Centres étrangers 2013
Corrigé
6
Sujets complets
matT_1306_01_01C
Centres étrangers &bull Juin 2013
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (5 points)
Évolution d&rsquo une population et QCM sur les suites
Les services de la mairie d&rsquo une ville ont étudié l&rsquo évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de la population quitte la ville et 1 200 personnes s&rsquo y installent.
En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.
On note le nombre d&rsquo habitants de la ville l&rsquo année 2012 +
.
On admet que la suite est définie pour tout entier naturel
par :
On considère la suite définie pour tout entier naturel
par :
Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n&rsquo est demandée.
a pour limite :
Cet algorithme permet d&rsquo obtenir :
pour lequel on a
Exercice 2 (5 points)
Relation entre le mode de vente et la composition de sacs de pommes
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.
On sait que :
15 % des sacs sont vendus directement dans l&rsquo exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
Parmi les sacs vendus directement dans l&rsquo exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu&rsquo un seul type de pommes.
Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu&rsquo un seul type de pommes.
On désigne par E l&rsquo événement « les sacs de pommes sont vendus sur l&rsquo exploitation » et par V l&rsquo événement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes » .
L&rsquo événement contraire de l&rsquo événement A sera noté .
On achète de façon aléatoire un sac de pommes.
puis calculer sa probabilité. (0,5 point)
Calculer le montant total des ventes qu&rsquo ils peuvent prévoir. (1 point)
Exercice 2 (5 points)
Déplacements et temps de trajet entre les zones d&rsquo intérêt d&rsquo une commune
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d&rsquo activités d&rsquo une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l&rsquo existence d&rsquo une voie d&rsquo accès principale entre deux lieux correspondants.

associée au graphe (les sommets seront mis dans l&rsquo ordre alphabétique). (0,5 point)
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant et
, puis donner leur liste. (1 point)

Ce même candidat se trouve à la mairie () quand on lui rappelle qu&rsquo il a un rendez-vous avec le responsable de l&rsquo hôpital situé en zone G.
Exercice 3 (6 points)
Étude d&rsquo une fonction, de sa convexité et calcul d&rsquo une intégrale
Commun à tous les candidats
On considère la fonction définie sur l&rsquo intervalle [2 8] par :
On appelle (
sur l&rsquo intervalle [2 8]. (0,75 point)
sur l&rsquo intervalle [2 8]. (0,5 point)
la dérivée seconde de
sur [2 8].
On admet que, pour tout réel de l&rsquo intervalle [2 8], on a :
est une fonction convexe sur [4,8 8]. (1 point)
définie sur [2 8] par :
Exercice 4 (4 points)
Jeu en équipe et durée d&rsquo une partie
Commun à tous les candidats
Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.
(en seconde) qu&rsquo il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l&rsquo intervalle [20 120].
. Interpréter ce résultat. (0,5 point)
(en minute) d&rsquo une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale
. (0,5 point)
par
.
Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire . (0,5 point)
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Algorithme : boucle avec arrêt conditionnel &bull Suites arithmétiques ou géométriques.
Les conseils du correcteur
et la relation entre
et
.
en utilisant le résultat suivant : une suite géométrique de raison
telle que
a pour limite 0. Puis déterminez la limite de
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés &bull Probabilités conditionnelles.
Les conseils du correcteur
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés &bull Matrice associée à un graphe &bull Chaîne de longueur donnée &bull Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
donnent le nombre de chemins de longueur 3 entre deux sommets donnés.
Exercice 3. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles &bull Sens de variation &bull Fonction logarithme népérien &bull Convexité &bull Point d&rsquo inflexion &bull Primitives usuelles.
Les conseils du correcteur
Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Loi de probabilité &bull Loi à densité
Commun à tous les candidats