Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

▶ 1. Déterminer par lecture graphique le nombre de solutions d’une équation

Les solutions de l’équation f′(x)=0 sont les abscisses des points de  où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. La courbe possède deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses (en rouge sur le graphique ci-après), donc l’équation f′(x)=0 a deux solutions.

La bonne réponse est b).

▶ 2. Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique

f′(7) est le coefficient directeur de la tangente à au point d’abscisse 7 (tracée en bleu sur le graphique ci-après). Donc f′(7)<0.

La bonne réponse est c).

Graphique pour les questions 1. et 2.

▶ 3. Déterminer par lecture graphique le sens de variation de la dérivée d’une fonction

Par lecture graphique :

f′(4)>0 et f′(7)<0.

Donc f′(4)>f′(7).

On en déduit que f′ n’est pas croissante sur [4 ; 7], donc pas non plus sur ]0 ; 10]. On peut donc éliminer les réponses a) et b).

De plus, sur l’intervalle [4 ; 7], les tangentes à semblent avoir des coefficients directeurs de plus en plus petits (d’abord positifs, puis négatifs), ce qui signifie que f′ est décroissante sur [4 ; 7].

La bonne réponse est c).

▶ 4. Déterminer l’abscisse d’un point d’inflexion

La fonction f est deux fois dérivable sur ]0 ; 10]. Pour tout x appartenant à cet intervalle :

f″(x)=1x−12.

Donc f″(x)=0 ⇔x=2.

D’autre part :

si 0 < x < 2, alors 1x>12, donc f″(x)>0 ;

si 2 < x ≤ 10, alors 1x<12, donc f″(x)<0.

Donc f″ s’annule et change de signe en 2. On en déduit que la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse 2.

La bonne réponse est c).

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie a

▶ 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé, P(A)=0,34 (34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes), PA(B¯)=0,05 (parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans) et PA¯(B)=0,84 (parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 % ont moins de 60 ans), d’où l’arbre suivant.

▶ 2. a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

L’événement « la personne choisie a terminé le marathon en moins de 234 minutes et est âgée de plus de 60 ans » est A∩B¯.

D’après l’arbre ci-dessus P(A∩B¯)=0,34×0,05=0,017.

La probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans est 0,017.

b) Calculer la probabilité d’un événement

Puisque A et A¯ forment une partition de l’univers :

P(B¯)=P(A∩B¯)+P(A¯∩B¯).

D’après l’arbre :

P(B¯)=0,34×0,05+0,66×0,16=0,1226.

Donc à 10−3 près : P(B¯)≈0,123

c) Calculer une probabilité conditionnelle

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle :

PB¯(A)=P(A∩B¯)P(B¯)=0,34×0,050,1226

À 10−3 près : PB¯(A)≈0,139

Cela signifie que la probabilité qu’un coureur termine le marathon en moins de 234 minutes sachant qu’il a plus de 60 ans est environ 0,139, ou encore qu’environ 13,9 % des plus de 60 ans ont terminé le marathon en moins de 234 minutes.

partie b

▶ 1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la calculatrice, à 10−3 près :

P(210≤T≤270)≈0,543

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’un coureur choisi au hasard parmi ceux qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon ait terminé la course en moins de 240 minutes est :

P{210≤T≤270}(T≤240)=P(210≤T≤270 et T≤240)P(210≤T≤270)

D’où :

P{210≤T≤270}(T≤240)=P(210≤T≤240)P(210≤T≤270)

Or, d’après la calculatrice :

P(210≤T≤240)≈0,246 et P(210≤T≤270)≈0,543.

Donc :

P{210≤T≤270}(T≤240)≈0,453.

La probabilité qu’un coureur choisi au hasard parmi ceux qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon ait terminé la course en moins de 240 minutes est environ 0,453.

▶ 3. a) Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

P(T≤300)=0,5+P(250≤T≤300).

D’après la calculatrice :

P(T≤300)≈0,9.

b) Estimer un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

P(T≥t)=0,9 équivaut à P(T<t)=0,1.

D’après la calculatrice, en utilisant la fonction InvNorm ou FracNormale, en arrondissant à l’unité :

t=200

c) Interpréter un résultat associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la question précédente, P(T≥200)=0,9.

Donc 90 % des coureurs ont terminé le marathon en plus de 200 minutes.

Exercice 3

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

▶ 1. Calculer deux termes d’une suite

u1 = 0,8 × 150 + 45 = 165 et u2 = 0,8 × 165 + 45 = 177, d’où :

u1=165 ;u2=177

▶ 2. a) Reconnaître un algorithme affichant un résultat attendu

Pour calculer le plus petit entier naturel n tel que un ≥ 220, l’algorithme doit calculer les termes successifs de la suite (un) tant que ces termes sont inférieurs à 220, et s’arrêter au premier terme qui atteint ou dépasse ce nombre.

Or l’algorithme 1 effectue le calcul tant que U est supérieur ou égal à 220 ; la valeur initiale de U étant 150, l’algorithme n’effectue aucun calcul, lors de son exécution on n’entre pas dans la boucle « Tant que ».

L’algorithme qui permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturel n tel que un≥220 est l’algorithme 2.

b) Donner la valeur numérique affichée par un algorithme

Si on fait fonctionner l’algorithme précédent, la valeur obtenue en sortie est 13.

On peut vérifier en calculant une valeur approchée des premiers termes de la suite (un) :

u12 ≈ 219,846 et u13 ≈ 220,877.

La valeur numérique affichée par l’algorithme 2 est donc 13.

13 est l’indice du premier terme de la suite dont la valeur atteint ou dépasse 220.

▶ 3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 225

vn+1 = 0,8 un + 45 - 225

vn+1 = 0,8 un - 180

vn+1=0,8 (vn+225)−180

vn+1 = 0,8 vn.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,8.

Son premier terme est v0=u0−225=−75.

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel, vn=−75×0,8n et un = vn + 225.

Donc pour tout entier naturel n :

un=225−75×0,8n

▶ 4. Déterminer si une valeur est atteinte ou non par les termes d’une suite

Soit un le nombre de participants à la course l’année 2015 + n.

u0 = 150 (il y avait 150 participants en 2015) et, pour tout entier naturel n :

un+1 = un - 0,2 un + 45 = 0,8 un + 45.

D’après les questions précédentes, pour tout entier naturel n :

un=225−75×0,8n.

Donc un < 225, donc un < 250.

Le nombre de participants reste toujours strictement inférieur à 250.

Donc les organisateurs n’auront pas à refuser des inscriptions dans les années à venir.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

▶ 1. a) Déterminer s’il existe sur un graphe un trajet empruntant une fois et une seule chaque arête

Le graphe est connexe : en effet, la chaîne A – C – B – N – W – M par exemple permet de relier deux sommets quelconques du graphe.

On étudie le degré de chacun des sommets, on résume les résultats dans un tableau :

Le graphe est connexe et possède exactement deux sommets, M et N, de degré impair. D’après le théorème d’Euler, il existe une chaîne eulérienne, c’est-à-dire un trajet empruntant une fois et une seule chaque arête, d’extrémités M et N.

b) Donner un exemple de trajet sur un graphe empruntant une fois et une seule chaque arête

D’après la question précédente, un trajet empruntant une fois et une seule chaque liaison aérienne a nécessairement comme extrémités Miami et New York.

Un exemple de tel trajet est M – C – B – N – W – C – A – W – M – N.

▶ 2. Déterminer sur un graphe un trajet de coût minimal

Pour déterminer le trajet le moins cher de Boston à Miami, on utilise l’algorithme de Dijkstra, qui peut être résumé par le tableau suivant :

Le trajet le moins cher de Boston à Miami est donc B – C – M, c’est-à-dire Boston – Chicago – Miami, son coût est 280 $.

▶ 3. a) Déterminer la matrice d’adjacence d’un graphe

La matrice d’adjacence du graphe précédent est :

P=(001001001010110101001011010101101110)

b) Déterminer les trajets formés d’un nombre donné d’arêtes

Il n’existe aucune liaison aérienne directe entre Atlanta et Boston.

On calcule P2 et P3 :

P2=(211211120202104132221312103131122214) et P3=(226346207263674939329477463728639786).

En considérant dans chacune de ces deux matrices le coefficient situé à l’intersection de la première ligne (pour Atlanta) et de la deuxième colonne (pour Boston), on voit qu’il existe, d’Atlanta à Boston, un trajet utilisant deux liaisons aériennes (d’après la matrice P2) et deux trajets utilisant trois liaisons aériennes (d’après la matrice P3). Ces trajets sont :

A – C – B (Atlanta – Chicago – Boston),

A – W – C – B (Atlanta – Washington – Chicago – Boston),

A – W – N – B (Atlanta – Washington – New York – Boston).

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

▶ 1. Donner par lecture graphique un encadrement des deux solutions d’une équation

Il existe sur la courbe deux points d’ordonnée 10, d’abscisses respectives α et β.

Par lecture graphique, l’équation f(x)=10 possède dans [0 ; 7] deux solutions α et β :

0<α<1et2<β<3

▶ 2. Donner par lecture graphique le maximum d’une fonction sur un intervalle

Par lecture graphique, le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ;7] est égal à 14,8 environ, et il est atteint en x=1.

▶ 3. Donner par lecture graphique un encadrement d’une intégrale

La fonction f est continue et positive sur l’intervalle [1 ; 3], donc l’intégrale ∫13f(x) dx est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 3. L’unité d’aire est l’aire du rectangle dont les sommets sont les points de coordonnées respectives (0 ;0), (1 ;0), (1 ;1), (0 ;1).

Par lecture graphique :

18≤∫13f(x) dx≤26

La bonne réponse est b).

partie b

▶ 1. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction f est définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7] ; pour tout x dans cet intervalle :

f′(x)=2 e−x+3−2x e−x+3

f′(x)=(−2x+2) e−x+3

▶ 2. a) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

Pour tout réel x, e−x+3>0 (la fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ), donc f′(x) a le signe de - 2x + 2, d’où le tableau :

b) Calculer le maximum d’une fonction sur un intervalle

D’après la question précédente, le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7] est :

f(1)=2 e2≈14,78

▶ 3. a) Justifier qu’une équation possède deux solutions sur un intervalle donné

La fonction f est continue et strictement monotone sur chacun des intervalles [0 ; 1] et [1 ; 7].

De plus, 0 < 10 < f(1) et 14 e−4<10<f(1) (car 14 e−4≈0,26).

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=10 admet une unique solution dans chacun des intervalles [0 ;1] et [1 ;7].

b) Donner une valeur approchée d’une solution d’une équation

β est la plus grande des deux solutions de l’équation f(x)=10, donc β ∈[1 ; 7] et f est strictement décroissante sur [1 ; 7].

D’après la calculatrice : f(2,16)≈10,0067 et f(2,17)≈9,953, donc :

2,16 < β < 2,17.

2,16 et 2,17 sont des valeurs approchées de βà 10−2 près.

▶ 4. a) Justifier qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

F est dérivable sur l’intervalle [0 ; 7] et, pour tout x dans cet intervalle :

F′(x)=−2 e−x+3+(−2x−2)×(−e−x+3)

F′(x)=2x e−x+3

F′(x)=f(x).

Donc f est une primitive de f sur l’intervalle [0 ;7].

b) Calculer une aire

D’après les questions précédentes, la fonction f est continue et positive sur l’intervalle [1 ; 7], donc l’aire cherchée est :

A=∫13f(x) dx

A=F(3)−F(1)

A=−8+4 e2

A=4 (e2−2)

▶ 5. a) Calculer la valeur moyenne du bénéfice d’une entreprise

Puisque f(x) représente le bénéfice en milliers d’euros réalisé pour la vente de x centaines d’objets, la valeur moyenne du bénéfice lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets est, en milliers d’euros :

13−1∫13f(x) dx = 2(e2−2).

En euros, la valeur moyenne de ce bénéfice est 2000(e2−2).

Donc la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets est 10 778 €.

b) Déterminer les productions permettant de réaliser un bénéfice minimal donné

Pour déterminer le nombre d’objets que l’entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 10 000 euros, on résout f(x)>10.

D’après les questions précédentes, cette inégalité équivaut à α < x < β.

x est le nombre de centaines d’objets fabriqués, donc, pour réaliser un bénéfice supérieur à 10 000 euros, l’entreprise doit vendre entre 36 et 216 objets.