Sujet complet de Pondichéry 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Pondichéry

Sujets complets

Pondichéry • Avril 2017

4

matT_1704_12_00C

Pondichéry • Avril 2017

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet de Pondichéry 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Dérivée • Point d’inflexion.

Exercice 2 – Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

Exercice 3 – Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Exercice 3 (spécialité) – Graphe pondéré • Plus court chemin.

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Intégrale, calcul d’aire.

Exercice 1 (4 points) • 35 min
QCM sur les fonctions (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chaque question, une réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; 10] dont la courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère d’origine O :

matT_1704_12_00C_01

On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

1. Le nombre de solutions sur l’intervalle ]0 ; 10] de l’équation f(x)=0 est égal à :

a) 1

b) 2

c) 3

2. Le nombre réel f(7) est :

a) nul

b) strictement positif

c) strictement négatif

3. La fonction f est :

a) croissante sur ]0 ; 10]

b) croissante sur [4 ; 7]

c) décroissante sur [4 ; 7]

4. On admet que pour tout x de l’intervalle ]0 ; 10], on a :

f(x)=lnxx2+1.

La courbe admet sur cet intervalle un point d’inflexion :

a) d’abscisse 2,1

b) d’abscisse 0,9

c) d’abscisse 2

Exercice 2 (5 points) 45 min
Temps pour finir un marathon et âge des coureurs

Commun à tous les candidats

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.

Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à wn=150×0,5n. près. Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes ;

parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans ;

parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 % ont moins de 60 ans.

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les événements suivants :

A : « le coureur a terminé le marathon en moins de 234 minutes » ;

B : « le coureur a moins de 60 ans ».

On rappelle que si E et F sont deux événements, la probabilité de l’événement E est notée P(E) et celle de E sachant F est notée PF(E). De plus, E¯ désigne l’événement contraire de E.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l’exercice : (1 point)

matT_1704_12_00C_02

2. a) Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans. (0,5 point)

b) Vérifier que P(B¯)0,123. (0,25 point)

c) Calculer PB¯(A) et interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice. (0,75 point)

partie b

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d’espérance μ = 250 et d’écart-type σ = 39.

1. Calculer P(210 T  270). (0,5 point)

2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.

Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de 240 minutes. (0,5 point)

3. a) Calculer P(T  300). (0,5 point)

b) Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel t, arrondi à l’unité, vérifiant P(Tt)=0,9. (0,5 point)

c) Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Étude d’une suite ; évolution du nombre de participants à une course

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Soit la suite (un) définie par u0 = 150 et pour tout entier naturel :

un+1 = 0,8 un + 45.

1. Calculer u1 et u2. (0,5 point)

2. Voici deux propositions d’algorithmes :

Variables

N est un entier naturel

U est un nombre réel

Initialisation

U prend la valeur 150

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que U  220

U prend la valeur 0,8 × U + 45

N prend la valeur N + 1

Fin Tant que

Sortie

Afficher N

Variables

N est un entier naturel

U est un nombre réel

Initialisation

U prend la valeur 150

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que U <220

U prend la valeur 0,8 × U + 45

N prend la valeur N + 1

Fin Tant que

Sortie

Afficher N

Algorithme 1 Algorithme 2

a) Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturel n tel que un  220. Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algorithme ne le permet pas. (1 point)

b) Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme choisi à la question précédente ? (0,5 point)

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un - 225.

a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison. (1 point)

b) En déduire que pour tout entier naturel n, un=22575×0,8n. (1 point)

4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150.

On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre :

20 % des participants ne reviennent pas l’année suivante ;

45 nouveaux participants s’inscrivent à la course.

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250. Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse. (1 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Liaisons aériennes entre six villes des États-Unis

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

matT_1704_12_00C_03

Alexis part en voyage dans l’Est des États-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes : Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-contre.

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

1. a) Quelles caractéristiques du graphe permettent d’affirmer qu’il existe un trajet qui permette à Alexis d’emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ? (1 point)

b) Donner un exemple d’un tel trajet. (0,5 point)

2. Alexis veut relier Boston à Miami.

En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher, ainsi que le coût de ce trajet. (1,5 point)

3. a) Donner la matrice d’adjacence P de ce graphe en classant les sommets dans l’ordre alphabétique. (0,5 point)

b) Alexis souhaite aller d’Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.

Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche, puis décrire chacun de ces trajets. (1,5 point)

Exercice 4 (6 points) 50 min
Calcul d’une aire et bénéfice d’une entreprise

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique suivant, qui présente dans un repère d’origine O la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7].

matT_1704_12_00C_04

1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation f(x)=10 sur l’intervalle [0 ; 7]. (0,5  point)

2. Donner le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7] et préciser la valeur en laquelle il est atteint. (0,5 point)

3. La valeur de l’intégrale 13f(x) dx appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ? (0,5 point)

a) [9 ; 17]

b) [18 ; 26]

c) [27 ; 35]

partie b

La courbe donnée ci-avant est la représentation graphique de la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7] d’expression f(x)=2x ex+3.

On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

1. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 7] :

f(x)=(2x+2)ex+3. (0,5 point)

2. a) Étudier le signe de f(x) sur l’intervalle [0 ; 7], puis en déduire le tableau de variation de la fonction f sur ce même intervalle. (0,5 point)

b) Calculer le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7]. (0,5 point)

3. a) Justifier que l’équation f(x)=10 admet deux solutions sur l’intervalle [0 ; 7] que l’on notera α et β avec α < β. (0,5 point)

b) On admet que α 0,36 à 102 près.

Donner une valeur approchée de β à 102 près. (0,5 point)

4. On considère la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 7] par :

F(x)=(2x2)ex+3.

a) Justifier que F est une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 7]. (0,5 point)

b) Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation x = 1, x = 3, l’axe des abscisses et la courbe . (0,5 point)

5. La fonction f étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de x centaines d’objets (x compris entre 0 et 7).

a) Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets. (0,5 point)

b) L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros.

Déterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif. (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

1. Si f(x)=0, alors la tangente à la courbe au point d’abscisse x est parallèle à l’axe des abscisses.

2. f(7) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 7.

4. Calculez la dérivée seconde de f.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. Traduisez en probabilités les pourcentages donnés.

2. a) On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

2. c) La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

2. a) L’algorithme doit calculer les termes successifs de la suite tant qu’ils ne remplissent pas la condition un  220.

3. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

3. b) Déterminez d’abord l’expression de vn en fonction de n.

4. b) Traduisez le problème par une inéquation et résolvez-la.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

1. a) Appliquez le théorème d’Euler.

2. Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

3. a) La matrice d’adjacence d’un graphe est une matrice carrée qui ne comporte que des 0 et des 1. Si, comme ici, le graphe n’est pas orienté, la matrice est symétrique.

3. b) Le nombre de trajets de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe est l’un des coefficients d’une puissance de la matrice d’adjacence.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie A

3. Interprétez l’intégrale comme une aire et utilisez le graphique.

Partie B

3. a) Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

4. b) Utilisez la primitive de f vue à la question précédente.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

1. Déterminer par lecture graphique le nombre de solutions d’une équation

Les solutions de l’équation f(x)=0 sont les abscisses des points de  où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. La courbe possède deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses (en rouge sur le graphique ci-après), donc l’équation f(x)=0 a deux solutions.

La bonne réponse est b).

2. Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique

f(7) est le coefficient directeur de la tangente à au point d’abscisse 7 (tracée en bleu sur le graphique ci-après). Donc f(7)<0.

La bonne réponse est c).

Graphique pour les questions 1. et 2.

matT_1704_12_00C_05

3. Déterminer par lecture graphique le sens de variation de la dérivée d’une fonction

Notez bien

Il ne faut pas confondre le sens de variation de f avec le sens de variation de f.

Par lecture graphique :

f(4)>0 et f(7)<0.

Donc f(4)>f(7).

On en déduit que f n’est pas croissante sur [4 ; 7], donc pas non plus sur ]0 ; 10]. On peut donc éliminer les réponses a) et b).

De plus, sur l’intervalle [4 ; 7], les tangentes à semblent avoir des coefficients directeurs de plus en plus petits (d’abord positifs, puis négatifs), ce qui signifie que f est décroissante sur [4 ; 7].

La bonne réponse est c).

4. Déterminer l’abscisse d’un point d’inflexion

La fonction f est deux fois dérivable sur ]0 ; 10]. Pour tout x appartenant à cet intervalle :

f(x)=1x12.

Donc f(x)= x=2.

D’autre part :

si 0 < x < 2, alors 1x>12, donc f(x)>0 ;

si 2 < x  10, alors 1x<12, donc f(x)<0.

Donc f s’annule et change de signe en 2. On en déduit que la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse 2.

La bonne réponse est c).

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie a

1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

Notez bien

Sur un arbre pondéré représentant une situation probabiliste, les branches « de premier niveau » portent des probabilités simples, celles « de second niveau » portent des probabilités conditionnelles.

D’après l’énoncé, P(A)=0,34 (34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes), PA(B¯)=0,05 (parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans) et PA¯(B)=0,84 (parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 % ont moins de 60 ans), d’où l’arbre suivant.

matT_1704_12_00C_06

2. a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

L’événement « la personne choisie a terminé le marathon en moins de 234 minutes et est âgée de plus de 60 ans » est AB¯.

D’après l’arbre ci-dessus P(AB¯)=0,34×0,05=0,017.

La probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans est 0,017.

b) Calculer la probabilité d’un événement

Notez bien

B¯ est l’événement « le coureur a plus de 60 ans ».

Puisque A et A¯ forment une partition de l’univers :

P(B¯)=P(AB¯)+P(A¯B¯).

D’après l’arbre :

P(B¯)=0,34×0,05+0,66×0,16=0,1226.

Donc à 103 près : P(B¯)0,123

c) Calculer une probabilité conditionnelle

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle :

PB¯(A)=P(AB¯)P(B¯)=0,34×0,050,1226

À 103 près : PB¯(A)0,139

Cela signifie que la probabilité qu’un coureur termine le marathon en moins de 234 minutes sachant qu’il a plus de 60 ans est environ 0,139, ou encore qu’environ 13,9 % des plus de 60 ans ont terminé le marathon en moins de 234 minutes.

partie b

1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la calculatrice, à 103 près :

P(210T270)0,543

2. Calculer une probabilité conditionnelle associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’un coureur choisi au hasard parmi ceux qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon ait terminé la course en moins de 240 minutes est :

P{210T270}(T240)=P(210T270 et T240)P(210T270)

D’où :

P{210T270}(T240)=P(210T240)P(210T270)

Or, d’après la calculatrice :

P(210T240)0,246 et P(210T270)0,543.

Donc :

P{210T270}(T240)0,453.

La probabilité qu’un coureur choisi au hasard parmi ceux qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon ait terminé la course en moins de 240 minutes est environ 0,453.

3. a) Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

T suit une loi normale d’espérance 250, donc P(T250)=P(T250)=0,5.

P(T300)=0,5+P(250T300).

D’après la calculatrice :

P(T300)0,9.

b) Estimer un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

P(Tt)=0,9 équivaut à P(T<t)=0,1.

D’après la calculatrice, en utilisant la fonction InvNorm ou FracNormale, en arrondissant à l’unité :

t=200

c) Interpréter un résultat associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la question précédente, P(T200)=0,9.

Donc 90 % des coureurs ont terminé le marathon en plus de 200 minutes.

Exercice 3

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

1. Calculer deux termes d’une suite

u1 = 0,8 × 150 + 45 = 165 et u2 = 0,8 × 165 + 45 = 177, d’où :

u1=165 ; u2=177

2. a) Reconnaître un algorithme affichant un résultat attendu

Pour calculer le plus petit entier naturel n tel que un  220, l’algorithme doit calculer les termes successifs de la suite (un) tant que ces termes sont inférieurs à 220, et s’arrêter au premier terme qui atteint ou dépasse ce nombre.

Or l’algorithme 1 effectue le calcul tant que U est supérieur ou égal à 220 ; la valeur initiale de U étant 150, l’algorithme n’effectue aucun calcul, lors de son exécution on n’entre pas dans la boucle « Tant que ».

L’algorithme qui permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturel n tel que un220 est l’algorithme 2.

b) Donner la valeur numérique affichée par un algorithme

Si on fait fonctionner l’algorithme précédent, la valeur obtenue en sortie est 13.

On peut vérifier en calculant une valeur approchée des premiers termes de la suite (un) :

u12 219,846 et u13 220,877.

La valeur numérique affichée par l’algorithme 2 est donc 13.

13 est l’indice du premier terme de la suite dont la valeur atteint ou dépasse 220.

3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 225

vn+1 = 0,8 un + 45 - 225

vn+1 = 0,8 un - 180

vn+1=0,8 (vn+225)180

vn+1 = 0,8 vn.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,8.

Son premier terme est v0=u0225=75.

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel, vn=75×0,8n et un = vn + 225.

Donc pour tout entier naturel :

un=22575×0,8n

4. Déterminer si une valeur est atteinte ou non par les termes d’une suite

Soit un le nombre de participants à la course l’année 2015 + n.

u0 = 150 (il y avait 150 participants en 2015) et, pour tout entier naturel n :

un+1 = un - 0,2 un + 45 = 0,8 un + 45.

D’après les questions précédentes, pour tout entier naturel :

un=22575×0,8n.

Donc un < 225, donc un < 250.

Le nombre de participants reste toujours strictement inférieur à 250.

Donc les organisateurs n’auront pas à refuser des inscriptions dans les années à venir.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a) Déterminer s’il existe sur un graphe un trajet empruntant une fois et une seule chaque arête

Le graphe est connexe : en effet, la chaîne A – C – B – N – W – M par exemple permet de relier deux sommets quelconques du graphe.

On étudie le degré de chacun des sommets, on résume les résultats dans un tableau :

Sommet

A

B

C

M

N

W

Degré

2

2

4

3

3

4

Le graphe est connexe et possède exactement deux sommets, M et N, de degré impair. D’après le théorème d’Euler, il existe une chaîne eulérienne, c’est-à-dire un trajet empruntant une fois et une seule chaque arête, d’extrémités M et N.

b) Donner un exemple de trajet sur un graphe empruntant une fois et une seule chaque arête

D’après la question précédente, un trajet empruntant une fois et une seule chaque liaison aérienne a nécessairement comme extrémités Miami et New York.

Un exemple de tel trajet est M – C – B – N – W – C – A – W – M – N.

2. Déterminer sur un graphe un trajet de coût minimal

Pour déterminer le trajet le moins cher de Boston à Miami, on utilise l’algorithme de Dijkstra, qui peut être résumé par le tableau suivant :

A

B

C

M

N

W

 

0

 

X

130 (B)

170 (B)

B(0)

230 (C)

X

X

280 (C)

170 (B)

250 (C)

C (130)

230 (C)

X

X

280 (C)

X

250 (C)

N (170)

X

X

X

280 (C)

X

250 (C)

A (230)

X

X

X

280 (C)

X

X

W (250)

Le trajet le moins cher de Boston à Miami est donc B – C – M, c’est-à-dire Boston – Chicago – Miami, son coût est 280 $.

3. a) Déterminer la matrice d’adjacence d’un graphe

La matrice d’adjacence du graphe précédent est :

P=(001001001010110101001011010101101110)

b) Déterminer les trajets formés d’un nombre donné d’arêtes

Il n’existe aucune liaison aérienne directe entre Atlanta et Boston.

On calcule P2 et P3 :

P2=(211211120202104132221312103131122214) et P3=(226346207263674939329477463728639786).

En considérant dans chacune de ces deux matrices le coefficient situé à l’intersection de la première ligne (pour Atlanta) et de la deuxième colonne (pour Boston), on voit qu’il existe, d’Atlanta à Boston, un trajet utilisant deux liaisons aériennes (d’après la matrice P2) et deux trajets utilisant trois liaisons aériennes (d’après la matrice P3). Ces trajets sont :

A – C – B (Atlanta – Chicago – Boston),

A – W – C – B (Atlanta – Washington – Chicago – Boston),

A – W – N – B (Atlanta – Washington – New York – Boston).

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

1. Donner par lecture graphique un encadrement des deux solutions d’une équation

Il existe sur la courbe deux points d’ordonnée 10, d’abscisses respectives α et β.

Par lecture graphique, l’équation f(x)=10 possède dans [0 ; 7] deux solutions α et β :

0<α<1et2<β<3

2. Donner par lecture graphique le maximum d’une fonction sur un intervalle

Par lecture graphique, le maximum de la fonction f sur l’intervalle [; 7] est égal à 14,8 environ, et il est atteint en x=1.

3. Donner par lecture graphique un encadrement d’une intégrale

La fonction f est continue et positive sur l’intervalle [1 ; 3], donc l’intégrale 13f(x) dx est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 3. L’unité d’aire est l’aire du rectangle dont les sommets sont les points de coordonnées respectives (; 0), (; 0), (; 1), (; 1).

Par lecture graphique :

1813f(x) dx26

La bonne réponse est b).

partie b

1. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction f est définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7] ; pour tout x dans cet intervalle :

f(x)=2 ex+32x ex+3 

 f(x)=(2x+2) ex+3

2. a) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

Pour tout réel x, ex+3>0 (la fonction exponentielle est strictement positive sur ), donc f(x) a le signe de - 2x + 2, d’où le tableau :

matT_1704_12_00C_tab1

b) Calculer le maximum d’une fonction sur un intervalle

D’après la question précédente, le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7] est :

f(1)=2 e214,78

3. a) Justifier qu’une équation possède deux solutions sur un intervalle donné

La fonction f est continue et strictement monotone sur chacun des intervalles [0 ; 1] et [1 ; 7].

De plus, 0 < 10 < f(1) et 14 e4<10<f(1) (car 14 e40,26).

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=10 admet une unique solution dans chacun des intervalles [; 1] et [; 7].

b) Donner une valeur approchée d’une solution d’une équation

β est la plus grande des deux solutions de l’équation f(x)=10, donc β [1 ; 7] et f est strictement décroissante sur [1 ; 7].

D’après la calculatrice : f(2,16)10,0067 et f(2,17)9,953, donc :

2,16 < β < 2,17.

2,16 et 2,17 sont des valeurs approchées de β à 102 près.

4. a) Justifier qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

F est dérivable sur l’intervalle [0 ; 7] et, pour tout x dans cet intervalle :

F(x)=2 ex+3+(2x2)×(ex+3)

F(x)=2x ex+3

F(x)=f(x).

Donc f est une primitive de f sur l’intervalle [; 7].

b) Calculer une aire

D’après les questions précédentes, la fonction f est continue et positive sur l’intervalle [1 ; 7], donc l’aire cherchée est :

A=13f(x) dx

A=F(3)F(1)

A=8+4 e2

A=4 (e22)

5. a) Calculer la valeur moyenne du bénéfice d’une entreprise

Puisque f(x) représente le bénéfice en milliers d’euros réalisé pour la vente de x centaines d’objets, la valeur moyenne du bénéfice lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets est, en milliers d’euros :

13113f(x) dx = 2(e22).

En euros, la valeur moyenne de ce bénéfice est 2000(e22).

Donc la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets est 10 778 €.

b) Déterminer les productions permettant de réaliser un bénéfice minimal donné

Pour déterminer le nombre d’objets que l’entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 10 000 euros, on résout f(x)>10.

D’après les questions précédentes, cette inégalité équivaut à α < x < β.

x est le nombre de centaines d’objets fabriqués, donc, pour réaliser un bénéfice supérieur à 10 000 euros, l’entreprise doit vendre entre 36 et 216 objets.