Liban &bull Mai 2015
matT_1505_09_01C
Sujets complets
3
Liban &bull Mai 2015
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (4 points)
Vrai-faux sur les fonctions
Commun à tous les candidats
Pour chacune des propositions suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n&rsquo est pas prise en compte. Une absence de réponse n&rsquo est pas pénalisée.
définie sur l&rsquo intervalle
.

définie et dérivable sur l&rsquo intervalle
et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction
, fonction dérivée de la fonction
sur l&rsquo intervalle
.

Proposition 2 : La fonction est strictement décroissante sur l&rsquo intervalle
.
Proposition 3 : La fonction est concave sur l&rsquo intervalle
.
définie sur l&rsquo intervalle
par
.

Exercice 2 (5 points)
Fabrication de parasols et coût unitaire minimal
Commun à tous les candidats
Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction définie et dérivable sur l&rsquo intervalle
.
On note le nombre de parasols produits par jour et
le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.
Dans le repère orthogonal ci-après, on a tracé la courbe représentative de la fonction
et la tangente
à la courbe
au point
. Le point
appartient à la tangente
.

pour tout
appartenant à l&rsquo intervalle
. (0,5 point)
et le tableau de variations de
sur
. Les valeurs seront arrondies au centime d&rsquo euro dans le tableau de variations. (1 point)
est une primitive de sur l&rsquo intervalle
. (0,5 point)
. (0,5 point)
. (0,5 point)
Exercice 3 (6 points)
Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d&rsquo une machine
Commun à tous les candidats
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10&ndash 3.
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.
La totalité de la production est réalisée par deux machines et
.
La machine fournit 40 % de la production totale et
le reste.
La machine produit 2 % de médailles défectueuses et la machine
produit 3 % de médailles défectueuses.
Partie A
On prélève au hasard une médaille fabriquée par l&rsquo entreprise et on considère les événements suivants :
sachant qu&rsquo elle est défectueuse. (0,75 point)
On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.
On suppose que la production est assez importante pour que l&rsquo on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.
On note la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.
et donner ses paramètres. (0,75 point)
Partie B
Le diamètre, exprimé en millimètre, d&rsquo une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu&rsquo il appartient à l&rsquo intervalle .
On note la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire
suit une loi normale de moyenne µ et d&rsquo écart-type 0,25.
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de .

Partie C
Dans le cadre d&rsquo un fonctionnement correct de la machine , on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est 3 %.
Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine , on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.
. (1 point)
Exercice 4 (5 points)
Volume d&rsquo eau d&rsquo une retenue artificielle
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
Une retenue d&rsquo eau artificielle contient 100 000 m3 d&rsquo eau le 1er juillet 2013 au matin.
La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l&rsquo eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m3 pour l&rsquo irrigation des cultures aux alentours.
Cette situation peut être modélisée par une suite .
Le 1er juillet 2013 au matin, le volume d&rsquo eau en m3 est .
Pour tout entier naturel supérieur à 0,
désigne le volume d&rsquo eau en m3 au matin du
-ième jour qui suit le 1er juillet 2013.
au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m3. (0,5 point)
au matin du 3 juillet 2013. (0,5 point)
, on a
. (0,5 point)
L1 |
Variables : |
||
L2 |
|
||
L3 |
Traitement : |
||
L4 |
|
||
L5 |
|
||
L6 |
|
|
|
L7 |
|
|
|
L8 |
Sortie : |
Fin Tant que |
|
L9 |
|
Afficher &hellip &hellip &hellip &hellip |
est une suite géométrique de raison 0,96. Préciser son premier terme. (0,5 point)
en fonction de
. (0,5 point)
Exercice 4 (5 points)
Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).
Une étude a montré que, d&rsquo une année à l&rsquo autre :
- 41 % des clients de l&rsquo opérateur SAFIR le quittent pour l&rsquo opérateur TECIM
- 9 % des clients de l&rsquo opérateur TECIM le quittent pour l&rsquo opérateur SAFIR
- aucun client ne renonce à l&rsquo utilisation de la 4G.
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets S et T où :
- S est l&rsquo événement « l&rsquo utilisateur de la 4G est un client de l&rsquo opérateur SAFIR »
- T est l&rsquo événement « l&rsquo utilisateur de la 4G est un client de l&rsquo opérateur TECIM » .
Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel :
la probabilité que cet utilisateur soit un client de l&rsquo opérateur SAFIR en
la probabilité que cet utilisateur soit un client de l&rsquo opérateur TECIM en
.
On note la matrice ligne de l&rsquo état probabiliste pour l&rsquo année
.
Dans cet exercice, on se propose de savoir si l&rsquo opérateur TECIM atteindra l&rsquo objectif d&rsquo avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.
Partie A
.
On note la matrice ligne correspondant à l&rsquo état stable de ce graphe
et
sont solutions du système
Déterminer en justifiant si l&rsquo opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)
Partie B
En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l&rsquo opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l&rsquo opérateur TECIM. Ainsi .
, on a
. (0,5 point)
L1 |
Variables : |
||
L2 |
|
||
L3 |
Traitement : |
||
L4 |
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||
L5 |
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L6 |
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L7 |
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L8 |
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Fin Tant que |
|
L9 |
Sortie : |
Afficher &hellip &hellip &hellip &hellip |
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Variations d&rsquo une fonction &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Convexité &bull Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
. Le signe de
donne les variations de
, le sens de variation de
est lié à la convexité de
.
est une fonction de densité sur cet intervalle si et seulement si elle est continue et positive sur
et son intégrale sur
est égale à 1.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée &bull Tangente &bull Fonction exponentielle &bull Fonction logarithme népérien &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.
Les conseils du correcteur
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de
au point d&rsquo abscisse 5.
.
est une primitive de
si et seulement si
est la dérivée de
.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi binomiale &bull Loi à densité, loi normale &bull Intervalle de fluctuation.
Les conseils du correcteur
Partie A
est égale au nombre de succès lors de la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Partie B
est une variable aléatoire qui suit une loi normale d&rsquo espérance µ , alors la courbe représentative de sa densité de probabilité a pour axe de symétrie la droite d&rsquo équation
.
Partie C
Exercice 4 (Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » &bull Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Exercice 4 (Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage &bull Pourcentage instantané &bull Matrice &bull Graphe probabiliste &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » &bull Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Partie A
dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que
.
Partie B