Antilles, Guyane • Septembre 2014
matT_1409_04_02C
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Antilles, Guyane • Septembre 2014
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions : 5 questions
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
est :
un nombre entier naturel.
L'inégalité 
est réalisée dès que :
définie sur 
par
L'expression 
de la dérivée de 
est :
dans un repère du plan. La valeur de 
est :
Exercice 2 (5 points)
Probabilité de défaut dans la fabrication de balles de tennis
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.
PARTIE A
Une entreprise fabrique des balles de tennis et dispose de trois chaînes de fabrication appelées A, B, C.
- La chaîne A fabrique 30 % de la production totale de l'entreprise.
- La chaîne B en fabrique 10 %.
- La chaîne C fabrique le reste de la production.
En sortie de chaîne, certaines balles peuvent présenter un défaut.
- 5 % des balles issues de la chaîne A présentent un défaut.
- 5 % des balles issues de la chaîne B présentent un défaut.
- 4 % des balles issues de la chaîne C présentent un défaut.
On choisit au hasard une balle dans la production de l'entreprise et on note les événements :
- A : « la balle provient de la chaîne A »
- B : « la balle provient de la chaîne B »
- C : « la balle provient de la chaîne C »
- D : « la balle présente un défaut ».
, la probabilité de l'événement D, vaut 0,044. (1 point)
, la probabilité de A sachant D, et donner un résultat arrondi à 0,001. (1 point)
Quelle est la probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut ? Arrondir le résultat à 0,0001 et justifier la réponse. (1 point)
PARTIE B
Pour être homologuée par la Fédération Internationale de Tennis, le poids d'une balle de tennis doit être compris entre 56,7 grammes et 58,5 grammes.
On suppose que la variable aléatoire 
qui, à une balle choisie au hasard dans la production, associe son poids en gramme, suit la loi normale d'espérance 
et d'écart-type 
.
On arrondira les résultats au millième.
Exercice 2 (5 points)
Jeu vidéo, trajets sur un graphe, probabilité de gagner une partie
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans le jeu vidéo « Save the princess », l'objectif est d'aller délivrer une princesse tout en récoltant des trésors situés dans les couloirs du château.
Le plan du château est représenté par le graphe pondéré ci-dessous. Les sommets de ce graphe représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs reliant les salles entre elles.
PARTIE A
Le joueur souhaite, en partant de A, rejoindre la princesse enfermée dans la salle G.
Déterminer le chemin qu'il doit prendre pour délivrer la princesse en combattant le moins de monstres possible.
Combien de monstres aurait-il alors à affronter ? (1,5 point)
PARTIE B
Pour un joueur régulier, on estime que :
- s'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 0,7
- s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est 0,6.
On note 
l'état probabiliste lors de la 
-ième partie où 
désigne la probabilité que la partie soit gagnée et 
celle que la partie soit perdue.
Montrer que la probabilité que le joueur gagne la 3e partie est 0,52. (0,75 point)
Exercice 3 (6 points)
Production de paniers de légumes, coût et bénéfice
Commun à tous les candidats
Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
Un producteur de légumes souhaite s'implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés « bio ».
PARTIE A
Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2 500 foyers de la commune 80 foyers se déclarent intéressés par l'achat d'un panier par mois.
Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l'un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse. (1 point)
PARTIE B
La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois.
Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle [0 10] par :
Lorsque 
est exprimé en centaines de paniers, 
est égal au coût total exprimé en centaines d'euros.
On admet que, pour tout nombre 
de l'intervalle [0 10], le coût marginal est donné par la fonction 
, où 
est la fonction dérivée de C.
, le coût marginal pour six cents paniers vendus. (1 point)
la fonction dérivée seconde de 
et on a :
de la courbe de la fonction 
? Interpréter cette valeur de 
en termes de coût. (0,5 point)
PARTIE C
On admet que l'entreprise produit entre 0 et 1 000 paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier.
La recette mensuelle 
, exprimée en centaines d'euros, ainsi que la fonction 
sont représentées par les courbes 
et 
sur le graphique donné en annexe.
Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent :
Annexe
Exercice 4 (4 points)
Visioconférences et amortissement du coût d'installation des appareils
Commun à tous les candidats
En 2008, une entreprise internationale s'est dotée d'un centre de visioconférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ».
Lors d'un conseil d'administration de fin d'année, le responsable du centre de visioconférence fait le compte rendu suivant : « On a observé un fort accroissement de l'utilisation de cette technologie, le nombre de visioconférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20 % tous les ans. »
. On modélise la situation par une suite géométrique 
où le terme 
est une estimation de ce nombre d'utilisations lors de l'année 
.
et le premier terme 
de cette suite. (0,5 point)
en fonction de 
. (0,5 point)
| Variables : Entrée : Traitement : | n est un nombre entier naturel U et A sont des nombres réels Saisir A Affecter à U la valeur 30 Affecter à n la valeur 0 Tant que UA faire | |
|
|
|
|
| Sortie : | Fin Tant que Afficher | |
. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les valeurs de 
seront données approchées par défaut à l'entier près. (1 point)
| TestUA |
| vrai |
| ……………….. |
| Valeur deU | 30 | 36 |
| ……………….. |
| Valeur den | 0 | 1 |
| ……………….. |
À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse. (0,5 point)
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 40 minutes
Les thèmes en jeu
Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Dérivée • Intégrale, calcul d'aire • Tangente
Les conseils du correcteur
.
entre 0 et 1.
Exercice 2 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Chaîne eulérienne • Plus court chemin • Graphe probabiliste • Probabilité conditionnelle
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
, 
.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 55 minutes
Les thèmes en jeu
Intervalle de confiance • Dérivée • Convexité • Point d'inflexion
Les conseils du correcteur
Partie A
, on obtient un intervalle de confiance d'amplitude 
.
Partie B
est convexe sur l'intervalle I si et seulement si 
est positive sur I, elle est concave sur l'intervalle I si et seulement si 
est négative sur I.
, il y a un « changement de convexité » de la fonction 
.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien
Les conseils du correcteur
obtenue dès que cette valeur est supérieure ou égale à 100, on sort de la boucle « Tant que ».
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. Appliquer la propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien
Notez bien
On rappelle que pour tous réels strictement positifs 
et 
, on a : 
et que pour tout réel 
, on a : 
.
> 2. Déterminer l'entier naturel à partir duquel une inégalité est vraie
Attention !
On peut aussi utiliser la calculatrice pour calculer une valeur approchée des puissances successives de 
et s'arrêter à la première puissance inférieure ou égale à 
.
Pour 
, l'inégalité 
est vérifiée, mais 70 n'est pas la valeur de 
à partir de laquelle l'inégalité est vérifiée.
La fonction ln étant strictement croissante sur 
, l'inégalité 
équivaut à :
,
soit, puisque 
:
Or 
puisque 
est entier, 
équivaut à 
.
> 3. Calculer la dérivée d'une fonction comportant une exponentielle
La fonction 
est de la forme 
avec 
et 
pour tout réel 
, et 
. Donc 
> 4. Donner la valeur d'une intégrale
La fonction 
est continue et positive, donc 
est l'aire sous la courbe de 
entre 0 et 1, en unités d'aire. Graphiquement, on observe que cette aire est comprise entre 0,5 et 1.
On exclut la réponse 
, la réponse 
est « trop petit ».
Donc, par élimination,
> 5. Reconnaître par lecture graphique l'équation réduite d'une tangente à une courbe
On observe graphiquement, par exemple en la traçant, que la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a un coefficient directeur positif et une ordonnée à l'origine négative.
Exercice 2
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
PARTIE A
> 1. Compléter un arbre pondéré
Les probabilités indiquées sur les branches « de premier niveau » correspondent à la répartition de la production entre les différentes chaînes de fabrication.
Sur les branches « de second niveau » figurent des probabilités conditionnelles correspondant au pourcentage de balles défectueuses suivant la chaîne dont elles sont issues :
- 5 % des balles issues de la chaîne A présentent un défaut, donc 95 % n'en présentent pas
- mêmes résultats pour la chaîne B
- 4 % des balles issues de la chaîne C présentent un défaut, donc 96 % n'en présentent pas.
> 2. Interpréter la probabilité d'un événement
L'événement « la balle présente un défaut et provient de la chaîne B » est 
, sa probabilité se note 
.
> 3. Calculer la probabilité d'un événement
Notez bien
En effet, 
est l'univers, et les événements 
sont deux à deux incompatibles (leur intersection est vide).
forment une partition de l'univers, donc :
Notez bien
On peut interpréter ce résultat en disant que 4,4 % des balles présentent un défaut.
D'où 
, soit :
.
> 4. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité 
étant non nulle :
.
En arrondissant à 0,001 :
> 5. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale
Soit 
la variable aléatoire égale au nombre de balles qui, parmi les 5 choisies, présentent un défaut. Puisqu'on considère que le choix des 5 balles peut être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise, la variable aléatoire 
suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,044.
La probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut est 
.
En arrondissant à 0,0001 :
PARTIE B
> 1. Calculer une probabilité associée à une loi normale
La probabilité qu'une balle choisie au hasard soit homologuée est :
Or 
et 
, donc, d'après le cours, en arrondissant au millième :
> 2. Calculer une probabilité associée à une loi normale
La probabilité qu'une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58 grammes est 
.
Info
Puisque 
suit une loi normale d'espérance 
:
Puisque la variable aléatoire 
a pour espérance 
:
D'où, en utilisant la calculatrice et en arrondissant le résultat au millième :
Exercice 2
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
PARTIE A
> 1. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne
On détermine le degré de chaque sommet du graphe on résume les résultats dans un tableau :
| Sommet | A | B | C | D | E | F | G |
| Degré | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 5 | 3 |
Le graphe a 6 sommets de degré impair, donc d'après le théorème d'Euler,
> 2. Déterminer sur un graphe un chemin de « poids » minimal partant d'un sommet donné
On utilise l'algorithme de Dijkstra pour déterminer un chemin de A à G correspondant au nombre minimal de monstres rencontrés.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 0 | 5 (A) | ∞ | 7 (A) | ∞ | 3 (A) | ∞ |
|
| 5 (A) | 5 (F) | 4 (F) | 7 (F) | 3 (A) | 22 (F) |
|
| 5 (A) | 5 (F) | 4 (F) | 7 (F) |
| 22 (F) |
|
| 5 (A) | 5 (F) |
| 7 (F) |
| 22 (F) |
|
|
| 5 (F) |
| 7 (F) |
| 19 (C) |
|
|
|
|
| 7 (F) |
| 15 (E) |
Pour aller de A à G en rencontrant le moins de monstres possibles, le joueur doit suivre le chemin :
.
PARTIE B
> 1. Traduire les données d'un énoncé par un graphe probabiliste
> 2. Déterminer la matrice de transition d'un graphe probabiliste
Pour tout entier naturel 
non nul :
Donc :
.
La matrice de transition du graphe est :
> 3. Déterminer un état probabiliste
L'état probabiliste lors de la 3e partie est :
> 4. Déterminer un état probabiliste
De même, l'état probabiliste lors de la 15e partie est :
La probabilité que le joueur gagne la 15e partie est 
D'après les résultats précédents, 
est égal au coefficient de 
situé à l'intersection de la deuxième ligne et de la première colonne de 
En utilisant la calculatrice et en arrondissant au centième :
.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
PARTIE A
> 1. Déterminer un intervalle de confiance
La taille de l'échantillon est 
. La fréquence sur cet échantillon de foyers susceptibles de passer commande d'un panier mensuel est :
.
On en déduit qu'un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d'un panier mensuel est :
.
> 2. Déterminer une taille d'échantillon pour avoir un intervalle de confiance d'amplitude donnée
Si 
est la fréquence obtenue sur un échantillon de taille 
, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion 
sur la population totale est :
d'amplitude 
.
L'amplitude de l'intervalle de confiance est 0,02 si et seulement si 
, qui équivaut à 
, soit 
.
Pour avoir un intervalle de confiance d'amplitude 0,02,
> 3. Utiliser un intervalle de confiance
D'après la question
Puisque la commune compte 15 000 foyers, cela correspond donc à un nombre de foyers compris entre 180 et 780 foyers à 20 € le panier, on peut estimer que la recette sera comprise entre 3 600 et 15 600 € par mois.
La condition pour démarrer l'entreprise étant de réaliser une recette minimale de 3 500 € par mois,
PARTIE B
> 1. Déterminer un coût marginal
Le coût marginal pour six cents paniers vendus est 
(en centaines d'euros).
Or, on admet que pour tout 
appartenant à [0 10], 
, c'est-à-dire :
.
D'où 
Notez bien
Le coût marginal est le coût de la production d'une unité supplémentaire, ici d'une centaine de paniers supplémentaire.
On en déduit que le
appartenant à [0 10] :
a) Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est convexe
La fonction C est deux fois dérivable sur l'intervalle [0 10]. Elle est convexe sur l'intervalle [0 a] inclus dans [0 10] si et seulement si, pour tout 
dans cet intervalle, 
.
Or 
équivaut à 
, c'est-à-dire à :
.
car 
appartient à [0 10], donc :
.
Le plus grand intervalle de la forme [0 a] inclus dans [0 10] sur lequel la fonction C est convexe est donc l'intervalle :
> b) Interpréter concrètement l'abscisse d'un point d'une courbe
.
Si 
, alors 
si 
, alors 
.
La fonction 
est donc convexe sur 
, concave sur 
. Le point d'abscisse 7,5 est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction 
.
Lorsque 
augmente de 0 à 7,5, le coût marginal augmente lorsque 
augmente de 7,5 à 10, le coût marginal diminue.
Le coût marginal est donc maximal pour 
, c'est-à-dire pour
PARTIE C
> 1. Déterminer par lecture graphique une production permettant un bénéfice
Si on appelle 
le nombre de centaines de paniers produits et vendus, le producteur réalise un bénéfice si et seulement si sa recette est supérieure ou égale au coût de production, c'est-à-dire 
. Cela équivaut à dire que le point de 
d'abscisse 
est au-dessus du point de 
de même abscisse.
Graphiquement, on observe que cela se produit pour 
.
Le producteur réalise donc un bénéfice
> 2. Déterminer un bénéfice par lecture graphique
Si le producteur produit et vend 500 paniers dans le mois, son bénéfice est, en centaines d'euros, 
.
Par lecture graphique, 
(en effet, 
et
Donc, avec une production de 500 paniers dans le mois,
> 3. Déterminer par lecture graphique si une valeur est atteinte
Le producteur réalise un bénéfice de 5 000 euros dans un mois pour 
centaines de paniers produits si et seulement 
.
Graphiquement, cela équivaut à dire que la courbe 
est en-dessous du segment de droite représenté en bleu sur le graphique ci-dessous :
Or on constate que la courbe 
est toujours nettement au-dessus de ce segment. Le producteur ne peut pas espérer réaliser un bénéfice de 5 000 € dans un mois. 
et 
)
Exercice 4
Commun à tous les candidats
est une estimation du nombre d'utilisations de la visioconférence lors de l'année 
.
a) Donner la raison et le premier terme d'une suite géométrique
On sait que, chaque année, le nombre d'utilisations de la visioconférence augmente de 20 %. On en déduit que, pour tout entier naturel 
, 
.
En 2008, il y avait 30 utilisations de la visioconférence, donc son premier terme est :
b) Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique
Puisque 
est la suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme 
, pour tout entier naturel 
:
c) Calculer un terme d'une suite géométrique
, donc le nombre d'utilisations de la visioconférence en 2013 est 
.
D'après les questions précédentes : 
.
> 2. a) Dresser un tableau d'étapes du fonctionnement d'un algorithme
les valeurs de 
sont données approchées par défaut à l'entier près.
| Test UA |
| vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | faux |
| Valeur deU | 30 | 36 | 43 | 52 | 62 | 75 | 90 | 107 |
|
| Valeur den | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
b) Déterminer la valeur affichée en sortie d'un algorithme
D'après le tableau précédent,
c) Interpréter la valeur affichée en sortie d'un algorithme
La valeur précédente signifie que le nombre annuel d'utilisations de la visioconférence dépassera 100 pour la première fois 
> 3. Déterminer le rang à partir duquel la somme des premiers termes d'une suite géométrique dépasse une valeur donnée
On sait que le coût de l'installation des appareils de visioconférence sera amorti quand le nombre total d'utilisations aura dépassé 400. On cherche donc 
tel que :
.
D'après la formule du cours donnant la somme des premiers termes d'une suite géométrique, en fonction du premier terme 
et de la raison 
de cette suite :
.
L'inéquation à résoudre est donc 
, soit
.
Elle équivaut à 
.
Puisque la fonction ln est strictement croissante sur 
, l'inéquation précédente est équivalente à :
.
Or 
, donc l'inéquation équivaut à 
, soit 
.
, donc