Sujet complet des Antilles 2014 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : Antilles, Guyane
Corpus Corpus 1
Sujet complet des Antilles 2014 (session de remplacement)

Antilles, Guyane • Septembre 2014

matT_1409_04_02C

Sujets complets

7

Corrigés

Antilles, Guyane • Septembre 2014

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions : 5 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte, ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

>1. La valeur exacte de est :

a)

b)

c)

d)

>2. On désigne par un nombre entier naturel.

L’inégalité est réalisée dès que :

a)

b)

c)

d)

>3. On considère la fonction définie sur par

L’expression de la dérivée de est :

a)

b)

c)

d)

>4. On donne ci-après la courbe représentative d’une fonction dans un repère du plan. La valeur de est :

a)

b)

c)

d)


 

>5. La tangente au point d’abscisse 1 à la courbe ci-dessus, donnée à la question 4, a pour équation :

a)

b)

c)

d)

Exercice 2 (5 points)
Probabilité de défaut dans la fabrication de balles de tennis

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Les deux parties de l’exercice sont indépendantes.

PARTIE A

Une entreprise fabrique des balles de tennis et dispose de trois chaînes de fabrication appelées A, B, C.

  • La chaîne A fabrique 30 % de la production totale de l’entreprise.
  • La chaîne B en fabrique 10 %.
  • La chaîne C fabrique le reste de la production.

En sortie de chaîne, certaines balles peuvent présenter un défaut.

  • 5 % des balles issues de la chaîne A présentent un défaut.
  • 5 % des balles issues de la chaîne B présentent un défaut.
  • 4 % des balles issues de la chaîne C présentent un défaut.

On choisit au hasard une balle dans la production de l’entreprise et on note les événements :

  • A : « la balle provient de la chaîne A » ;
  • B : « la balle provient de la chaîne B » ;
  • C : « la balle provient de la chaîne C » ;
  • D : « la balle présente un défaut ».

 

>1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre. (0,75 point)

>2. Comment se note la probabilité de l’événement « la balle présente un défaut et provient de la chaîne B » ? (0,25 point)

>3. Montrer que , la probabilité de l’événement D, vaut 0,044. (1 point)

>4. Calculer , la probabilité de A sachant D, et donner un résultat arrondi à 0,001. (1 point)

>5. On choisit 5 balles au hasard dans la production totale, qui est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise.

Quelle est la probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut ? Arrondir le résultat à 0,0001 et justifier la réponse. (1 point)

PARTIE B

Pour être homologuée par la Fédération Internationale de Tennis, le poids d’une balle de tennis doit être compris entre 56,7 grammes et 58,5 grammes.

On suppose que la variable aléatoire qui, à une balle choisie au hasard dans la production, associe son poids en gramme, suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

On arrondira les résultats au millième.

>1. Quelle est la probabilité qu’une balle choisie au hasard soit homologuée ? (0,5 point)

>2. Quelle est la probabilité qu’une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58 grammes ? (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)
Jeu vidéo, trajets sur un graphe, probabilité de gagner une partie

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le jeu vidéo « Save the princess », l’objectif est d’aller délivrer une princesse tout en récoltant des trésors situés dans les couloirs du château.

Le plan du château est représenté par le graphe pondéré ci-dessous. Les sommets de ce graphe représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs reliant les salles entre elles.


 

PARTIE A

>1. Le joueur se trouve dans la salle A. Il décide de visiter chacun des couloirs afin de trouver le plus de trésors possibles. Peut-il trouver un trajet lui permettant de passer par tous les couloirs une et une seule fois ? Justifier la réponse. (0,5 point)

>2. Dans chaque couloir se trouve un certain nombre de monstres. Les étiquettes du graphe pondéré donnent le nombre de monstres présents dans les couloirs.

Le joueur souhaite, en partant de A, rejoindre la princesse enfermée dans la salle G.

Déterminer le chemin qu’il doit prendre pour délivrer la princesse en combattant le moins de monstres possible.

Combien de monstres aurait-il alors à affronter ? (1,5 point)

PARTIE B

Pour un joueur régulier, on estime que :

  • s’il gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est 0,7 ;
  • s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est 0,6.

On note l’état probabiliste lors de la -ième partie où désigne la probabilité que la partie soit gagnée et celle que la partie soit perdue.

>1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste. On nommera les sommets U (pour la partie gagnée) et V (pour la partie perdue). (0,75 point)

>2. En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l’ordre U, V. (0,75 point)

>3. On suppose la première partie perdue, l’état probabiliste initial est donc

Montrer que la probabilité que le joueur gagne la 3e partie est 0,52. (0,75 point)

>4. Déterminer la probabilité que le joueur gagne la 15e partie. Arrondir le résultat au centième. (0,75 point)

Exercice 3 (6 points)
Production de paniers de légumes, coût et bénéfice

Commun à tous les candidats

Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Un producteur de légumes souhaite s’implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés « bio ».

PARTIE A

Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2 500 foyers de la commune ; 80 foyers se déclarent intéressés par l’achat d’un panier par mois.

>1. Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d’un panier mensuel. (1 point)

>2. Quelle aurait dû être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude 0,02 ? (0,5 point)

>3. La commune compte 15 000 foyers. La condition pour démarrer l’entreprise est de réaliser une recette minimale de 3 500 euros par mois.

Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l’un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse. (1 point)

PARTIE B

La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois.

Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :

Lorsque est exprimé en centaines de paniers, est égal au coût total exprimé en centaines d’euros.

On admet que, pour tout nombre de l’intervalle [0 ; 10], le coût marginal est donné par la fonction , où est la fonction dérivée de C.

>1. Calculer , le coût marginal pour six cents paniers vendus. (1 point)

>2. On note la fonction dérivée seconde de et on a :

a) Déterminer le plus grand intervalle de la forme [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] sur lequel la fonction C est convexe. (0,5 point)

b) Que peut-on dire du point d’abscisse de la courbe de la fonction  ? Interpréter cette valeur de en termes de coût. (0,5 point)

PARTIE C

On admet que l’entreprise produit entre 0 et 1 000 paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier.

La recette mensuelle , exprimée en centaines d’euros, ainsi que la fonction sont représentées par les courbes et sur le graphique donné en annexe.

Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent :

>1. Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. (0,5 point)

>2. Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s’il produit et vend 500 paniers dans le mois. Donner une valeur approchée à la centaine d’euros. (0,5 point)

>3. Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de 5 000 euros dans un mois ? Argumenter la réponse. (0,5 point)

Annexe


 

Exercice 4 (4 points)
Visioconférences et amortissement du coût d’installation des appareils

Commun à tous les candidats

En 2008, une entreprise internationale s’est dotée d’un centre de visioconférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ».

Lors d’un conseil d’administration de fin d’année, le responsable du centre de visioconférence fait le compte rendu suivant : « On a observé un fort accroissement de l’utilisation de cette technologie, le nombre de visioconférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20 % tous les ans. »

>1. On s’intéresse au nombre d’utilisations de la visioconférence lors de l’année . On modélise la situation par une suite géométrique où le terme est une estimation de ce nombre d’utilisations lors de l’année .

a) Donner la raison et le premier terme de cette suite. (0,5 point)

b) Donner l’expression de en fonction de . (0,5 point)

c) Vérifier qu’en 2013, on a atteint 74 utilisations de la visioconférence. (0,5 point)

>2. On considère l’algorithme suivant :

 

Variables :

Entrée :

Traitement :

n est un nombre entier naturel

U et A sont des nombres réels

Saisir A

Affecter à U la valeur 30

Affecter à n la valeur 0

Tant que U< A faire

prend la valeur

prend la valeur

Sortie :

Fin Tant que

Afficher

 

a) On donne la valeur 100 à . Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les valeurs de seront données approchées par défaut à l’entier près. (1 point)

 

TestU< A

vrai

………………..

Valeur deU

30

36

………………..

Valeur den

0

1

………………..

 

b) Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme ? (0,5 point)

c) Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème. (0,5 point)

>3. Le coût de l’installation des appareils de visioconférence sera amorti quand le nombre total d’utilisations aura dépassé 400.

À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse. (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Dérivée • Intégrale, calcul d’aire • Tangente

Les conseils du correcteur

>1. Utilisez la propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien.

>2. Utilisez la fonction logarithme népérien.

>3. Utilisez la formule donnant la dérivée d’une fonction de la forme .

>4. L’intégrale donnée représente l’aire sous la courbe de entre 0 et 1.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. L’événement « la balle présente un défaut et provient de la chaîne B » est l’intersection de deux événements définis dans l’énoncé ; sa probabilité n’est pas une probabilité conditionnelle.

>3. Une balle qui présente un défaut provient de la chaîne A ou de la chaîne B ou de la chaîne C.

>5. Pensez à la loi binomiale.

Partie B

>1. Appliquez un résultat du cours.

>2. Utilisez la calculatrice.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Chaîne eulérienne • Plus court chemin • Graphe probabiliste • Probabilité conditionnelle

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Utilisez le théorème d’Euler.

>2. Utilisez l’algorithme de Dijkstra.

Partie B

>1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>3. et 4. D’après le cours, pour tout entier naturel non nul , .

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Intervalle de confiance • Dérivée • Convexité • Point d’inflexion

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. À partir d’un échantillon de taille , on obtient un intervalle de confiance d’amplitude .

>3. Utilisez l’intervalle de confiance déterminé à la question 1.

Partie B

>2. a) La fonction est convexe sur l’intervalle I si et seulement si est positive sur I, elle est concave sur l’intervalle I si et seulement si est négative sur I.

b) Utilisez le fait qu’en , il y a un « changement de convexité » de la fonction .

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien

Les conseils du correcteur

>1. a) Une quantité qui augmente de 20 % est multipliée par 1,2.

b) Utilisez le résultat du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

>2. a) N’oubliez pas à chaque étape de comparer à 100 la valeur de obtenue ; dès que cette valeur est supérieure ou égale à 100, on sort de la boucle « Tant que ».

>3. Utilisez la formule donnant la somme des premiers termes d’une suite géométrique, puis la fonction logarithme népérien.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Appliquer la propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien

Notez bien

On rappelle que pour tous réels strictement positifs et , on a : et que pour tout réel , on a : .

La bonne réponse estc).

>2. Déterminer l’entier naturel à partir duquel une inégalité est vraie

Attention !

On peut aussi utiliser la calculatrice pour calculer une valeur approchée des puissances successives de et s’arrêter à la première puissance inférieure ou égale à .

Pour , l’inégalité est vérifiée, mais 70 n’est pas la valeur de à partir de laquelle l’inégalité est vérifiée.

La fonction ln étant strictement croissante sur , l’inégalité équivaut à :

,

soit, puisque  :

Or  ; puisque est entier, équivaut à .

La bonne réponse estb).

>3. Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

La fonction est de la forme avec et pour tout réel , et . Donc 

La bonne réponse esta).

>4. Donner la valeur d’une intégrale

La fonction est continue et positive, donc est l’aire sous la courbe de entre 0 et 1, en unités d’aire. Graphiquement, on observe que cette aire est comprise entre 0,5 et 1.

On exclut la réponse d) puisque , la réponse b) puisque 2 est « trop grand » (l’aire est nettement inférieure à 2) et la réponse c) car est « trop petit ».

Donc, par élimination, la bonne réponse esta).

>5. Reconnaître par lecture graphique l’équation réduite d’une tangente à une courbe

On observe graphiquement, par exemple en la traçant, que la tangente à la courbe au point d’abscisse 1 a un coefficient directeur positif et une ordonnée à l’origine négative.

La bonne réponse estb).

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

PARTIE A

>1. Compléter un arbre pondéré


 

Les probabilités indiquées sur les branches « de premier niveau » correspondent à la répartition de la production entre les différentes chaînes de fabrication.

Sur les branches « de second niveau » figurent des probabilités conditionnelles correspondant au pourcentage de balles défectueuses suivant la chaîne dont elles sont issues :

  • 5 % des balles issues de la chaîne A présentent un défaut, donc 95 % n’en présentent pas ;
  • mêmes résultats pour la chaîne B ;
  • 4 % des balles issues de la chaîne C présentent un défaut, donc 96 % n’en présentent pas.

>2. Interpréter la probabilité d’un événement

L’événement « la balle présente un défaut et provient de la chaîne B » est , sa probabilité se note .

>3. Calculer la probabilité d’un événement

Notez bien

En effet, est l’univers, et les événements sont deux à deux incompatibles (leur intersection est vide).

forment une partition de l’univers, donc :

Notez bien

On peut interpréter ce résultat en disant que 4,4 % des balles présentent un défaut.

D’où , soit :

.

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité étant non nulle :

.

En arrondissant à 0,001 :

>5. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Soit la variable aléatoire égale au nombre de balles qui, parmi les 5 choisies, présentent un défaut. Puisqu’on considère que le choix des 5 balles peut être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise, la variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,044.

La probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut est

.

En arrondissant à 0,0001 :

PARTIE B

>1. Calculer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité qu’une balle choisie au hasard soit homologuée est :

Or et , donc, d’après le cours, en arrondissant au millième :

>2. Calculer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité qu’une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58 grammes est .

Info

Puisque suit une loi normale d’espérance  :

Puisque la variable aléatoire a pour espérance  :

D’où, en utilisant la calculatrice et en arrondissant le résultat au millième :

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A

>1. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

On détermine le degré de chaque sommet du graphe ; on résume les résultats dans un tableau :

 

Sommet

A

B

C

D

E

F

G

Degré

3

2

3

3

3

5

3

 

Le graphe a 6 sommets de degré impair, donc d’après le théorème d’Euler, le graphe ne possède aucune chaîne eulérienne ; le joueur ne peut donc pas trouver un trajet lui permettant de passer par tous les couloirs une fois et une seule.

>2. Déterminer sur un graphe un chemin de « poids » minimal partant d’un sommet donné

On utilise l’algorithme de Dijkstra pour déterminer un chemin de A à G correspondant au nombre minimal de monstres rencontrés.

 

A

B

C

D

E

F

G

0

5 (A)

7 (A)

3 (A)

5 (A)

5 (F)

4 (F)

7 (F)

3 (A)

22 (F)

5 (A)

5 (F)

4 (F)

7 (F)

22 (F)

5 (A)

5 (F)

7 (F)

22 (F)

5 (F)

7 (F)

19 (C)

7 (F)

15 (E)

 

Pour aller de A à G en rencontrant le moins de monstres possibles, le joueur doit suivre le chemin :

. Le joueur devra affronter 15 monstres.

PARTIE B

>1. Traduire les données d’un énoncé par un graphe probabiliste


 

>2. Déterminer la matrice de transition d’un graphe probabiliste

Pour tout entier naturel non nul :

Donc :

.

La matrice de transition du graphe est :

>3. Déterminer un état probabiliste

L’état probabiliste lors de la 3e partie est :

La probabilité que le joueur gagne la troisième partie est donc égale à 0,52.

>4. Déterminer un état probabiliste

De même, l’état probabiliste lors de la 15e partie est :

La probabilité que le joueur gagne la 15e partie est

D’après les résultats précédents, est égal au coefficient de situé à l’intersection de la deuxième ligne et de la première colonne de

En utilisant la calculatrice et en arrondissant au centième :

.

La probabilité que le joueur gagne la 15epartie est environ 0,57.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

PARTIE A

>1. Déterminer un intervalle de confiance

La taille de l’échantillon est . La fréquence sur cet échantillon de foyers susceptibles de passer commande d’un panier mensuel est :

.

On en déduit qu’un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d’un panier mensuel est :

.

>2. Déterminer une taille d’échantillon pour avoir un intervalle de confiance d’amplitude donnée

Si est la fréquence obtenue sur un échantillon de taille , alors un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion sur la population totale est :

d’amplitude .

L’amplitude de l’intervalle de confiance est 0,02 si et seulement si , qui équivaut à , soit .

Pour avoir un intervalle de confiance d’amplitude 0,02, il aurait donc fallu interroger 10 000 foyers.

>3. Utiliser un intervalle de confiance

D’après la question 1., à partir du sondage réalisé, on estime qu’entre 1,2 % et 5,2 % des foyers de la commune sont intéressés par l’achat d’un panier par mois.

Puisque la commune compte 15 000 foyers, cela correspond donc à un nombre de foyers compris entre 180 et 780 foyers ; à 20 € le panier, on peut estimer que la recette sera comprise entre 3 600 et 15 600 € par mois.

La condition pour démarrer l’entreprise étant de réaliser une recette minimale de 3 500 € par mois, le producteur peut donc envisager de se lancer.

PARTIE B

>1. Déterminer un coût marginal

Le coût marginal pour six cents paniers vendus est (en centaines d’euros).

Or, on admet que pour tout appartenant à [0 ; 10], , c’est-à-dire :

.

D’où

Notez bien

Le coût marginal est le coût de la production d’une unité supplémentaire, ici d’une centaine de paniers supplémentaire.

On en déduit que le coût marginal pour 600 paniers vendus est 2 075 €.

>2. Pour tout appartenant à [0 ; 10] :

a) Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est convexe

La fonction C est deux fois dérivable sur l’intervalle [0 ; 10]. Elle est convexe sur l’intervalle [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] si et seulement si, pour tout dans cet intervalle, .

Or équivaut à , c’est-à-dire à :

.

car appartient à [0 ; 10], donc :

.

Le plus grand intervalle de la forme [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] sur lequel la fonction C est convexe est donc l’intervalle :

>b) Interpréter concrètement l’abscisse d’un point d’une courbe

.

Si , alors  ;

si , alors .

La fonction est donc convexe sur , concave sur . Le point d’abscisse 7,5 est un point d’inflexion de la courbe représentative de la fonction .

Lorsque augmente de 0 à 7,5, le coût marginal augmente ; lorsque augmente de 7,5 à 10, le coût marginal diminue.

Le coût marginal est donc maximal pour , c’est-à-dire pour 750 paniers vendus.

PARTIE C

>1. Déterminer par lecture graphique une production permettant un bénéfice

Si on appelle le nombre de centaines de paniers produits et vendus, le producteur réalise un bénéfice si et seulement si sa recette est supérieure ou égale au coût de production, c’est-à-dire . Cela équivaut à dire que le point de d’abscisse est au-dessus du point de de même abscisse.

Graphiquement, on observe que cela se produit pour .

Le producteur réalise donc un bénéfice à partir de 70 paniers vendus, en arrondissant à la dizaine.

>2. Déterminer un bénéfice par lecture graphique

Si le producteur produit et vend 500 paniers dans le mois, son bénéfice est, en centaines d’euros, .

Par lecture graphique, (en effet, et

Donc, avec une production de 500 paniers dans le mois, le bénéfice du producteur est d’environ 3 900 € (à la centaine d’euros près).

>3. Déterminer par lecture graphique si une valeur est atteinte

Le producteur réalise un bénéfice de 5 000 euros dans un mois pour centaines de paniers produits si et seulement .

Graphiquement, cela équivaut à dire que la courbe est en-dessous du segment de droite représenté en bleu sur le graphique ci-dessous :


 

Or on constate que la courbe est toujours nettement au-dessus de ce segment. Le producteur ne peut pas espérer réaliser un bénéfice de 5 000 € dans un mois. Graphiquement, le bénéfice maximal réalisable (correspondant à l’écart maximal entre les deux courbes et ) est d’environ 4 000 €.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

>1. est une estimation du nombre d’utilisations de la visioconférence lors de l’année .

a) Donner la raison et le premier terme d’une suite géométrique

On sait que, chaque année, le nombre d’utilisations de la visioconférence augmente de 20 %. On en déduit que, pour tout entier naturel , .

est donc une suite géométrique de raison 1,2.

En 2008, il y avait 30 utilisations de la visioconférence, donc son premier terme est :

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

Puisque est la suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme , pour tout entier naturel  :

c) Calculer un terme d’une suite géométrique

, donc le nombre d’utilisations de la visioconférence en 2013 est .

D’après les questions précédentes : .

Donc, en 2013, on a atteint (et même dépassé) 74 utilisations de la visioconférence.

>2. a) Dresser un tableau d’étapes du fonctionnement d’un algorithme

 ; les valeurs de sont données approchées par défaut à l’entier près.

 

Test U< A

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

Valeur deU

30

36

43

52

62

75

90

107

Valeur den

0

1

2

3

4

5

6

7

 

b) Déterminer la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après le tableau précédent, la valeur affichée en sortie de cet algorithme est 7.

c) Interpréter la valeur affichée en sortie d’un algorithme

La valeur précédente signifie que le nombre annuel d’utilisations de la visioconférence dépassera 100 pour la première fois en, c’est-à-dire en 2015.

>3. Déterminer le rang à partir duquel la somme des premiers termes d’une suite géométrique dépasse une valeur donnée

On sait que le coût de l’installation des appareils de visioconférence sera amorti quand le nombre total d’utilisations aura dépassé 400. On cherche donc tel que :

.

D’après la formule du cours donnant la somme des premiers termes d’une suite géométrique, en fonction du premier terme et de la raison de cette suite :

.

L’inéquation à résoudre est donc , soit

.

Elle équivaut à .

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur , l’inéquation précédente est équivalente à :

.

Or , donc l’inéquation équivaut à , soit .

, donc l’installation sera amortie à partir de 2015.