Sujet complet du Liban 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Sujet complet du Liban 2015

Liban • Mai 2015

matT_1505_09_01C

Sujets complets

3

Liban • Mai 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
Vrai-faux sur les fonctions

Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

>1. On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction définie sur l’intervalle .


 

Proposition 1 : L’équation admet une unique solution dans l’intervalle .

>2. On considère une fonction définie et dérivable sur l’intervalle et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction , fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle .


 

Proposition 2 : La fonction est strictement décroissante sur l’intervalle .

Proposition 3 : La fonction est concave sur l’intervalle .

>3. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction définie sur l’intervalle par .


 

Proposition 4 : La fonction est une fonction de densité de probabilité sur l’intervalle .

Exercice 2 (5 points)
Fabrication de parasols et coût unitaire minimal

Commun à tous les candidats

Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction définie et dérivable sur l’intervalle .

On note le nombre de parasols produits par jour et le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.

Dans le repère orthogonal ci-après, on a tracé la courbe représentative de la fonction et la tangente à la courbe au point . Le point appartient à la tangente .

On admet que pour tout appartenant à l’intervalle .


 

>1.a) Déterminer graphiquement la valeur de en expliquant la démarche utilisée. (0,5 point)

b) Déterminer l’expression de pour tout appartenant à l’intervalle . (0,5 point)

c) Expliquer comment retrouver la réponse obtenue dans la question 1. a). (0,5 point)

>2.a) Montrer que est équivalent à . (0,5 point)

b) En déduire le signe de et le tableau de variations de sur . Les valeurs seront arrondies au centime d’euro dans le tableau de variations. (1 point)

>3. Déterminer, par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l’entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal. (0,5 point)

>4.a) Montrer que la fonction définie par :

est une primitive de sur l’intervalle . (0,5 point)

b) Déterminer la valeur exacte de l’intégrale . (0,5 point)

c) Interpréter dans le contexte de l’exercice la valeur de . (0,5 point)

Exercice 3 (6 points)
Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d’une machine

Commun à tous les candidats

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10–3.

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.

La totalité de la production est réalisée par deux machines et .

La machine fournit 40 % de la production totale et le reste.

La machine produit 2 % de médailles défectueuses et la machine produit 3 % de médailles défectueuses.

Partie A

On prélève au hasard une médaille fabriquée par l’entreprise et on considère les événements suivants :

  •  : « la médaille provient de la machine  » ;
  • : « la médaille provient de la machine  » ;
  •  : « la médaille est défectueuse » ;
  • est l’événement contraire de .

>1.a) Traduire cette situation par un arbre pondéré. (0,5 point)

b) Montrer que la probabilité qu’une médaille soit défectueuse est égale à 0,026. (0,5 point)

c) Calculer la probabilité qu’une médaille soit produite par la machine  sachant qu’elle est défectueuse. (0,75 point)

>2. Les médailles produites sont livrées par lots de 20.

On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.

On suppose que la production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.

On note la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.

a) Préciser la loi que suit et donner ses paramètres. (0,75 point)

b) Calculer la probabilité qu’il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot. (0,5 point)

Partie B

Le diamètre, exprimé en millimètre, d’une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu’il appartient à l’intervalle .

On note la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type 0,25.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de .


 

>1. Indiquer par lecture graphique la valeur de µ. (0,5 point)

>2. Déterminer à l’aide de la calculatrice la probabilité :

. (0,5 point)

>3. En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de pour que :

(0,5 point)

Partie C

Dans le cadre d’un fonctionnement correct de la machine , on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est 3 %.

Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine , on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

>1. Calculer, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l’épaisseur n’est pas conforme. (0,5 point)

>2. Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d’arrêter la production pour procéder au réglage de la machine . (1 point)

Exercice 4 (5 points)
Volume d’eau d’une retenue artificielle

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Une retenue d’eau artificielle contient 100 000 m3 d’eau le 1er juillet 2013 au matin.

La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l’eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m3 pour l’irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite .

Le 1er juillet 2013 au matin, le volume d’eau en m3 est .

Pour tout entier naturel supérieur à 0, désigne le volume d’eau en m3 au matin du -ième jour qui suit le 1er juillet 2013.

>1. a) Justifier que le volume d’eau au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m3. (0,5 point)

b) Déterminer le volume d’eau au matin du 3 juillet 2013. (0,5 point)

c) Montrer que, pour tout entier naturel , on a . (0,5 point)

>2. Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d’eau, on a commencé par élaborer l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu’il donne le résultat attendu. (1 point)

 

L1

Variables :

est un nombre réel

L2

est un entier naturel

L3

Traitement :

Affecter à la valeur 100 000

L4

Affecter à la valeur 0

L5

Tant que

L6

Affecter à la valeur …………

L7

Affecter à la valeur …………

L8

Sortie :

Fin Tant que

L9

Afficher …………

 

>3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,96. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel  :

. (0,5 point)

>4. a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

. (0,5 point)

b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points)
Répartition des utilisateurs de la 4G entre deux opérateurs

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).

Une étude a montré que, d’une année à l’autre :

  • 41 % des clients de l’opérateur SAFIR le quittent pour l’opérateur TECIM ;
  • 9 % des clients de l’opérateur TECIM le quittent pour l’opérateur SAFIR ;
  • aucun client ne renonce à l’utilisation de la 4G.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets S et T où :

  • S est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur SAFIR » ;
  • T est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur TECIM ».

Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel  :

  • la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur SAFIR en  ;
  • la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur TECIM en .

On note la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année .

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’opérateur TECIM atteindra l’objectif d’avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.

Partie A

>1. Dessiner le graphe probabiliste G. (0,5 point)

>2. On admet que la matrice de transition du graphe G en considérant les sommets dans l’ordre S et T est .

On note la matrice ligne correspondant à l’état stable de ce graphe G.

a) Montrer que les nombres et sont solutions du système 

. (0,25 point)

b) Résoudre le système précédent. (0,5 point)

>3. On admet que et .

Déterminer en justifiant si l’opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)

Partie B

En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l’opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l’opérateur TECIM. Ainsi .

>1. Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans. (0,25 point)

>2. Montrer que, pour tout entier naturel , on a . (0,5 point)

>3. Pour déterminer au bout de combien d’années l’opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu’il donne le résultat attendu. (0,75 point)

 

L1

Variables :

est un nombre

L2

est un nombre entier

L3

Traitement :

Affecter à la valeur 0,65

L4

Affecter à la valeur 0

L5

Tant que

L6

Affecter à la valeur …………

L7

Affecter à la valeur …………

L8

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher …………

 

>4. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que . (0,5 point)

c) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

. (0,5 point)

d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,25 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Convexité • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

>2. La courbe donnée représente la fonction . Le signe de donne les variations de , le sens de variation de est lié à la convexité de .

>3. Une fonction définie sur un intervalle est une fonction de densité sur cet intervalle si et seulement si elle est continue et positive sur et son intégrale sur est égale à 1.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

>1.a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 5.

>2. a) Utilisez la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante sur .

>3. Le nombre de parasols produits chaque jour est un nombre entier.

>4.a) est une primitive de si et seulement si est la dérivée de .

b) Utilisez la fonction de la question précédente.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1.c) La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

>2.c) Si on appelle « succès » l’événement « la médaille est défectueuse », la variable aléatoire est égale au nombre de succès lors de la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Partie B

>1. Si est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance µ, alors la courbe représentative de sa densité de probabilité a pour axe de symétrie la droite d’équation .

Partie C

>2. Après avoir vérifié les conditions de validité, utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence relatif aux échantillons de taille 180, dans le cas où la proportion de médailles défectueuses sur l’ensemble des médailles produites est égale à 0,03.

Exercice 4 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

>3.b) Utilisez la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique dont le premier terme et la raison sont connus.

>4. a) On peut utiliser la fonction logarithme népérien.

Exercice 4 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Pourcentage instantané • Matrice • Graphe probabiliste • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>2. L’état stable est associé à l’unique matrice ligne dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que .

Partie B

>2. b) Utilisez la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique dont le premier terme et la raison sont connus.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Montrer qu’une équation du type f(x)=0 a une unique solution dans un intervalle donné

D’après le tableau de variations donné :

  • le maximum de sur est  ; l’équation n’admet donc pas de solution dans cet intervalle ;
  • la fonction est continue et strictement croissante sur  ; , donc . D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction continue strictement monotone, l’équation a une unique solution dans .

On en déduit finalement que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle .

La proposition1est vraie.

>2. Étudier graphiquement le sens de variation et la concavité d’une fonction

D’après le graphique, est strictement positive sur l’intervalle (sa courbe représentative sur cet intervalle est située au-dessus de l’axe des abscisses), , donc la fonction est strictement croissante sur l’intervalle .

La proposition2est fausse.

Attention !

Ne confondez pas le signe de et son sens de variation : est positive et décroissante sur .

D’après le graphique, est décroissante sur , donc est concave sur cet intervalle.

La proposition3est vraie.

>3. Déterminer si une fonction est une fonction de densité de probabilité

Info

Si est une variable aléatoire suivant la loi de densité pour tout intervalle contenu dans  :

La fonction est continue et positive sur  ; son intégrale sur cet intervalle est :

La proposition4est vraie.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1. a) Déterminer graphiquement un nombre dérivé

est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 5 à la courbe représentative de  ; cette tangente est la droite , c’est-à-dire la droite .

Son coefficient directeur est , donc :

b) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à l’intervalle  :

c) Calculer un nombre dérivé

D’après le résultat de la question précédente :

>2. a) Résoudre une inéquation comportant une exponentielle

Notez bien

Pour tout réel strictement positif : .

b) Étudier les variations d’une fonction

D’après la question précédente :

  • si  ;
  •  ;
  • si .

On en déduit que est strictement décroissante sur et strictement croissante sur .


 

À 10-2 près :

;

.

>3. Déterminer une production entraînant un coût de fabrication unitaire minimal

représente le coût de fabrication unitaire pour parasols produits par jour. D’après la question précédente, atteint son minimum en

Or le nombre de parasols produits est entier et

.

, donc pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal, l’entreprise doit produire chaque jour 12 parasols.

>4. a) Montrer qu’une fonction donnée est une primitive d’une autre fonction

La fonction définie sur par est dérivable sur et, pour tout dans cet intervalle :

La fonctionest donc une primitive desur l’intervalle.

b) Calculer une intégrale

c) Reconnaître et interpréter la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

est donc la valeur moyenne de sur l’intervalle  .

représente le coût de fabrication unitaire moyen lorsque l’entreprise produit entre 5 et 15 parasols par jour.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. a) Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré


 

b) Calculer une probabilité

Notez bien

et constituent une partition de l’univers, car une médaille est fabriquée soit par la machine , soit par la machine .

La probabilité qu’une médaille soit défectueuse est :

c) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’une médaille soit produite par la machine  sachant qu’elle est défectueuse est .

Par définition d’une probabilité conditionnelle, étant non nulle :

>2. a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

On répète 20 fois de suite de manière indépendante la même épreuve : prélever une médaille dans la production.

Si on appelle « succès » l’événement « la médaille prélevée est défectueuse », compte le nombre de succès lors de ces 20 épreuves, donc suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,026, notée.

b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

La probabilité qu’il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot est .

D’après la calculatrice :

Partie B

>1. Déterminer par lecture graphique l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi normale

La courbe donnée a pour axe de symétrie la droite d’équation . On en déduit que la variable aléatoire dont la densité de probabilité est représentée a pour espérance :

>2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la calculatrice :

>3. Déterminer un intervalle associé à une loi normale et vérifiant une condition donnée

D’après le cours, on sait que, si suit la loi normale d’espérance µ et d’écart type , alors

Puisque le réel vérifie alors , c’est-à-dire :

Partie C

>1. Calculer une fréquence

L’échantillon est constitué de 180 médailles, dont 11 ont une épaisseur non conforme, donc, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l’épaisseur n’est pas conforme est :

>2. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation

(proportion admise de médailles non conformes dans la production).

On détermine un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de médailles non conformes dans les échantillons de taille 180, en vérifiant au préalable que les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies :

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :

.

L’intervalle est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de médailles non conformes relatif aux échantillons de taille 180.

, donc au risque d’erreur de 5 %, on peut considérer que la machine est mal réglée (la fréquence de pièces défectueuses dans l’échantillon est trop éloignée de la valeur admise), donc la décision d’arrêter la production pour procéder au réglage de la machineest pertinente.

Exercice 4

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

>1. a) Calculer le deuxième terme d’une suite

Notez bien

0,96 est le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 4 %.

Le volume d’eau diminue chaque jour de 4 % par évaporation et de 500 m3 suite à la quantité d’eau libérée chaque soir pour l’irrigation des cultures, d’où :

Au matin du 2 juillet 2013, le volume d’eaudans la retenue est donc de 95 500 m3.

b) Calculer le troisième terme d’une suite

Au matin du 3 juillet 2013, le volume d’eaudans la retenue est donc de 91 180 m3.

c) Déterminer une relation de récurrence entre deux termes successifs d’une suite

Comme aux deux questions précédentes, pour tout entier naturel  :

>2. Compléter un algorithme

 

L1

Variables :

est un nombre réel

L2

est un entier naturel

L3

Traitement :

Affecter à la valeur 100 000

L4

Affecter à la valeur 0

L5

Tant que

L6

Affecter à la valeur

L7

Affecter à la valeur

L8

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher N

 

>3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel :

Donc la suiteest une suite géométrique de raison 0,96.

Son premier terme est

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

Pour tout entier naturel :

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel :

>4. a) Résoudre une inéquation d’inconnue un entier naturel

.

Attention !

On divise les deux membres de l’inégalité par , et car .

D’où :

.

Or, .

Donc l’ensemble des entiers naturels solutions de l’inéquationest l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à 54.

b) Donner une interprétation concrète d’un résultat numérique

.

Si l’évolution se poursuit de la même manière, au bout de 54 jours il n’y aura plus d’eau dans la retenue.

Exercice 4

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

>1. Dessiner le graphe probabiliste associé à une situation


 

>2. a) Déterminer les conditions vérifiées par l’état stable d’un graphe

Si est la matrice ligne correspondant à l’état stable du graphe , alors :

et

Cette égalité de matrices équivaut à :

qui équivaut à :

Donc les nombres et sont solutions du système :

b) Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Le système précédent est équivalent à :

c’est-à-dire , soit .

Le couple solution du système précédent est donc :

>3. Déterminer si un terme d’une suite atteint une valeur donnée

D’après le résultat de la question précédente, le nombre de clients de l’opérateur TECIM tend à se stabiliser autour de 82 % de la population utilisatrice de la 4G, donc, au bout d’un certain nombre d’années, cet opérateur aura comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G ; il devrait donc atteindre son objectif.

Partie B

>1. Déterminer des termes d’une suite

La répartition des clients de la 4G au bout d’un an est donnée par :

La répartition au bout de deux ans est donnée par :

Donc au bout de deux ans, 22,25 % des utilisateurs de la 4G sont clients de l’opérateur SAFIR, 77,75 % des utilisateurs de la 4G sont clients de l’opérateur TECIM.

>2. Déterminer une relation entre deux termes successifs d’une suite

Pour tout entier naturel  :

>3. Compléter un algorithme

 

L1

Variables :

est un nombre

L2

est un nombre entier

L3

Traitement :

Affecter à la valeur 0,65

L4

Affecter à la valeur 0

L5

Tant que

L6

Affecter à la valeur

L7

Affecter à la valeur

L8

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher

 

>4. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel :

Donc la suiteest une suite géométrique de raison 0,5.

Son premier terme est

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

D’après le cours, pour tout entier naturel  :

.

D’où :

c) Résoudre une inéquation d’inconnue un entier naturel

.

Attention !

On divise les deux membres de l’inégalité par , et car .

D’où :

.

Or .

Donc l’ensemble des entiers naturels solutions de l’inéquationest l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à 4.

d) Donner une interprétation concrète d’un résultat numérique

.

Si l’évolution se poursuit de la même manière, au bout de 4 ans, plus de 80 % des utilisateurs de la 4G seront clients de l’opérateur TECIM.