Sujet complet des Antilles 2013 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles - Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet des Antilles 2013 (session de remplacement)
 
 

Antilles, Guyane • Septembre 2013

matT_1309_04_00C

Sujets complets

6

CORRIGE

 

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Étude de jeux à partir de roues à une fête foraine

Commun à tous les candidats

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à  près.

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Deux roues sont disposées sur le stand d’un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.

La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.

La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.

Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu’elle s’arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.

Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu’elle s’arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.

  • Si c’est le rouge, le joueur a perdu et la partie s’arrête.
  • Si c’est le bleu, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s’il indique un secteur noir, le joueur a perdu.
  • Si c’est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s’il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.

Partie A

Le joueur fait une partie.

On note les événements suivants :

R : « Le repère de la première roue indique la couleur rouge » ;

B : « Le repère de la première roue indique la couleur bleue » ;

V : « Le repère de la première roue indique la couleur verte » ;

N : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire » ;

J : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune » ;

G : « Le joueur gagne un lot ».

>1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (1 point)

>2. Calculer la probabilité de l’événement . (0,75 point)

>3. Démontrer que la probabilité que le joueur gagne un lot est égale à 0,23. (0,75 point)

Partie B

Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à 0,23. Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties. (1 point)

Partie C

Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.

On note le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

Déterminer :

>1. la probabilité  ; (0,75 point)

>2. la probabilité qu’au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Vrai/faux sur les fonctions : 8 questions, dont 2 avec justification

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

La courbe d’une fonction définie et dérivable sur est donnée ci-après.

La courbe passe par les points A(– 1 ; e) et B(0 ; 2) où e = exp(1).

La tangente à la courbe au point A est horizontale et la tangente à la courbe au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées (2 ; 0).


 

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.

Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

>1. L’équation admet exactement trois solutions dans l’intervalle [ ; 3].

>2. La fonction est convexe sur l’intervalle [ ; 3].

>3.

>4.

>5. sur l’intervalle [ ; 3].

>6. Une primitive de la fonction est croissante sur l’intervalle [­ ; 3].

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

>1. L’ensemble des solutions de l’inéquation est l’intervalle

>2. On considère la fonction g définie sur par :

.

La fonction est convexe sur l’intervalle .

Exercice 2 (5 points)
Étude à l’aide de graphes des ventes d’une crème hydratante

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée.

Cette étude montre que, lors de la sortie d’une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu’une cliente l’achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2.

De plus, lorsqu’une cliente a acheté une crème hydratante lors d’une vente promotionnelle, la probabilité qu’elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu’une cliente n’a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu’elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.

étant un entier naturel non nul, on note :

la probabilité qu’une cliente achète une crème hydratante lors de la
‑ième vente promotionnelle.

la probabilité qu’une cliente n’achète pas une crème hydratante lors de la -ième vente promotionnelle.

la matrice ligne traduisant l’état probabiliste à la -ième vente promotionnelle.

>1.a) Déterminer . (0,5 point)

b) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets :

quand il y a achat ; quand il n’y a pas achat. (0,75 point)

>2.a) Écrire la matrice de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

b) Calculer et . D’après ces résultats, quel est l’effet de ces trois premières ventes promotionnelles ? (1 point)

>3. Justifier qu’il existe un état stable pour cette situation. Le déterminer. (1 point)

>4. L’étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.


 

L’entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d’achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l’aide d’un algorithme et proposer une répartition des produits. (1,25 point)

Exercice 3 (5 points)
Évolution du nombre d’adhérents d’un club

Commun à tous les candidats

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes, on a constaté que :

  • 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
  • 20 nouvelles personnes s’inscrivaient au club.

On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

Partie A

On donne l’algorithme suivant :

 

Entrée :

Traitement :

Sortie :

Saisir n entier positif

X prend la valeur 80 (initialisation)

Pour i allant de 1 à n

Affecter à X la valeur 0,9 X + 20

Fin pour

X prend la valeur de X arrondie à l’entier inférieur

Afficher X

 

>1. Pour la valeur saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? (1 point)

>2. Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme. (0,5 point)

Partie B

>1. On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel n :

.

Pour tout entier naturel n, on pose :

a) Démontrer que est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

>2. En déduire que, pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

>3. Quelle est la limite de la suite  ? (0,5 point)

Partie C

>1. L’objectif du président du club est d’atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ? (0,5 point)

>2. Même question si l’objectif du président du club est d’atteindre au moins 300 adhérents. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points)
Étude d’un bénéfice

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction définie sur par :

représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et représente le bénéfice en milliers d’euros.

>1.a) Déterminer , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

b) Démontrer que s’annule uniquement pour (0,5 point)

c) Calculer les valeurs exactes de (0,75 point)

d) Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction sur [0 ; 10]. (1 point)

>2.a) Justifier que l’équation possède une solution unique sur . (1 point)

b) Donner une valeur approchée à de . (0,5 point)

>3. À partir de combien d’unités produites et vendues l’entreprise sera-t-elle bénéficiaire ? (0,75 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. La probabilité à calculer est celle de l’intersection de deux événements, c’est-à-dire la probabilité que les deux événements (ici B et J) soient réalisés. Utilisez l’arbre de la question précédente.

>3. Le joueur peut gagner un lot s’il a l’occasion de faire tourner la deuxième roue, c’est-à-dire si la première s’est arrêtée sur un secteur bleu ou sur un secteur vert.

Partie B

On peut considérer la variable aléatoire égale au nombre de parties « gagnantes » sur les 4 parties jouées, et la loi de cette variable aléatoire.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

Pensez à l’interprétation graphique des propriétés d’une fonction :

>1. Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de et de la droite d’équation .

>3 et 4. Pour tout réel en lequel est dérivable, est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse à la courbe représentative de la fonction .

>6. est une primitive de sur l’intervalle si et seulement si est dérivable sur et, pour tout , ( est la dérivée de ).

Partie B

Utilisez les propriétés de la fonction ln.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

>1. b) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>2. a) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe ; la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

Partie B

>3. Utilisez le résultat suivant : « Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0. »

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

>1. d) La fonction est croissante sur tout intervalle où , décroissante sur tout intervalle où .

>2. a) Calculez et , et vérifiez que ces deux nombres sont de signes contraires.

>3. L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si son bénéfice est positif, c’est-à-dire si et seulement si .

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Construire un arbre pondéré pour décrire une situation probabiliste

La situation peut être décrite par l’arbre pondéré suivant :


 

>2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’arbre :

>3. Calculer une probabilité

Le joueur gagne un lot si et seulement si la première roue s’arrête sur un secteur bleu et la deuxième sur un secteur jaune, ou bien si la première roue s’arrête sur un secteur vert et la deuxième sur un secteur noir.

Donc :

.

La probabilitéque le joueur gagne un lot est égale à 0,23.

Partie B

Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes.

L’expérience est un schéma de Bernoulli constitué de la répétition de 4 épreuves identiques et indépendantes ; si le succès est « le joueur gagne un lot », et si est la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées sur les quatre jouées, alors suit la loi binomiale de paramètres et .

La probabilité que le joueur gagne un seul lot sur les quatre parties est .

D’après les résultats du cours sur la loi binomiale :

.

Partie C

 

Notez bien

C’est un résultat du cours, car

>1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

suit la loi normale d’espérance et d’écart-type , donc d’après la calculatrice :

>2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

 

Notez bien

Puisque suit une loi à densité : et .

La probabilité qu’au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end est .

. D’après la calculatrice :

 

Notez bien

Puisque suit une loi normale d’espérance 45 : .

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Partie A

>1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions d’une équation

et la droite d’équation ont exactement deux points communs d’abscisse comprise entre et 3.

Donc l’équation admet exactement deux solutions dans l’intervalle [ ; 3].

Donc la proposition « l’équationadmet exactement trois solutions dans l’intervalle [; 3] » estfausse.

>2. Déterminer à l’aide de sa courbe représentative si une fonction est convexe ou non sur un intervalle donné

Sur l’intervalle , la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Donc la proposition « la fonctionest convexe sur l’intervalle» est vraie.

>3. Déterminer graphiquement un nombre dérivé

est le coefficient directeur de la tangente à au point d’abscisse

Or cette tangente est « horizontale » (parallèle à l’axe des abscisses), donc son coefficient directeur est nul.

Donc la proposition «»est vraie.

>4. Déterminer graphiquement un nombre dérivé

D’après le graphique, la tangente à au point d’abscisse 0 a un coefficient directeur égal à .

Donc la proposition «» est vraie.

>5. Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

La fonction est décroissante sur l’intervalle [ ; 3], donc sur cet intervalle.

Donc la proposition «sur l’intervalle [; 3] » est fausse.

>6. Étudier le sens de variation d’une primitive d’une fonction

est une primitive de si et seulement si .

Donc est la dérivée de , et est croissante sur l’intervalle [ ; 3] car est positive sur [ ; 3].

Donc la proposition « une primitivede la fonctionest croissante sur l’intervalle [; 3] » est vraie.

Partie B

>1. Résoudre une inéquation comportant un logarithme

.

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation est l’intervalle .

Donc la proposition « l’ensemble des solutions de l’inéquationest l’intervalle»est fausse.

>2. Déterminer si une fonction est convexe ou non sur un intervalle donné

On considère la fonction g définie sur par :

.

La fonction est deux fois dérivable sur . Pour tout appartenant à cet intervalle :

.

pour tout appartenant à .

Donc la proposition « la fonctionest convexe sur l’intervalle» est vraie.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1.a) Déterminer un état probabiliste

D’après l’énoncé, la probabilité qu’une cliente achète la crème lors de la première vente promotionnelle est 0,2, donc .

On en déduit , d’où :

b) Représenter une situation par un graphe probabiliste


 

>2.a) Écrire la matrice de transition d’un graphe probabiliste

Par définition, la matrice de transition d’un graphe probabiliste est la matrice M telle que, pour tout entier naturel  :

.

D’après l’énoncé :

Donc la matrice de transition du graphe précédent est :

b) Déterminer deux états probabilistes

.

.

D’après ces résultats, sur les trois premières ventes promotionnelles, la probabilité qu’une cliente achète la crème augmente d’une vente à la suivante.

>3. Déterminer un état stable

Un état stable est défini par , soit :

, qui équivaut à , c’est-à-dire :

.

De plus , donc le couple est solution du système :

D’où .

L’état stable est donc.

>4. Étudier à l’aide d’un graphe la répartition de produits dans des lots proposés à la vente

Le problème peut être considéré comme un problème de coloration du graphe : chaque couleur représente un lot de produits, on cherche le nombre minimal de couleurs à utiliser pour colorier les sommets, deux sommets adjacents ne devant pas être de la même couleur.

Pour cela :

 

Notez bien

Le degré d’un sommet d’un graphe est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.

  • on détermine le degré de chaque sommet ;
  • dans un tableau, on range les sommets par ordre de degré décroissant ;
  • on colorie les sommets par des couleurs notées 1, 2, 3… en attribuant successivement à chaque sommet la plus « petite » couleur (celle de plus petit numéro) qui n’est pas déjà portée par un sommet adjacent.

D’où le tableau suivant :

 

Sommet

E

G

A

F

H

B

C

D

Degré

6

6

5

4

4

3

2

2

Couleur

1

2

3

4

5

1

3

2

 
  • On attribue au sommet E la couleur 1 ;
  • G est adjacent à E, on lui attribue la couleur 2 ;
  • A est adjacent à E et G, on lui attribue la couleur 3 ;
  • F est adjacent à E, G et A, on lui attribue la couleur 4 ;
  • H est adjacent à E, G, A et F, on lui attribue la couleur 5 ;
  • B n’est pas adjacent à E, on lui attribue la couleur 1 ;
  • C n’est pas adjacent à A, on lui attribue la couleur 3 (C est adjacent à E et G, on ne peut pas lui attribuer les couleurs 1 et 2) ;
  • D est adjacent seulement à B et E, qui ont la couleur 1 ; D peut prendre la couleur 2.

Une répartition en 5 lots, correspondant aux 5 couleurs utilisées est par exemple :

{E ; B} ; {G ; D} ; {A ; C} ; {F} ; {H}

Donc l’entreprise doit prévoir au minimum 5 lots.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Déterminer le résultat obtenu en sortie d’un algorithme

Si on saisit la valeur , alors la boucle « Pour » est effectuée deux fois :

  • la première fois, , qui valait initialement 80, prend la valeur :

= 92

  • la deuxième fois, prend la valeur :

= 102,8.

La valeur de est ensuite arrondie à l’entier inférieur et affichée.

Le nombre affiché à la sortie de l’algorithme si on saisitest donc 102.

>2. Interpréter le nombre affiché en sortie d’un algorithme

L’instruction « Affecter à X la valeur 0,9 X + 20 » correspond à l’évolution, d’une année à la suivante, du nombre d’adhérents du club de randonnée : 90 % des adhérents se réinscrivent, auxquels s’ajoutent 20 nouveaux adhérents.

La valeur 102 obtenue représente donc le nombre d’adhérents du club au bout de 2 ans, c’est-à-dire en 2007.

Partie B

>1.a) Démontrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :  ;

donc .

Donc

est une suite géométrique de raison 0,9.Son premier terme est

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, pour tout entier naturel  :

>2. Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

>3. Déterminer la limite d’une suite numérique

, donc et :

Partie C

>1. Déterminer le rang à partir duquel les termes d’une suite sont supérieurs ou égaux à un nombre donné

Pour savoir si l’objectif « atteindre au moins 180 adhérents » est réalisable, on résout l’inéquation .

Cette inéquation équivaut successivement à :

 

Attention

On divise par ln 0,9.

Or , donc et l’inégalité change de sens.

.

Or et est entier, donc équivaut à .

Donc l’objectif du président est réalisable et, si l’évolution se poursuit de la même manière, au bout de 18 années, le nombre d’adhérents sera supérieur ou égal à 180.

Vérification :  ;

>2. Montrer que tous les termes d’une suite sont inférieurs à un nombre donné

Pour tout entier naturel, , donc

Donc, l’objectif du président du club d’atteindre au moins 300 adhérents n’est pas réalisable.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

>1.a) Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

 

Notez bien

La fonction est du type  ; sa dérivée est , avec ici .

Pour tout appartenant à l’intervalle

b) Résoudre une équation associée à la dérivée d’une fonction

c) Calculer des valeurs prises par une fonction

 ;

.

d) Construire le tableau de variation d’une fonction

  • Si , alors ,
    donc , c’est-à-dire .
  • Si , alors , donc , c’est-à-dire .

La fonction est donc strictement décroissante sur l’intervalle , strictement croissante sur l’intervalle . D’où son tableau de variation sur [0 ; 10] :


 

>2.a) Montrer à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires qu’une équation a une solution unique dans un intervalle donné

La fonction est continue et strictement croissante sur  ;

et , donc :

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationpossède une solution uniquesur.

b) Déterminer une valeur approchée d’une solution d’une équation

et ,

donc , donc .

>3. Étudier le bénéfice d’une entreprise

L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si .

Cette inéquation équivaut, d’après les questions précédentes, à .

représente le nombre de centaines de pièces produites et vendues, donc l’entreprise sera bénéficiaire à partir de 498 pièces produites et vendues.