Sujet complet du Liban 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet du Liban 2013
 
 

Liban 2013

Corrigé

4

Sujets complets

matT_1305_09_00C

 

Liban • Mai 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions, la loi normale et les intervalles de confiance : 5 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

> 1. Parmi toutes les fonctions définies sur et dont l’expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :

a) 

b) 

c) 

d) 

> 2. Une primitive de sur définie par est la fonction définie par :

a) 

b) 

c) 

d) 

> 3. La valeur exacte de l’intégrale est égale à :

a) 

b) 

c) 

d) 

> 4. Si une variable aléatoire suit la loi normale N(1 ; 4), alors une valeur approchée au centième de est :

a) 0,15

b) 0,09

c) 0,34

d) 0,13

> 5. Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.

L’intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

a) 

b) 

c) 

d) 

Exercice 2 (5 points)
Étude de l’évolution de la population d’une ville

Commun à tous les candidats

partie a

On considère la suite définie par et pour tout entier naturel  :

> 1. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel . (0,5 point)

> 2. Déterminer la limite de la suite et en déduire celle de la suite . (0,75 point)

partie b

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que, chaque année :

10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;

1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

> 1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite , où désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année . (0,5 point)

> 2. Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année . (0,5 point)

 

VARIABLES :

a, i, n

INITIALISATION :

Choisir n

a prend la valeur 10

TRAITEMENT :

Pour i allant de 1 à n

a prend la valeur ……

SORTIE :

Afficher a
 

> 3. a)  Résoudre l’inéquation . (0,75 point)

b) En donner une interprétation. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude d’un coût de fabrication

Commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction définie sur l’intervalle [5 ; 60] par :

> 1. On désigne par la dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout , (0,5 point)

> 2. On considère la fonction définie sur [5 ; 60] par :

a) Montrer que la fonction est strictement croissante sur [5 ; 60]. (0,5 point)

b) Montrer que l’équation possède une unique solution dans [5 ; 60]. (0,75 point)

c) Donner un encadrement à l’unité de . (0,5 point)

d) En déduire le tableau de signes de sur [5 ; 60]. (0,5 point)

> 3. En déduire le tableau de variation de sur [5 ; 60]. (0,5 point)

> 4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a) . (0,5 point)

b) . (0,5 point)

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec appartenant à l’intervalle [5 ; 60].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)

Exercice 4 (5 points)
Location de terrains de squash

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Un propriétaire d’une salle louant des terrains de squash s’interroge sur le taux d’occupation de ses terrains. Sachant que la location d’un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).

Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s’apercevoir que :

lorsque l’heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés ;

lorsque l’heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les événements :

C « l’heure est creuse »,

T « le terrain est occupé ».

> 1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités. (0,75 point)

> 2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse. (0,5 point)

> 3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé. (0,75 point)

> 4. Montrer que la probabilité que l’heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à . (1 point)

Dans le but d’inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d’un terrain, des tarifs différenciés :

10 € pour une heure pleine,

6 € pour une heure creuse.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d’un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :

10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,

6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,

0 lorsque le terrain n’est pas occupé.

> 5. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de (0,75 point)

> 6. Déterminer l’espérance de X. (0,5 point)

> 7. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. (0,75 point)

Exercice 4 (5 points)
Étude d’un réseau d’autoroutes et trajet de coût minimal

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).


 

Pour cette question, on justifiera chaque réponse :

> 1. a)  Déterminer l’ordre du graphe. (0,5 point)

b) Déterminer si le graphe est connexe. (0,5 point)

c) Déterminer si le graphe est complet. (0,5 point)

> 2. Un touriste atterrit à l’aéroport de Lyon et loue une voiture. Déterminer, en justifiant, s’il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. (1 point)

> 3. Il décide finalement d’aller seulement de Lyon à Biarritz. On note N la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l’ordre alphabétique B, C, L, M, P, R, T, V, Z.

Voici les matrices N et N3 :

et

a) En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice N4. (0,5 point)

b) En donner une interprétation. (0,5 point)

> 4. Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix du péage en euros :


 

a) À l’aide de l’algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz. (1 point)

b) Déterminer le coût, en euros, de ce trajet. (0,5 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Convexité • Primitives usuelles • Loi à densité • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

> 1. D’après le cours, une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive.

> 2. F est une primitive de f si et seulement si f est la dérivée de F.

> 3. Déterminez une primitive de la fonction afin de calculer l’intégrale.

> 5. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est un intervalle auquel, d’après le sondage, la cote de popularité du maire appartient avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Algorithme • Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 2. Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Partie B

> 3. a) Vous pouvez utiliser la fonction ln.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Fonctions exponentielles • Théorème des valeurs intermédiaires • Sens de variation.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 1. Utilisez la formule donnant la dérivée d’une fonction de la forme .

> 2. b) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

> 3. Le sens de variation de sur un intervalle dépend du signe de sur cet intervalle ; montrez que le signe de est le même que celui de et utilisez la question 2.d).

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Loi de probabilité • Probabilités conditionnelles.

Les conseils du correcteur

> 2. La probabilité demandée est la probabilité de l’intersection de deux événements, ce n’est pas une probabilité conditionnelle.

> 3. Utilisez le fait que et constituent une partition de l’univers.

> 4. La probabilité qui intervient dans cette question est une probabilité conditionnelle ; utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle et les réponses aux questions précédentes.

> 5. Une variable aléatoire est une fonction qui, à chaque issue d’une expérience aléatoire, associe un nombre. On décrit sa loi en donnant les valeurs que peut prendre cette variable aléatoire et les probabilités correspondantes.

> 7. Tenez compte du nombre de terrains et du nombre d’heures d’ouverture de la salle dans la semaine, et utilisez le résultat de la question 6.

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

> 1. Utilisez les définitions : ordre d’un graphe, graphe connexe, graphe complet.

> 2. Déterminez le degré des sommets et utilisez le théorème d’Euler.

> 3. b) Chaque coefficient de la matrice donne le nombre de chemins de 4 étapes entre deux sommets.

> 4. a) Un chemin qui minimise le coût du péage ne comporte pas nécessairement un nombre d’arêtes minimal.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

> 1. Étudier la convexité d’une fonction

Les quatre fonctions proposées sont deux fois dérivables sur .

Parmi ces quatre fonctions, la fonction définie par est la seule dont la dérivée seconde est positive sur

Les expressions des dérivées secondes des trois autres fonctions sont :

Donc la bonne réponse est d).

> 2. Déterminer une primitive d’une fonction

Soit la fonction définie sur par .

est dérivable sur et, pour tout dans cet intervalle :

Les expressions des dérivées des trois autres fonctions sont :

Donc la bonne réponse est b).

> 3. Calculer une intégrale

 

Notez bien

Par définition d’une intégrale, , où est une primitive de .

Une primitive sur ℝ de la fonction est la fonction . D’où :

Donc la bonne réponse est d).

> 4. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

 

Attention

Lorsque suit la loi normale d’espérance et d’écart type , on dit que suit la loi normale .

La variable aléatoire suit la loi normale N(1 ; 4), c’est-à-dire la loi normale d’espérance et d’écart type .

D’après la calculatrice, est égale à environ 0,14988.

Donc la bonne réponse est a).

> 5. Déterminer un intervalle de confiance

Si la fréquence d’individus satisfaits de leur maire est 0,55 sur un échantillon de taille , alors, puisque les conditions sont remplies, l’intervalle de confiance de niveau 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

Donc la bonne réponse est c).

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie a

> 1.a) Démontrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Donc la suite est une suite géométrique de raison 0,9.

Son premier terme est

b) Donner l’expression d’un terme d’une suite géométrique

On en déduit que, pour tout entier naturel  :

c) Donner l’expression d’un terme d’une suite

Pour tout entier naturel, , donc .

D’après la question précédente :

> 2. Déterminer les limites de deux suites

est une suite géométrique de raison 0,9 et , donc :

.

 

Notez bien

La suite est donc une suite convergente.

Pour tout entier naturel , , donc :

partie b

> 1. Modéliser l’évolution d’une population par une suite

On note le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année .

Le nombre d’habitants de la ville de Bellecité de l’année est égal à 90 % du nombre d’habitants de la ville l’année précédente (puisque 10 % des habitants meurent ou déménagent dans une autre ville, 90 % restent), auxquels s’ajoutent, d’après l’énoncé, 1 200 personnes (naissances ou personnes arrivant d’une autre ville), soit 1,2 millier de personnes.

D’où pour tout entier naturel .

On peut donc modéliser la situation par la suite étudiée dans la partie A.

> 2. Utiliser un algorithme pour calculer un terme d’une suite

 

Notez bien

Dans l’algorithme, est un « compteur » qui permet de déterminer le nombre de répétitions dans la boucle.

Pour que l’algorithme donné calcule la population de la ville de Bellecité l’année , on complète la partie « TRAITEMENT » :

 

VARIABLES :

a, i, n

INITIALISATION :

Choisir n

a prend la valeur 10

TRAITEMENT :

Pour i allant de 1 à n

a prend la valeur 0,9 a + 1,2

SORTIE :

Afficher a
 

> 3.a) Résoudre une inéquation dont l’inconnue est un entier

 

Notez bien

La fonction ln est strictement croissante sur  : elle « conserve l’ordre ».

équivaut successivement à :

 

Attention

On divise par et car . On inverse donc le sens de l’inégalité.

.

 

Info

On peut vérifier ce résultat avec l’algorithme de la question précédente :

avec , on obtient 11,491627 et 11,491627 < 11,5 ;

avec , on obtient 11,542464 et 11,542464 > 11,5.

.

Donc équivaut à :

b) Interpréter les solutions d’une inéquation

La population de la ville de Bellecité dépassera 11,5 milliers d’habitants à partir de l’année , c’est-à-dire à partir de 2026.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction définie sur l’intervalle [5 ; 60] par :

> 1. Calculer la dérivée d’une fonction

 

Info

On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.

Pour tout  :

> 2.a) Étudier le sens de variation d’une fonction

 

Info

On utilise la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

Pour tout  :

Donc, pour tout , .

La fonction est strictement croissante sur [5 ; 60].

b) Montrer qu’une équation a une unique solution

La fonction est continue et strictement croissante sur [5 ; 60].

(au dixième près).

Donc .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction strictement monotone : l’équation possède une unique solution dans [5 ; 60].

c) Donner un encadrement d’une solution d’une équation

D’après la calculatrice, et au dixième près, donc , soit .

f étant strictement croissante sur [5 ; 60] :

d) Étudier le signe d’une fonction sur un intervalle

D’après les questions précédentes :

  • si , alors  ;
  •  ;
  • si , alors .

Ces résultats peuvent être résumés par un tableau de signes :


 

> 3. Étudier le sens de variation d’une fonction

D’après la question 1., pour tout , .

Donc a le même signe que

On peut en déduire le tableau de variation de sur [5 ; 60] :


 

au centième près.

> 4.a) Déterminer le nombre de solutions de l’équation C(x) = 2

La fonction atteint son minimum en .

D’après la question 1.c), .

au centième près, donc .

L’équation possède donc deux solutions dans l’intervalle [5 ; 60] : une dans et une dans .

b) Déterminer le nombre de solutions de l’équation C(x) = 5

Pour tout x appartenant à .

Donc l’équation possède une seule solution dans [5 ; 60].

partie b

Minimiser un coût de fabrication

D’après la partie A, la fonction atteint son minimum en et .

Le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal est donc 25 ou 26.

Or, .

Donc, pour que le coût moyen de fabrication soit minimal, l’entreprise doit produire 26 vélos de course.

Exercice 4

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

> 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

 

Notez bien

D’après l’énoncé, 70 % des heures de la semaine sont creuses, donc .

La situation peut être représentée par l’arbre de probabilités suivant :


 

> 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

 

Notez bien

car, d’après l’énoncé, lorsqu’une heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés.

La probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse est :

.

La probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse est 0,14.

> 3. Calculer la probabilité d’un événement

La probabilité que le terrain soit occupé est

Puisque et constituent une partition de l’univers :

Or (d’après la question précédente) et, de même,

D’où .

La probabilité que le terrain soit occupé est 0,41.

> 4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que l’heure soit pleine sachant que le terrain est occupé est .

Par définition d’une probabilité conditionnelle, la probabilité de l’événement T étant non nulle :

.

> 5. Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire

La loi de probabilité de est donnée par le tableau suivant :

 

x

0

6

10

P(X = x)

0,59

0,14

0,27
 
 

Notez bien

Dans le tableau donnant la loi de probabilité d’une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 1.

En effet :

  • .
  • .
  • .

> 6. Calculer l’espérance d’une variable aléatoire

L’espérance de la variable aléatoire est :

> 7. Calculer une recette hebdomadaire moyenne

L’espérance calculée à la question précédente donne la recette moyenne par terrain et par heure d’ouverture.

La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine et .

Donc la recette hebdomadaire moyenne est 2 478 €.

Exercice 4

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

> 1.a) Déterminer l’ordre d’un graphe

Le graphe donné comporte 9 sommets correspondant aux 9 villes considérées.

Donc le graphe donné est d’ordre 9.

b) Déterminer si un graphe est connexe

Il existe une chaîne entre deux sommets quelconques ; on peut se rendre d’une ville quelconque à une autre en empruntant les autoroutes considérées.

Donc le graphe est connexe.

c) Déterminer si un graphe est complet

Il n’existe pas d’arête d’extrémités B et M ; concrètement, il n’existe pas d’autoroute « directe » entre Bordeaux et Marseille.

Donc le graphe n’est pas complet.

> 2. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

 

Info

Une chaîne eulérienne est une chaîne qui contient une fois et une seule chacune des arêtes.

Un touriste partant de Lyon pourra visiter toutes les villes en empruntant une fois et une seule chaque autoroute si et seulement si le graphe possède une chaîne eulérienne dont l’une des extrémités est L.

 

Info

Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.

D’après le théorème d’Euler, pour qu’il existe une chaîne eulérienne dont L est l’une des extrémités, il faut que le graphe ait au plus deux sommets de degré impair.

Or B, R, C et V sont de degré 3.

 

Notez bien

La réponse est la même quelle que soit la ville de départ.

Puisqu’il y a au moins quatre sommets de degré impair, le graphe ne comporte pas de chaîne eulérienne. Un touriste partant de Lyon ne pourra donc pas visiter toutes les villes en empruntant une fois et une seule chaque autoroute.

> 3.a) Déterminer un coefficient du produit de deux matrices

Si on écrit , le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice s’obtient à partir de la troisième ligne de N et de la dernière colonne de  :

b) Donner une interprétation concrète d’un coefficient d’une matrice

 

Notez bien

Le coefficient de la ligne et colonne de donne le nombre de chemins permettant d’aller du sommet au sommet en étapes.

D’après le résultat précédent, il existe 4 chemins de Lyon (troisième sommet) à Biarritz (dernier sommet) formés de 4 étapes.

> 4.a) Rechercher sur un graphe pondéré un chemin de « poids » minimal

 

Info

Dans cette question, on utilise un graphe pondéré. Le « poids » attribué à chaque arête est le prix du péage en euros entre les deux villes reliées par cette arête.

On utilise l’algorithme de Dijkstra pour déterminer le chemin « le moins cher » de Lyon à Biarritz. Cet algorithme peut se traduire par le tableau suivant :

 

B

C

L

M

P

R

T

V

Z

∞

∞

0

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

10,70 (L)

 

∞

∞

∞

∞

7,10 (L)

∞

∞

10,70 (L)

 

22,80 (V)

23,30 (V)

∞

∞

 

∞

∞

 

 

22,80 (V)

19,30 (C)

22,20 (C)

∞

 

∞

∞

 

 

22,80 (V)

 

22,20 (C)

38,90 (P)

 

∞

33,70 (R)

 

 

22,80 (V)

 

 

36,80 (R)

 

∞

33,70 (R)

 

 

 

 

 

36,80 (R)

 

∞

 

 

 

 

 

 

36,80 (R)

 

38,10 (B)
 

On en déduit que le chemin de Lyon à Biarritz qui minimise le coût des péages est :

c’est-à-dire Lyon → Clermont-Ferrand → Brive → Bordeaux → Biarritz.

b) Déterminer un « poids » minimal sur un graphe pondéré

D’après l’algorithme de Dijkstra, le coût minimal de Lyon à Biarritz est 38,10 €.