Liban 2013
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4
Sujets complets
matT_1305_09_00C
Liban • Mai 2013
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
QCM sur les fonctions, la loi normale et les intervalles de confiance : 5 questions
et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :
sur 
définie par 
est la fonction 
définie par :
est égale à :
suit la loi normale 
est :
L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :
Exercice 2 (5 points)
Étude de l'évolution de la population d'une ville
Commun à tous les candidats
partie a
On considère la suite 
définie par 
et pour tout entier naturel 
:
définie pour tout entier naturel 
par :
.
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (1 point)
en fonction de 
. (0,5 point)
. (0,5 point)
et en déduire celle de la suite 
. (0,75 point)
partie b
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que, chaque année :
10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville
1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
, où 
désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 
. (0,5 point)
. (0,5 point)
| VARIABLES : | a, i, n |
| INITIALISATION : | Choisir n a prend la valeur 10 |
| TRAITEMENT : | Pour i allant de 1 à n a prend la valeur …… |
| SORTIE : | Afficher a |
. (0,75 point)
Exercice 3 (5 points)
Étude d'un coût de fabrication
Commun à tous les candidats
partie a
On considère la fonction 
définie sur l'intervalle [5 60] par :
la dérivée de la fonction 
.
Montrer que, pour tout 
, 
(0,5 point)
définie sur [5 60] par :
est strictement croissante sur [5 60]. (0,5 point)
possède une unique solution 
dans [5 60]. (0,75 point)
. (0,5 point)
sur [5 60]. (0,5 point)
sur [5 60]. (0,5 point)
. (0,5 point)
. (0,5 point)
partie b
Une entreprise fabrique chaque mois 
vélos de course, avec 
appartenant à l'intervalle [5 60].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de 
vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. (0,75 point)
Exercice 4 (5 points)
Location de terrains de squash
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains. Sachant que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).
Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.
Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que :
lorsque l'heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés
lorsque l'heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.
On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les événements :
C « l'heure est creuse »,
T « le terrain est occupé ».
. (1 point)
Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés :
10 € pour une heure pleine,
6 € pour une heure creuse.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :
10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,
6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,
0 lorsque le terrain n'est pas occupé.
(0,75 point)
Exercice 4 (5 points)
Étude d'un réseau d'autoroutes et trajet de coût minimal
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z).
Pour cette question, on justifiera chaque réponse :
Voici les matrices N et N3 :
et 
Exercice 1. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Convexité • Primitives usuelles • Loi à densité • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
afin de calculer l'intégrale.
Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Algorithme • Suites arithmétiques ou géométriques.
Les conseils du correcteur
Partie A
telle que 
a pour limite 0.
Partie B
Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Fonctions exponentielles • Théorème des valeurs intermédiaires • Sens de variation.
Les conseils du correcteur
Partie A
.
sur un intervalle dépend du signe de 
sur cet intervalle montrez que le signe de 
est le même que celui de 
et utilisez la question
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés • Loi de probabilité • Probabilités conditionnelles.
Les conseils du correcteur
et 
constituent une partition de l'univers.
Exercice 4. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
donne le nombre de chemins de 4 étapes entre deux sommets.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. Étudier la convexité d'une fonction
Les quatre fonctions proposées sont deux fois dérivables sur 
.
Parmi ces quatre fonctions, la fonction 
définie par 
est la seule dont la dérivée seconde est positive sur 
Les expressions des dérivées secondes des trois autres fonctions sont :
> 2. Déterminer une primitive d'une fonction
Soit 
la fonction définie sur 
par 
.
est dérivable sur 
et, pour tout 
dans cet intervalle :
Les expressions des dérivées des trois autres fonctions sont :
> 3. Calculer une intégrale
Notez bien
Par définition d'une intégrale, 
, où 
est une primitive de 
.
Une primitive sur 
est la fonction 
. D'où :
> 4. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
Attention
Lorsque 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
, on dit que 
suit la loi normale 
.
La variable aléatoire 
suit la loi normale 
et d'écart type 
.
D'après la calculatrice, 
est égale à environ 0,14988.
> 5. Déterminer un intervalle de confiance
Si la fréquence 
d'individus satisfaits de leur maire est 0,55 sur un échantillon de taille 
, alors, puisque les conditions 
sont remplies, l'intervalle de confiance de niveau 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :
Exercice 2
Commun à tous les candidats
partie a
> 1. a) Démontrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
Son premier terme est 
b) Donner l'expression d'un terme d'une suite géométrique
On en déduit que, pour tout entier naturel 
:
c) Donner l'expression d'un terme d'une suite
Pour tout entier naturel, 
, donc 
.
D'après la question précédente :
> 2. Déterminer les limites de deux suites
est une suite géométrique de raison 0,9 et 
, donc :
.
Notez bien
La suite 
est donc une suite convergente.
Pour tout entier naturel 
, 
, donc :
partie b
> 1. Modéliser l'évolution d'une population par une suite
On note 
le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 
.
Le nombre d'habitants de la ville de Bellecité de l'année 
est égal à 90 % du nombre d'habitants de la ville l'année précédente 
(puisque 10 % des habitants meurent ou déménagent dans une autre ville, 90 % restent), auxquels s'ajoutent, d'après l'énoncé, 1 200 personnes (naissances ou personnes arrivant d'une autre ville), soit 1,2 millier de personnes.
D'où 
pour tout entier naturel 
.
> 2. Utiliser un algorithme pour calculer un terme d'une suite
Notez bien
Dans l'algorithme, 
est un « compteur » qui permet de déterminer le nombre de répétitions dans la boucle.
Pour que l'algorithme donné calcule la population de la ville de Bellecité l'année 
, on complète la partie « TRAITEMENT » :
| VARIABLES : | a, i, n |
| INITIALISATION : | Choisir n a prend la valeur 10 |
| TRAITEMENT : | Pour i allant de 1 à n a prend la valeur |
| SORTIE : | Afficher a |
> 3. a) Résoudre une inéquation dont l'inconnue est un entier
Notez bien
La fonction ln est strictement croissante sur 
: elle « conserve l'ordre ».
équivaut successivement à :
Attention
On divise par 
et 
car 
. On inverse donc le sens de l'inégalité.
.
Info
On peut vérifier ce résultat avec l'algorithme de la question précédente :
avec 
, on obtient 11,491627 et 11,491627
avec 
, on obtient 11,542464 et 11,542464 > 11,5.
.
Donc 
équivaut à :
b) Interpréter les solutions d'une inéquation
, c'est-à-dire à partir de 2026.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
partie a
On considère la fonction 
définie sur l'intervalle [5 60] par :
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Info
On utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions.
Pour tout 
:
> 2. a) Étudier le sens de variation d'une fonction
Info
On utilise la formule de dérivation du produit de deux fonctions.
Pour tout 
:
Donc, pour tout 
, 
.
b) Montrer qu'une équation a une unique solution
La fonction 
est continue et strictement croissante sur [5 60].
(au dixième près).
Donc 
.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone : 
c) Donner un encadrement d'une solution d'une équation
D'après la calculatrice, 
et 
au dixième près, donc 
, soit 
.
f étant strictement croissante sur [5 60] :
d) Étudier le signe d'une fonction sur un intervalle
D'après les questions précédentes :
- si
, alors 
- si
, alors 
.
Ces résultats peuvent être résumés par un tableau de signes :
> 3. Étudier le sens de variation d'une fonction
D'après la question 
, 
.
Donc 
a le même signe que 
On peut en déduire le tableau de variation de 
sur [5 60] :
au centième près.
> 4. a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation C(x) = 2
La fonction 
atteint son minimum en 
.
D'après la question 
.
au centième près, donc 
.
possède donc deux solutions dans l'intervalle [5 60] : une dans 
.
b) Déterminer le nombre de solutions de l'équation C(x) = 5
Pour tout x appartenant à 
.
possède une seule solution dans [5 60]
partie b
Minimiser un coût de fabrication
D'après la partie 
atteint son minimum en 
et 
.
Le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal est donc 25 ou 26.
Or, 
.
Exercice 4
Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré
Notez bien
D'après l'énoncé, 70 % des heures de la semaine sont creuses, donc 
.
La situation peut être représentée par l'arbre de probabilités suivant :
> 2. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
Notez bien
car, d'après l'énoncé, lorsqu'une heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés.
La probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse est :
.
> 3. Calculer la probabilité d'un événement
La probabilité que le terrain soit occupé est 
Puisque 
et 
constituent une partition de l'univers :
Or 
(d'après la question précédente) et, de même,
D'où 
.
> 4. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité que l'heure soit pleine sachant que le terrain est occupé est 
.
Par définition d'une probabilité conditionnelle, la probabilité de l'événement T étant non nulle :
.
> 5. Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire
La loi de probabilité de 
est donnée par le tableau suivant :
| x | 0 | 6 | 10 |
| P(X = x) | 0,59 | 0,14 | 0,27 |
Notez bien
Dans le tableau donnant la loi de probabilité d'une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 1.
En effet :
.
.
.
> 6. Calculer l'espérance d'une variable aléatoire
L'espérance 
de la variable aléatoire 
est :
> 7. Calculer une recette hebdomadaire moyenne
L'espérance calculée à la question précédente donne la recette moyenne par terrain et par heure d'ouverture.
La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine et 
.
Donc
Exercice 4
Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
> 1. a) Déterminer l'ordre d'un graphe
Le graphe donné comporte 9 sommets correspondant aux 9 villes considérées.
Donc
b) Déterminer si un graphe est connexe
Il existe une chaîne entre deux sommets quelconques on peut se rendre d'une ville quelconque à une autre en empruntant les autoroutes considérées.
Donc
c) Déterminer si un graphe est complet
Il n'existe pas d'arête d'extrémités B et M concrètement, il n'existe pas d'autoroute « directe » entre Bordeaux et Marseille.
Donc
> 2. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne
Info
Une chaîne eulérienne est une chaîne qui contient une fois et une seule chacune des arêtes.
Un touriste partant de Lyon pourra visiter toutes les villes en empruntant une fois et une seule chaque autoroute si et seulement si le graphe possède une chaîne eulérienne dont l'une des extrémités est L.
Info
Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité.
D'après le théorème d'Euler, pour qu'il existe une chaîne eulérienne dont L est l'une des extrémités, il faut que le graphe ait au plus deux sommets de degré impair.
Or B, R, C et V sont de degré 3.
Notez bien
La réponse est la même quelle que soit la ville de départ.
Puisqu'il y a au moins quatre sommets de degré impair, le graphe ne comporte pas de chaîne eulérienne.
> 3. a) Déterminer un coefficient du produit de deux matrices
Si on écrit 
, le coefficient 
de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice 
s'obtient à partir de la troisième ligne de N et de la dernière colonne de 
:
b) Donner une interprétation concrète d'un coefficient d'une matrice
Notez bien
Le coefficient de la 
ligne et 
colonne de 
donne le nombre de chemins permettant d'aller du sommet 
au sommet 
en 
étapes.
D'après le résultat précédent,
> 4. a) Rechercher sur un graphe pondéré un chemin de « poids » minimal
Info
Dans cette question, on utilise un graphe pondéré. Le « poids » attribué à chaque arête est le prix du péage en euros entre les deux villes reliées par cette arête.
On utilise l'algorithme de Dijkstra pour déterminer le chemin « le moins cher » de Lyon à Biarritz. Cet algorithme peut se traduire par le tableau suivant :
| B | C | L | M | P | R | T | V | Z |
| ∞ | ∞ | 0 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| ∞ | 10,70 (L) |
| ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 7,10 (L) | ∞ |
| ∞ | 10,70 (L) |
| 22,80 (V) | 23,30 (V) | ∞ | ∞ |
| ∞ |
| ∞ |
|
| 22,80 (V) | 19,30 (C) | 22,20 (C) | ∞ |
| ∞ |
| ∞ |
|
| 22,80 (V) |
| 22,20 (C) | 38,90 (P) |
| ∞ |
| 33,70 (R) |
|
| 22,80 (V) |
|
| 36,80 (R) |
| ∞ |
| 33,70 (R) |
|
|
|
|
| 36,80 (R) |
| ∞ |
|
|
|
|
|
|
| 36,80 (R) |
| 38,10 (B) |
On en déduit que le chemin de Lyon à Biarritz qui minimise le coût des péages est :
c'est-à-dire
b) Déterminer un « poids » minimal sur un graphe pondéré
D'après l'algorithme de Dijkstra,
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.