Centres étrangers 2013
Corrigé
6
Sujets complets
matT_1306_01_01C
Centres étrangers • Juin 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
Évolution d'une population et QCM sur les suites
Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de la population quitte la ville et 1 200 personnes s'y installent.
En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.
On note le nombre d'habitants de la ville l'année 2012 +
.
On admet que la suite est définie pour tout entier naturel
par :
On considère la suite définie pour tout entier naturel
par :
Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.
Cet algorithme permet d'obtenir :
pour lequel on a
Exercice 2 (5 points)
Relation entre le mode de vente et la composition de sacs de pommes
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.
On sait que :
15 % des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
On désigne par E l'événement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'événement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».
L'événement contraire de l'événement A sera noté .
On achète de façon aléatoire un sac de pommes.
puis calculer sa probabilité. (0,5 point)
Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir. (1 point)
Exercice 2 (5 points)
Déplacements et temps de trajet entre les zones d'intérêt d'une commune
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d'activités d'une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une voie d'accès principale entre deux lieux correspondants.

associée au graphe (les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique). (0,5 point)
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant et
, puis donner leur liste. (1 point)

Ce même candidat se trouve à la mairie () quand on lui rappelle qu'il a un rendez-vous avec le responsable de l'hôpital situé en zone G.
Exercice 3 (6 points)
Étude d'une fonction, de sa convexité et calcul d'une intégrale
Commun à tous les candidats
On considère la fonction définie sur l'intervalle [2 8] par :
On appelle (
sur l'intervalle [2 8]. (0,75 point)
sur l'intervalle [2 8]. (0,5 point)
la dérivée seconde de
sur [2 8].
On admet que, pour tout réel de l'intervalle [2 8], on a :
est une fonction convexe sur [4,8 8]. (1 point)
définie sur [2 8] par :
Exercice 4 (4 points)
Jeu en équipe et durée d'une partie
Commun à tous les candidats
Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.
(en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [20 120].
. Interpréter ce résultat. (0,5 point)
(en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale
. (0,5 point)
par
.
Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire . (0,5 point)
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Algorithme : boucle avec arrêt conditionnel • Suites arithmétiques ou géométriques.
Les conseils du correcteur
et la relation entre
et
.
en utilisant le résultat suivant : une suite géométrique de raison
telle que
a pour limite 0. Puis déterminez la limite de
.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles.
Les conseils du correcteur
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne de longueur donnée • Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
donnent le nombre de chemins de longueur 3 entre deux sommets donnés.
Exercice 3. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction logarithme népérien • Convexité • Point d'inflexion • Primitives usuelles.
Les conseils du correcteur
Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Loi de probabilité • Loi à densité
Les conseils du correcteur
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Info
Ce résultat signifie qu'en 2013, la ville a 36 200 habitants.
> 1. Calculer un terme d'une suite
> 2. Déterminer la nature (arithmétique ou géométrique) et la raison d'une suite
> 3. Déterminer la limite d'une suite
Info
Au bout d'un certain nombre d'années, la population de la ville tend vers 9 600 habitants.
> 4. Étudier le fonctionnement d'un algorithme
L'algorithme calcule les termes successifs de la suite tant qu'ils sont strictement supérieurs à 10 000. Il comporte une boucle « avec arrêt conditionnel » : on sort de la boucle lorsqu'on obtient un terme inférieur ou égal à 10 000.
L'algorithme affiche alors l'indice de ce terme.
> 5. Déterminer le résultat affiché par un algorithme
La valeur affichée par l'algorithme est 33.
On peut vérifier en déterminant, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée des termes successifs de la suite on obtient :
Exercice 2
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. Traduire des données en termes de probabilités
- Puisque 15 % des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés :
Notez bien
Ces deux probabilités sont des probabilités conditionnelles « sachant l'événement E réalisé ».
- La deuxième donnée « parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes » se traduit par :
- La dernière donnée « parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10 % contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes » se traduit par :
> 2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré
La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :

> 3. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
Info
Dans un arbre pondéré, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égal au produit des probabilités portées par les branches constituant le chemin.
L'événement est « le sac est vendu sur l'exploitation et contient des pommes de variétés différentes ».
Sa probabilité peut être calculée à partir de l'arbre :
> 4. Calculer la probabilité d'un événement en utilisant une partition de l'univers
La probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est .
> 5. Calculer une probabilité conditionnelle
Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété. La probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole est .
est non nulle, donc, après la définition d'une probabilité conditionnelle :
À 0,001 près :
> 6. Calculer un montant à partir d'une répartition en pourcentages
D'après les données de l'énoncé, 15 % des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole, 85 % des sacs sont vendus dans des supermarchés.
Puisque les producteurs disposent de 45 000 sacs, 6 750 sacs sont vendus sur l'exploitation, 38 250 sacs sont vendus dans des supermarchés.
Le montant total des ventes est donc, en euros :
Exercice 2
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
> 1. Déterminer le degré des sommets d'un graphe
Sommet | A | B | C | D | E | F | G |
Degré | 2 | 4 | 5 | 5 | 4 | 4 | 2 |
Notez bien
Sur la diagonale de M, tous les termes sont égaux à 0 car le graphe ne comporte aucune boucle.
> 2. a) Déterminer la matrice associée à un graphe
b) Déterminer le nombre de chemins de longueur donnée entre deux sommets d'un graphe
Le nombre de chemins de longueur 3, c'est-à-dire formés de 3 arêtes, reliant A (premier sommet) à F (sixième sommet dans l'ordre alphabétique) est le coefficient de situé sur la première ligne et la sixième colonne, égal au coefficient situé sur la sixième ligne et la première colonne.
Ce nombre est égal à 5, donc
Ces chemins sont :
Info
Un tel chemin est par exemple :
CBACEBDCFEDFGD
(le graphe comporte 13 arêtes).
Il n'existe pas de parcours partant et arrivant au même sommet et passant une fois et une seule par chacune des voies.
> 3. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne
Un parcours empruntant une fois et une seule chacune des voies est une chaîne eulérienne du graphe.
On a vu à la question
Il est donc possible de parcourir
> 4. a) Rechercher sur un graphe pondéré un chemin de durée minimale
On utilise l'algorithme de Dijkstra pour déterminer le chemin le plus rapide de A à G. Cet algorithme peut se traduire par le tableau suivant :
A | B | C | D | E | F | G |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| 8 (A) | 4 (A) | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| 8 (A) |
| 20 (C) | 16 (C) | 24 (C) | ∞ |
|
|
| 12 (B) | 16 (C) | 24 (C) | ∞ |
|
|
|
| 16 (C) | 24 (C) | 32 (D) |
|
|
|
|
| 20 (E) | 32 (D) |
|
|
|
|
|
| 28 (F) |
b) Déterminer la durée d'un trajet sur un graphe
Notez bien
Ce trajet est formé de quatre arêtes. Il existe des trajets de A à G formés de trois arêtes (par exemple A – B – D – G), mais leur durée est supérieure à 28 minutes.
Pour trouver la durée de ce parcours, on additionne les durées des différents trajets.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Notez bien
On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.
> 2. a) Étudier le signe de la dérivée d'une fonction
b) Dresser le tableau de variation d'une fonction
De la question précédente, on déduit que f est strictement croissante sur [2 3,2], strictement décroissante sur [3,2 8].
Son tableau de variation sur l'intervalle [2 8] est :

> 3. a) Montrer qu'une fonction est convexe
Puisque la dérivée seconde de est positive sur l'intervalle [4,8 8],
b) Montrer qu'un point donné est un point d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction
D'après la question précédente, si , alors
et, de même,
.
La dérivée seconde de s'annule et change de signe en 4,8 on en déduit que le point de (C) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion de
Cette conclusion peut être vérifiée graphiquement :

Au point A d'abscisse 4,8, la courbe (C) traverse sa tangente.
> 4. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
Pour tout appartenant à [2 8] :
Puisque pour tout
appartenant à [2 8],
b) Calculer une intégrale
Exercice 4
Commun à tous les candidats
> 1. a) Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme
La probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes est .
b) Calculer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme
> 2. a) Donner les paramètres de la loi d'une variable aléatoire
Notez bien
L'écart-type d'une variable aléatoire est toujours un réel positif.
La variable aléatoire suit la loi normale
et son écart-type est
tel que
, donc
.
b) Démontrer l'équivalence de deux encadrements
c) Déterminer la loi d'une variable aléatoire
Puisque suit la loi normale d'espérance 120 et d'écart-type 20,
suit la loi normale centrée réduite, c'est-à-dire la loi
Commun à tous les candidats