Sujet complet de Pondichéry 2018

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2018 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Mai 2018

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet de Pondichéry 2018

Les thèmes clés

Exercice 1 – Suites • Fonction exponentielle • Calcul intégral

Exercice 2 – Nombres complexes • Géométrie dans le plan

Exercice 3 – Loi normale • Probabilités • Fluctuation et confiance

Exercice 4 – Géométrie dans l’espace • Compléments sur les fonctions

Exercice 4 (spécialité) – Arithmétique

 

Exercice 1 (6 points) 1 h 15
Refroidissement d’un four

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1 000 °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.

On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 70 °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

partie a

S05_algo_001

Pour un nombre entier naturel n, on note Tn la température en degrés Celsius du four au bout de n heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc T0 = 1 000. La température Tn est calculée par l’algorithme ci-contre.

1. Déterminer la température du four, arrondie à l’unité, au bout de 4 heures de refroidissement.

2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a :

Tn=980×0,82n+20.

3. Au bout de combien d’heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

partie b

Dans cette partie, on note t le temps (en heures) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint.

La température du four (en degrés Celsius) à l’instant t est donnée par la fonction f définie, pour tout nombre réel t positif, par :

f(t)=aet5+b, où a et b sont deux nombres réels.

On admet que f vérifie la relation suivante : f(t)+15f(t)=4.

1. Déterminer les valeurs de a et b sachant qu’initialement la température du four est de 1 000 °C, c’est-à-dire que f(0)=1 000.

2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel positif t : f(t)=980et5+20.

a) Déterminer la limite de f lorsque t tend vers +.

b) Étudier les variations de f sur [0 ; +[. En déduire son tableau de variations complet.

c) Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

3. La température moyenne (en degrés Celsius) du four entre deux instants t1 et t2 est donnée par : 1t2t1t1t2f(t)dt.

a) À l’aide de la représentation graphique de f ci-dessous, donner une estimation de la température moyenne θ du four sur les 15 premières heures de refroidissement. Expliquer votre démarche.

matT_1805_12_01C_01

b) Calculer la valeur exacte de cette température moyenne θ et en donner la valeur arrondie au degré Celsius.

4. Dans cette question, on s’intéresse à l’abaissement de température (en degrés Celsius) du four au cours d’une heure, soit entre deux instants t et (t + 1). Cet abaissement est donné par la fonction d définie, pour tout nombre réel t positif, par : d(t)=f(t)f(t+1).

a) Vérifier que, pour tout nombre réel t positif : d(t)=980(1e15)et5.

b) Déterminer la limite de d(t) lorsque t tend vers +. Quelle interprétation peut-on en donner ?

Exercice 2 (4 points) 45 min
Un classique chez les complexes !

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;u,v).

Les points A, B et C ont pour affixes respectives a = - 4 ; b = 2 et c = 4.

1. On considère les trois points A, B et C d’affixes respectives a = ja, b = jb et c = jc où j est le nombre complexe 12+i32.

a) Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de j.

En déduire les formes algébriques et exponentielles de a, b et c.

b) Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique ci-dessous. Placer les points A, B et C sur ce graphique.

matT_1805_12_01C_02

2. Montrer que les points A, B et C sont alignés.

3. On note M le milieu du segment [AC], N le milieu du segment [CC] et P le milieu du segment [CA]. Démontrer que le triangle MNP est isocèle.

Exercice 3 (5 points) 1 h
Fabrication de paquets de sucre

Commun à tous les candidats

Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations U et V en paquets de 1 kg et de différentes qualités.

Le sucre extra fin est conditionné séparément dans des paquets portant le label « extra fin ».

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis au millième.

partie a

Pour calibrer le sucre en fonction de la taille de ses cristaux, on le fait passer au travers d’une série de trois tamis positionnés les uns au-dessus des autres et posés sur un récipient à fond étanche.

Les ouvertures des mailles sont les suivantes :

matT_1805_12_01C_03

Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à 0,2 mm se trouvent dans le récipient à fond étanche à la fin du calibrage. Ils seront conditionnés dans des paquets portant le label « sucre extra fin ».

1. On prélève au hasard un cristal de sucre de l’exploitation U. La taille de ce cristal, exprimée en millimètres, est modélisée par la variable aléatoire XU qui suit la loi normale de moyenne μU = 0,58 mm et d’écart type σU = 0,21 mm.

a) Calculer les probabilités des événements suivants : XU < 0,2 et 0,5  XU < 0,8.

b) On fait passer 1 800 cristaux de sucre provenant de l’exploitation U au travers de la série de tamis.

Déduire de la question précédente une estimation du nombre de cristaux de sucre récupérés dans le récipient à fond étanche et une estimation du nombre de cristaux de sucre récupérés dans le tamis 2.

2. On prélève au hasard un cristal de sucre de l’exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètres, est modélisée par la variable aléatoire XV qui suit la loi normale de moyenne μV = 0,65 mm et d’écart type σV à déterminer. Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation V, on constate que 40 % de ces cristaux se retrouvent dans le tamis 2. Quelle est la valeur de l’écart type σV de la variable aléatoire XV ?

partie b

Dans cette partie, on admet que 3 % du sucre provenant de l’exploitation U est extra fin et que 5 % du sucre provenant de l’exploitation V est extra fin. On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l’entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s’intéresse à la provenance de ce paquet. On considère les événements suivants :

U : « le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation U » ;

V : « le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation V » ;

E : « le paquet porte le label “extra fin” ».

1. Dans cette question, on admet que l’entreprise fabrique 30 % de ses paquets avec du sucre provenant de l’exploitation U et les autres avec du sucre provenant de l’exploitation V, sans mélanger les sucres des deux exploitations.

a) Quelle est la probabilité que le paquet prélevé porte le label « extra fin » ?

b) Sachant qu’un paquet porte le label « extra fin », quelle est la probabilité que le sucre qu’il contient provienne de l’exploitation U ?

2. L’entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label « extra fin », 30 % d’entre eux contiennent du sucre provenant de l’exploitation U.

Comment doit-elle s’approvisionner auprès des exploitations U et V ?

Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.

partie c

1. L’entreprise annonce que 30 % des paquets de sucre portant le label « extra fin » qu’elle conditionne contiennent du sucre provenant de l’exploitation U. Avant de valider une commande, un acheteur veut vérifier cette proportion annoncée. Il prélève 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l’entreprise. Parmi ces paquets, 30 contiennent du sucre provenant de l’exploitation U.

A-t-il des raisons de remettre en question l’annonce de l’entreprise ?

2. L’année suivante, l’entreprise déclare avoir modifié sa production. L’acheteur souhaite estimer la nouvelle proportion de paquets de sucre provenant de l’exploitation U parmi les paquets portant le label « extra fin ». Il prélève 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l’entreprise. Parmi ces paquets 42 % contiennent du sucre provenant de l’exploitation U.

Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la nouvelle proportion de paquets labellisés « extra fin » contenant du sucre provenant de l’exploitation U.

Exercice 4 (5 points) 1 h
Volume d’un tétraèdre

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace muni du repère orthonormé (O;i,j,k) d’unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (2 ; 1 ; 4), (4 ; –1 ; 0), (0 ; 3 ; 2) et (4 ; 3 ; –2).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).

2. Soit M un point de la droite (CD).

a) Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.

b) On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 ; 3 ; –1).

Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.

c) Montrer que l’aire du triangle BCD est égale à 12 cm2.

3. a) Démontrer que le vecteur n(2;1;2) est un vecteur normal au plan (BCD).

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).

c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par A et orthogonale au plan (BCD).

d) Démontrer que le point I, intersection de la droite ∆ et du plan (BCD), a pour coordonnées (23 ; 13 ; 83).

4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Exercice 4 (5 points) 1 h
Le chiffre de « RABIN »

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

À toute lettre de l’alphabet on associe un nombre entier x compris entre 0 et 25 comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

Lettre

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Lettre

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

x

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Le « chiffre de RABIN » est un dispositif de cryptage asymétrique inventé en 1979 par l’informaticien Michael Rabin.

Alice veut communiquer de manière sécurisée en utilisant ce cryptosystème. Elle choisit deux nombres premiers distincts p et q. Ce couple de nombres est sa clé privée qu’elle garde secrète.

Elle calcule ensuite n = p × q et elle choisit un nombre entier naturel B tel que 0  B  n - 1.

Si Bob veut envoyer un message secret à Alice, il le code lettre par lettre.

Le codage d’une lettre représentée par le nombre entier x est le nombre y tel que :

yx(x+B)  [n] avec 0  y < n.

Dans tout l’exercice, on prend p = 3, q = 11 donc n = p × q = 33 et B = 13.

partie a : cryptage

Bob veut envoyer le mot « NO » à Alice.

1. Montrer que Bob code la lettre « N » avec le nombre 8.

2. Déterminer le nombre qui code la lettre « O ».

partie b : décryptage

Alice a reçu un message crypté qui commence par le nombre 3.

Pour décoder ce premier nombre, elle doit déterminer le nombre entier x tel que :

x(x+13)3  [33] avec 0  x < 26.

1. Montrer que x(x + 13) 3  [33] équivaut à (x+23)24  [33].

2. a) Montrer que si (x+23)24  [33] alors le système d’équations {(x+23)24  [3](x+23)24  [11] est vérifié.

b) Réciproquement, montrer que si {(x+23)24  [3](x+23)24  [11] alors (x+23)24  [33].

c) En déduire que x(x+13)3  [33] {(x+23)21  [3](x+23)24  [11].

3. a) Déterminer les nombres entiers naturels a tels que 0  a < 3 et a21  [3].

b) Déterminer les nombres entiers naturels b tels que 0  b < 11 et b24  [11].

4. a) En déduire que x(x + 13) 3  [33] équivaut aux quatre systèmes suivants :

{x2  [3]x8  [11] ou {x0  [3]x1  [11] ou {x2  [3]x1  [11] ou {x0  [3]x8  [11].

b) On admet que chacun de ces systèmes admet une unique solution entière x telle que 0  x < 33.

Déterminer, sans justification, chacune de ces solutions.

5. Compléter l’algorithme qui suit pour qu’il affiche les quatre solutions trouvées dans la question précédente.

S05_algo_002

6. Alice peut-elle connaître la première lettre du message envoyé par Bob ? Le « chiffre de RABIN » est-il utilisable pour décoder un message lettre par lettre ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. À partir de l’algorithme, précisez la relation entre deux termes consécutifs de la suite (Tn). Puis, démontrez le résultat demandé à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

3. Résolvez, dans , l’inéquation Tn < 70 et concluez.

Partie B

1. Traduisez, à l’aide des nombres réels a et b, la condition initiale sur la température du four mais aussi la relation vérifiée par f et par sa dérivée f. Résolvez le système induit pour conclure.

2. c) Réitérez la même démarche que celle utilisée à la question 3. de la partie A, mais cette fois-ci en résolvant, dans , l’inéquation f(t)<70.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

2. Étudiez la colinéarité des vecteurs A′ C′ et A′ B′ et concluez.

3. Déterminez les affixes des points M, N et P. Puis calculez les distances MP, MN et NP. Enfin, concluez.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. Justifiez que P(XV<0,8)=0,70. Introduisez ensuite la variable aléatoire XC=XV0,65σV, variable aléatoire centrée réduite associée à la variable aléatoire XV. Traduisez l’égalité justifiée précédemment sous forme d’une équation faisant intervenir XC et σV. Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l’équation obtenue et pour conclure.

Partie B

2. Remarquez que la condition imposée se traduit à l’aide d’une probabilité conditionnelle. Écrivez ensuite cette probabilité en fonction de P(U) et de P(V), désormais inconnues, en prenant bien en compte que les événements U et V sont des événements contraires. Concluez.

Partie C

1. Identifiez la taille n de l’échantillon considéré et la proportion p du caractère étudié remise en question. Concluez selon l’appartenance ou non de la fréquence observée du caractère étudié sur l’échantillon à l’intervalle de fluctuation.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

2. a) Exprimez la longueur BM en fonction du paramètre choisi dans la représentation paramétrique de la question 1. Faites apparaître la forme canonique du trinôme du second degré obtenu pour minimiser BM et concluez.

3. a) Démontrez que le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) et concluez.

d) Résolvez un système d’équations avec une représentation paramétrique de ∆ et une équation cartésienne de (BCD) pour déterminer les coordonnées du point I.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie B

1. Transformez la relation de congruence (x+23)24  [33] pour démontrer l’équivalence demandée.

2. b) 3 et 11 étant premiers entre eux, pensez à utiliser le théorème de Gauss en justifiant que 3 et 11 divisent tous deux (x+23)24.

3. a) Déterminez les solutions de la relation de congruence à l’aide d’un tableau avec toutes les valeurs possibles pour a puis pour a2 en terminant avec la congruence modulo 3 pour a2.