Sujet complet du Liban 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

 

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Liban • Mai 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet du Liban 2016

Exercice 1 (4 points)
 Section d’un octaèdre par un plan

Commun à tous les candidats

On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I. Une représentation en perspective de ce solide est donnée ci-dessous. Toutes les arêtes sont de longueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé 5217891-Eqn1.

matT_1605_09_01C_01

1. a) Montrer que 5217891-Eqn2.

En déduire les coordonnées des points I, E et F.

b) Montrer que le vecteur 5217891-Eqn3 est normal au plan (ABE).

c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).

2. On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].

a) Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

b) Déterminer l’intersection des plans (EMN) et (FDC).

c) Construire sur la figure ci-dessus la section du solide ADECBF par le plan (EMN).

Exercice 2 (4 points) 
Jouons au tennis !

Commun à tous les candidats

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.

Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.

Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à 10−3 près.

Partie A

Le joueur s’apprête à recevoir une série de 20 balles.

1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?

2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?

Partie B

Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

Partie C

Pour augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées », soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.

Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :

la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0,24 ;

la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0,235.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?

Exercice 3 (4 points)
 Intégrons !

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

5217891-Eqn4.

Partie A

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], 5217891-Eqn5 (on rappelle que e = e1).

3. Montrer alors que 5217891-Eqn6.

Partie B

Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0 ; 1] par :

5217891-Eqn7.

On note n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d’un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général :

5217891-Eqn8.

1. On a tracé ci-dessous les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 0 représentative de la fonction f0.

matT_1605_09_01C_02

2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u0.

3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.

4. La suite (un) admet-elle une limite ?

Exercice 4 (5 points) 
Le fourre-tout

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d’une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance μ = 20. La probabilité que la variable aléatoire X soit comprise entre 20 et 21,6 est égale à 0,34.

matT_1605_09_01C_03

Affirmation 1 : La probabilité que la variable aléatoire X appartienne à l’intervalle [23,2 ; + ∞[ vaut environ 0,046.

2. Soit z un nombre complexe différent de 2. On pose :

5217891-Eqn9.

Affirmation 2 : L’ensemble des points du plan complexe d’affixe z tels que |Z = 1 est une droite passant par le point A(1 ; 0).

Affirmation 3 : Z est un imaginaire pur si et seulement si z est réel.

3. Soit f la fonction définie sur par :

5217891-Eqn9b.

Affirmation 4 : L’équation f(x= 0,5 admet une unique solution sur .

Affirmation 5 : L’algorithme suivant affiche en sortie la valeur 0,54.

Variables

X et Y sont des réels

Initialisation

X prend la valeur 0

Y prend la valeur 5217891-Eqn10

Traitement

Tant que Y < 0,5

   

X prend la valeur X + 0,01

Y prend la valeur 5217891-Eqn11

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher X

Exercice 4 (5 points)
 D’accord ou pas d’accord ?

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. On considère le système 5217891-Eqn12 d’inconnue n entier relatif.

Affirmation 1. Si n est solution de ce système alors n – 11 est divisible par 4 et par 5.

Affirmation 2. Pour tout entier relatif k, l’entier 11 + 20k est solution du système.

Affirmation 3. Si un entier relatif n est solution du système alors il existe un entier relatif k tel que = 11 + 20k.

2. Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l’automate se trouve dans l’état A après n secondes et bn la probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après n secondes. Au départ, l’automate est dans l’état B.

matT_1605_09_01C_04

On considère l’algorithme suivant :

Variables

a et b sont des réels

Initialisation

a prend la valeur 0

b prend la valeur 1

Traitement

Pour k allant de 1 à 10

   

a prend la valeur 0,8a + 0,3b

b prend la valeur 1 – a

 

Fin Pour

Sortie

Afficher a

Afficher b

Affirmation 4. En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10.

Affirmation 5. Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B.

Exercice 5 (3 points) 
De la suite dans les idées

Commun à tous les candidats

On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :

5217891-Eqn13

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn. On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.

1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par u= zzA.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, 5217891-Eqn14.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel :

5217891-Eqn15.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Positions relatives  E24c • E25 2. a) et b)

Vecteur normal à un plan  E33a 1. b)

Repérage  E29 1. a)

Produit scalaire  E31c 1. b) et 2. a)

Équation cartésienne d’un plan  E33a • E33c 1. c)

Nos coups de pouce

1. a) Justifiez que (EI) est une hauteur du triangle EAC et appliquez ensuite le théorème de Pythagore dans le triangle EIA.

2. a) Démontrez que le plan (ABE) contient deux droites sécantes qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan (FDC) ou alors démontrez que 5217891-Eqn16 est normal au plan (FDC).

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes.

Les thèmes clés

Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Probabilité conditionnelle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi binomiale  E39 Partie A

Probabilités avec une loi binomiale  C2 Partie A

Intervalle de fluctuation  E43 Partie B

Conditionnement, arbre pondéré  E35 • E37 Partie C

Nos coups de pouce

Partie A

Pensez à définir clairement la variable aléatoire implicitement utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d’identifier la loi suivie par cette variable aléatoire. Menez ensuite à bien les calculs demandés de probabilité à l’aide d’une calculatrice.

Partie B

Pensez à définir un intervalle de fluctuation. Pour ce faire, identifiez la taille n de l’échantillon considéré et la proportion p du caractère étudié mise en doute. Concluez selon l’appartenance ou non de la fréquence observée du caractère étudié sur l’échantillon à l’intervalle de fluctuation défini.

Partie C

Illustrez la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Dérivation et intégration • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Fonction exponentielle  E8a • E8b • E8d • E8e Partie A ; Partie B, 3.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b Partie A, 3.

Intégration  E7c • E11 • E13 • E14 • E15c Partie A, 3. ; Partie B, 1., 2. et 3.

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie A, 1. et 3.

Suites  E2a • E2b • E2e Partie B, 3. et 4.

Nos coups de pouce

Partie A

3. Déterminez une primitive de la fonction f à l’aide de la question précédente. Calculez ensuite l’intégrale et concluez en utilisant quelques propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien.

Partie B

4. Pensez à utiliser le théorème de convergence monotone.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Nombres complexes • Fonctions • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Probabilités  E40a • E40e Affirmation 1

Nombres complexes  E16 • E17 • E18 • E22 Affirmations 2 et 3

Limites  E5 Affirmation 4

Dérivation  E6c • E6e • E6f Affirmation 4

Continuité  E7b • E7c Affirmation 4

Exponentielle  E8 Affirmation 4

Nos coups de pouce

Affirmation 1. Utilisez l’information donnée dans l’énoncé pour déterminer une valeur approchée de l’écart type de la loi normale considérée. Utilisez ensuite les propriétés classiques de la loi normale pour conclure.

Affirmation 3. Écrivez le nombre complexe Z sous forme algébrique. Pour ce faire, posez z = a + ib (a et b réels).

Affirmation 4. Pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Au préalable, dressez le tableau complet de variations de la fonction f sur ℝ.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calcul matriciel  C5 Affirmation 5

Nos coups de pouce

Affirmation 4. Définissez l’état de l’automate après n secondes à l’aide d’une matrice colonne et déterminez la matrice de transition associée à la situation proposée. Établissez alors une relation de récurrence qui relie 5217891-Eqn17 avec 5217891-Eqn18 et 5217891-Eqn19 et comparez avec les affectations qui figurent dans ­l’algorithme.

Affirmation 5. Pensez à une formule qui permet de déterminer l’état de l’automate après n secondes uniquement à partir de l’état initial et de la matrice de transition.

Exercice 5 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Raisonnement par récurrence  E1 1. b)

Argument d’un nombre complexe  E19 • E22 2.

Nos coups de pouce

1. b) Pensez à un raisonnement par récurrence.

2. Démontrez l’alignement des points indiqués à l’aide d’un angle orienté bien choisi en exploitant judicieusement un argument d’un nombre complexe associé à votre angle orienté.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

1. a) Déterminer des coordonnées de points

Dans le triangle ABC rectangle en B (ABCD est un carré), d’après le théorème de Pythagore :

5217891-Eqn20 et 5217891-Eqn21.

Toutes les arêtes du solide ADECBF sont de longueur 1 donc EA = EC. Le triangle EAC est donc isocèle en E. I est le centre du carré ABCD donc I est le milieu de [AC].

La droite (EI) est ainsi une médiane dans le triangle EAC isocèle en E, c’est donc aussi une hauteur. Par conséquent, (EI) est perpendiculaire à (AC) en I.

Dans le triangle EIA rectangle en I, d’après le théorème de Pythagore :

5217891-Eqn22

Par conséquent, 5217891-Eqn23.

Notez bien

Si ABCD est un parallélogramme alors 5217891-Eqn24 (règle du parallélogramme).

5217891-Eqn25

Nous avons donc I(0,5 ; 0,5 ; 0).

Nous avons vu que (EI) est perpendiculaire à (AC) en I. Nous pouvons démontrer de manière similaire que (EI) est perpendiculaire à (BD) en I. Par conséquent, (EI) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (ABC). La droite (EI) est donc orthogonale au plan (ABC) et le vecteur 5217891-Eqn26 est colinéaire au vecteur 5217891-Eqn27. Remarquons que 5217891-Eqn28 et 5217891-Eqn29 sont de même sens donc 5217891-Eqn30.

5217891-Eqn31.

Nous avons donc 5217891-Eqn32.

Les deux pyramides qui forment le solide ADECBF sont identiques donc 5217891-Eqn33. Nous pouvons démontrer comme précédemment que la droite (FI) est orthogonale au plan (ABC). Ainsi le vecteur 5217891-Eqn34 est colinéaire au vecteur 5217891-Eqn35 et, en remarquant que 5217891-Eqn36 et 5217891-Eqn37 sont de sens opposé, nous avons 5217891-Eqn38.

5217891-Eqn39

Nous avons donc 5217891-Eqn40.

b) Identifier un vecteur normal à un plan

Le point A étant l’origine du repère, nous avons directement 5217891-Eqn41 et 5217891-Eqn42.

Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

5217891-Eqn43 donc 5217891-Eqn44.

5217891-Eqn45 donc 5217891-Eqn46.

5217891-Eqn47 est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABE) donc 5217891-Eqn48 est normal au plan (ABE).

c) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

5217891-Eqn49 est normal au plan (ABE) donc une équation cartésienne de (ABE) est 5217891-Eqn505217891-Eqn51 est un réel à déterminer.

5217891-Eqn52 donc 5217891-Eqn53 or 5217891-Eqn54 donc d = 0.

Une équation cartésienne de (ABE) est donc 5217891-Eqn55.

2. a) Démontrer que deux plans sont parallèles

Méthode géométrique

ABCD est un carré donc (AB) et (CD) sont parallèles.

Notez bien

Deux plans sont parallèles si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

I est le milieu de [EF] car 5217891-Eqn56. I est aussi le milieu de [BD] car I est le centre du carré ABCD. Ainsi [EF] et [BD] se coupent en leur milieu donc EBFD est un parallélogramme et (EB) est parallèle à (FD).

Le plan (ABE) contient deux droites sécantes (AB) et (EB) qui sont respectivement parallèles à (CD) et (FD) qui sont deux droites sécantes du plan (FDC).

Par conséquent, les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

Méthode analytique

5217891-Eqn57 donc nous avons 5217891-Eqn58.

5217891-Eqn59

donc nous avons 5217891-Eqn60.

Les coordonnées de 5217891-Eqn61 et 5217891-Eqn62 ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

5217891-Eqn63 donc 5217891-Eqn64.

5217891-Eqn65 donc 5217891-Eqn66.

5217891-Eqn67 est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FDC) donc 5217891-Eqn68 est normal au plan (FDC).

Nous avons ainsi 5217891-Eqn69 qui est normal au plan (FDC) et 5217891-Eqn70 qui est normal au plan (ABE) (question 1. b)). Par conséquent, les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

b) Déterminer l’intersection de deux plans

D’après l’énoncé, M est le milieu de [DF] donc 5217891-Eqn71. Nous avons aussi 5217891-Eqn72. Ainsi 5217891-Eqn73.

Attention !

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

D’après l’énoncé, N est le milieu de [AB] donc 5217891-Eqn74. Nous avons aussi 5217891-Eqn75. Ainsi 5217891-Eqn76. Or nous avons aussi5217891-Eqn77. Par conséquent, l’intersection des plans (ABE) et (EMN) est la droite (NE). (ABE) et (EMN) sont sécants suivant la droite (NE).

Or (FDC) et (ABE) sont parallèles et 5217891-Eqn78.

L’intersection des plans (FDC) et (EMN) est donc la parallèle à (NE) passant par M.

c) Construire la section d’un solide par un plan

(ABE) et (EMN) sont sécants suivant la droite (NE).

L’intersection des plans (FDC) et (EMN) est la parallèle à (NE) passant par M. Cette droite coupe (CD) en G. (CDE) et (EMN) sont alors sécants suivant la droite (EG).

matT_1605_09_01C_05

Comme dans la question 2. b), on pourrait démontrer de manière similaire que les plans (EDC) et (ABF) sont parallèles. L’intersection des plans (ABF) et (EMN) est donc la parallèle à (EG) passant par N. Elle coupe [AF] en H. Reste à tracer le segment [HM].

La section du solide ADECBF par le plan (EMN) est donc le polygone NHMGE.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie A

> 1. Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notons S la variable aléatoire qui, à toute série de 20 balles envoyées au hasard par le lance-balle, associe le nombre de balles envoyées à droite.

Selon le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard une balle soit à droite soit à gauche avec la même probabilité. On est alors dans le cadre d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la balle est envoyée à droite » de probabilité 5217891-Eqn79 et l’échec est « la balle est envoyée à gauche » de probabilité 5217891-Eqn80 Cette épreuve est répétée 20 fois, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 20, S comptant le nombre de succès dans ce schéma. S suit donc la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,5.

La probabilité demandée s’écrit : 5217891-Eqn81. À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1605_09_01C_06

matT_1605_09_01C_07

La probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite est environ 0,176.

> 2. Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notez bien

Pour une variable aléatoire discrète 5217891-Eqn835217891-Eqn84

5217891-Eqn855217891-Eqn86 étant des entiers.

On reprend la variable aléatoire S de la question précédente. La probabilité demandée s’écrit : 5217891-Eqn82.

Or,5217891-Eqn87

À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1605_09_01C_08

matT_1605_09_01C_09

La probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite est environ 0,582.

partie B

Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision

Selon le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard une balle à droite ou à gauche avec la même probabilité. Par suite, d’après le constructeur, la probabilité que le lance-balle envoie une balle choisie au hasard à droite est 5217891-Eqn88 Le joueur en doute.

Les doutes du joueur font suite à une séquence de 100 lancers effectués. Pour remettre en cause éventuellement l’affirmation du constructeur, le joueur se base alors sur un échantillon aléatoire de 5217891-Eqn89 100 lancers.

Comme 5217891-Eqn905217891-Eqn91 et 5217891-Eqn92 l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est bien défini et donné par :

5217891-Eqn93

Sur sa séquence de 100 lancers, le joueur a compté 42 balles lancées à droite. La fréquence observée f de balles lancées à droite pour cette séquence est donc 5217891-Eqn94 Comme la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % 5217891-Eqn95 le joueur ne peut pas remettre en cause l’information fournie par le manuel du constructeur à partir de la séquence qu’il a effectuée. Ses doutes ne sont pas justifiés.

partie C

Déterminer une probabilité conditionnelle

Considérons une balle choisie au hasard et envoyée par ce lance-balle. Notons D l’événement « la balle est envoyée à droite », G l’événement « la balle est envoyée à gauche », C l’événement « la balle est coupée » et L l’événement « la balle est liftée ».

La probabilité demandée est la probabilité qu’une balle choisie au hasard soit envoyée à droite sachant que le lance-balle l’a envoyée coupée. Cette probabilité est une probabilité conditionnelle et se note : 5217891-Eqn96. Or, par définition, on a 5217891-Eqn97 à condition que 5217891-Eqn98 soit non nul. Pour la calculer, il nous faut alors déterminer 5217891-Eqn99 et 5217891-Eqn100. Représentons la situation décrite dans l’énoncé de cette partie à l’aide d’un arbre pondéré.

La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Ainsi,5217891-Eqn101.

La probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée et à droite est 0,24. L’événement considéré étant l’événement 5217891-Eqn102, on a 5217891-Eqn103.

Notez bien

5217891-Eqn106 et 5217891-Eqn107 désignent le même événement : « la balle est envoyée à droite liftée ». De même, 5217891-Eqn108 et 5217891-Eqn109 désignent l’événement : « la balle est envoyée à gauche coupée ».

La probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée et à gauche est 0,235.

L’événement considéré étant l’événement 5217891-Eqn104, on a 5217891-Eqn105.

On peut alors représenter la situation par l’arbre partiellement pondéré suivant :

matT_1605_09_01C_10

L’événement D étant associé aux deux feuilles 5217891-Eqn110 et 5217891-Eqn111, on a l’égalité suivante :

5217891-Eqn112.

Or, d’après l’énoncé, P(D) = 0,5 et 5217891-Eqn113. Par suite, on a :

5217891-Eqn114

L’événement C étant lui associé aux deux feuilles 5217891-Eqn115 et 5217891-Eqn116, on a :

5217891-Eqn117.

Or, d’après l’énoncé, 5217891-Eqn118 et d’après le point précédent, 5217891-Eqn119. Par suite, on a 5217891-Eqn120.

On en conclut que 5217891-Eqn121.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, la probabilité qu’elle soit envoyée à droite est environ 0,525.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie A

> 1. Étudier le sens de variation d’une fonction

Notons 5217891-Eqn122 la fonction définie sur [0 ; 1] par 5217891-Eqn123. La fonction 5217891-Eqn124 est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par :

5217891-Eqn125.

Notez bien

Pour toute fonction 5217891-Eqn126 dérivable sur 5217891-Eqn1275217891-Eqn128 est dérivable sur 5217891-Eqn129 et 5217891-Eqn130.

Comme 5217891-Eqn131 est strictement positive sur [0 ; 1] elle ne s’y annule pas. La fonction 5217891-Eqn132 inverse de la fonction 5217891-Eqn133 est alors dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée est définie par :

5217891-Eqn134.

Pour tout réel 5217891-Eqn135 de [0 ; 1], 5217891-Eqn136 et 5217891-Eqn137. La dérivée 5217891-Eqn138 étant strictement positive sur [0 ; 1] la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 1].

> 2. Démontrer une égalité

Notez bien

Pour tous réels 5217891-Eqn141 : 5217891-Eqn142.

Pour tout réel 5217891-Eqn139 de [0 ; 1] nous avons :

5217891-Eqn140

Nous en concluons que pour tout x de [0 ; 1], 5217891-Eqn143.

> 3. Calculer une intégrale

Notons 5217891-Eqn144 la fonction définie sur [0 ; 1] par 5217891-Eqn145. La fonction 5217891-Eqn146 est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par :

5217891-Eqn147.

Comme la fonction 5217891-Eqn148 est dérivable sur [0 ; 1], elle est continue sur cet intervalle et y admet des primitives. La fonction 5217891-Eqn149 étant égale à 5217891-Eqn150, avec 5217891-Eqn151 dérivable et strictement positive sur [0 ; 1], une primitive de 5217891-Eqn152 est la fonction 5217891-Eqn153 définie sur [0 ; 1] par :

5217891-Eqn154.

Par conséquent, 5217891-Eqn155.

Or, ln(e1 + e) = ln(e + e) = ln(2e) = ln(2) + ln(e) = ln(2) + 1 et ln(e0 + e) = ln(1 + e).

Notez bien

5217891-Eqn156 ; 5217891-Eqn157 ; 5217891-Eqn158 ; pour tous réels 5217891-Eqn159 et 5217891-Eqn1605217891-Eqn161

Nous avons ainsi 5217891-Eqn162.

partie B

> 1. Tracer une courbe représentative

La fonction 5217891-Eqn163 est définie sur [0 ; 1] par 5217891-Eqn164 La fonction 5217891-Eqn165 est donc constante sur cet intervalle et sa courbe représentative est l’ensemble des points d’abscisse 5217891-Eqn166 et d’ordonnée 1.

matT_1605_09_01C_11

> 2. Interpréter une intégrale

Soit 5217891-Eqn167 un entier naturel.

Notons 5217891-Eqn168 la fonction définie sur [0 ; 1] par 5217891-Eqn169

La fonction 5217891-Eqn170 est l’inverse de la fonction 5217891-Eqn171 sur cet intervalle.

Comme 5217891-Eqn172 est strictement positive sur [0 ; 1] la fonction 5217891-Eqn173 l’est également.

La fonction 5217891-Eqn174 est dérivable sur [0 ; 1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0 ; 1] et elle ne s’y annule pas. La fonction 5217891-Eqn175 est alors dérivable sur [0 ; 1] et par conséquent continue sur [0 ; 1].

Comme la fonction5217891-Eqn176 est continue et strictement positive sur [0 ; 1], l’intégrale de 5217891-Eqn177 entre 0 et 1 qui est notée 5217891-Eqn178 est l’aire exprimée en unités d’aire de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de 5217891-Eqn179, l’axe des abscisses et les droites d’équation = 0 et x = 1.

Par le point précédent et d’après la réponse à la question B 1., 5217891-Eqn180 est l’aire du carré de côté une unité. Autrement dit, 5217891-Eqn181.

> 3. Conjecturer et démontrer le sens de variation d’une suite

À l’aide du graphique donné dans l’énoncé et par l’interprétation graphique de 5217891-Eqn182 établie à la question précédente, nous aurions : 5217891-Eqn183

La suite 5217891-Eqn184 serait alors strictement décroissante.

Soit 5217891-Eqn185 un entier naturel. Nous avons naturellement 5217891-Eqn186

Soit 5217891-Eqn187 un réel de l’intervalle [0 ; 1], une exponentielle étant toujours strictement positive, 5217891-Eqn188.

Notez bien

Pour tous réels 5217891-Eqn190 et 5217891-Eqn1915217891-Eqn192

Par suite, nous avons :

5217891-Eqn189

Ainsi, pour tout entier naturel 5217891-Eqn193 pour tout réel 5217891-Eqn194 de [0 ; 1], 5217891-Eqn195 En intégrant sur l’intervalle [0 ; 1], par propriété des intégrales, nous en déduisons que :

5217891-Eqn196 ce qui se note 5217891-Eqn197

Nous en concluons que la suite 5217891-Eqn198 est strictement décroissante.

> 4. Justifier l’existence d’une limite

D’après la question B 2., interprétation graphique de 5217891-Eqn199 nous en déduisons que pour tout entier naturel 5217891-Eqn2005217891-Eqn201 La suite 5217891-Eqn202 est alors minorée par 0.

D’après la question B 3., la suite 5217891-Eqn203 est strictement décroissante.

La suite 5217891-Eqn204 étant strictement décroissante et minorée, nous en déduisons, par le théorème de la convergence monotone, que la suite 5217891-Eqn205 converge.

Elle admet donc une limite.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

> 1. Déterminer une probabilité

D’après l’énoncé, la probabilité que la variable aléatoire 5217891-Eqn206 soit comprise entre 20 et 21,6 est égale à 0,34. Par symétrie de la densité, il en découle que : 5217891-Eqn207

Notez bien

Si 5217891-Eqn208 5217891-Eqn209 : 5217891-Eqn210 et 5217891-Eqn211

5217891-Eqn212 est alors une valeur approchée de l’écart type de la loi normale considérée.

La probabilité que 5217891-Eqn213 appartienne à l’intervalle 5217891-Eqn214 s’écrit 5217891-Eqn215

5217891-Eqn216

L’affirmation 1 est fausse.

> 2. Déterminer un ensemble de points, justifier une équivalence

Notez bien

5217891-Eqn217.

Nous avons, pour tout nombre complexe z différent de 2 :

5217891-Eqn218.

Par suite,

5217891-Eqn219

En notant O, M et B les points d’affixes respectives 0, 5217891-Eqn220 et 2, la dernière égalité se traduit en termes de distance par 5217891-Eqn221. Ainsi, l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe 5217891-Eqn222 tels que 5217891-Eqn223 est la médiatrice du segment [OB] qui nécessairement passe par le milieu de ce segment (point d’affixe 1 qui n’est rien d’autre que le point A).

L’affirmation 2 est vraie.

Notons 5217891-Eqn224 (5217891-Eqn225 et 5217891-Eqn226 réels) la forme algébrique du nombre complexe 5217891-Eqn227 qui est différent de 2.

Par suite, nous avons :

Notez bien

5217891-Eqn228.

5217891-Eqn229.

En multipliant par l’expression conjuguée :

5217891-Eqn230

La partie réelle de 5217891-Eqn231 est 5217891-Eqn232 et sa partie imaginaire est 5217891-Eqn233

5217891-Eqn234 est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, ce qui est équivalent à :

5217891-Eqn235 ou encore 5217891-Eqn236

Dans ce cas, 5217891-Eqn237 s’écrit 5217891-Eqn238 c’est-à-dire 5217891-Eqn239 est un réel.

L’affirmation 3 est vraie.

Remarque. La formulation de l’équivalence à étudier aurait pu être :

5217891-Eqn240.

> 3. Démontrer l’unicité d’une solution, dérouler un algorithme

Notez bien

Pour toute fonction 5217891-Eqn245 dérivable sur 5217891-Eqn2465217891-Eqn247 est dérivable sur 5217891-Eqn248 et 5217891-Eqn249.

Notons 5217891-Eqn241 la fonction définie sur ℝ par 5217891-Eqn242. La fonction 5217891-Eqn243 est dérivable sur ℝ comme somme de deux fonctions dérivables sur ℝ et sa dérivée est donnée par :

5217891-Eqn244.

Comme 5217891-Eqn250 est strictement positive sur ℝ, elle ne s’y annule pas. La fonction 5217891-Eqn251 étant égale à 5217891-Eqn252 elle est alors dérivable sur ℝ et sa dérivée est donnée par :

5217891-Eqn253

Pour tout réel 5217891-Eqn2545217891-Eqn255 et 5217891-Eqn256. La dérivée 5217891-Eqn257 étant strictement positive sur ℝ, la fonction 5217891-Eqn258 est strictement croissante sur ℝ.

Pour compléter le tableau de variations de 5217891-Eqn259 déterminons les limites de la fonction 5217891-Eqn260 en 5217891-Eqn261 et en 5217891-Eqn262.

Notez bien

5217891-Eqn263 et 5217891-Eqn264.

D’une part, 5217891-Eqn265. Par produit et par somme, 5217891-Eqn266.

Par passage à l’inverse, 5217891-Eqn267.

D’autre part, 5217891-Eqn268. Par produit et par somme, 5217891-Eqn269.

Par passage à l’inverse,5217891-Eqn270.

Par conséquent, le tableau de variations complet de la fonction 5217891-Eqn271 sur ℝ est :

matT_1605_09_01C_tab1

La fonction 5217891-Eqn273 étant dérivable sur ℝ, elle est continue sur ℝ. Elle est également strictement croissante sur ℝ. De plus, 5217891-Eqn274 est bien compris entre 5217891-Eqn275 et 5217891-Eqn276 Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 5217891-Eqn277 admet une unique solution sur ℝ. L’affirmation 4 est vraie.

Autre méthode

Pour tout réel 5217891-Eqn278

5217891-Eqn279

L’affirmation 4 est vraie.

Deux variables notées 5217891-Eqn280 et 5217891-Eqn281 sont utilisées dans cet algorithme. Ces variables sont respectivement initialisées à 5217891-Eqn282 et à 5217891-Eqn283 Elles sont ensuite mises à jour dans la phase traitement tant que la variable 5217891-Eqn284 prend des valeurs strictement inférieures à 5217891-Eqn285 ce qui est résumé dans le tableau suivant :

5217891-Eqn286

5217891-Eqn287

Condition 5217891-Eqn288

5217891-Eqn289

5217891-Eqn290

vraie

5217891-Eqn291

5217891-Eqn292

vraie

5217891-Eqn293

5217891-Eqn294

vraie

5217891-Eqn295

5217891-Eqn296

vraie

5217891-Eqn297

5217891-Eqn298

5217891-Eqn299

5217891-Eqn300

5217891-Eqn301

vraie

5217891-Eqn302

5217891-Eqn303

vraie

5217891-Eqn304

5217891-Eqn305

fausse

La condition du « Tant Que » n’étant plus vérifiée, nous passons à la phase sortie : l’algorithme affiche 5217891-Eqn306L’affirmation 5 est fausse.

Autre méthode

Pour tout réel 5217891-Eqn307

5217891-Eqn308

Or, 5217891-Eqn309

Par suite, si 5217891-Eqn310 nous avons 5217891-Eqn3115217891-Eqn312 est alors augmenté de 0,01 pour prendre la valeur 0,55. Mais, si 5217891-Eqn313 alors 5217891-Eqn314

La condition de la boucle « Tant Que » n’étant plus vérifiée, nous passons à la phase de sortie et l’algorithme affiche 0,55.

L’affirmation 5 est fausse.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Travailler avec des congruences

Si 5217891-Eqn315 est solution du système, alors 5217891-Eqn316 et 5217891-Eqn317.

n – 11 est donc divisible par 5.

Si 5217891-Eqn318 est solution du système, alors 5217891-Eqn319 et 5217891-Eqn320.

n – 11est donc divisible par 4.

L’affirmation 1 est vraie.

Pour tout 5217891-Eqn321, 5217891-Eqn322 et 5217891-Eqn323. Donc l’entier 5217891-Eqn324 est solution du système.

L’affirmation 2 est vraie.

Si 5217891-Eqn325 est solution du système, alors 5217891-Eqn326 donc il existe 5217891-Eqn327 tel que 5217891-Eqn328.

Si 5217891-Eqn329 est solution du système, alors 5217891-Eqn330 donc 5217891-Eqn331 soit 5217891-Eqn332. Finalement 5217891-Eqn333. Donc il existe 5217891-Eqn334 tel que 5217891-Eqn335. Nous en déduisons donc qu’il existe 5217891-Eqn336 tel que 5217891-Eqn337

L’affirmation 3 est vraie.

2. Étudier un automate

Pour tout entier naturel 5217891-Eqn338, notons 5217891-Eqn339 la matrice colonne donnant l’état de l’automate après 5217891-Eqn340 secondes. La matrice de transition 5217891-Eqn341 associée à ce graphe probabiliste est :

5217891-Eqn342.

Nous savons que, pour tout entier naturel 5217891-Eqn343, 5217891-Eqn344.

Cela nous donne, pour tout entier naturel 5217891-Eqn345 :

5217891-Eqn346

Et, par identification : 5217891-Eqn347.

Or l’algorithme affecte à 5217891-Eqn348 l’expression 5217891-Eqn349 ce qui n’est pas la bonne expression pour calculer les valeurs successives des termes de la suite 5217891-Eqn350.

L’affirmation 4 est fausse.

Pour déterminer l’état de l’automate après 4 secondes, on calcule 5217891-Eqn351 à l’aide de la formule 5217891-Eqn352. Avec la calculatrice, nous obtenons 5217891-Eqn353.

Sachant que 5217891-Eqn354 (au départ, l’automate est dans l’état B), nous obtenons finalement :

5217891-Eqn355.

Après 4 secondes, l’automate a donc autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B. L’affirmation 5 est vraie.

Exercice 5

Commun à tous les candidats

> 1. a) Établir une relation de récurrence

Pour tout entier naturel 5217891-Eqn356 :

Notez bien

5217891-Eqn357

5217891-Eqn358

b) Déterminer la formule explicite d’une suite

On considère la propriété 5217891-Eqn359

Initialisation

5217891-Eqn360 et 5217891-Eqn361.

On a donc 5217891-Eqn362 et la propriété est initialisée.

Hérédité

On suppose que la propriété 5217891-Eqn363 est vraie pour un entier naturel 5217891-Eqn364 : 5217891-Eqn365 (hypothèse de récurrence). On démontre alors que 5217891-Eqn366 est vraie :

5217891-Eqn367.

La propriété est donc héréditaire.

La propriété étant initialisée et héréditaire, elle est vraie et pour tout entier naturel 5217891-Eqn368 :

5217891-Eqn369

> 2. Démontrer que des points sont alignés

D’après la question 1. b), on remarque que, pour tout entier naturel 5217891-Eqn370, 5217891-Eqn371 et 5217891-Eqn372.

Pour tout entier naturel 5217891-Eqn373 :

5217891-Eqn374.

Notez bien

5217891-Eqn379

D’après la question 1. b), pour tout entier naturel 5217891-Eqn375, 5217891-Eqn376 donc 5217891-Eqn377 et 5217891-Eqn378.

Par conséquent, pour tout entier naturel 5217891-Eqn380 :

5217891-Eqn381.

Ainsi, pour tout entier naturel 5217891-Eqn382, les vecteurs 5217891-Eqn383 et 5217891-Eqn384 sont colinéaires de même sens et les points 5217891-Eqn385 sont alignés.