Les services de la mairie d&rsquo une ville ont étudié l&rsquo évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de la population quitte la ville et 1 200 personnes s&rsquo y installent.

En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.

On note le nombre d&rsquo habitants de la ville l&rsquo année 2012 + .

On a donc

On admet que la suite est définie pour tout entier naturel par :

On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

&gt  1. La valeur de est :

a) 

b) 

c) 

d) 

&gt  2. La suite est :

a) géométrique de raison &ndash 12,5 %

b) géométrique de raison 0,875

c) géométrique de raison &ndash 0,875

d) arithmétique de raison &ndash 9 600

&gt  3. La suite a pour limite :

a) 

b) 

c) 1 200

d) 

&gt  4. On donne l&rsquo algorithme suivant :

Cet algorithme permet d&rsquo obtenir :

a) la valeur de

b) toutes les valeurs de

c) le plus petit rang pour lequel on a

d) le nombre de termes inférieurs à 1 200

&gt  5. La valeur affichée est :

a) 33

b) 

c) 9 600

d) 

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

15 % des sacs sont vendus directement dans l&rsquo exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.

Parmi les sacs vendus directement dans l&rsquo exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu&rsquo un seul type de pommes.

Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu&rsquo un seul type de pommes.

On désigne par E l&rsquo événement &laquo  les sacs de pommes sont vendus sur l&rsquo exploitation &raquo et par V l&rsquo événement &laquo  les sacs contiennent des pommes de variétés différentes &raquo .

L&rsquo événement contraire de l&rsquo événement A sera noté .

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

&gt  1. Traduire les trois données de l&rsquo énoncé en termes de probabilités. (1 point)

&gt  2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)

&gt  3. Définir par une phrase l&rsquo événement  puis calculer sa probabilité. (0,5 point)

&gt  4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205. (1 point)

&gt  5. Le sac acheté contient des pommes d&rsquo une seule variété. Calculer la probabilité qu&rsquo il ait été acheté directement sur l&rsquo exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près. (1 point)

&gt  6. Des producteurs, interrogés lors de l&rsquo enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu&rsquo il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l&rsquo exploitation agricole et 3,40 euros dans les supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu&rsquo ils peuvent prévoir. (1 point)

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d&rsquo activités d&rsquo une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l&rsquo existence d&rsquo une voie d&rsquo accès principale entre deux lieux correspondants.

&gt  1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l&rsquo ordre alphabétique). (0,75 point)

&gt  2. a)  Donner la matrice  associée au graphe (les sommets seront mis dans l&rsquo ordre alphabétique). (0,5 point)

b) On donne la matrice .

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant et , puis donner leur liste. (1 point)

&gt  3. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d&rsquo accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu&rsquo un tel parcours est possible. (0,75 point)

&gt  4. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.

Ce même candidat se trouve à la mairie () quand on lui rappelle qu&rsquo il a un rendez-vous avec le responsable de l&rsquo hôpital situé en zone G.

a) En utilisant l&rsquo algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. (1,5 point)

b) Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ? (0,5 point)

On considère la fonction  définie sur l&rsquo intervalle [2  8] par :

.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

&gt  1. Montrer que pour tout réel de l&rsquo intervalle [2  8], on a :

(1 point)

&gt  2. a)  Étudier le signe de  sur l&rsquo intervalle [2  8]. (0,75 point)

b) En déduire le tableau de variation de  sur l&rsquo intervalle [2  8]. (0,5 point)

&gt  3. On appelle la dérivée seconde de sur [2  8].

On admet que, pour tout réel de l&rsquo intervalle [2  8], on a :

.

a) Montrer que  est une fonction convexe sur [4,8  8]. (1 point)

b) Montrer que le point de (C) d&rsquo abscisse 4,8 est un point d&rsquo inflexion. (1 point)

&gt  4. On considère la fonction  définie sur [2  8] par :

a) Montrer que  est une primitive de  sur [2  8]. (0,75 point)

b) Calculer (1 point)

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

&gt  1. Paul se connecte sur le site. La durée  (en seconde) qu&rsquo il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l&rsquo intervalle [20  120].

a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. (0,75 point)

b) Calculer l&rsquo espérance mathématique de . Interpréter ce résultat. (0,5 point)

&gt  2. L&rsquo équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée  (en minute) d&rsquo une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(120, 400).

a) Déterminer l&rsquo espérance et l&rsquo écart-type de la variable aléatoire . (0,5 point)

b) Montrer l&rsquo équivalence :

. (0,75 point)

c) On définit la variable aléatoire  par .

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire . (0,5 point)

d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près. (1 point)