Antilles, Guyane &bull Septembre 2013
matT_1309_04_00C
Sujets complets
6
CORRIGE
Antilles, Guyane &bull Septembre 2013
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (5 points)
Étude de jeux à partir de roues à une fête foraine
Deux roues sont disposées sur le stand d&rsquo un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.
La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.
La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.
Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu&rsquo elle s&rsquo arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.
Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu&rsquo elle s&rsquo arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.
- Si c&rsquo est le rouge, le joueur a perdu et la partie s&rsquo arrête.
- Si c&rsquo est le bleu, la partie continue le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s&rsquo il indique un secteur noir, le joueur a perdu.
- Si c&rsquo est le vert, la partie continue le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s&rsquo il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.
Partie A
Le joueur fait une partie.
On note les événements suivants :
R : « Le repère de la première roue indique la couleur rouge »
B : « Le repère de la première roue indique la couleur bleue »
V : « Le repère de la première roue indique la couleur verte »
N : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire »
J : « Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune »
G : « Le joueur gagne un lot » .
de l&rsquo événement 
. (0,75 point)
que le joueur gagne un lot est égale à 0,23. (0,75 point)
Partie B
Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à 0,23. Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties. (1 point)
Partie C
Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.
On note 
le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que 
suit la loi normale d&rsquo espérance 
et d&rsquo écart-type 
.
Déterminer :
(0,75 point)
Exercice 2 (5 points)
Vrai/faux sur les fonctions : 8 questions, dont 2 avec justification
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
La courbe 
d&rsquo une fonction 
définie et dérivable sur 
est donnée ci-après.
La courbe 
passe par les points A(&ndash 1 e) et B(0 2) où e
La tangente à la courbe 
au point A est horizontale et la tangente à la courbe 
au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées (2 0).
Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point.
admet exactement trois solutions dans l&rsquo intervalle [
3].
est convexe sur l&rsquo intervalle [
3].
sur l&rsquo intervalle [
3].
de la fonction 
est croissante sur l&rsquo intervalle [­ 
3].
Partie B
Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
Une bonne réponse rapporte 1 point une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
est l&rsquo intervalle 
par :
.
La fonction 
est convexe sur l&rsquo intervalle 
.
Exercice 2 (5 points)
Étude à l&rsquo aide de graphes des ventes d&rsquo une crème hydratante
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée.
Cette étude montre que, lors de la sortie d&rsquo une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu&rsquo une cliente l&rsquo achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2.
De plus, lorsqu&rsquo une cliente a acheté une crème hydratante lors d&rsquo une vente promotionnelle, la probabilité qu&rsquo elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu&rsquo une cliente n&rsquo a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu&rsquo elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.
étant un entier naturel non nul, on note :
la probabilité qu&rsquo une cliente achète une crème hydratante lors de la
‑ième vente promotionnelle.
la probabilité qu&rsquo une cliente n&rsquo achète pas une crème hydratante lors de la 
-ième vente promotionnelle.
la matrice ligne traduisant l&rsquo état probabiliste à la 
-ième vente promotionnelle.
. (0,5 point)
quand il y a achat 
quand il n&rsquo y a pas achat. (0,75 point)
de transition associée à ce graphe. (0,5 point)
et 
. D&rsquo après ces résultats, quel est l&rsquo effet de ces trois premières ventes promotionnelles ? (1 point)
pour cette situation. Le déterminer. (1 point)
L&rsquo entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d&rsquo achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l&rsquo aide d&rsquo un algorithme et proposer une répartition des produits. (1,25 point)
Exercice 3 (5 points)
Évolution du nombre d&rsquo adhérents d&rsquo un club
Commun à tous les candidats
En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes, on a constaté que :
- 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club
- 20 nouvelles personnes s&rsquo inscrivaient au club.
On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.
Partie A
On donne l&rsquo algorithme suivant :
|
Entrée : Traitement : Sortie : |
Saisir n entier positif |
|
X prend la valeur 80 (initialisation) Pour i allant de 1 à n Affecter à X la valeur 0,9 X + 20 Fin pour X prend la valeur de X arrondie à l&rsquo entier inférieur |
|
|
Afficher X |
saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? (1 point)
saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme. (0,5 point)
Partie B
définie par 
et, pour tout entier naturel n :
.
Pour tout entier naturel n, on pose :
est une suite géométrique préciser sa raison et son premier terme. (1 point)
en fonction de 
. (0,5 point)
, on a :
. (0,5 point)
? (0,5 point)
Partie C
Exercice 4 (5 points)
Étude d&rsquo un bénéfice
Commun à tous les candidats
Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction 
définie sur 
par :
où 
représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et 
représente le bénéfice en milliers d&rsquo euros.
, où 
désigne la fonction dérivée de la fonction 
. (0,5 point)
s&rsquo annule uniquement pour 
(0,5 point)
(0,75 point)
sur [0 10]. (1 point)
possède une solution unique 
sur 
. (1 point)
de 
. (0,5 point)
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi binomiale &bull Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
On peut considérer la variable aléatoire égale au nombre de parties « gagnantes » sur les 4 parties jouées, et la loi de cette variable aléatoire.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Dérivée &bull Tangente &bull Convexité &bull Primitive &bull Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Partie A
Pensez à l&rsquo interprétation graphique des propriétés d&rsquo une fonction :
sont les abscisses des points d&rsquo intersection de 
et de la droite d&rsquo équation 
.
en lequel 
est dérivable, 
est le coefficient directeur de la tangente au point d&rsquo abscisse 
à la courbe représentative de la fonction 
.
est une primitive de 
sur l&rsquo intervalle 
si et seulement si 
est dérivable sur 
et, pour tout 
, 
(
est la dérivée de 
).
Partie B
Utilisez les propriétés de la fonction ln.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphe probabiliste &bull Matrice.
Les conseils du correcteur
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage &bull Boucle « Pour » &bull Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
Partie B
telle que 
a pour limite 0. »
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivée &bull Tangente &bull Fonction exponentielle &bull Fonction logarithme népérien &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires.
Les conseils du correcteur
est croissante sur tout intervalle où 
, décroissante sur tout intervalle où 
.
et 
, et vérifiez que ces deux nombres sont de signes contraires.
.
Commun à tous les candidats
Dans tout l&rsquo exercice, les résultats seront arrondis à
près.
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.