Liban • Mai 2015
matT_1505_09_01C
Sujets complets
3
Liban • Mai 2015
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (4 points)
Vrai-faux sur les fonctions
Commun à tous les candidats
Pour chacune des propositions suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
définie sur l’intervalle 
.
Proposition 1 : L’équation 
admet une unique solution dans l’intervalle 
.
définie et dérivable sur l’intervalle 
et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction 
, fonction dérivée de la fonction 
sur l’intervalle 
.
Proposition 2 : La fonction 
est strictement décroissante sur l’intervalle 
.
Proposition 3 : La fonction 
est concave sur l’intervalle 
.
définie sur l’intervalle 
par 
.
Proposition 4 : La fonction 
est une fonction de densité de probabilité sur l’intervalle 
.
Exercice 2 (5 points)
Fabrication de parasols et coût unitaire minimal
Commun à tous les candidats
Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction 
définie et dérivable sur l’intervalle 
.
On note 
le nombre de parasols produits par jour et 
le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.
Dans le repère orthogonal ci-après, on a tracé la courbe représentative 
de la fonction 
et la tangente 
à la courbe 
au point 
. Le point 
appartient à la tangente 
.
On admet que 
pour tout 
appartenant à l’intervalle 
.
en expliquant la démarche utilisée. (0,5 point)
pour tout 
appartenant à l’intervalle 
. (0,5 point)
est équivalent à 
. (0,5 point)
et le tableau de variations de 
sur 
. Les valeurs seront arrondies au centime d’euro dans le tableau de variations. (1 point)
définie par :
est une primitive de 
sur l’intervalle 
. (0,5 point)
. (0,5 point)
. (0,5 point)
Exercice 3 (6 points)
Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d’une machine
Commun à tous les candidats
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10–3.
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.
La totalité de la production est réalisée par deux machines 
et 
.
La machine 
fournit 40 % de la production totale et 
le reste.
La machine 
produit 2 % de médailles défectueuses et la machine 
produit 3 % de médailles défectueuses.
Partie A
On prélève au hasard une médaille fabriquée par l’entreprise et on considère les événements suivants :
: « la médaille provient de la machine 
» ;
: « la médaille provient de la machine 
» ;
: « la médaille est défectueuse » ;
est l’événement contraire de 
.
sachant qu’elle est défectueuse. (0,75 point)
On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.
On suppose que la production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.
On note 
la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.
et donner ses paramètres. (0,75 point)
Partie B
Le diamètre, exprimé en millimètre, d’une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu’il appartient à l’intervalle 
.
On note 
la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire 
suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type 0,25.
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de 
.
. (0,5 point)
pour que :
(0,5 point)
Partie C
Dans le cadre d’un fonctionnement correct de la machine 
, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est 3 %.
Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine 
, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.
. (1 point)
Exercice 4 (5 points)
Volume d’eau d’une retenue artificielle
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
Une retenue d’eau artificielle contient 100 000 m3 d’eau le 1er juillet 2013 au matin.
La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l’eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m3 pour l’irrigation des cultures aux alentours.
Cette situation peut être modélisée par une suite 
.
Le 1er juillet 2013 au matin, le volume d’eau en m3 est 
.
Pour tout entier naturel 
supérieur à 0, 
désigne le volume d’eau en m3 au matin du 
-ième jour qui suit le 1er juillet 2013.
au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m3. (0,5 point)
au matin du 3 juillet 2013. (0,5 point)
, on a 
. (0,5 point)
|
L1 |
Variables : |
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
L3 |
Traitement : |
Affecter à |
|
|
L4 |
|
Affecter à |
|
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L5 |
|
Tant que |
|
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L6 |
|
|
Affecter à |
|
L7 |
|
|
Affecter à |
|
L8 |
Sortie : |
Fin Tant que |
|
|
L9 |
|
Afficher ………… |
|
définie pour tout entier naturel 
par :
.
est une suite géométrique de raison 0,96. Préciser son premier terme. (0,5 point)
en fonction de 
. (0,5 point)
:
. (0,5 point)
. (0,5 point)
Exercice 4 (5 points)
Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).
Une étude a montré que, d’une année à l’autre :
- 41 % des clients de l’opérateur SAFIR le quittent pour l’opérateur TECIM ;
- 9 % des clients de l’opérateur TECIM le quittent pour l’opérateur SAFIR ;
- aucun client ne renonce à l’utilisation de la 4G.
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste 
de sommets S et T où :
- S est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur SAFIR » ;
- T est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur TECIM ».
Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel 
:
la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur SAFIR en 
;
la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur TECIM en 
.
On note 
la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 
.
Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’opérateur TECIM atteindra l’objectif d’avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.
Partie A
.
On note 
la matrice ligne correspondant à l’état stable de ce graphe
et 
sont solutions du système
. (0,25 point)
et 
.
Déterminer en justifiant si l’opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)
Partie B
En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l’opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l’opérateur TECIM. Ainsi 
.
, on a 
. (0,5 point)
|
L1 |
Variables : |
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
L3 |
Traitement : |
Affecter à |
|
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L4 |
|
Affecter à |
|
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L5 |
|
Tant que |
|
|
L6 |
|
|
Affecter à |
|
L7 |
|
|
Affecter à |
|
L8 |
|
Fin Tant que |
|
|
L9 |
Sortie : |
Afficher ………… |
|
définie pour tout entier naturel 
par :
.
est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme. (0,5 point)
. (0,5 point)
. (0,5 point)
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Convexité • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
. Le signe de 
donne les variations de 
, le sens de variation de 
est lié à la convexité de 
.
est une fonction de densité sur cet intervalle si et seulement si elle est continue et positive sur 
et son intégrale sur 
est égale à 1.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.
Les conseils du correcteur
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de 
au point d’abscisse 5.
.
est une primitive de 
si et seulement si 
est la dérivée de 
.
de la question précédente.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.
Les conseils du correcteur
Partie A
est égale au nombre de succès lors de la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Partie B
est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance µ, alors la courbe représentative de sa densité de probabilité a pour axe de symétrie la droite d’équation 
.
Partie C
Exercice 4 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Exercice 4 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Pourcentage instantané • Matrice • Graphe probabiliste • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Partie A
dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 
.
Partie B
Exercice 1
Commun à tous les candidats
> 1. Montrer qu’une équation du type f(x) = 0 a une unique solution dans un intervalle donné
D’après le tableau de variations donné :
- le maximum de
sur 
est 
; l’équation 
n’admet donc pas de solution dans cet intervalle ; - la fonction
est continue et strictement croissante sur 
; 
, donc 
. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction continue strictement monotone, l’équation 
a une unique solution dans 
.
On en déduit finalement que l’équation 
admet une unique solution dans l’intervalle 
.
> 2. Étudier graphiquement le sens de variation et la concavité d’une fonction
D’après le graphique, 
est strictement positive sur l’intervalle 
(sa courbe représentative sur cet intervalle est située au-dessus de l’axe des abscisses), 
, donc la fonction 
est strictement croissante sur l’intervalle 
.
Attention !
Ne confondez pas le signe de 
et son sens de variation : 
est positive et décroissante sur 
.
D’après le graphique, 
est décroissante sur 
, donc 
est concave sur cet intervalle.
> 3. Déterminer si une fonction est une fonction de densité de probabilité
Info
Si 
est une variable aléatoire suivant la loi de densité 
pour tout intervalle 
contenu dans 
:
La fonction 
est continue et positive sur 
; son intégrale sur cet intervalle est :
Exercice 2
Commun à tous les candidats
> 1. a) Déterminer graphiquement un nombre dérivé
est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 5 à la courbe représentative de 
; cette tangente est la droite 
, c’est-à-dire la droite 
.
Son coefficient directeur est 
, donc :
b) Calculer la dérivée d’une fonction
Pour tout 
appartenant à l’intervalle 
:
c) Calculer un nombre dérivé
D’après le résultat de la question précédente :
> 2. a) Résoudre une inéquation comportant une exponentielle
Notez bien
Pour tout réel 
strictement positif : 
.
b) Étudier les variations d’une fonction
D’après la question précédente :
si 
;
;
si 
.
On en déduit que 
est strictement décroissante sur 
et strictement croissante sur 
.
À 10-2 près :
;
.
> 3. Déterminer une production entraînant un coût de fabrication unitaire minimal
représente le coût de fabrication unitaire pour 
parasols produits par jour. D’après la question précédente, 
atteint son minimum en
Or le nombre de parasols produits est entier et 
.
, donc pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal, l’entreprise doit produire chaque jour
> 4. a) Montrer qu’une fonction donnée est une primitive d’une autre fonction
La fonction 
définie sur 
par 
est dérivable sur 
et, pour tout 
dans cet intervalle :
b) Calculer une intégrale
c) Reconnaître et interpréter la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
est donc la valeur moyenne de 
sur l’intervalle 
.
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. a) Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré
b) Calculer une probabilité
Notez bien
et 
constituent une partition de l’univers, car une médaille est fabriquée soit par la machine 
, soit par la machine 
.
La probabilité qu’une médaille soit défectueuse est :
c) Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité qu’une médaille soit produite par la machine 
sachant qu’elle est défectueuse est 
.
Par définition d’une probabilité conditionnelle, 
étant non nulle :
> 2. a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire
On répète 20 fois de suite de manière indépendante la même épreuve : prélever une médaille dans la production.
Si on appelle « succès » l’événement « la médaille prélevée est défectueuse », 
compte le nombre de succès lors de ces 20 épreuves, donc 
b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale
La probabilité qu’il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot est 
.
D’après la calculatrice :
Partie B
> 1. Déterminer par lecture graphique l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi normale
La courbe donnée a pour axe de symétrie la droite d’équation 
. On en déduit que la variable aléatoire 
dont la densité de probabilité est représentée a pour espérance :
> 2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
D’après la calculatrice :
> 3. Déterminer un intervalle associé à une loi normale et vérifiant une condition donnée
D’après le cours, on sait que, si 
suit la loi normale d’espérance µ et d’écart type 
, alors 
Puisque le réel 
vérifie 
alors 
, c’est-à-dire :
Partie C
> 1. Calculer une fréquence
L’échantillon est constitué de 180 médailles, dont 11 ont une épaisseur non conforme, donc, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l’épaisseur n’est pas conforme est :
> 2. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation
(proportion admise de médailles non conformes dans la production).
On détermine un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de médailles non conformes dans les échantillons de taille 180, en vérifiant au préalable que les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies :
Donc un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :
.
L’intervalle 
est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de médailles non conformes relatif aux échantillons de taille 180.
, donc au risque d’erreur de 5 %, on peut considérer que la machine 
est mal réglée (la fréquence de pièces défectueuses dans l’échantillon est trop éloignée de la valeur admise), 
Exercice 4
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
> 1. a) Calculer le deuxième terme d’une suite
Notez bien
0,96 est le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 4 %.
Le volume d’eau diminue chaque jour de 4 % par évaporation et de 500 m3 suite à la quantité d’eau libérée chaque soir pour l’irrigation des cultures, d’où :
b) Calculer le troisième terme d’une suite
c) Déterminer une relation de récurrence entre deux termes successifs d’une suite
Comme aux deux questions précédentes, pour tout entier naturel 
:
> 2. Compléter un algorithme
|
L1 |
Variables : |
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
L3 |
Traitement : |
Affecter à |
|
|
L4 |
|
Affecter à |
|
|
L5 |
|
Tant que |
|
|
L6 |
|
|
Affecter à |
|
L7 |
|
|
Affecter à |
|
L8 |
|
Fin Tant que |
|
|
L9 |
Sortie : |
Afficher |
|
> 3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
Donc 
Son premier terme est 
b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
> 4. a) Résoudre une inéquation d’inconnue un entier naturel
.
Attention !
On divise les deux membres de l’inégalité par 
, et 
car 
.
D’où :
.
Or, 
.
b) Donner une interprétation concrète d’un résultat numérique
.
Si l’évolution se poursuit de la même manière,
Exercice 4
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
> 1. Dessiner le graphe probabiliste associé à une situation
> 2. a) Déterminer les conditions vérifiées par l’état stable d’un graphe
Si 
est la matrice ligne correspondant à l’état stable du graphe 
, alors :
et 
Cette égalité de matrices équivaut à :
qui équivaut à :
Donc les nombres 
et 
sont solutions du système :
b) Résoudre un système de deux équations à deux inconnues
Le système précédent est équivalent à :
c’est-à-dire 
, soit 
.
Le couple solution du système précédent est donc :
> 3. Déterminer si un terme d’une suite atteint une valeur donnée
D’après le résultat de la question précédente, le nombre de clients de l’opérateur TECIM tend à se stabiliser autour de 82 % de la population utilisatrice de la 4G, donc, au bout d’un certain nombre d’années, cet opérateur aura comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G ;
Partie B
> 1. Déterminer des termes d’une suite
La répartition des clients de la 4G au bout d’un an est donnée par :
La répartition au bout de deux ans est donnée par :
Donc au bout de deux ans,
> 2. Déterminer une relation entre deux termes successifs d’une suite
Pour tout entier naturel 
:
> 3. Compléter un algorithme
|
L1 |
Variables : |
|
|
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L2 |
|
|
|
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L3 |
Traitement : |
Affecter à |
|
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L4 |
|
Affecter à |
|
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L5 |
|
Tant que |
|
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L6 |
|
|
Affecter à |
|
L7 |
|
|
Affecter à |
|
L8 |
|
Fin Tant que |
|
|
L9 |
Sortie : |
Afficher |
|
> 4. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
Son premier terme est 
b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite
D’après le cours, pour tout entier naturel 
:
.
D’où :
c) Résoudre une inéquation d’inconnue un entier naturel
.
Attention !
On divise les deux membres de l’inégalité par 
, et 
car 
.
D’où :
.
Or 
.
d) Donner une interprétation concrète d’un résultat numérique
.
Si l’évolution se poursuit de la même manière,