection du plan et du plan (EFG)

Notez bien

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan coupe le plan (ABC) suivant la droite (BI). Par conséquent, le plan coupe le plan (EFG) suivant une droite qui est parallèle à la droite (BI).

Or, le point que nous noterons J de coordonnées $(\frac{2}{3} 0 1)$ appartient aux plans (EFG) (car $z = 1$ ) et $(car \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times 0 - \frac{2}{3} = 0)$ . L'intersection des plans et (EFG) est donc la droite parallèle à la droite (BI) passant par J. Cette droite coupe le segment [GH] en un point que nous noterons K. Ainsi, le plan et la face EFGH du cube sont sécants : leur intersection est le segment [JK].

Conclusion

Le point B appartient clairement au plan (ABF). Le point J appartient au segment [EF] et donc également au plan (ABF). Or, par les deux points précédents, ces deux points B et J appartiennent aussi au plan . Par suite, l'intersection des plans (ABF) et est la droite (BJ). Le plan et la face EFBA du cube sont sécants : leur intersection est le segment [BJ].

De même, les points I et K appartiennent à la fois au plan et au plan (DCG). Par suite, l'intersection des plans (DCG) et est la droite (IK). Le plan et la face DCGH du cube sont sécants : leur intersection est le segment [IK].

− La section du cube par le plan est ainsi le quadrilatère BIKJ.

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Sujet complet de Pondichéry 2017

Exercice 1 (5 points) • ⏱ 1 h Fabrication de tablettes de chocolat

Partie A

Partie B

Partie C

Exercice 2 (3 points) • ⏱ 30 min À la recherche d'un triangle rectangle

Exercice 3 (4 points) • ⏱ 45 min Sous la montagne

Partie A : Étude de la fonction f

Partie B : Aire de la zone de creusement

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h Étude de deux suites

Partie A : Conjectures

Partie B : Étude de la suite (un)

Partie C : Étude de la suite (unvn)

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h Liens entre deux suites

Partie A : Conjectures

Partie B : Étude arithmétique

Partie C : Étude matricielle

Exercice 5 (3 points) • ⏱ 45 min Section d'un cube par un plan

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

Partie B

Partie C

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

Partie B

Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

Partie B

Partie C

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie C

Exercice 5 (Commun à tous les candidats)

Exercice 1

partie A

▶ 1. Déterminer une probabilité E34 • E35 • E37

▶ 2. Résoudre une équation E34

partie B

> 1. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle E41c

▶ 2. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E34 • E40a • E40c

▶ 3. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E42

partie C

▶ 1. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale C3 • E34

▶ 2. Déterminer un paramètre dans le cadre d'une loi normale E40d • E40e • E41d

▶ 3. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation E43

Exercice 2

▶ 1. a) Justifier l'existence de solutions pour une équation E23

b) Déterminer les solutions d'une équation du second degré E23

▶ 2. Démontrer qu'un triangle est isocèle E17c

▶ 3. Déterminer un réel pour qu'un triangle soit rectangle E18 • E22

Exercice 3

partie A

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction E9d • E9e

▶ 2. Déterminer le signe d'une fonction via le tableau de variation E9a

partie B

▶ 1. Analyser la nature d'une courbe E9d • E9e

▶ 2. Établir une formule pour un calcul d'aire E7a • E9d • E14

▶ 3. a) Dérouler un algorithme

b) Déterminer une valeur approchée d'une aire

Exercice 4

partie A

▶ 1. Calculer des termes d'une suite à l'aide d'un tableur

▶ 2. Conjecturer des limites E2e

partie B

▶ 1. Démontrer une propriété par récurrence E1

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite E2c • E4b • E4d

▶ 3. Déterminer le rang d'un terme vérifiant une contrainte E2a

partie C

▶ 1. Déterminer les variations d'une suite E2a

▶ 2. Déterminer la limite d'une suite E2c • E2d

Exercice 4

partie A : Conjectures

▶ 1. Déterminer des formules pour les cellules d'un tableur

▶ 2. Émettre une conjecture sur la valeur d'un PGCD

▶ 3. Étudier une conjecture sur la limite d'une suite

partie B : Étude arithmétique

▶ 1. Démontrer une égalité par récurrence E1

▶ 2. Déterminer la valeur d'un PGCD

partie C : Étude matricielle

▶ 1. a) Identifier l'inverse d'une matrice C5a • C5b

Exercice 1 (5 points) • ⏱ 1 h Fabrication de tablettes de chocolat

Exercice 2 (3 points) • ⏱ 30 min À la recherche d'un triangle rectangle

Exercice 3 (4 points) • ⏱ 45 min Sous la montagne

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h Étude de deux suites

Partie C : Étude de la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h Liens entre deux suites

Exercice 5 (3 points) • ⏱ 45 min Section d'un cube par un plan

▶ 2. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle   E34 • E40a • E40c

▶ 2. Déterminer un paramètre dans le cadre d'une loi normale   E40d • E40e • E41d

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