Sujet complet des Antilles 2013 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles - Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Sujet complet des Antilles 2013 (session de remplacement)
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Antilles, Guyane &bull Septembre 2013

matT_1309_04_00C

Sujets complets

6

CORRIGE

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Antilles, Guyane &bull Septembre 2013

Sujet complet &bull 20 points

Exercice 1 (5 points)
Étude de jeux à partir de roues à une fête foraine

Commun à tous les candidats

Dans tout l&rsquo exercice, les résultats seront arrondis à  près.

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Deux roues sont disposées sur le stand d&rsquo un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.

La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.

La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.

Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu&rsquo elle s&rsquo arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.

Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu&rsquo elle s&rsquo arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.

  • Si c&rsquo est le rouge, le joueur a perdu et la partie s&rsquo arrête.
  • Si c&rsquo est le bleu, la partie continue  le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s&rsquo il indique un secteur noir, le joueur a perdu.
  • Si c&rsquo est le vert, la partie continue  le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s&rsquo il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.

Partie A

Le joueur fait une partie.

On note les événements suivants :

R : &laquo  Le repère de la première roue indique la couleur rouge &raquo  

B : &laquo  Le repère de la première roue indique la couleur bleue &raquo  

V : &laquo  Le repère de la première roue indique la couleur verte &raquo  

N : &laquo  Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire &raquo  

J : &laquo  Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune &raquo  

G : &laquo  Le joueur gagne un lot &raquo .

&gt 1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (1 point)

&gt 2. Calculer la probabilité de l&rsquo événement . (0,75 point)

&gt 3. Démontrer que la probabilité que le joueur gagne un lot est égale à 0,23. (0,75 point)

Partie B

Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à 0,23. Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties. (1 point)

Partie C

Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.

On note le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que suit la loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type .

Déterminer :

&gt 1. la probabilité   (0,75 point)

&gt 2. la probabilité qu&rsquo au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Vrai/faux sur les fonctions : 8 questions, dont 2 avec justification

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

La courbe d&rsquo une fonction définie et dérivable sur est donnée ci-après.

La courbe passe par les points A(&ndash  1  e) et B(0  2) où e = exp(1).

La tangente à la courbe au point A est horizontale et la tangente à la courbe au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées (2  0).


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Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.

Une bonne réponse rapporte 0,5 point  une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point.

&gt 1. L&rsquo équation admet exactement trois solutions dans l&rsquo intervalle [  3].

&gt 2. La fonction est convexe sur l&rsquo intervalle [  3].

&gt 3.

&gt 4.

&gt 5. sur l&rsquo intervalle [  3].

&gt 6. Une primitive de la fonction est croissante sur l&rsquo intervalle [&shy    3].

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Une bonne réponse rapporte 1 point  une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

&gt 1. L&rsquo ensemble des solutions de l&rsquo inéquation est l&rsquo intervalle

&gt 2. On considère la fonction g définie sur par :

.

La fonction est convexe sur l&rsquo intervalle .

Exercice 2 (5 points)
Étude à l&rsquo aide de graphes des ventes d&rsquo une crème hydratante

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée.

Cette étude montre que, lors de la sortie d&rsquo une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu&rsquo une cliente l&rsquo achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2.

De plus, lorsqu&rsquo une cliente a acheté une crème hydratante lors d&rsquo une vente promotionnelle, la probabilité qu&rsquo elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu&rsquo une cliente n&rsquo a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu&rsquo elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.

étant un entier naturel non nul, on note :

la probabilité qu&rsquo une cliente achète une crème hydratante lors de la
‑ième vente promotionnelle.

la probabilité qu&rsquo une cliente n&rsquo achète pas une crème hydratante lors de la -ième vente promotionnelle.

la matrice ligne traduisant l&rsquo état probabiliste à la -ième vente promotionnelle.

&gt 1.a) Déterminer . (0,5 point)

b) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets :

quand il y a achat  quand il n&rsquo y a pas achat. (0,75 point)

&gt 2.a) Écrire la matrice de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

b) Calculer et . D&rsquo après ces résultats, quel est l&rsquo effet de ces trois premières ventes promotionnelles ? (1 point)

&gt 3. Justifier qu&rsquo il existe un état stable pour cette situation. Le déterminer. (1 point)

&gt 4. L&rsquo étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.


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L&rsquo entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d&rsquo achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l&rsquo aide d&rsquo un algorithme et proposer une répartition des produits. (1,25 point)

Exercice 3 (5 points)
Évolution du nombre d&rsquo adhérents d&rsquo un club

Commun à tous les candidats

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes, on a constaté que :

  • 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club 
  • 20 nouvelles personnes s&rsquo inscrivaient au club.

On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

Partie A

On donne l&rsquo algorithme suivant :

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Entrée :

Traitement :

Sortie :

Saisir n entier positif

X prend la valeur 80 (initialisation)

Pour i allant de 1 à n

Affecter à X la valeur 0,9 X + 20

Fin pour

X prend la valeur de X arrondie à l&rsquo entier inférieur

Afficher X

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&gt 1. Pour la valeur saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? (1 point)

&gt 2. Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme. (0,5 point)

Partie B

&gt 1. On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel n :

.

Pour tout entier naturel n, on pose :

a) Démontrer que est une suite géométrique  préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

&gt 2. En déduire que, pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

&gt 3. Quelle est la limite de la suite  ? (0,5 point)

Partie C

&gt 1. L&rsquo objectif du président du club est d&rsquo atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ? (0,5 point)

&gt 2. Même question si l&rsquo objectif du président du club est d&rsquo atteindre au moins 300 adhérents. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points)
Étude d&rsquo un bénéfice

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction définie sur par :

représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et représente le bénéfice en milliers d&rsquo euros.

&gt 1.a) Déterminer , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

b) Démontrer que s&rsquo annule uniquement pour (0,5 point)

c) Calculer les valeurs exactes de (0,75 point)

d) Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction sur [0   10]. (1 point)

&gt 2.a) Justifier que l&rsquo équation possède une solution unique sur . (1 point)

b) Donner une valeur approchée à de . (0,5 point)

&gt 3. À partir de combien d&rsquo unités produites et vendues l&rsquo entreprise sera-t-elle bénéficiaire ? (0,75 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi binomiale &bull Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 2. La probabilité à calculer est celle de l&rsquo intersection de deux événements, c&rsquo est-à-dire la probabilité que les deux événements (ici B et J) soient réalisés. Utilisez l&rsquo arbre de la question précédente.

&gt 3. Le joueur peut gagner un lot s&rsquo il a l&rsquo occasion de faire tourner la deuxième roue, c&rsquo est-à-dire si la première s&rsquo est arrêtée sur un secteur bleu ou sur un secteur vert.

Partie B

On peut considérer la variable aléatoire égale au nombre de parties &laquo  gagnantes &raquo sur les 4 parties jouées, et la loi de cette variable aléatoire.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Dérivée &bull Tangente &bull Convexité &bull Primitive &bull Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

Pensez à l&rsquo interprétation graphique des propriétés d&rsquo une fonction :

&gt 1. Les solutions de l&rsquo équation sont les abscisses des points d&rsquo intersection de et de la droite d&rsquo équation .

&gt 3 et 4. Pour tout réel en lequel est dérivable, est le coefficient directeur de la tangente au point d&rsquo abscisse à la courbe représentative de la fonction .

&gt 6. est une primitive de sur l&rsquo intervalle si et seulement si est dérivable sur et, pour tout , ( est la dérivée de ).

Partie B

Utilisez les propriétés de la fonction ln.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste &bull Matrice.

Les conseils du correcteur

&gt 1. b) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

&gt 2. a) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe  la somme des coefficients d&rsquo une ligne est égale à 1.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Boucle &laquo  Pour &raquo &bull Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

Partie B

&gt 3. Utilisez le résultat suivant : &laquo  Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0. &raquo

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Tangente &bull Fonction exponentielle &bull Fonction logarithme népérien &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

&gt 1. d) La fonction est croissante sur tout intervalle où , décroissante sur tout intervalle où .

&gt 2. a) Calculez et , et vérifiez que ces deux nombres sont de signes contraires.

&gt 3. L&rsquo entreprise est bénéficiaire si et seulement si son bénéfice est positif, c&rsquo est-à-dire si et seulement si .