Sujet complet des centres étrangers 2013

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Afrique
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet des centres étrangers 2013
 
 

Centres étrangers 2013

Corrigé

6

Sujets complets

matT_1306_01_01C

 

Centres étrangers • Juin 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Évolution d’une population et QCM sur les suites

Commun à tous les candidats

Les services de la mairie d’une ville ont étudié l’évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de la population quitte la ville et 1 200 personnes s’y installent.

En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.

On note le nombre d’habitants de la ville l’année 2012 + .

On a donc

On admet que la suite est définie pour tout entier naturel par :

On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées ; une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n’est demandée.

>1. La valeur de est :

a)

b)

c)

d)

>2. La suite est :

a) géométrique de raison – 12,5 %

b) géométrique de raison 0,875

c) géométrique de raison – 0,875

d) arithmétique de raison – 9 600

>3. La suite a pour limite :

a)

b)

c) 1 200

d)

>4. On donne l’algorithme suivant :

 

Variables

U, N

Initialisation

U prend la valeur 40 000

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que U > 10 000

N prend la valeur N + 1

U prend la valeur

Fin du Tant que

Sortie

Afficher N

 

Cet algorithme permet d’obtenir :

a) la valeur de

b) toutes les valeurs de

c) le plus petit rang pour lequel on a

d) le nombre de termes inférieurs à 1 200

>5. La valeur affichée est :

a) 33

b)

c) 9 600

d)

Exercice 2 (5 points)
Relation entre le mode de vente et la composition de sacs de pommes

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

15 % des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.

Parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.

Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.

On désigne par E l’événement « les sacs de pommes sont vendus sur l’exploitation » et par V l’événement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L’événement contraire de l’événement A sera noté .

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

>1. Traduire les trois données de l’énoncé en termes de probabilités. (1 point)

>2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)

>3. Définir par une phrase l’événement  puis calculer sa probabilité. (0,5 point)

>4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205. (1 point)

>5. Le sac acheté contient des pommes d’une seule variété. Calculer la probabilité qu’il ait été acheté directement sur l’exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près. (1 point)

>6. Des producteurs, interrogés lors de l’enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu’il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l’exploitation agricole et 3,40 euros dans les supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu’ils peuvent prévoir. (1 point)

Exercice 2 (5 points)
Déplacements et temps de trajet entre les zones d’intérêt d’une commune

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie d’accès principale entre deux lieux correspondants.


 

>1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique). (0,75 point)

>2.a) Donner la matrice  associée au graphe (les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique). (0,5 point)

b) On donne la matrice .

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant et , puis donner leur liste. (1 point)

>3. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d’accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu’un tel parcours est possible. (0,75 point)

>4. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.


 

Ce même candidat se trouve à la mairie () quand on lui rappelle qu’il a un rendez-vous avec le responsable de l’hôpital situé en zone G.

a) En utilisant l’algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. (1,5 point)

b) Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ? (0,5 point)

Exercice 3 (6 points)
Étude d’une fonction, de sa convexité et calcul d’une intégrale

Commun à tous les candidats

On considère la fonction  définie sur l’intervalle [2 ; 8] par :

.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

>1. Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

(1 point)

>2.a)  Étudier le signe de  sur l’intervalle [2 ; 8]. (0,75 point)

b) En déduire le tableau de variation de  sur l’intervalle [2 ; 8]. (0,5 point)

>3. On appelle la dérivée seconde de sur [2 ; 8].

On admet que, pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

.

a) Montrer que  est une fonction convexe sur [4,8 ; 8]. (1 point)

b) Montrer que le point de (C) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion. (1 point)

>4. On considère la fonction  définie sur [2 ; 8] par :

a) Montrer que  est une primitive de  sur [2 ; 8]. (0,75 point)

b) Calculer (1 point)

Exercice 4 (4 points)
Jeu en équipe et durée d’une partie

Commun à tous les candidats

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

>1. Paul se connecte sur le site. La durée  (en seconde) qu’il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 120].

a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. (0,75 point)

b) Calculer l’espérance mathématique de . Interpréter ce résultat. (0,5 point)

>2. L’équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée  (en minute) d’une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(120, 400).

a) Déterminer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire . (0,5 point)

b) Montrer l’équivalence :

. (0,75 point)

c) On définit la variable aléatoire  par .

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire . (0,5 point)

d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près. (1 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Algorithme : boucle avec arrêt conditionnel • Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

>1. Utilisez la valeur de et la relation entre et .

>2. Déterminez la limite de la suite en utilisant le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0. Puis déterminez la limite de .

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles.

Les conseils du correcteur

>4. Les sacs contenant des pommes de variétés différentes ont été vendus dans l’exploitation agricole ou dans des supermarchés ; utilisez une partition de l’univers.

>5. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

>6. Calculez, parmi les 45 000 sacs disponibles, le nombre de sacs vendus sur l’exploitation et le nombre de sacs vendus dans des supermarchés.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne de longueur donnée • Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

>1. Le degré d’un sommet d’un graphe est le nombre d’arêtes dont ce sommet est l’une des extrémités.

>2.a) Les coefficients de la matrice associée à un graphe sont égaux à 0 ou à 1 ; cette matrice est symétrique par rapport à sa diagonale principale car le graphe n’est pas orienté.

>2.b) Les coefficients de la matrice donnent le nombre de chemins de longueur 3 entre deux sommets donnés.

>3. Déterminer s’il existe un parcours passant par toutes les voies sans emprunter plusieurs fois la même revient à déterminer s’il existe une chaîne eulérienne. Trouvez le nombre de sommets de degré impair et utilisez le théorème d’Euler : un graphe comporte une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.

>4.a) Un chemin de durée minimale ne comporte pas nécessairement un nombre minimal d’arêtes.

Exercice 3. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction logarithme népérien • Convexité • Point d’inflexion • Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

>3.a) Étudiez le signe de

>4.b) Utilisez la primitive de  donnée à la question précédente.

Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité • Loi à densité

Les conseils du correcteur

>1.a)  Puisque suit une loi uniforme, la probabilité qu’elle prenne une valeur appartenant à un intervalle donné est proportionnelle à l’amplitude de cet intervalle.

>2.a) Si suit la loi normale N(120, 400), alors 400 est le carré de son écart-type.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

 

Info

Ce résultat signifie qu’en 2013, la ville a 36 200 habitants.

>1. Calculer un terme d’une suite

La bonne réponse estc).

>2. Déterminer la nature (arithmétique ou géométrique) et la raison d’une suite

Pour tout entier naturel  :

La bonne réponse estb).

>3. Déterminer la limite d’une suite

est une suite géométrique de raison 0,875 et ,

donc .

 

Info

Au bout d’un certain nombre d’années, la population de la ville tend vers 9 600 habitants.

Pour tout entier naturel , , donc

La bonne réponse estd).

>4. Étudier le fonctionnement d’un algorithme

L’algorithme calcule les termes successifs de la suite tant qu’ils sont strictement supérieurs à 10 000. Il comporte une boucle « avec arrêt conditionnel » : on sort de la boucle lorsqu’on obtient un terme inférieur ou égal à 10 000.

L’algorithme affiche alors l’indice de ce terme.

La bonne réponse estc).

>5. Déterminer le résultat affiché par un algorithme

La valeur affichée par l’algorithme est 33.

On peut vérifier en déterminant, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée des termes successifs de la suite ; on obtient :

 ;  ;

La bonne réponse esta).

Exercice 2

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. Traduire des données en termes de probabilités

  • Puisque 15 % des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés :

 

Notez bien

Ces deux probabilités sont des probabilités conditionnelles « sachant l’événement E réalisé ».

  • La deuxième donnée « parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes » se traduit par :

  • La dernière donnée « parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes » se traduit par :

>2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

La situation peut être traduite par l’arbre pondéré suivant :


 

>3. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

 

Info

Dans un arbre pondéré, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égal au produit des probabilités portées par les branches constituant le chemin.

L’événement est « le sac est vendu sur l’exploitation et contient des pommes de variétés différentes ».

Sa probabilité peut être calculée à partir de l’arbre :

>4. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant une partition de l’univers

 

Notez bien

Le calcul de est semblable à celui de fait à la question précédente.

La probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est .

Puisque E et constituent une partition de l’univers :

.

D’où  soit :

>5. Calculer une probabilité conditionnelle

Le sac acheté contient des pommes d’une seule variété. La probabilité qu’il ait été acheté directement sur l’exploitation agricole est .

est non nulle, donc, après la définition d’une probabilité conditionnelle :

.

À 0,001 près :

>6. Calculer un montant à partir d’une répartition en pourcentages

D’après les données de l’énoncé, 15 % des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole, 85 % des sacs sont vendus dans des supermarchés.

Puisque les producteurs disposent de 45 000 sacs, 6 750 sacs sont vendus sur l’exploitation, 38 250 sacs sont vendus dans des supermarchés.

Le montant total des ventes est donc, en euros :

Les producteurs peuvent donc prévoir des ventes d’un montant total de 135 450 €.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. Déterminer le degré des sommets d’un graphe

 

Sommet

A

B

C

D

E

F

G

Degré

2

4

5

5

4

4

2

 
 

Notez bien

Sur la diagonale de M, tous les termes sont égaux à 0 car le graphe ne comporte aucune boucle.

>2.a) Déterminer la matrice associée à un graphe

b) Déterminer le nombre de chemins de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe

Le nombre de chemins de longueur 3, c’est-à-dire formés de 3 arêtes, reliant A (premier sommet) à F (sixième sommet dans l’ordre alphabétique) est le coefficient de situé sur la première ligne et la sixième colonne, égal au coefficient situé sur la sixième ligne et la première colonne.

Ce nombre est égal à 5, donc il y a 5 chemins de longueur 3 reliant A à F.

Ces chemins sont :

 

Info

Un tel chemin est par exemple :

CBACEBDCFEDFGD

(le graphe comporte 13 arêtes).

Il n’existe pas de parcours partant et arrivant au même sommet et passant une fois et une seule par chacune des voies.

>3. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

Un parcours empruntant une fois et une seule chacune des voies est une chaîne eulérienne du graphe.

On a vu à la question 1. que le graphe possède deux sommets de degré impair, C et D. De plus, le graphe est connexe. D’après le théorème d’Euler, ce graphe admet une chaîne eulérienne qui n’est pas un cycle, c’est-à-dire dont les extrémités sont deux sommets différents, ici C et D.

Il est donc possible de parcourir une fois et une seule chacune des voies en partant de C et en allant en D, ou l’inverse.

>4.a) Rechercher sur un graphe pondéré un chemin de durée minimale

On utilise l’algorithme de Dijkstra pour déterminer le chemin le plus rapide de A à G. Cet algorithme peut se traduire par le tableau suivant :

 

A

B

C

D

E

F

G

0

8 (A)

4 (A)

8 (A)

20 (C)

16 (C)

24 (C)

12 (B)

16 (C)

24 (C)

16 (C)

24 (C)

32 (D)

20 (E)

32 (D)

28 (F)

 

Le chemin le plus rapide de A à G est donc :

b) Déterminer la durée d’un trajet sur un graphe

 

Notez bien

Ce trajet est formé de quatre arêtes. Il existe des trajets de A à G formés de trois arêtes (par exemple A – B – D – G), mais leur durée est supérieure à 28 minutes.

Pour trouver la durée de ce parcours, on additionne les durées des différents trajets. La durée totale est donc 28 minutes.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

 

Notez bien

On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.

Pour tout réel appartenant à l’intervalle [2 ; 8] :

>2.a) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à l’intervalle [2 ; 8], , donc a le signe de

si et seulement si .

b) Dresser le tableau de variation d’une fonction

De la question précédente, on déduit que f est strictement croissante sur [2 ; 3,2], strictement décroissante sur [3,2 ; 8].

a donc un maximum en

Son tableau de variation sur l’intervalle [2 ; 8] est :


 

>3.a) Montrer qu’une fonction est convexe

Pour tout appartenant à  :

.

Or, si , , donc a le signe de

Si , alors , donc donc .

Puisque la dérivée seconde de est positive sur l’intervalle [4,8 ; 8], est convexe sur l’intervalle [4,8 ; 8].

b) Montrer qu’un point donné est un point d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction

.

D’après la question précédente, si , alors et, de même, .

La dérivée seconde de  s’annule et change de signe en 4,8 ; on en déduit que le point de (C) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion de C.

Cette conclusion peut être vérifiée graphiquement :


 

Au point A d’abscisse 4,8, la courbe (C) traverse sa tangente.

>4.a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

 

Info

La dérivée de la fonction ln est la fonction inverse et la dérivée de la fonction inverse est la fonction .

Pour tout appartenant à [2 ; 8] :

.

Puisque pour tout appartenant à [2 ; 8], est une primitive de sur [2 ; 8].

b) Calculer une intégrale

D’après la question précédente :

.

 

Notez bien

Pour tout réel strictement positif et tout entier naturel , .

Or , d’où :

Exercice 4

Commun à tous les candidats

>1.a) Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme

La probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes est .

suit la loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 120], donc :

.

b) Calculer l’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme

L’espérance mathématique de est .

En moyenne, les joueurs sont réunis au bout de 70 secondes.

>2.a) Donner les paramètres de la loi d’une variable aléatoire

 

Notez bien

L’écart-type d’une variable aléatoire est toujours un réel positif.

La variable aléatoire  suit la loi normale N(120, 400), donc son espérance est et son écart-type est tel que , donc .

b) Démontrer l’équivalence de deux encadrements

D’où :

c) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

 

Notez bien

Si la variable aléatoire suit la loi normale d’espérance et d’écart-type , alors suit la loi normale centrée réduite N(0, 1) ; est la variable centrée réduite associée à .

Puisque suit la loi normale d’espérance 120 et d’écart-type 20, suit la loi normale centrée réduite, c’est-à-dire la loi N(0, 1) (loi normale d’espérance 0 et d’écart-type 1).

d) Calculer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes (c’est-à-dire entre 1 h 30 et 3 h) est  ; d’après la question précédente, cette probabilité est égale à .

Avec la calculatrice on obtient :