Liban 2013
Corrigé
4
Sujets complets
matT_1305_09_00C
Liban &bull Mai 2013
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions, la loi normale et les intervalles de confiance : 5 questions
et dont l&rsquo expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :
sur
définie par
est la fonction
définie par :
est égale à :
suit la loi normale
est :
L&rsquo intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :
Exercice 2 (5 points)
Étude de l&rsquo évolution de la population d&rsquo une ville
Commun à tous les candidats
partie a
On considère la suite définie par
et pour tout entier naturel
:
définie pour tout entier naturel
par :
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (1 point)
en fonction de
. (0,5 point)
. (0,5 point)
et en déduire celle de la suite
. (0,75 point)
partie b
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d&rsquo habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que, chaque année :
10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville
1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
, où
désigne le nombre de milliers d&rsquo habitants de la ville de Bellecité l&rsquo année
. (0,5 point)
. (0,5 point)
VARIABLES : |
a, i, n |
INITIALISATION : |
Choisir n a prend la valeur 10 |
TRAITEMENT : |
Pour i allant de 1 à n a prend la valeur &hellip &hellip |
SORTIE : |
Afficher a |
Exercice 3 (5 points)
Étude d&rsquo un coût de fabrication
Commun à tous les candidats
partie a
On considère la fonction définie sur l&rsquo intervalle [5 60] par :
la dérivée de la fonction
.
Montrer que, pour tout ,
(0,5 point)
définie sur [5 60] par :
est strictement croissante sur [5 60]. (0,5 point)
possède une unique solution
dans [5 60]. (0,75 point)
. (0,5 point)
sur [5 60]. (0,5 point)
sur [5 60]. (0,5 point)
partie b
Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec
appartenant à l&rsquo intervalle [5 60].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d&rsquo euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)
Exercice 4 (5 points)
Location de terrains de squash
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
Un propriétaire d&rsquo une salle louant des terrains de squash s&rsquo interroge sur le taux d&rsquo occupation de ses terrains. Sachant que la location d&rsquo un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).
Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.
Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s&rsquo apercevoir que :
lorsque l&rsquo heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés
lorsque l&rsquo heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.
On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les événements :
C « l&rsquo heure est creuse » ,
T « le terrain est occupé » .
. (1 point)
Dans le but d&rsquo inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d&rsquo un terrain, des tarifs différenciés :
10 &euro pour une heure pleine,
6 &euro pour une heure creuse.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d&rsquo un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :
10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,
6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,
0 lorsque le terrain n&rsquo est pas occupé.
(0,75 point)
Exercice 4 (5 points)
Étude d&rsquo un réseau d&rsquo autoroutes et trajet de coût minimal
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).

Pour cette question, on justifiera chaque réponse :
Voici les matrices N et N3 :

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles &bull Convexité &bull Primitives usuelles &bull Loi à densité &bull Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
afin de calculer l&rsquo intégrale.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Algorithme &bull Suites arithmétiques ou géométriques.
Les conseils du correcteur
Partie A
telle que
a pour limite 0.
Partie B
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles &bull Fonctions exponentielles &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Sens de variation.
Les conseils du correcteur
Partie A
.
sur un intervalle dépend du signe de
sur cet intervalle montrez que le signe de
est le même que celui de
et utilisez la question
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés &bull Loi de probabilité &bull Probabilités conditionnelles.
Les conseils du correcteur
et
constituent une partition de l&rsquo univers.
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés &bull Matrice associée à un graphe &bull Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
donne le nombre de chemins de 4 étapes entre deux sommets.
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n&rsquo est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point.