Sujet complet des Antilles 2013 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles - Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet des Antilles 2013 (session de remplacement)
 
 

Antilles, Guyane • Septembre 2013

matT_1309_04_00C

Sujets complets

6

CORRIGE

 

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Étude de jeux à partir de roues à une fête foraine

Commun à tous les candidats

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à  près.

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Deux roues sont disposées sur le stand d’un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.

La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.

La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.

Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu’elle s’arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.

Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu’elle s’arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.

  • Si c’est le rouge, le joueur a perdu et la partie s’arrête.
  • Si c’est le bleu, la partie continue  le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s’il indique un secteur noir, le joueur a perdu.
  • Si c’est le vert, la partie continue  le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s’il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.

Partie A

Le joueur fait une partie.

On note les événements suivants :

R : « Le repère de la première roue indique la couleur rouge » 

B : « Le repère de la première roue indique la couleur bleue » 

V : « Le repère de la première roue indique la couleur verte » 

N : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire » 

J : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune » 

G : « Le joueur gagne un lot ».

>1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (1 point)

>2. Calculer la probabilité de l’événement . (0,75 point)

>3. Démontrer que la probabilité que le joueur gagne un lot est égale à 0,23. (0,75 point)

Partie B

Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à 0,23. Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties. (1 point)

Partie C

Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.

On note le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

Déterminer :

>1. la probabilité   (0,75 point)

>2. la probabilité qu’au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points)
Vrai/faux sur les fonctions : 8 questions, dont 2 avec justification

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

La courbe d’une fonction définie et dérivable sur est donnée ci-après.

La courbe passe par les points A(– 1  e) et B(0  2) où e = exp(1).

La tangente à la courbe au point A est horizontale et la tangente à la courbe au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées (2  0).


 

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.

Une bonne réponse rapporte 0,5 point  une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

>1. L’équation admet exactement trois solutions dans l’intervalle [  3].

>2. La fonction est convexe sur l’intervalle [  3].

>3.

>4.

>5. sur l’intervalle [  3].

>6. Une primitive de la fonction est croissante sur l’intervalle [­   3].

Partie B

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Une bonne réponse rapporte 1 point  une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

>1. L’ensemble des solutions de l’inéquation est l’intervalle

>2. On considère la fonction g définie sur par :

.

La fonction est convexe sur l’intervalle .

Exercice 2 (5 points)
Étude à l’aide de graphes des ventes d’une crème hydratante

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée.

Cette étude montre que, lors de la sortie d’une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu’une cliente l’achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2.

De plus, lorsqu’une cliente a acheté une crème hydratante lors d’une vente promotionnelle, la probabilité qu’elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu’une cliente n’a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu’elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.

étant un entier naturel non nul, on note :

la probabilité qu’une cliente achète une crème hydratante lors de la
‑ième vente promotionnelle.

la probabilité qu’une cliente n’achète pas une crème hydratante lors de la -ième vente promotionnelle.

la matrice ligne traduisant l’état probabiliste à la -ième vente promotionnelle.

>1.a) Déterminer . (0,5 point)

b) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets :

quand il y a achat  quand il n’y a pas achat. (0,75 point)

>2.a) Écrire la matrice de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

b) Calculer et . D’après ces résultats, quel est l’effet de ces trois premières ventes promotionnelles ? (1 point)

>3. Justifier qu’il existe un état stable pour cette situation. Le déterminer. (1 point)

>4. L’étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.


 

L’entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d’achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l’aide d’un algorithme et proposer une répartition des produits. (1,25 point)

Exercice 3 (5 points)
Évolution du nombre d’adhérents d’un club

Commun à tous les candidats

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes, on a constaté que :

  • 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club 
  • 20 nouvelles personnes s’inscrivaient au club.

On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

Partie A

On donne l’algorithme suivant :

 

Entrée :

Traitement :

Sortie :

Saisir n entier positif

X prend la valeur 80 (initialisation)

Pour i allant de 1 à n

Affecter à X la valeur 0,9 X + 20

Fin pour

X prend la valeur de X arrondie à l’entier inférieur

Afficher X

 

>1. Pour la valeur saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? (1 point)

>2. Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme. (0,5 point)

Partie B

>1. On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel n :

.

Pour tout entier naturel n, on pose :

a) Démontrer que est une suite géométrique  préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

>2. En déduire que, pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

>3. Quelle est la limite de la suite  ? (0,5 point)

Partie C

>1. L’objectif du président du club est d’atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ? (0,5 point)

>2. Même question si l’objectif du président du club est d’atteindre au moins 300 adhérents. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points)
Étude d’un bénéfice

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction définie sur par :

représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et représente le bénéfice en milliers d’euros.

>1.a) Déterminer , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

b) Démontrer que s’annule uniquement pour (0,5 point)

c) Calculer les valeurs exactes de (0,75 point)

d) Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction sur [0   10]. (1 point)

>2.a) Justifier que l’équation possède une solution unique sur . (1 point)

b) Donner une valeur approchée à de . (0,5 point)

>3. À partir de combien d’unités produites et vendues l’entreprise sera-t-elle bénéficiaire ? (0,75 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. La probabilité à calculer est celle de l’intersection de deux événements, c’est-à-dire la probabilité que les deux événements (ici B et J) soient réalisés. Utilisez l’arbre de la question précédente.

>3. Le joueur peut gagner un lot s’il a l’occasion de faire tourner la deuxième roue, c’est-à-dire si la première s’est arrêtée sur un secteur bleu ou sur un secteur vert.

Partie B

On peut considérer la variable aléatoire égale au nombre de parties « gagnantes » sur les 4 parties jouées, et la loi de cette variable aléatoire.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Dérivée • Tangente • Convexité • Primitive • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

Pensez à l’interprétation graphique des propriétés d’une fonction :

>1. Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de et de la droite d’équation .

>3 et 4. Pour tout réel en lequel est dérivable, est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse à la courbe représentative de la fonction .

>6. est une primitive de sur l’intervalle si et seulement si est dérivable sur et, pour tout , ( est la dérivée de ).

Partie B

Utilisez les propriétés de la fonction ln.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

>1. b) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>2. a) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe  la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

Partie B

>3. Utilisez le résultat suivant : « Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0. »

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

>1. d) La fonction est croissante sur tout intervalle où , décroissante sur tout intervalle où .

>2. a) Calculez et , et vérifiez que ces deux nombres sont de signes contraires.

>3. L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si son bénéfice est positif, c’est-à-dire si et seulement si .

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