Sujet complet de Pondichéry 2017
Exercice 2 – Nombres complexes
Exercice 3 – Logarithme népérien • Calcul intégral • Algorithme
Exercice 4 – Suites numériques • Tableur
Exercice 4 (spécialité) – Suites • Matrices • Arithmétique
Exercice 5 – Géométrie dans l'espace
Exercice 1 (5 points) • ⏱ 1 h
Fabrication de tablettes de chocolat
La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.
Partie A
La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :
la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98
la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.
À la fin d'une journée, on prélève au hasard une tablette et on note :
A l'évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A »
C l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».
On note x la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.
▶ 2. À l'issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
Partie B
▶ 2. Calculer P(Z > 2).
▶ 3. Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?
Partie C
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?
Exercice 2 (3 points) • ⏱ 30 min
À la recherche d'un triangle rectangle
b) Justifier que les solutions de (E) sont et .
Exercice 3 (4 points) • ⏱ 45 min
Sous la montagne
Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe C.
f(x) = ln(− 2x2 + 13,5).
L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.
Partie A : Étude de la fonction f
▶ 2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5 2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5 2,5].
Partie B : Aire de la zone de creusement
▶ 2. Justifier que l'aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est .
▶ 3. L'algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de , notée a.
Variables | R et S sont des réels n et k sont des entiers | ||
Traitement | S prend la valeur 0 Demander la valeur de n Pour k variant de 1 à n faire | ||
R prend la valeur S prend la valeur S + R | |||
Fin Pour | |||
Sortie | Afficher S |
a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour n = 50.
Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
Initialisation | S = 0 n = 50 | ||
Boucle Pour | Étape k | R | S |
1 | ......... | ......... | |
2 | 0,130 060 | 0,260 176 | |
3 | 0,129 968 | 0,390 144 | |
4 | 0,129 837 | ......... | |
|
| ||
24 | 0,118 137 | 3,025 705 | |
25 | 0,116 970 | 3,142 675 | |
|
| ||
49 | 0,020 106 | 5,197 538 | |
50 | ......... | ......... | |
Affichage | S = ......... |
Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h
Étude de deux suites
la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n :
un+1 = 2un − n + 3
la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 2n.
Partie A : Conjectures
▶ 2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Florent obtient les résultats suivants :
Partie B : Étude de la suite (un)
.
▶ 3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
Partie C : Étude de la suite
▶ 2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : . Déterminer la limite de la suite .
Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h
Liens entre deux suites
On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.
Partie A : Conjectures
Une copie d'écran est donnée ci-dessous.
Partie B : Étude arithmétique
▶ 2. Soit n un entier naturel.
Partie C : Étude matricielle
la matrice colonne ,
les matrices carrées et .
Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :
Exercice 5 (3 points) • ⏱ 45 min
Section d'un cube par un plan
L'espace est rapporté au repère .
On note P le plan d'équation .
Construire, sur la figure ci-après, la section du cube par le plan P.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Partie A
Partie B
Partie C
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Partie A
Partie B
Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Partie A
Partie B
Partie C
▶ 2. Pensez au théorème des gendarmes.
Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Partie C
Exercice 5 (Commun à tous les candidats)
Exercice 1
partie A
▶ 1. Déterminer une probabilité E34 • E35 • E37
.
Deux événements A et B sont incompatibles si aucune issue ne réalise à la fois l'événement A et l'événement B.
Il en découle que :
On a donc P(C) = 0,03x + 0,95.
▶ 2. Résoudre une équation E34
Or,
La probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A est donc égale à un tiers. L'événement B étant l'événement contraire de l'événement A, on a :
La probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne B est donc égale à deux fois celle que la tablette provienne de la chaîne A.
partie B
> 1. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle E41c
Le paramètre λ de la loi exponentielle est donc égal à 0,2.
▶ 2. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
E34 • E40a • E40c
Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre est : .
La probabilité P(Z > 2) est ainsi égale à e–0,4.
▶ 3. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E42
La loi exponentielle étant une loi continue, on a Ainsi, d'après la question précédente, on conclut que, sachant que la machine a déjà fonctionné pendant trois ans, la probabilité que sa durée de vie dépasse cinq ans est e–0,4.
partie C
▶ 1. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale C3 • E34
Calcul de avec Syntaxe pour la TI 83 + : normalFRép
Syntaxe pour la Casio Graph 75 : NormCD
TI 83 + | Casio Graph 75 |
| |
Ce résultat était prévisible en constatant que :
Cet événement est, par suite, l'événement contraire de l'événement et sa probabilité est
La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage est ainsi égale à 0,317.
▶ 2. Déterminer un paramètre dans le cadre d'une loi normale
E40d • E40e • E41d
la variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
On doit donc résoudre l'équation d'inconnue : qui est équivalente à .
La variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, on sait que : et . La solution est donc à chercher dans l'intervalle [1 2]. À l'aide de la calculatrice, on a :
TI 83 + | Casio Graph 75 |
| |
Une valeur approchée au centième du réel a tel que P(85 – a ≤ X ≤ 85 + a) = 0,9 est 3,28.
▶ 3. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation E43
La fréquence de tablettes qui répondent au critère dans l'échantillon est égale à
Comme f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l'affirmation de la chocolaterie.
Exercice 2
▶ 1. a) Justifier l'existence de solutions pour une équation E23
. D'après l'énoncé, par conséquent et . Nous avons donc . L'équation (E) admet donc deux solutions complexes conjuguées non réelles.
b) Déterminer les solutions d'une équation du second degré E23
et .
▶ 2. Démontrer qu'un triangle est isocèle E17c
▶ 3. Déterminer un réel pour qu'un triangle soit rectangle E18 • E22
Le triangle OAB est donc rectangle si et seulement si c = 18.
Exercice 3
partie A
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction E9d • E9e
est une fonction polynôme donc est dérivable sur .
Par conséquent, pour tout , .
La fonction est donc strictement positive sur J.
Il découle des deux points ci-dessus que la fonction f = ln(u) est dérivable sur J.
Pour tout , .
▶ 2. Déterminer le signe d'une fonction via le tableau de variation E9a
Nous obtenons donc le tableau de variation suivant :
D'après ce tableau de variation, nous pouvons dire que, pour tout , .
partie B
▶ 1. Analyser la nature d'une courbe E9d • E9e
Soit B le point d'intersection de la courbe C avec l'axe des ordonnées. D'après le tableau de variation, les coordonnées de B sont (0 ln(13,5)) et OB = ln(13,5) .
Nous constatons que donc la courbe C n'est pas un arc de cercle de centre O.
▶ 2. Établir une formule pour un calcul d'aire E7a • E9d • E14
D'après la question 2. de la partie A, est positive sur .
L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d'équations et est l'aire de la zone de creusement. Elle est donnée par :
A = u.a.
D'après l'énoncé, la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. Par conséquent, A = u.a.
Le repère étant un repère orthonormé d'unité 2 m, nous avons donc 1 u.a. = 4 m2.
L'aire de la zone de creusement, en mètres carrés, est donnée par :
.
▶ 3. a) Dérouler un algorithme
Pour :
Pour : reçoit donc
Pour :
Affichage :
b) Déterminer une valeur approchée d'une aire
D'après la question précédente, une valeur approchée par défaut de est . D'après l'énoncé : et . Donc :
Comme A = , on en déduit qu'une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement est 42 m2.
Exercice 4
partie A
▶ 1. Calculer des termes d'une suite à l'aide d'un tableur
Pour calculer un terme de la suite il est nécessaire uniquement de connaître son rang (colonne A). Dans la cellule C3 est affiché le terme qui est égal à Le rang 1 est stocké dans la cellule A3. Par suite, on peut saisir dans la cellule C3 la formule « ».
▶ 2. Conjecturer des limites E2e
On a : Le rapport semble se rapprocher de la valeur 3 quand le rang augmente.
Ainsi, la limite de la suite serait 3.
partie B
▶ 1. Démontrer une propriété par récurrence E1
Démontrons par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel
Initialisation : pour et . Donc est vraie. La propriété est ainsi initialisée.
Hérédité : supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel donné : .
Démontrons que la propriété est vraie. Nous avons :
La propriété est donc vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel n,
▶ 2. Déterminer la limite d'une suite E2c • E4b • E4d
Cette démarche est possible car la limite de la suite (un) est (question B 2.) et la suite (un) est strictement croissante. En effet, par la question B 1., on a, pour tout entier naturel n :
▶ 3. Déterminer le rang d'un terme vérifiant une contrainte E2a
pour n = 18 :
u18 = 3 × 218 + 18 – 2 = 786 448
u18
pour n = 19 :
u19 = 3 × 219 + 19 – 2 = 1 572 881
u19 > 1 000 000
Le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million est 19.
partie C
▶ 1. Déterminer les variations d'une suite E2a
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a 2n+1 > 0 et – n + 3 ≤ 0. Par suite, pour tout entier naturel la différence est négative ce qui est équivalent à
La suite est donc décroissante à partir de l'indice 3.
▶ 2. Déterminer la limite d'une suite E2c • E2d
À partir de l'indice 4, d'après l'énoncé, on a :
Comme , on a, par le théorème des gendarmes : De plus, . Par somme et différence, on en conclut que : .
Exercice 4
partie A : Conjectures
▶ 1. Déterminer des formules pour les cellules d'un tableur
Pour tout entier naturel , nous avons la relation . Le contenu de la cellule C3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.
▶ 2. Émettre une conjecture sur la valeur d'un PGCD
▶ 3. Étudier une conjecture sur la limite d'une suite
La conjecture de Flore semble cohérente. La suite semble converger vers 1,5.
partie B : Étude arithmétique
▶ 1. Démontrer une égalité par récurrence E1
Initialisation : donc est vérifiée.
Hérédité : on suppose que est vraie pour un entier naturel :
(hypothèse de récurrence).
On démontre alors que est aussi vérifiée :
Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, elle est vraie : pour tout entier naturel , .
▶ 2. Déterminer la valeur d'un PGCD
Soit , et des entiers relatifs avec . Si divise et , alors divise où et sont des entiers relatifs.
On en déduit que, pour tout entier naturel n, .
partie C : Étude matricielle
▶ 1. a) Identifier l'inverse d'une matrice C5a • C5b
Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.
Par conséquent, est inversible et .
b) Déterminer les formules explicites de deux suites C5a • C5b
Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.
Pour tout entier naturel :
Or . Finalement, par identification, pour tout entier naturel , et
▶ 2. a) Vérifier une égalité
b) Déterminer la limite d'une suite E2c • E4d
Si , alors .
Pour tout entier naturel , .
Or et donc et .
Par produit et somme, .
Pour tout entier naturel , . Par conséquent, à l'aide du point précédent, nous obtenons, par produit et somme, .
Finalement, par quotient, .
La limite de est 1,5.
Exercice 5
▶ Construire la section d'un cube par un plan E24c • E29 • E33c
Soit M un point de coordonnées dans le repère .
Le point M appartient au plan (ABC) si et seulement si sa cote est égale à zéro.
Le point M appartient au plan si et seulement si ses coordonnées vérifient
Ainsi, M appartient aux plans et (ABC) si et seulement si :
Cela démontre implicitement que les plans et (ABC) sont sécants. Leur intersection est une droite.
Comme , alors le point de coordonnées appartient également aux deux plans. Ce point que nous nommerons I est le milieu du segment [CD]. En effet, .
L'intersection des plans et (ABC) est donc la droite (BI). Ainsi, l'intersection du plan et de la face ABCD est le segment [BI].
Intersection du plan et du plan (EFG)
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Or, le point que nous noterons J de coordonnées appartient aux plans (EFG) (car ) et . L'intersection des plans et (EFG) est donc la droite parallèle à la droite (BI) passant par J. Cette droite coupe le segment [GH] en un point que nous noterons K. Ainsi, le plan et la face EFGH du cube sont sécants : leur intersection est le segment [JK].
Conclusion
Le point B appartient clairement au plan (ABF). Le point J appartient au segment [EF] et donc également au plan (ABF). Or, par les deux points précédents, ces deux points B et J appartiennent aussi au plan . Par suite, l'intersection des plans (ABF) et est la droite (BJ). Le plan et la face EFBA du cube sont sécants : leur intersection est le segment [BJ].
De même, les points I et K appartiennent à la fois au plan et au plan (DCG). Par suite, l'intersection des plans (DCG) et est la droite (IK). Le plan et la face DCGH du cube sont sécants : leur intersection est le segment [IK].
− La section du cube par le plan est ainsi le quadrilatère BIKJ.