Liban • Mai 2015
matT_1505_09_02C
Sujets complets
5
Liban • Mai 2015
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (6 points)
Jouer avec un cube
Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].
Exercice 2 (6 points)
Passons à la suite
Commun à tous les candidats
Variables | i et n sont des entiers naturels u est un réel | |
Entrée | Saisir n | |
Initialisation | Affecter à u la valeur… | |
Traitement | Pour i variant de 1 à… | |
|
| Affecter à u la valeur… |
| Fin de Pour | |
Sortie | Afficher u |
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 50 | 100 |
un | 0,6931 | 0,3069 | 0,1931 | 0,1402 | 0,1098 | 0,0902 | 0,0475 | 0,0099 | 0,0050 |
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut‑ on émettre ?
Exercice 3 (3 points)
Casse-tête sur l'exponentielle
Commun à tous les candidats

On considère la courbe
Pour tout réel m strictement positif, on note
Démontrer que la droite
Exercice 4 (5 points)
Deux candidats pour un siège
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.
Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.
Compte tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.
On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :
- A l'événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A »
- B l'événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B »
- V l'événement « La personne interrogée dit la vérité ».
52,9 % des électeurs* voteraient pour le candidat A. * Estimation après redressement, fondée sur un sondage d'un échantillon représentatif de 1 200 personnes. |
Au seuil de confiance de 95 %, le candidat A peut-il croire en sa victoire ?
L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.
Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?
Exercice 4 (5 points)
Fumeur, arrête de fumer !
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :
- s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9
- s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.
On appelle pn la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et qn la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer.
On suppose que p0
| A | B | C | D |
1 | n | pn | qn |
|
2 | 0 | 0 | 1 |
|
3 | 1 |
|
|
|
4 | 2 |
|
|
|
5 | 3 |
|
|
|
Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel n.
Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites (pn) et (qn) ?
On admet que Xn+1= M × Xn et que, pour tout entier naturel n, Xn = Mn × X0.
On définit les matrices A et B par et
.
.
On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif, An
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 75 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie dans l'espace.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Positions relatives
E24 → 1. a) et 6. - Décomposition d'un vecteur
E29 → 1. a) et 6. - Représentation paramétrique d'une droite
E30 → 2 et 3. - Équation cartésienne d'un plan
E33 → 1. b) et 3.c - Produit scalaire
E31 c • E32 → 1. a) et 4. - Norme d'un vecteur
E31 → 4.c
Nos coups de pouce
puis les distances IJ et IK. Concluez.
. Concluez.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 75 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Intégration • Algorithmique • Logarithme népérien.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Primitives et intégrales
E11 b • E11 c • E11 d • E13 • E15 → 1, 2. a), 4. a) et 4. b) - Logarithme népérien
E9 a • E9 → 1.d - Suites
E2 a • E2 b • E2 c • E2 → 3. b), 4. et 5.e
Algorithme
- Obtention d'un terme d'indice donné
A3 → 3. a)
Nos coups de pouce
en fonction de
en utilisant la relation établie à la question 2. a). Concluez à l'aide de la question 1.
en fonction de
à l'aide de la relation de récurrence établie à la question 2. a) et déterminez le nombre de fois qu'il est nécessaire d'utiliser cette relation pour afficher en sortie le terme demandé.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 30 minutes.
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Positions relatives • Logarithme népérien.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Tangente
E6 → 1.b - Fonction exponentielle
E8 → 1. et 3. - Étude de variations
E6 c • E6 → 3.e - Théorème des valeurs intermédiaires
E7 → 3.
Nos coups de pouce
pour différentes valeurs de
N'oubliez pas que le réel
est strictement positif. Prenez en compte également l'étude du cas
à la question 1. qui n'est pas anodine.
définie sur ℝ par
. Puis déterminez les éventuelles valeurs de
pour lesquelles la fonction
s'annule selon les valeurs prises par le réel strictement positif
Concluez.
Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Probabilités • Estimation.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Arbre pondéré
E37 → 1., 2. a) et 3. - Probabilité conditionnelle
E35 → 2. b) - Intervalle de confiance
E44 → 4. - Loi binomiale
E 39 → 5.
Nos coups de pouce
et
puis utilisez la formule des probabilités totales.
et la fréquence
du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur
et
sont vérifiées pour définir l'intervalle de confiance correspondant. Concluez.
Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Suites • Probabilités • Tableur.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Arbre pondéré
E37 → 1. et 2. - Raisonnement par récurrence
E1 → 3. c) - Suites et limites
E2 c • E4 → 3. e)d
Calculatrice
- Calcul matriciel
C5 → 3. a) et 3. b)
Nos coups de pouce
quand
tend vers l'infini. Interprétez.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. a) Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan
- Nous avons tout d'abord :
Ainsi, dans le repère , le vecteur
a pour coordonnées :
.
De même :
(I milieu de [AB] et K milieu de [BC])
Ainsi, dans le repère , le vecteur
a pour coordonnées :
.
Et enfin :
Ainsi, dans le repère , le vecteur
a pour coordonnées :
.
Les coordonnées des vecteurs et
n'étant pas proportionnelles, ces deux vecteurs du plan (IJK) ne sont pas colinéaires. De plus, nous avons
et
. Ainsi, le vecteur
, vecteur directeur de la droite (FD), est orthogonal aux deux vecteurs
et
, vecteurs non colinéaires du plan (IJK).
b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan
D'après la question de coordonnées
est un vecteur normal à ce plan. Par suite, ce plan admet une équation cartésienne de la forme
où
est un nombre réel à déterminer. Or, le point I, par exemple, appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient ainsi l'équation, à savoir
. Comme I est le milieu du segment [AB], nous avons l'égalité suivante
, ce qui implique que le point I a pour coordonnées
. Ce qui nous amène à
ainsi
.
> 2. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
Le point F appartient naturellement à la droite (FD) dont un vecteur directeur est le vecteur .
D'après la question a pour coordonnées
.
Comme , le point F a pour coordonnées
.
> 3. Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection
Comme le point M appartient à la droite (FD), il existe un nombre réel t tel que :
De plus, comme le point M appartient au plan (IJK), ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne déterminée à la question . Ce qui nous conduit au système suivant :
> 4. Déterminer la nature d'un triangle
D'après la question et
ont pour coordonnées respectives :
Or . Ces vecteurs étant orthogonaux, les droites (IJ) et (IK) sont orthogonales. Comme le point I appartient à ces deux droites, elles sont perpendiculaires et
Le point précédent implique naturellement que le triangle IJK ne peut pas être équilatéral. Par contre, il est possible que ce triangle soit isocèle en I.
Calculons alors les distances IJ et IK :
Comme , le triangle IJK n'est pas isocèle.
Le triangle IJK étant rectangle en I,
> 5. Déterminer le volume d'un tétraèdre
- D'après la question
1. a) , la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK). - D'après la question
3. , la droite (FD) et le plan (IJK) ont un point commun : le point M.
Le tétraèdre FIJK de base IJK a ainsi pour hauteur le segment [FM] dont la longueur est :
> 6. Montrer que des droites sont sécantes
Déterminons tout d'abord les coordonnées du point L :
Le point L a ainsi pour coordonnées . Comme
, le point L appartient au plan (IJK).
D'après la question a pour coordonnées
De plus, nous avons :
(K milieu de [BC] et L milieu de [CG])
Le vecteur a pour coordonnées
.
Les coordonnées des vecteurs et
étant non proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Exercice 2
Commun à tous les candidats
> 1. Calculer une intégrale
La fonction qui à tout réel
de l'intervalle
associe le réel
est continue sur cet intervalle. Elle admet alors des primitives sur cet intervalle.
Appelons la fonction définie sur
par
Cette fonction est dérivable sur cet intervalle (polynôme de degré 1) et sa dérivée est donnée par
À noter que la fonction
est strictement positive sur
:
. La fonction
étant de la forme
avec
strictement positive sur
elle admet par exemple pour primitive la fonction
> 2. a) Établir une égalité
b) Déterminer la valeur exacte d'un terme d'une suite
D'après la question précédente pour nous avons :
ce qui peut également s'écrire
Comme
(question
.
> 3. a) Compléter un algorithme
D'après la question a pour valeur
La phase d'initialisation est alors :
.
Lors de la phase de traitement, l'algorithme doit calculer les termes suivants : à
.
De ce fait, il est nécessaire d'utiliser la relation de récurrence établie à la question fois, ce qui justifie l'emploi d'une boucle itérative « Pour » et ce qui permet de compléter la première ligne de cette phase de traitement :
.
La relation de récurrence est pour tout entier naturel qui peut s'écrire également
. Pour calculer un terme de cette suite, il faut donc soustraire le terme précédent à l'inverse de l'indice du terme recherché. Nous en déduisons la dernière ligne à compléter de cet algorithme :
b) Émettre une conjecture
Nous constatons que se rapproche de zéro quand
devient grand.
Nous constatons également que :
> 4. a) Justifier le sens de variation d'une suite
Soit un entier naturel. Étudions le signe de la différence
Nous avons :
Pour tout réel de l'intervalle
et
. Cela implique que
, et par propriété de l'intégrale,
. Nous en déduisons que pour tout entier naturel n,
ce qui s'écrit également :
.
b) Démontrer la convergence d'une suite
Pour tout entier naturel . Or, pour tout réel
de l'intervalle
et
Le terme
est donc positif comme intégrale d'une fonction positive, fonction qui à tout réel
de
associe
.
La suite étant décroissante et minorée (par zéro), nous en concluons par le théorème de la convergence monotone, que
> 5. Déterminer la limite d'une suite
D'après la question
Par passage à la limite dans la relation précédente, nous avons :
La limite de la suite étant notée
et
nous avons l'égalité :
Ainsi
et
Exercice 3
Commun à tous les candidats
> 1. Déterminer une équation réduite d'une tangente
Désignons par la fonction exponentielle, fonction définie sur
. Cette fonction a pour courbe représentative la courbe d'équation
notée
De plus, cette fonction de référence est dérivable sur est définie par
. En particulier, nous avons pour
:
et
.
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse à la courbe
D'après le premier point, nous en déduisons que qui, après simplification, s'écrit :
.
> 2. Émettre une conjecture
D'après la première question, nous pouvons penser que la valeur joue un rôle prépondérant pour connaître le nombre de points d'intersection entre la courbe
.
Traçons la droite d'équation et la courbe
.
Traçons ensuite plusieurs droites d'équation avec
(figure 2). Nous observons que ces droites sont strictement en dessous de la courbe
avec
(figure 3). Nous observons cette fois-ci que ces droites coupent la courbe



> 3. Valider une conjecture
- Un point M de coordonnées
appartient à la courbe
C et à la droitesi, et seulement si,
et
. Ce qui nous amène à résoudre dans
ℝ l'équationéquivalente à
que nous noterons (E).
- Posons
la fonction définie sur
ℝ par. Cette fonction
est dérivable sur
ℝ comme somme de fonctions dérivables et sa dérivéeest donnée par
. Étudions le signe de cette dérivée suivant les valeurs prises par le réel
pour dresser le tableau de variations de la fonction
.
Tout d'abord, nous avons :

Notez bien
Factoriser permet de lever ici la forme indéterminée pour la différence étudiée.

D'après le premier point, résoudre l'équation (E) dans s'annule. D'après le tableau de variations de
ce nombre de valeurs dépend du signe du minimum de la fonction
à savoir
.
Dans ce cas, , la fonction
s'annule une seule fois en
. Autrement dit,
Similairement au premier cas, . Dans ce cas,
et la fonction
est strictement positive sur
Dans ce cas, , le minimum de la fonction
est strictement négatif. Il faut donc étudier le signe de la fonction
sur
et sur
.
Sur , la fonction
est continue et strictement décroissante. De plus, comme
et
. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction
s'annule une seule fois sur
.
De même, sur , la fonction
est continue et strictement croissante. Comme
et
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction
s'annule une seule fois sur
. Ainsi,
Exercice 4
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
> 1. Construire un arbre pondéré
- Premier niveau de l'arbre : « Candidat ».
47 % des personnes qui ont répondu à ce sondage affirment qu'elles voteront pour le candidat A. La probabilité que l'événement A se réalise est ainsi Les autres affirment qu'elles voteront pour le candidat B : la probabilité de l'événement B est alors de
.
- Deuxième niveau de l'arbre : « Vérité ».
10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat B. Par suite, la probabilité que l'événement , événement contraire de l'événement V, se réalise sachant que l'événement A est réalisé est :
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud (ici, le nœud A) est égale à 1,
.
20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat A. Par suite, la probabilité que l'événement se réalise sachant que l'événement B est réalisé est :
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud (ici, le nœud B) est égale à 1,
.

> 2. a) Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre
La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est la probabilité de l'événement V. L'événement V est associé à deux feuilles : et
. Par conséquent, la probabilité de l'événement V est la somme des probabilités de ces feuilles :
b) Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle, probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu'elle dit la vérité. Cette probabilité conditionnelle se note et par définition :
> 3. Calculer une probabilité
L'événement « la personne vote effectivement pour le candidat A » est associé à deux feuilles : (la personne affirme vouloir voter pour le candidat A et elle vote effectivement pour le candidat A) et
(la personne affirme vouloir voter pour le candidat B et elle ne dit pas la vérité votant ainsi en réalité pour le candidat A). Par conséquent, la probabilité demandée est la somme des probabilités de ces feuilles :
> 4. Utiliser un intervalle de confiance
- Le sondage a été réalisé sur un échantillon représentatif de 1 200 personnes. La taille de l'échantillon considéré est donc
- Parmi les 1 200 personnes sondées, la fréquence observée dans cet échantillon de personnes qui voteront effectivement pour le candidat A est
.
- Comme
et
les conditions sur
et
sont vérifiées et l'intervalle de confiance est :
> 5. Extraire de l'information pour déterminer une valeur
Contacter une personne par téléphone est une épreuve de Bernoulli qui admet deux issues :
- l'événement succès : « la personne contactée accepte de répondre à l'enquête » de probabilité
- l'événement échec : « la personne contactée refuse de répondre à l'enquête » de probabilité
En répétant fois cette épreuve de manière identique et indépendante, nous avons un schéma de Bernoulli d'ordre
. La variable aléatoire
qui, à tout échantillon de
personnes contactées par téléphone, associe le nombre de personnes qui acceptent de répondre à l'enquête, suit donc la loi binomiale de paramètres
et
.
L'institut souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses. Autrement dit, l'espérance de la variable aléatoire doit être égale à 1 200. Or
. Donc,
et
.
Comme dix communications sont réalisées par demi-heure, l'institut devra donc prévoir
Exercice 4
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
> 1. Déterminer une probabilité
D'après l'énoncé, si le fumeur ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9. Par conséquent, il fume le jour suivant avec une probabilité égale à . De même, si le fumeur fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6. Ainsi, la probabilité que le jour suivant il ne fume pas est égale à
. Nous pouvons ainsi représenter la situation au bout du premier jour par l'arbre pondéré suivant, en désignant par
l'événement : « le fumeur fume le
-ième jour » et par
son événement contraire :

est la probabilité que le premier jour après sa décision, le fumeur ne fume pas. Par lecture de l'arbre pondéré,
.
est la probabilité que le premier jour après sa décision, le fumeur fume. Par lecture de l'arbre pondéré,
.
> 2. Compléter une cellule dans un tableur
- Similairement à la question précédente, nous pouvons représenter la situation par l'arbre pondéré suivant :

- La probabilité qu'un fumeur le jour suivant d'un jour donné ne fume pas est :
Remarque. Comme ,
. Nous pouvons également saisir la formule « =0,5*B2+0,4 ».
- La probabilité qu'un fumeur le jour suivant d'un jour donné fume est alors :
Remarque. L'événement contraire de « un fumeur le jour suivant d'un jour donné fume » est naturellement l'événement « un fumeur le jour suivant d'un jour donné ne fume pas ». La formule « =1-B3 » peut également être saisie dans la cellule C3.
> 3. a) Vérifier une égalité matricielle
Nous avons :
Notez bien
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice
b) Vérifier une égalité matricielle
Nous avons d'une part :
Notez bien
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice
c) Établir une égalité matricielle à l'aide d'un raisonnement par récurrence
et d'autre part,
Ainsi, et la propriété
est donc vraie.
Hérédité
Nous supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel
. Démontrons alors que la propriété
est vraie.
(résultats admis question
Conclusion