&gt  1. Parmi toutes les fonctions définies sur et dont l&rsquo expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :

a) 

b) 

c) 

d) 

&gt  2. Une primitive de sur définie par est la fonction définie par :

a) 

b) 

c) 

d) 

&gt  3. La valeur exacte de l&rsquo intégrale est égale à :

a) 

b) 

c) 

d) 

&gt  4. Si une variable aléatoire suit la loi normale N(1  4), alors une valeur approchée au centième de est :

a) 0,15

b) 0,09

c) 0,34

d) 0,13

&gt  5. Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.

L&rsquo intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

a) 

b) 

c) 

d) 

On considère la suite définie par et pour tout entier naturel  :

&gt  1. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel . (0,5 point)

&gt  2. Déterminer la limite de la suite et en déduire celle de la suite . (0,75 point)

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d&rsquo habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que, chaque année :

10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville 

1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

&gt  1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite , où désigne le nombre de milliers d&rsquo habitants de la ville de Bellecité l&rsquo année . (0,5 point)

&gt  2. Un institut statistique décide d&rsquo utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l&rsquo algorithme ci-dessous pour qu&rsquo il calcule la population de la ville de Bellecité l&rsquo année . (0,5 point)

&gt  3. a)  Résoudre l&rsquo inéquation . (0,75 point)

b) En donner une interprétation. (0,5 point)

On considère la fonction définie sur l&rsquo intervalle [5  60] par :

&gt  1. On désigne par la dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout , (0,5 point)

&gt  2. On considère la fonction définie sur [5  60] par :

a) Montrer que la fonction est strictement croissante sur [5  60]. (0,5 point)

b) Montrer que l&rsquo équation possède une unique solution dans [5  60]. (0,75 point)

c) Donner un encadrement à l&rsquo unité de . (0,5 point)

d) En déduire le tableau de signes de sur [5  60]. (0,5 point)

&gt  3. En déduire le tableau de variation de sur [5  60]. (0,5 point)

&gt  4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a) . (0,5 point)

b) . (0,5 point)

Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec appartenant à l&rsquo intervalle [5  60].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d&rsquo euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)

Un propriétaire d&rsquo une salle louant des terrains de squash s&rsquo interroge sur le taux d&rsquo occupation de ses terrains. Sachant que la location d&rsquo un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).

Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s&rsquo apercevoir que :

lorsque l&rsquo heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés 

lorsque l&rsquo heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les événements :

C &laquo  l&rsquo heure est creuse &raquo ,

T &laquo  le terrain est occupé &raquo .

&gt  1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités. (0,75 point)

&gt  2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l&rsquo heure soit creuse. (0,5 point)

&gt  3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé. (0,75 point)

&gt  4. Montrer que la probabilité que l&rsquo heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à . (1 point)

Dans le but d&rsquo inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d&rsquo un terrain, des tarifs différenciés :

10 &euro pour une heure pleine,

6 &euro pour une heure creuse.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d&rsquo un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :

10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,

6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,

0 lorsque le terrain n&rsquo est pas occupé.

&gt  5. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de (0,75 point)

&gt  6. Déterminer l&rsquo espérance de X. (0,5 point)

&gt  7. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. (0,75 point)

Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).

Pour cette question, on justifiera chaque réponse :

&gt  1. a)  Déterminer l&rsquo ordre du graphe. (0,5 point)

b) Déterminer si le graphe est connexe. (0,5 point)

c) Déterminer si le graphe est complet. (0,5 point)

&gt  2. Un touriste atterrit à l&rsquo aéroport de Lyon et loue une voiture. Déterminer, en justifiant, s&rsquo il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. (1 point)

&gt  3. Il décide finalement d&rsquo aller seulement de Lyon à Biarritz. On note N la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l&rsquo ordre alphabétique B, C, L, M, P, R, T, V, Z.

Voici les matrices N et N³ :

et

a) En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice N⁴. (0,5 point)

b) En donner une interprétation. (0,5 point)

&gt  4. Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix du péage en euros :

a) À l&rsquo aide de l&rsquo algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz. (1 point)

b) Déterminer le coût, en euros, de ce trajet. (0,5 point)