Sujet complet des Antilles 2015 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Antilles, Guyane

 

7

Antilles, Guyane • Septembre 2015

Sujet complet • 20 points

Sujet complet des Antilles 2015
(session de remplacement)

Exercice 1 (5 points)
 QCM sur les fonctions et la loi normale : 5 questions

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. Soit la fonction 3257039-Eqn1 définie sur [1 ; 100] par 3257039-Eqn2, 3257039-Eqn3 désigne la fonction dérivée de 3257039-Eqn4. On a :

a) 3257039-Eqn5

b) 3257039-Eqn6

c) 3257039-Eqn7

d) 3257039-Eqn8

2. On note 3257039-Eqn9 une primitive sur 3257039-Eqn10 de la fonction ln. Cette fonction 3257039-Eqn11 est :

a) croissante puis décroissante

b) décroissante sur 3257039-Eqn12

c) croissante sur 3257039-Eqn13

d) décroissante puis croissante

3. La fonction 3257039-Eqn14 définie sur 3257039-Eqn15 par 3257039-Eqn16 est :

a) convexe sur 3257039-Eqn17

b) concave sur 3257039-Eqn18

c) ni convexe, ni concave sur 3257039-Eqn19

d) change de convexité sur 3257039-Eqn20

4. On a représenté ci-après la courbe représentative d’une fonction 3257039-Eqn21 définie et dérivable sur 3257039-Eqn22 ainsi que sa tangente au point A d’abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que :

matT_1509_04_00C_01

a) 3257039-Eqn23

b) 3257039-Eqn24

c) 3257039-Eqn25

d) 3257039-Eqn26

5. La variable aléatoire 3257039-Eqn27 suit une loi normale d’espérance 3257039-Eqn28 et d’écart type 3257039-Eqn29 inconnu, mais on sait que 3257039-Eqn30.

On peut en déduire :

a) 3257039-Eqn31

b) 3257039-Eqn32

c) 3257039-Eqn33

d) 3257039-Eqn34

Exercice 2 (5 points) 
Étude d’un stock de pommes

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Un supermarché dispose d’un stock de pommes. On sait que 40 % des pommes proviennent d’un fournisseur 3257039-Eqn35 et le reste d’un fournisseur 3257039-Eqn36.

Il a été constaté que 85 % des pommes provenant du fournisseur 3257039-Eqn37 sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95 % pour le fournisseur 3257039-Eqn38.

Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les événements suivants :

A : « La pomme provient du fournisseur 3257039-Eqn39 »

B : « La pomme provient du fournisseur 3257039-Eqn40 »

C : « La pomme est commercialisable ».

partie A

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)

2. Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. (0,5 point)

3. La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu’il y a deux fois plus de chances qu’elle provienne du fournisseur 3257039-Eqn41 que du fournisseur 3257039-Eqn42. A-t-il raison ? (1 point)

Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième.

partie B

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

1. Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? (1 point)

2. Quelle est la probabilité qu’au moins 14 pommes soient commercialisables ? (1 point)

partie C

Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s’aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables.

Est-ce conforme à ce qu’il pouvait attendre ? (1 point)

Exercice 2 (5 points)
 Graphe et itinéraires de pistes cyclables

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables.

Le graphe suivant schématise son plan ; les arêtes représentent les pistes cyclables et les distances sont en kilomètre.

matT_1509_04_00C_02

partie A

Pour faire son parcours, le cycliste décide qu’il procédera selon l’algorithme ci-dessous :

ligne 1

Marquer sur le plan tous les villages comme non « visités »

ligne 2

Choisir un village de départ

ligne 3

Visiter le village et le marquer « visité »

ligne 4

Rouler vers le village le plus proche

ligne 5

Tant que le village où il arrive n’est pas un village déjà visité

ligne 6

ligne 7

 

visiter le village et le marquer « visité »

rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière

ligne 8

Fin Tant que

ligne 9

Afficher la liste des villages visités

1. Quelle propriété du graphe permet à la ligne 4 d’être toujours exécutable ? (0,5 point)

2. En partant du village noté G, quelle sera la liste des villages visités ? (0,5 point)

3. Existe-t-il un village de départ qui permette, en suivant cet algorithme, de visiter tous les villages ? (1 point)

4. Le cycliste abandonne l’idée de suivre l’algorithme. Il souhaite maintenant, partant d’un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois. Cela sera-t-il possible ? (1 point)

partie B

1. Écrire la matrice 3257039-Eqn43 de transition de ce graphe (dans l’ordre A, B, C, … , G). (1 point)

2. On donne la matrice 3257039-Eqn44 :

3257039-Eqn45

Interpréter le terme en gras, ligne A, colonne F (valant 1) dans le contexte de l’exercice. (1 point)

Exercice 3 (4 points)
 Étude d’un placement, évolution d’un capital

Commun à tous les candidats

Un couple fait un placement au taux annuel de 2 % dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de 18 000 euros.

Le couple a placé le montant de 1 000 euros à l’ouverture le 1er janvier 2010, puis, tous les ans à chaque 1er janvier, verse 2 400 euros.

1. Déterminer le capital présent sur le compte le 1er janvier 2011 après le versement annuel. (0,5 point)

2. On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d’années. On donne ci-dessous trois algorithmes :

Variables :

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Entrée :

Saisir une valeur pour N

Début traitement :

Affecter 1 000 à U

Pour i de 1 à N faire

 

Affecter 3257039-Eqn46 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin traitement

Algorithme 1

Variables :

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Entrée :

Saisir une valeur pour N

Début traitement :

Pour i de 1 à N faire

 

Affecter 1 000 à U

Affecter 3257039-Eqn47 à U

Fin Pour

Afficher U

Fin traitement

Algorithme 2

Variables :

U est un nombre réel

i et N sont des nombres entiers

Entrée :

Saisir une valeur pour N

Début traitement :

Affecter 1 000 à U

Pour i de 1 à N faire

 

Affecter 3257039-Eqn48 à U

Affecter N+1 à N

Fin Pour

Afficher U

Fin traitement

Algorithme 3

a) Pour la valeur 5 de N saisie dans l’algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). (1 point)

Valeur de i

xxx

1

Valeur de U

1 000

 

b) Pour la valeur 5 de N saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? Comment s’interprète cet affichage ? (0,5 point)

c) En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue ? (1 point)

3. À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2 %.

Au premier janvier de quelle année l’objectif de 18 000 euros est-il atteint ? (1 point)

Exercice 4 (6 points)
 Population d’une station balnéaire et consommation d’eau

Commun à tous les candidats

L’évolution de la population d’une station balnéaire pour l’été 2015 a été modélisée par une fonction 3257039-Eqn49, définie sur l’intervalle [0 ; 70], dont la courbe représentative est donnée ci-après.

Lorsque 3257039-Eqn50 est le nombre de jours écoulés après le 1er juillet, 3257039-Eqn51 désigne la population en milliers d’habitants.

Ainsi 3257039-Eqn52 correspond au 31 juillet et 3257039-Eqn53 représente la population qu’il est prévu d’accueillir le 31 juillet.

On estime qu’un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d’eau par jour.

matT_1509_04_00C_03

partie A

Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique.

1. a) Estimer le nombre maximal d’habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l’été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. (1 point)

b) La commune est en capacité de fournir 600 000 litres d’eau par jour, est-ce suffisant ? (0,5 point)

2. Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d’habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu. (1 point)

partie B

On admet que la fonction 3257039-Eqn54est définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

3257039-Eqn55.

1. Calculer 3257039-Eqn56 puis vérifier que la consommation d’eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de 324 890 litres. (0,5 point)

2. a) Démontrer que 3257039-Eqn57, où 3257039-Eqn58 est la fonction dérivée de 3257039-Eqn59. (0,5 point)

b) Étudier le signe de 3257039-Eqn60 sur l’intervalle [0 ; 70]. (0,5 point)

c) En déduire la date de la consommation d’eau maximale. (0,5 point)

partie C

On note 3257039-Eqn61 la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

3257039-Eqn62

Lorsque 3257039-Eqn63 est le nombre de jours écoulés après le 1er juillet, 3257039-Eqn64 représente alors la consommation maximale d’eau prévue ce jour-là et exprimée en m3.

Soit la fonction 3257039-Eqn65 définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

3257039-Eqn66

On admet que la fonction 3257039-Eqn67 est une primitive de la fonction 3257039-Eqn68.

La somme 3257039-Eqn69 représente la consommation maximale d’eau du 10e au 20e jour exprimée en m3.

1. En l’illustrant sur la courbe 3257039-Eqn70 de l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d’aires de la somme S. (1 point)

2. En déduire une valeur approximative de cette quantité d’eau consommée du 10e au 20e jour. (0,5 point)

Annexe

matT_1509_04_00C_04

Les clés du sujet


Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Fonction logarithme népérien • Primitive • Variations d’une fonction • Convexité • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

1. Utilisez le résultat du cours sur la dérivée de la fonction ln.

2. La dérivée de 3257039-Eqn71 est la fonction ln ; utilisez le théorème qui fait le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction sur un intervalle.

4. Le nombre dérivé 3257039-Eqn72 est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 3257039-Eqn73 à la courbe représentative de la fonction 3257039-Eqn74.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

2. L’événement dont on demande la probabilité est 3257039-Eqn75. Une pomme non commercialisable provient soit du fournisseur A, soit du fournisseur B.

3. Utilisez des probabilités conditionnelles.

Partie B

1. et 2. Utilisez la loi binomiale.

Partie C

Déterminez et utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Matrice • Graphe pondéré • Chaîne de longueur donnée • Chaîne eulérienne • Plus court chemin.

Les conseils du correcteur

Partie A

1. Justifiez et utilisez la connexité du graphe.

4. Utilisez le théorème d’Euler.

Partie B

2. Les coefficients de M4 donnent le nombre de chaînes de longueur 4 entre deux sommets.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Boucle « Pour » • Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

2. c) Déterminez les valeurs prises successivement par la variable U et regardez si l’algorithme se termine après un nombre fini d’étapes.

3. Il est possible de modéliser la situation en utilisant une suite géométrique.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale • Calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

1. a) D’après la courbe, le maximum de f est f (40) ; le nombre maximal d’habitants est donc atteint 40 jours après le 1er juillet.

Partie B

2. a) Utilisez les formules permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions et la dérivée d’une fonction de la forme 3257039-Eqn76.

Partie C

2. Justifiez que l’aire sous la courbe de g entre 10 et 21 est (en unités d’aire) 3257039-Eqn77 ; calculez cette intégrale en utilisant la primitive 3257039-Eqn78 de g.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout 3257039-Eqn79 :

3257039-Eqn80.

La bonne réponse est b).

2. Étudier les variations d’une fonction

Pour tout x 3257039-Eqn81, 3257039-Eqn82.

Donc 3257039-Eqn83 si 3257039-Eqn84 et 3257039-Eqn85 si 3257039-Eqn86.

La bonne réponse est d).

3. Étudier la convexité d’une fonction

Pour tout 3257039-Eqn87, 3257039-Eqn88 et 3257039-Eqn89.

Donc 3257039-Eqn90 pour tout 3257039-Eqn91. Donc 3257039-Eqn92 est convexe sur 3257039-Eqn93.

La bonne réponse est a).

4. Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique

3257039-Eqn94 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de 3257039-Eqn95 au point d’abscisse 2.

Par lecture graphique, cette tangente passe par l’origine du repère et par le point A(2 ; 0) ; son coefficient directeur est donc égal à 3257039-Eqn96.

La bonne réponse est b).

5. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

3257039-Eqn97.

Or 3257039-Eqn98.

Donc 3257039-Eqn99.

La bonne réponse est d).

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

partie A

1. Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré

matT_1509_04_00C_05

2. Calculer la probabilité d’un événement

Notez bien

Une pomme du stock provient soit du fournisseur 3257039-Eqn100, soit du fournisseur 3257039-Eqn101.

La probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 3257039-Eqn102.

A et B sont deux événements contraires, ils forment une partition de l’univers, donc :

3257039-Eqn103.

D’après l’arbre construit à la question 1. :

3257039-Eqn104

3257039-Eqn105

3. Calculer et utiliser des probabilités conditionnelles

On calcule et compare les probabilités conditionnelles 3257039-Eqn106 et 3257039-Eqn107 :

3257039-Eqn1083257039-Eqn1093257039-Eqn110 ;

3257039-Eqn1113257039-Eqn112.

D’où 3257039-Eqn113.

Le responsable des achats a donc raison lorsqu’il affirme qu’une pomme non commercialisable a deux fois plus de chances de provenir du fournisseur 3257039-Eqn114 que du fournisseur 3257039-Eqn115.

partie B

1. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Soit la variable aléatoire 3257039-Eqn116 égale au nombre de pommes commercialisables parmi les 15 pommes choisies. On appelle « succès » l’événement « la pomme est commercialisable », la probabilité de succès est égale à 0,91.

3257039-Eqn117 est égale au nombre de succès lors de la répétition de 15 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc 3257039-Eqn118 suit la loi binomiale de paramètres 15 et 0,91.

La probabilité que les 15 pommes choisies soient commercialisables est :

3257039-Eqn119= 3257039-Eqn120.

La probabilité que les 15 pommes choisies soient toutes commercialisables est donc 3257039-Eqn121, soit environ 0,243 en arrondissant au millième.

2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

D’après les résultats du cours sur la loi binomiale ou d’après la calculatrice, la probabilité qu’au moins 14 pommes soient commercialisables est :

3257039-Eqn123.

La probabilité qu’au moins 14 pommes soient commercialisables est 0,604 (en arrondissant au millième).

partie C

Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation

La taille de l’échantillon étudié est 3257039-Eqn127. La probabilité qu’une pomme choisie au hasard dans le stock ne soit pas commercialisable est :

3257039-Eqn128.

3257039-Eqn129

On peut donc déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes non commercialisables dans un échantillon de taille 200 :

3257039-Eqn130

Après calcul, en arrondissant de manière à obtenir un intervalle contenant le précédent, on obtient que l’intervalle 3257039-Eqn131 est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes non commercialisables dans un échantillon de taille 200.

Dans l’échantillon considéré, la fréquence de pommes non commercialisables est :

3257039-Eqn133.

3257039-Eqn134, donc le résultat observé par le responsable des achats est conforme à ce qu’il pouvait attendre.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie A

1. Reconnaître et utiliser une propriété d’un graphe

Le graphe est connexe, donc à partir d’un village donné, il est toujours possible d’atteindre au moins un autre village.

Donc la ligne 4 du graphe est donc toujours exécutable.

2. Déterminer sur un graphe un trajet déterminé par un algorithme

En partant du village noté G et en suivant l’algorithme, le trajet du cycliste peut être décrit de la manière suivante :

de G, il va en B, qui est le village le plus proche ;

de B, il va en A car il ne peut pas revenir en G ;

de A, il va en F car il ne peut pas revenir en B ;

de F, il ne peut aller qu’en G car il ne peut pas revenir en arrière ;

dans l’exécution de l’algorithme, on sort alors de la boucle « Tant que » car le cycliste arrive dans un village déjà visité.

En suivant l’algorithme proposé et en partant du village noté G, la liste des villages successivement visités sera donc :

3257039-Eqn134b

3. Déterminer un trajet passant par tous les sommets d’un graphe

Notez bien

C est le seul « village de départ » qui convient ; les autres trajets ne passent pas par tous les villages.

On examine successivement tous les « points de départ » possibles d’un trajet déterminé en suivant l’algorithme.

Partant de A, le « circuit » serait :

A – B – G – E – D – G ;

partant de B : B – G – E – D – G ;

partant de C : C – D – E – G – B – A – F – G ;

partant de D : D – E – G – B – A – F – G ;

partant de E : E – D – G – B – A – F – G ;

partant de F : F – G – B – A – F ;

le cas du trajet partant de G a été étudié à la question précédente.

Il est possible, en suivant l’algorithme, de visiter tous les villages : il suffit de partir de C.

4. Déterminer si un graphe possède un cycle eulérien

Déterminer s’il existe un trajet partant d’un village et y revenant après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois revient à déterminer si le graphe possède un cycle eulérien.

D’après le théorème d’Euler, un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair.

Info

Le degré d’un sommet d’un graphe est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.

On a vu précédemment que la chaîne C – D – E – G – B – A – F contient tous les sommets du graphe, donc ce graphe est connexe. On peut résumer dans un tableau le degré de ses sommets :

Sommet

A

B

C

D

E

F

G

Degré

2

4

2

4

2

2

4

Tous les sommets sont de degré pair ; d’après le théorème d’Euler, le graphe admet un cycle eulérien.

Notez bien

Un tel trajet peut avoir pour point de départ n’importe lequel des 7 villages.

Il existe donc un trajet partant d’un village et y revenant après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois.

partie B

1. Écrire la matrice de transition d’un graphe

La matrice de transition 3257039-Eqn135 du graphe donné est :

3257039-Eqn136

2. Interpréter un coefficient d’une puissance de la matrice de transition d’un graphe

Le terme (valant 1) situé ligne A, colonne F de la matrice 3257039-Eqn137 est le nombre de chaînes de longueur 4 (c’est-à-dire formées de 4 arêtes) entre A et F.

Il existe donc une seule chaîne de longueur 4 entre le village A et le village F :

A – B – D – G – F.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

1. Déterminer un capital après un an de placement

Notez bien

1,02 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2 % ; une grandeur qui augmente de 2 % est multipliée par 1,02.

Le capital présent sur le compte le 1er janvier 2011 après le versement annuel est, en euros :

3257039-Eqn138

Le 1er janvier 2011, le capital présent sur le compte est de 3 420 euros.

2. a) Construire un « tableau d’étapes » associé à un algorithme

Pour N = 5, le tableau des valeurs successivement obtenues avec l’algorithme 1 est :

Valeur de i

xxx

1

2

3

4

5

Valeur de U

1 000

3 420

5 888,40

8 406,17

10 974,29

13 593,78

b) Déterminer et interpréter une valeur obtenue en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, la valeur affichée par cet algorithme est 13 593,78. Le capital présent sur le compte le 1er janvier 2015 après le versement annuel est de 13 593,78 euros.

c) Justifier que des algorithmes ne fournissent pas le résultat attendu

L’algorithme 2 n’affiche pas la somme présente sur le compte après N années car, à chaque étape de la boucle, la valeur de U est réinitialisée à 1 000 ; l’algorithme 2 effectue donc N fois le même calcul et affiche 3 420 en sortie, quelle que soit la valeur de N saisie.

L’algorithme 3 ne convient pas non plus car, à chaque étape de la boucle, N est augmenté de 1 ; l’algorithme ne s’arrête pas.

Donc les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas le résultat attendu.

3. Déterminer le nombre d’années nécessaires pour qu’un capital atteigne une valeur donnée

Le 1er janvier 2016, après le versement annuel, le capital présent sur le compte est :

3257039-Eqn139

soit environ 16 265,65 euros.

Pour tout entier naturel 3257039-Eqn140, on note 3257039-Eqn141 le capital (en euros) présent sur le compte au 1er janvier de l’année 3257039-Eqn142.

3257039-Eqn143 et, pour tout entier naturel 3257039-Eqn144 :

3257039-Eqn145.

3257039-Eqn146 est donc la suite géométrique de premier terme 3257039-Eqn147 et de raison 3257039-Eqn148.

Donc, pour tout entier naturel 3257039-Eqn149 :

3257039-Eqn150.

On cherche donc le plus petit entier naturel 3257039-Eqn151 tel que :

3257039-Eqn152.

3257039-Eqn153

Or, 3257039-Eqn156.

Le plus petit entier naturel 3257039-Eqn157 tel que 3257039-Eqn158 est donc 3257039-Eqn159.

3257039-Eqn160.

L’objectif de 18 000 euros est donc atteint au 1er janvier 2022.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie A

1. a) Déterminer par lecture graphique le maximum d’une fonction

Par lecture graphique, le maximum de 3257039-Eqn161 est 10 et 3257039-Eqn162.

Le nombre maximal d’habitants est donc atteint 40 jours après le 1er juillet.

Le nombre maximal d’habitants de la station balnéaire est 10 000 habitants, et ce maximum est atteint le 10 août.

b) Exploiter un encadrement

Puisque chaque habitant consomme entre 45 et 55 litres d’eau par jour, le 10 août, c’est-à-dire le jour où la population de la station sera maximale, la consommation d’eau sera, en litres, comprise entre 3257039-Eqn163 et 3257039-Eqn164, c’est-à-dire entre 450 000 et 550 000 litres.

Puisque la commune peut fournir 600 000 litres d’eau par jour, c’est suffisant pour ce jour, donc pour les autres jours.

La capacité en eau de la commune (600 000 litres d’eau par jour) est donc suffisante.

2. Déterminer l’ensemble des solutions d’une inéquation associée à une fonction

D’après la question 1., le nombre maximal d’habitants de la station balnéaire est 10 000 habitants. On cherche donc le nombre de jours où la population devrait être supérieure à 8 000 habitants, c’est-à-dire les solutions de l’inéquation 3257039-Eqn165.

D’après le graphique, l’ensemble des solutions de cette inéquation est [17 ; 70].

Donc le nombre d’habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu pendant (environ) 53 jours.

partie B

On admet que la fonction 3257039-Eqn166 est définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

3257039-Eqn167.

1. Calculer l’image d’un nombre par une fonction comportant une exponentielle

Notez bien

3257039-Eqn168 est la population, en milliers d’habitants, 9 jours après le 1er juillet, c’est-à-dire le 10 juillet.

3257039-Eqn169.

La consommation d’eau, en litres, le 10 juillet est inférieure ou égale à 3257039-Eqn170.

3257039-Eqn171.

Donc, selon ce modèle, la consommation d’eau le 10 juillet serait au plus de 324 890 litres.

2. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel 3257039-Eqn172 appartenant à l’intervalle [0 ; 70] :

3257039-Eqn173

3257039-Eqn174

b) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

3257039-Eqn175 pour tout réel 3257039-Eqn176, donc 3257039-Eqn177 est du signe de :

3257039-Eqn178.

3257039-Eqn179

Donc :

• 3257039-Eqn180 si 3257039-Eqn181 ;

• 3257039-Eqn182 ;

• 3257039-Eqn183 si 3257039-Eqn184.

c) Déterminer la valeur en laquelle une fonction atteint son maximum

D’après la question précédente, la fonction 3257039-Eqn185 atteint son maximum en 3257039-Eqn186.

La consommation d’eau devrait donc être maximale 40 jours après le 1er juillet, c’est-à-dire le 10 août.

partie C

1. Donner une interprétation graphique d’une somme

3257039-Eqn187 est l’aire d’un rectangle de largeur 1 et de hauteur 3257039-Eqn188,

3257039-Eqn189 est l’aire d’un rectangle de largeur 1 et de hauteur 3257039-Eqn190, et ainsi de suite…

La somme 3257039-Eqn191 est donc la somme des aires de 11 rectangles de même largeur 1 et de hauteurs respectives 3257039-Eqn192, 3257039-Eqn193, 3257039-Eqn194, … , 3257039-Eqn195.

matT_1509_04_00C_06

2. Donner une valeur approchée d’un nombre à l’aide d’une intégrale

La fonction 3257039-Eqn196 est strictement positive sur [0 ; 70].

3257039-Eqn197 est donc une valeur approchée de l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe 3257039-Eqn198 et les droites d’équations 3257039-Eqn199 et 3257039-Eqn200, qui est égale à 3257039-Eqn201.

3257039-Eqn202 car 3257039-Eqn203 est une primitive de la fonction 3257039-Eqn204.

3257039-Eqn205

Donc la quantité maximale d’eau consommée du 10e au 20e jour est d’environ 4 625 m3.