Sujet complet des centres étrangers 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Afrique
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Sujet complet des centres étrangers 2013
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Centres étrangers 2013

Corrigé

6

Sujets complets

matT_1306_01_01C

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Centres étrangers &bull Juin 2013

Sujet complet &bull 20 points

Exercice 1 (5 points)
Évolution d&rsquo une population et QCM sur les suites

Commun à tous les candidats

Les services de la mairie d&rsquo une ville ont étudié l&rsquo évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de la population quitte la ville et 1 200 personnes s&rsquo y installent.

En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.

On note le nombre d&rsquo habitants de la ville l&rsquo année 2012 + .

On a donc

On admet que la suite est définie pour tout entier naturel par :

On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées  une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n&rsquo est demandée.

&gt 1. La valeur de est :

a)

b)

c)

d)

&gt 2. La suite est :

a) géométrique de raison &ndash 12,5 %

b) géométrique de raison 0,875

c) géométrique de raison &ndash 0,875

d) arithmétique de raison &ndash 9 600

&gt 3. La suite a pour limite :

a)

b)

c) 1 200

d)

&gt 4. On donne l&rsquo algorithme suivant :

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Variables

U, N

Initialisation

U prend la valeur 40 000

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que U &gt  10 000

N prend la valeur N + 1

U prend la valeur

Fin du Tant que

Sortie

Afficher N

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Cet algorithme permet d&rsquo obtenir :

a) la valeur de

b) toutes les valeurs de

c) le plus petit rang pour lequel on a

d) le nombre de termes inférieurs à 1 200

&gt 5. La valeur affichée est :

a) 33

b)

c) 9 600

d)

Exercice 2 (5 points)
Relation entre le mode de vente et la composition de sacs de pommes

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

15 % des sacs sont vendus directement dans l&rsquo exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.

Parmi les sacs vendus directement dans l&rsquo exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu&rsquo un seul type de pommes.

Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu&rsquo un seul type de pommes.

On désigne par E l&rsquo événement &laquo  les sacs de pommes sont vendus sur l&rsquo exploitation &raquo et par V l&rsquo événement &laquo  les sacs contiennent des pommes de variétés différentes &raquo .

L&rsquo événement contraire de l&rsquo événement A sera noté .

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

&gt 1. Traduire les trois données de l&rsquo énoncé en termes de probabilités. (1 point)

&gt 2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)

&gt 3. Définir par une phrase l&rsquo événement  puis calculer sa probabilité. (0,5 point)

&gt 4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205. (1 point)

&gt 5. Le sac acheté contient des pommes d&rsquo une seule variété. Calculer la probabilité qu&rsquo il ait été acheté directement sur l&rsquo exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près. (1 point)

&gt 6. Des producteurs, interrogés lors de l&rsquo enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu&rsquo il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l&rsquo exploitation agricole et 3,40 euros dans les supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu&rsquo ils peuvent prévoir. (1 point)

Exercice 2 (5 points)
Déplacements et temps de trajet entre les zones d&rsquo intérêt d&rsquo une commune

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d&rsquo activités d&rsquo une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l&rsquo existence d&rsquo une voie d&rsquo accès principale entre deux lieux correspondants.


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&gt 1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l&rsquo ordre alphabétique). (0,75 point)

&gt 2.a) Donner la matrice  associée au graphe (les sommets seront mis dans l&rsquo ordre alphabétique). (0,5 point)

b) On donne la matrice .

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant et , puis donner leur liste. (1 point)

&gt 3. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d&rsquo accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu&rsquo un tel parcours est possible. (0,75 point)

&gt 4. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.


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Ce même candidat se trouve à la mairie () quand on lui rappelle qu&rsquo il a un rendez-vous avec le responsable de l&rsquo hôpital situé en zone G.

a) En utilisant l&rsquo algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. (1,5 point)

b) Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ? (0,5 point)

Exercice 3 (6 points)
Étude d&rsquo une fonction, de sa convexité et calcul d&rsquo une intégrale

Commun à tous les candidats

On considère la fonction  définie sur l&rsquo intervalle [2  8] par :

.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

&gt 1. Montrer que pour tout réel de l&rsquo intervalle [2  8], on a :

(1 point)

&gt 2.a)  Étudier le signe de  sur l&rsquo intervalle [2  8]. (0,75 point)

b) En déduire le tableau de variation de  sur l&rsquo intervalle [2  8]. (0,5 point)

&gt 3. On appelle la dérivée seconde de sur [2  8].

On admet que, pour tout réel de l&rsquo intervalle [2  8], on a :

.

a) Montrer que  est une fonction convexe sur [4,8  8]. (1 point)

b) Montrer que le point de (C) d&rsquo abscisse 4,8 est un point d&rsquo inflexion. (1 point)

&gt 4. On considère la fonction  définie sur [2  8] par :

a) Montrer que  est une primitive de  sur [2  8]. (0,75 point)

b) Calculer (1 point)

Exercice 4 (4 points)
Jeu en équipe et durée d&rsquo une partie

Commun à tous les candidats

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

&gt 1. Paul se connecte sur le site. La durée  (en seconde) qu&rsquo il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l&rsquo intervalle [20  120].

a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. (0,75 point)

b) Calculer l&rsquo espérance mathématique de . Interpréter ce résultat. (0,5 point)

&gt 2. L&rsquo équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée  (en minute) d&rsquo une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(120, 400).

a) Déterminer l&rsquo espérance et l&rsquo écart-type de la variable aléatoire . (0,5 point)

b) Montrer l&rsquo équivalence :

. (0,75 point)

c) On définit la variable aléatoire  par .

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire . (0,5 point)

d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près. (1 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Algorithme : boucle avec arrêt conditionnel &bull Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

&gt 1. Utilisez la valeur de et la relation entre et .

&gt 2. Déterminez la limite de la suite en utilisant le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0. Puis déterminez la limite de .

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés &bull Probabilités conditionnelles.

Les conseils du correcteur

&gt 4. Les sacs contenant des pommes de variétés différentes ont été vendus dans l&rsquo exploitation agricole ou dans des supermarchés  utilisez une partition de l&rsquo univers.

&gt 5. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

&gt 6. Calculez, parmi les 45 000 sacs disponibles, le nombre de sacs vendus sur l&rsquo exploitation et le nombre de sacs vendus dans des supermarchés.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés &bull Matrice associée à un graphe &bull Chaîne de longueur donnée &bull Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

&gt 1. Le degré d&rsquo un sommet d&rsquo un graphe est le nombre d&rsquo arêtes dont ce sommet est l&rsquo une des extrémités.

&gt 2.a) Les coefficients de la matrice associée à un graphe sont égaux à 0 ou à 1  cette matrice est symétrique par rapport à sa diagonale principale car le graphe n&rsquo est pas orienté.

&gt 2.b) Les coefficients de la matrice donnent le nombre de chemins de longueur 3 entre deux sommets donnés.

&gt 3. Déterminer s&rsquo il existe un parcours passant par toutes les voies sans emprunter plusieurs fois la même revient à déterminer s&rsquo il existe une chaîne eulérienne. Trouvez le nombre de sommets de degré impair et utilisez le théorème d&rsquo Euler : un graphe comporte une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.

&gt 4.a) Un chemin de durée minimale ne comporte pas nécessairement un nombre minimal d&rsquo arêtes.

Exercice 3. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles &bull Sens de variation &bull Fonction logarithme népérien &bull Convexité &bull Point d&rsquo inflexion &bull Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

&gt 3.a) Étudiez le signe de

&gt 4.b) Utilisez la primitive de  donnée à la question précédente.

Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité &bull Loi à densité

Les conseils du correcteur

&gt 1.a)  Puisque suit une loi uniforme, la probabilité qu&rsquo elle prenne une valeur appartenant à un intervalle donné est proportionnelle à l&rsquo amplitude de cet intervalle.

&gt 2.a) Si suit la loi normale N(120, 400), alors 400 est le carré de son écart-type.