Sujet complet de Pondichéry 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet de Pondichéry 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Probabilités conditionnelles • Loi exponentielle Loi normale • Intervalle de fluctuation

Exercice 2 – Nombres complexes

Exercice 3 – Logarithme népérien • Calcul intégral • Algorithme

Exercice 4 – Suites numériques • Tableur

Exercice 4 (spécialité) – Suites • Matrices • Arithmétique

Exercice 5 – Géométrie dans l’espace

 

Exercice 1 (5 points) 1 h
Fabrication de tablettes de chocolat

Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : cassées, mal emballées…

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98 ;

la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.

À la fin d’une journée, on prélève au hasard une tablette et on note :

A l’évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ;

C l’évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que P(C) = 0,03x + 0,95.

2. À l’issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre λ de la loi exponentielle.

2. Calculer P(Z > 2).

3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?

Partie C

On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, en pourcentage, d’une tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d’espérance μ = 85 et d’écart type σ = 2.

1. Calculer P(83 ≤ X ≤ 87).

Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l’emballage ?

2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel a tel que :

P(85 − X  85 + a= 0,9.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7 ; 88,3].

Afin de vérifier si cette affirmation n’est pas mensongère, le responsable achat fait prélever 550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas au critère.

Au vu de l’échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l’affirmation de la chocolaterie ?

Exercice 2 (3 points) 30 min
À la recherche d’un triangle rectangle

Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O;u,v).

1. On considère l’équation (E) : z2 − 6z = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.

a) Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

b) Justifier que les solutions de (E) sont zA=3+ic9 et zB=3ic9. 

2. On note A et B les points d’affixes respectives zA et zB.

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Exercice 3 (4 points) 45 min
Sous la montagne

Commun à tous les candidats

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C.

matT_1704_12_01C_01

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [− 2,5 ; 2,5] par :

f(x) = ln(− 2x2 + 13,5).

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction f

1. Calculer f(x) pour x [− 2,5 ; 2,5].

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5 ; 2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5 ; 2,5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

2. Justifier que l’aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est A=802,5f(x)dx.

3. L’algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de I=02,5f(x)dx, notée a.

Variables

R et S sont des réels

n et k sont des entiers

Traitement

S prend la valeur 0

Demander la valeur de n

Pour k variant de 1 à n faire

R prend la valeur 2,5n×f(2,5n×k)

S prend la valeur S + R

Fin Pour

Sortie

Afficher S

On admet que : aIa+f(0)f(2,5)n×2,5.

a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l’exécution de l’algorithme pour = 50.

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

Initialisation

= 0

= 50

Boucle Pour

Étape k

R

S

1

.........

.........

2

0,130 060

0,260 176

3

0,129 968

0,390 144

4

0,129 837

.........

24

0,118 137

3,025 705

25

0,116 970

3,142 675

49

0,020 106

5,197 538

50

.........

.........

Affichage

= .........

b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Exercice 4 (5 points) 1 h
Étude de deux suites

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère deux suites (un) et (vn) :

la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel :

un+1 = 2un n + 3 ;

la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 2n.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur. Une copie d’écran est donnée ci-après.

matT_1704_12_01C_08

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Florent obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_09

Conjecturer les limites des suites (un) et (unvn).

Partie B : Étude de la suite (un)

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a

un=3×2n+n2.

2. Déterminer la limite de la suite (un).

3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite (unvn)

1. Démontrer que la suite (unvn) est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0<n2n1n. Déterminer la limite de la suite (unvn).

Exercice 4 (5 points) 1 h
Liens entre deux suites

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit les suites (un) et (vn) par u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 3vn et vn+1 = 2un + vn.

On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.

Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

matT_1704_12_01C_10

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

2. Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD(un ; vn). Aucune justification n’est demandée.

3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Flore obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_11

Elle émet la conjecture : « la suite (unvn) converge ». Qu’en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2un − 3vn = (− 1)n+1.

2. Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un ; vn).

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on définit :

la matrice colonne Xn=(unvn),

les matrices carrées P=(1312) et Qn=((1)n3×22n(1)n+122n+1).

1. a) Montrer que la matrice 15(2311) est l’inverse de P.

b) On admet que, pour tout entier naturel n, on a Xn=QnP1X0.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : {un=(1)n+1+3×22n+15vn=(1)n+22n+25.

2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a unvn=(1)n+122n+1+3(1)n22n+1+2.

b) En déduire la limite de la suite (unvn).

Exercice 5 (3 points) 45 min
Section d’un cube par un plan

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH représenté ci-après.

L’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE).

On note P le plan d’équation x+12y+13z1=0.

Construire, sur la figure ci-après, la section du cube par le plan P.

La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

matT_1704_12_01C_02

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. Résolvez dans l’équation P(C) = 0,96 et concluez.

Partie B

3. Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Partie C

3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

2. Identifiez la symétrie qui relie les images de deux nombres complexes conjugués et concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. Pour justifier la dérivabilité de ln(u), n’oubliez pas que u doit être dérivable et strictement positive sur l’intervalle considéré.

Partie B

1. Déterminez les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées, puis calculez leurs distances à l’origine O pour conclure.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

2. Calculez une valeur approchée au millième du quotient unvn pour les rangs 10 à 13. Conjecturez ensuite la limite de la suite (unvn).

Partie B

3. Observez dans la partie A que le terme u13 n’est pas supérieur à un million puis procédez par balayage pour déterminer le rang demandé.

Partie C

1. Étudiez le signe de la différence un+1vn+1unvn.

2. Pensez au théorème des gendarmes.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie C

1. a) Vérifiez que le produit de la matrice fournie par la matrice P donne la matrice identité d’ordre 2 et concluez.

Exercice 5 (Commun à tous les candidats)

Déterminez l’intersection du plan 𝒫 et du plan (ABC) à l’aide de leurs équations cartésiennes. Déduisez-en l’intersection du plan 𝒫 et du plan (EFG). Concluez, à l’aide de ces deux points, sur la section du cube par le plan 𝒫.