Sujet complet des Antilles 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet des Antilles 2013
 
 

Antilles, Guyane 2013

Corrigé

7

Sujets complets

matT_1306_04_01C

 

Antilles, Guyane • Juin 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions : 5 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées  une seule de ces réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

>1. Une augmentation de 20 % suivie d’une augmentation de 15 % est équivalente à une augmentation globale de :

a.

b.

c.

d.

>2. On donne ci-dessous la représentation graphique C d’une fonction définie sur [0  10]. La tangente à la courbe C au point A d’abscisse 5 est tracée.


 

Parmi les quatre courbes ci-dessous, déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée de la fonction .


 

>3. Soit la fonction définie sur par et sa fonction dérivée. On a :

a)

b)

c)

d)

>4. On considère la suite géométrique de premier terme et de raison .

La somme des douze premiers termes de cette suite est donnée par :

a)

b)

c)

d)

>5. est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 22 et d’écart-type 3.

Une valeur approchée à de la probabilité de l’événement est :

a)

b)

c)

d)

Exercice 2 (6 points)
Modélisation et étude d’un bénéfice

Commun à tous les candidats

Partie A

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représentative C d’une fonction  définie et dérivable sur l’intervalle [0  20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d’abscisses respectives 0, 6 et 11.

On note  la fonction dérivée de la fonction .


 

Par lecture graphique (aucune justification n’est demandée) :

>1. Donner les valeurs exactes de , , et . (1point)

>2. Indiquer si la courbe C admet un point d’inflexion. Si oui, préciser ce point. (0,25 point)

>3. Déterminer un encadrement, d’amplitude 4, par deux nombres entiers de . (0,75 point)

>4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation . Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l’unité. (0,5 point)

Partie B

La fonction est définie sur l’intervalle [0  20] par :

.

>1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de  sur l’intervalle [0  20]. (0,5 point)

>2.a)  Étudier le signe de sur [0  20]. (0,5 point)

b. Dresser le tableau de variation de sur [0  20]. On fera apparaître les valeurs exactes de et (0,5 point)

>3. Justifier que l’équation admet une unique solution  sur [0  6]. Donner la valeur arrondie au millième de . (0,5 point)

>4.a)  Montrer que la fonction définie sur [0  20] par :

est une primitive de sur [0  20]. (0,5 point)

b. Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [4  8]. Donner sa valeur exacte. (0,5 point)

Partie C

Une entreprise fabrique centaines d’objets, où appartient à [0  20].

La fonction  des parties A et B modélise le bénéfice de l’entreprise en milliers d’euros, en supposant que toute la production est vendue.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l’équation admet une autre solution sur [6  20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.

>1. Quelle doit être la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice d’au moins 4 000 € ? (arrondir à l’unité). (0,25 point)

>2. L’entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets.

Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l’euro près). (0,25 point)

Exercice 3 (5 points)
Achat de matériel informatique et extension de garantie

Candidats des séries ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d’ordinateurs portables, de tablettes, et d’ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.

Le responsable constate que 28 % des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48 % pour un ordinateur portable.

Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu’il peut souscrire ou non une extension de garantie.

Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5 % ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, 12,5 % ont souscrit une extension de garantie.

On choisit au hasard un de ces acheteurs.

On note :

l’événement « l’acheteur a choisi une tablette » 

l’événement « l’acheteur a choisi un ordinateur portable » 

l’événement « l’acheteur a choisi un ordinateur fixe » 

l’événement « l’acheteur a souscrit une extension de garantie ».

On note aussi , , , les événements contraires.

>1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l’énoncé. (1 point)

>2. Calculer la probabilité de l’événement , puis . (1 point)

>3. On sait de plus que 12 % des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie.

Déterminer la probabilité qu’un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie. (1 point)

>4. Montrer que (1 point)

>5. Pour tous les appareils, l’extension de garantie est d’un montant de 50 euros.

Quelle recette complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque 1 000 appareils seront vendus ? (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Sentiers et itinéraires en montagne

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d’un pic rocheux.

La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-dessous. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux.


 

Légende :

① Départ ② Passerelle

③ Roche percée ④ Col des 3 vents

⑤ Pic Rouge ⑥ Refuge

⑦ Col Vert ⑧ Pont Napoléon

⑨ Cascade des Anglais ⑩ Arrivée

>1. Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois, mais n’empruntant pas forcément tous les sentiers. (1 point)

>2. Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ? Justifier votre réponse. (1 point)

>3. On note  la matrice d’adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l’ordre. On donne ci-dessous  :

a) Que représente le nombre 89 situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne ? (0,5 point)

b) Déterminer le nombre d’itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par le Pic Rouge. (1 point)

>4. On a complété ci-après le graphe décrivant les itinéraires avec les temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers.


 

Déterminer l’itinéraire allant de D à A le plus court en temps.

On fera apparaître la démarche en utilisant un algorithme. (1,5 point)

Exercice 4 (4 points)
Personnel et production d’une société fabriquant des composants électroniques

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l’exercice.

Partie A

La direction d’une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d’embauche du personnel :

80 % de CDI (contrat à durée indéterminée) 

20 % de CDD (contrat à durée déterminée).

On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant :

 

CDI

CDD

Effectif total

Site de production A

315

106

421

Site de production B

52

16

68

 

>1. Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production. (0,5 point)

>2. Pour une proportion , déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillons de taille , pour  et pour . (1 point)

>3. Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ? (0,5 point)

Partie B

Dans cette partie, on convient que l’on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique lorsque , où désigne la proportion dans une population, et désigne la taille d’un échantillon de cette population.

La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d’un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.

>1. S’il prélève un échantillon de 50 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer. (0,5 point)

>2. S’il prélève un échantillon de 100 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer. (0,5 point)

>3. Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille 100 dans lequel 9 composants électroniques s’avèrent défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ? (1 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution d’un taux • Dérivées usuelles • Fonction logarithme népérien • Suites arithmétiques ou géométriques • Loi à densité.

Les conseils du correcteur

>1. Le pourcentage d’augmentation global n’est pas égal à la somme des deux pourcentages. Utilisez les coefficients multiplicateurs associés aux deux augmentations.

>2. Faites le lien entre le sens de variation de la fonction et le signe de sa dérivée, et utilisez le fait que est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe.

>3. Utilisez la formule de dérivation du quotient de deux fonctions et la fonction dérivée de la fonction logarithme népérien.

>5. équivaut à .

Exercice 2. Durée conseillée : 55 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Sens de variation • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonctions exponentielles • Point d’inflexion • Primitives usuelles • Aire d’un domaine plan • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

>3. Interprétez l’intégrale comme une aire.

Partie B

>1. Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions et la formule donnant la dérivée d’une fonction de la forme .

>3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles

Les conseils du correcteur

>3. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

>5. Déterminez le nombre moyen d’extensions de garanties souscrites pour 1 000 appareils vendus.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne de longueur donnée • Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

>2. Utilisez le théorème d’Euler.

>3. Les coefficients de la matrice  représentent le nombre de trajets entre deux points empruntant 5 sentiers.

>4. Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

Exercice 4. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Deux conclusions peuvent être obtenues, suivant que la fréquence  observée sur l’échantillon appartient ou n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

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