SUJETS COMPLETS

Pondichéry • Mai 2018

matT_1805_12_01C

Pondichéry • Mai 2018

Sujet complet • 20 points • ⏱ 4 h

Sujet complet de Pondichéry 2018

Les thèmes clés

Exercice 1 – Suites • Fonction exponentielle • Calcul intégral

Exercice 2 – Nombres complexes • Géométrie dans le plan

Exercice 3 – Loi normale • Probabilités • Fluctuation et confiance

Exercice 4 – Géométrie dans l'espace • Compléments sur les fonctions

Exercice 4 (spécialité) – Arithmétique

Exercice 1 (6 points) • ⏱ 1 h 15
Refroidissement d'un four

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1 000 °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.

On s'intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l'instant où il est éteint. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 70 °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

partie a

S05_algo_001

Pour un nombre entier naturel n, on note Tn la température en degrés Celsius du four au bout de n heures écoulées à partir de l'instant où il a été éteint. On a donc T0 = 1 000. La température Tn est calculée par l'algorithme ci-contre.

▶ 1. Déterminer la température du four, arrondie à l'unité, au bout de 4 heures de refroidissement.

▶ 2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a :

$T_{n} = 980 \times {0,82}^{n} + 20$ .

▶ 3. Au bout de combien d'heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

partie b

Dans cette partie, on note t le temps (en heures) écoulé depuis l'instant où le four a été éteint.

La température du four (en degrés Celsius) à l'instant t est donnée par la fonction f définie, pour tout nombre réel t positif, par :

$f (t) = a e^{- \frac{t}{5}} + b$ , où a et b sont deux nombres réels.

On admet que f vérifie la relation suivante : $f^{'} (t) + \frac{1}{5} f (t) = 4$ .

▶ 1. Déterminer les valeurs de a et b sachant qu'initialement la température du four est de 1 000 °C, c'est-à-dire que $f (0) = 1 000$ .

▶ 2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel positif t : $f (t) = 980 e^{- \frac{t}{5}} + 20$ .

a) Déterminer la limite de f lorsque t tend vers + ∞.

b) Étudier les variations de f sur [0 + ∞[. En déduire son tableau de variations complet.

c) Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

▶ 3. La température moyenne (en degrés Celsius) du four entre deux instants t1 et t2 est donnée par : $\frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f (t) d t$ .

a) À l'aide de la représentation graphique de f ci-dessous, donner une estimation de la température moyenne θ du four sur les 15 premières heures de refroidissement. Expliquer votre démarche.

matT_1805_12_01C_01

b) Calculer la valeur exacte de cette température moyenne θ et en donner la valeur arrondie au degré Celsius.

▶ 4. Dans cette question, on s'intéresse à l'abaissement de température (en degrés Celsius) du four au cours d'une heure, soit entre deux instants t et (t + 1). Cet abaissement est donné par la fonction d définie, pour tout nombre réel t positif, par : $d (t) = f (t) - f (t + 1)$ .

a) Vérifier que, pour tout nombre réel t positif : $d (t) = 980 (1 - e^{- \frac{1}{5}}) e^{- \frac{t}{5}}$ .

b) Déterminer la limite de d(t) lorsque t tend vers + ∞. Quelle interprétation peut-on en donner ?

Exercice 2 (4 points) • ⏱ 45 min
Un classique chez les complexes !

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O \vec{u}, \vec{v})$ .

Les points A, B et C ont pour affixes respectives a = - 4 b = 2 et c = 4.

▶ 1. On considère les trois points A′, B′ et C′ d'affixes respectives a′ = ja, b′ = jb et c′ = jc où j est le nombre complexe $- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt[]{3}}{2}$ .

a) Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de j.

En déduire les formes algébriques et exponentielles de a′, b′ et c′.

b) Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique ci-dessous. Placer les points A′, B′ et C′ sur ce graphique.

matT_1805_12_01C_02

▶ 2. Montrer que les points A′, B′ et C′ sont alignés.

▶ 3. On note M le milieu du segment [A′C], N le milieu du segment [C′C] et P le milieu du segment [C′A]. Démontrer que le triangle MNP est isocèle.

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 1 h
Fabrication de paquets de sucre

Commun à tous les candidats

Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations U et V en paquets de 1 kg et de différentes qualités.

Le sucre extra fin est conditionné séparément dans des paquets portant le label « extra fin ».

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.

partie a

Pour calibrer le sucre en fonction de la taille de ses cristaux, on le fait passer au travers d'une série de trois tamis positionnés les uns au-dessus des autres et posés sur un récipient à fond étanche.

Les ouvertures des mailles sont les suivantes :

matT_1805_12_01C_03

Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à 0,2 mm se trouvent dans le récipient à fond étanche à la fin du calibrage. Ils seront conditionnés dans des paquets portant le label « sucre extra fin ».

▶ 1. On prélève au hasard un cristal de sucre de l'exploitation U. La taille de ce cristal, exprimée en millimètres, est modélisée par la variable aléatoire XU qui suit la loi normale de moyenne μU = 0,58 mm et d'écart type σU = 0,21 mm.

a) Calculer les probabilités des événements suivants : XU 0,2 et 0,5 ≤ XU 0,8.

b) On fait passer 1 800 cristaux de sucre provenant de l'exploitation U au travers de la série de tamis.

Déduire de la question précédente une estimation du nombre de cristaux de sucre récupérés dans le récipient à fond étanche et une estimation du nombre de cristaux de sucre récupérés dans le tamis 2.

▶ 2. On prélève au hasard un cristal de sucre de l'exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètres, est modélisée par la variable aléatoire XV qui suit la loi normale de moyenne μV = 0,65 mm et d'écart type σV à déterminer. Lors du calibrage d'une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l'exploitation V, on constate que 40 % de ces cristaux se retrouvent dans le tamis 2. Quelle est la valeur de l'écart type σV de la variable aléatoire XV ?

partie b

Dans cette partie, on admet que 3 % du sucre provenant de l'exploitation U est extra fin et que 5 % du sucre provenant de l'exploitation V est extra fin. On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l'entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s'intéresse à la provenance de ce paquet. On considère les événements suivants :

U : « le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation U »

V : « le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation V »

E : « le paquet porte le label “extra fin” ».

▶ 1. Dans cette question, on admet que l'entreprise fabrique 30 % de ses paquets avec du sucre provenant de l'exploitation U et les autres avec du sucre provenant de l'exploitation V, sans mélanger les sucres des deux exploitations.

a) Quelle est la probabilité que le paquet prélevé porte le label « extra fin » ?

b) Sachant qu'un paquet porte le label « extra fin », quelle est la probabilité que le sucre qu'il contient provienne de l'exploitation U ?

▶ 2. L'entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label « extra fin », 30 % d'entre eux contiennent du sucre provenant de l'exploitation U.

Comment doit-elle s'approvisionner auprès des exploitations U et V ?

Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.

partie c

▶ 1. L'entreprise annonce que 30 % des paquets de sucre portant le label « extra fin » qu'elle conditionne contiennent du sucre provenant de l'exploitation U. Avant de valider une commande, un acheteur veut vérifier cette proportion annoncée. Il prélève 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l'entreprise. Parmi ces paquets, 30 contiennent du sucre provenant de l'exploitation U.

A-t-il des raisons de remettre en question l'annonce de l'entreprise ?

▶ 2. L'année suivante, l'entreprise déclare avoir modifié sa production. L'acheteur souhaite estimer la nouvelle proportion de paquets de sucre provenant de l'exploitation U parmi les paquets portant le label « extra fin ». Il prélève 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l'entreprise. Parmi ces paquets 42 % contiennent du sucre provenant de l'exploitation U.

Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la nouvelle proportion de paquets labellisés « extra fin » contenant du sucre provenant de l'exploitation U.

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h
Volume d'un tétraèdre

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans l'espace muni du repère orthonormé $(O \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (2 1 4), (4 –1 0), (0 3 2) et (4 3 –2).

▶ 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).

▶ 2. Soit M un point de la droite (CD).

a) Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.

b) On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 3 –1).

Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.

c) Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm2.

▶ 3. a) Démontrer que le vecteur $\vec{n} (2 1 2)$ est un vecteur normal au plan (BCD).

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).

c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par A et orthogonale au plan (BCD).

d) Démontrer que le point I, intersection de la droite ∆ et du plan (BCD), a pour coordonnées $(\frac{2}{3} \frac{1}{3} \frac{8}{3})$ .

▶ 4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h
Le chiffre de « RABIN »

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

À toute lettre de l'alphabet on associe un nombre entier x compris entre 0 et 25 comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

Lettre	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Lettre	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
x	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Le « chiffre de RABIN » est un dispositif de cryptage asymétrique inventé en 1979 par l'informaticien Michael Rabin.

Alice veut communiquer de manière sécurisée en utilisant ce cryptosystème. Elle choisit deux nombres premiers distincts p et q. Ce couple de nombres est sa clé privée qu'elle garde secrète.

Elle calcule ensuite n = p × q et elle choisit un nombre entier naturel B tel que 0 ≤ B ≤ n - 1.

Si Bob veut envoyer un message secret à Alice, il le code lettre par lettre.

Le codage d'une lettre représentée par le nombre entier x est le nombre y tel que :

$y \equiv x (x + B) [n]$ avec 0 ≤ y n.

Dans tout l'exercice, on prend p = 3, q = 11 donc n = p × q = 33 et B = 13.

partie a : cryptage

Bob veut envoyer le mot « NO » à Alice.

▶ 1. Montrer que Bob code la lettre « N » avec le nombre 8.

▶ 2. Déterminer le nombre qui code la lettre « O ».

partie b : décryptage

Alice a reçu un message crypté qui commence par le nombre 3.

Pour décoder ce premier nombre, elle doit déterminer le nombre entier x tel que :

$x (x + 13) \equiv 3 [33]$ avec 0 ≤ x 26.

▶ 1. Montrer que x(x + 13) ≡ 3 [33] équivaut à ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33]$ .

▶ 2. a) Montrer que si ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33]$ alors le système d'équations ${\begin{cases} {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [3] \\ {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] \end{cases}$ est vérifié.

b) Réciproquement, montrer que si ${\begin{cases} {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [3] \\ {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] \end{cases}$ alors ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33]$ .

c) En déduire que $x (x + 13) \equiv 3 [33] \underset{}{\Leftrightarrow} {\begin{cases} {(x + 23)}_{2} \equiv 1 [3] \\ {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] \end{cases}$ .

▶ 3. a) Déterminer les nombres entiers naturels a tels que 0 ≤ a 3 et $a^{2} \equiv 1 [3]$ .

b) Déterminer les nombres entiers naturels b tels que 0 ≤ b 11 et $b^{2} \equiv 4 [11]$ .

▶ 4. a) En déduire que x(x + 13) ≡ 3 [33] équivaut aux quatre systèmes suivants :

${\begin{cases} x \equiv 2 [3] \\ x \equiv 8 [11] \end{cases}$ ou ${\begin{cases} x \equiv 0 [3] \\ x \equiv 1 [11] \end{cases}$ ou ${\begin{cases} x \equiv 2 [3] \\ x \equiv 1 [11] \end{cases}$ ou ${\begin{cases} x \equiv 0 [3] \\ x \equiv 8 [11] \end{cases}$ .

b) On admet que chacun de ces systèmes admet une unique solution entière x telle que 0 ≤ x 33.

Déterminer, sans justification, chacune de ces solutions.

▶ 5. Compléter l'algorithme qui suit pour qu'il affiche les quatre solutions trouvées dans la question précédente.

S05_algo_002

▶ 6. Alice peut-elle connaître la première lettre du message envoyé par Bob ? Le « chiffre de RABIN » est-il utilisable pour décoder un message lettre par lettre ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

▶ 2. À partir de l'algorithme, précisez la relation entre deux termes consécutifs de la suite $(T_{n})$ . Puis, démontrez le résultat demandé à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

▶ 3. Résolvez, dans ℕ, l'inéquation Tn 70 et concluez.

Partie B

▶ 1. Traduisez, à l'aide des nombres réels a et b, la condition initiale sur la température du four mais aussi la relation vérifiée par f et par sa dérivée f′. Résolvez le système induit pour conclure.

▶ 2. c) Réitérez la même démarche que celle utilisée à la question 3. de la partie A, mais cette fois-ci en résolvant, dans ℝ, l'inéquation $f (t) 70$ .

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

▶ 2. Étudiez la colinéarité des vecteurs $\vec{A′ C′}$ et $\vec{A′ B′}$ et concluez.

▶ 3. Déterminez les affixes des points M, N et P. Puis calculez les distances MP, MN et NP. Enfin, concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

▶ 2. Justifiez que $P (X_{V} 0,8)=0,70$ . Introduisez ensuite la variable aléatoire $X_{C} = \frac{X_{V} - 0,65}{σ_{V}}$ , variable aléatoire centrée réduite associée à la variable aléatoire XV. Traduisez l'égalité justifiée précédemment sous forme d'une équation faisant intervenir XC et σV. Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l'équation obtenue et pour conclure.

Partie B

▶ 2. Remarquez que la condition imposée se traduit à l'aide d'une probabilité conditionnelle. Écrivez ensuite cette probabilité en fonction de P(U) et de P(V), désormais inconnues, en prenant bien en compte que les événements U et V sont des événements contraires. Concluez.

Partie C

▶ 1. Identifiez la taille n de l'échantillon considéré et la proportion p du caractère étudié remise en question. Concluez selon l'appartenance ou non de la fréquence observée du caractère étudié sur l'échantillon à l'intervalle de fluctuation.

Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

▶ 2. a) Exprimez la longueur BM en fonction du paramètre choisi dans la représentation paramétrique de la question 1. Faites apparaître la forme canonique du trinôme du second degré obtenu pour minimiser BM et concluez.

▶ 3. a) Démontrez que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) et concluez.

d) Résolvez un système d'équations avec une représentation paramétrique de ∆ et une équation cartésienne de (BCD) pour déterminer les coordonnées du point I.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie B

▶ 1. Transformez la relation de congruence ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33]$ pour démontrer l'équivalence demandée.

▶ 2. b) 3 et 11 étant premiers entre eux, pensez à utiliser le théorème de Gauss en justifiant que 3 et 11 divisent tous deux ${(x + 23)}^{2} - 4$ .

▶ 3. a) Déterminez les solutions de la relation de congruence à l'aide d'un tableau avec toutes les valeurs possibles pour a puis pour a2 en terminant avec la congruence modulo 3 pour a2.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

▶ 1. Dérouler un algorithme

Comme le nombre entier naturel n représente le nombre d'heures écoulées à partir de l'instant où le four a été éteint, on remplace n par 4 dans l'algorithme. Il en découle que :

S05_algo_003

Après l'exécution de la boucle itérative Pour, la variable T est alors affectée de la valeur 463,0793248. Ainsi, la température du four, arrondie à l'unité, au bout de 4 heures de refroidissement est 463 °C.

▶ 2. Raisonner par récurrence E1

On considère la propriété P(n) : $T_{n} = 980 \times {0,82}^{n} + 20 .$

Initialisation : d'une part, d'après l'énoncé, on a : T0 = 1 000. D'autre part, on a : $980 \times {0,82}^{0} + 20 = 980 + 20 = 1 000 .$ Ainsi, $T_{0} = 980 \times {0,82}^{0} + 20$ et la propriété P(n) est initialisée pour n = 0.

Hérédité : on suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel k :

$T_{k} = 980 \times {0,82}^{k} + 20 (hypothèse de récurrence) .$

Démontrons que P(k + 1) est également vérifiée. On a :

$\begin{matrix} T_{k + 1} = 0,82 \times T_{k} + 3,6 (énoncé) \\ = 0,82 \times (980 \times {0,82}^{k} + 20) + 3,6 (hypothèse de récurrence) \\ = 980 \times {0,82}^{k + 1} + 0,82 \times 20 + 3,6 \\ = 980 \times {0,82}^{k + 1} + 20 \end{matrix}$

Conclusion : comme la propriété P(n) est initialisée pour n = 0 et qu'elle est héréditaire, on en déduit qu'elle est vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n, $T_{n} = 980 \times {0,82}^{n} + 20$ .

▶ 3. Résoudre une inéquation E9b • E9e

D'après l'énoncé, la porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 70 °C. Cela se traduit par l'inéquation : Tn 70. Résolvons cette inéquation dans ℕ :

$T_{n} 70\underset{\begin{matrix} A 2 . \end{matrix}}{\Leftrightarrow}980\times{0,82}^{n}+2070$

$\Leftrightarrow 980 \times {0,82}^{n} 50$

$\Leftrightarrow {0,82}^{n} \frac{5}{98}$

rappel

Pour tous nombres réels a > 0, b > 0 et tout entier relatif m : $a b\Leftrightarrow\ln(a)\ln(b)$ $l n (a^{m}) = m \times l n (a)$ .

$\Leftrightarrow ln ({0,82}^{n}) \ln(\frac{5}{98})$

$\Leftrightarrow n \times ln (0,82) \ln(\frac{5}{98})$

attention !

Comme 0,82 1, $\ln (0,82) 0$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow n > \frac{\ln (\frac{5}{98})}{\ln (0,82)} \approx 14,99 \\ \underset{n \in ℕ}{\Leftrightarrow} n \geq 15 . \end{array}$

Le four peut ainsi être ouvert sans risque au bout de 15 heures.

partie b

▶ 1. Résoudre un système linéaire E6e • E8a • E8d

La température du four étant de 1 000 °C initialement, on a $f (0) = 1 000$ . En remplaçant t par 0 dans l'expression donnée de $f (t)$ , on a :

rappel

$e^{0} = 1$ .

$f (0) = a \times e^{0} + b = a + b .$ D'une part, $f (0) = 1 000$ et d'autre part, $f (0) = a + b .$ Il en découle que a + b = 1 000.

À partir de la relation vérifiée par f et par sa dérivée f′, on a pour tout nombre réel positif t :

rappel

Si u est une fonction dérivable sur I, alors $e^{u}$ est dérivable sur I et $(e^{u})^{'} = u^{'} \times e^{u} .$

$\begin{array}{l} f^{'} (t) + \frac{1}{5} f (t) = 4 \Leftrightarrow (a \times (- \frac{1}{5}) \times e^{- \frac{t}{5}} + 0) + \frac{1}{5} \times (a e^{- \frac{t}{5}} + b) = 4 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{5} \times (- a e^{- \frac{t}{5}} + a e^{- \frac{t}{5}} + b) = 4 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{5} \times b = 4 \Leftrightarrow b = 20 \end{array}$

Les nombres réels a et b sont alors solutions du système suivant :

${\begin{cases} a + b = 1 000 \\ b = 20 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 1 000 - b = 980 \\ b = 20 \end{cases}$

On en conclut que la valeur de $a$ est 980 et que celle de $b$ est 20.

▶ 2. a) Déterminer une limite E8c

Comme $lim_{t \to + ∞} (- \frac{t}{5}) = - \infty$ et comme $lim_{T \to - ∞} e^{T} = 0$ , on a par composition : $lim_{t \to + ∞} e^{- \frac{t}{5}} = 0$ . Par produit et par somme, on obtient :

$\lim_{t \to + ∞} f (t) = \lim_{t \to + ∞} (980 e^{- \frac{t}{5}} + 20) = 980 \times 0 + 20 = 20 .$

b) Justifier les variations d'une fonction E6c • E6e • E6f

La dérivée de la fonction f a été implicitement déterminée à la question 1. de la partie B. En effet, nous avions établi que pour tout nombre réel positif $t : f^{'} (t) = a \times (- \frac{1}{5}) \times e^{- \frac{t}{5}} + 0$ . Or, la valeur de a étant 980, on a pour tout nombre réel t ≥ 0 : $f^{'} (t) = - 196 e^{- \frac{t}{5}} .$ Comme une exponentielle est toujours strictement positive et comme - 196 0, il s'ensuit que $f^{'} (t) 0$ pour tout nombre réel t ≥ 0.

La fonction $f$ est ainsi strictement décroissante sur l'intervalle $[0 + \infty [$ . Son tableau de variations en découle immédiatement :

005_matT_1805_12_01C_tab1

c) Résoudre une inéquation E9a • E9e

D'après l'énoncé, la porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 70 °C. Cela se traduit, avec ce modèle, par l'inéquation $f (t) 70.$

Résolvons cette inéquation dans ℝ :

$f (t) 70\Leftrightarrow980e^{- \frac{t}{5}}+2070\Leftrightarrow980e^{- \frac{t}{5}}50\Leftrightarrowe^{- \frac{t}{5}}\frac{5}{98}$

rappel

Pour tous nombres réels a > 0 et b > 0 : $a b\Leftrightarrow\ln(a)\ln(b)$ .

$\Leftrightarrow \ln (e^{- \frac{t}{5}}) \ln(\frac{5}{98})$

rappel

Pour tout nombre réel a, $\ln (e^{a}) = a$ .

$\Leftrightarrow - \frac{t}{5} \ln(\frac{5}{98})$

$\Leftrightarrow t > - 5 \times \ln (\frac{5}{98})$ .

Comme $- 5 \times \ln (\frac{5}{98}) \times 60 \approx 892,7$ , le four peut être ouvert sans risque pour au bout de 893 minutes soit 14 heures et 53 minutes.

▶ 3. a) Estimer une intégrale E14

La température moyenne θ du four sur les 15 premières heures de refroidissement est la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[0 15]$ , à savoir : $\frac{1}{15} \times \int_{0}^{15} f (t) d t$ . La fonction f étant continue et positive sur cet intervalle (voir question 2. b) de la partie B), $\int_{0}^{15} f (t) d t$ est l'aire, que nous notons $A$ , exprimée en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la représentation graphique de f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées (droite d'équation x = 0) et la droite d'équation x = 15.

1re proposition : estimation par défaut

On estime l'aire $A$ en dénombrant les « carrés complets » en vert :

matT_1805_12_01C_04

8 + 6 + 5 + 4 + 2 × 3 + 2 × 2 + 4 × 1 = 37.

Comme un carré représente 1 × 100 = 100 u.a., on a :

$\frac{1}{15} \times \int_{0}^{15} f (t) d t \approx \frac{37 \times 100}{15} = \frac{740}{3} \approx 246,7$ .

Une estimation par défaut de θ est 246 °C.

2e proposition : estimation par excès

On estime l'aire $A$ en dénombrant les « carrés complets » en orange :

matT_1805_12_01C_05

10 + 9 + 7 + 6 + 5 + 2 × 4 + 2 × 3 + 4 × 2 + 2 × 1 = 61.

On a : $\frac{1}{15} \times \int_{0}^{15} f (t) d t \approx \frac{61 \times 100}{15} = \frac{1 220}{3} \approx 406,7$ .

Une estimation par excès de θ est 407 °C.

b) Calculer une valeur moyenne E11c • E11d • E13

On doit calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante :

$\frac{1}{15 - 0} \times \int_{0}^{15} f (t) d t = \frac{1}{15} \times \int_{0}^{15} (980 e^{- \frac{t}{5}} + 20) d t$

Or, une primitive de la fonction $t \mapsto 980 e^{- \frac{t}{5}} + 20$ est : $t \mapsto 980 \times (- 5 e^{- \frac{t}{5}}) + 20 \times t$ , soit : $t \mapsto - 4 {900 e}^{- \frac{t}{5}} + 20 t .$

On a alors : $\frac{1}{15} \times \int_{0}^{15} (980 e^{- \frac{t}{5}} + 20) d t = \frac{1}{15} \times {[- 4 {900 e}^{- \frac{t}{5}} + 20 t]}_{0}^{15}$

$= \frac{1}{15} \times [(- 4 {900 e}^{- \frac{15}{5}} + 20 \times 15) - (- 4 {900 e}^{- \frac{0}{5}} + 20 \times 0)]$

$= \frac{1}{15} \times [- 4 900 e^{- 3} + 300 + 4 900 e^{0}]$

$= - \frac{4 900}{15} e^{- 3} + \frac{5 200}{15} = - \frac{980}{3} e^{- 3} + \frac{1 040}{3}$ .

La valeur exacte de cette température moyenne θ est $- \frac{980}{3} e^{- 3} + \frac{1 040}{3}$ . La valeur arrondie au degré Celsius est 330 °C.

▶ 4. a) Vérifier une égalité E8b

Pour tout nombre réel t positif, on a :

$\begin{matrix} d (t) = f (t) - f (t + 1) \\ = (980 e^{- \frac{t}{5}} + 20) - (980 e^{- \frac{t + 1}{5}} + 20) \\ = 980 \times (e^{- \frac{t}{5}} - e^{- \frac{t + 1}{5}}) \\ = 980 \times (e^{- \frac{t}{5}} - e^{- \frac{t}{5} - \frac{1}{5}}) \end{matrix}$

rappel

Pour tous nombres réels a et b, $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ .

$= 980 \times (e^{- \frac{t}{5}} - e^{- \frac{t}{5}} \times e^{- \frac{1}{5}})$

$= 980 \times (1 - e^{- \frac{1}{5}}) \times e^{- \frac{t}{5}}$

Ainsi, pour tout nombre réel $t$ positif, $d (t) = 980 \times (1 - e^{- \frac{1}{5}}) \times e^{- \frac{t}{5}}$ .

b) Déterminer une limite et l'interpréter E8c

Comme $lim_{t \to + ∞} - \frac{t}{5} = - ∞$ et comme $\lim_{T \to - ∞} e^{T} = 0$ , on a par composition : $lim_{t \to + ∞} e^{- \frac{t}{5}} = 0$ . Par produit, on obtient : $lim_{t \to + ∞} d (t) = 980 \times (1 - e^{- \frac{1}{5}}) \times 0 = 0$ .

La limite de d(t) lorsque t tend vers + ∞ est ainsi 0.

On peut en donner l'interprétation suivante : plus les heures passent, plus l'abaissement de la température (en degrés Celsius) du four au cours d'une heure devient de plus en plus proche de 0. Autrement dit, au fur et à mesure des heures, la température du four va se stabiliser.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

▶ 1. a) Écrire des nombres complexes sous différentes formes
E18a • E19 • E20 • E21

Le module r du nombre complexe j est :

$| - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt[]{3}}{2} | = \sqrt[]{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt[]{3}}{2})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1 .$

Par propriété, un argument θ de ce nombre complexe non nul exprimé en radians vérifie $\cos θ = \frac{Re (j)}{r} = - \frac{1}{2}$ et $\sin θ = \frac{Im (j)}{r} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}$ .

À l'aide du tableau des valeurs usuelles, on en déduit que $\frac{2 π}{3}$ est un argument du nombre complexe j. Ainsi, j s'écrit $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}) (forme trigonométrique)$ ou encore $e^{i \frac{2 π}{3}} (forme exponentielle)$ .

D'après l'énoncé, on a :

$a^{'} = j \times a = (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt[]{3}}{2}) \times (- 4) = - \frac{1}{2} \times (- 4) + i \frac{\sqrt[]{3}}{2} \times (- 4) = 2 - 2 i \sqrt[]{3}$

$b^{'} = j \times b = (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt[]{3}}{2}) \times 2 = - \frac{1}{2} \times 2 + i \frac{\sqrt[]{3}}{2} \times 2 = - 1 + i \sqrt[]{3}$

$c^{'} = j \times c = (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt[]{3}}{2}) \times 4 = - \frac{1}{2} \times 4 + i \frac{\sqrt[]{3}}{2} \times 4 = - 2 + 2 i \sqrt[]{3}$ .

Les formes algébriques de $a^{'}, b^{'}$ et $c^{'}$ sont donc respectivement $2 - 2 i \sqrt[]{3} - 1 + i \sqrt[]{3}$ et $- 2 + 2 i \sqrt[]{3}$ .

D'après l'énoncé et le premier point, on a :

rappel

$e^{i π} = - 1$ .

$\begin{matrix} a^{'} = j \times a = e^{i \frac{2 π}{3}} \times (- 4) = 4 \times (- 1) \times e^{i \frac{2 π}{3}} \\ = 4 \times e^{i π} \times e^{i \frac{2 π}{3}} = 4 \times e^{i (π + \frac{2 π}{3})} = 4 e^{i \frac{5 π}{3}} \end{matrix}$

$b^{'} = j \times b = e^{i \frac{2 π}{3}} \times 2 = 2 e^{i \frac{2 π}{3}}$

$c^{'} = j \times c = e^{i \frac{2 π}{3}} \times 4 = 4 e^{i \frac{2 π}{3}}$ .

Les formes exponentielles de $a^{'}$ , $b^{'}$ et $c^{'}$ sont donc respectivement $4 e^{i \frac{5 π}{3}}$ $2 e^{i \frac{2 π}{3}}$ et $4 e^{i \frac{2 π}{3}}$ .

b) Placer des points d'affixes données E16b • E18c

rappel

Re(z) est l'abscisse du point d'affixe z et Im(z) est son ordonnée.

Comme $| a^{'} | = 4$ , le point A′ est sur le cercle de centre O et de rayon 4. De plus, $Re (a^{'}) = 2$ et $Im (a^{'}) = - 2 \sqrt[]{3} 0$ , le placement de A′ s'ensuit.

Comme $| b^{'} | = 2$ , le point B′ est sur le cercle de centre O et de rayon 2. De plus, $Re (b^{'}) = - 1$ et $Im (b^{'}) = \sqrt[]{3} > 0$ , le placement du point B′ s'ensuit.

Comme $| c^{'} | = 4$ , le point C′ est sur le cercle de centre O et de rayon 4. De plus, $Re (c^{'}) = - 2$ et $Im (c^{'}) = 2 \sqrt[]{3} > 0$ , le placement de C′ s'ensuit. On obtient ainsi la figure suivante :

matT_1805_12_01C_06

▶ 2. Montrer l'alignement de trois points E22

Le vecteur $\vec{A′ C′}$ a pour affixe : $c^{'} - a^{'} = j c - j a = j \times (c - a) = 8 j .$

Le vecteur $\vec{A′ B′}$ a pour affixe : $b^{'} - a^{'} = j b - j a = j \times (b - a) = 6 j$ .

Comme $c^{'} - a^{'} = \frac{8}{6} \times (b^{'} - a^{'}) = \frac{4}{3} (b^{'} - a^{'})$ , les vecteurs $\vec{A′ C′}$ et $\vec{A′ B′}$ sont colinéaires. On en conclut que les points A′, B′ et C′ sont alignés.

▶ 3. Démontrer qu'un triangle est isocèle E22 • C4

Le point M, milieu du segment $[A′ C]$ , a pour affixe : $\frac{a^{'} + c}{2} = \frac{2 - 2 i \sqrt[]{3} + 4}{2} = 3 - i \sqrt[]{3} .$

Le point N, milieu du segment $[C′ C]$ , a pour affixe : $\frac{c^{'} + c}{2} = \frac{- 2 + 2 i \sqrt[]{3} + 4}{2} = 1 + i \sqrt[]{3 .}$

Le point P, milieu du segment $[C′ A]$ , a pour affixe : $\frac{c^{'} + a}{2} = \frac{- 2 + 2 i \sqrt[]{3} - 4}{2} = - 3 + i \sqrt[]{3 .}$ Par suite, nous avons :

$\begin{matrix} MP = | (- 3 + i \sqrt[]{3}) - (3 - i \sqrt[]{3}) | = | - 6 + 2 i \sqrt[]{3} | = \sqrt[]{{(- 6)}^{2} + {(2 \sqrt[]{3})}^{2}} \\ = \sqrt[]{48} = 4 \sqrt[]{3} \end{matrix}$

$\begin{matrix} MN = | (1 + i \sqrt[]{3}) - (3 - i \sqrt[]{3}) | = | - 2 + 2 i \sqrt[]{3} | = \sqrt[]{{(- 2)}^{2} + {(2 \sqrt[]{3})}^{2}} \\ = \sqrt[]{16} = 4 \end{matrix}$

$NP = | (- 3 + i \sqrt[]{3}) - (1 + i \sqrt[]{3}) | = | - 4 | = 4$ .

Comme MN = NP, le triangle MNP est isocèle en N.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie a

▶ 1. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40e • C3

Comme XU suit la loi normale d'espérance 0,58 et que la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d'équation x = 0,58 on a :

$\begin{matrix} P (X_{U} 0,2)=P(X_{U}0,58)-P(0,2\leqX_{U}\leq0,58) \\ = 0,5 - P (0,2 \leq X_{U} \leq 0,58) . \end{matrix}$

Or, à l'aide de la calculatrice,

TI 83+	Casio Graph 35

La probabilité de l'événement ${X_{U} 0,2}$ , arrondie au millième, est 0,035.

Comme la loi normale est une loi continue, la probabilité de l'événement ${0,5 \leq X_{U} 0,8}$ est identique à la probabilité de l'événement ${0,5 \leq X_{U} \leq 0,8}$ .

À l'aide également de la calculatrice, on a :

TI 83+	Casio Graph 35

La probabilité de l'événement ${0,5 \leq X_{U} 0,8}$ , arrondie au millième, est 0,501.

b) Estimer à partir de probabilités

D'après l'énoncé, les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à 0,2 mm se trouvent dans le récipient à fond étanche à la fin du calibrage. Or d'après la question A 1. a), la probabilité qu'un cristal de sucre de l'exploitation U prélevé au hasard y soit, est : $P (X_{U} 0,2)\approx0,035.$ Comme on fait passer 1 800 cristaux de sucre et que $1 800 \times P (X_{U} 0,2)\approx63$ , alors on peut estimer à 63 le nombre de cristaux de sucre récupérés dans le récipient à fond étanche.

De même, d'après l'énoncé, les cristaux de sucre dont la taille est comprise entre 0,5 et 0,8 (exclu) se trouvent dans le tamis 2. Or d'après la question 1. a) de la partie A, la probabilité qu'un cristal de sucre de l'exploitation U prélevé au hasard y soit, est : $P (0,5 \leq X_{U} 0,8)\approx0,501.$ Comme on fait passer 1 800 cristaux de sucre et que $1 800 \times P (0,5 \leq X_{U} 0,8)\approx901$ alors on peut estimer à 901 le nombre de cristaux de sucre récupérés dans le tamis 2.

▶ 2. Estimer un écart type E40a • E40d • E40e

D'après l'énoncé, lors du calibrage d'une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l'exploitation V, on constate que 40 % de ces cristaux se retrouvent dans le tamis 2. Cela se traduit à l'aide de la variable aléatoire XV par $P (0,5 \leq X_{V} 0,8)=0,40$ ce qui s'écrit : $P (0,65 - 0,15 \leq X_{V} 0,65+0,15)=0,40$ . Or, comme μV = 0,65 et par symétrie de la densité d'une loi normale, $P (0,5 \leq X_{V} 0,65)=P(0,65\leqX_{V}0,8).$

Par les mêmes arguments, $P (X_{V} 0,65)=P(X_{V}\geq0,65)=0,5$ .

Il en découle que $P (0,5 \leq X_{V} 0,8)=2\timesP(0,65\leqX_{V}0,8)$ ce qui est équivalent à $P (0,65 \leq X_{V} 0,8)=0,20$ et par conséquent : $P (X_{V} 0,8)=P(X_{V}0,65)+P(0,65\leqX_{V}0,8)$

= 0,50 + 0,20 = 0,70.

On a :

$\begin{array}{l} P (X_{V} 0,8)=0,70\LeftrightarrowP(\underset{centrer}{\underset{︸}{X_{V} - 0,65}}0,8-0,65)=0,70 \\ \Leftrightarrow P (\underset{réduire}{\underset{︸}{\frac{X_{V} - 0,65}{σ_{V}}}} \frac{0,15}{σ_{V}}) = 0,70 . \end{array}$

Or, comme la variable aléatoire XV suit la loi normale d'espérance 0,65 et d'écart type σV alors, par définition, la variable aléatoire $X_{C} = \frac{X_{V} - 0,65}{σ_{V}}$ suit la loi normale centrée réduite. On a ainsi $P (X_{C} \frac{0,15}{σ_{V}}) = 0,70$ où XC suit la loi $N (0 1^{2}) .$

Résolvons alors l'équation $P (X_{C} a)=0,70$ où a est un nombre réel à déterminer et où XC suit la loi normale centrée réduite.

À l'aide de la calculatrice, on obtient :

TI 83 +	Casio Graph 75

rappel

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale $(a, μ, σ)$ où μ = 0 et σ = 1.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD $(a, σ, μ)$ où μ = 0 et σ = 1.

Ainsi a ≈ 0,524 et par identification on peut maintenant écrire que $\frac{0,15}{σ_{V}} = a$ soit $σ_{V} = \frac{0,15}{a} \approx 0,286$ .

La valeur de l'écart type σV de la variable aléatoire XV, arrondie au millième, est 0,286.

partie b

▶ 1. a) Déterminer la probabilité d'un événement E34 • E35

30 % du sucre provient de l'exploitation U et donc 70 % du sucre provient de l'exploitation V. Ainsi, la probabilité de l'événement U, P(U), est 0,30 et la probabilité de l'événement V, P(V), est 0,70.

3 % du sucre provenant de l'exploitation U est « extra fin » et 5 % du sucre provenant de l'exploitation V l'est. Ainsi, les probabilités conditionnelles $P_{U} (E)$ et $P_{V} (E)$ sont respectivement 0,03 et 0,05.

La probabilité demandée est la probabilité de l'événement E, soit P(E). Or l'événement E est la réunion de deux événements :

E ∩ U : « le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation U et il porte le label « extra fin »

E ∩ V : « le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation V et il porte le label « extra fin ».

L'entreprise ne mélangeant pas les sucres des deux exploitations, ces deux événements E ∩ U et E ∩ V sont donc incompatibles.

Ainsi, on a :

$\begin{matrix} P (E) = P (E \cap U) + P (E \cap V) \\ = P (U) \times P_{U} (E) + P (V) \times P_{V} (E) \\ = 0,30 \times 0,03 + 0,70 \times 0,05 \\ = 0,044 . \end{matrix}$

La probabilité que le paquet prélevé porte le label « extra fin » est donc 0,044.

b) Déterminer une probabilité conditionnelle E35

La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle : probabilité de l'événement U sachant que l'événement E est réalisé. Elle se note : $P_{E} (U) .$

Par définition, on a :

$P_{E} (U) = \frac{P (E \cap U)}{P (E)} = \frac{P (U) \times P_{U} (E)}{P (E)} = \frac{0,30 \times 0,03}{0,044} \approx 0,205 .$

Sachant qu'un paquet porte le label « extra fin », la probabilité que le sucre qu'il contient provienne de l'exploitation U, arrondie au millième, est 0,205.

▶ 2. Déterminer une répartition E34 • E35

L'entreprise souhaite désormais que, parmi les paquets portant le label « extra fin », 30 % d'entre eux contiennent du sucre provenant de l'exploitation U. Cela se traduit en terme de probabilités par $P_{E} (U) = 0,3 .$ Pour ce faire, elle doit modifier la répartition actuelle (à savoir 30 % de l'exploitation U et 70 % de l'exploitation V), c'est-à-dire modifier les probabilités P(U) et P(V).

Similairement aux deux questions précédentes, on a :

rappel

Si B est l'événement contraire d'un événement A, alors P(A) + P(B) = 1.

$\begin{matrix} P (E) = P (U) \times P_{U} (E) + P (V) \times P_{V} (E) \\ = P (U) \times 0,03 + (1 - P (U)) \times 0,05 \\ = 0,05 - 0,02 \times P (U) . \end{matrix}$

Il en découle :

$P_{E} (U) = \frac{P (U) \times 0,03}{0,05 - 0,02 \times P (U)} .$

La question revient par conséquent à déterminer P(U) telle que :

$\frac{P (U) \times 0,03}{0,05 - 0,02 \times P (U)} = 0,3$

Ce qui est équivalent à :

$\begin{array}{l} P (U) \times 0,03 = 0,3 \times (0,05 - 0,02 \times P (U)) \\ \Leftrightarrow P (U) \times (0,03 + 0,3 \times 0,02) = 0,3 \times 0,05 \\ \Leftrightarrow P (U) \times 0,036 = 0,015 \\ \Leftrightarrow P (U) = \frac{0,015}{0,036} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} . \end{array}$

L'entreprise doit donc s'approvisionner en obtenant cinq douzième du sucre nécessaire à la fabrication de ses paquets auprès de l'exploitation U et sept douzième auprès de l'exploitation V.

partie c

▶ 1. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation E43

Selon l'entreprise, la proportion p des paquets du sucre portant le label « extra fin » qu'elle conditionne contiennent du sucre provenant de l'exploitation U est 30 % soit p = 0,30.

L'acheteur pour vérifier cette proportion annoncée a prélevé 150 paquets au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de cette entreprise : la taille n de l'échantillon est donc 150.

Comme n = 150 ≥ 30, n × p = 45 ≥ 5 et n × (1 - p) = 105 ≥ 5, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de paquets provenant de l'exploitation U dans un échantillon aléatoire de taille 150 est défini et donné par :

$[p - 1,96 \times \frac{\sqrt[]{p (1 - p)}}{\sqrt[]{n}} p + 1,96 \times \frac{\sqrt[]{p (1 - p)}}{\sqrt[]{n}}] \approx [0,227 0,373] .$

Parmi les paquets prélevés au hasard, 30 contiennent du sucre provenant de l'exploitation U : la fréquence observée f de paquets portant le label « extra fin » provenant de l'exploitation U est donc : $\frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 0,2$ . La fréquence observée f n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, l'acheteur peut remettre en question l'annonce de l'entreprise, avec un risque de 5 % de se tromper.

▶ 2. Déterminer un intervalle de confiance E44

L'acheteur a prélevé 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l'entreprise : la taille de l'échantillon considéré est donc n = 150.

Parmi ces 150 paquets, la fréquence observée dans cet échantillon de paquets qui contiennent du sucre provenant de l'exploitation U est : f = 0,42.

Comme n = 150 ≥ 30, n × f = 63 ≥ 5 et $n \times (1 - f) = 87 \geq 5$ , les conditions sur n et f sont vérifiées et l'intervalle de confiance est défini par :

$[f - \frac{1}{\sqrt[]{n}} f + \frac{1}{\sqrt[]{n}}] = [0,42 - \frac{1}{\sqrt[]{150}} 0,42 + \frac{1}{\sqrt[]{150}}] \approx [0,338 0,502] .$

Au niveau de confiance 0,95, la nouvelle proportion de paquets labellisés « extra fin » contenant du sucre provenant de l'exploitation U se situerait entre 33,8 % et 50,2 %.

Exercice 4

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

▶ 1. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite E30

Le vecteur $\vec{CD} | \begin{array}{l} x_{D} - x_{C} = 4 - 0 = 4 \\ y_{D} - y_{C} = 3 - 3 = 0 \\ z_{D} - z_{C} = - 2 - 2 = - 4 \end{array}$ est un vecteur directeur de la droite (CD) et C(0 3 2) est un point de (CD). Une représentation paramétrique de (CD) est donc :

$(CD) : {\begin{cases} x = 0 + 4 t = 4 t \\ y = 3 + 0 t = 3, t \in ℝ \\ z = 2 - 4 t \end{cases} .$

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d'un point pour optimiser une distance E31c

$M \in (CD)$ donc M a pour coordonnées $(4 t 3 2 - 4 t)$ , t ∈ ℝ.

$\begin{matrix} BM = \sqrt[]{{(x_{M} - x_{B})}^{2} + {(y_{M} - y_{B})}^{2} + {(z_{M} - z_{B})}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(4 t - 4)}^{2} + {(3 - (- 1))}^{2} + {(2 - 4 t - 0)}^{2}} \\ = \sqrt[]{16 t^{2} - 32 t + 16 + 16 + 4 - 16 t + 16 t^{2}} \\ = \sqrt[]{32 t^{2} - 48 t + 36} = \sqrt[]{32 (t^{2} - 1,5 t) + 36} \\ = \sqrt[]{32 {(t - 0,75)}^{2} - 18 + 36} = \sqrt[]{32 {(t - 0,75)}^{2} + 18} . \end{matrix}$

Pour tout t ∈ ℝ, $32 {(t - 0,75)}^{2} + 18 \geq 18$ donc, puisque la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 + ∞[, on en déduit que $BM = \sqrt[]{32 {(t - 0,75)}^{2} + 18} \geq \sqrt[]{18}$ .

De plus, pour t = 0,75, on a $BM = \sqrt[]{32 {(t - 0,75)}^{2} + 18} = \sqrt[]{18}$ .

Par conséquent, BM est minimale pour t = 0,75.

Les coordonnées de M sont alors : $(4 \times 0,75 3 2 - 4 \times 0,75) = (3 3 - 1)$ .

b) Vérifier que deux droites sont perpendiculaires E26

On a $\vec{BH} | \begin{array}{l} x_{H} - x_{B} = 3 - 4 = - 1 \\ y_{H} - y_{B} = 3 - (- 1) = 4 \\ z_{H} - z_{B} = - 1 - 0 = - 1 \end{array}$ et $\vec{CD} | \begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ - 4 \end{array}$ d'après la question 1.

On en déduit que $\vec{BH} \cdot \vec{CD} = - 1 \times 4 + 4 \times 0 + (- 1) \times (- 4) = 0$ .

Les vecteurs $\vec{BH}$ et $\vec{CD}$ sont donc orthogonaux. Il en résulte que les droites (BH) et (CD) sont orthogonales.

Le point H est sur la droite (CD) d'après la question 2. a) on en déduit que les droites (BH) et (CD) sont sécantes en H.

Des deux points ci-dessus, on en déduit que (BH) et (CD) sont perpendiculaires.

c) Calculer l'aire d'un triangle E31c

D'après les questions précédentes, (BH) et (CD) sont perpendiculaires et le point H est sur (CD). Par conséquent, la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD et l'aire du triangle BCD est donnée par : $aire (BCD) = \frac{BH \times CD}{2}$ .

D'après la question 2. a), $BH = \sqrt[]{18} = 3 \sqrt[]{2}$ . En exploitant les coordonnées du vecteur $\vec{CD} (4 0 - 4)$ , nous obtenons :

$CD = ‖ \vec{CD} ‖ = \sqrt[]{4^{2} + 0^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt[]{32} = 4 \sqrt[]{2}$ .

Finalement :

$aire (BCD) = \frac{BH \times CD}{2} = = \frac{3 \sqrt[]{2} \times 4 \sqrt[]{2}}{2} = 12 {cm}^{2}$ .

▶ 3. a) Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan E33a

On a $\vec{BC} | \begin{array}{l} x_{C} - x_{B} = 0 - 4 = - 4 \\ y_{C} - y_{B} = 3 - (- 1) = 4 \\ z_{C} - z_{B} = 2 - 0 = 2 \end{array}$ et $\vec{CD} | \begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ - 4 \end{array}$ .

Les coordonnées des vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas colinéaires.

On a : $\vec{n} \cdot \vec{BC} = 2 \times (- 4) + 1 \times 4 + 2 \times 2 = 0$ donc les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux.

On a : $\vec{n} \cdot \vec{CD} = 2 \times 4 + 1 \times 0 + 2 \times (- 4) = 0$ donc les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{CD}$ sont orthogonaux.

D'après les trois points ci-dessus, on constate que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) que sont les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{CD}$ . Par conséquent, le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (BCD).

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan E33c

D'après la question précédente, le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (BCD). Une équation cartésienne du plan (BCD) est donc 2x + y + 2z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Comme le point C appartient au plan (BCD), on peut en déduire que 2xC + yC + 2zC + d = 0 ce qui donne 2 × 0 + 3 + 2 × 2 + d = 0 et finalement d = - 7.

Une équation cartésienne du plan (BCD) est donc $2 x + y + 2 z - 7 = 0$ .

c) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite E30

La droite ∆ est orthogonale au plan (BCD). Le vecteur $\vec{n} (2 1 2)$ , normal au plan (BCD), est donc un vecteur directeur de ∆. Le point A(2 1 4) appartenant à la droite ∆, on en déduit une représentation paramétrique de la droite ∆ :

$∆ : {\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 + 1 t = 1 + t, t \in ℝ \\ z = 4 + 2 t \end{cases} .$

d) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection E24b

$\begin{array}{l} I \in ∆ \cap (BCD) \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 4 + 2 t \\ 2 x + y + 2 z - 7 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 4 + 2 t \\ 2 \times (2 + 2 t) + (1 + t) + 2 \times (4 + 2 t) - 7 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 4 + 2 t \\ 9 t = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 2 + 2 \times (- \frac{2}{3}) = \frac{2}{3} \\ y = 1 + (- \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} \\ z = 4 + 2 \times (- \frac{2}{3}) = \frac{8}{3} \\ t = - \frac{2}{3} \end{cases} \end{array}$

Le point I a pour coordonnées $(\frac{2}{3} \frac{1}{3} \frac{8}{3}) .$

▶ 4. Calculer le volume d'un tétraèdre E31c

La droite ∆ est orthogonale au plan (BCD) et passe par le point A. Le volume du tétraèdre ABCD est donc donné par :

$volume (ABCD) = \frac{1}{3} \times aire (BCD) \times AI$ .

On a : $\begin{matrix} AI = \sqrt[]{{(x_{I} - x_{A})}^{2} + {(y_{I} - y_{A})}^{2} + {(z_{I} - z_{A})}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(\frac{2}{3} - 2)}^{2} + {(\frac{1}{3} - 1)}^{2} + {(\frac{8}{3} - 4)}^{2}} \\ = \sqrt[]{{(- \frac{4}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2} + {(- \frac{4}{3})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{36}{9}} = \sqrt[]{4} = 2 cm. \end{matrix}$

Par conséquent : $volume (ABCD) = \frac{1}{3} \times 12 \times 2 = 8 {cm}^{3}$ .

Exercice 4

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a : cryptage

▶ 1. Coder une lettre par un nombre

Le codage de la lettre N, représentée par le nombre entier x = 13 est le nombre y tel que $y \equiv 13 (13 + 13) [33]$ avec 0 ≤ y 33.

Or $\begin{matrix} 13 (13 + 13) = 13 \times 2 \times 13 = 2 \times 169 \\ = 2 \times (33 \times 5 + 4) \equiv 2 \times 4 [33] \equiv 8 [33] . \end{matrix}$

Par conséquent y = 8. Bob code donc la lettre N avec le chiffre 8.

▶ 2. Coder une lettre par un nombre

Le codage de la lettre O, représentée par le nombre entier x = 14 est le nombre y tel que $y \equiv 14 (14 + 13) [33]$ avec 0 ≤ y 33.

Or $14 (14 + 13) = 14 \times 27 = 378 = 33 \times 11 + 15 \equiv 15 [33]$ .

Par conséquent y = 15. Le nombre qui code la lettre O est donc 15.

partie b : décryptage

▶ 1. Démontrer une équivalence

rappel

$23 = 33 - 10 \equiv - 10 [33]$ et $100 = 3 \times 33 + 1 \equiv 1 [33]$ .

$\begin{array}{l} {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [33] \Leftrightarrow x^{2} + 46 x + 23^{2} \equiv 4 [33] \\ \Leftrightarrow x^{2} + 13 x + {(- 10)}_{2} \equiv 4 [33] \\ \Leftrightarrow x (x + 13) + 100 \equiv 4 [33] \\ \Leftrightarrow x (x + 13) \equiv 3 [33] . \end{array}$

Finalement, ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33] \Leftrightarrow x (x + 13) \equiv 3 [33] .$

▶ 2. a) Démontrer une implication

Si ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33]$ , alors ${(x + 23)}^{2} - 4 \equiv 0 [33]$ et 33 divise ${(x + 23)}^{2} - 4 .$ Puisque 33 = 3 × 11, alors 3 divise ${(x + 23)}^{2} - 4$ soit ${(x + 23)}^{2} - 4 \equiv 0 [3]$ et ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [3]$ .

De même, 11 divise ${(x + 23)}^{2} - 4$ soit ${(x + 23)}^{2} - 4 \equiv 0 [11]$ et ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [11]$ .

Si ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33]$ , alors le système ${\begin{cases} {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [3] \\ {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] \end{cases}$ est vérifié.

b) Démontrer une implication réciproque

Si ${\begin{cases} {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [3] \\ {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] \end{cases}$ , alors 3 divise ${(x + 23)}^{2} - 4$ et 11 divise ${(x + 23)}^{2} - 4$ .

Il existe donc un entier relatif k tel que ${(x + 23)}^{2} - 4 = 3 k$ et un entier relatif p tel que ${(x + 23)}^{2} - 4 = 11 p$ . Ainsi 3k = 11p et 11 divise 3k. Or 11 et 3 sont premiers entre eux.

rappel

Théorème de Gauss : a, b et c sont des entiers relatifs (a ≠ 0, b ≠ 0). Si a et b sont premiers entre eux et si a divise bc, alors a divise c.

Par conséquent, 11 divise k. Il existe donc un entier relatif k′ tel que k = 11k′.

Finalement, ${(x + 23)}^{2} - 4 = 3 k = 3 \times 11 \times k^{'} = 33 k^{'}$ et 33 divise ${(x + 23)}^{2} - 4$ .

Ainsi, si ${\begin{cases} {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [3] \\ {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] \end{cases}$ , alors ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33]$ .

c) Démontrer une équivalence

D'après la question 1. de la partie B, on a : $x (x + 13) \equiv 3 [33] \Leftrightarrow {(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33]$ .

D'après les questions 2. a) et 2. b) de la partie B, on a : ${(x + 23)}^{2} \equiv 4 [33] \Leftrightarrow {\begin{cases} {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [3] \\ {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] . \end{cases}$

Puisque 4 ≡ 1 [3], il en résulte que $x (x + 13) \equiv 3 [33] \Leftrightarrow {\begin{cases} {(x + 23)}_{2} \equiv 1 [3] \\ {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] . \end{cases}$

▶ 3. a) Déterminer les solutions d'une relation de congruence

a	1	2
$a^{2}$	1	4
$a^{2}$ modulo 3	1	1

Les nombres entiers naturels a tels que 0 ≤ a 3 et $a^{2} \equiv 1 [3]$ sont $a = 1$ et $a = 2$ .

b) Déterminer les solutions d'une relation de congruence

b	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$b^{2}$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
$b^{2}$ modulo 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1

Les nombres entiers naturels b tels que 0 ≤ b 11 et $b^{2} \equiv 4 [11]$ sont $b = 2$ et $b = 9$ .

▶ 4. a) Déterminer une équivalence

D'après la question 3. a) de la partie B :

$\begin{array}{l} {(x + 23)}_{2} \equiv 1 [3] \Leftrightarrow x + 23 \equiv 1 [3] ou x + 23 \equiv 2 [3] \\ \Leftrightarrow x \equiv - 22 [3] ou x \equiv - 21 [3] \\ \Leftrightarrow x \equiv 2 [3] ou x \equiv 0 [3] . \end{array}$

D'après la question 3. b) de la partie B :

$\begin{array}{l} {(x + 23)}_{2} \equiv 4 [11] \Leftrightarrow x + 23 \equiv 2 [11] ou x + 23 \equiv 9 [11] \\ \Leftrightarrow x \equiv - 21 [11] ou x \equiv - 14 [11] \\ \Leftrightarrow x \equiv 1 [11] ou x \equiv 8 [11] . \end{array}$

Par conséquent, avec les deux points ci-dessus et le résultat de la question 2. c) de la partie B, on en déduit que $x (x + 13) \equiv 3 [33]$ équivaut aux quatre systèmes suivants :

b) Déterminer les solutions de systèmes de congruence

Solution de ${\begin{cases} x \equiv 2 [3] \\ x \equiv 8 [11] \end{cases}$ : si x ≡ 2 [3], il existe un entier relatif k tel que x = 2 + 3k. Puisque x ≡ 8 [11], cela donne 2 + 3k ≡ 8 [11] soit $3 k \equiv 6 [11]$ ou encore $12 k \equiv 24 [11]$ .

Finalement, $k \equiv 2 [11]$ .

Ainsi il existe un entier relatif p tel que k ≡ 2 + 11p et x = 2 + 3k = 8 + 33p.

Puisque 0 ≤ x 33, cela impose p = 0 et x = 8.

On vérifie que la solution x = 8 convient : ${\begin{cases} 8 \equiv 2 [3] \\ 8 \equiv 8 [11] \end{cases}$ .

La solution du système proposé est $x = 8$ .

Solution de ${\begin{cases} x \equiv 0 [3] \\ x \equiv 1 [11] \end{cases}$ : si x ≡ 0 [3], il existe un entier relatif k tel que x = 3k. Puisque x ≡ 1 [11], cela donne 3k ≡ 1 [11] soit $12 k \equiv 4 [11]$ ou encore $k \equiv 4 [11]$ .

Ainsi il existe un entier relatif p tel que k = 4 + 11p et x = 12 + 33p.

Puisque 0 ≤ x 33, cela impose p = 0 et x = 12.

On vérifie que la solution x = 12 convient : ${\begin{cases} 12 \equiv 0 [3] \\ 12 \equiv 1 [11] \end{cases}$

La solution du système proposé est $x = 12$ .

Solution de ${\begin{cases} x \equiv 2 [3] \\ x \equiv 1 [11] \end{cases}$ : si x ≡ 2 [3], il existe un entier relatif k tel que x = 2 + 3k. Puisque x ≡ 1 [11], cela donne 2 + 3k ≡ 1 [11] soit $3 k \equiv - 1 [11]$ ou encore $12 k \equiv - 4 [11]$ et $12 k \equiv 7 [11] .$

Finalement, $k \equiv 7 [11] .$

Ainsi il existe un entier relatif p tel que k = 7 + 11p et x = 23 + 33p.

Puisque 0 ≤ x 33, cela impose p = 0 et x = 23.

On vérifie que la solution x = 23 convient : ${\begin{cases} 23 \equiv 2 [3] \\ 23 \equiv 1 [11] \end{cases}$ .

La solution du système proposé est $x = 23$ .

Solution de ${\begin{cases} x \equiv 0 [3] \\ x \equiv 8 [11] \end{cases}$ : si x ≡ 0 [3], il existe un entier relatif k tel que x = 3k. Puisque x ≡ 8 [11], cela donne 3k ≡ 8 [11] soit $12 k \equiv 32 [11]$ ou encore $k \equiv 10 [11]$ .

Ainsi il existe un entier relatif p tel que k = 10 + 11p et x = 30 + 33p.

Puisque 0 ≤ x 33, cela impose p = 0 et x = 30.

On vérifie que la solution x = 30 convient : ${\begin{cases} 30 \equiv 0 [3] \\ 30 \equiv 8 [11] \end{cases}$ .

La solution du système proposé est $x = 30$ .

▶ 5. Compléter un algorithme

Pour afficher les quatre solutions trouvées dans la question précédente, il faut résoudre à l'aide de l'algorithme $x (x + 13) \equiv 3 [33]$ . Il faut donc faire afficher toutes les valeurs de x comprises entre 0 et 32 qui satisfont à la relation $x (x + 13) \equiv 3 [33]$ . Sachant que 3 doit alors être le reste dans la division euclidienne de x(x + 13) par 33, on peut proposer l'algorithme suivant :

S05_algo_004

▶ 6. Évaluer la pertinence du « chiffre de RABIN » pour le cryptage

La question 4. de la partie B. nous montre qu'il y a plusieurs solutions à l'équation $x (x + 13) \equiv 3 [33]$ . Cela fait donc que plusieurs lettres différentes sont utilisables pour décoder la première lettre du message de Bob. Il n'est donc pas possible d'utiliser le « chiffre de RABIN » pour décoder un message lettre par lettre.

Sujet complet de Pondichéry 2018

Exercice 1 (6 points) • ⏱ 1 h 15Refroidissement d'un four

partie a

partie b

Exercice 2 (4 points) • ⏱ 45 minUn classique chez les complexes !

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 1 hFabrication de paquets de sucre

partie a

partie b

partie c

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 hVolume d'un tétraèdre

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 hLe chiffre de « RABIN »

partie a : cryptage

partie b : décryptage

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

Partie B

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

Partie B

Partie C

Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie B

Exercice 1

partie a

▶ 1. Dérouler un algorithme

▶ 2. Raisonner par récurrence E1

▶ 3. Résoudre une inéquation E9b • E9e

partie b

▶ 1. Résoudre un système linéaire E6e • E8a • E8d

▶ 2. a) Déterminer une limite E8c

b) Justifier les variations d'une fonction E6c • E6e • E6f

c) Résoudre une inéquation E9a • E9e

▶ 3. a) Estimer une intégrale E14

b) Calculer une valeur moyenne E11c • E11d • E13

▶ 4. a) Vérifier une égalité E8b

b) Déterminer une limite et l'interpréter E8c

Exercice 2

▶ 1. a) Écrire des nombres complexes sous différentes formes E18a • E19 • E20 • E21

b) Placer des points d'affixes données E16b • E18c

▶ 2. Montrer l'alignement de trois points E22

▶ 3. Démontrer qu'un triangle est isocèle E22 • C4

Exercice 3

partie a

▶ 1. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40e • C3

b) Estimer à partir de probabilités

▶ 2. Estimer un écart type E40a • E40d • E40e

partie b

▶ 1. a) Déterminer la probabilité d'un événement E34 • E35

b) Déterminer une probabilité conditionnelle E35

▶ 2. Déterminer une répartition E34 • E35

partie c

▶ 1. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation E43

▶ 2. Déterminer un intervalle de confiance E44

Exercice 4

▶ 1. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite E30

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d'un point pour optimiser une distance E31c

b) Vérifier que deux droites sont perpendiculaires E26

c) Calculer l'aire d'un triangle E31c

▶ 3. a) Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan E33a

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan E33c

c) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite E30

d) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection E24b

▶ 4. Calculer le volume d'un tétraèdre E31c

Exercice 4

partie a : cryptage

▶ 1. Coder une lettre par un nombre

▶ 2. Coder une lettre par un nombre

partie b : décryptage

▶ 1. Démontrer une équivalence

▶ 2. a) Démontrer une implication

b) Démontrer une implication réciproque

c) Démontrer une équivalence

▶ 3. a) Déterminer les solutions d'une relation de congruence

b) Déterminer les solutions d'une relation de congruence

▶ 4. a) Déterminer une équivalence

b) Déterminer les solutions de systèmes de congruence

▶ 5. Compléter un algorithme

▶ 6. Évaluer la pertinence du « chiffre de RABIN » pour le cryptage

Exercice 1 (6 points) • ⏱ 1 h 15
Refroidissement d'un four

Exercice 2 (4 points) • ⏱ 45 min
Un classique chez les complexes !

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 1 h
Fabrication de paquets de sucre

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h
Volume d'un tétraèdre

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 1 h
Le chiffre de « RABIN »

▶ 1. a) Écrire des nombres complexes sous différentes formes
E18a • E19 • E20 • E21

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