Sujet complet de Pondichéry 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet de Pondichéry 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Probabilités conditionnelles • Loi exponentielle Loi normale • Intervalle de fluctuation

Exercice 2 – Nombres complexes

Exercice 3 – Logarithme népérien • Calcul intégral • Algorithme

Exercice 4 – Suites numériques • Tableur

Exercice 4 (spécialité) – Suites • Matrices • Arithmétique

Exercice 5 – Géométrie dans l’espace

 

Exercice 1 (5 points) 1 h
Fabrication de tablettes de chocolat

Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : cassées, mal emballées…

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98 ;

la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.

À la fin d’une journée, on prélève au hasard une tablette et on note :

A l’évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ;

C l’évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que P(C) = 0,03x + 0,95.

2. À l’issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre λ de la loi exponentielle.

2. Calculer P(Z > 2).

3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?

Partie C

On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, en pourcentage, d’une tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d’espérance μ = 85 et d’écart type σ = 2.

1. Calculer P(83 ≤ X ≤ 87).

Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l’emballage ?

2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel a tel que :

P(85 − X  85 + a= 0,9.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7 ; 88,3].

Afin de vérifier si cette affirmation n’est pas mensongère, le responsable achat fait prélever 550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas au critère.

Au vu de l’échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l’affirmation de la chocolaterie ?

Exercice 2 (3 points) 30 min
À la recherche d’un triangle rectangle

Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O;u,v).

1. On considère l’équation (E) : z2 − 6z = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.

a) Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

b) Justifier que les solutions de (E) sont zA=3+ic9 et zB=3ic9. 

2. On note A et B les points d’affixes respectives zA et zB.

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Exercice 3 (4 points) 45 min
Sous la montagne

Commun à tous les candidats

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C.

matT_1704_12_01C_01

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [− 2,5 ; 2,5] par :

f(x) = ln(− 2x2 + 13,5).

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction f

1. Calculer f(x) pour x [− 2,5 ; 2,5].

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5 ; 2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5 ; 2,5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

2. Justifier que l’aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est A=802,5f(x)dx.

3. L’algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de I=02,5f(x)dx, notée a.

Variables

R et S sont des réels

n et k sont des entiers

Traitement

S prend la valeur 0

Demander la valeur de n

Pour k variant de 1 à n faire

R prend la valeur 2,5n×f(2,5n×k)

S prend la valeur S + R

Fin Pour

Sortie

Afficher S

On admet que : aIa+f(0)f(2,5)n×2,5.

a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l’exécution de l’algorithme pour = 50.

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

Initialisation

= 0

= 50

Boucle Pour

Étape k

R

S

1

.........

.........

2

0,130 060

0,260 176

3

0,129 968

0,390 144

4

0,129 837

.........

24

0,118 137

3,025 705

25

0,116 970

3,142 675

49

0,020 106

5,197 538

50

.........

.........

Affichage

= .........

b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Exercice 4 (5 points) 1 h
Étude de deux suites

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère deux suites (un) et (vn) :

la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel :

un+1 = 2un n + 3 ;

la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 2n.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur. Une copie d’écran est donnée ci-après.

matT_1704_12_01C_08

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Florent obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_09

Conjecturer les limites des suites (un) et (unvn).

Partie B : Étude de la suite (un)

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a

un=3×2n+n2.

2. Déterminer la limite de la suite (un).

3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite (unvn)

1. Démontrer que la suite (unvn) est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0<n2n1n. Déterminer la limite de la suite (unvn).

Exercice 4 (5 points) 1 h
Liens entre deux suites

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit les suites (un) et (vn) par u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 3vn et vn+1 = 2un + vn.

On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.

Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

matT_1704_12_01C_10

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

2. Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD(un ; vn). Aucune justification n’est demandée.

3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Flore obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_11

Elle émet la conjecture : « la suite (unvn) converge ». Qu’en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2un − 3vn = (− 1)n+1.

2. Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un ; vn).

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on définit :

la matrice colonne Xn=(unvn),

les matrices carrées P=(1312) et Qn=((1)n3×22n(1)n+122n+1).

1. a) Montrer que la matrice 15(2311) est l’inverse de P.

b) On admet que, pour tout entier naturel n, on a Xn=QnP1X0.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : {un=(1)n+1+3×22n+15vn=(1)n+22n+25.

2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a unvn=(1)n+122n+1+3(1)n22n+1+2.

b) En déduire la limite de la suite (unvn).

Exercice 5 (3 points) 45 min
Section d’un cube par un plan

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH représenté ci-après.

L’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE).

On note P le plan d’équation x+12y+13z1=0.

Construire, sur la figure ci-après, la section du cube par le plan P.

La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

matT_1704_12_01C_02

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. Résolvez dans l’équation P(C) = 0,96 et concluez.

Partie B

3. Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Partie C

3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

2. Identifiez la symétrie qui relie les images de deux nombres complexes conjugués et concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. Pour justifier la dérivabilité de ln(u), n’oubliez pas que u doit être dérivable et strictement positive sur l’intervalle considéré.

Partie B

1. Déterminez les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées, puis calculez leurs distances à l’origine O pour conclure.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

2. Calculez une valeur approchée au millième du quotient unvn pour les rangs 10 à 13. Conjecturez ensuite la limite de la suite (unvn).

Partie B

3. Observez dans la partie A que le terme u13 n’est pas supérieur à un million puis procédez par balayage pour déterminer le rang demandé.

Partie C

1. Étudiez le signe de la différence un+1vn+1unvn.

2. Pensez au théorème des gendarmes.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie C

1. a) Vérifiez que le produit de la matrice fournie par la matrice P donne la matrice identité d’ordre 2 et concluez.

Exercice 5 (Commun à tous les candidats)

Déterminez l’intersection du plan 𝒫 et du plan (ABC) à l’aide de leurs équations cartésiennes. Déduisez-en l’intersection du plan 𝒫 et du plan (EFG). Concluez, à l’aide de ces deux points, sur la section du cube par le plan 𝒫.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

1. Déterminer une probabilité  E34 • E35 • E37 

Une tablette de chocolat provient soit de la chaîne de fabrication A soit de la chaîne de fabrication B. L’événement C, « une tablette prélevée au hasard est commercialisable », est ainsi associé aux événements CA et CB (l’événement B désignant l’événement « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication B »). Les événements CA et CB étant incompatibles, on a :

P(C)=P(CA)+P(CB).

Retenez bien

Deux événements A et B sont incompatibles si aucune issue ne réalise à la fois l’événement A et l’événement B.

Or, P(CA)=P(A)×PA(C)=x×0,98 et l’événement B étant l’événement contraire de l’événement A : P(CB)=P(B)×PB(C)=(1P(A))×PB(C)=(1x)×0,95.

Il en découle que :

P(C)=x×0,98+(1x)×0,95        =x×(0,980,95)+0,95        =0,03x+0,95.

On a donc P(C) = 0,03x + 0,95.

2. Résoudre une équation  E34 

D’après la question précédente, la probabilité qu’une tablette prélevée au hasard soit commercialisable est égale à 0,03x + 0,95. D’après l’énoncé, cette probabilité vaut 0,96. On a alors : 0,03x+0,95=0,96.

Or, 0,03x+0,95=0,960,03x=0,01x=0,010,03=13.

La probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A est donc égale à un tiers. L’événement B étant l’événement contraire de l’événement A, on a :

P(B)=1P(A)=113=23.

La probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne B est donc égale à deux fois celle que la tablette provienne de la chaîne A.

partie B

> 1. Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle  E41c 

« La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans » se traduit à l’aide de l’espérance de la variable aléatoire Z par E(Z)=5. La variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ, on a l’égalité 1λ=5 ce qui est équivalent à λ=15=0,2.

Le paramètre λ de la loi exponentielle est donc égal à 0,2.

2. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle 
 E34 • E40a • E40c 

On a :

Retenez bien

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ est : xeλx.

P(Z>2)=1P(Z2)(événement contraire)              =1P(0Z2)                  =102λ×eλxdx(probabilité et intégrale, densité)              =1[eλx]02              = 1(e2λ+e0)              =e2λ              =e0,4.

La probabilité P(Z > 2) est ainsi égale à e–0,4.

3. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle  E42 

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que la durée de vie de la machine dépasse cinq ans sachant que la machine a déjà fonctionné pendant trois ans. Comme la variable aléatoire Z suit une loi exponentielle, elle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, on a :

P(Z3)(Z5)=P(Z3)(Z2+3)=P(Z2).

La loi exponentielle étant une loi continue, on a P(Z2)=P(Z>2). Ainsi, d’après la question précédente, on conclut que, sachant que la machine a déjà fonctionné pendant trois ans, la probabilité que sa durée de vie dépasse cinq ans est e–0,4.

partie C

1. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale  C3 • E34 

À l’aide de la calculatrice, on a :

Notez bien

Calcul de P(aXb) avec X (μ;σ2).Syntaxe pour la TI 83 + : normalFRép(a,b,μ,σ).

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : NormCD(a,b,σ,μ).

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1704_12_01C_04

matT_1704_12_01C_05

Ainsi, la probabilité P(83X87) arrondie au millième est égale à 0,683.

Remarque

Ce résultat était prévisible en constatant que : P(83X87)=P(μσXμ+σ).

Pour que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l’emballage à savoir 85 %, il faut que celle-ci ne soit pas comprise entre 83 % et 87 %.

Cet événement est, par suite, l’événement contraire de l’événement {83X87} et sa probabilité est 1P(83X87)10,683=0,317.

La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l’emballage est ainsi égale à 0,317.

2. Déterminer un paramètre dans le cadre d’une loi normale 
 E40d • E40e • E41d 

On a :

P(85aX85+a)=0,9P(aX85centrera)=0,9P(a2X852réduirea2)=0,9P(a2Xca2)=0,9

la variable aléatoire Xc=Xμσ=X852 suivant la loi normale centrée réduite.

On doit donc résoudre l’équation d’inconnue x : P(xXcx)=0,9 qui est équivalente à P(xXcx)0,9=0.

La variable aléatoire Xc suivant la loi normale centrée réduite, on sait que : P(1Xc1)0,68 et P(2Xc2)0,95. La solution x est donc à chercher dans l’intervalle [1 ; 2]. À l’aide de la calculatrice, on a :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1704_12_01C_06

matT_1704_12_01C_07

Ainsi, x1,64 et par identification, x=a2a=2x et a3,28.

Une valeur approchée au centième du réel a tel que P(85 – a  X  85 + a) = 0,9 est 3,28.

3. Prendre une décision à partir d’un intervalle de fluctuation  E43 

On note p la proportion des tablettes qui ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7 ; 88,3], p = 0,9. La taille de l’échantillon prélevé est n = 550. Comme n = 550  30, n × p = 550 × 0,9 = 495  5 et n × (1 – p) = 550 × 0,1 = 55  5, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de tablettes qui ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7 ; 88,3] dans un échantillon de taille 550 est ainsi défini et donné par :

I=[p1,96p×(1p)n;p+1,96p×(1p)n]  =[0,91,960,9×0,1550;0,9+1,960,9×0,1550]  [0,875;0,925].

La fréquence de tablettes qui répondent au critère dans l’échantillon est égale à f=55080550=4705500,855.

Comme f n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l’affirmation de la chocolaterie.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

1. a) Justifier l’existence de solutions pour une équation  E23 

On calcule le discriminant associé à cette équation du second degré :

Δ=(6)24×1×c=364c. D’après l’énoncé, c>9 par conséquent4c<4×9=36 et 364c<3636=0. Nous avons donc Δ<0. L’équation (E) admet donc deux solutions complexes conjuguées non réelles.

b) Déterminer les solutions d’une équation du second degré  E23 

Les deux solutions complexes conjuguées de cette équation sont donc :

zA=(6)+iΔ2×1=6+i4c362=6+i4(c9)2=6+2ic92=3+ic9 et zB=zA¯=3ic9.

2. Démontrer qu’un triangle est isocèle  E17c 

Puisque zB=zA¯, les points A et B sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Une symétrie axiale conservant les longueurs, nous avons OA=OB. Le triangle OAB est donc isocèle en O.

3. Déterminer un réel pour qu’un triangle soit rectangle  E18 • E22 

OAB est rectangle en OOA2+OB2=AB2|zA|2+|zB|2=|zBzA|232+(c9)2+32+(c9)2=|2ic9|29+c9+9+c9=4(c9)2c=4c36c=18.

Le triangle OAB est donc rectangle si et seulement si c = 18.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie A

1. Calculer la dérivée d’une fonction  E9d • E9e 

f=ln(u) avec u(x)=2x2+13,5 et xJ=[2,5;2,5].

u est une fonction polynôme donc u est dérivable sur J.

2,5x2,50x22,52=6,2502x22×6,2512,513,52x2+13,5u(x)1.

Par conséquent, pour tout xJ, u(x)1>0.

La fonction u est donc strictement positive sur J.

Il découle des deux points ci-dessus que la fonction f = ln(u) est dérivable sur J.

Pour tout xJ, f(x)=u(x)u(x)=4x2x2+13,5.

2. Déterminer le signe d’une fonction via le tableau de variation  E9a 

Comme u(x)1>0 d’après la question précédente, le signe de f(x)est celui de 4x. Or 4x>0x<0.

Nous obtenons donc le tableau de variation suivant :

005_matT_1704_12_01C_tab1

f(2,5)=f(2,5)=ln(2×2,52+13,5)=ln(1)=0 et f(0)=ln(2×02+13,5)=ln(13,5).

D’après ce tableau de variation, nous pouvons dire que, pour tout xJ, f(x)0.

partie B

1. Analyser la nature d’une courbe  E9d • E9e 

Soit A le point d’intersection, d’abscisse positive, de la courbe C avec l’axe des abscisses. D’après le tableau de variation, les coordonnées de A sont (2,5 ; 0) et OA = 2,5.

Soit B le point d’intersection de la courbe C avec l’axe des ordonnées. D’après le tableau de variation, les coordonnées de B sont (0 ; ln(13,5)) et OB = ln(13,5) 2,6.

Nous constatons que OAOB donc la courbe C n’est pas un arc de cercle de centre O.

2. Établir une formule pour un calcul d’aire  E7a • E9d • E14 

Nous avons vu à la question 1. de la partie A que la fonction f est dérivable sur J, donc elle est continue sur J.

D’après la question 2. de la partie A, f est positive sur J.

L’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d’équations x=2,5 et x=2,5 est l’aire de la zone de creusement. Elle est donnée par :

A = 2,52,5f(x)dx u.a.

D’après l’énoncé, la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère. Par conséquent, A = 202,5f(x)dx u.a.

Le repère étant un repère orthonormé d’unité 2 m, nous avons donc 1 u.a. = 4 m2.

L’aire de la zone de creusement, en mètres carrés, est donnée par :

A=802,5f(x)dx.

3. a) Dérouler un algorithme

Nous savons que n=50 et que S a été initialisée à la valeur 0.

Pour k=1 : R=2,550×f(2,550×1)=0,05×f(0,05)0,130116S=0+R0,130116

Pour k=4 : S reçoit S+R donc S0,390144+0,129837=0,519981

Pour k=50 : R=2,550×f(2,550×50)=0,05×f(2,5)=0=0S5,197538+0=5,197538

Affichage : S=5,197538

b) Déterminer une valeur approchée d’une aire

D’après la question précédente, une valeur approchée par défaut de I=02,5f(x)dx est a=5,197538. D’après l’énoncé : aIa+f(0)f(2,5)n×2,5 et n=50. Donc :

5,197538I5,197538+ln(13,5)050×2,58×5,1975388×I8×5,197538+8×ln(13,5)×0,0541,5803048I41,580304+0,4×ln(13,5)42,621380

Comme A = 802,5f(x)dx=8I, on en déduit qu’une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement est 42 m2.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

partie A

1. Calculer des termes d’une suite à l’aide d’un tableur

Pour calculer un terme de la suite (un), il est nécessaire de connaître le terme précédent (colonne B) et la valeur de son rang (colonne A). Dans la cellule B3 est affiché le terme u1 qui est égal à 2u00+3. Le terme u0 est stocké dans la cellule B2 et le rang 0 est stocké dans la cellule A2. Par suite, on peut saisir dans la cellule B3 la formule « =2*B2-A2+3 ».

Pour calculer un terme de la suite (vn), il est nécessaire uniquement de connaître son rang (colonne A). Dans la cellule C3 est affiché le terme v1 qui est égal à 21. Le rang 1 est stocké dans la cellule A3. Par suite, on peut saisir dans la cellule C3 la formule « =2^A3 ».

2. Conjecturer des limites  E2e 

Plus le rang n augmente, plus le terme un augmente. La suite (un) serait croissante. Mais cette suite ne semble pas majorée. En effet, approximativement, on obtient un terme à partir du précédent en multipliant par deux. Ainsi, la limite de la suite (un) serait +.

On a : u10v10=3 0801 0243,008 ; u11v11=6 1532 0483,004 ; u12v12=12 2984 0963,002 ; u13v13=24 5878 1923,001. Le rapport unvn semble se rapprocher de la valeur 3 quand le rang n augmente.

Ainsi, la limite de la suite (unvn) serait 3.

partie B

1. Démontrer une propriété par récurrence  E1 

Soit P(n) la propriété : un=3×2n+n2.

Démontrons par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Initialisation : pour n=0, u0=1 et 3×20+02=32=1. Donc P(0) est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k donné : uk=3×2k+k2.

Démontrons que la propriété P(k+1) est vraie. Nous avons :

uk+1=2ukk+3=2×(3×2k+k2)k+3(hypothèse de récurrence)=3×2k×2+2k4k+3=3×2k+1+k1=3×2k+1+(k+1)2.

La propriété P(k+1) est donc vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel n,  un=3×2n+n2.

2. Déterminer la limite d’une suite  E2c • E4b • E4d 

Par la question précédente, pour tout entier naturel n, le terme un est la somme du terme d’une suite géométrique et de l’entier n2. Cette suite géométrique est de premier terme 3 et de raison 2. Comme ce premier terme est strictement positif et que cette raison est strictement supérieure à 1, on a : limn+3×2n=+. De plus, par somme, on a : limn+n2=+ et donc limn+un=+.

Remarque

Cette démarche est possible car la limite de la suite (un) est + (question B 2.) et la suite (un) est strictement croissante. En effet, par la question B 1., on a, pour tout entier naturel n :

un+1un=(3×2n+1+n+12)(3×2n+n2)             =3×2n+13×2n+1=3×2n+1>0.

3. Déterminer le rang d’un terme vérifiant une contrainte  E2a 

On a pour n = 17 : u17 = 3 × 217 + 17 – 2 = 393 231 < 1 000 000

pour n = 18 :

u18 = 3 × 218 + 18 – 2 = 786 448

u18 < 1 000 000

pour n = 19 :

u19 = 3 × 219 + 19 – 2 = 1 572 881

u19 > 1 000 000

Le rang du premier terme de la suite (un) supérieur à 1 million est 19.

partie C

1. Déterminer les variations d’une suite  E2a 

Pour tout entier naturel n :

un+1vn+1unvn=3×2n+1+(n+1)22n+13×2n+n22n              =(3×2n+1+n1)(3×2n+n2)×22n+1              =n12n+42n+1=n+32n+1.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on a 2n+1 > 0 et – n + 3 0. Par suite, pour tout entier naturel n3, la différence un+1vn+1unvn est négative ce qui est équivalent à un+1vn+1unvn.

La suite (unvn) est donc décroissante à partir de l’indice 3.

2. Déterminer la limite d’une suite  E2c • E2d 

On a, pour tout entier naturel n :

unvn=3×2n+n22n=3×2n2n+n2n22n=3+n2n12n1.

À partir de l’indice 4, d’après l’énoncé, on a : 0<n2n1n.

Comme limn+1n=0, on a, par le théorème des gendarmes : limn+n2n=0. De plus, limn+12n1=0. Par somme et différence, on en conclut que : limn+unvn=3.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie A : Conjectures

▶ 1. Déterminer des formules pour les cellules d’un tableur

Pour tout entier naturel n, nous avons la relation un+1=2un+3vn. Le contenu de la cellule B3 sera donc obtenu à l’aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+3*C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

Pour tout entier naturel n, nous avons la relation vn+1=2un+vn. Le contenu de la cellule C3 sera donc obtenu à l’aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

2. Émettre une conjecture sur la valeur d’un PGCD

Pour chaque rang n affiché dans la feuille de tableur, les termes un et vn affichés semblent être premiers entre eux. On peut donc conjecturer que PGCD(un;vn)=1.

3. Étudier une conjecture sur la limite d’une suite

u10v10=12582918388611,49999940395

u11v11=503316533554431,50000014901

u12v12=20132659134217731,49999996275

u13v13=80530637536870911,50000000931

La conjecture de Flore semble cohérente. La suite (unvn) semble converger vers 1,5.

partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer une égalité par récurrence  E1 

Soit P(n) la propriété : 2un3vn=(1)n+1.

Initialisation : 2u03v0=2×13×1=1=(1)0+1 donc P(0) est vérifiée.

Hérédité : on suppose que P(k) est vraie pour un entier naturel k :

2uk3vk=(1)k+1 (hypothèse de récurrence).

On démontre alors que P(k+1) est aussi vérifiée :

2uk+13vk+1=2×(2uk+3vk)3×(2uk+vk)=2uk+3vk=(2uk3vk)=(1)k+1hypothèse de récurrence=(1)k+2.

Conclusion : la propriété P(n) étant initialisée et héréditaire, elle est vraie : pour tout entier naturel n, 2un3vn=(1)n+1.

2. Déterminer la valeur d’un PGCD

Notez bien

Soit a, b et c des entiers relatifs avec c0. Si c divise a et b, alors c divise au+bvu et v sont des entiers relatifs.

D’après la question précédente, pour tout entier naturel n : 2un3vn=(1)n+1. Les termes des suites (un) et (un) sont des entiers naturels d’après l’énoncé ; par conséquent, puisque PGCD(un;vn) divise un et vn, il divise 2un3vn et donc (1)n+1.

On en déduit que, pour tout entier naturel n, PGCD(un;vn)=1.

partie C : Étude matricielle

1. a) Identifier l’inverse d’une matrice  C5a • C5b 

Gagnez des points !

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.

15×(2311)×P=15×(2311)×(1312)=15×(2×1+(3)×(1)2×3+(3)×21×1+1×(1)1×3+1×2)=15×(5005)=(1001).

Par conséquent, P est inversible et P1=15(2311).

b) Déterminer les formules explicites de deux suites  C5a • C5b 

Gagnez des points !

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.

P1×X0=15×(2311)×(11)=15×(2×1+(3)×11×1+1×1)=15×(12)=(1/52/5).

Pour tout entier naturel n :

Xn=QnP1X0=((1)n3×22n(1)n+122n+1)×(1/52/5)=((1)n×(1)+3×22n×25(1)n+1×(1)+22n+1×25)=((1)n+1+3×22n+15(1)n×(1)2+22n+25)=((1)n+1+3×22n+15(1)n+22n+25).

Or Xn=(unvn). Finalement, par identification, pour tout entier naturel n, un=(1)n+1+3×22n+15 et vn=(1)n+22n+25.

2. a) Vérifier une égalité

Pour tout entier naturel n :

unvn=(1)n+1+3×22n+15(1)n+22n+25=(1)n+1+3×22n+1(1)n+22n+2=22n+1×[(1)n+122n+1+3]22n+1×[(1)n22n+1+2]=(1)n+122n+1+3(1)n22n+1+2.

b) Déterminer la limite d’une suite  E2c • E4d 

Notez bien

Si 1<q<1, alors limn+qn=0.

On reprend l’expression de unvn de la question précédente.

Pour tout entier naturel n, (1)n+122n+1=(1)n+12n+1×12n=(12)n+1×(12)n.

Or 1<12<1 et 1<12<1 donc limn+(12)n+1=0 et limn+(12)n=0.

Par produit et somme, limn+(1)n+122n+1+3=3.

Pour tout entier naturel n, (1)n22n+1=(1)n×(1)222n+1=(1)n+122n+1. Par conséquent, à l’aide du point précédent, nous obtenons, par produit et somme, limn+(1)n22n+1+2=2.

Finalement, par quotient, limn+unvn=32=1,5.

La limite de (unvn) est 1,5.

Exercice 5

Commun à tous les candidats

Construire la section d’un cube par un plan  E24c • E29 • E33c 

Intersection du plan et du plan (ABC)

Soit M un point de coordonnées (x;y;z) dans le repère (A;AB,AD,AE).

Le point M appartient au plan (ABC) si et seulement si sa cote z est égale à zéro.

Le point M appartient au plan si et seulement si ses coordonnées vérifient x+12y+13z1=0.

Ainsi, M appartient aux plans et (ABC) si et seulement si :

{z=0x+12y+13z1=0{z=0x+12y1=0.

Remarque

Cela démontre implicitement que les plans et (ABC) sont sécants. Leur intersection est une droite.

Comme 1+12×01=0, alors le point de coordonnées (1;0;0) appartient aux deux plans. Ce point n’est rien d’autre que le point B (AB=1×AB+0×AD+0×AE).

Comme 12+12×11=0, alors le point de coordonnées (12;1;0) appartient également aux deux plans. Ce point que nous nommerons I est le milieu du segment [CD]. En effet, AI=12×AB+AD+0×AE.

L’intersection des plans et (ABC) est donc la droite (BI). Ainsi, l’intersection du plan et de la face ABCD est le segment [BI].

Intersection du plan et du plan (EFG)

Notez bien

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan  coupe le plan (ABC) suivant la droite (BI). Par conséquent, le plan coupe le plan (EFG) suivant une droite qui est parallèle à la droite (BI).

Or, le point que nous noterons J de coordonnées (23;0;1) appartient aux plans (EFG) (car z=1) et (car 23+12×023=0). L’intersection des plans  et (EFG) est donc la droite parallèle à la droite (BI) passant par J. Cette droite coupe le segment [GH] en un point que nous noterons K. Ainsi, le plan et la face EFGH du cube sont sécants : leur intersection est le segment [JK].

Conclusion

Le point B appartient clairement au plan (ABF). Le point J appartient au segment [EF] et donc également au plan (ABF). Or, par les deux points précédents, ces deux points B et J appartiennent aussi au plan  . Par suite, l’intersection des plans (ABF) et est la droite (BJ). Le plan  et la face EFBA du cube sont sécants : leur intersection est le segment [BJ].

De même, les points I et K appartiennent à la fois au plan  et au plan (DCG). Par suite, l’intersection des plans (DCG) et est la droite (IK). Le plan et la face DCGH du cube sont sécants : leur intersection est le segment [IK].

 La section du cube par le plan est ainsi le quadrilatère BIKJ.

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