Sujet complet du Liban 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet du Liban 2013
 
 

Liban 2013

Corrigé

4

Sujets complets

matT_1305_09_00C

 

Liban • Mai 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions, la loi normale et les intervalles de confiance : 5 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

>1. Parmi toutes les fonctions définies sur et dont l’expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :

a)

b)

c)

d)

>2. Une primitive de sur définie par est la fonction définie par :

a)

b)

c)

d)

>3. La valeur exacte de l’intégrale est égale à :

a)

b)

c)

d)

>4. Si une variable aléatoire suit la loi normale N(1  4), alors une valeur approchée au centième de est :

a) 0,15

b) 0,09

c) 0,34

d) 0,13

>5. Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.

L’intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

a)

b)

c)

d)

Exercice 2 (5 points)
Étude de l’évolution de la population d’une ville

Commun à tous les candidats

partie a

On considère la suite définie par et pour tout entier naturel  :

>1. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel . (0,5 point)

>2. Déterminer la limite de la suite et en déduire celle de la suite . (0,75 point)

partie b

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que, chaque année :

10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville 

1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

>1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite , où désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année . (0,5 point)

>2. Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année . (0,5 point)

 

VARIABLES :

a, i, n

INITIALISATION :

Choisir n

a prend la valeur 10

TRAITEMENT :

Pour i allant de 1 à n

a prend la valeur ……

SORTIE :

Afficher a

 

>3.a)  Résoudre l’inéquation . (0,75 point)

b) En donner une interprétation. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Étude d’un coût de fabrication

Commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction définie sur l’intervalle [5  60] par :

>1. On désigne par la dérivée de la fonction .

Montrer que, pour tout , (0,5 point)

>2. On considère la fonction définie sur [5  60] par :

a) Montrer que la fonction est strictement croissante sur [5  60]. (0,5 point)

b) Montrer que l’équation possède une unique solution dans [5  60]. (0,75 point)

c) Donner un encadrement à l’unité de . (0,5 point)

d) En déduire le tableau de signes de sur [5  60]. (0,5 point)

>3. En déduire le tableau de variation de sur [5  60]. (0,5 point)

>4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a). (0,5 point)

b). (0,5 point)

partie b

Une entreprise fabrique chaque mois vélos de course, avec appartenant à l’intervalle [5  60].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.

Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75point)

Exercice 4 (5 points)
Location de terrains de squash

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Un propriétaire d’une salle louant des terrains de squash s’interroge sur le taux d’occupation de ses terrains. Sachant que la location d’un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).

Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s’apercevoir que :

lorsque l’heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés 

lorsque l’heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les événements :

C « l’heure est creuse »,

T « le terrain est occupé ».

>1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités. (0,75 point)

>2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse. (0,5 point)

>3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé. (0,75 point)

>4. Montrer que la probabilité que l’heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à . (1 point)

Dans le but d’inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d’un terrain, des tarifs différenciés :

10 € pour une heure pleine,

6 € pour une heure creuse.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d’un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :

10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,

6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,

0 lorsque le terrain n’est pas occupé.

>5. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de (0,75 point)

>6. Déterminer l’espérance de X. (0,5 point)

>7. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. (0,75 point)

Exercice 4 (5 points)
Étude d’un réseau d’autoroutes et trajet de coût minimal

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).


 

Pour cette question, on justifiera chaque réponse :

>1.a)  Déterminer l’ordre du graphe. (0,5 point)

b) Déterminer si le graphe est connexe. (0,5 point)

c) Déterminer si le graphe est complet. (0,5 point)

>2. Un touriste atterrit à l’aéroport de Lyon et loue une voiture. Déterminer, en justifiant, s’il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. (1 point)

>3. Il décide finalement d’aller seulement de Lyon à Biarritz. On note N la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l’ordre alphabétique B, C, L, M, P, R, T, V, Z.

Voici les matrices N et N3 :

et

a) En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice N4. (0,5 point)

b) En donner une interprétation. (0,5 point)

>4. Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix du péage en euros :


 

a) À l’aide de l’algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz. (1 point)

b) Déterminer le coût, en euros, de ce trajet. (0,5 point)

Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Convexité • Primitives usuelles • Loi à densité • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

>1. D’après le cours, une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive.

>2.F est une primitive de f si et seulement si f est la dérivée de F.

>3. Déterminez une primitive de la fonction afin de calculer l’intégrale.

>5. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est un intervalle auquel, d’après le sondage, la cote de popularité du maire appartient avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Algorithme • Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Partie B

>3.a) Vous pouvez utiliser la fonction ln.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Fonctions exponentielles • Théorème des valeurs intermédiaires • Sens de variation.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Utilisez la formule donnant la dérivée d’une fonction de la forme .

>2.b) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

>3. Le sens de variation de sur un intervalle dépend du signe de sur cet intervalle  montrez que le signe de est le même que celui de et utilisez la question 2.d).

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Loi de probabilité • Probabilités conditionnelles.

Les conseils du correcteur

>2. La probabilité demandée est la probabilité de l’intersection de deux événements, ce n’est pas une probabilité conditionnelle.

>3. Utilisez le fait que et constituent une partition de l’univers.

>4. La probabilité qui intervient dans cette question est une probabilité conditionnelle  utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle et les réponses aux questions précédentes.

>5. Une variable aléatoire est une fonction qui, à chaque issue d’une expérience aléatoire, associe un nombre. On décrit sa loi en donnant les valeurs que peut prendre cette variable aléatoire et les probabilités correspondantes.

>7. Tenez compte du nombre de terrains et du nombre d’heures d’ouverture de la salle dans la semaine, et utilisez le résultat de la question 6.

Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

>1. Utilisez les définitions : ordre d’un graphe, graphe connexe, graphe complet.

>2. Déterminez le degré des sommets et utilisez le théorème d’Euler.

>3.b) Chaque coefficient de la matrice donne le nombre de chemins de 4 étapes entre deux sommets.

>4.a) Un chemin qui minimise le coût du péage ne comporte pas nécessairement un nombre d’arêtes minimal.