Sujet complet du Liban 2014

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet du Liban 2014

Liban • Mai 2014

matT_1405_09_01C

Sujets complets

3

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Clientèle d’une pizzeria et pourboires

Commun à tous les candidats

Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu’en moyenne, 40 % des clients sont des familles, 25 % des clients sont des personnes seules et 35 % des clients sont des couples.

Il note aussi que :

  • 70 % des familles laissent un pourboire ;
  • 90 % des personnes seules laissent un pourboire ;
  • 40 % des couples laissent un pourboire.

Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria.

On s’intéresse aux événements suivants :

F : « la table est occupée par une famille »

S : « la table est occupée par une personne seule »

C : « la table est occupée par un couple »

R : « le serveur reçoit un pourboire »

On note l’événement contraire de A et la probabilité de A, sachant B.

Partie A

>1. D’après les données de l’énoncé, préciser les probabilités (F) et . (0,5 point)

>2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : (1 point)


>3. a) Calculer . (0,5 point)

b) Déterminer . (0,5 point)

>4. Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire vienne d’un couple. Le résultat sera arrondi à . (0,5 point)

Partie B

On note X la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro des pourboires obtenus par le serveur.

On admet que X suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à .

>1. Calculer :

a) la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros ; (0,5 point)

b)(0,5 point)

>2. Calculer la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 20 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 24 euros. (1 point)

Exercice 2 (4 points)
QCM sur les probabilités (loi binomiale, intervalle de fluctuation, intervalle de confiance) : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

On ne demande pas de justification. Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’apporte, ni n’enlève de point.

Un fumeur est dit fumeur régulier s’il fume au moins une cigarette par jour.

En 2010, en France, la proportion notée de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de 0,236. (Source : Inpes)

On a .

>1. La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à près :

a) 0,236

b) 0

c) 0,068

d) 0,764

>2. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :

Les bornes de chaque intervalle sont données à 10–3 près.

a) [0,198 ; 0,274]

b) [0,234 ; 0,238]

c) [0,191 ; 0,281]

d) [0,192 ; 0,280]

>3. La taille de l’échantillon choisi afin que l’amplitude de l’intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01 vaut :

a)

b)

c)

d)

>4. Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont des filles. Au seuil de 95 %, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :

(Les bornes de chaque intervalle sont données à 10–3 près.)

a) [0,35 ; 0,45]

b) [0,33 ; 0,46]

c) [0,39 ; 0,40]

d) [0,30 ; 0,50]

Exercice 3 (5 points)
Évolution du nombre d’inscrits à une médiathèque, modélisation par une suite numérique

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2 500 inscriptions en 2013.

Elle estime que, chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l’année suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents.

On modélise cette situation par une suite numérique .

On note le nombre d’inscrits à la médiathèque en 2013 et représente le nombre d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2013 +n.

>1. a) Calculer et . (0,5 point)

b) Justifier que, pour tout entier naturel , on a la relation :

. (0,75 point)

>2. On pose, pour tout entier naturel , .

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de premier terme et de raison . (0,75 point)

b) En déduire que le terme général de la suite est :

. (0,5 point)

c) Calculer la limite de la suite . (0,5 point)

d) Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhérents à la médiathèque si le schéma d’inscription reste le même au cours des années à venir ? (0,75 point)

>3. On propose l’algorithme suivant :


Variables :

Initialisation :

Traitement :

Sortie :


N entier

A réel

N prend la valeur 0

A prend la valeur 2 500

Tant que A– 2 000 > 50

A prend la valeur

N prend la valeur N + 1

Fin du Tant que

Afficher N

Corrigé

Exervcice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Déduire deux probabilités des données de l’énoncé

40 % des clients sont des familles, d’où :

90 % des personnes seules laissent un pourboire, d’où :

>2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

La situation peut être représentée par l’arbre ci-dessous :


>3. a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

Attention

Ce nombre est la probabilité que la table choisie soit celle d’une famille qui laisse un pourboire.

D’après l’arbre :

=

=

b) Calculer une probabilité en utilisant une partition de l’univers

Notez bien

La clientèle de la pizzeria se répartit en trois catégories n’ayant pas d’élément commun : les familles, les personnes seules, les couples.

F, C et S constituent une partition de l’univers, d’où :

=.

Notez bien

64,5 % des clients laissent un pourboire.

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est .

Par définition d’une probabilité conditionnelle, étant non nulle :

.

Partie B

>1. a) Calculer une probabilité associée à une loi normale

Info

Ce résultat pouvait être obtenu sans calculatrice. En effet, et .

D’après le cours, si X suit la normale d’espérance et d’écart-type , alors :

.

La probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros est .

D’après la calculatrice et en arrondissant à  :

b) Calculer une probabilité associée à une loi normale

Puisque X suit une loi normale d’espérance 15, .

Donc .

Or d’après la calculatrice, , donc :

>2. Calculer une probabilité conditionnelle associée à une loi normale

Soit A l’événement « le montant des pourboires est compris entre 6 et 24 euros » et B l’événement « le montant des pourboires est supérieur à 20 euros ».

La probabilité cherchée est , qui est égale à .

Or d’après la question 1. a).

est l’événement « le pourboire est compris entre 6 et 24 euros et supérieur à 20 euros », donc est l’événement « le pourboire est compris entre 20 et 24 euros ».

D’après la calculatrice, , d’où :

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité qu’un jeune de 15 à 19 ans choisi au hasard ne soit pas un fumeur régulier est , soit 0,764.

Si on choisit 10 jeunes de 15 à 19 ans au hasard et de manière indépendante, la probabilité qu’aucun ne soit fumeur régulier est .

La bonne réponse estc).

>2. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence d’un caractère dans un échantillon de taille d’une population dans laquelle la proportion d’individus possédant le caractère est est :

.

Ici, et  ; on arrondit la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès, de façon à obtenir un intervalle contenant l’intervalle exact :

soit, à 10–3 près,

La bonne réponse esta).

>3. Déterminer la taille minimale d’un échantillon

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 donné dans la question précédente a une amplitude égale à .

On cherche donc un entier (taille de l’échantillon) tel que :

Cette inégalité équivaut à :

.

Or et est un entier.

La bonne réponse estd).

>4. Déterminer un intervalle de confiance

La fréquence de filles dans l’échantillon considéré est .

Un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est :

avec (taille de l’échantillon).

On arrondit la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès :

soit, à 10–2 près, I= [0,33 ; 0,46].

La bonne réponse estb).

Exercice 3

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. a) Calculer le nombre d’inscrits à une médiathèque un an et deux ans après son ouverture

Puisque chaque année, 80 % des inscrits renouvellent leur inscription et qu’il y a 400 nouveaux adhérents :

.

Si l’estimation du nombre d’inscrits est correcte, il y aura 2 400 inscrits en 2014 et 2 320 inscrits en 2015.

b) Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

En généralisant le raisonnement de la question précédente, on peut écrire que, pour tout entier naturel  :

>2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

.

Donc .

Or , donc , donc :

.

est donc une suite géométrique de raison 0,8 ;son premier terme est :

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

D’après la question précédente, pour tout entier naturel  :

.

Donc :

c) Calculer la limite d’une suite associée à une suite géométrique

car est une suite géométrique de raison 0,8 et . De plus, an=vn+ 2 000, donc :

d) Interpréter concrètement la limite d’une suite

On en déduit que, si le « schéma d’inscription » (c’est-à-dire l’évolution du nombre d’inscrits d’une année à la suivante) reste le même au cours des années à venir, la médiathèque aura un nombre d’inscrits proche de 2 000 au bout d’un grand nombre d’années.

>3. a) Expliquer le résultat fourni par un algorithme donné

Notez bien

On peut vérifier ce résultat en programmant sur la calculatrice le calcul des premiers termes de la suite . On obtient et .

L’algorithme donné permet de déterminer le nombre d’années écoulées de 2013 à la première année où le nombre d’inscrits est inférieur à 2 050.

b) Déterminer à l’aide de la calculatrice le résultat obtenu grâce à un algorithme

En programmant la calculatrice, on obtient à l’affichage .

Si l’évolution se poursuit de la même manière, le nombre d’inscrits devient pour la première fois inférieur à 2 050 en 2024.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. Déterminer si un graphe est connexe

Deux sommets quelconques sont reliés par une chaîne. On peut passer d’une salle quelconque à une autre par un passage ou une suite de passages.

Donc le graphe est connexe.

>2. Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

Notez bien

Une chaîne eulérienne peut passer plusieurs fois par le même sommet.

Une chaîne eulérienne d’un graphe est une chaîne contenant une fois et une seule chaque arête du graphe, c’est-à-dire ici un chemin utilisant une fois et une seule chaque passage.

Info

Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont une extrémité est ce sommet.

D’après le théorème d’Euler, un graphe connexe possède une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.

On peut résumer dans un tableau les degrés des différents sommets du graphe :


Sommet


A


B


C


D


E


F


H


Degré


4


2


4


3


4


3


2