• Nous avons tout d'abord :

 (relation de Chasles)

 (J milieu de [EH])

 (I milieu de [AB])

 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère , le vecteur a pour coordonnées : .

De même :

 (relation de Chasles)

 (I milieu de [AB] et K milieu de [BC])

 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère , le vecteur a pour coordonnées : .

Et enfin :

 (relation de Chasles)

 (ABCDEFGH est un cube).

Ainsi, dans le repère , le vecteur a pour coordonnées : .

Les coordonnées des vecteurs et n'étant pas proportionnelles, ces deux vecteurs du plan (IJK) ne sont pas colinéaires. De plus, nous avons et . Ainsi, le vecteur , vecteur directeur de la droite (FD), est orthogonal aux deux vecteurs et , vecteurs non colinéaires du plan (IJK).

La droite (FD) est donc orthogonale au plan (IJK).

D'après la question 1. a), la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK). Donc le vecteur de coordonnées est un vecteur normal à ce plan. Par suite, ce plan admet une équation cartésienne de la forme où est un nombre réel à déterminer. Or, le point I, par exemple, appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient ainsi l'équation, à savoir . Comme I est le milieu du segment [AB], nous avons l'égalité suivante , ce qui implique que le point I a pour coordonnées . Ce qui nous amène à ainsi .

Le plan (IJK) a pour équation cartésienne :.

Le point F appartient naturellement à la droite (FD) dont un vecteur directeur est le vecteur .

D'après la question 1. a), le vecteur a pour coordonnées .

Comme , le point F a pour coordonnées .

La droite (FD) admet alors pour représentation paramétrique :

,ℝ ℝ .

Comme le point M appartient à la droite (FD), il existe un nombre réel t tel que :

De plus, comme le point M appartient au plan (IJK), ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne déterminée à la question 1. b) : . Ce qui nous conduit au système suivant :

Le point M a donc pour coordonnées.

D'après la question 1. a), les vecteurs et ont pour coordonnées respectives :

et

Or . Ces vecteurs étant orthogonaux, les droites (IJ) et (IK) sont orthogonales. Comme le point I appartient à ces deux droites, elles sont perpendiculaires et donc le triangle IJK est rectangle en I.

Le point précédent implique naturellement que le triangle IJK ne peut pas être équilatéral. Par contre, il est possible que ce triangle soit isocèle en I.

Calculons alors les distances IJ et IK :

Comme , le triangle IJK n'est pas isocèle.

Le triangle IJK étant rectangle en I, son aire est donnée par :

.

• D'après la question 1. a), la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
• D'après la question 3., la droite (FD) et le plan (IJK) ont un point commun : le point M.

Le tétraèdre FIJK de base IJK a ainsi pour hauteur le segment [FM] dont la longueur est :

Le volume du tétraèdre FIJK est donc :

.

Déterminons tout d'abord les coordonnées du point L :

 (relation de Chasles)

 (L milieu de [CG])

.

Le point L a ainsi pour coordonnées . Comme , le point L appartient au plan (IJK).

Par conséquent, les droites (IJ) et (KL) sont coplanaires.

D'après la question 1. a), le vecteur a pour coordonnées

De plus, nous avons :

 (relation de Chasles)

 (K milieu de [BC] et L milieu de [CG])

.

Le vecteur a pour coordonnées .

Les coordonnées des vecteurs et étant non proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Ainsi, les droites (IJ) et (KL) ne sont pas parallèles mais sont sécantes.

La fonction qui à tout réel de l'intervalle associe le réel est continue sur cet intervalle. Elle admet alors des primitives sur cet intervalle.

Appelons la fonction définie sur par Cette fonction est dérivable sur cet intervalle (polynôme de degré 1) et sa dérivée est donnée par À noter que la fonction est strictement positive sur : . La fonction étant de la forme avec strictement positive sur elle admet par exemple pour primitive la fonction

Par conséquent, .

Soit un entier naturel. Nous avons :

 (définition de la suite u)

 (linéarité de l'intégrale)

 (factorisation)

 (simplification)

 (primitive d'une fonction usuelle)

.

Ainsi, pour tout entier naturel

D'après la question précédente pour nous avons : ce qui peut également s'écrire Comme (question 1.), nous en déduisons la valeur exacte du terme demandé :.

D'après la question 1., le premier terme a pour valeur La phase d'initialisation est alors : Affecter àla valeur.

Lors de la phase de traitement, l'algorithme doit calculer les termes suivants : à .

De ce fait, il est nécessaire d'utiliser la relation de récurrence établie à la question 2. a) fois, ce qui justifie l'emploi d'une boucle itérative « Pour » et ce qui permet de compléter la première ligne de cette phase de traitement : Pourvariant de 1 à.

La relation de récurrence est pour tout entier naturel qui peut s'écrire également . Pour calculer un terme de cette suite, il faut donc soustraire le terme précédent à l'inverse de l'indice du terme recherché. Nous en déduisons la dernière ligne à compléter de cet algorithme :

Affecter àla valeur.

Nous constatons que se rapproche de zéro quand devient grand.

Nous pouvons conjecturer que la suiteest convergente vers zéro.

Nous constatons également que :

Nous pouvons aussi conjecturer que la suiteest décroissante et strictement positive.

Soit un entier naturel. Étudions le signe de la différence Nous avons :

 (définition de la suite u)

 (linéarité de l'intégrale)

.

Pour tout réel de l'intervalle et . Cela implique que , et par propriété de l'intégrale, . Nous en déduisons que pour tout entier naturel n, ce qui s'écrit également : . La suiteest donc décroissante.

Pour tout entier naturel . Or, pour tout réel de l'intervalle et Le terme est donc positif comme intégrale d'une fonction positive, fonction qui à tout réel de associe .

La suite étant décroissante et minorée (par zéro), nous en concluons par le théorème de la convergence monotone, que la suiteest convergente.

D'après la question 2. a), nous avons la relation de récurrence suivante :

pour tout entier naturel

Par passage à la limite dans la relation précédente, nous avons :

La limite de la suite étant notée et nous avons l'égalité : Ainsi et lasuiteconverge donc vers zéro.

Désignons par la fonction exponentielle, fonction définie sur ℝ par . Cette fonction a pour courbe représentative la courbe d'équation notée C dans l'énoncé.

De plus, cette fonction de référence est dérivable sur ℝ et sa dérivée est définie par . En particulier, nous avons pour : et .

L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse à la courbe C est :

.

D'après le premier point, nous en déduisons que qui, après simplification, s'écrit : . La droited'équationest donc tangente à la courbeen son point d'abscisse 1.

D'après la première question, nous pouvons penser que la valeur joue un rôle prépondérant pour connaître le nombre de points d'intersection entre la courbe C et la droite .

Traçons la droite d'équation et la courbe C (figure 1). Nous observons l'existence d'un seul point d'intersection, point de coordonnées .

Traçons ensuite plusieurs droites d'équation avec (figure 2). Nous observons que ces droites sont strictement en dessous de la courbe C : donc aucun point d'intersection. Enfin, traçons plusieurs droites d'équation avec (figure 3). Nous observons cette fois-ci que ces droites coupent la courbe C en deux points.

Figure 1.

Figure 2.

Figure 3.

Nous pouvons conjecturer que le nombre de points d'intersection de la droiteet de la courbeest : zéro si, un siet deux si.

• Un point M de coordonnées appartient à la courbe C et à la droite si, et seulement si, et . Ce qui nous amène à résoudre dans ℝ l'équation équivalente à que nous noterons (E).
• Posons la fonction définie sur ℝ par . Cette fonction est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables et sa dérivée est donnée par . Étudions le signe de cette dérivée suivant les valeurs prises par le réel pour dresser le tableau de variations de la fonction .

Tout d'abord, nous avons :

Nous en déduisons le tableau de signes de la dérivée :

Ensuite, calculons l'image de par la fonction :

Enfin, déterminons les limites aux bornes de l'ensemble de définition de .

D'une part, et donc par différence .

D'autre part, nous avons : .

Comme et , par somme et par produit,

Nous en déduisons le tableau de variation de :

D'après le premier point, résoudre l'équation (E) dans ℝ revient à déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction s'annule. D'après le tableau de variations de ce nombre de valeurs dépend du signe du minimum de la fonction à savoir .

Premier cas : .

Comme ,

Dans ce cas, , la fonction s'annule une seule fois en . Autrement dit, pour, la courbeCet la droited'équationont un seul point d'intersection.

Deuxième cas : .

Similairement au premier cas, . Dans ce cas, et la fonction est strictement positive sur ℝ . Autrement dit, pour,la courbeet la droiten'ont aucun point d'intersection.

Troisième cas : .

Dans ce cas, , le minimum de la fonction est strictement négatif. Il faut donc étudier le signe de la fonction sur et sur .

Sur , la fonction est continue et strictement décroissante. De plus, comme et . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction s'annule une seule fois sur .

De même, sur , la fonction est continue et strictement croissante. Comme et D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction s'annule une seule fois sur . Ainsi, pour,la courbeet la droiteont deux points d'intersection.

• Premier niveau de l'arbre : « Candidat ».

47 % des personnes qui ont répondu à ce sondage affirment qu'elles voteront pour le candidat A. La probabilité que l'événement A se réalise est ainsi Les autres affirment qu'elles voteront pour le candidat B : la probabilité de l'événement B est alors de .

• Deuxième niveau de l'arbre : « Vérité ».

10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat B. Par suite, la probabilité que l'événement , événement contraire de l'événement V, se réalise sachant que l'événement A est réalisé est : . Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud (ici, le nœud A) est égale à 1, .

20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat A. Par suite, la probabilité que l'événement se réalise sachant que l'événement B est réalisé est : . Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud (ici, le nœud B) est égale à 1, .

La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est la probabilité de l'événement V. L'événement V est associé à deux feuilles : et . Par conséquent, la probabilité de l'événement V est la somme des probabilités de ces feuilles :

La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est donc 0,847.

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle, probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu'elle dit la vérité. Cette probabilité conditionnelle se note et par définition :

La probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu'elle dit la vérité est.

L'événement « la personne vote effectivement pour le candidat A » est associé à deux feuilles : (la personne affirme vouloir voter pour le candidat A et elle vote effectivement pour le candidat A) et (la personne affirme vouloir voter pour le candidat B et elle ne dit pas la vérité votant ainsi en réalité pour le candidat A). Par conséquent, la probabilité demandée est la somme des probabilités de ces feuilles :

La probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

• Le sondage a été réalisé sur un échantillon représentatif de 1 200 personnes. La taille de l'échantillon considéré est donc
• Parmi les 1 200 personnes sondées, la fréquence observée dans cet échantillon de personnes qui voteront effectivement pour le candidat A est .
• Comme et les conditions sur et sont vérifiées et l'intervalle de confiance est :

Au niveau de confiance 0,95, la proportion de futurs électeurs qui voteront pour le candidat A se situerait entre 50,01 % et 55,79 %. Le candidat A peut croire en sa victoire.

Contacter une personne par téléphone est une épreuve de Bernoulli qui admet deux issues :

• l'événement succès : « la personne contactée accepte de répondre à l'enquête » de probabilité
• l'événement échec : « la personne contactée refuse de répondre à l'enquête » de probabilité

En répétant fois cette épreuve de manière identique et indépendante, nous avons un schéma de Bernoulli d'ordre . La variable aléatoire qui, à tout échantillon de personnes contactées par téléphone, associe le nombre de personnes qui acceptent de répondre à l'enquête, suit donc la loi binomiale de paramètres et .

L'institut souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses. Autrement dit, l'espérance de la variable aléatoire doit être égale à 1 200. Or . Donc, et .

Comme dix communications sont réalisées par demi-heure, l'institut devra donc prévoir 300 demi-heures soit 150 heures pour parvenir à l'objectif fixé.

D'après l'énoncé, si le fumeur ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9. Par conséquent, il fume le jour suivant avec une probabilité égale à . De même, si le fumeur fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6. Ainsi, la probabilité que le jour suivant il ne fume pas est égale à . Nous pouvons ainsi représenter la situation au bout du premier jour par l'arbre pondéré suivant, en désignant par l'événement : « le fumeur fume le -ième jour » et par son événement contraire :

est la probabilité que le premier jour après sa décision, le fumeur ne fume pas. Par lecture de l'arbre pondéré, nous avons :.

est la probabilité que le premier jour après sa décision, le fumeur fume. Par lecture de l'arbre pondéré, nousavons :.

• Similairement à la question précédente, nous pouvons représenter la situation par l'arbre pondéré suivant :

• La probabilité qu'un fumeur le jour suivant d'un jour donné ne fume pas est :

.

Dans la cellule B3, nous pouvons ainsi saisir la formule « =C2*0,4+B2*0,9 ».

Remarque. Comme , . Nous pouvons également saisir la formule « =0,5*B2+0,4 ».

• La probabilité qu'un fumeur le jour suivant d'un jour donné fume est alors :

.

Dans la cellule C3, nous pouvons ainsi saisir la formule « =C2*0,6+B2*0,1 ».

Remarque. L'événement contraire de « un fumeur le jour suivant d'un jour donné fume » est naturellement l'événement « un fumeur le jour suivant d'un jour donné ne fume pas ». La formule « =1-B3 » peut également être saisie dans la cellule C3.

Nous avons :

Nous avons d'une part :

d'autre part,

et

Ainsi,.

Soit la propriété : .

Initialisation

D'une part, par convention

et d'autre part,

Ainsi, et la propriété est donc vraie.

Hérédité

Nous supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel . Démontrons alors que la propriété est vraie.

 ( est vraie)

 (question 3. a))

 (question 3. b))

 (résultats admis question 3. c)) : n = 2).

La propriété est donc vraie.

Conclusion

De l'axiome de récurrence, nous en déduisons que pour tout entier naturel,.

D'après l'énoncé de la question 3., nous avons pour tout entier naturel .

Or, (question 1.) et

Par suite,

Par identification, nous avons pour tout entier naturel,.

Comme alors . Par produit et différence, nous avons alors :. À long terme, la probabilité que le fumeur arrête de fumer est de 0,8. Nous ne pouvons donc pas affirmer avec certitude qu'à long terme, il arrêtera de fumer.