Sujet complet des Antilles 2016 (session de remplacement)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2016

matT_1609_04_00C

Sujets complets

7

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet des Antilles 2016 (session de remplacement)

Les thèmes clés

Exercice 1 – Fonction exponentielle • Loi normale.

Exercice 2 – Probabilité conditionnelle • Intervalle de confiance.

Exercice 2 (spécialité) – Matrice • Graphe probabiliste.

Exercice 3 – Loi à densité • Intégrale, calcul d’aire.

Exercice 4 – Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Exercice 1 (6 points) • 60 min
QCM sur les fonctions, les pourcentages et la loi normale (6 questions)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

1. On considère la fonction f définie sur par f(x)=x ex. La fonction f est :

a) concave sur ];0]

b) convexe sur ];0]

c) concave sur [0;+[

d) convexe sur [0;+[

2. On considère l’équation d’inconnue x : (3x+1)ex=0. Cette équation admet sur  :

a) 0 solution

b) 1 solution

c) 2 solutions

d) plus de 3 solutions

3. On a constaté que, sur dix ans, le prix d’une certaine denrée a augmenté de 8 % par an. On peut affirmer que, sur dix ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l’unité près, de :

a) 80 %

b) 116 %

c) 216 %

d) 43 %

4. La courbe g ci-dessous représente une fonction g définie et dérivable sur [0 ; 3].

matT_1609_04_00C_01

On note g sa fonction dérivée ; on a :

a) g(2)=1

b) g(2)=5

c) g(2)=43

d) g(2)=2

5. Soit la fonction h définie sur par h(x)= e3x+2.

Une primitive H de h peut être définie sur par :

a) H(x)=3 e3x+2

b) H(x)=13 e3x+2

c) H(x)=(3x+2)e3x+2

d) H(x)=e3x+2

6. Pour la loi normale représentée ci-dessous, on a :

P(9<X<12)0,82102 près).

matT_1609_04_00C_02

Les paramètres de la loi X sont :

a) μ = 10 et σ = 2

b) μ = 11 et σ = 2

c) μ = 10 et σ = 1

d) μ = 11 et σ = 3

Exercice 2 (5 points) • 45 min
Étude de la répartition hommes/femmes des lecteurs et enquête sur l’offre d’une librairie

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Les résultats seront arrondis au centième.

Une librairie souhaite réaliser plusieurs études de marché.

partie a

Pour une première étude, le libraire s’appuie sur une enquête réalisée sur le territoire national en faisant l’hypothèse qu’elle reste valable localement.

Selon cette enquête, 48,7 % des personnes âgées de plus de 15 ans sont des hommes.

Parmi ces hommes de plus de 15 ans, 64 % lisent au moins un livre par an.

Parmi les femmes âgées de plus de 15 ans, 75 % lisent au moins un livre par an. (Source : ministère de la Culture et de la Communication, statistiques 2008).

On choisit au hasard une personne âgée de plus de 15 ans résidant en France. On note les événements suivants :

H : « la personne choisie est un homme » ;

F : « la personne choisie est une femme » ;

L : « la personne choisie lit au moins un livre par an ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré. (0,5 point)

2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme et qu’elle lise au moins un livre par an. (0,75 point)

3. Montrer que la probabilité que la personne choisie lise au moins un livre par an est, à 0,01 près, de 0,70. (0,75 point)

4. On choisit une personne parmi celles qui lisent au moins un livre par an. Déterminer la probabilité que ce soit une femme. (0,75 point)

5. On choisit maintenant successivement et de manière indépendante 10 personnes âgées de plus de 15 ans.

Calculer la probabilité qu’il y ait exactement 5 personnes lisant au moins un livre par an. (0,75 point)

partie b

La librairie propose aussi l’achat de ses livres en ligne.

Afin de déterminer si cette offre est connue de ses clients, elle commande une enquête.

Cette enquête est réalisée auprès d’un échantillon de 60 clients et montre que 35 % d’entre eux connaissent cette offre.

1. Déterminer un intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, de la proportion des clients connaissant cette possibilité d’achat en ligne. Pour les bornes, on donnera les valeurs arrondies au centième. (0,75 point)

2. À l’issue de ce sondage, la librairie peut-elle estimer que la moitié de ses clients connaît son offre ? Justifier la réponse. (0,75 point)

Exercice 2 (5 points) • 45 minRépartition des abonnés d’une salle de sport entre trois activités

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées : Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).

D’une semaine sur l’autre, les abonnés peuvent changer d’activité.

Au 1er septembre 2015, il y a 10 % des abonnés inscrits en Pilates, 85 % en Step et 5 % en Zumba.

D’après l’analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d’une semaine sur l’autre :

Si l’abonné était en Pilates, la semaine suivante, il conserve Pilates dans 30 % des cas, sinon il choisit Step dans 10 % des cas et Zumba dans 60 % des cas.

Si l’abonné était en Step, la semaine suivante, il conserve Step dans 30 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 50 % des cas et Zumba dans 20 % des cas.

Si l’abonné était en Zumba, la semaine suivante, il conserve Zumba dans 20 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 20 % des cas et Step dans 60 % des cas.

On considère qu’il n’y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l’année.

Soit En =(pnsnzn) la matrice ligne décrivant l’état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et Z, n semaines après le 1er septembre 2015.

1. Donner, sans justification, la matrice E0. (0,5 point)

2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z. (0,75 point)

3. On donne M la matrice carrée 3 × 3 de transition respectant l’ordre P, S et Z :

M=(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2).

a) Préciser la signification du coefficient 0,5 dans la matrice M. (0,25 point)

b) Calculer E1. (0,5 point)

c) Déterminer la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines. (0,5 point)

4. Peut-on affirmer, à 102 près, qu’au bout de six semaines environ 13 des abonnés se répartissent dans chaque activité ? (0,75 point)

5. Au 1er septembre 2015, on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Combien peut-on prévoir d’abonnés dans chaque activité, huit semaines après cette date ? (0,75 point)

6. a) Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne E correspondant à l’état probabiliste stable. (0,5 point)

b) Vérifier cette conjecture. (0,5 point)

Exercice 3 (3 points) • 25 min
Fonction de densité, aire sous la courbe et probabilité

Commun à tous les candidats

La fonction f est définie sur [0 ; 1] par f(x) = 2x.

On considère une variable aléatoire X qui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité est f.

Cette fonction de densité est représentée ci-après.

matT_1609_04_00C_03

1. a) Quelle est la valeur, en unité d’aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée. (1 point)

b) Interpréter ce résultat en terme de probabilité. (0,5 point)

2. Calculer la probabilité P(0 X  0,75). (1,5 point)

Exercice 4 (6 points) • 55 min
Évolution du nombre d’abonnés à un service de livraison de repas à domicile

Commun à tous les candidats

Une association confectionne et porte chaque jour à domicile des repas à des personnes dépendantes.

En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.

Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l’évolution peut être modélisée de la façon suivante :

chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renouvelés ;

chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service.

1. Pour suivre l’évolution du nombre d’abonnés, un gestionnaire réalise l’algorithme suivant :

Variables

n et U sont des nombres

Traitement

Affecter à U la valeur 600

Affecter à n la valeur 0

Tant que U < 800 faire

   

U prend la valeur U U × 0,05 + 80

n prend la valeur n + 1

Sortie

Fin Tant que

Afficher n

a) Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l’unité). (1 point)

Valeur de U

600

 

Valeur de n

0

 

Test U < 800

vrai

 

b) Déterminer la valeur affichée en fin d’exécution de l’algorithme. (0,75 point)

c) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

2. Cette évolution peut s’étudier à l’aide d’une suite (un), où un est le nombre d’abonnés pendant l’année 2015 + n.

On a ainsi, pour tout entier naturel n :

un+1 = 0,95 un + 80 et u0 = 600.

a) Donner u1 et u2 (arrondir les valeurs à l’unité). (0,5 point)

b) On introduit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un - 1 600.

Montrer que (vn) est une suite géométrique. (0,75 point)

Préciser la raison et le premier terme de cette suite. (0,5 point)

c) En déduire que l’on a, pour tout entier naturel n :

un=16001000×0,95n (1 point)

3. La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1 000 repas.

Si cette évolution se poursuit au même rythme, l’association devra-t-elle envisager un jour des travaux d’agrandissement ? (1 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

3. Utilisez le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 8 % et celui correspondant à des évolutions successives en pourcentages.

4. g(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

6. Si la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance μ, alors la droite d’équation x = μ est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité.

Exercice 2 (Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L)

Partie A

2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

3. Utilisez une partition de l’univers.

4. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

5. Introduisez la variable aléatoire égale au nombre de personnes, parmi les 10 choisies, qui lisent au moins un livre par an et étudiez sa loi.

Partie B

> 2. Utilisez l’intervalle de confiance déterminé à la question précédente.

Exercice 2 (Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

1. La matrice E0 décrit la répartition des abonnés entre les trois activités au 1er septembre 2015.

5. La répartition des abonnés après huit semaines est décrite par la matrice ligne E8.

6. L’état probabiliste stable est l’état à partir duquel il n’y a plus d’évolution. Il est représenté par la matrice ligne E telle que EM = E.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

2. La probabilité P(0 X 0,75) est l’aire d’un domaine situé sous la courbe de f.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

2. b) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

c) Déterminez dans un premier temps l’expression de vn en fonction de n.

3. Traduisez le problème par une inéquation et résolvez cette inéquation en utilisant la fonction ln et ses propriétés.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

1. Étudier la convexité d’une fonction

La fonction f est définie sur par f(x)=x ex.

Pour tout réel x :

f(x)=ex+x ex=(1+x)ex

f(x)=ex+(1+x)ex=(2+x)ex.

Le signe de f(x) est celui de (2 + x).

Si x  0, alors f(x)>0 ; f est convexe sur [0; +[.

Sur ];0], le signe de f(x) n’est pas constant ; f n’est donc ni convexe, ni concave sur cet intervalle.

La bonne réponse est d).

2. Déterminer le nombre de solutions d’une équation

(3x+1)ex=0 équivaut à 3x + 1 = 0 ou ex=0.

Or ex0 (ex>0) pour tout réel x, donc l’équation équivaut à 3x + 1 = 0, c’est-à-dire x=13. Elle a donc une seule solution.

La bonne réponse est b).

3. Calculer un pourcentage

Chaque année, le prix est multiplié par 1,08. S’il augmente de 8 % chaque année pendant dix années successives, il est globalement multiplié par (1,08)10.

Or (1,08)102,16=1+1,16=1+116100.

Le prix a donc augmenté sur dix ans d’environ 116 %.

La bonne réponse est b).

4. Déterminer graphiquement un nombre dérivé

g(2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.

matT_1609_04_00C_04

Graphiquement, on observe qu’au point d’abscisse 2, la courbe a une tangente de coefficient directeur négatif. Donc g(2)<0, ce qui écarte les réponses c) et d).

La tangente à la courbe au point d’abscisse 2 passe par les points de coordonnées (2 ; 1,5) et (3,5 ; 0). Son coefficient directeur est donc égal à – 1.

La bonne réponse est a).

Notez bien

H est une primitive de h si et seulement si H=h.

5. Déterminer une primitive d’une fonction

Les quatre fonctions proposées sont dérivables sur . On calcule leur dérivée en utilisant la formule (eu)=ueu.

a) H(x)=3 e3x+2 ; H(x)=3×3 e3x+2=9 e3x+2 h(x).

b) H(x)=13 e3x+2 ; H(x)=13×3 e3x+2=e3x+2=h(x).

c) H(x)=(3x+2)e3x+2 ; H(x)=3e3x+2+(3x+2)×3e3x+2=(9x+9)e3x+2h(x).

d) H(x)=e3x+2 ; H(x)=3e3x+2h(x).

La bonne réponse est b).

6. Calculer une probabilité à l’aide d’une loi normale

La droite d’équation x = 10 est axe de symétrie de la courbe, donc μ = 10 ; on peut donc éliminer les réponses b) et d).

On utilise ensuite la calculatrice.

Avec μ = 10 et σ = 2, on obtient P(9<X<12)0,53 à 102 près.

Avec μ = 10 et σ = 1, on obtient P(9<X<12)0,82 à 102 près.

La bonne réponse est c).

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

partie a

1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé, p(H)=0,487 (48,7 % des personnes âgées de plus de 15 ans sont des hommes).

D’autre part, 64 % des hommes âgés de plus de 15 ans et 75 % des femmes âgées de plus de 15 ans lisent au moins un livre par an, donc pH(L)=0,64 et pF(L)=0,75, d’où l’arbre suivant :

matT_1609_04_00C_05

2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

L’événement « la personne choisie est une femme et elle lit au moins un livre par an » est :

F L.

Sa probabilité est, en arrondissant au centième :

p(FL)= p(F)× pF(L)=0,513×0,75=0,38.

La probabilité que la personne choisie soit une femme et qu’elle lise au moins un livre par an est égale à environ 0,38.

3. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant une partition de l’univers

H et F sont deux événements contraires. Ils forment une partition de l’univers, donc :

p(L)=p(HL)+p(FL)

p(L)=0,487×0,64+0,513×0,75

p(L)=0,70 en arrondissant au centième.

Notez bien

Le résultat obtenu peut être interprété de la manière suivante : environ 55 % des personnes qui lisent au moins un livre par an sont des femmes.

4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est pL(F). C’est une probabilité conditionnelle.

pL(F)=p(LF)p(L)

pL(F)0,513×0,750,70

pL(F)0,55.

La probabilité qu’une personne choisie parmi celles qui lisent au moins un livre par an soit une femme est égale à environ 0,55.

5. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque choix, successivement et de manière indépendante, de 10 personnes associe le nombre de personnes lisant au moins un livre par an.

L’épreuve est un schéma de Bernoulli formé de la répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Le succès est « la personne choisie lit au moins un livre par an », c’est-à-dire l’événement L ; sa probabilité, déterminée à la question 3., est 0,70.

La variable X est égale au nombre de succès lors de la répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès 0,70, donc X suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0,70. La probabilité cherchée est p(X = 5).

D’après la calculatrice, la probabilité que, parmi les 10 personnes choisies, exactement 5 personnes lisent au moins un livre par an est égale à environ 0,10.

partie b

1. Déterminer un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95 % d’une proportion

La fréquence, dans l’échantillon, de clients connaissant la possibilité d’achat en ligne, est :

f = 0,35.

La taille de l’échantillon est n = 60.

Un intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, de la proportion de clients connaissant la possibilité d’achat en ligne sur l’ensemble de la clientèle est :

[f1n;f+1n].

En arrondissant au centième :

f1n=0,22 et f+1n=0,48.

L’intervalle I = [0,22 ; 0,48] est un intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, de la proportion de clients connaissant la possibilité d’achat en ligne.

2. Étudier la validité d’une estimation d’une proportion

Dire que la moitié des clients de la librairie connaît l’offre équivaut à dire que la proportion de clients connaissant l’offre est égale à 0,5. Or 0,5  I.

La librairie ne peut pas estimer que la moitié de ses clients connaît l’offre d’achat en ligne.

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Donner la matrice ligne décrivant un état probabiliste

E0=(0,10,850,05)

2. Traduire une situation par un graphe probabiliste

D’après les données de l’énoncé, on peut traduire la situation par le graphe suivant :

matT_1609_04_00C_06

3. a) Préciser la signification d’un coefficient d’une matrice

D’après l’énoncé, si l’abonné était en Step une semaine donnée, la semaine suivante, il choisit Pilates dans 50 % des cas.

Le coefficient 0,5, situé à l’intersection de la deuxième ligne et de la première colonne de la matrice M, représente la probabilité qu’un abonné qui était en Step passe en Pilates la semaine suivante.

b) Calculer un état probabiliste

E1 = E0 × M

E1=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)

E1=(0,4650,2950,24)

c) Déterminer la répartition des abonnés entre trois activités au bout de trois semaines

La répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines est donnée par la matrice E3 :

E3=E0×M3

E3=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)3

E3=(0,31720,34880,334).

On peut prévoir qu’au bout de trois semaines 31,72 % des abonnés seront en Pilates, 34,88 % seront en Step et 33,4 % seront en Zumba.

4. Déterminer la répartition des abonnés entre trois activités au bout de six semaines

De même qu’à la question précédente, la répartition prévisible dans chaque activité au bout de six semaines est donnée par la matrice E6 :

E6=E0×M6

E6=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)6

E6=(0,33270,33340,3339) en arrondissant à 104.

On peut affirmer, à 102 près, qu’au bout de six semaines, environ 13 des abonnés se répartissent dans chaque activité.

5. Déterminer le nombre d’abonnés dans chacune des trois activités au bout de huit semaines

La répartition prévisible dans chaque activité au bout de huit semaines est donnée par la matrice E8 :

E8=E0×M8

E8=(0,10,850,05)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)8

E8=(0,33340,33330,3333) en arrondissant à 104.

D’autre part, on considère qu’il n’y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l’année, donc on compte toujours 120 abonnés huit semaines après le 1er septembre 2015.

120 × 0,3334 40 ; 120 × 0,3333 40.

Huit semaines après le 1er septembre 2015, on peut donc prévoir 40 abonnés dans chaque activité.

6. a) Conjecturer un état probabiliste stable

D’après les questions précédentes, au bout d’un certain nombre de semaines, il semble que 13 des abonnés se répartissent dans chaque activité.

On peut conjecturer que la matrice ligne E correspondant à l’état probabiliste stable est :

E=(131313)

Notez bien

Quelle que soit la répartition initiale, cette répartition évolue vers une égale répartition entre les trois activités.

b) Vérifier une conjecture

On pose E=(131313).

E est une matrice ligne dont la somme des trois coefficients est égale à 1.

D’autre part :

E×M=(131313)×(0,30,10,60,50,30,20,20,60,2)

E×M=(131313).

La somme des coefficients de E est égale à 1 et E × M = E, donc l’état probabiliste stable est :

E=(131313)

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Notez bien

L’aire de la surface hachurée peut être calculée à l’aide d’une intégrale ; elle est égale à 0,51f(x)dx. De manière plus élémentaire, on remarque que cette surface est un trapèze et on utilise la formule permettant de calculer l’aire d’un trapèze. On peut aussi considérer un découpage de la surface.

1. a) Déterminer la valeur d’une aire

La surface hachurée est un trapèze de sommets les points de coordonnées :

(0,5 ; 0), (0,5 ;1), (1 ; 0) et (1 ; 2).

Les bases (côtés parallèles) de ce trapèze ont pour longueurs 1 et 2 ; sa hauteur est 0,5.

Son aire est donc, en unités d’aire :

A=(1+2)×0,52

A=0,75

b) Interpréter l’aire d’un domaine en terme de probabilité

Puisque la courbe représente la fonction de densité f de la loi de la variable aléatoire X, l’aire du domaine hachuré est :

A=P(0,5X1)

2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire de fonction de densité connue

P(0X0,75) est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites (parallèles à l’axe des ordonnées) d’équations x = 0 et x = 0,75.

Cette aire est, comme à la question précédente, égale à 00,75f(x) dx.

On peut aussi remarquer que P(0X0,75) est l’aire du triangle hachuré sur la figure ci-dessous :

matT_1609_04_00C_07

Le triangle hachuré est un triangle rectangle dont les côtés autres que l’hypoténuse ont pour longueurs 0,75 et 1,5.

Son aire est donc :

A=0,75×1,52

A=0,5625.

D’où :

P(0X0,75)=0,5625

Exercice 4

Commun à tous les candidats

1. a) Compléter un tableau d’étapes résumant le fonctionnement d’un algorithme

Valeur de U

600

650

698

743

785

826

Valeur de n

0

1

2

3

4

5

Test U < 800

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

b) Déterminer la valeur affichée en fin d’exécution d’un algorithme

5 est l’indice du premier terme de la suite supérieur à 800.

En effet, u4 785 < 800 et u5 826 > 800.

D’après la question précédente, la valeur affichée à la fin de l’exécution de l’algorithme précédent est 5.

c) Interpréter concrètement un terme d’une suite

Le résultat précédent signifie que c’est au bout de cinq ans, c’est-à-dire en 2020, que le nombre d’abonnés dépassera pour la première fois 800.

2. a) Calculer deux termes d’une suite

u1 = 0,95 × u0 + 80 = 0,95 × 600 + 80

u1=650

u2 = 0,95 × u1 + 50

u2698

b) Montrer qu’une suite est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 1 600

vn+1 = 0,95 un + 80 - 1 600

vn+1 = 0,95 un - 1 520

vn+1=0,95 (vn+1600)1520

vn+1 = 0,95 vn + 0,95 × 1 600 - 1 520

vn+1 = 0,95 vn.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,95.

v0 = u0 - 1 600

v0 = - 1 000.

Le premier terme de la suite (vn) est v0=1000.

c) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel n :

vn=1000×0,95n

un=16001000×0,95n

3. Déterminer si un terme d’une suite dépassera une valeur donnée

On cherche à savoir s’il existe un entier naturel n tel que un > 1 000.

Cette inégalité équivaut successivement à :

16001000×0,95n>1000

1000×0,95n<600

0,95n<0,6

nln0,95<ln0,6

n>ln0,6ln0,95.

Notez bien

On utilise le fait que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +[ (elle « conserve » l’ordre et que ln0,95<0.

Or, ln0,6ln0,959,96. 

Donc un > 1 000 équivaut à n  10.

Si l’évolution se poursuit au même rythme, l’association servira plus de 1 000 repas, donc devra envisager des travaux d’agrandissement, au bout de dix ans, c’est-à-dire en 2025.