Antilles, Guyane • Septembre 2013
matT_1309_04_00C
Sujets complets
6
CORRIGE
Antilles, Guyane • Septembre 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
Étude de jeux à partir de roues à une fête foraine
Deux roues sont disposées sur le stand d’un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.
La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.
La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.
Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu’elle s’arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.
Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu’elle s’arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.
- Si c’est le rouge, le joueur a perdu et la partie s’arrête.
- Si c’est le bleu, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s’il indique un secteur noir, le joueur a perdu.
- Si c’est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s’il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.
Partie A
Le joueur fait une partie.
On note les événements suivants :
R : « Le repère de la première roue indique la couleur rouge » ;
B : « Le repère de la première roue indique la couleur bleue » ;
V : « Le repère de la première roue indique la couleur verte » ;
N : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire » ;
J : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune » ;
G : « Le joueur gagne un lot ».
de l’événement 
. (0,75 point)
que le joueur gagne un lot est égale à 0,23. (0,75 point)
Partie B
Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à 0,23. Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties. (1 point)
Partie C
Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.
On note 
le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que 
suit la loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
.
Déterminer :
; (0,75 point)
Exercice 2 (5 points)
Vrai/faux sur les fonctions : 8 questions, dont 2 avec justification
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
La courbe 
d’une fonction 
définie et dérivable sur 
est donnée ci-après.
La courbe 
passe par les points A(– 1 ; e) et B(0 ; 2) où e
La tangente à la courbe 
au point A est horizontale et la tangente à la courbe 
au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées (2 ; 0).
Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
admet exactement trois solutions dans l’intervalle [
; 3].
est convexe sur l’intervalle [
; 3].
sur l’intervalle [
; 3].
de la fonction 
est croissante sur l’intervalle [
; 3].
Partie B
Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
est l’intervalle 
par :
.
La fonction 
est convexe sur l’intervalle 
.
Exercice 2 (5 points)
Étude à l’aide de graphes des ventes d’une crème hydratante
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée.
Cette étude montre que, lors de la sortie d’une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu’une cliente l’achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2.
De plus, lorsqu’une cliente a acheté une crème hydratante lors d’une vente promotionnelle, la probabilité qu’elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu’une cliente n’a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu’elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.
étant un entier naturel non nul, on note :
la probabilité qu’une cliente achète une crème hydratante lors de la
‑ième vente promotionnelle.
la probabilité qu’une cliente n’achète pas une crème hydratante lors de la 
-ième vente promotionnelle.
la matrice ligne traduisant l’état probabiliste à la 
-ième vente promotionnelle.
. (0,5 point)
quand il y a achat ; 
quand il n’y a pas achat. (0,75 point)
de transition associée à ce graphe. (0,5 point)
et 
. D’après ces résultats, quel est l’effet de ces trois premières ventes promotionnelles ? (1 point)
pour cette situation. Le déterminer. (1 point)
L’entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d’achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l’aide d’un algorithme et proposer une répartition des produits. (1,25 point)
Exercice 3 (5 points)
Évolution du nombre d’adhérents d’un club
Commun à tous les candidats
En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes, on a constaté que :
- 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
- 20 nouvelles personnes s’inscrivaient au club.
On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.
Partie A
On donne l’algorithme suivant :
|
Entrée : Traitement : Sortie : |
Saisir n entier positif |
|
X prend la valeur 80 (initialisation) Pour i allant de 1 à n Affecter à X la valeur 0,9 X + 20 Fin pour X prend la valeur de X arrondie à l’entier inférieur |
|
|
Afficher X |
saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? (1 point)
saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme. (0,5 point)
Partie B
définie par 
et, pour tout entier naturel n :
.
Pour tout entier naturel n, on pose :
est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. (1 point)
en fonction de 
. (0,5 point)
, on a :
. (0,5 point)
? (0,5 point)
Partie C
Exercice 4 (5 points)
Étude d’un bénéfice
Commun à tous les candidats
Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction 
définie sur 
par :
où 
représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et 
représente le bénéfice en milliers d’euros.
, où 
désigne la fonction dérivée de la fonction 
. (0,5 point)
s’annule uniquement pour 
(0,5 point)
(0,75 point)
sur [0 ; 10]. (1 point)
possède une solution unique 
sur 
. (1 point)
de 
. (0,5 point)
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
On peut considérer la variable aléatoire égale au nombre de parties « gagnantes » sur les 4 parties jouées, et la loi de cette variable aléatoire.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Partie A
Pensez à l’interprétation graphique des propriétés d’une fonction :
sont les abscisses des points d’intersection de 
et de la droite d’équation 
.
en lequel 
est dérivable, 
est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 
à la courbe représentative de la fonction 
.
est une primitive de 
sur l’intervalle 
si et seulement si 
est dérivable sur 
et, pour tout 
, 
(
est la dérivée de 
).
Partie B
Utilisez les propriétés de la fonction ln.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphe probabiliste • Matrice.
Les conseils du correcteur
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Boucle « Pour » • Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
Partie B
telle que 
a pour limite 0. »
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.
Les conseils du correcteur
est croissante sur tout intervalle où 
, décroissante sur tout intervalle où 
.
et 
, et vérifiez que ces deux nombres sont de signes contraires.
.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Construire un arbre pondéré pour décrire une situation probabiliste
La situation peut être décrite par l’arbre pondéré suivant :
> 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements
D’après l’arbre :
> 3. Calculer une probabilité
Le joueur gagne un lot si et seulement si la première roue s’arrête sur un secteur bleu et la deuxième sur un secteur jaune, ou bien si la première roue s’arrête sur un secteur vert et la deuxième sur un secteur noir.
Donc :
.
Partie B
Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale
Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes.
L’expérience est un schéma de Bernoulli constitué de la répétition de 4 épreuves identiques et indépendantes ; si le succès est « le joueur gagne un lot », et si 
est la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées sur les quatre jouées, alors 
suit la loi binomiale de paramètres 
et 
.
La probabilité que le joueur gagne un seul lot sur les quatre parties est 
.
D’après les résultats du cours sur la loi binomiale :
.
Partie C
Notez bien
C’est un résultat du cours, car 
> 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
suit la loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
, donc d’après la calculatrice :
> 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
Notez bien
Puisque 
suit une loi à densité : 
et 
.
La probabilité qu’au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end est 
.
. D’après la calculatrice :
Notez bien
Puisque 
suit une loi normale d’espérance 45 : 
.
Exercice 2
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
Partie A
> 1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions d’une équation
et la droite d’équation 
ont exactement deux points communs d’abscisse comprise entre 
et 3.
Donc l’équation 
admet exactement deux solutions dans l’intervalle [
; 3].
> 2. Déterminer à l’aide de sa courbe représentative si une fonction est convexe ou non sur un intervalle donné
Sur l’intervalle 
, la courbe 
est au-dessus de chacune de ses tangentes.
> 3. Déterminer graphiquement un nombre dérivé
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point d’abscisse 
Or cette tangente est « horizontale » (parallèle à l’axe des abscisses), donc son coefficient directeur est nul.
> 4. Déterminer graphiquement un nombre dérivé
D’après le graphique, la tangente à 
au point d’abscisse 0 a un coefficient directeur égal à 
.
> 5. Étudier le signe de la dérivée d’une fonction
La fonction 
est décroissante sur l’intervalle [
; 3], donc 
sur cet intervalle.
> 6. Étudier le sens de variation d’une primitive d’une fonction
est une primitive de 
si et seulement si 
.
Donc 
est la dérivée de 
, et 
est croissante sur l’intervalle [
; 3] car 
est positive sur [
; 3].
Partie B
> 1. Résoudre une inéquation comportant un logarithme
.
Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation 
est l’intervalle 
.
> 2. Déterminer si une fonction est convexe ou non sur un intervalle donné
On considère la fonction g définie sur 
par :
.
La fonction 
est deux fois dérivable sur 
. Pour tout 
appartenant à cet intervalle :
.
pour tout 
appartenant à 
.
Exercice 2
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
> 1. a) Déterminer un état probabiliste
D’après l’énoncé, la probabilité qu’une cliente achète la crème lors de la première vente promotionnelle est 0,2, donc 
.
On en déduit 
, d’où :
b) Représenter une situation par un graphe probabiliste
> 2. a) Écrire la matrice de transition d’un graphe probabiliste
Par définition, la matrice de transition d’un graphe probabiliste est la matrice M telle que, pour tout entier naturel 
:
.
D’après l’énoncé :
Donc la matrice de transition du graphe précédent est :
b) Déterminer deux états probabilistes
.
.
> 3. Déterminer un état stable
Un état stable 
est défini par 
, soit :
, qui équivaut à 
, c’est-à-dire :
.
De plus 
, donc le couple 
est solution du système :
D’où 
.
> 4. Étudier à l’aide d’un graphe la répartition de produits dans des lots proposés à la vente
Le problème peut être considéré comme un problème de coloration du graphe : chaque couleur représente un lot de produits, on cherche le nombre minimal de couleurs à utiliser pour colorier les sommets, deux sommets adjacents ne devant pas être de la même couleur.
Pour cela :
Notez bien
Le degré d’un sommet d’un graphe est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.
- on détermine le degré de chaque sommet ;
- dans un tableau, on range les sommets par ordre de degré décroissant ;
- on colorie les sommets par des couleurs notées 1, 2, 3… en attribuant successivement à chaque sommet la plus « petite » couleur (celle de plus petit numéro) qui n’est pas déjà portée par un sommet adjacent.
D’où le tableau suivant :
|
Sommet |
E |
G |
A |
F |
H |
B |
C |
D |
|
Degré |
6 |
6 |
5 |
4 |
4 |
3 |
2 |
2 |
|
Couleur |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
3 |
2 |
- On attribue au sommet E la couleur 1 ;
- G est adjacent à E, on lui attribue la couleur 2 ;
- A est adjacent à E et G, on lui attribue la couleur 3 ;
- F est adjacent à E, G et A, on lui attribue la couleur 4 ;
- H est adjacent à E, G, A et F, on lui attribue la couleur 5 ;
- B n’est pas adjacent à E, on lui attribue la couleur 1 ;
- C n’est pas adjacent à A, on lui attribue la couleur 3 (C est adjacent à E et G, on ne peut pas lui attribuer les couleurs 1 et 2) ;
- D est adjacent seulement à B et E, qui ont la couleur 1 ; D peut prendre la couleur 2.
Une répartition en 5 lots, correspondant aux 5 couleurs utilisées est par exemple :
{E ; B} ; {G ; D} ; {A ; C} ; {F} ; {H}
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Déterminer le résultat obtenu en sortie d’un algorithme
Si on saisit la valeur 
, alors la boucle « Pour » est effectuée deux fois :
- la première fois,
, qui valait initialement 80, prend la valeur :
= 92
- la deuxième fois,
prend la valeur :
= 102,8.
La valeur de 
est ensuite arrondie à l’entier inférieur et affichée.
> 2. Interpréter le nombre affiché en sortie d’un algorithme
L’instruction « Affecter à X la valeur 0,9 X
Partie B
> 1. a) Démontrer qu’une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
: 
;
donc 
.
b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique
D’après le cours, pour tout entier naturel 
:
> 2. Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
> 3. Déterminer la limite d’une suite numérique
, donc 
et :
Partie C
> 1. Déterminer le rang à partir duquel les termes d’une suite sont supérieurs ou égaux à un nombre donné
Pour savoir si l’objectif « atteindre au moins 180 adhérents » est réalisable, on résout l’inéquation 
.
Cette inéquation équivaut successivement à :
Attention
On divise par ln 0,9.
Or 
, donc 
et l’inégalité change de sens.
.
Or 
et 
est entier, donc 
équivaut à 
.
Vérification : 
;
> 2. Montrer que tous les termes d’une suite sont inférieurs à un nombre donné
Pour tout entier naturel, 
, donc 
Exercice 4
Commun à tous les candidats
> 1. a) Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle
Notez bien
La fonction 
est du type 
; sa dérivée est 
, avec ici 
.
Pour tout 
appartenant à l’intervalle 
b) Résoudre une équation associée à la dérivée d’une fonction
c) Calculer des valeurs prises par une fonction
;
.
d) Construire le tableau de variation d’une fonction
- Si
, alors 
,
donc
, c’est-à-dire 
. - Si
, alors 
, donc 
, c’est-à-dire 
.
La fonction 
est donc strictement décroissante sur l’intervalle 
, strictement croissante sur l’intervalle 
. D’où son tableau de variation sur [0 ; 10] :
> 2. a) Montrer à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires qu’une équation a une solution unique dans un intervalle donné
La fonction 
est continue et strictement croissante sur 
;
et 
, donc :
D’après le théorème des valeurs intermédiaires
.
b) Déterminer une valeur approchée d’une solution d’une équation
et 
,
donc 
, donc 
.
> 3. Étudier le bénéfice d’une entreprise
L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si 
.
Cette inéquation équivaut, d’après les questions précédentes, à 
.
représente le nombre de centaines de pièces produites et vendues,
Commun à tous les candidats
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à
près.
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.