Antilles, Guyane 2013
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7
Sujets complets
matT_1306_04_01C
Antilles, Guyane • Juin 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions : 5 questions
définie sur [0 10]. La tangente à la courbe
Parmi les quatre courbes ci-dessous, déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée 
de la fonction 
.
définie sur 
par 
et 
sa fonction dérivée. On a :
de premier terme 
et de raison 
.
La somme 
des douze premiers termes de cette suite est donnée par :
est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 22 et d'écart-type 3.
Une valeur approchée à 
de la probabilité de l'événement 
est :
Exercice 2 (6 points)
Modélisation et étude d'un bénéfice
Commun à tous les candidats
Partie A
On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative 
définie et dérivable sur l'intervalle [0 20]. On a tracé les tangentes à la courbe
On note 
la fonction dérivée de la fonction 
.
Par lecture graphique (aucune justification n'est demandée) :
, 
, 
et 
. (1 point)
. (0,75 point)
. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l'unité. (0,5 point)
Partie B
La fonction 
est définie sur l'intervalle [0 20] par :
.
, où 
désigne la fonction dérivée de 
sur l'intervalle [0 20]. (0,5 point)
sur [0 20]. (0,5 point)
sur [0 20]. On fera apparaître les valeurs exactes de 
et 
(0,5 point)
admet une unique solution 
sur [0 6]. Donner la valeur arrondie au millième de 
. (0,5 point)
définie sur [0 20] par :
est une primitive de 
sur [0 20]. (0,5 point)
sur l'intervalle [4 8]. Donner sa valeur exacte. (0,5 point)
Partie C
Une entreprise fabrique 
centaines d'objets, où 
appartient à [0 20].
La fonction 
des parties
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l'équation 
admet une autre solution 
sur [6 20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.
Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près). (0,25 point)
Exercice 3 (5 points)
Achat de matériel informatique et extension de garantie
Candidats des séries ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d'ordinateurs portables, de tablettes, et d'ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.
Le responsable constate que 28 % des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48 % pour un ordinateur portable.
Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu'il peut souscrire ou non une extension de garantie.
Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5 % ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, 12,5 % ont souscrit une extension de garantie.
On choisit au hasard un de ces acheteurs.
On note :
l'événement « l'acheteur a choisi une tablette »
l'événement « l'acheteur a choisi un ordinateur portable »
l'événement « l'acheteur a choisi un ordinateur fixe »
l'événement « l'acheteur a souscrit une extension de garantie ».
On note aussi 
, 
, 
, 
les événements contraires.
la probabilité de l'événement 
, puis 
. (1 point)
Déterminer la probabilité qu'un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie. (1 point)
(1 point)
Quelle recette complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque 1 000 appareils seront vendus ? (1 point)
Exercice 3 (5 points)
Sentiers et itinéraires en montagne
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d'un pic rocheux.
La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-dessous. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux.
Légende :
① Départ ② Passerelle
③ Roche percée ④ Col des 3 vents
⑤ Pic Rouge ⑥ Refuge
⑦ Col Vert ⑧ Pont Napoléon
⑨ Cascade des Anglais ⑩ Arrivée
la matrice d'adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre. On donne ci-dessous 
:
Déterminer l'itinéraire allant de D à A le plus court en temps.
On fera apparaître la démarche en utilisant un algorithme. (1,5 point)
Exercice 4 (4 points)
Personnel et production d'une société fabriquant des composants électroniques
Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes.
Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l'exercice.
Partie A
La direction d'une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d'embauche du personnel :
80 % de CDI (contrat à durée indéterminée)
20 % de CDD (contrat à durée déterminée).
On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant :
|
| CDI | CDD | Effectif total |
|---|---|---|---|
| Site de production A | 315 | 106 | 421 |
| Site de production B | 52 | 16 | 68 |
, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillons de taille 
, pour 
et pour 
. (1 point)
Partie B
Dans cette partie, on convient que l'on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique lorsque 
, où 
désigne la proportion dans une population, et 
désigne la taille d'un échantillon de cette population.
La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d'un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Évolution d'un taux • Dérivées usuelles • Fonction logarithme népérien • Suites arithmétiques ou géométriques • Loi à densité.
Les conseils du correcteur
est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe.
équivaut à 
.
Exercice 2. Durée conseillée : 55 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Sens de variation • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonctions exponentielles • Point d'inflexion • Primitives usuelles • Aire d'un domaine plan • Valeur moyenne d'une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
comme une aire.
Partie B
.
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles
Les conseils du correcteur
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne de longueur donnée • Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
représentent le nombre de trajets entre deux points empruntant 5 sentiers.
Exercice 4. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Intervalle de fluctuation.
Les conseils du correcteur
Deux conclusions peuvent être obtenues, suivant que la fréquence 
observée sur l'échantillon appartient ou n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. Déterminer un pourcentage d'augmentation
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 20 % est égal à 1,2. Celui associé à une augmentation de 15 % est 1,15.
Notez bien
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 
% est 
.
Le coefficient multiplicateur global est égal au produit de ces deux coefficients multiplicateurs :
et 1,38 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 38 %.
> 2. Déterminer la courbe représentant la dérivée d'une fonction dont la courbe représentative est donnée
Notez bien
est le coefficient directeur de la tangente à
On observe que la fonction 
est décroissante sur 
, croissante sur 
, décroissante sur 
et 
, avec 
et 
est donc négative sur 
, positive sur 
, négative sur 
, ce qui élimine les courbes 1 et 4. On peut également observer que le point de 
change de sens de variation en 
, avec 
.
De plus, 
sur la courbe 2, le point d'abscisse 5 a une ordonnée approximativement égale à 2, sur la courbe 3, le point d'abscisse 5 a une ordonnée approximativement égale à 1. La seule courbe possible est la courbe 3.
> 3. Calculer la dérivée du quotient de deux fonctions
Pour tout réel 
, 
et 
> 4. Calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
, la somme 
des 
premiers termes de la suite géométrique 
de premier terme 
et de raison 
est :
> 5. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
a pour espérance 
et pour écart-type 3.
D'après le cours, 
et par symétrie :
.
D'où 
.
On peut aussi déterminer à l'aide de la calculatrice une valeur approchée de 
.
Exercice 2
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Déterminer par lecture graphique des valeurs prises par une fonction et des nombres dérivés de cette fonction
est l'ordonnée du point A, 
est l'ordonnée du point B, 
est le coefficient directeur de la tangente à 
est le coefficient directeur de la tangente à
On a directement :
La tangente à
> 2. Déterminer graphiquement un point d'inflexion d'une courbe
La courbe
> 3. Déterminer par lecture graphique un encadrement de l'aire d'un domaine plan
Soit 
La fonction 
est continue et positive sur [4 8], donc 
est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe 
et 
.
Pour tout 
, 
, donc 
, soit 
.
Soit M le point de coordonnées (4 0), N le point de coordonnées (8 0), P le point de
Sur l'intervalle [4 8], la courbe 
est concave), donc 
est supérieure à l'aire
Or l'ordonnée de Q est supérieure à 6,5 et celle de P est supérieure à 7, donc 
(les « bases » du trapèze MNPQ ont une longueur supérieure respectivement à 6,5 et à 7), d'où 
.
On en déduit :
> 4. Déterminer par lecture graphique le nombre de solutions d'une équation et un encadrement de ces solutions
La droite d'équation 
coupe 
a donc deux solutions 
et 
.
Graphiquement :
Partie B
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout 
, 
, donc :
> 2. a) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction
pour tout réel 
, donc 
a le signe de 
, soit :
si 
si 
.
b) Dresser le tableau de variation d'une fonction sur un intervalle
De la question précédente, on déduit le tableau de variation de f sur [0 20] :
> 3. Montrer qu'une équation admet une solution unique dans un intervalle donné
La fonction 
est continue et strictement croissante sur [0 6].
(
), donc l'équation 
admet une unique solution 
sur [0 6].
À l'aide de la calculatrice, on détermine que :
.
> 4. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
Pour tout 
, 
, donc :
b) Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
La valeur moyenne 
de 
sur l'intervalle [4 8] est par définition :
D'où :
Partie C
> 1. Déterminer une production assurant un bénéfice minimal
représente le bénéfice en milliers d'euros pour 
centaines d'objets fabriqués, donc l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins 4 000 € si et seulement si 
.
D'après la partie 
, où 
et 
sont les deux solutions de l'équation 
est en centaines d'objets, 
et 
, donc
> 2. Déterminer la valeur moyenne d'un bénéfice
Si l'entreprise produit régulièrement entre 400 et 800 objets, alors :
.
Comme 
représente le bénéfice en milliers d'euros, la valeur moyenne du bénéfice assuré par une production comprise entre 400 et 800 objets est 
, où 
est la valeur moyenne de 
sur l'intervalle [4 8] calculée à la fin de la partie
La valeur moyenne du bénéfice est donc :
Exercice 3
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. Construire un arbre pondéré représentant une situation probabiliste
Les données de l'énoncé permettent de construire l'arbre pondéré suivant :
Info
On ne connaît pas la probabilité qu'un acheteur ayant acquis un ordinateur portable ait souscrit une extension de garantie.
> 2. Calculer la probabilité d'un événement
D'après l'énoncé, les événements 
forment une partition de l'univers, puisqu'on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe.
Notez bien
Cette probabilité est indiquée sur l'arbre construit à la question 1.
D'où 
, donc :
Notez bien
3 % des acheteurs ont acquis un ordinateur fixe et souscrit une extension de garantie.
> 3. Calculer une probabilité conditionnelle
12 % des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie, donc :
.
La probabilité qu'un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie est 
.
étant non nulle :
> 4. Calculer la probabilité d'un événement
forment une partition de l'univers, d'où :
> 5. Calculer une recette espérée
D'après la question précédente, en moyenne 16,4 % des acheteurs souscrivent une extension de garantie. Donc, sur 1 000 appareils vendus, en moyenne 164 extensions de garantie sont souscrites.
Pour un appareil, le montant de cette garantie est 50 euros.
= 8 200,
Exercice 3
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
> 1. Déterminer une chaîne passant par tous les sommets d'un graphe
Notez bien
Ces itinéraires n'empruntent pas tous les sentiers : par exemple, les sentiers de 1 à 4, de 2 à 5 ne sont pas empruntés par ces itinéraires.
Des itinéraires allant de D à A et passant une seule fois par tous les sommets du graphe sont :
> 2. Déterminer si un graphe admet une chaîne eulérienne
Info
Le degré d'un sommet d'un graphe est le nombre d'arêtes dont ce sommet est l'une des extrémités.
Le graphe est connexe. On cherche les sommets de degré impair.
Les sommets 1, 6, 7 et 9 sont de degré 3 (les autres sommets sont de degré pair).
Le graphe comporte 4 sommets de degré impair par conséquent, d'après le théorème d'Euler, il n'admet pas de chaîne eulérienne.
> 3. a) Interpréter un coefficient d'une puissance de la matrice associée à un graphe
Le nombre situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne de la matrice 
est le nombre de trajets du sommet 2 au sommet 4 (ou inversement) constitués de 5 sentiers.
b) Déterminer sur un graphe le nombre de chaînes de longueur donnée
Pour trouver le nombre d'itinéraires allant de D (sommet 1) à A (sommet 10) et empruntant 5 sentiers, il suffit de regarder le coefficient de 
situé sur la première ligne et la 10e colonne. Ce coefficient est 31.
Le Pic Rouge est le sommet 5, un itinéraire allant de D (sommet 1) à A (sommet 10) en 5 étapes et passant par le Pic Rouge (sommet 5) est :
> 4. Déterminer sur un graphe une chaîne de « poids » minimal
Pour déterminer l'itinéraire le plus rapide de D à A, on utilise l'algorithme de Dijkstra, qui peut être résumé par le tableau suivant :
| 1 (D) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 (A) |
| 0 (1) | 35 (1) | 15 (1) | 90 (1) |
|
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| 35 (1) |
| 90 (1) |
| 40 (3) |
| 105 (3) |
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| 90 (1) | 85 (2) | 40 (3) |
| 105 (3) |
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| 90 (1) | 80 (6) |
|
| 95 (6) |
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| 90 (1) |
|
| 90 (5) | 95 (6) |
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| 90 (5) | 95 (6) | 135 (4) |
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| 95 (6) | 110 (7) |
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| 110 (7) | 135 (8) |
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| 130 (9) |
Notez bien
Cet itinéraire est formé de 6 sentiers.
Il existe d'autres trajets de D à A comportant moins d'étapes, mais d'une durée plus longue : par exemple, 1-3-6-8-10 est formé de 4 sentiers, mais dure 135 minutes.
L'itinéraire le plus rapide de D à A est donc :
c'est-à-dire :
Départ – Roche percée – Refuge – Pic rouge – Col vert – Cascade des Anglais - Arrivée
Exercice 4
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Calculer des pourcentages
Sur le site A, 315 salariés sur 421 sont en CDI et 
.
Sur le site B, 52 salariés sur 68 sont en CDI et 
.
> 2. Déterminer des intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 %
- Pour
.
Les conditions sont remplies, on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
,
soit en arrondissant :
- Pour
.
Les conditions sont remplies, on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
,
Notez bien
L'intervalle IB a une plus grande amplitude que l'intervalle IA car il correspond à une taille 
d'échantillon inférieure.
Les fluctuations diminuent lorsque la taille de l'échantillon augmente.
soit en arrondissant :
> 3. Utiliser des intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 %
Pour le site A, la fréquence de CDI observée 0,7482 n'appartient pas à l'intervalle IA, donc on peut considérer que
Pour le site B, la fréquence de CDI observée 0,7647 appartient à l'intervalle IB, donc on peut considérer que
Partie B
> 1. Déterminer si les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont remplies
Avec 
et 
, 
.
> 2. Déterminer si les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont remplies
Avec 
et 
:
, donc
> 3. Utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %
Avec 
, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :
soit environ :
.
La fréquence de composants défectueux observée dans l'échantillon est égale à 0,09 (9 composants défectueux sur 100).
Cette fréquence appartient à l'intervalle de fluctuation.
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées une seule de ces réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.