Sujet complet du Liban 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Sujet complet du Liban 2015

Liban • Mai 2015

matT_1505_09_02C

Sujets complets

5

Liban • Mai 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (6 points)
Jouer avec un cube

Commun à tous les candidats


ABCDEFGH est un cube.

I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].

On munit l’espace du repère orthonormé (A ; , , ).

>1. a) Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

>2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).

>3. Soit M le point d’intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point M.

>4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.

>5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.

>6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?

Exercice 2 (6 points)
Passons à la suite

Commun à tous les candidats

On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, un=.

>1. Calculer u0=.

>2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1+un=.

b) En déduire la valeur exacte de u1.

>3. a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.


Variables

i et n sont des entiers naturels

u est un réel

Entrée

Saisir n

Initialisation

Affecter à u la valeur…

Traitement

Pour i variant de 1 à…

 

 

Affecter à u la valeur…

 

Fin de Pour

Sortie

Afficher u

b) À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :


n

0

1

2

3

4

5

10

50

100

un

0,6931

0,3069

0,1931

0,1402

0,1098

0,0902

0,0475

0,0099

0,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut‑on émettre ?

>4. a) Démontrer que la suite (un) est décroissante.

b) Démontrer que la suite (un) est convergente.

>5. On appelle l la limite de la suite (un). Démontrer que l= 0.

Exercice 3 (3 points)
Casse-tête sur l’exponentielle

Commun à tous les candidats


On considère la courbe C d’équation y = ex, tracée ci-contre.

Pour tout réel m strictement positif, on note Dm la droite d’équation y =mx.

>1. Dans cette question, on choisit m = e.

Démontrer que la droite De d’équation y = ex est tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1.

>2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de la courbe C et de la droite Dm.

>3. Démontrer cette conjecture

Exercice 4 (5 points)
Deux candidats pour un siège

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

Compte tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

  • A l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
  • B l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
  • V l’événement « La personne interrogée dit la vérité ».

>1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.

>2. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.

b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.

>3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

>4. L’institut de sondage publie alors les résultats suivants :


52,9 % des électeurs* voteraient pour le candidat A.

* Estimation après redressement, fondée sur un sondage d’un échantillon représentatif de 1 200 personnes.

Au seuil de confiance de 95 %, le candidat A peut-il croire en sa victoire ?

>5. Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.

L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.

Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?

Exercice 4 (5 points)
Fumeur, arrête de fumer !

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :

  • s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
  • s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle pn la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et qn la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.

On suppose que p0= 0 et q0= 1.

>1. Calculer p1 et q1.

>2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites (pn) et (qn). Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :


 

A

B

C

D

1

n

pn

qn

 

2

0

0

1

 

3

1

 

 

 

4

2

 

 

 

5

3

 

 

 

Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel n.

Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites (pn) et (qn) ?

>3. On définit les matrices M et, pour tout entier naturel n, Xn par :

 et .

On admet que Xn+1= M × Xn et que, pour tout entier naturel n, Xn = Mn × X0.

On définit les matrices A et B par et .

a) Démontrer que M =A + 0,5B.

b) Vérifier que A2=A, et que A × B =B × A =.

On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif, An=A et Bn= B.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Mn= A +0,5nB.

d) En déduire que, pour tout entier naturel n, pn= 0,8 – 0,8 × 0,5n.

e) À long terme, peut-on affimer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Positions relatives  E24  → 1. a) et 6.
  • Décomposition d’un vecteur  E29  → 1. a) et 6.
  • Représentation paramétrique d’une droite  E30  → 2 et 3.
  • Équation cartésienne d’un plan  E33c  → 1. b) et 3.
  • Produit scalaire  E31c• E32  → 1. a) et 4.
  • Norme d’un vecteur  E31c  → 4.

Nos coups de pouce

>4. Calculez le produit scalaire puis les distances IJ et IK. Concluez.

>6. Déterminez les coordonnées du point L. Vérifiez que ce point appartient au plan (IJK). Déterminez ensuite les coordonnées du vecteur . Concluez.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Intégration • Algorithmique • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Primitives et intégrales  E11b• E11c• E11d• E13 • E15  → 1, 2. a), 4. a) et 4. b)
  • Logarithme népérien  E9a• E9d  → 1.
  • Suites  E2a• E2b• E2c• E2e  → 3. b), 4. et 5.

Algorithme

  • Obtention d’un terme d’indice donné  A3  → 3. a)

Nos coups de pouce

>2.b) Exprimez en fonction de en utilisant la relation établie à la question 2. a). Concluez à l’aide de la question 1.

>3.a) Utilisez la question 1. a) pour compléter la phase d’initialisation. Pour la phase de traitement, exprimez en fonction de à l’aide de la relation de récurrence établie à la question 2. a) et déterminez le nombre de fois qu’il est nécessaire d’utiliser cette relation pour afficher en sortie le terme demandé.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Positions relatives • Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Tangente  E6b  → 1.
  • Fonction exponentielle  E8  → 1. et 3.
  • Étude de variations  E6c• E6e  → 3.
  • Théorème des valeurs intermédiaires  E7  → 3.

Nos coups de pouce

>2. Tracez à l’aide de votre calculatrice la courbe C puis la droite pour différentes valeurs de N’oubliez pas que le réel est strictement positif. Prenez en compte également l’étude du cas à la question 1. qui n’est pas anodine.

>3. Dressez le tableau de variations complet de la fonction définie sur ℝ par . Puis déterminez les éventuelles valeurs de pour lesquelles la fonction s’annule selon les valeurs prises par le réel strictement positif Concluez.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Estimation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Arbre pondéré  E37  → 1., 2. a) et 3.
  • Probabilité conditionnelle  E35  → 2. b)
  • Intervalle de confiance  E44  → 4.
  • Loi binomiale  E 39  → 5.

Nos coups de pouce

>3. Justifiez que l’événement A est associé aux deux feuilles et puis utilisez la formule des probabilités totales.

>4. Identifiez la taille de l’échantillon et la fréquence du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur et sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant. Concluez.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Suites • Probabilités • Tableur.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Arbre pondéré  E37  → 1. et 2.
  • Raisonnement par récurrence  E1  → 3. c)
  • Suites et limites  E2c• E4d  → 3. e)

Calculatrice

  • Calcul matriciel  C5  → 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

>1. et 2. Représentez les situations par un arbre pondéré. Identifiez les différents chemins sur l’arbre associés à l’événement étudié. Concluez par le calcul de la probabilité correspondante.

>3.d) Utilisez le résultat admis dans l’énoncé de la question 3. en prenant en compte l’égalité matricielle démontrée à l’aide d’une récurrence à la question 3. c).

>3.e) Calculez la limite de la suite quand tend vers l’infini. Interprétez.