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Sujet complet des Antilles 2017 (session de remplacement)

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Sujet complet • 20 points • 3 heures

Sujet complet des Antilles 2017 (session de remplacement)

Les thèmes clés

Exercice 1 – Probabilités • Tangente.

Exercice 2 – Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Exercice 2 (spécialité) – Graphe probabiliste • Plus court chemin.

Exercice 3 – Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Convexité.

 

Exercice 1 (5 points) 40 min
QCM : estimation, fonctions et lectures graphiques, algorithmes

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

1. Des élections doivent se dérouler dans un certain pays. Deux candidats se présentent, le candidat A et le candidat B.

Avant les élections, un organisme de sondage veut estimer la proportion d'électeurs qui voteront pour le candidat A. Pour cela, il réalise un sondage auprès d'un échantillon de 1 050 électeurs. Parmi eux, 504 annoncent vouloir voter pour le candidat A et tous les autres pour le candidat B.

Affirmation 1 : c'est certain, le candidat A va perdre l'élection.

Affirmation 2 : le candidat A aura 48 % des voix le jour de l'élection.

Affirmation 3 : la probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91 % et 51,09 % des votes est d'environ 0,48.

Affirmation 4 : la probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91 % et 51,09 % des votes est d'environ 0,95.

2. Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe Cf d'une fonction f définie et continue sur l'intervalle [0  7].

Les points A et B ont pour coordonnées A(2 5) et B(4 6,8). La droite (AB) est tangente à la courbe Cf au point A.

matT_1709_04_00C_01

a) La tangente à la courbe Cf au point A admet pour équation :

Affirmation 1 : y = - 0,9x + 3,2

Affirmation 2 : y = 0,9x + 3,5

Affirmation 3 : y = 0,9x + 3,2

Affirmation 4 : y = 1,8x + 3,2

b) Affirmation 1 : f(0)05f(x)dxf(5)

Affirmation 2 : 227f(x)dx7

Affirmation 3 : 1805f(x)dx19

Affirmation 4 : 2527f(x)dx31

3. On écrit les deux algorithmes suivants :

007_matT_1709_04_00C_algo_001

a) Affirmation 1 : l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre 43 et 44.

Affirmation 2 : l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre 55 et 56.

Affirmation 3 : l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à 3.

Affirmation 4 : l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à 4.

b) Affirmation 1 : l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre 43 et 44.

Affirmation 2 : l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre 55 et 56.

Affirmation 3 : l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à 3.

Affirmation 4 : l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à 4.

Exercice 2 (5 points) 45 min
Vélos en location en circulation et subvention

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos. La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.

Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20 % des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter 30 vélos par an.

Le 1er janvier 2017, le parc contient 200 vélos utilisables.

On modélise l'évolution du nombre de vélos utilisables par une suite (un) dans laquelle, pour tout entier naturel n, un est le nombre de vélos le 1er janvier de l'année 2017 + n.

Ainsi u0 = 200 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,8 × un + 30.

1. a) Justifier le coefficient 0,8 dans l'expression de un+1 en fonction de un. (0,5 point)

b) Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1er janvier 2018 ? (0,5 point)

2. On définit la suite (vn) par vn = un - 150 pour tout entier naturel n.

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v0. (1 point)

b) Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n. (0,5 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel n, un=50×0,8n+150. (0,5 point)

d) La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à 160. En quelle année le service de location s'arrêtera-t-il ? (1 point)

3. Pour l'aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu'elle est versée pour chaque année le 1er janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.

Cette subvention s'élève à 20 euros par vélo disponible à la location.

a) Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à 7 800 euros. (0,5 point)

b) Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025. (0,5 point)

Exercice 2 (5 points) 45 min
Nombre d'abonnés à un service de location de vélos et trajets

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes.

partie a

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants. Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.

Le 1er janvier 2017, la ville compte 5 % d'abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :

93 % des abonnements sont renouvelés 

1 % des habitants qui n'étaient pas abonnés l'année précédente souscrivent un abonnement.

On note A l'état « un habitant est abonné » et P l'état « un habitant n'est pas abonné ».

Pour tout entier naturel n, on désigne par an la probabilité qu'un habitant soit abonné l'année 2017 + n et pn la probabilité qu'un habitant ne soit pas abonné l'année 2017 + n.

La matrice ligne Rn = (an pn) donne l'état probabiliste du nombre d'abonnés l'année 2017 + n.

Ainsi R0=(a0    p0)=(0,05     0,95).

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et P, où le sommet A représente l'état « un habitant est abonné » et P l'état « un habitant n'est pas abonné ». (0,5 point)

2. Déterminer la matrice de transition T de ce graphe en respectant l'ordre A, puis P, des sommets. (0,5 point)

3. Déterminer R1. (0,5 point)

4. Déterminer l'état probabiliste en 2021. Les résultats seront arrondis au millième. (0,5 point)

5. On admet qu'il existe un état stable (x y).

a) Justifier que x et y sont solutions du système {7x+y=0x+y=1 (0,75 point)

b) Déterminer l'état stable de ce graphe. (0,5 point)

partie B

Le responsable du service de location souhaite vérifier l'état des pistes cyclables reliant les parkings à vélos de location disposés dans la ville.

On modélise la disposition des lieux par le graphe étiqueté ci-dessous dont les sommets représentent les parkings à vélo. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, pour se rendre d'un parking à l'autre en suivant la piste cyclable.

matT_1709_04_00C_02

1. Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en A jusqu'à la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin ? (0,75 point)

2. Le responsable est pressé.

Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A à F. (1 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Répartition de coureurs entre trois parcours, risque d'abandon et temps d'entraînement

Commun à tous les candidats

Chaque année, les organisateurs d'une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.

Les organisateurs ont constaté que 50 % des coureurs choisissent le parcours vert, 30 % choisissent le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.

Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que :

3,2 % de l'ensemble des coureurs abandonnent la course 

2 % des coureurs du parcours vert abandonnent la course 

5 % des coureurs du parcours rouge abandonnent la course.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

partie a

À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d'être choisis. On note :

V l'événement « le coureur a choisi le parcours vert » 

B l'événement « le coureur a choisi le parcours bleu » 

R l'événement « le coureur a choisi le parcours rouge » 

A l'événement « le coureur a abandonné la course ».

1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice. (0,75 point)

2. Calculer la probabilité de l'événement V A. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (0,5 point)

3. Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le parcours vert ? (0,5 point)

4. Démontrer que P(BA)=0,012. (0,75 point)

5. En déduire la probabilité PB(A). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (0,75 point)

partie B

Le temps hebdomadaire d'entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale dont l'espérance est de 6 heures et l'écart type est de 2 heures.

1. Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres μ = 6 et σ = 2 ? Justifier la réponse. (0,75 point)

matT_1709_04_00C_03

Graphique 1

matT_1709_04_00C_04

Graphique 2

2. Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats au millième.

a) Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5 heures et 7 heures ? (0,5 point)

b) Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4 heures ? (0,5 point)

Exercice 4 (5 points) 45 min
Étude d'une fonction  application au bénéfice d'une entreprise

Commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [1  25] par :

f(x)=10e0,2x+1x

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :

f(x):=10–e^(0.2x+1)/x

x10exp(0.2x+1)x

factoriser(deriver(f(x)))

exp(0.2x+1)*(10.2x)x2

factoriser(deriver(deriver(f(x))))

exp(0.2x+1)*(x2+10x50)25x3

1. Retrouver par le calcul l'expression factorisée de f(x), où f est la fonction dérivée de f. (0,75 point)

2. Étudier le signe de f sur l'intervalle [1  25] et dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [1  25]. On arrondira les valeurs au millième. (0,75 point)

3. On s'intéresse à l'équation f(x)=0.

a) Montrer que l'équation f(x)=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle [1  5]. (0,5 point)

b) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur l'intervalle [5  25]. (0,5 point)

c) Déterminer un encadrement d'amplitude 102 de la solution α. (0,75 point)

4. En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction f est concave sur l'intervalle [1  25]. (0,75 point)

partie B

Une société agroalimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en millier d'euros, correspondant à la production d'une quantité de x dizaines de tonnes d'aliments.

On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction f étudiée dans la partie A ci-avant. La production minimale est de 10 tonnes, ainsi x  1.

Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.

1. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ? (0,5 point)

2. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice. (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

 1. Utilisez un intervalle de confiance.

 2. a) La droite passant par les points A(xA  yA) et B(xB  yB) a pour coefficient directeur yByAxBxA si xA xB.

 b) f est continue et positive sur [0  7], donc les intégrales à encadrer correspondent à des aires sous la courbe de f. Utilisez le quadrillage du graphique.

Exercice 2 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)

 1. a) Si 20 % des vélos sont devenus inutilisables, alors 80 % restent utilisables.

 2. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

 1. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.

 5. L'état probabiliste stable est représenté par une matrice ligne R telle que R × T = R.

Partie B

 1. Déterminez le degré de chaque sommet et utilisez le théorème d'Euler.

 2. Utilisez l'algorithme de Dijkstra.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Partie A

 3. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Partie B

 1. Si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ, alors P(μσXμ+σ)0,68 et P(μ2σXμ+2σ)0,95.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie A

 4. Utilisez l'expression de f(x) donnée par le logiciel.

Partie B

Utilisez sans faire de calculs les résultats de la partie A.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

 1. Estimer à partir d'un sondage le résultat d'une élection

info

Le résultat obtenu pour la fréquence signifie que 48 % des électeurs interrogés annoncent vouloir voter pour le candidat A.

Sur l'échantillon constitué des n = 1 050 électeurs interrogés, la fréquence de ceux qui annoncent vouloir voter pour le candidat A est :

f=5041 050=0,48.

n  30  nf = 504  5  n(1f)=5465, donc les conditions sont remplies pour que l'intervalle [f1n  f+1n] soit un intervalle de confiance de la proportion p d'électeurs qui voteront pour le candidat A au seuil de confiance de 95 %.

On en déduit que l'intervalle [0,449 10,510 9] est un intervalle de confiance de p au seuil de confiance de 95 %.

L'affirmation exacte est l'affirmation 4.

 2. a) Déterminer une équation d'une tangente à une courbe

La tangente à la courbe Cf au point A est la droite (AB).

Son coefficient directeur est 6,8542, soit 0,9.

(AB) a donc pour équation y = 0,9x + p, où p est un réel à déterminer.

Les coordonnées de A vérifient l'équation, donc 5 = 0,9 × 2 + p, et par conséquent p = 3,2.

L'affirmation exacte est l'affirmation 3.

b) Donner un encadrement d'une intégrale

La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0  7], donc 05f(x)dx est l'aire sous la courbe Cf entre 0 et 5 et 27f(x)dx est l'aire sous la courbe Cf entre 2 et 7.

D'après le graphique, 05f(x)dx est supérieure à 19, ce qui élimine les affirmations 1 et 3, et 27f(x)dx est comprise entre 25 et 30.

L'affirmation exacte est l'affirmation 4.

 3. a) Déterminer un encadrement ou la valeur exacte du résultat ­affiché par un algorithme

L'algorithme 1 calcule la somme des premiers termes de la suite géométrique (vn) de premier terme 10 et de raison 1,05 jusqu'à ce que cette somme dépasse la valeur 50. Il affiche le plus petit entier naturel n tel que v0 + v1 + … + vn > 50.

Son fonctionnement peut être décrit par le tableau d'étapes suivant, donnant les valeurs prises successivement par les variables V, S et N :

V

10

10,5

11,025

11,57625

12,1550625

S

10

20,5

31,525

43,10125

55,2563125

N

0

1

2

3

4

L'affirmation exacte est l'affirmation 4.

b) Déterminer un encadrement ou la valeur exacte du résultat affiché par un autre algorithme

Avec les mêmes notations que précédemment, l'algorithme 2 calcule et affiche la valeur de v0 + v1 + v2 + v3 + v4. D'après le tableau précédent, il affiche 55,2563125.

L'affirmation exacte est l'affirmation 2.

Exercice 2

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

 1. a) Justifier un coefficient dans une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

D'une année à la suivante, 20 % des vélos deviennent inutilisables, donc 80 % sont encore utilisables. Le nombre de vélos de l'année n encore utilisables l'année n + 1 est donc :

0,8 un.

b) Calculer un terme d'une suite

Le nombre de vélos au 1er janvier 2018 est u1 :

u1 = 0,8u0 + 30 = 0,8 × 200 + 30

u1=190

Au 1er janvier 2018, le parc comptera 190 vélos.

gagnez des points

vn = un - 150 équivaut à un = vn + 150.

 2. On définit la suite (vn) par vn = un - 150 pour tout entier naturel n.

a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 150 = 0,8 × un + 30 - 150 = 0,8un - 120

vn+1=0,8(vn+150)12=0,8vn+120120vn+1=0,8vn.

De plus v0 = u0 - 150, donc v0 = 50.

La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v0=50.

b) Donner l'expression du terme général d'une suite

(vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 50, donc pour tout entier naturel :

vn=50×0,8n

c) Donner l'expression du terme général d'une autre suite

Pour tout entier naturel n :

un = vn + 150

un=50×0,8n+150

d) Déterminer l'indice du premier terme d'une suite inférieur à un nombre donné

Le service est maintenu tant que le nombre de vélos reste supérieur à 160.

Par conséquent, il s'arrête dès que ce nombre devient inférieur ou égal à 160.

On cherche donc la plus petite valeur de n vérifiant un  160.

un16050×0,8n+15016050×0,8n100,8n0,2.

D'où :

un160nln0,8ln0,2nln0,2ln0,8.

Or ln0,2ln0,87,2 et n est entier, donc :

un  160 n  8.

2017 + 8 = 2025, donc le service de location s'arrêtera en 2025.

 3. a) Calculer la somme des subventions reçues pour deux années successives

Le 1er janvier 2017, 200 vélos sont disponibles, donc la subvention reçue est, en euros :

20 × 200 = 4 000.

Le 1er janvier 2018, 190 vélos sont disponibles (question 1. b), donc la subvention reçue est :

20 × 190 = 3 800.

4 000 + 3 800 = 7 800, donc la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à 7 800 euros.

b) Calculer la somme totale perçue grâce à une subvention

attention !

Le service fonctionne et la subvention est versée pendant 9 années consécutives.

2025 = 2017 + 8, donc la somme totale perçue grâce à la subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025 est 20(u0 + u1 + … + u8).

On calcule les termes u0, u1, … , u8, c'est-à-dire le nombre de vélos disponibles chaque année de 2017 à 2025 (en arrondissant à l'entier le plus proche).

On obtient le tableau :

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

un

200

190

182

176

170

166

163

160

158

D'où :

20(u0+u1+ +u8)31 300

La somme totale perçue grâce à la subvention du 1er janvier 2017 au 1er janvier 2025 est donc environ 31 300 euros.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

Le graphe suivant représente la situation :

matT_1709_04_00C_05

2. Déterminer la matrice de transition d'un graphe

La matrice de transition de ce graphe est :

T=(0,930,070,010,99)

3. Déterminer un état probabiliste

info

Le résultat obtenu peut être interprété de la manière suivante : au bout d'un an, c'est-à-dire en 2018, 5,6 % des habitants seront abonnés.

R1 = R0 × T

R1=(0,05     0,95)×(0,930,070,010,99)

R1=(0,056    0,944)

4. Déterminer un autre état probabiliste

2021 = 2017 + 4, donc l'état probabiliste en 2021 est R4 :

R4=R0×T4

R4=(0,071    0,929)

(en arrondissant au millième)

5. a) Déterminer un système vérifié par les coefficients de l'état stable d'un graphe

Puisque (x y) est l'état stable, donc un état probabiliste, on a x + y = 1.

D'autre part :

(x     y)=(x     y)×T=(x     y)×(0,930,070,010,99)

{x=0,93x+0,01yy=0,07x+0,99y

Les deux équations sont équivalentes à - 0,07x + 0,01y = 0, qui équivaut à :

- 7x + y = 0.

Donc x et y sont solutions du système :

{7x+y=0x+y=1

b) Déterminer l'état stable d'un graphe

On résout le système précédent :

{7x+y=0x+y=1{y=1x8x=1{x=18y=78

L'état stable du graphe est donc :

(18   78) = (0,125    0,875).

gagnez des points

Le résultat obtenu signifie qu'à long terme, 12,5 % des habitants seront abonnés.

partie B

 1. Déterminer s'il existe sur un graphe un parcours d'extrémités données empruntant une fois et une seule chaque arête

Il s'agit de déterminer si le graphe possède une chaîne eulérienne d'extrémités A et F.

Le graphe est connexe. En effet, la chaîne ABCDEFG (par exemple) permet de relier deux sommets quelconques du graphe.

On détermine le degré de chaque sommet :

Sommet

A

B

C

D

E

F

G

Degré

3

3

4

3

3

2

4

Il y a 4 sommets de degré impair (A, B, D et E), donc d'après le théorème d'Euler, il n'existe aucun parcours de A à F passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin.

 2. Déterminer sur un graphe le parcours le plus rapide

On utilise l'algorithme de Dijkstra, résumé par le tableau suivant :

A

B

C

D

E

F

G

retenu

0

A (0)

6 (A)

5 (A)

2 (A)

D (2)

6 (A)

4 (D)

11 (D)

C (4)

6 (A)

11 (D)

8 (C)

B (6)

11 (D)

8 (C)

G (8)

10 (G)

15 (G)

E (10)

14 (E)

F (14)

Le parcours le plus rapide de A à F est donc :

ADCGEF

Sa durée totale est de 14 minutes.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie a

 1. Représenter une situation probabiliste à l'aide d'un arbre pondéré

attention !

On ne connaît pas en début d'exercice la proportion de coureurs qui abandonnent la course parmi ceux qui ont choisi le parcours bleu. Cette proportion sera obtenue à la question 5.

L'arbre pondéré suivant représente la situation :

matT_1709_04_00C_06

(les valeurs indiquées en vert sont obtenues à la question 5.)

▶ 2. Calculer et interpréter la probabilité de l'intersection de deux événements

D'après l'arbre de la question précédente :

P(VA)=0,5×0,02

P(VA)=0,01

1 % des coureurs ont choisi le parcours vert et abandonnent la course.

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche la probabilité conditionnelle PA(V):

PA(V)=P(VA)P(A).

P(A)=0,032 car on sait que 3,2 % de l'ensemble des coureurs abandonnent la course, donc :

PA(V)=0,010,032

PA(V)=0,3125

La probabilité qu'un coureur qui a abandonné la course ait choisi le parcours vert est 0,3125.

▶ 4. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements

V, B et R forment une partition de l'univers, donc :

P(A)=P(VA)+P(BA)+P(RA).

Donc :

P(BA)=P(A)P(VA)P(RA).

P(A)=0,032, P(VA)=0,01 et,

d'après l'arbre, P(RA)=0,2×0,05, donc :

P(RA)=0,01.

D'où :

P(BA)=0,0320,010,01

P(BA)= 0,012

5. Calculer et interpréter une probabilité conditionnelle

PB(A)=P(BA)P(B)=0,0120,3

PB(A)=0,04

Parmi les coureurs qui ont choisi le parcours bleu, 4 % abandonnent la course.

D'où PB(A¯)=0,96 et on peut compléter l'arbre pondéré construit au début de l'exercice (valeurs indiquées en vert).

partie B

 1. Identifier la courbe de la fonction de densité d'une loi normale

Si X suit la loi normale de paramètres μ et σ, alors :

P(μσXμ+σ)0,68.

Donc P(4X8)0,68.

Sur le graphique 1, l'aire sous la courbe de la fonction de densité de la loi de X entre 4 et 8 est très voisine de 1, sur le graphique 2, cette aire sous la courbe est environ égale à 0,68, donc le graphique 2 représente la fonction densité de la loi normale donnée.

 2. a) Déterminer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5 heures et 7 heures est P(5X7).

D'après la calculatrice, en arrondissant au millième :

P(5X7)0,383

La probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5 heures et 7 heures est environ 0,383.

b) Déterminer une autre probabilité associée à une loi normale

La probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4 heures est P(X  4) :

P(X4)=P(X6)P(4X6)=0,5P(4X6).

D'après la calculatrice, en arrondissant au millième :

P(X4)0,159

La probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4 heures est environ 0,159.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

 1. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout x dans l'intervalle [1  25] :

f(x)=0,2xe0,2x+1e0,2x+1x2=e0,2x+10,2xe0,2x+1x2

f(x)=e0,2x+1(10,2x)x2

 2. Étudier les variations d'une fonction

Pour tout x dans l'intervalle [1  25], e0,2x+1>0 et x2>0.

Donc f(x) a le signe de (1 - 0,2x).

1 - 0,2x = 0 x = 5  1 - 0,2x > 0 x  5.

D'où le tableau :

007_matT_1709_04_00C_tab1

f(1)=10e1,26,680  f(5)=10e258,522  f(25)=10e6256,137.

 3. a) Montrer qu'une équation n'a pas de solution sur un intervalle donné

f(1)>0 et f est strictement croissante sur [1  5], donc f(x)>0 pour tout x dans [1  5].

Donc l'équation f(x)=0 n'a pas de solution sur [1  5].

b) Montrer qu'une équation a une unique solution sur un intervalle donné

Sur l'intervalle [5  25], la fonction f est continue et strictement décroissante, et 0 appartient à [f(25)f(5)] (valeurs approchées calculées à la question 2). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur l'intervalle [5  25].

c) Déterminer un encadrement d'amplitude donnée de la solution d'une équation

D'après la calculatrice :

f(21)1,37 et f(22)0,064, donc f(22)f(α)f(21), d'où :

21  α  22.

De plus f(21,9)0,090>0, donc 21,9  α  22.

f(21,95)0,0135>0 et f(21,96)0,00190, donc :

21,95α21,96

4. Prouver la concavité d'une fonction

D'après le logiciel, pour tout x dans l'intervalle [1  25] :

f(x)=e0,2x+1(x2+10x50)25x3.

Pour tout x dans l'intervalle [1  25], e0,2x+1>0 et 25x3>0, donc f(x) a le signe du trinôme x2+10x50.

Le discriminant de ce trinôme est Δ = 100 - 200 = - 100, donc x2+10x500, donc f(x)0 pour tout x dans l'intervalle [1  25].

Donc la fonction f est concave sur l'intervalle [1  25].

partie B

 1. Déterminer le bénéfice maximal d'une entreprise et la production correspondante

D'après la question 2. de la partie A, la fonction f atteint son maximum en x = 5 et :

f(5)8,522.

Le bénéfice maximal que peut dégager la société est donc environ 8 522 euros  elle doit pour réaliser ce bénéfice produire 50 tonnes d'aliments.

 2. Déterminer la production maximale d'une entreprise permettant de réaliser un bénéfice

D'après la partie A :

f(x)>0 si 1  x  α, f(x)0 si α  x  25, et 21,95  α  21,96.

Donc, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments à fabriquer pour que la société réalise un bénéfice est 219 tonnes.

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