Les services de la mairie d’une ville ont étudié l’évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de la population quitte la ville et 1 200 personnes s’y installent.

En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.

On note le nombre d’habitants de la ville l’année 2012 + .

On a donc

On admet que la suite est définie pour tout entier naturel par :

On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

> 1. La valeur de est :

a) 

b) 

c) 

d) 

> 2. La suite est :

a) géométrique de raison – 12,5 %

b) géométrique de raison 0,875

c) géométrique de raison – 0,875

d) arithmétique de raison – 9 600

> 3. La suite a pour limite :

a) 

b) 

c) 1 200

d) 

> 4. On donne l’algorithme suivant :

Cet algorithme permet d’obtenir :

a) la valeur de

b) toutes les valeurs de

c) le plus petit rang pour lequel on a

d) le nombre de termes inférieurs à 1 200

> 5. La valeur affichée est :

a) 33

b) 

c) 9 600

d) 

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

15 % des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.

Parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.

Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.

On désigne par E l’événement « les sacs de pommes sont vendus sur l’exploitation » et par V l’événement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L’événement contraire de l’événement A sera noté .

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

> 1. Traduire les trois données de l’énoncé en termes de probabilités. (1 point)

> 2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (0,5 point)

> 3. Définir par une phrase l’événement  puis calculer sa probabilité. (0,5 point)

> 4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,205. (1 point)

> 5. Le sac acheté contient des pommes d’une seule variété. Calculer la probabilité qu’il ait été acheté directement sur l’exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près. (1 point)

> 6. Des producteurs, interrogés lors de l’enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu’il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l’exploitation agricole et 3,40 euros dans les supermarchés.

Calculer le montant total des ventes qu’ils peuvent prévoir. (1 point)

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie d’accès principale entre deux lieux correspondants.

> 1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique). (0,75 point)

> 2. a)  Donner la matrice  associée au graphe (les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique). (0,5 point)

b) On donne la matrice .

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant et , puis donner leur liste. (1 point)

> 3. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d’accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu’un tel parcours est possible. (0,75 point)

> 4. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.

Ce même candidat se trouve à la mairie () quand on lui rappelle qu’il a un rendez-vous avec le responsable de l’hôpital situé en zone G.

a) En utilisant l’algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. (1,5 point)

b) Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ? (0,5 point)

On considère la fonction  définie sur l’intervalle [2 ; 8] par :

.

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

> 1. Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

(1 point)

> 2. a)  Étudier le signe de  sur l’intervalle [2 ; 8]. (0,75 point)

b) En déduire le tableau de variation de  sur l’intervalle [2 ; 8]. (0,5 point)

> 3. On appelle la dérivée seconde de sur [2 ; 8].

On admet que, pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

.

a) Montrer que  est une fonction convexe sur [4,8 ; 8]. (1 point)

b) Montrer que le point de (C) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion. (1 point)

> 4. On considère la fonction  définie sur [2 ; 8] par :

a) Montrer que  est une primitive de  sur [2 ; 8]. (0,75 point)

b) Calculer (1 point)

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

> 1. Paul se connecte sur le site. La durée  (en seconde) qu’il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 120].

a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. (0,75 point)

b) Calculer l’espérance mathématique de . Interpréter ce résultat. (0,5 point)

> 2. L’équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée  (en minute) d’une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(120, 400).

a) Déterminer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire . (0,5 point)

b) Montrer l’équivalence :

. (0,75 point)

c) On définit la variable aléatoire  par .

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire . (0,5 point)

d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près. (1 point)