Exercice 1 (5 points) • ⏱ 45 min
QCM sur les fonctions (5 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0,5   5] par :

$f(x)=\frac{5+5\text{ln}x}{x}.$

Sa représentation graphique est la courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-après dans un repère d'origine O. On admet que le point A placé sur le graphique est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle [0,5   5]. On note B le point de cette courbe d'abscisse e.

On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f et f″ sa fonction dérivée seconde.

On admet que pour tout x de l'intervalle [0,5   5], on a :

$f^{\prime }(x)=\frac{-5\text{ln}x}{x^2}$ et $f^{″}(x)=\frac{10\text{ln}x-5}{x^3}$.

▶ 1. La fonction f′ est :

a) positive ou nulle sur l'intervalle [0,5   5] 

b) négative ou nulle sur l'intervalle [1   5] 

c) négative ou nulle sur l'intervalle [0,5   1].

▶ 2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est égal à :

a) $-\frac{5}{{\text{e}}^2}$

b) $\frac{10}{\text{e}}$

c) $\frac{5}{{\text{e}}^3}$

▶ 3. La fonction f′ est :

a) croissante sur l'intervalle [0,5   1] 

b) décroissante sur l'intervalle [1   5] 

c) croissante sur l'intervalle [2  5].

▶ 4. La valeur exacte de l'abscisse du point A de la courbe $\mathcal{C}$ est égale à :

a) 1,65

b) 1,6

c) ${\text{e}}^{\mathrm{0,5}}$

▶ 5. On note $\mathcal{A}$ l'aire, mesurée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 4. Cette aire vérifie :

a) 20 ≤ $\mathcal{A}$ ≤ 30

b) 10 ≤ $\mathcal{A}$ ≤ 15

c) 5 ≤ $\mathcal{A}$ ≤ 8

Exercice 2 (5 points) • ⏱ 45 min
Mode de règlement d'un achat et enquête de satisfaction

Commun à tous les candidats

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,01 près.

partie a

Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 30 €) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).

Il remarque que :

80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30 €. Parmi eux :

40 % paient en espèces 

40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact 

les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.

20 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30 €. Parmi eux :

70 % paient avec une carte bancaire en mode code secret 

les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.

On considère les événements suivants :

V : « pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30 € » 

E : « pour son achat, le client a réglé en espèces » 

C : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret » 

S : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ».

▶ 1. a) Donner la probabilité de l'événement V, notée P(V), ainsi que la probabilité de S sachant V notée PV(S). (0,5 point)

b) Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. (0,75 point)

▶ 2. a) Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30 € et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact. (0,75 point)

b) Montrer que la probabilité de l'événement : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes » est égale à 0,62. (1 point)

partie B

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d'un client suite à un achat chez ce commerçant.

On admet que X suit la loi normale de moyenne 27,5 et d'écart-type 3.

On interroge au hasard un client qui vient d'effectuer un achat dans la boutique.

▶ 1. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de 30 €. (0,5 point)

▶ 2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre 24,50 € et 30,50 €. (0,5 point)

partie C

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d'un échantillon de 200 clients de cette boutique. Parmi eux, 175 trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.

Déterminer, avec un niveau de confiance de 0,95, l'intervalle de confiance de la proportion p de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique. (1 point)

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 45 min
Livraison de paniers bio, nombre d'abonnés

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

On considère la suite (un) définie par u0 = 65 et pour tout entier naturel n :

un+1 = 0,8un + 18.

▶ 1. Calculer u1 et u2. (0,5 point)

▶ 2. Pour tout entier naturel n, on pose vn = un - 90.

a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,8.

On précisera la valeur de v0. (0,75 point)

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :

$u_n=90-25\times {\mathrm{0,8}}^n$. (0,75 point)

▶ 3. On considère l'algorithme ci-dessous :

a) Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel n tel que un ≥ 85. (0,5 point)

b) Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme ? (0,5 point)

c) Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l'inéquation un ≥ 85. (0,5 point)

▶ 4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d'un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l'agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52 € par mois, qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.

En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement.

Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :

d'un mois à l'autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés 

chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement.

a) Justifier que la suite (un) permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le n-ième mois qui suit le mois de juillet 2017. (0,5 point)

b) Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4 420 € durant l'année 2018 ? Justifier la réponse. (0,5 point)

c) Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ?

Argumenter la réponse. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points) • ⏱ 45 min
Trajets, transports en commun ou covoiturage

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux A, B, C, D, E, F, G et H dans lesquels Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu A désigne son domicile et G le lieu de son site de travail. Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux reliés par l'arête.

Déterminer le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail. On pourra utiliser un algorithme. Préciser la distance, en kilomètres, de ce chemin. (1,5 point)

partie b

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d'utiliser lors de ses trajets quotidiens, soit les transports en commun, soit le covoiturage :

s'il a utilisé les transports en commun lors d'un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son prochain déplacement avec une probabilité de 0,53 

s'il a utilisé le covoiturage lors d'un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de 0,78.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1er janvier 2018.

Pour tout entier naturel n, on note :

cn la probabilité que Louis utilise le covoiturage n jour(s) après le 1er janvier 2018 

tn la probabilité que Louis utilise les transports en commun n jour(s) après le 1er janvier 2018.

La matrice ligne $P_n=(c_n{t}_n)$ traduit l'état probabiliste n jour(s) après le 1er janvier 2018.

Le 1er janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage.

▶ 1. a) Préciser l'état probabiliste initial P0. (0,25 point)

b) Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.

On notera « C » et « T » ses deux sommets :

« C » pour indiquer que Louis utilise le covoiturage 

« T » pour indiquer que Louis utilise les transports en commun. (0,5 point)

▶ 2. Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l'ordre alphabétique. (0,5 point)

▶ 3. Calculer l'état probabiliste P2 et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice. (0,75 point)

▶ 4. Soit la matrice ligne $P=(xy)$ associée à l'état stable du graphe probabiliste.

a) Calculer les valeurs exactes de x et de y, puis en donner une valeur approchée à 0,01 près. (1 point)

b) Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun ? Justifier la réponse. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points) • ⏱ 45 min
Étude d'une fonction et calcul d'une aire

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à 0,01 près.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0   4] par :

$f(x)=(\text{3,6 }x+\mathrm{2,4}){\text{e}}^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,4}.$

partie a

On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0  4] et on note f′ sa fonction dérivée.

▶ 1. Justifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0  4], on a :

$f^{\prime }(x)=(-\text{2,16 }x+\mathrm{2,16}){\text{e}}^{-\mathrm{0,6}x}.$ (0,75 point)

▶ 2. a) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur l'intervalle [0  4]. (0,75 point)

b) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur cet intervalle.

On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations sous forme approchée. (0,75 point)

▶ 3. On admet que la fonction F définie par :

$F(x)=(-\text{6 }x-14){\text{e}}^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,4}x$

est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0  4].

Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^{4}f(x)\text{d}x,}$ puis en donner une valeur numérique approchée. (1 point)

partie b

On note $\mathcal{C}$f la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [0   4].

On considère la fonction g définie par $g(x)=4x^2-4x+1$.

On note $\mathcal{C}$g la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [0   0,5]. On a tracé ci-dessous les courbes $\mathcal{C}$f et $\mathcal{C}$g dans un repère d'origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de $\mathcal{C}$f et $\mathcal{C}$g par rapport à l'axe des abscisses :

▶ 1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,5}}g(x)\text{d}x=\frac{1}{6}}$. (0,5 point)

▶ 2. On considère le domaine plan délimité par les courbes $\mathcal{C}$f, $\mathcal{C}$g, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d'équation x = 4. Ce domaine apparaît coloré sur la figure ci-contre.

Calculer une valeur approchée de l'aire, en unités d'aire, de ce domaine. (1,25 point)