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Antilles, Guyane • Septembre 2015
Sujet complet • 20 points
Sujet complet des Antilles 2015 (session de remplacement)
Exercice 1 (5 points) QCM sur les fonctions et la loi normale : 5 questions
Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
▶ 1. Soit la fonction 
définie sur [1 100] par 
, 
désigne la fonction dérivée de 
. On a :
a) 
b) 
c) 
d) 
▶ 2. On note 
une primitive sur 
de la fonction ln. Cette fonction 
est :
a) croissante puis décroissante
b) décroissante sur 
c) croissante sur 
d) décroissante puis croissante
▶ 3. La fonction 
définie sur 
par 
est :
a) convexe sur 
b) concave sur 
c) ni convexe, ni concave sur 
d) change de convexité sur 
▶ 4. On a représenté ci-après la courbe représentative d'une fonction 
définie et dérivable sur 
ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que :
a) 
b) 
c) 
d) 
▶ 5. La variable aléatoire 
suit une loi normale d'espérance 
et d'écart type 
inconnu, mais on sait que 
.
On peut en déduire :
a) 
b) 
c) 
d) 
Exercice 2 (5 points) Étude d'un stock de pommes
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
Un supermarché dispose d'un stock de pommes. On sait que 40 % des pommes proviennent d'un fournisseur 
et le reste d'un fournisseur 
.
Il a été constaté que 85 % des pommes provenant du fournisseur 
sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95 % pour le fournisseur 
.
Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les événements suivants :
A : « La pomme provient du fournisseur 
»
B : « La pomme provient du fournisseur 
»
C : « La pomme est commercialisable ».
partie A
▶ 1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)
▶ 2. Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. (0,5 point)
▶ 3. La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chances qu'elle provienne du fournisseur 
que du fournisseur 
. A-t-il raison ? (1 point)
Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième.
partie B
On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
▶ 1. Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? (1 point)
▶ 2. Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? (1 point)
partie C
Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s'aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables.
Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? (1 point)
Exercice 2 (5 points) Graphe et itinéraires de pistes cyclables
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables.
Le graphe suivant schématise son plan les arêtes représentent les pistes cyclables et les distances sont en kilomètre.
partie A
Pour faire son parcours, le cycliste décide qu'il procédera selon l'algorithme ci-dessous :
| ligne 1 | Marquer sur le plan tous les villages comme non « visités » | |
| ligne 2 | Choisir un village de départ | |
| ligne 3 | Visiter le village et le marquer « visité » | |
| ligne 4 | Rouler vers le village le plus proche | |
| ligne 5 | Tant que le village où il arrive n'est pas un village déjà visité | |
| ligne 6 ligne 7 | visiter le village et le marquer « visité » rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière | |
| ligne 8 | Fin Tant que | |
| ligne 9 | Afficher la liste des villages visités | |
▶ 1. Quelle propriété du graphe permet à la ligne 4 d'être toujours exécutable ? (0,5 point)
▶ 2. En partant du village noté G, quelle sera la liste des villages visités ? (0,5 point)
▶ 3. Existe-t-il un village de départ qui permette, en suivant cet algorithme, de visiter tous les villages ? (1 point)
▶ 4. Le cycliste abandonne l'idée de suivre l'algorithme. Il souhaite maintenant, partant d'un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois. Cela sera-t-il possible ? (1 point)
partie B
▶ 1. Écrire la matrice 
de transition de ce graphe (dans l'ordre A, B, C, … , G). (1 point)
▶ 2. On donne la matrice 
:
Interpréter le terme en gras, ligne A, colonne F (valant 1) dans le contexte de l'exercice. (1 point)
Exercice 3 (4 points) Étude d'un placement, évolution d'un capital
Commun à tous les candidats
Un couple fait un placement au taux annuel de 2 % dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de 18 000 euros.
Le couple a placé le montant de 1 000 euros à l'ouverture le 1er janvier 2010, puis, tous les ans à chaque 1er janvier, verse 2 400 euros.
▶ 1. Déterminer le capital présent sur le compte le 1er janvier 2011 après le versement annuel. (0,5 point)
▶ 2. On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d'années. On donne ci-dessous trois algorithmes :
| Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Entrée : Saisir une valeur pour N Début traitement : Affecter 1 000 à U Pour i de 1 à N faire | |
| Affecter | |
| Fin Pour Afficher U Fin traitement | |
| Algorithme 1 | |
à | Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Entrée : Saisir une valeur pour N Début traitement : Pour i de 1 à N faire | |
| Affecter 1 000 à U Affecter | |
| Fin Pour Afficher U Fin traitement | |
| Algorithme 2 | |
à | Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Entrée : Saisir une valeur pour N Début traitement : Affecter 1 000 à U Pour i de 1 à N faire | |
| Affecter Affecter N+1 à N | |
| Fin Pour Afficher U Fin traitement | |
| Algorithme 3 | |
à a) Pour la valeur 5 de N saisie dans l'algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). (1 point)
| Valeur de i | xxx | 1 | … |
| Valeur de U | 1 000 | … |
b) Pour la valeur 5 de N saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? Comment s'interprète cet affichage ? (0,5 point)
c) En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue ? (1 point)
▶ 3. À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2 %.
Au premier janvier de quelle année l'objectif de 18 000 euros est-il atteint ? (1 point)
Exercice 4 (6 points) Population d'une station balnéaire et consommation d'eau
Commun à tous les candidats
L'évolution de la population d'une station balnéaire pour l'été 2015 a été modélisée par une fonction 
, définie sur l'intervalle [0 70], dont la courbe représentative est donnée ci-après.
Lorsque 
est le nombre de jours écoulés après le 1er juillet, 
désigne la population en milliers d'habitants.
Ainsi 
correspond au 31 juillet et 
représente la population qu'il est prévu d'accueillir le 31 juillet.
On estime qu'un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d'eau par jour.
partie A
Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique.
▶ 1. a) Estimer le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l'été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. (1 point)
b) La commune est en capacité de fournir 600 000 litres d'eau par jour, est-ce suffisant ? (0,5 point)
▶ 2. Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu. (1 point)
partie B
On admet que la fonction 
est définie sur l'intervalle [0 70] par :
.
▶ 1. Calculer 
puis vérifier que la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de 324 890 litres. (0,5 point)
▶ 2. a) Démontrer que 
, où 
est la fonction dérivée de 
. (0,5 point)
b) Étudier le signe de 
sur l'intervalle [0 70]. (0,5 point)
c) En déduire la date de la consommation d'eau maximale. (0,5 point)
partie C
On note 
la fonction définie sur l'intervalle [0 70] par :
Lorsque 
est le nombre de jours écoulés après le 1er juillet, 
représente alors la consommation maximale d'eau prévue ce jour-là et exprimée en m3.
Soit la fonction 
définie sur l'intervalle [0 70] par :
On admet que la fonction 
est une primitive de la fonction 
.
La somme 
représente la consommation maximale d'eau du 10e au 20e jour exprimée en m3.
▶ 1. En l'illustrant sur la courbe 
de l'annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d'aires de la somme S. (1 point)
▶ 2. En déduire une valeur approximative de cette quantité d'eau consommée du 10e au 20e jour. (0,5 point)
Annexe
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Fonction logarithme népérien • Primitive • Variations d'une fonction • Convexité • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
▶ 1. Utilisez le résultat du cours sur la dérivée de la fonction ln.
▶ 2. La dérivée de 
est la fonction ln utilisez le théorème qui fait le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d'une fonction sur un intervalle.
▶ 4. Le nombre dérivé 
est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 
à la courbe représentative de la fonction 
.
Exercice 2 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l'énoncé.
▶ 2. L'événement dont on demande la probabilité est 
. Une pomme non commercialisable provient soit du fournisseur A, soit du fournisseur B.
▶ 3. Utilisez des probabilités conditionnelles.
Partie B
▶ 1. et 2. Utilisez la loi binomiale.
Partie C
Déterminez et utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Matrice • Graphe pondéré • Chaîne de longueur donnée • Chaîne eulérienne • Plus court chemin.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. Justifiez et utilisez la connexité du graphe.
▶ 4. Utilisez le théorème d'Euler.
Partie B
▶ 2. Les coefficients de M4 donnent le nombre de chaînes de longueur 4 entre deux sommets.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Boucle « Pour » • Évolution en pourcentage • Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
▶ 2. c) Déterminez les valeurs prises successivement par la variable U et regardez si l'algorithme se termine après un nombre fini d'étapes.
▶ 3. Il est possible de modéliser la situation en utilisant une suite géométrique.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes
Les thèmes en jeu
Pourcentage instantané • Dérivée • Variations d'une fonction • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale • Calcul d'aire.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. a) D'après la courbe, le maximum de f est f (40) le nombre maximal d'habitants est donc atteint 40 jours après le 1er juillet.
Partie B
▶ 2. a) Utilisez les formules permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions et la dérivée d'une fonction de la forme 
.
Partie C
▶ 2. Justifiez que l'aire sous la courbe de g entre 10 et 21 est (en unités d'aire) 
calculez cette intégrale en utilisant la primitive 
de g.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout 
:
.
La bonne réponse est b).
▶ 2. Étudier les variations d'une fonction
Pour tout x 
, 
.
Donc 
si 
et 
si 
.
La bonne réponse est d).
▶ 3. Étudier la convexité d'une fonction
Pour tout 
, 
et 
.
Donc 
pour tout 
. Donc 
est convexe sur 
.
La bonne réponse est a).
▶ 4. Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de 
au point d'abscisse 2.
Par lecture graphique, cette tangente passe par l'origine du repère et par le point A(2 0) son coefficient directeur est donc égal à 
.
La bonne réponse est b).
▶ 5. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
.
Or 
.
Donc 
.
La bonne réponse est d).
Exercice 2
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
partie A
▶ 1. Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré
▶ 2. Calculer la probabilité d'un événement
Notez bien
Une pomme du stock provient soit du fournisseur 
, soit du fournisseur 
.
La probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 
.
A et B sont deux événements contraires, ils forment une partition de l'univers, donc :
.
D'après l'arbre construit à la question 1. :
▶ 3. Calculer et utiliser des probabilités conditionnelles
On calcule et compare les probabilités conditionnelles 
et 
:
.
D'où 
.
Le responsable des achats a donc raison lorsqu'il affirme qu'une pomme non commercialisable a deux fois plus de chances de provenir du fournisseur 
que du fournisseur 
.
partie B
▶ 1. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale
Soit la variable aléatoire 
égale au nombre de pommes commercialisables parmi les 15 pommes choisies. On appelle « succès » l'événement « la pomme est commercialisable », la probabilité de succès est égale à 0,91.
est égale au nombre de succès lors de la répétition de 15 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc 
suit la loi binomiale de paramètres 15 et 0,91.
La probabilité que les 15 pommes choisies soient commercialisables est :
) = 
.
La probabilité que les 15 pommes choisies soient toutes commercialisables est donc 
, soit environ 0,243 en arrondissant au millième.
▶ 2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale
D'après les résultats du cours sur la loi binomiale ou d'après la calculatrice, la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables est :
.
La probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables est 0,604 (en arrondissant au millième).
partie C
Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation
La taille de l'échantillon étudié est 
. La probabilité qu'une pomme choisie au hasard dans le stock ne soit pas commercialisable est :
.
On peut donc déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes non commercialisables dans un échantillon de taille 200 :
Après calcul, en arrondissant de manière à obtenir un intervalle contenant le précédent, on obtient que l'intervalle 
est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes non commercialisables dans un échantillon de taille 200.
Dans l'échantillon considéré, la fréquence de pommes non commercialisables est :
.
, donc le résultat observé par le responsable des achats est conforme à ce qu'il pouvait attendre.
Exercice 2
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
partie A
▶ 1. Reconnaître et utiliser une propriété d'un graphe
Le graphe est connexe, donc à partir d'un village donné, il est toujours possible d'atteindre au moins un autre village.
Donc la ligne 4 du graphe est donc toujours exécutable.
▶ 2. Déterminer sur un graphe un trajet déterminé par un algorithme
En partant du village noté G et en suivant l'algorithme, le trajet du cycliste peut être décrit de la manière suivante :
de G, il va en B, qui est le village le plus proche
de B, il va en A car il ne peut pas revenir en G
de A, il va en F car il ne peut pas revenir en B
de F, il ne peut aller qu'en G car il ne peut pas revenir en arrière
dans l'exécution de l'algorithme, on sort alors de la boucle « Tant que » car le cycliste arrive dans un village déjà visité.
En suivant l'algorithme proposé et en partant du village noté G, la liste des villages successivement visités sera donc :
▶ 3. Déterminer un trajet passant par tous les sommets d'un graphe
Notez bien
C est le seul « village de départ » qui convient les autres trajets ne passent pas par tous les villages.
On examine successivement tous les « points de départ » possibles d'un trajet déterminé en suivant l'algorithme.
Partant de A, le « circuit » serait :
A – B – G – E – D – G
partant de B : B – G – E – D – G
partant de C : C – D – E – G – B – A – F – G
partant de D : D – E – G – B – A – F – G
partant de E : E – D – G – B – A – F – G
partant de F : F – G – B – A – F
le cas du trajet partant de G a été étudié à la question précédente.
Il est possible, en suivant l'algorithme, de visiter tous les villages : il suffit de partir de C.
▶ 4. Déterminer si un graphe possède un cycle eulérien
Déterminer s'il existe un trajet partant d'un village et y revenant après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois revient à déterminer si le graphe possède un cycle eulérien.
D'après le théorème d'Euler, un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair.
Info
Le degré d'un sommet d'un graphe est le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité.
On a vu précédemment que la chaîne C – D – E – G – B – A – F contient tous les sommets du graphe, donc ce graphe est connexe. On peut résumer dans un tableau le degré de ses sommets :
| Sommet | A | B | C | D | E | F | G |
| Degré | 2 | 4 | 2 | 4 | 2 | 2 | 4 |
Tous les sommets sont de degré pair d'après le théorème d'Euler, le graphe admet un cycle eulérien.
Notez bien
Un tel trajet peut avoir pour point de départ n'importe lequel des 7 villages.
Il existe donc un trajet partant d'un village et y revenant après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois.
partie B
▶ 1. Écrire la matrice de transition d'un graphe
La matrice de transition 
du graphe donné est :
▶ 2. Interpréter un coefficient d'une puissance de la matrice de transition d'un graphe
Le terme (valant 1) situé ligne A, colonne F de la matrice 
est le nombre de chaînes de longueur 4 (c'est-à-dire formées de 4 arêtes) entre A et F.
Il existe donc une seule chaîne de longueur 4 entre le village A et le village F :
A – B – D – G – F.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
▶ 1. Déterminer un capital après un an de placement
Notez bien
1,02 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2 % une grandeur qui augmente de 2 % est multipliée par 1,02.
Le capital présent sur le compte le 1er janvier 2011 après le versement annuel est, en euros :
Le 1er janvier 2011, le capital présent sur le compte est de 3 420 euros.
▶ 2. a) Construire un « tableau d'étapes » associé à un algorithme
Pour N = 5, le tableau des valeurs successivement obtenues avec l'algorithme 1 est :
| Valeur de i | xxx | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Valeur de U | 1 000 | 3 420 | 5 888,40 | 8 406,17 | 10 974,29 | 13 593,78 |
b) Déterminer et interpréter une valeur obtenue en sortie d'un algorithme
D'après la question précédente, la valeur affichée par cet algorithme est 13 593,78. Le capital présent sur le compte le 1er janvier 2015 après le versement annuel est de 13 593,78 euros.
c) Justifier que des algorithmes ne fournissent pas le résultat attendu
L'algorithme 2 n'affiche pas la somme présente sur le compte après N années car, à chaque étape de la boucle, la valeur de U est réinitialisée à 1 000 l'algorithme 2 effectue donc N fois le même calcul et affiche 3 420 en sortie, quelle que soit la valeur de N saisie.
L'algorithme 3 ne convient pas non plus car, à chaque étape de la boucle, N est augmenté de 1 l'algorithme ne s'arrête pas.
Donc les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas le résultat attendu.
▶ 3. Déterminer le nombre d'années nécessaires pour qu'un capital atteigne une valeur donnée
Le 1er janvier 2016, après le versement annuel, le capital présent sur le compte est :
soit environ 16 265,65 euros.
Pour tout entier naturel 
, on note 
le capital (en euros) présent sur le compte au 1er janvier de l'année 
.
et, pour tout entier naturel 
:
.
est donc la suite géométrique de premier terme 
et de raison 
.
Donc, pour tout entier naturel 
:
.
On cherche donc le plus petit entier naturel 
tel que :
.
Or, 
.
Le plus petit entier naturel 
tel que 
est donc 
.
.
L'objectif de 18 000 euros est donc atteint au 1er janvier 2022.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. a) Déterminer par lecture graphique le maximum d'une fonction
Par lecture graphique, le maximum de 
est 10 et 
.
Le nombre maximal d'habitants est donc atteint 40 jours après le 1er juillet.
Le nombre maximal d'habitants de la station balnéaire est 10 000 habitants, et ce maximum est atteint le 10 août.
b) Exploiter un encadrement
Puisque chaque habitant consomme entre 45 et 55 litres d'eau par jour, le 10 août, c'est-à-dire le jour où la population de la station sera maximale, la consommation d'eau sera, en litres, comprise entre 
et 
, c'est-à-dire entre 450 000 et 550 000 litres.
Puisque la commune peut fournir 600 000 litres d'eau par jour, c'est suffisant pour ce jour, donc pour les autres jours.
La capacité en eau de la commune (600 000 litres d'eau par jour) est donc suffisante.
▶ 2. Déterminer l'ensemble des solutions d'une inéquation associée à une fonction
D'après la question 1., le nombre maximal d'habitants de la station balnéaire est 10 000 habitants. On cherche donc le nombre de jours où la population devrait être supérieure à 8 000 habitants, c'est-à-dire les solutions de l'inéquation 
.
D'après le graphique, l'ensemble des solutions de cette inéquation est [17 70].
Donc le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80 % du nombre maximal prévu pendant (environ) 53 jours.
partie B
On admet que la fonction 
est définie sur l'intervalle [0 70] par :
.
▶ 1. Calculer l'image d'un nombre par une fonction comportant une exponentielle
Notez bien
est la population, en milliers d'habitants, 9 jours après le 1er juillet, c'est-à-dire le 10 juillet.
.
La consommation d'eau, en litres, le 10 juillet est inférieure ou égale à 
.
.
Donc, selon ce modèle, la consommation d'eau le 10 juillet serait au plus de 324 890 litres.
▶ 2. a) Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout réel 
appartenant à l'intervalle [0 70] :
b) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction
pour tout réel 
, donc 
est du signe de :
.
Donc :
• 
si 
• 
• 
si 
.
c) Déterminer la valeur en laquelle une fonction atteint son maximum
D'après la question précédente, la fonction 
atteint son maximum en 
.
La consommation d'eau devrait donc être maximale 40 jours après le 1er juillet, c'est-à-dire le 10 août.
partie C
▶ 1. Donner une interprétation graphique d'une somme
est l'aire d'un rectangle de largeur 1 et de hauteur 
,
est l'aire d'un rectangle de largeur 1 et de hauteur 
, et ainsi de suite…
La somme 
est donc la somme des aires de 11 rectangles de même largeur 1 et de hauteurs respectives 
, 
, 
, … , 
.
▶ 2. Donner une valeur approchée d'un nombre à l'aide d'une intégrale
La fonction 
est strictement positive sur [0 70].
est donc une valeur approchée de l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe 
et les droites d'équations 
et 
, qui est égale à 
.
car 
est une primitive de la fonction 
.
Donc la quantité maximale d'eau consommée du 10e au 20e jour est d'environ 4 625 m3.