Sujet complet du Liban 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Sujet complet du Liban 2015

Liban • Mai 2015

matT_1505_09_02C

Sujets complets

5

Liban • Mai 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points)
Jouer avec un cube

Commun à tous les candidats


ABCDEFGH est un cube.

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].

On munit l’espace du repère orthonormé (A ; , , ).

>1. a) Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

>2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).

>3. Soit M le point d’intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point M.

>4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.

>5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.

>6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?

Exercice 2 (6 points)
Passons à la suite

Commun à tous les candidats

On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, un=.

>1. Calculer u0=.

>2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1+un=.

b) En déduire la valeur exacte de u1.

>3. a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.


Variables


i et n sont des entiers naturels

u est un réel


Entrée


Saisir n


Initialisation


Affecter à u la valeur…


Traitement


Pour i variant de 1 à…




Affecter à u la valeur…



Fin de Pour


Sortie


Afficher u

b) À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :


n


0


1


2


3


4


5


10


50


100


un


0,6931


0,3069


0,1931


0,1402


0,1098


0,0902


0,0475


0,0099


0,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut‑on émettre ?

>4. a) Démontrer que la suite (un) est décroissante.

b) Démontrer que la suite (un) est convergente.

>5. On appelle l la limite de la suite (un). Démontrer que l= 0.

Exercice 3 (3 points)
Casse-tête sur l’exponentielle

Commun à tous les candidats


On considère la courbe C d’équation y= ex, tracée ci-contre.

Pour tout réel m strictement positif, on note Dm la droite d’équation y=mx.

>1. Dans cette question, on choisit m= e.

Démontrer que la droite De d’équation y = ex est tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1.

>2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de la courbe C et de la droite Dm.

>3. Démontrer cette conjecture

Exercice 4 (5 points)
Deux candidats pour un siège

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

Compte tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

  • A l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
  • B l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
  • V l’événement « La personne interrogée dit la vérité ».

>1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.

>2. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.

b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.

>3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

>4. L’institut de sondage publie alors les résultats suivants :


52,9 % des électeurs* voteraient pour le candidat A.

* Estimation après redressement, fondée sur un sondage d’un échantillon représentatif de 1 200 personnes.

Au seuil de confiance de 95 %, le candidat A peut-il croire en sa victoire ?

>5. Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.

L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.

Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?

Exercice 4 (5 points)
Fumeur, arrête de fumer !

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :

  • s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
  • s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle pn la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et qn la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.

On suppose que p0= 0 et q0= 1.

>1. Calculer p1 et q1.

>2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites (pn) et (qn). Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :



A


B


C


D


1


n


pn


qn



2


0


0


1



3


1





4


2





5


3




Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel n.

Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites (pn) et (qn) ?

>3. On définit les matrices M et, pour tout entier naturel n, Xn par :

 et .

On admet que Xn+1= M × Xn et que, pour tout entier naturel n, Xn= Mn × X0.

On définit les matrices A et B par et .

a) Démontrer que M =A + 0,5B.

b) Vérifier que A2=A, et que A × B =B × A =.

On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif, An=A et Bn= B.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Mn= A +0,5nB.

d) En déduire que, pour tout entier naturel n, pn= 0,8 – 0,8 × 0,5n.

e) À long terme, peut-on affimer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Positions relatives  E24  → 1. a) et 6.
  • Décomposition d’un vecteur  E29  → 1. a) et 6.
  • Représentation paramétrique d’une droite  E30  → 2 et 3.
  • Équation cartésienne d’un plan  E33c  → 1. b) et 3.
  • Produit scalaire  E31c• E32  → 1. a) et 4.
  • Norme d’un vecteur  E31c  → 4.

Nos coups de pouce

>4. Calculez le produit scalaire puis les distances IJ et IK. Concluez.

>6. Déterminez les coordonnées du point L. Vérifiez que ce point appartient au plan (IJK). Déterminez ensuite les coordonnées du vecteur . Concluez.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Intégration • Algorithmique • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Primitives et intégrales  E11b• E11c• E11d• E13 • E15  → 1, 2. a), 4. a) et 4. b)
  • Logarithme népérien  E9a• E9d  → 1.
  • Suites  E2a• E2b• E2c• E2e  → 3. b), 4. et 5.

Algorithme

  • Obtention d’un terme d’indice donné  A3  → 3. a)

Nos coups de pouce

>2.b) Exprimez en fonction de en utilisant la relation établie à la question 2. a). Concluez à l’aide de la question 1.

>3.a) Utilisez la question 1. a) pour compléter la phase d’initialisation. Pour la phase de traitement, exprimez en fonction de à l’aide de la relation de récurrence établie à la question 2. a) et déterminez le nombre de fois qu’il est nécessaire d’utiliser cette relation pour afficher en sortie le terme demandé.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Positions relatives • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Tangente  E6b  → 1.
  • Fonction exponentielle  E8  → 1. et 3.
  • Étude de variations  E6c• E6e  → 3.
  • Théorème des valeurs intermédiaires  E7  → 3.

Nos coups de pouce

>2. Tracez à l’aide de votre calculatrice la courbe C puis la droite pour différentes valeurs de N’oubliez pas que le réel est strictement positif. Prenez en compte également l’étude du cas à la question 1. qui n’est pas anodine.

>3. Dressez le tableau de variations complet de la fonction définie sur ℝ par . Puis déterminez les éventuelles valeurs de pour lesquelles la fonction s’annule selon les valeurs prises par le réel strictement positif Concluez.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Estimation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Arbre pondéré  E37  → 1., 2. a) et 3.
  • Probabilité conditionnelle  E35  → 2. b)
  • Intervalle de confiance  E44  → 4.
  • Loi binomiale  E 39  → 5.

Nos coups de pouce

>3. Justifiez que l’événement A est associé aux deux feuilles et puis utilisez la formule des probabilités totales.

>4. Identifiez la taille de l’échantillon et la fréquence du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur et sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant. Concluez.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Suites • Probabilités • Tableur.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Arbre pondéré  E37  → 1. et 2.
  • Raisonnement par récurrence  E1  → 3. c)
  • Suites et limites  E2c• E4d  → 3. e)

Calculatrice

  • Calcul matriciel  C5  → 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

>1. et 2. Représentez les situations par un arbre pondéré. Identifiez les différents chemins sur l’arbre associés à l’événement étudié. Concluez par le calcul de la probabilité correspondante.

>3.d) Utilisez le résultat admis dans l’énoncé de la question 3. en prenant en compte l’égalité matricielle démontrée à l’aide d’une récurrence à la question 3. c).

>3.e) Calculez la limite de la suite quand tend vers l’infini. Interprétez.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1.a) Démontrer qu’une droite est orthogonale à un plan

  • Nous avons tout d’abord :

 (relation de Chasles)

 (J milieu de [EH])

 (I milieu de [AB])

 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère , le vecteur a pour coordonnées : .

De même :

 (relation de Chasles)

 (I milieu de [AB] et K milieu de [BC])

 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère , le vecteur a pour coordonnées : .

Et enfin :

 (relation de Chasles)

 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère , le vecteur a pour coordonnées : .

Les coordonnées des vecteurs et n’étant pas proportionnelles, ces deux vecteurs du plan (IJK) ne sont pas colinéaires. De plus, nous avons et . Ainsi, le vecteur , vecteur directeur de la droite (FD), est orthogonal aux deux vecteurs et , vecteurs non colinéaires du plan (IJK).

La droite (FD) est donc orthogonale au plan (IJK).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

D’après la question 1. a), la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK). Donc le vecteur de coordonnées est un vecteur normal à ce plan. Par suite, ce plan admet une équation cartésienne de la forme est un nombre réel à déterminer. Or, le point I, par exemple, appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient ainsi l’équation, à savoir . Comme I est le milieu du segment [AB], nous avons l’égalité suivante , ce qui implique que le point I a pour coordonnées . Ce qui nous amène à ainsi .

Le plan (IJK) a pour équation cartésienne :.

>2. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

Le point F appartient naturellement à la droite (FD) dont un vecteur directeur est le vecteur .

D’après la question 1. a), le vecteur a pour coordonnées .

Comme , le point F a pour coordonnées .

La droite (FD) admet alors pour représentation paramétrique :

,.

>3. Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

Comme le point M appartient à la droite (FD), il existe un nombre réel t tel que :

De plus, comme le point M appartient au plan (IJK), ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne déterminée à la question 1. b) : . Ce qui nous conduit au système suivant :

Le point M a donc pour coordonnées.

>4. Déterminer la nature d’un triangle

D’après la question 1. a), les vecteurs et ont pour coordonnées respectives :

 et 

Or . Ces vecteurs étant orthogonaux, les droites (IJ) et (IK) sont orthogonales. Comme le point I appartient à ces deux droites, elles sont perpendiculaires et donc le triangle IJK est rectangle en I.

Le point précédent implique naturellement que le triangle IJK ne peut pas être équilatéral. Par contre, il est possible que ce triangle soit isocèle en I.

Calculons alors les distances IJ et IK :

Notez bien

Aire (triangle) =

Comme , le triangle IJK n’est pas isocèle.

Le triangle IJK étant rectangle en I, son aire est donnée par :

.

>5. Déterminer le volume d’un tétraèdre

  • D’après la question 1. a), la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
  • D’après la question 3., la droite (FD) et le plan (IJK) ont un point commun : le point M.

Notez bien

Volume (tétraèdre)

Le tétraèdre FIJK de base IJK a ainsi pour hauteur le segment [FM] dont la longueur est :

Le volume du tétraèdre FIJK est donc :

.

>6. Montrer que des droites sont sécantes

Déterminons tout d’abord les coordonnées du point L :

 (relation de Chasles)

 (L milieu de [CG])

.

Le point L a ainsi pour coordonnées . Comme , le point L appartient au plan (IJK).

Par conséquent, les droites (IJ) et (KL) sont coplanaires.

D’après la question 1. a), le vecteur a pour coordonnées

De plus, nous avons :

 (relation de Chasles)

 (K milieu de [BC] et L milieu de [CG])

.

Le vecteur a pour coordonnées .

Les coordonnées des vecteurs et étant non proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Ainsi, les droites (IJ) et (KL) ne sont pas parallèles mais sont sécantes.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1. Calculer une intégrale

La fonction qui à tout réel de l’intervalle associe le réel est continue sur cet intervalle. Elle admet alors des primitives sur cet intervalle.

Notez bien

.

Appelons la fonction définie sur par Cette fonction est dérivable sur cet intervalle (polynôme de degré 1) et sa dérivée est donnée par À noter que la fonction est strictement positive sur  : . La fonction étant de la forme avec strictement positive sur elle admet par exemple pour primitive la fonction

Par conséquent, .

>2.a) Établir une égalité

Soit un entier naturel. Nous avons :

 (définition de la suite u)

 (linéarité de l’intégrale)

 (factorisation)

 (simplification)

 (primitive d’une fonction usuelle)

.

Ainsi, pour tout entier naturel

b) Déterminer la valeur exacte d’un terme d’une suite

D’après la question précédente pour nous avons : ce qui peut également s’écrire Comme (question 1.), nous en déduisons la valeur exacte du terme demandé :.

>3.a) Compléter un algorithme

D’après la question 1., le premier terme a pour valeur La phase d’initialisation est alors : Affecter àla valeur.

Lors de la phase de traitement, l’algorithme doit calculer les termes suivants : à .

De ce fait, il est nécessaire d’utiliser la relation de récurrence établie à la question 2. a) fois, ce qui justifie l’emploi d’une boucle itérative « Pour » et ce qui permet de compléter la première ligne de cette phase de traitement : Pourvariant de 1 à.

La relation de récurrence est pour tout entier naturel qui peut s’écrire également . Pour calculer un terme de cette suite, il faut donc soustraire le terme précédent à l’inverse de l’indice du terme recherché. Nous en déduisons la dernière ligne à compléter de cet algorithme :

Affecter àla valeur.

b) Émettre une conjecture

Nous constatons que se rapproche de zéro quand devient grand.

Nous pouvons conjecturer que la suiteest convergente vers zéro.

Nous constatons également que :

Nous pouvons aussi conjecturer que la suiteest décroissante et strictement positive.

>4.a) Justifier le sens de variation d’une suite

Soit un entier naturel. Étudions le signe de la différence Nous avons :

 (définition de la suite u)

 (linéarité de l’intégrale)

.

Pour tout réel de l’intervalle et . Cela implique que , et par propriété de l’intégrale, . Nous en déduisons que pour tout entier naturel n, ce qui s’écrit également : . La suiteest donc décroissante.

b) Démontrer la convergence d’une suite

Pour tout entier naturel . Or, pour tout réel de l’intervalle et Le terme est donc positif comme intégrale d’une fonction positive, fonction qui à tout réel de associe .

La suite étant décroissante et minorée (par zéro), nous en concluons par le théorème de la convergence monotone, que la suiteest convergente.

>5. Déterminer la limite d’une suite

D’après la question 2. a), nous avons la relation de récurrence suivante :

pour tout entier naturel

Par passage à la limite dans la relation précédente, nous avons :

La limite de la suite étant notée et nous avons l’égalité : Ainsi  et lasuiteconverge donc vers zéro.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

>1. Déterminer une équation réduite d’une tangente

Désignons par la fonction exponentielle, fonction définie sur par . Cette fonction a pour courbe représentative la courbe d’équation notée C dans l’énoncé.

De plus, cette fonction de référence est dérivable sur et sa dérivée est définie par . En particulier, nous avons pour  : et .

L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse à la courbe C est :

.

D’après le premier point, nous en déduisons que qui, après simplification, s’écrit : . La droited’équationest donc tangente à la courbeen son point d’abscisse 1.

>2. Émettre une conjecture

D’après la première question, nous pouvons penser que la valeur joue un rôle prépondérant pour connaître le nombre de points d’intersection entre la courbe C et la droite .

Traçons la droite d’équation et la courbe C (figure 1). Nous observons l’existence d’un seul point d’intersection, point de coordonnées .

Remarque

Cela est logique, la droite est tangente à la courbe 𝒞.

Traçons ensuite plusieurs droites d’équation avec (figure 2). Nous observons que ces droites sont strictement en dessous de la courbe C : donc aucun point d’intersection. Enfin, traçons plusieurs droites d’équation avec (figure 3). Nous observons cette fois-ci que ces droites coupent la courbe C en deux points.


Figure 1.


Figure 2.


Figure 3.

Nous pouvons conjecturer que le nombre de points d’intersection de la droiteet de la courbeest : zéro si, un siet deux si.

>3. Valider une conjecture

  • Un point M de coordonnées appartient à la courbe C et à la droite si, et seulement si, et . Ce qui nous amène à résoudre dans l’équation équivalente à que nous noterons (E).
  • Posons la fonction définie sur par . Cette fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables et sa dérivée est donnée par . Étudions le signe de cette dérivée suivant les valeurs prises par le réel pour dresser le tableau de variations de la fonction .

Tout d’abord, nous avons :

Notez bien

Pour tous réels et strictement positifs,

.

Nous en déduisons le tableau de signes de la dérivée  :


Ensuite, calculons l’image de par la fonction  :

Notez bien

Pour tout réel .

Enfin, déterminons les limites aux bornes de l’ensemble de définition de .

D’une part, et donc par différence .

Notez bien

Factoriser permet de lever ici la forme indéterminée pour la différence étudiée.

D’autre part, nous avons : .

Comme et , par somme et par produit,

Nous en déduisons le tableau de variation de  :


D’après le premier point, résoudre l’équation (E) dans revient à déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction s’annule. D’après le tableau de variations de ce nombre de valeurs dépend du signe du minimum de la fonction à savoir .

Premier cas : .

Notez bien

Pour tous réels et .

Comme ,

Dans ce cas, , la fonction s’annule une seule fois en . Autrement dit, pour, la courbeCet la droited’équationont un seul point d’intersection.

Deuxième cas : .

Notez bien

Pour tous réels et .

Similairement au premier cas, . Dans ce cas, et la fonction est strictement positive sur . Autrement dit, pour,la courbeet la droiten’ont aucun point d’intersection.

Troisième cas : .

Dans ce cas, , le minimum de la fonction est strictement négatif. Il faut donc étudier le signe de la fonction sur et sur .

Sur , la fonction est continue et strictement décroissante. De plus, comme et . D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction s’annule une seule fois sur .

De même, sur , la fonction est continue et strictement croissante. Comme et D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction s’annule une seule fois sur . Ainsi, pour,la courbe𝒞et la droiteont deux points d’intersection.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

>1. Construire un arbre pondéré

  • Premier niveau de l’arbre : « Candidat ».

47 % des personnes qui ont répondu à ce sondage affirment qu’elles voteront pour le candidat A. La probabilité que l’événement A se réalise est ainsi Les autres affirment qu’elles voteront pour le candidat B : la probabilité de l’événement B est alors de .

  • Deuxième niveau de l’arbre : « Vérité ».

10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat B. Par suite, la probabilité que l’événement , événement contraire de l’événement V, se réalise sachant que l’événement A est réalisé est : . Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud A) est égale à 1, .

20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat A. Par suite, la probabilité que l’événement se réalise sachant que l’événement B est réalisé est : . Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud B) est égale à 1, .


>2.a) Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre

La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est la probabilité de l’événement V. L’événement V est associé à deux feuilles : et . Par conséquent, la probabilité de l’événement V est la somme des probabilités de ces feuilles :

La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est donc 0,847.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle, probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu’elle dit la vérité. Cette probabilité conditionnelle se note et par définition :

La probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu’elle dit la vérité est.

>3. Calculer une probabilité

L’événement « la personne vote effectivement pour le candidat A » est associé à deux feuilles : (la personne affirme vouloir voter pour le candidat A et elle vote effectivement pour le candidat A) et (la personne affirme vouloir voter pour le candidat B et elle ne dit pas la vérité votant ainsi en réalité pour le candidat A). Par conséquent, la probabilité demandée est la somme des probabilités de ces feuilles :

La probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

>4. Utiliser un intervalle de confiance

  • Le sondage a été réalisé sur un échantillon représentatif de 1 200 personnes. La taille de l’échantillon considéré est donc
  • Parmi les 1 200 personnes sondées, la fréquence observée dans cet échantillon de personnes qui voteront effectivement pour le candidat A est .
  • Comme et les conditions sur et sont vérifiées et l’intervalle de confiance est :

Au niveau de confiance 0,95, la proportion de futurs électeurs qui voteront pour le candidat A se situerait entre 50,01 % et 55,79 %. Le candidat A peut croire en sa victoire.

>5. Extraire de l’information pour déterminer une valeur

Contacter une personne par téléphone est une épreuve de Bernoulli qui admet deux issues :

  • l’événement succès : « la personne contactée accepte de répondre à l’enquête » de probabilité
  • l’événement échec : « la personne contactée refuse de répondre à l’enquête » de probabilité

En répétant fois cette épreuve de manière identique et indépendante, nous avons un schéma de Bernoulli d’ordre . La variable aléatoire qui, à tout échantillon de personnes contactées par téléphone, associe le nombre de personnes qui acceptent de répondre à l’enquête, suit donc la loi binomiale de paramètres et .

L’institut souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses. Autrement dit, l’espérance de la variable aléatoire doit être égale à 1 200. Or . Donc, et .

Comme dix communications sont réalisées par demi-heure, l’institut devra donc prévoir 300 demi-heures soit 150 heures pour parvenir à l’objectif fixé.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

>1. Déterminer une probabilité

D’après l’énoncé, si le fumeur ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9. Par conséquent, il fume le jour suivant avec une probabilité égale à . De même, si le fumeur fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6. Ainsi, la probabilité que le jour suivant il ne fume pas est égale à . Nous pouvons ainsi représenter la situation au bout du premier jour par l’arbre pondéré suivant, en désignant par l’événement : « le fumeur fume le -ième jour » et par son événement contraire :


Notez bien

Comme somme des probabilités d’événements contraires :

est la probabilité que le premier jour après sa décision, le fumeur ne fume pas. Par lecture de l’arbre pondéré, nous avons :.

est la probabilité que le premier jour après sa décision, le fumeur fume. Par lecture de l’arbre pondéré, nousavons :.

>2. Compléter une cellule dans un tableur

  • Similairement à la question précédente, nous pouvons représenter la situation par l’arbre pondéré suivant :

  • La probabilité qu’un fumeur le jour suivant d’un jour donné ne fume pas est :

.

Dans la cellule B3, nous pouvons ainsi saisir la formule « =C2*0,4+B2*0,9 ».

Remarque. Comme , . Nous pouvons également saisir la formule « =0,5*B2+0,4 ».

  • La probabilité qu’un fumeur le jour suivant d’un jour donné fume est alors :

.

Dans la cellule C3, nous pouvons ainsi saisir la formule « =C2*0,6+B2*0,1 ».

Remarque. L’événement contraire de « un fumeur le jour suivant d’un jour donné fume » est naturellement l’événement « un fumeur le jour suivant d’un jour donné ne fume pas ». La formule « =1-B3 » peut également être saisie dans la cellule C3.

>3.a) Vérifier une égalité matricielle

Nous avons :

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

b) Vérifier une égalité matricielle

Nous avons d’une part :

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

d’autre part,

et

Ainsi,.

c) Établir une égalité matricielle à l’aide d’un raisonnement par récurrence

Soit la propriété : .

Initialisation

Notez bien

est la matrice identité d’ordre 2.

D’une part, par convention

et d’autre part,

Ainsi, et la propriété est donc vraie.

Hérédité

Nous supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel . Démontrons alors que la propriété est vraie.

 ( est vraie)

 (question 3. a))

 (question 3. b))

 (résultats admis question 3. c)) : n = 2).

La propriété est donc vraie.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, nous en déduisons que pour tout entier naturel,.

d) Établir une égalité

D’après l’énoncé de la question 3., nous avons pour tout entier naturel .

Or, (question 1.) et

Par suite,

Par identification, nous avons pour tout entier naturel,.

e) Déterminer une limite et l’interpréter

Comme alors . Par produit et différence, nous avons alors :. À long terme, la probabilité que le fumeur arrête de fumer est de 0,8. Nous ne pouvons donc pas affirmer avec certitude qu’à long terme, il arrêtera de fumer.