Sujet complet du Liban 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Sujet complet du Liban 2015

Liban &bull Mai 2015

matT_1505_09_01C

Sujets complets

3

Liban &bull Mai 2015

Sujet complet &bull 20 points

Exercice 1 (4 points)
Vrai-faux sur les fonctions

Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n&rsquo est pas prise en compte. Une absence de réponse n&rsquo est pas pénalisée.

&gt 1. On donne ci-dessous le tableau de variations d&rsquo une fonction définie sur l&rsquo intervalle .


&nbsp

Proposition 1 : L&rsquo équation admet une unique solution dans l&rsquo intervalle .

&gt 2. On considère une fonction définie et dérivable sur l&rsquo intervalle et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction , fonction dérivée de la fonction sur l&rsquo intervalle .


&nbsp

Proposition 2 : La fonction est strictement décroissante sur l&rsquo intervalle .

Proposition 3 : La fonction est concave sur l&rsquo intervalle .

&gt 3. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction définie sur l&rsquo intervalle par .


&nbsp

Proposition 4 : La fonction est une fonction de densité de probabilité sur l&rsquo intervalle .

Exercice 2 (5 points)
Fabrication de parasols et coût unitaire minimal

Commun à tous les candidats

Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction définie et dérivable sur l&rsquo intervalle .

On note le nombre de parasols produits par jour et le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.

Dans le repère orthogonal ci-après, on a tracé la courbe représentative de la fonction et la tangente à la courbe au point . Le point appartient à la tangente .

On admet que pour tout appartenant à l&rsquo intervalle .


&nbsp

&gt 1.a) Déterminer graphiquement la valeur de en expliquant la démarche utilisée. (0,5 point)

b) Déterminer l&rsquo expression de pour tout appartenant à l&rsquo intervalle . (0,5 point)

c) Expliquer comment retrouver la réponse obtenue dans la question 1. a). (0,5 point)

&gt 2.a) Montrer que est équivalent à . (0,5 point)

b) En déduire le signe de et le tableau de variations de sur . Les valeurs seront arrondies au centime d&rsquo euro dans le tableau de variations. (1 point)

&gt 3. Déterminer, par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l&rsquo entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal. (0,5 point)

&gt 4.a) Montrer que la fonction définie par :

est une primitive de sur l&rsquo intervalle . (0,5 point)

b) Déterminer la valeur exacte de l&rsquo intégrale . (0,5 point)

c) Interpréter dans le contexte de l&rsquo exercice la valeur de . (0,5 point)

Exercice 3 (6 points)
Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d&rsquo une machine

Commun à tous les candidats

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10&ndash 3.

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.

La totalité de la production est réalisée par deux machines et .

La machine fournit 40 % de la production totale et le reste.

La machine produit 2 % de médailles défectueuses et la machine produit 3 % de médailles défectueuses.

Partie A

On prélève au hasard une médaille fabriquée par l&rsquo entreprise et on considère les événements suivants :

  •  : &laquo  la médaille provient de la machine  &raquo  
  • : &laquo  la médaille provient de la machine  &raquo  
  •  : &laquo  la médaille est défectueuse &raquo  
  • est l&rsquo événement contraire de .

&gt 1.a) Traduire cette situation par un arbre pondéré. (0,5 point)

b) Montrer que la probabilité qu&rsquo une médaille soit défectueuse est égale à 0,026. (0,5 point)

c) Calculer la probabilité qu&rsquo une médaille soit produite par la machine  sachant qu&rsquo elle est défectueuse. (0,75 point)

&gt 2. Les médailles produites sont livrées par lots de 20.

On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.

On suppose que la production est assez importante pour que l&rsquo on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.

On note la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.

a) Préciser la loi que suit et donner ses paramètres. (0,75 point)

b) Calculer la probabilité qu&rsquo il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot. (0,5 point)

Partie B

Le diamètre, exprimé en millimètre, d&rsquo une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu&rsquo il appartient à l&rsquo intervalle .

On note la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne &micro et d&rsquo écart-type 0,25.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de .


&nbsp

&gt 1. Indiquer par lecture graphique la valeur de &micro . (0,5 point)

&gt 2. Déterminer à l&rsquo aide de la calculatrice la probabilité :

. (0,5 point)

&gt 3. En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de pour que :

(0,5 point)

Partie C

Dans le cadre d&rsquo un fonctionnement correct de la machine , on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est 3 %.

Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine , on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

&gt 1. Calculer, dans l&rsquo échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l&rsquo épaisseur n&rsquo est pas conforme. (0,5 point)

&gt 2. Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d&rsquo arrêter la production pour procéder au réglage de la machine . (1 point)

Exercice 4 (5 points)
Volume d&rsquo eau d&rsquo une retenue artificielle

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L

Une retenue d&rsquo eau artificielle contient 100 000 m3 d&rsquo eau le 1er juillet 2013 au matin.

La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l&rsquo eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m3 pour l&rsquo irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite .

Le 1er juillet 2013 au matin, le volume d&rsquo eau en m3 est .

Pour tout entier naturel supérieur à 0, désigne le volume d&rsquo eau en m3 au matin du -ième jour qui suit le 1er juillet 2013.

&gt 1. a) Justifier que le volume d&rsquo eau au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m3. (0,5 point)

b) Déterminer le volume d&rsquo eau au matin du 3 juillet 2013. (0,5 point)

c) Montrer que, pour tout entier naturel , on a . (0,5 point)

&gt 2. Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d&rsquo eau, on a commencé par élaborer l&rsquo algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu&rsquo il donne le résultat attendu. (1 point)

&nbsp

L1

Variables :

est un nombre réel

L2

est un entier naturel

L3

Traitement :

Affecter à la valeur 100 000

L4

Affecter à la valeur 0

L5

Tant que

L6

Affecter à la valeur &hellip &hellip &hellip &hellip

L7

Affecter à la valeur &hellip &hellip &hellip &hellip

L8

Sortie :

Fin Tant que

L9

Afficher &hellip &hellip &hellip &hellip

&nbsp

&gt 3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,96. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel  :

. (0,5 point)

&gt 4. a) Résoudre dans l&rsquo ensemble des entiers naturels l&rsquo inéquation :

. (0,5 point)

b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l&rsquo énoncé. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points)
Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).

Une étude a montré que, d&rsquo une année à l&rsquo autre :

  • 41 % des clients de l&rsquo opérateur SAFIR le quittent pour l&rsquo opérateur TECIM 
  • 9 % des clients de l&rsquo opérateur TECIM le quittent pour l&rsquo opérateur SAFIR 
  • aucun client ne renonce à l&rsquo utilisation de la 4G.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets S et T où :

  • S est l&rsquo événement &laquo  l&rsquo utilisateur de la 4G est un client de l&rsquo opérateur SAFIR &raquo  
  • T est l&rsquo événement &laquo  l&rsquo utilisateur de la 4G est un client de l&rsquo opérateur TECIM &raquo .

Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel  :

  • la probabilité que cet utilisateur soit un client de l&rsquo opérateur SAFIR en
  • la probabilité que cet utilisateur soit un client de l&rsquo opérateur TECIM en .

On note la matrice ligne de l&rsquo état probabiliste pour l&rsquo année .

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l&rsquo opérateur TECIM atteindra l&rsquo objectif d&rsquo avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.

Partie A

&gt 1. Dessiner le graphe probabiliste G. (0,5 point)

&gt 2. On admet que la matrice de transition du graphe G en considérant les sommets dans l&rsquo ordre S et T est .

On note la matrice ligne correspondant à l&rsquo état stable de ce graphe G.

a) Montrer que les nombres et sont solutions du système 

. (0,25 point)

b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)

&gt 3. On admet que et .

Déterminer en justifiant si l&rsquo opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)

Partie B

En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l&rsquo opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l&rsquo opérateur TECIM. Ainsi .

&gt 1. Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans. (0,25 point)

&gt 2. Montrer que, pour tout entier naturel , on a . (0,5 point)

&gt 3. Pour déterminer au bout de combien d&rsquo années l&rsquo opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l&rsquo algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu&rsquo il donne le résultat attendu. (0,75 point)

&nbsp

L1

Variables :

est un nombre

L2

est un nombre entier

L3

Traitement :

Affecter à la valeur 0,65

L4

Affecter à la valeur 0

L5

Tant que

L6

Affecter à la valeur &hellip &hellip &hellip &hellip

L7

Affecter à la valeur &hellip &hellip &hellip &hellip

L8

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher &hellip &hellip &hellip &hellip

&nbsp

&gt 4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que . (0,5 point)

c) Résoudre dans l&rsquo ensemble des entiers naturels l&rsquo inéquation :

. (0,5 point)

d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l&rsquo énoncé. (0,25 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Convexité &bull Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

&gt 2. La courbe donnée représente la fonction . Le signe de donne les variations de , le sens de variation de est lié à la convexité de .

&gt 3. Une fonction définie sur un intervalle est une fonction de densité sur cet intervalle si et seulement si elle est continue et positive sur et son intégrale sur est égale à 1.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Tangente &bull Fonction exponentielle &bull Fonction logarithme népérien &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.

Les conseils du correcteur

&gt 1.a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d&rsquo abscisse 5.

&gt 2. a) Utilisez la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante sur .

&gt 3. Le nombre de parasols produits chaque jour est un nombre entier.

&gt 4.a) est une primitive de si et seulement si est la dérivée de .

b) Utilisez la fonction de la question précédente.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi binomiale &bull Loi à densité, loi normale &bull Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1.c) La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

&gt 2.c) Si on appelle &laquo  succès &raquo l&rsquo événement &laquo  la médaille est défectueuse &raquo , la variable aléatoire est égale au nombre de succès lors de la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Partie B

&gt 1. Si est une variable aléatoire qui suit une loi normale d&rsquo espérance &micro , alors la courbe représentative de sa densité de probabilité a pour axe de symétrie la droite d&rsquo équation .

Partie C

&gt 2. Après avoir vérifié les conditions de validité, utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence relatif aux échantillons de taille 180, dans le cas où la proportion de médailles défectueuses sur l&rsquo ensemble des médailles produites est égale à 0,03.

Exercice 4 (Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel &laquo  Tant que &raquo &bull Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

&gt 3.b) Utilisez la formule du cours donnant l&rsquo expression du terme général d&rsquo une suite géométrique dont le premier terme et la raison sont connus.

&gt 4. a) On peut utiliser la fonction logarithme népérien.

Exercice 4 (Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Pourcentage instantané &bull Matrice &bull Graphe probabiliste &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel &laquo  Tant que &raquo &bull Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

&gt 2. L&rsquo état stable est associé à l&rsquo unique matrice ligne dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que .

Partie B

&gt 2. b) Utilisez la formule du cours donnant l&rsquo expression du terme général d&rsquo une suite géométrique dont le premier terme et la raison sont connus.